Combinatória - Lista de Exercícios (2)

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MÓDULO IV – De 15/06 a 29/06/2020 
Análise Combinatória – Lista de Exercícios 2 
 
A combinatória é um ramo da matemática que estuda coleções finitas de objetos 
que satisfaçam certos critérios específicos, e se preocupa, em particular, com a 
"contagem" de objetos nessas coleções (combinatória enumerativa) e com a decisão 
se certo objeto "ótimo" existe (combinatória extrema) e com estruturas "algébricas" que 
esses objetos possam ter (combinatória algébrica). 
 
 
 
O assunto ganhou notoriedade após a publicação de "Análise Combinatória" 
por Percy Alexander MacMahon em 1915. Um dos destacados combinatorialista dos 
últimos tempos foi Gian-Carlo Rota, que ajudou a formalizar o assunto a partir da década 
de 1960. O engenhoso Paul Erdos trabalhou principalmente em problemas extremos. O 
estudo de como contar os objetos é algumas vezes considerado separadamente como 
um campo da enumeração. 
Um exemplo de problema combinatório é o seguinte: Quantas ordenações são 
possíveis fazer com um baralho de 52 cartas? O número é igual a 52! (ou seja, 
"cinquenta e dois fatorial"), que é o produto de todos os números naturais de 1 até 52. 
Pode parecer surpreendente o quão enorme é esse número, cerca de 
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8,065817517094×1067. É algo maior que 8 seguido de 67 zeros. Comparando este 
número com alguns outros números grandes, ele é maior que o quadrado do Número de 
Avogadro, 6,022 × 1023, quantidade equivalente a um mol". 
Os exercícios a seguir são para praticar e aperfeiçoar suas habilidades 
em fatorial e princípio fundamental da contagem. 
 
1) (FUVEST) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos cada uma, que 
podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências possuem pelo menos 
três zeros em posições consecutivas? 
a) 3 b) 5 c) 8 d) 12 e) 16 
 
2) (VUNESP) De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 
1 verde, retiram-se, de uma vez 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem 
exatamente uma bola de cada cor? 
a) 120 b) 72 c) 24 d) 18 e) 12 
 
3) (FGV - SP) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 
5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de 
carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido? 
a) 90 b) 100 c) 110 d) 130 e) 120 
 
4) (ITA - SP) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os 
caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9? 
a) 60 b) 120 c) 240 d) 40 e) 80 
 
5) Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças 
diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um par de sapatos? 
a) 52 b) 86 c) 24 d) 32 e) 48 
 
6) (UFGO) No sistema de emplacamento de veículos que seria implantado em 1984, as placas 
deveriam ser iniciadas por 3 letras do nosso alfabeto. Caso o sistema fosse implantado, o número 
máximo possível de prefixos, usando-se somente vogais, seria: 
a) 20 b) 60 c) 120 d) 125 e) 243 
 
7) (CEFET-PR) Os números dos telefones da Região Metropolitana de Curitiba tem 7 algarismos 
cujo primeiro digito é 2. O número máximo de telefones que podem ser instalados é: 
a) 1 000 000 b) 2 000 000 c) 3 000 000 d) 6 000 000 e) 7 000 000 
 
8) (FATEC-SP) Quantos números distintos entre si e menores de 30 000 tem exatamente 5 
algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}? 
a) 90 b) 120 c) 180 d) 240 e) 300 
 
9) (FUVEST-SP) Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não tem 
algarismos adjacentes iguais? 
a) 59 b) 9. 84 c) 8. 94 d) 85 e) 95 
 
10) (GAMA FILHO-RJ) Quantos são os inteiros positivos, menores que 1 000 que tem seus dígitos 
pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}? 
a) 15 b) 23 c) 28 d) 39 e) 42 
 
11) (UECE) A quantidade de números inteiros compreendidos entre os números 1 000 e 4 500 que 
podemos formar utilizando os algarismos 1. 3. 4. 5 e 7 de modo que não figurem algarismos 
repetidos é: 
a) 48 b) 54 c) 60 d) 72 e) 144 
 
12) (UEPG-PR) Quantos números de pares, distintos, de quatro algarismos, podemos formar com 
os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4 sem os repetir? 
a) 156 b) 60 c) 6 d) 12 e) 216 
 
13) (FUVEST-SP) Sendo A = {2, 3, 5, 6, 9, 13} e , o número de 
elementos de b que são pares é: 
a) 5 b) 8 c) 10 d) 12 e) 13 
 
14) (PUC - SP) A expressão é igual a: 
a) n/2 
b) 
c) 
d) 1/n 
e) 
 
15) (FMABC - SP) Simplifique 
a) 101 103 b) 102! c) 100 000 
d) 101! e) 10 403 
 
16) (FMT - SP) Simplificando-se a expressão , obtém-se: 
a) 2 
b) (n+1). (n+2) 
c) n. (n+1). (n + 2) 
d) n. (n + 2) 
e) 
 
17) (PUC - SP) Se (n - 6)! = 720 então: 
a) n = 12 b) n = 11 c) n = 10 d) n = 13 e) n = 14 
 
18) Os valores de x que verificam a expressão são: 
a) 3 ou -6 b) 6 c) -3 ou 6 d) 3 e) -3 
 
19) (UFPA) Simplificando , obtém-se 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
20) O conjunto solução da equação é: 
a) {3, -3} b) {6, -6} c) {3, 6} 
d) {6} e) {3} 
 
21) (FDBEF - DF) Sendo , e tendo em vista que n > 0, o valor de n é: 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 9 
 
22) (PUC - PR) A soma das raízes da equação (5x - 7)! = 1 vale: 
a) 5 b) 7 c) 12 d) 3 e) 4 
 
23) (UEL - PR) Se o número natural n é tal que , então n é um número: 
a) menor que 3 
b) divisível por 5 
c) divisível por 2 
d) maior que 10 
e) múltiplo de 7 
 
24) (CEFET - PR) O valor de n para que é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
25) (FGV - SP) A expressão , é igual a: 
a) K3 
b) k3 (K - 1)! 
c) [(K-1)!]2 
d) (K!)2 
e) k3. [(K-1)!]2 
 
26) (FG - SP) vale, para n ≥ 2: 
a) n! 
b) (n+1)! 
c) (n-1)! 
d) (n+1)!(n-1)! 
e) nda 
 
27) (CEFET - PR) A expressão fatorada de , é: 
a) 1 
b) 
c) 
d) 3. (3n + 2) (3n + 1) 
 
e) 
 
28) (PUC - RS) A expressão (n - 1)! [(n+1)! - n!] equivale a: 
a) n! 
b) (n-1)! 
c) (n+1)! 
d) (n!)2 
e) [(n-1)!]2 
 
29) (UFCE) A soma e o produto das raízes da equação (x + 1)! = x! + 6x são: 
a) 
3 e 6 
b) 3 e 3 
c) 6 e 1 
d) 3 e 0 
 
Gabaritos 
1) C 2) C 3) E 4) B 5) E 6) D 
7) A 8) D 9) E 10) D 11) C 12) B 
13) C 
14) B 
15) E 
16) C 
17) A 
18) D 
19) D 
20) E 
21) B 
22) D 
23) C 
24) A 
25) B 
26) A 
27) D 
28) D 
29) D