EXERCICIOS DE DERIVADAS E APLICAÃ_Ã_ES

Prévia do material em texto

EXERCÍCIOS DE DERIVADAS E APLICAÇÕES 
Fonte: Cálculo A 
1) Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva 122  xxy no ponto )2,1( . 
2) Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por 
80,16)( 2  ttttf , onde o tempo é medido em segundos e a distância em metros. 
a) Determinar a velocidade do corpo num instante qualquer. 
b) Determinar a velocidade do corpo no instante 3t . 
c) Determinar a aceleração num instante t . 
3) Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a equação 
do seu movimento retilíneo é ct
t
b
y  , onde y é o deslocamento e t é o tempo. 
a) Qual a velocidade do corpo no instante 2t ? 
b) qual a equação da aceleração? 
4) Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções: 
a) 
12
1
)(


x
xf b) 
3 3)(  xxf 
5) Dada a função 232)( 2  xxxf , determinar os intervalos em que: 
a) 0)( 
 xf b) 0)( 
 xf 
6) Calcular as derivadas laterais nos pontos onde a função não é derivável. Esboçar o gráfico. 
a) 342)(  xxf 
b) 









2,62
2,2
2,2
)(
2
xx
x
xx
xf 
7) Encontra a derivada das funções: 
a) )35()35(
3
2
)( 1   xxxf b) )25)(13)(1()( 32 sssssf  
c) )(7)( 2 cbxaxxf  d) 13
42
)(



x
x
xf 
e) )63(
2
1
)( 2 xx
x
x
xf 







 f) 
54
53
)(
xx
xf  
8) Seja ))(()( bxaxxp  , sendo a e b constantes. Mostrar que se ba  , então 
0)()(  bpap , mas 0)(  ap e 0)(  bp . 
9) Dadas as funções BxxgAxxxf  )(,)( 2 , determinar A e B de tal forma que 





2)()(
21)()(
xxgxf
xxgxf
. 
10) Encontrar a equação da reta normal à curva 22 )43( xxy  no ponto de abscissa 2x . 
11) Seja bxaxy  2 . Encontrar os valores de a e b , sabendo que a tangente à curva no 
ponto )5,1( tem inclinação 8m . 
12) Encontrar a equação da reta tangente à curva 13  xy , que seja perpendicular à reta 
xy  . 
13) Calcule a derivada das funções: 
a) 472 )13()67()(  ttttf b) 
3 22 )263()(  xxxf c) 
1
12
)(



t
t
tf 
d) xxxf 63
2
2)(  e) )5()( 22 ttetf
t
 f) 1log)( 3  ssf 
g) 
xx
x
b
a
xf
63
3
2
)(

 h) 
)ln()(
2
1
)( bsabsasf  i) xexf x 3cos)( 2 
j) )3arccos()( tttf  
 
14) Encontrar )(xf  . 
a) 






 0,
0,1
)(
xe
xx
xf
x
 b) xxf 43ln)(  c) 
12
)(


x
exf 
15) Calcular )1(f  , se 






2
)1ln()(
x
arcsenxxf . 
16) Dada xxsenxf 2cos2)(  , mostrar que )(xf é ímpar e )(xf  é par. 
17) Seja )(xf derivável e periódica de período T. Mostre que )(xf  também é periódica de 
período T. 
20) Mostra que a função 
xx
y
ln1
1

 satisfaz a equação )1ln(  xyyyx . 
21) Calcular as derivadas sucessivas até a ordem indicada a seguir. 
a) 3,23  ndcxbxaxy 
b) 3,12   ney x 
c) 7,  naxseny 
d) 2,  nxarctgy 
22) Mostre que a derivada de ordem da função xaey  é dada por xann eay )( . 
23) Mostre que )cos(  wtAx , onde ewA ,, , são constantes satisfaz a equação 
02  xwx . 
24) Calcular 
dx
dy
y  das seguintes funções definidas implicitamente. 
a) 0223  yyxx b) 
yx
yx
y


3 c) yxytg  
25) Determinar as retas tangente e normal à circunferência de centro )0,2( e raio 2 , nos 
pontos de abscissa 1 . 
26) Demonstrar que a reta tangente à elipse 1
2
2
2
2

b
y
a
x
 no ponto ),( 00 yx tem a equação 
 1
2
0
2
0 
b
yy
a
xx
. 
27) Calcular 
dx
dy
y  das seguintes funções definidas na forma paramétrica. Para quais valores 
de yt , esta definida? 
a) 






]
2
,0[,
2
2cos 
t
tseny
tx
 
b) 






)0,
2
(,
)(
)(cos
3
3

t
tseny
tx
 
c) 






],0[,
)(8
)(cos8
3
3
t
tseny
tx
 
28) Determinar a equação da reta tangente à elipse






]2,0[,
2
cos2
t
tseny
tx
 no ponto 
)
2
23
,2(P . 
29) Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à astroíde 






]2,0[,
)(
)(cos
3
3
t
tseny
tx
 
no ponto )
8
33
,
8
1
(P . 
30) Encontrar dyy  das funções: 
a) 13 2  xxy b) xy 2 
31) Encontrar dyey para os valores dados: 1;001,0,2
1
2
 xx
x
y . 
32) Calcular um valor aproximado para 3 5,63 , usando diferencial. 
33) Uma caixa em forma de cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 
4
1
 cm. 
Se o lado da caixa é de 2 m, usando diferencial, encontrar a quantidade de revestimento 
necessária. 
34) Um material está sendo escoado de um recipiente formando uma pilha cônica cuja altura 
é sempre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio mede 12 cm, use diferencial para 
obter a variação do raio que origina um aumento de 2 cm3 no volume da pilha. 
35) Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera quando o raio 
varia de 3 cm a 3,1 cm. 
36) Um terreno em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. 
Estima-se que cada um de seus lados mede 1.200 m, com um erro máximo de 10 m. Usando 
diferencial, determinar o possível erro no cálculo da área do terreno. 
37) Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui t anos a população será 
1
5
20)(


t
tp milhares. 
a) Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade? 
b) Qual será a variação real sofrida durante o 18º mês? 
38) Achar a razão de variação do volume v de um cubo em relação ao comprimento de sua 
diagonal . Se a diagonal está se expandindo a uma taxa de 2 m/s, qual a razão de variação do 
volume quando a diagonal mede 3 m? 
39)Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo forma uma pilha 
cônica onde a altura é aproximadamente igual 
3
4
do raio da base. 
a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base. 
b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o 
raio mede 2m? 
 40) Um objeto se move sobre a parábola 132 2  xxy de tal modo que sua abscissa varia 
a taxa de 6 unidades por minuto. Qual é a taxa de variação de sua ordenada, quando o objeto 
estiver no ponto )1,0(  ? 
41) Um trem deixa uma estação, num certo instante, e vai para a direção norte à razão de 80 
km/h. Um segundo trem deixa a estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de 95 
km/h. Achar a taxa na qual estão se separando os dois trens 2 horas e 30 minutos depois do 
segundo trem deixar a estação. 
42) Uma lâmpada colocada em um poste está a 4 m de altura. Se uma criança de 90 cm de 
altura caminha afastando-se da lâmpada à razão de 5 m/s, com que rapidez se alonga a 
sombra? 
43) O raio de um cone é sempre igual à metade de sua altura. Determinar a taxa de variação 
da área da base em relação ao volume do cone. 
44) Mostrar que 
x
x
y a
log
 tem seu valor máximo em ex  (número neperiano) para todos 
os números 1a . 
45) Determinar os coeficientes a e b de forma que a função baxxxf 
23)( tenha um 
extremo relativo no ponto )1,2( . 
46) Encontrar cba ,, e d tal que a função dcxbxaxxf 
232)( tenha pontos críticos 
em 0x e 1x . Se 0a , qual deles é ponto de máximo , qual deles é ponto de mínimo? 
47) Demonstrar que a função Rxcbxaxy  ,2 , tem máximo se, e somente se , 0a ; 
e mínimo se, e somente se, 0a . 
48) Seguindo os passo para a construção de gráficos, fazer um esboço do gráfico das funções: 
a) 
6
5
2
2
3
3
23
 x
xx
y b) 
x
xy
2
 c) 
)3)(2(
1


xx
y 
49) Um fio de comprimento  é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um circulo e 
com o outro, um quadrado. 
a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras 
sejam mínimas? 
b) ) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas 
figuras sejam máxima? 
50) Determinar o ponto P situado sobre o gráfico da hipérbole 1yx , que estámais próximo 
da origem. 
51) Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior possível. 
52) Duas indústrias A e B necessitam de água potável . A figura a seguir esquematiza a posição 
das indústrias bem como a posição de um encanamento retilíneo, já existente. Em que ponto 
do encanamento deve ser instalado um reservatório de modo que a metragem de cano a ser 
utilizada seja mínima? 
 
53) Uma folha de papel contém 375 cm2 de matéria impressa, com margem superior de 3,5 
cm, margem inferior de 2 cm, margem lateral direita de 2 cm e margem lateral esquerda de 
2,5 cm. Determinar quais devem ser as dimensões da folha para que haja o máximo de 
economia de papel. 
54) Um fabricante, ao comprar caixas de embalagem retangulares exige que o comprimento 
de cada caixa seja 2 m e o volume 3 m3. Para gastar a menor quantidade de material possível 
na fabricação de caixas, quais devem ser suas dimensões? 
55) Determinar os seguintes limites, usando as regras de L’Hospital: 
a) 
424
67
lim
2
5


 xx
x
x
 b) 
xe
x
xx cos
lim
0 
 c) 






 xxg
x
x cos2cot
lim
2


 
d) 
x
tgxx
x 4cos1
2sec
lim
2
4




 e) xx
x
x ln
3
0
4
lim 
 
 f) 
x
x
x
2
)12(lim 

 g) xx
xx
x ln
ln
lim

 
56) Determinar o polinômio de Taylor de ordem n , no ponto c dado, das seguintes funções: 
a) 4;21,)(   necexf x b) 6;
2
0,2cos)(  necxxf

 
57) Encontrar o polinômio de Taylor de grau n , no ponto c e escrever a função que define o 
resto na forma de Lagrange da função: 
4,0,)(
2
  ncexf x . 
 58) Pesquisar máximos e mínimos das seguintes funções: 
a) 7)2(4)(  xxf b) 46 2)( xxxf 