Função Quadrática - Exercícios com gabarito comentado

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Matemática para o ENEM e Vestibulares 
Prof. Carlos Henrique (Bochecha) 
Função Quadrática 
 
 
 
1. (Fuvest 2020) A dona de uma lanchonete observou que, vendendo um combo a R$ 10,00, 200 deles são 
vendidos por dia, e que, para cada redução de R$ 1,00 nesse preço, ela vende 100 combos a mais. Nessas 
condições, qual é a máxima arrecadação diária que ela espera obter com a venda desse combo? 
a) R$ 2.000,00 
b) R$ 3.200,00 
c) R$ 3.600,00 
d) R$ 4.000,00 
e) R$ 4.800,00 
 
2. (UERJ 2020) Um número N, inteiro e positivo, que satisfaz à inequação 2N 17N 16 0− +  é: 
a) 2 
b) 7 
c) 16 
d) 17 
 
 
 
3. (UNESP 2019) Em relação a um sistema cartesiano de eixos ortogonais com origem em O(0, 0), um avião 
se desloca, em linha reta, de O até o ponto P, mantendo sempre um ângulo de inclinação de 45 com a 
horizontal. A partir de P, o avião inicia trajetória parabólica, dada pela função 2f(x) x 14x 40,= − + − com x e 
f(x) em quilômetros. Ao atingir o ponto mais alto da trajetória parabólica, no ponto V, o avião passa a se 
deslocar com altitude constante em relação ao solo, representado na figura pelo eixo x. 
 
 
 
Em relação ao solo, do ponto P para o ponto V, a altitude do avião aumentou 
a) 2,5 km. 
b) 3 km. 
c) 3,5 km. 
d) 4 km. 
e) 4,5 km. 
 
4. (ENEM PPL 2019) No desenvolvimento de um novo remédio, pesquisadores monitoram a quantidade Q 
de uma substância circulando na corrente sanguínea de um paciente, ao longo do tempo t. Esses 
pesquisadores controlam o processo, observando que Q é uma função quadrática de t. Os dados coletados 
nas duas primeiras horas foram: 
 
t (hora) 0 1 2 
Q (miligrama) 1 4 6 
 
Para decidir se devem interromper o processo, evitando riscos ao paciente, os pesquisadores querem saber, 
antecipadamente, a quantidade da substância que estará circulando na corrente sanguínea desse paciente 
após uma hora do último dado coletado. 
 
Nas condições expostas, essa quantidade (em miligrama) será igual a 
a) 4. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. 
 
5. (UNICAMP 2019) Sejam a e b números reais positivos. Considere a função quadrática f(x) x(ax b),= + 
definida para todo número real x. No plano cartesiano, qual figura corresponde ao gráfico de y f(x)?= 
a) b) c) d) 
 
 
6. (UPF 2019) Na figura, está representado o gráfico de uma função quadrática g de domínio ℝ. Das 
expressões a seguir, aquela que pode definir a função g é: 
 
a) 2g(x) x 2x 3= + + b) 2g(x) x x 3= − − c) 2g(x) x x 3= − + + d) 2g(x) x 2x 3= − − + e) 2g(x) x 2x 3= − + 
 
7. (FUVEST 2019) Considere a função polinomial 𝑓:ℝ → ℝ definida por 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 
 
em que 𝑎,  𝑏,  𝑐 ∈ ℝ e a 0. No plano cartesiano xy, a única intersecção da reta y 2= com o gráfico de f é 
o ponto (2; 2) e a intersecção da reta x 0= com o gráfico de f é o ponto (0; 6).− O valor de a b c+ + é 
a) 2− 
b) 0 
c) 2 
d) 4 
e) 6 
 
8. (UERJ 2019) Uma ponte com a forma de um arco de parábola foi construída para servir de travessia sobre 
um rio. O esquema abaixo representa essa ponte em um sistema de coordenadas cartesianas xy. Nele, os 
pontos A, B e C correspondem, respectivamente, à margem esquerda, à margem direita e ao ponto mais 
alto da ponte. 
 
 
 
As distâncias dos pontos A, B e C até a superfície do rio são iguais, respectivamente, a 0,5 m,1,5 m e 2,3 m. 
 
Sabendo que o ponto C tem, nesse sistema, abscissa igual a 6 m, calcule, em metros, a largura do rio. 
 
 
 
 
9. (UFJF-PISM 1 2019) Considere a seguinte inequação: 
 
2x 2x 15 0− −  
 
O produto entre os números inteiros negativos que são soluções dessa inequação é 
a) 15− 
b) 6− 
c) 2 
d) 6 
e) 15 
 
 
10. (ESPM 2018) O gráfico abaixo representa uma função quadrática y f(x).= O valor de f( 6)− é: 
 
 
a) 74 
b) 63 
c) 42 
d) 51 
e) 37 
11. (ENEM PPL 2018) Um projétil é lançado por um canhão e atinge o solo a uma distância de 150 metros 
do ponto de partida. Ele percorre uma trajetória parabólica, e a altura máxima que atinge em relação ao solo 
é de 25 metros. 
 
 
 
Admita um sistema de coordenadas xy em que no eixo vertical y está representada a altura e no eixo 
horizontal x está representada a distância, ambas em metro. Considere que o canhão está no ponto (150; 0) 
e que o projétil atinge o solo no ponto (0; 0) do plano xy. 
 
A equação da parábola que representa a trajetória descrita pelo projétil é 
a) 2y 150x x= − b) 2y 3.750x 25x= − c) 275y 300x 2x= − d) 2125y 450x 3x= − e) 2225y 150x x= − 
 
12. (MACKENZIE 2018) Se 𝑓:ℝ → ℝ é uma função definida por 2f(x) 2x x 1,= − + + então os valores de x para 
os quais f assume valores positivos são 
a) 2 x 1−   
b) 1 x 2−   
c) 
1
1 x
2
−   
d) 
1
1 x
2
−   
e) 
1
x 1
2
−   
 
13. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2018) Para arrecadar recursos para a festa de formatura, os formandos 
de uma escola decidiram vender convites para um espetáculo. Cada formando recebeu para vender um 
número de convites que é igual ao número total de formandos mais 3. Se todos os formandos conseguirem 
vender todos os convites a 5 reais, o dinheiro arrecadado será menor do que R$ 26.270,00. Nessas 
condições, o maior número de formandos que essa escola pode ter é múltiplo de 
a) 12. 
b) 13. 
c) 14. 
d) 15. 
 
14. (ESPM 2017) O lucro de uma pequena empresa é dado por uma função quadrática cujo gráfico está 
representado na figura abaixo: 
 
Podemos concluir que o lucro máximo é de: 
a) R$ 1.280,00 b) R$ 1.400,00 c) R$ 1.350,00 d) R$ 1.320,00 e) R$ 1.410,00 
15. (ENEM – Libras - 2017) Suponha que para um trem trafegar de uma cidade à outra seja necessária a 
construção de um túnel com altura e largura iguais a 10 m. Por questões relacionadas ao tipo de solo a ser 
escavado, o túnel deverá ser tal que qualquer seção transversal seja o arco de uma determinada parábola, 
como apresentado na Figura 1. Deseja-se saber qual a equação da parábola que contém esse arco. Considere 
um plano cartesiano com centro no ponto médio da base da abertura do túnel, conforme Figura 2. 
 
 
 
A equação que descreve a parábola é 
a) 2
2
y x 10
5
= − + b) 2
2
y x 10
5
= + c) 2y x 10= − + d) 2y x 25= − e) 2y x 25= − + 
 
16. (UFJF - PISM 1 2017) É correto afirmar sobre a função quadrática 2y x 3x 1= − + − que: 
 
a) f(x) é decrescente para {𝑥 ∈ℝ| 𝑥 ≤0}. 
 
b) A concavidade é para cima. 
 
c) f(x) possui três zeros diferentes. 
d) f(x) tem como vértice o ponto 
1 4
, .
5 5
 
 
 
 
e) O valor máximo de f(x) é 
5
.
4
 
 
17. (UERJ 2017) No plano cartesiano a seguir, estão representados o gráfico da função definida por 
2f(x) x 2,= + com 𝑥 ∈ ℝ, e os vértices dos quadrados adjacentes ABCD e DMNP. 
 
 
 
Observe que B e P são pontos do gráfico da função f e que A, B, D e M são pontos dos eixos coordenados. 
 
Desse modo, a área do polígono ABCPNM, formado pela união dos dois quadrados, é: 
a) 20 b) 28 c) 36 d) 40 
 
18. (ENEM 2017) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, 
localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra 
uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com 
medidas hipotéticas para simplificar os cálculos. 
 
 
 
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2? 
a) 
16
3
 
b) 
31
5
 
c) 
25
4
 
d) 
25
3
 
e) 
75
2
 
 
 
 
 
 
19. (ENEM – Libras - 2017) A única fonte de renda de um cabeleireiro é proveniente de seu salão. Ele cobra 
R$ 10,00 por cada serviço realizado e atende 200 clientes por mês, mas está pensando em aumentar o valor 
cobrado pelo serviço.Ele sabe que cada real cobrado a mais acarreta uma diminuição de 10 clientes por 
mês. 
 
Para que a renda do cabeleireiro seja máxima, ele deve cobrar por serviço o valor de 
a) R$ 10,00. 
b) R$ 10,50. 
c) R$ 11,00. 
d) R$ 15,00. 
e) R$ 20,00. 
 
 
 
 
 
 
 
20. (FGV 2017) O índice de Angstrom (IA), usado para alertas de risco de incêndio, é uma função da umidade 
relativa do ar (U), em porcentagem, e da temperatura do ar (T), em C. O índice é calculado pela fórmula 
A
U 27 T
I ,
20 10
−
= + e sua interpretação feita por meio da tabela a seguir. 
 Condição de Ocorrência de Incêndio 
AI 4 improvável 
A2,5 I 4  desfavorável 
A2 I 2,5  favorável 
A1 I 2  provável 
AI 1 muito provável 
Tabela adaptada de www.daff.gov.za. 
A temperatura T, em C, ao longo das 24 horas de um dia, variou de acordo com a função 
2T(x) 0,2x 4,8x,= − + sendo x a hora do dia (0 x 24).  No horário da temperatura máxima desse dia, a 
umidade relativa do ar era de 35% (U 35).= 
De acordo com a interpretação do índice de Angstrom, nesse horário, a condição de ocorrência de incêndio 
era 
a) improvável. 
b) desfavorável. 
c) favorável. 
d) provável. 
e) muito provável. 
 
21. (UNESP 2017) No universo dos números reais, a equação 
2 2
2
(x 13x 40)(x 13x 42)
0
x 12x 35
− + − +
=
− +
 é satisfeita por 
apenas 
a) três números. 
b) dois números. 
c) um número. 
d) quatro números. 
e) cinco números. 
 
22. (ENEM 2017) Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato 
de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a 
corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros 
lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais. 
 
Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima? 
a) 1 e 49 b) 1 e 99 c) 10 e 10 d) 25 e 25 e) 50 e 50 
23. (FUVEST 2017) O retângulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento AB 3= e BC 4.= 
O ponto P pertence ao lado BC e BP 1.= Os pontos R, S e T pertencem aos lados AB, CD e AD, 
respectivamente. O segmento RS é paralelo a AD e intercepta DP no ponto Q. O segmento TQ é paralelo 
a AB. 
 
 
Sendo x o comprimento de AR, o maior valor da soma das áreas do retângulo ARQT, do triângulo CQP e 
do triângulo DQS, para x variando no intervalo aberto  0, 3 , é 
a) 
61
8
 b) 
33
4
 c) 
17
2
 d) 
35
4
 e) 
73
8
 
 
24. (UNESP 2017) A figura representa, em vista superior, a casinha de um cachorro (retângulo BIDU) e a área 
externa de lazer do cachorro, cercada com 35 metros de tela vermelha totalmente esticada. 
 
 
 
Calcule a área externa de lazer do cachorro quando x 6 m.= Determine, algebricamente, as medidas de x e 
y que maximizam essa área, mantidos os ângulos retos indicados na figura e as dimensões da casinha. 
 
25. (ENEM 2016) Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a 
tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo 
da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no 
nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola: 
𝑦 = 9 − 𝑥2, sendo x e y medidos em metros. 
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 
2
3
 da área do retângulo cujas dimensões são, 
respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel. 
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado? 
a) 18 
b) 20 
c) 36 
d) 45 
e) 54 
26. (UERJ 2016) Observe a função f, definida por: 
 
2f(x) x 2kx 29,= − + para 𝑥 ∈ ℝ 
 
Se f(x) 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4. 
Assim, o valor positivo do parâmetro k é: 
a) 5 
b) 6 
c) 10 
d) 15 
 
27. (ENEM 2ª aplicação 2016) Dispondo de um grande terreno, uma empresa de entretenimento pretende 
construir um espaço retangular para shows e eventos, conforme a figura. 
 
A área para o público será cercada com dois tipos de materiais: 
 
- nos lados paralelos ao palco será usada uma tela do tipo A, mais resistente, cujo valor do metro linear é 
R$ 20,00; 
- nos outros dois lados será usada uma tela do tipo B, comum, cujo metro linear custa R$ 5,00. 
 
A empresa dispõe de R$ 5.000,00 para comprar todas as telas, mas quer fazer de tal maneira que obtenha 
a maior área possível para o público. A quantidade de cada tipo de tela que a empresa deve comprar é 
a) 50,0 m da tela tipo A e 800,0 m da tela tipo B. 
b) 62,5 m da tela tipo A e 250,0 m da tela tipo B. 
c) 100,0 m da tela tipo A e 600,0 m da tela tipo B. 
d) 125,0 m da tela tipo A e 500,0 m da tela tipo B. 
e) 200,0 m da tela tipo A e 200,0 m da tela tipo B. 
 
28. (ENEM 2ª aplicação 2016) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou 
todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de 
infectados é dado pela função 2f(t) 2t 120t= − + (em que t é expresso em dia e t 0= é o dia anterior à primeira 
infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia. 
A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de 
infectados chegasse à marca de 1.600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer. 
A segunda dedetização começou no 
a) 19º dia. 
b) 20º dia. 
c) 29º dia. 
d) 30º dia. 
e) 60º dia. 
29. (UERJ 2016) Em um triângulo equilátero de perímetro igual a 6 cm, inscreve-se um retângulo de modo 
que um de seus lados fique sobre um dos lados do triângulo. Observe a figura: 
 
 
 
Admitindo que o retângulo possui a maior área possível, determine, em centímetros, as medidas x e y de 
seus lados. 
 
30. (UERJ 2015) Um triângulo equilátero possui perímetro P, em metros, e área A, em metros quadrados. 
Os valores de P e A variam de acordo com a medida do lado do triângulo. 
Desconsiderando as unidades de medida, a expressão Y P A= − indica o valor da diferença entre os números 
P e A. 
O maior valor de Y é igual a: 
a) 2 3 
b) 3 3 
c) 4 3 
d) 6 3 
 
31. (FUVEST 2015) A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e 
horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura abaixo. O ponto 
P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde 
o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 
200 m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do 
lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado? 
 
 
a) 60 
b) 90 
c) 120 
d) 150 
e) 180 
 
32. (UNIFESP 2015) A concentração C, em partes por milhão (ppm), de certo medicamento na corrente 
sanguínea após t horas da sua ingestão é dada pela função polinomial 2C(t) 0,05t 2t 25.= − + + Nessa função, 
considera-se t 0= o instante em que o paciente ingere a primeira dose do medicamento. 
Álvaro é um paciente que está sendo tratado com esse medicamento e tomou a primeira dose às 11 horas 
da manhã de uma segunda-feira. 
 
a) A que horas a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela 
primeira vez? 
 
 
 
 
 
b) Se o médico deseja prescrever a segunda dose quando a concentração do medicamento na corrente 
sanguínea de Álvaro atingir seu máximo valor, para que dia da semana e horário ele deverá prescrever a 
segunda dose? 
 
 
 
 
 
 
 
33. (ENEM 2015) Um estudante estápesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa 
pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em 
graus Celsius, é dada pela expressão 2T(h) h 22h 85,= − + − em que h representa as horas do dia. Sabe-se que 
o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse 
momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com 
as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. 
 
Intervalos de 
temperatura ( C) 
Classificação 
T 0 Muito baixa 
0 T 17  Baixa 
17 T 30  Média 
30 T 43  Alta 
T 43 Muito alta 
 
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está 
classificada como 
a) muito baixa. 
b) baixa. 
c) média. 
d) alta. 
e) muito alta. 
34. (ENEM 2015) Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, 
em média, R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso 
o preço seja reduzido, de acordo com a equação 
 
q 400 100 p,= − 
 
na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em reais. 
A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, 
modificará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior 
possível, sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto. 
O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo 
a) R$ 0,50 p R$ 1,50  
b) R$ 1,50 p R$ 2,50  
c) R$ 2,50 p R$ 3,50  
d) R$ 3,50 p R$ 4,50  
e) R$ 4,50 p R$ 5,50  
 
35. (ENEM 2014) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões 
estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, 
para alterar as notas x da prova para notas y f(x),= da seguinte maneira: 
 
- A nota zero permanece zero. 
- A nota 10 permanece 10. 
- A nota 5 passa a ser 6. 
 
A expressão da função y f(x)= a ser utilizada pelo professor é 
a) 2
1 7
y x x.
25 5
= − + 
b) 2
1
y x 2x.
10
= − + 
c) 2
1 7
y x x.
24 12
= + 
d) 
4
y x 2.
5
= + 
e) y x.= 
 
36. (UERJ 2014) O gráfico abaixo mostra o segmento de reta AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca 
de A até B (3, 0). 
 
 
O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados é variável e tem valor máximo igual a 4,5. 
O comprimento do segmento AB corresponde a: 
a) 5 b) 6 c) 3 5 d) 6 2 
37. (ENEM 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do 
instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão 
2t
T(t) 400,
4
= − + com t em minutos. 
Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura 
de 39°. 
 
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? 
a) 19,0 
b) 19,8 
c) 20,0 
d) 38,0 
e) 39,0 
 
38. (ENEM 2013) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo 
z, conforme mostra a figura. 
 
 
 
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei 𝑓(𝑥) =
3
2
𝑥2 − 6𝑥 + 𝐶, 
onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, 
representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. 
 
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é 
a) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) 6. 
 
39. (MACKENZIE 2013) A função 𝑓(𝑥) = √
9−𝑥2
𝑥2+𝑥−2
 tem como domínio o conjunto solução 
 
a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/−3 < 𝑥 ≤ −2 𝑜𝑢 1 ≤ 𝑥 < 3} 
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/−3 ≤ 𝑥 < −2 𝑜𝑢 1 < 𝑥 ≤ 3} 
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/−3 ≤ 𝑥 < −2 𝑜𝑢 1 ≤ 𝑥 ≤ 3} 
d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/−2 < 𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 1 ≤ 𝑥 ≤ 3} 
e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/−2 ≤ 𝑥 < −1 𝑜𝑢 1 < 𝑥 ≤ 3} 
 
 
 
 
40. (UFSJ 2012) O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c é: 
 
 
 
Com relação a f(x), é INCORRETO afirmar que 
a) seu discriminante ( ) é maior que zero. 
b) o vértice da parábola tem ordenada positiva. 
c) o coeficiente do termo quadrado (a) é positivo. 
d) as raízes da função quadrática são 0 e 3/2. 
 
41. (UERJ 2010) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, 
conforme representado no sistema de eixos ortogonais: 
 
 
 
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D. 
A equação de uma dessas parábolas é 
2x 2x
y .
75 5
−
= + 
Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a: 
a) 38 b) 40 c) 45 d) 50 
 
42. (UERJ) Observe a parábola de vértice V, gráfico da função quadrática definida por 2y ax bx c,= + + que 
corta o eixo das abscissas nos pontos A e B. 
 
 
 
Calcule o valor numérico de 2b 4ac,Δ = − sabendo que o triângulo ABV é equilátero. 
 
43. (IBMEC-RJ) A soma dos quadrados dos números naturais que pertencem ao conjunto solução de 
 
 0
2x
)1x()x3( 2

+
−−
 é igual a: 
 
a) 13 
b) 14 
c) 15 
d) 19 
e) 20 
 
 
44. (UERJ) A foto a seguir mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base AB = 8 m e 
altura central OC = 5,6 m. 
Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao 
solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola. 
Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade 
P em um determinado ponto do arco parabólico. 
 
Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy. 
 
 
 
45. (UFF) Um muro, com 6 metros de comprimento, será aproveitado como PARTE de um dos lados do 
cercado retangular que certo criador precisa construir. Para completar o contorno desse cercado o criador 
usará 34 metros de cerca. 
 
Determine as dimensões do cercado retangular de maior área possível que o criador poderá construir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46. (UERJ) A figura a seguir mostra um anteparo parabólico que é representado pela função 
f(x) = (
−√3
3
)x2+2√3𝑥. 
 
Uma bolinha de aço é lançada da origem e segue uma trajetória retilínea. Ao incidir no vértice do anteparo 
é refletida e a nova trajetória é simétrica à inicial, em relação ao eixo da parábola. 
O valor do ângulo de incidência á corresponde a: 
a) 30° b) 45° c) 60° d) 75° 
 
 
47. (UFF) Considere a função f: IR+ → IR definida por f(x)=(3-x).(x-1). 
Identifique a melhor representação do gráfico de f. 
 
 
 
48. (UNIRIO) Sejam as funções f : IR → IR, x → y = x2 + x – 2 e g : IR → IR, x → y= x - 1 
O gráfico que melhor representa a função: h: A → IR, x → y= 
( )
( )
f x
g x
 é: 
 
 
49. (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, estão representadas as funções f(x) = 4x - 4 e 
g(x) = 2x2 - 12x + 10. 
 
Com base nos dados a seguir, determine: 
a) as coordenadas do ponto P. 
b) o conjunto-solução da inequação g(x)/f(x) < 0, f(x) ≠ 0. 
 
Matemática para o ENEM e Vestibulares 
Prof. Carlos Henrique (Bochecha) 
Função Quadrática 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [C] 
 
Seja x o número de reduções de R$1,00 no preço do 
combo. Logo, a arrecadação diária, A(x), é dada por 
A(x) (10 x)(200 100x)
100(x 2)(x 10).
= − +
= − + −
 
O número de reduções que fornece a arrecadação máxima 
é igual a
2 10
4.
2
− +
= Em consequência, a resposta é 
A(4) 100(4 2)(4 10)
R$ 3.600,00.
= − + −
=
 
 
Resposta da questão 2: [D] 
 
Desde que N é um inteiro positivo, temos 
2N 17N 16 0 (N 1)(N 16) 0
N 16.
− +   − − 
 
 
Logo, o menor inteiro positivo que satisfaz a desigualdade é 
17. 
 
Resposta da questão 3: [D] 
 
Desde que a reta OPcorresponde ao gráfico da função 
definida por g(x) x,= temos 
2
2
f(x) g(x) x 14x 40 x
x 13x 40 0
x 5 ou x 8.
=  − + − =
 − + =
 = =
 
Logo, é fácil ver que Px 5= e, assim, vem 
P
2
f(x ) f(5)
5 14 5 40
5km.
=
= − +  −
=
 
 
Ademais, a ordenada do ponto V é igual a 
2
V
14 4 ( 1) ( 40)
y 9km.
4 ( 1)
−  −  −
= − =
 −
 
 
Em consequência, a resposta é V Py y 9 5 4km.− = − = 
 
Resposta da questão 4: [B] 
 
Seja 2Q(t) at bt c= + + a função quadrática cujos 
coeficientes queremos determinar. Sabendo que =Q(0) 1, 
vem =c 1. Ademais, tomando =Q(1) 4 e =Q(2) 6 
encontramos 
 
2
2
a 1 b 1 1 4 a b 3
4a 2b 5a 2 b 2 1 6
1
a
2
.
7
b
2
 +  + = + =

+ = +  + =
= −

=
 
A resposta é 
21 7Q(3) 3 3 1
2 2
7.
= −  +  +
=
 
 
Resposta da questão 5: [B] 
 
Reescrevendo a lei de f, temos 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 0) (𝑥 +
𝑏
𝑎
). 
Sendo a e b reais positivos, podemos concluir que o 
gráfico de f tem concavidade para cima e intersecta o eixo 
das abscissas em x 0= e 
b
x 0.
a
= −  
A resposta é o gráfico da alternativa [B]. 
 
Resposta da questão 6: [E] 
 
A concavidade da parábola é para cima, portando as 
alternativas [C] e [D] estão incorretas. Como a concavidade 
corta o eixo y (x 0)= no eixo positivo, então a alternativa 
[B] também está incorreta. Percebe-se que o vértice da 
parábola se encontra na parte positiva do eixo x. 
Analisando assim as alternativas [A] e [E]: 
2
v
2
v
g(x) x 2x 3
2
x 1
2
g(x) x 2x 3
( 2)
x 1
2
= + +
= − = −
= − +
−
= − =
 
Logo, a alternativa correta é a alternativa [E]. 
 
Resposta da questão 7: [B] 
 
Desde que y 2= é uma reta horizontal, podemos concluir 
que o vértice da parábola correspondente ao gráfico de f é 
o ponto (2, 2). Logo, tomando a forma canônica de f e 
sendo f(0) 6,= − temos 
26 a (0 2) 2 a 2.− =  − +  = − 
Portanto, segue que a resposta é 
2
a b c f(1)
( 2) (1 2) 2
0.
+ + =
= −  − +
=
 
Resposta da questão 8: 
 De acordo com a figura acima temos a seguinte parábola: 
 
 
 
Utilizando a forma canônica da função quadrática podemos 
determinar a lei de formação da parábola: 
2
V V
2
y a (x x ) y
y a (x 6) 1,8
=  − +
=  − +
 
 
Como o gráfico passa por (0, 0), temos: 
2 10 a (0 6) 1,8 a
20
=  − +  = − 
 
Logo: 
21y (x 6) 1,8
20
= −  − + 
 
Como o gráfico da função passa por (d,1), podemos 
escrever que: 
1 = −
1
20
⋅ (𝑑 − 6)2 + 1,8 ⇒⋅ (𝑑 − 6)2 = 16 ⇒ 𝑑 − 6
= ±4 ⇒ 𝑑 = 10  𝑜𝑢  𝑑 = 4 
 
Como d 6, a largura do rio será d 10 m.= 
 
Resposta da questão 9: [B] 
 
Calculando: 
 
2
2
2
x 2x 15 0
x 2x 15 0
4 4 1 ( 15) 64
x 5
2 64
x ou x 2x 15 0 S 3 , 5
2 1
x 3
− − 
− − =
 = −   − =
=

= =  − −   = −

= −
 
Produtos inteiros negativos ( 3) ( 2) ( 1) 6= −  −  − = − 
 
Resposta da questão 10: [D] 
 
Seja 2f(x) ax bx c, a 0.= + +  
Como a parábola corta o eixo y no ponto (0, 3), c 3.= 
Assim, temos: 
2f(x) ax bx 3= + + 
 
Vamos supor que o ponto (1, 2) é o vértice da parábola. 
Daí, 
b
1 b 2a
2a
= −  = − e 22 a 1 b 1 3 a b 1=  +  +  + = − 
 
De b 2a= − e a b 1,+ = − 
a 2a 1
a 1
− = −
=
 
 
De a 1= e b 2a,= − 
b 2= − 
 
Logo, 
2
2
f(x) x 2x 3
f( 6) ( 6) 2 ( 6) 3
f( 6) 51
= − +
− = − −  − +
− =
 
 
Resposta da questão 11: [E] 
 
Sendo Vy 25= a ordenada do vértice, e V
150
x 75
2
= = a 
abscissa do vértice, temos: 
1
25 a (75 0) (75 150) a .
225
=  −  −  = − 
 
Portanto, segue que a resposta é 
21y (x 0) (x 150) 225y 150x x .
225
= −  −  −  = − 
 
Resposta da questão 12: [E] 
 
Calculando as raízes: 
2
2
f(x) 2x x 1
1 4 ( 2) 1 9
1x
2
1 9
x ou
4
x 1
= − + +
 = −  −  =
− =
−  
=  
−  =

 
Como a parábola tem concavidade para baixo (x é 
negativo) a função assumirá valores positivos quando 
1
x 1.
2
−   
 
Resposta da questão 13: [C] 
 
Calculando: 
nº de formandos x= 
total de convites x (x 3)=  + 
2
máx
5x (x 3) 26270
x 3x 5254 0
9 4 1 ( 5254) 21025 145
x 74 não convém3 145
x
x 71 0 x 71 x 702
 + 
+ − 
 = −   − =   =
= − − 
=  
=     =
 
 
Como 70 é múltiplo de 14, a alternativa correta é a [C]. 
Resposta da questão 14: [C] 
 
Seja 2L ax bx c,= + + com L sendo o lucro obtido com a 
venda de x unidades. É fácil ver que c 0.= Ademais, 
como a parábola passa pelos pontos (10,1200) e 
(20,1200), temos 
100a 10b 1200 a 6
400a 20b 1200 b 180
+ = = − 
  
+ = = 
 
 
Portanto, segue que 
2 2L 6x 180x 1350 6(x 15) .= − + = − − 
 
O lucro máximo ocorre para x 15= e é igual a 
R$ 1.350,00. 
 
Resposta da questão 15: [A] 
 
Desde que o gráfico intersecta o eixo x nos pontos de 
abscissa 5− e 5, e sendo (0,10) o vértice da parábola, 
temos 
 
2 210 a (0 0 0 25) a .
5
=  −  −  = − 
 
Portanto, segue que o resultado é 
 
2 22 2y (x 0 x 25) x 10.
5 5
= −  −  − = − + 
 
Resposta da questão 16: [E] 
 
A função dada será uma parábola com concavidade para 
baixo, crescente até o vértice e com duas raízes. Seu vértice 
tem coordenadas: 
v v
2
v v máx
b 3
x x
2a 2
3 4 ( 1) ( 1) 5
y y f (x)
4a 4a 4
= − → =
 −  −  −
= − = − → = =
 
 
Resposta da questão 17: [D] 
 
Sendo f(0) 2,= vem B (0, 2).= Ademais, como ABCD é 
um quadrado, temos D (2, 0).= Finalmente, como 
f(2) 6,= vem P (2, 6)= e, portanto, o resultado é 
2 22 6 40.+ = 
 
Resposta da questão 18: [D] 
 
Calculando: 
( ) ( )
2
2
2
Parábola Pontos 5, 0 e 4, 3
f(x) ax bx c
b 0 parábola simétrica ao eixo y
f(0) c H
0 a (5) H 0 25a H 1 25
3 9a a H
3 16a H 3 33 a (4) H

= + +
= 
= =
 =  + = +
  − =  = −  = 
− = − −=  +
 
 
Resposta da questão 19: [D] 
 
Seja x o número de reais cobrados a mais pelo 
cabeleireiro. Tem-se que a renda, r, obtida com os serviços 
realizados é dada por 
 
2
r(x) (10 x)(200 10x)
10x 100x 2.000.
= + −
= − + +
 
 
Em consequência, o número de reais cobrados a mais para 
que a renda seja máxima é 
100
5
2 ( 10)
− =
 −
 e, portanto, ele 
deverá cobrar por serviço o valor de 10 5 R$ 15,00.+ = 
 
Resposta da questão 20: [D] 
 
Sendo a temperatura máxima, máxT , igual a 
2
máx
(4,8)
T 28,8 C
4 ( 0,2)
= − = 
 −
 e U 35,= vem 
A
35 27 28,8
I 1,57.
20 10
−
= + = 
 
Desse modo, no horário da temperatura máxima, a 
condição de ocorrência de incêndio era provável, já que 
1 1,57 2.  
 
Resposta da questão 21: [C] 
 
O conjunto de valores de x para os quais a equação possui 
raízes reais é tal que 
 
2x 12x 35 0 (x 5)(x 7) 0
x 5 ou x 7.
− +   − − 
  
 
 
Desse modo, temos 
 
2 2
2
(x 13x 40)(x 13x 42)
0 (x 5)(x 6)(x 7)(x 8) 0
x 12x 35
x 8.
− + − +
=  − − − − =
− +
 =
 
 
Portanto, a equação é satisfeita por apenas um número 
real. 
 
Resposta da questão 22: [D] 
 
Calculando: 
 
( ) máx máx
2x 2y 100 x y 50
x 50 x S x y 25
x y S x y S
+ = + = 
   − =  = = 
 =  = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 23: [A] 
 
 
 
A soma das áreas hachuradas será: 
( )
( )
2 2 2
2
2
máx máx máx
x 3 (3 x) x 9 3x 8x 2x
S(x) x (4 x)
2 2 2
1
S(x) x 5x 9
2
5 4 ( 1) 91 61
S y S
2 4 ( 1) 8
 − + − + −
= + +  − =
=  − + +
− −  − 
= =  → =
 −
 
 
Resposta da questão 24: 
 a) Calculando: 
( ) 2externa externa
x y (y 2) (x 1) 35 x y 19 6 y 19 y 13
S 6 13 2 1 S 76 m
+ + − + − =  + =  + =  =
=  −   =
 
 
b) Calculando: 
2
máx máx
S(x) x y (2 1)
x y 19 y 19 x
S(x) x (19 x) 2 x 19x 2
19
x x 9,5 y 9,5
2 ( 1)
=  − 
+ =  = −
=  − − = − + −
=  =  =
 −
 
 
Resposta da questão 25: [C] 
 
Tem-se que y (x 3)(x 3),= − − + em que as raízes são 3− e 
3. Ademais, a parábola intersecta o eixo das ordenadas no 
ponto (0, 9). 
A resposta é dada por 
22 (3 ( 3)) 9 36 m .
3
 − −  = 
 
Resposta da questão 26: [A] 
 
O valor da ordenada do vértice da parábola será dado por: 
2
2
2
4
4a
4
4 1
16
4k 4 29 16
4k 100
k 25
k5
Δ
Δ
Δ
− =
− =

= −
−  = −
=
=
= 
 
 
Assim, o valor positivo do parâmetro k é 5. 
Resposta da questão 27: [D] 
 
Queremos calcular os valores de 2x e de 2y, de tal modo 
que a área A x y=  seja máxima e 40x 10y 5000,+ = isto 
é, y 500 4x.= − Daí, como A 4x(x 125)= − − atinge um 
máximo para 
0 125
x 62,5 m,
2
+
= = temos 
y 500 4 62,5 250= −  = e, portanto, segue que 
2x 125 m= e 2y 500 m.= 
 
Resposta da questão 28: [B] 
 
Queremos calcular o valor de t para o qual se tem 
f(t) 1600.= Logo, temos 
2 2
2
2t 120t 1600 t 60t 800
(t 30) 100
t 20 ou t 40.
− + =  − = −
 − =
 = =
 
 
Portanto, como o número de infectados alcança 1600 pela 
primeira vez no 20º dia, segue o resultado. 
 
Resposta da questão 29: 
 A medida do lado do triângulo equilátero é igual a 
6
2cm.
3
= Logo, sua altura é 
2 3
3 cm.
2

= Além disso, 
o retângulo de base x cm determina um triângulo 
equilátero de lado igual a xcm, com 0 x 2.  Por 
conseguinte, da semelhança dos triângulos equiláteros, 
vem 
x 3 y 2 ( 3 y)
x .
2 3 3
−  −
=  = 
 
A área, A, do retângulo é dada por 
2
A x y
2 ( 3 y)
y
3
3 2 3
y .
2 23
= 
 −
= 
 
= − − 
 
 
Desde que a área é máxima, temos 
3
y
2
= e x 1.= 
 
Resposta da questão 30: [B] 
 
Seja a medida do lado do triângulo. Logo, tem-se que 
 
2
2
Y P A
3
3
4
3
3 3 ( 2 3) .
4
= −
= −
= −  −
 
Portanto, para 2 3,= Y atinge o seu maior valor, ou 
seja, 3 3. 
 
 
Resposta da questão 31: [D] 
 
Adotando convenientemente um sistema de coordenadas 
cartesianas, considere a figura. 
 
 
 
Sejam A o ponto de lançamento do projétil e a função 
quadrática f : [ 20, 20] ,− → dada na forma canônica por 
2f(x) a (x m) k,=  − + com a, m, k e a 0. É 
imediato que m 0= e k 200.= Logo, sabendo que 
f(20) 0,= vem 
 
2 10 a 20 200 a .
2
=  +  = − 
 
Portanto, temos 
2x
f(x) 200
2
= − e, desse modo, segue 
que o resultado pedido é 
 
2( 10)
f( 10) 200 150 m.
2
−
− = − = 
 
Resposta da questão 32: 
 a) Queremos calcular o menor valor de t para o qual se 
tem C(t) 40.= Assim, temos 
 
2 20,05t 2t 25 40 (t 20) 100
t 10 h ou t 30 h.
− + + =  − =
 = =
 
 
A concentração do medicamento na corrente sanguínea 
de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez às 
11 10 21h+ = da segunda-feira. 
 
b) A concentração do medicamento na corrente sanguínea 
de Álvaro atingirá seu valor máximo após 
2
20
2 ( 0,05)
− =
 −
 horas. Portanto, o médico deverá 
prescrever a segunda dose para as 20 (24 11) 7− − = horas 
da terça-feira. 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 33: [D] 
 
Escrevendo a lei de T na forma canônica, vem 
 
= − + −
= − − +
= − − −
= − −
2
2
2
2
T(h) h 22h 85
(h 22h 85)
[(h 11) 36]
36 (h 11) .
 
 
Assim, a temperatura máxima é 36 C, ocorrendo às 11 
horas. Tal temperatura, segundo a tabela, é classificada 
como alta. 
 
Resposta da questão 34: [A] 
 
A receita r obtida com a venda dos pães é dada por 
r p(400 100p).= − Logo, queremos calcular o valor de p 
tal que r R$ 300,00 e a quantidade q seja máxima. 
Assim, temos 
2p(400 100p) 300 p 4p 3 0
1 p 3.
−   − + 
  
 
A quantidade q é máxima quando p é mínimo. Portanto, 
segue que p 1.= 
 
Resposta da questão 35: [A] 
 
Seja f : [0,10] [0,10],→ com 2f(x) ax bx c.= + + Desse 
modo, temos 
 
f(0) 0 c 0
f(5) 6 25a 5b 6
f(10) 10 100a 10b 10
1
a
25
7
b .
5
c 0
= =
=  + =
= + =
= −
 =
=
 
Portanto, segue que 2
1 7
f(x) x x.
25 5
= − + 
 
Resposta da questão 36: [C] 
 
A reta que passa por A e por B(3,0) tem equação 
y ax b,= + logo, 3 .3a a0 b b = −= + 
Então, y ax 3a,= − como a reta passa pelo ponto (p,q) 
temos que : 
 
2
2
p q p (ap 3a)
p q ap 3ap
9a
4,5 4,5 a 0 (não convém) ou a 2
4a 4.a
 =  −
 = −

= −  = −  = = −
 
 
Portanto, y 2x 6= − + e A(0,6) 
Portanto, 2 2AB (3 0) (0 6) 45 3 5.= − + − = = 
 
Resposta da questão 37: [D] 
 
Queremos calcular o valor de t para o qual se tem 
T(t) 39.= Desse modo, 
2 2t t
39 400 361
4 4
t 4 361
t 38min.
= − +  =
 = 
 =
 
 
Resposta da questão 38: [E] 
 
A abscissa do vértice da parábola 2
3
y x 6x C
2
= − + é igual 
a 
( 6)
2.
3
2
2
−
− =

 
 
Por outro lado, sabendo que o vértice da parábola pertence 
ao eixo das ordenadas, temos: 
 
2
v
3
( 6) 4 C
2y 0
34a
4
2
6C 36 0
C 6.
Δ
− −  
= −  = −

 − =
 =
 
 
Portanto, segue-se que o resultado pedido é 
f(0) C 6cm.= = 
 
Resposta da questão 39: [B] 
 
O domínio da função será a solução da seguinte inequação 
2
2
9 x
0.
x x 2
−

+ −
 
 
2 0 x 3 ou 39 x x= − = = − 
de 2 0 x 2 ou x 1x x 2 =  = −− =+ 
 
Estudando o sinal de 
2
2
9 x
,
x x 2
−
+ −
 temos: 
 
 
 
Resolvendo a inequação, temos: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/−3 ≤ 𝑥 < −2 𝑜𝑢 1 < 𝑥 ≤ 3} 
 
Resposta da questão 40: [B] 
 
[A] Verdadeira – A parábola intersecta o eixo x em dois 
pontos distintos. 
[B] Falsa – O vértice tem ordenada negativa. 
[C] Verdadeira – A parábola tem concavidade para cima. 
[D] Verdadeira – A parábola intersecta o eixo x nos pontos 
(0,0) e (3/2,0). 
 
Resposta da questão 41: [B] 
 
Queremos calcular BOB x .= 
Como a parábola de vértice C intersecta o eixo das 
ordenadas na origem, segue que a sua equação é 
2x 2x
y .
75 5
−
= + Logo, 
2
2
A
x 2x 1 1
y (x 30x) x (x 30) x 30.
75 5 75 75
−
= + = − − = −  −  = 
Por outro lado, se Dx 35= é a abscissa do vértice D, 
então: 
A B B
D B
x x 30 x
x 35 x 40.
2 2
+ +
=  =  = 
Por conseguinte, OB 40 m.= 
 
Resposta da questão 42: 
 12Δ = 
 
Resposta da questão 43: [B] 
 
0
2x
)1x)(1x)(3x(
0
2x
)1x()x3( 2

+
+−−

+
−− 
 
 
 
Os números naturais que pertencem ao conjunto solução 
da inequação são 1, 2 e 3. Portanto, 
.14321 222 =++ 
 
 
Resposta da questão 44: 3 m 
 
Resposta da questão 45: 10 m. 
 
Resposta da questão 46: [A] 
 
Resposta da questão 47: [E] 
 
Resposta da questão 48: [D] 
 
Resposta da questão 49: a) P (7, 24) b) x < 5; x≠ 1