Nota de aula de probabilidade

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MATEMÁTICA 
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Preparatório para Concursos Militares 
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PROBABILIDADES 
 
Experimento Aleatório 
 Todo experimento que, repetido em condições 
idênticas, pode apresentar diferentes resultados 
recebe o nome de experimento aleatório. A 
variabilidade de resultados deve-se ao acaso. São 
exemplos de experimentos aleatórios o lançamento de 
uma moeda, o lançamento de um dado, a extração de 
uma bola de uma urna que contém bolas de diferentes 
cores, etc. 
Espaço Amostral 
 Consideremos um experimento aleatório. O 
conjunto de todos os possíveis resultados desse 
experimento é chamado espaço amostral e indicado 
por A. Indicaremos o número de elementos de um 
espaço amostral por n(A). 
Exemplo 1: 
 Lançamos uma moeda honesta e observamos 
a face voltada para cima: 
A = {k, c}, Número de elementos n(A) = 2. 
Exemplo 2: 
 Uma urna contém cinco bolas vermelhas e 
quatro brancas. Duas bolas são extraídas, ao acaso, 
sucessivamente e sem reposição. Observamos a 
sequência de cores das bolas sorteadas. 
Possibilidades: 
 
Número de elementos n(A) = 4 
Evento 
 Consideremos um experimento aleatório cujo 
espaço amostral é n. Chamamos evento, e indicamos 
por E, a qualquer subconjunto de n. 
Exemplo 3: 
 Lançamos um dado e observamos o número 
da face voltada para cima. Vamos determinar os 
seguintes eventos: 
a) a ocorrência de um número ímpar. 
b) a ocorrência de um número maior ou igual a 4. 
Temos: n(A) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
a) a ocorrência de um número ímpar.  {1, 3, 5} 
b) a ocorrência de um número maior ou igual a 4. 
 {4, 5, 6} 
Evento Complementar 
 Consideremos um evento E relativo a um 
espaço amostral n. Chamamos evento complementar 
de E - indicado por E
C 
- ao evento que ocorre se, e 
somente se, E não ocorre. Observe o seguinte: 
 
Exemplo 4: 
 Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 
10. Retira-se, ao acaso, uma bola dessa urna. Se E é o 
evento "ocorre múltiplo de 3", vamos determinar E
C
: 
 
 
 
 
Probabilidade 
 Essa definição de probabilidade é intuitiva, isto 
é, a probabilidade de ocorrer determinado evento é 
dada pela razão entre o número de casos favoráveis 
(ou número de casos que nos interessam) e o número 
de casos possíveis (ou número total de casos). Assim: 
 
 
 
 
Exemplo 5: 
 Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 
15. Uma bola é extraída ao acaso da urna. Qual a 
probabilidade de ser sorteada uma bola com número 
maior ou igual a 11? 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01) Um dado é lançado e observa-se o número da 
face voltada para cima. Qual a probabilidade de esse 
número ser: 
a) menor que 3? 
b) maior ou igual a 3? 
 
02) Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. 
Qual a probabilidade de observarmos: 
a) Exatamente uma cara? 
b) no máximo duas caras? 
 
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03) Uma classe tem 20 meninos e 25 meninas. Deseja-
se formar uma comissão de cinco alunos para 
representantes de classe. Qual a probabilidade de essa 
comissão vir a ser formada exclusivamente por 
meninos? 
 
04) Escolhe-se, ao acaso, um dos anagramas da 
palavra XADREZ. Qual a probabilidade de a "palavra" 
escolhida começar por XA? 
 
05) Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma 
pesquisa sobre os hábitos alimentares dessa 
comunidade revelou que: 
• 25 pessoas consomem carnes e verduras; 
• 83 pessoas consomem verduras; 
• 39 pessoas consomem carnes. 
Uma pessoa da comunidade é escolhida ao acaso. Qual 
é a probabilidade de ela: 
a) consumir exclusivamente carnes? 
b) ter o hábito alimentar de não comer nem carne nem 
verduras? 
 
Probabilidade condicional 
A probabilidade condicional trata da 
probabilidade de ocorrer um evento A, tendo ocorrido 
um evento B, ambos do espaço amostral, ou seja, ela é 
calculada sobre o evento B e não em função o espaço 
amostral inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: 
Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a 
probabilidade de sair um ás vermelho sabendo que ela 
é de copas? 
 
 
Exemplo 7: 
Uma família planejou três crianças. Qual a 
probabilidade de que a família tenha 3 homens, já que 
a primeira criança que nasceu é homem? 
 
 
Eventos independentes 
Dois eventos A e B de um espaço amostral (com p(A) 
0 e p(B) 0) são independentes se e somente se 
p(A/B) = p(A), ou de modo equivalente: 
 
 
 
Exemplo 7: 
Consideremos uma cria de cachorros com 3 filhotes. 
Sejam os eventos A: obtenção de pelo menos dois 
machos e B: obtenção de pelo menos um de cada sexo. 
Os eventos são independentes? 
 
 
Exemplo 8: 
São realizados dois lançamentos sucessivos de um dado 
perfeito. Qual a probabilidade de ocorrer, nos dois 
casos o número 5? 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
06) Um experimento é composto de duas etapas: 
primeiro, uma moeda é lançada e, em seguida, um 
dado é lançado. Construa o espaço amostral 
correspondente a esse experimento. 
 
07) É realizado um sorteio para saber em que mês do 
ano se promoverá uma feira de móveis. Construa o 
espaço amostral relativo a esse experimento. 
 
08) Num museu, um visitante pode ouvir, num fone 
particular, uma gravação explicativa sobre as obras de 
arte que compõem o acervo. A gravação é feita em seis 
idiomas: inglês, francês, espanhol, alemão, italiano e 
japonês. Um turista visita o museu e escolhe um desses 
idiomas. Construa o espaço amostral correspondente a 
essa escolha. 
 
09) Uma urna contém três bolas vermelhas e uma 
bola branca. Retiramos, sucessivamente, duas bolas 
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dessa urna. Construa o espaço amostral 
correspondente, se a extração é feita: 
a) Com reposição; 
b) Sem reposição. 
 
10) Tem-se duas moedas, das quais uma é honesta (H) 
e a outra é "defeituosa" (D), pois apresenta duas 
coroas. Escolhe-se, ao acaso, uma moeda, e em seguida 
é feito o lançamento (e se observa a face voltada para 
cima). Construa o espaço amostral desse experimento. 
 
11) Um dado é lançado e se observa o número da face 
voltada para cima. Determine os seguintes eventos: 
a) Ocorre múltiplo de 2; 
b) Ocorre número primo. 
 
12) Uma moeda é lançada duas vezes, 
sucessivamente, e se observa a sequência de faces 
obtidas. Qual é o evento "ocorrem faces diferentes"? 
 
13) Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente, 
e anota-se a sequência de faces obtidas. Determine os 
eventos: 
a) Ocorre exatamente duas caras; 
b) Ocorre exatamente duas caras sucessivas. 
 
14) Um dado honesto é lançado e observa-se o 
número da face voltada para cima. Qual a 
probabilidade de esse número ser maior que 4? 
 
15) Uma urna contém 100 bolas numeradas de 1 a 
100. Uma bola é extraída ao acaso da urna, e seu 
número é observado. Qual a probabilidade de o 
número sorteado ser: 
a) Múltiplo de 12; 
b) Quadrado perfeito. 
 
16) Uma moeda é lançada duas vezes, 
sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos 
1 cara e 1 coroa? 
 
17) Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. 
Qual a probabilidade de observarmos pelos menos 
duas caras? 
 
18) Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. 
Qual a probabilidade de observarmos cara no segundo 
lançamento? 
 
19) Um anagrama da palavra BERMUDA é escolhido 
ao acaso. Qual a probabilidade de ele: 
a) começar pela letra B e terminar pela letra A? 
b) apresentar as letras BE juntas, em qualquer 
ordem? 
 
 
20) Dados asretas r, com 5 pontos marcados e a reta 
s, com 4 pontos marcados sobre elas, respectivamente. 
Escolhem-se, ao acaso, três pontos quaisquer entre os 
nove pontos dados. Unindo-se os pontos escolhidos, 
qual a probabilidade de esses pontos serem vértices de 
um triângulo? 
 
21) Numa classe de 55 alunos, 21 praticam vôlei e 
basquete, 39 praticam vôlei e 33 praticam basquete 
aluno da classe é escolhido ao acaso. Qual a 
probabilidade de o aluno escolhido praticar um e som 
um desses esportes? 
 
22) Um dado é lançado e observa-se o número da 
face voltada para cima. Determine a probabilidade de 
observarmos um número par ou múltiplo de 3. 
 
23) No lançamento de um dado, qual é a 
probabilidade de observarmos um número múltiplo de 
3 ou um quadrado perfeito? 
 
24) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual é 
a probabilidade de se obter soma dos pontos igual a 8 
ou dois números iguais? 
 
25) Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 
500. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. Qual é 
a probabilidade de que seja escolhida uma bola com 
um número de três algarismos ou um múltiplo de 10? 
 
26) A probabilidade de um cavalo vencer três ou 
menos corridas é de 58%; a probabilidade de ele 
vencer três ou mais corridas é de 71 %. Qual é a 
probabilidade de o cavalo vencer exatamente três 
corridas? 
 
27) (FGV-SP) Uma urna contém 50 bolinhas nume- 
radas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a 
probabilidade de que o número observado seja 
múltiplo de 8 é: 
a) 3/25 
b) 7/50 
c) 1/10 
d) 8/50 
e) 1/5 
 
28) (VUNESP) Um baralho consiste em 100 cartões 
numerados de 1 a 100. Retiram-se dois cartões ao 
acaso (sem reposição). A probabilidade de que a soma 
dos dois números dos cartões seja igual a 100 é: 
a) 49/4950 
b) 50/4950 
c) 1% 
d) 49/5000 
e) 51/4851 
 
29) (CESGRANRIO) Lançando-se um dado duas vezes, 
a probabilidade de ser obtido o par de valores 2 e 3, em 
qualquer ordem, é de: 
a) 1/6 
b) 1/9 
c) 1/12 
d) 1/15 
e) 1/18 
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