1 ANO - MÓDULO 1

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Curitiba, 2022Curitiba, 2022
MATEMÁTICA
MATEMÁMÁTICACACACACACA E SUAAAAAASSSSSS TETETETTT CNNNNNNOLOGOGOGOGOGOGIASSSSSS
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Taís Ribeiro Drabik de Almeida
Carolina de Almeida Santos Pinotti
LI VRO DO PROFESSOR
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SUMÁRIO
 1. MATEMÁTICA BÁSICA......................... 5
Números e operações .................................... 6
Pensamento algébrico .................................. 15
 2. CONJUNTOS E FUNÇÕES .................... 23
Noção de conjunto e conceitos 
fundamentais ................................................... 24
Operações com conjuntos ........................... 32
Conjuntos numéricos ..................................... 45
Conceito de função ........................................ 55
Gráfico de uma função.................................. 62
Características das funções ........................ 69
Função composta ............................................ 76
Função inversa ................................................. 80
 3. FUNÇÃO AFIM ........................................ 91
Conceito de função afim .............................. 92
Gráfico da função afim ................................. 98
Taxa de variação ............................................. 105
Estudo do sinal da função afim ................. 107
 4. FUNÇÃO QUADRÁTICA ....................... 117
Conceito de função quadrática .................. 118
Gráfico da função quadrática ..................... 124
Zeros de uma função quadrática .............. 127
Vértice da parábola ........................................ 133
Inequações ........................................................ 151
Diretor-Geral Daniel Gonçalves Manaia Moreira
Diretor de Conteúdo Fabrício Cortezi de Abreu Moura
Gerente Editorial Júlio Röcker Neto
Gerente de Produção Editorial Cláudio Espósito Godoy
Coordenação Editorial Jeferson Freitas
Coordenação Editorial de Ensino Médio Milena dos Passos de Lima
Coordenação de Arte Flávia Vianna e Rafaelle Moraes
Coordenação de Iconografia Susan R. de Oliveira Mileski
Coordenação de Conteúdo Digital Karla Simon Franco
Autoria FGB
Taís Ribeiro Drabik de Almeida. Reformulação dos originais de 
Vanderlei Nemitz e Walderez Soares 
Autoria Livro de Atividades
Carolina de Almeida Santos Pinotti
Equipe editorial Cia. Bras. de Educação e Sistemas de Ensino S.A.
Projeto Gráfico Denise Meinhardt e Kely Copruchinski Bressan 
Imagens ©Shutterstock Africa Studio, Aleks Melnik, Alex Rockheart, Alex74, 
Alexander_P, Alfa Photostudio, All kind of people, Andy0man, Artur Balytskyi, Ava Bitter, 
Babich Alexander, Billion Photos, Bodor tivadar, Bogusana75, Bborriss.67, Canicula, 
Channarong Pherngjanda, Charles Whitefield, Ddok, Dean Drobot, Dotshock, Eivaisla, 
EKATERINA ZVYAGINTSEVA, Elnur, Evgeniy yatskov, Evgeny Turaev, File404, Fizkes, 
Flamingo Images, FocusStocker, Fran_kie, Freeda, GalapagosPhoto, GaudiLab, Grop, 
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GODBEHEAR, Martyshova Maria, Melok, MisterStock, Moopsi, Mtsaride, Myvisuals, Natalia 
Mikhalchuk, Olesia Misty, Ollyy, Orangevector, Ostill is franck camhi, Paulista, Prachaya 
Roekdeethaweesab, Pakhnyushchy, Prostock-studio, PV productions, Rainbow Black, 
Rangizzz, Rawpixel.com, Rohappy, Roman Samborskyi, Samuel Borges Photography, 
Subbotina Anna, Tatchai Mongkolthong, Vangelis_vassalakis, Veres Production, Veronica 
Louro, Viktoria Kurpas, Violetkaipa, Vipman, Wayhome Studio, Yuliya Derbisheva VLG e 
Ilustrações Todas as ilustrações presentes no livro são 
acompanhadas de crédito
Produção
Companhia Brasileira de Educação e Sistemas de Ensino S.A. 
Avenida Nossa Senhora Aparecida, 174 – Seminário 
80440-000 – Curitiba – PR 
Tel.: (0xx41) 3312-3500 
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Contato
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Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)
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2022 
© Copyright – Todos os direitos reservados à Companhia 
Brasileira de Educação e Sistemas de Ensino S.A.
A447 Almeida, Taís Ribeiro Drabik de.
 Conquista : Solução Educacional : ensino médio : formação 
geral básica : módulo 1 : matemática e suas tecnologias : 
matemática : funções I / Taís Ribeiro Drabik de Almeida e 
Carolina de Almeida Santos Pinotti. – Curitiba : Cia Bras. de 
Educação e Sistemas de Ensino, 2022.
 240 p. : il.
 ISBN 978-65-5984-192-9 (Livro do professor)
 1. Educação. 2. Ensino médio. 3. Matemática – Estudo e 
ensino. I. Pinotti, Carolina de Almeida Santos. II. Título.
CDD 370
Anotações
Calendário 
de provas
C l dá i
Datas
Importantes
Para
Lembrar
1
 Resolver expressões 
numéricas envolvendo 
números inteiros e racionais.
 Decompor números inteiros 
em fatores primos e extrair 
raízes quadradas por meio da 
decomposição.
 Usar expressões algébricas 
para representar situações- 
-problema e resolvê-las.
 Resolver problemas que 
envolvam a ideia de 
proporção.
 Calcular porcentagens por 
meio da proporcionalidade 
com ou sem o uso da 
calculadora. 
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
©Shutterstock/Andy0man/Olesia_o/Tetiana Rostopira
Dmitrij Plehanov/Fred Cardoso/Roman Samokhin/ 
Kanyapak Lim/Dimedrol68
DOBRE NA LINHA PONTILHADA
6 MATEMÁTICA• •
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Expressões numéricas
Rosa e Henrique foram a uma loja cujos 
produtos estavam em promoção. 
NÚMER
Expressões n
Rosa e Henrique fo
produtos estavam em
1
b)
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Henrique escolheu várias roupas e decidiu pagá-las 
causa da promoção, os clientes que derem um sinal 
Quanto Henrique pagou pelas roupas no total? 
de desconto em qualquer blusa. Ela escolheu uma 
e pagou as compras com cartão de crédito. Desse modo, 
ela não teve direito ao mesmo desconto que Henrique 
recebeu. 
Quanto Rosa gastou no total?
 
 
Com esses exemplos, podemos perceber 
que a ordem em que as operações são 
feitas é importante, e o uso de sinais 
como os parênteses nos ajuda a indicar 
quais operações devem ser realizadas em 
primeiro lugar. 
Para resolver as operações envolvidas 
em uma expressão numérica, devemos 
seguir esta ordem:
 • operações de potenciação e de 
radiciação;
 • operações de multiplicação e 
de divisão, na ordem em que 
aparecem da esquerda para a 
direita;
 • adições e subtrações, na ordem 
em que aparecem da esquerda 
para a direita.
Em expressões numéricas que 
apresentam parênteses, colchetes e 
chaves, devemos resolver primeiro as 
operações que estão entre parênteses, 
depois as que estão entre colchetes e, 
então, as que estão entre chaves. 
Observe que os cálculos 
que fizemos envolvem 
os mesmos números e 
as mesmas operações, 
mas os resultados 
obtidos são diferentes:
50 + 4 · 60 – 10 = 280
50 + 4 · (60 – 10) = 250
a)
6 3 15 25
36 3 225 5
12 45
57
2 2 : :
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A
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1. MATEMÁTICA BÁSICA 7• •
Operações com frações
Algumas expressões numéricas envolvem frações, 
númerosmistos ou números decimais. Vamos relembrar como 
realizar operações que envolvem esses tipos de números.
Para somar ou subtrair frações:
Se as frações têm denominadores iguais, 
adicionamos ou subtraímos os numeradores e 
conservamos os denominadores.
Se as frações têm denominadores diferentes, 
trocamos as frações dadas por frações 
equivalentes e com o mesmo denominador. 
Em seguida, adicionamos ou subtraímos os 
numeradores, conservando o denominador. 
Para multiplicar e dividir frações: 
EXEMPLOS RESOLVIDOS
a)
1
3
7
5
2
15
5
15
21
15
2
15
28
15
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b)
1
3
2
5
5
3
5
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6
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5
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5
3
11
15
25
15
14
15
��
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�
� � � ��
�
	
�
� � � � � � ��
Na multiplicação de frações, 
multiplicamos o numerador da 
primeira fração pelo numerador 
da segunda e o denominador 
da primeira fração pelo 
denominador da segunda.
Na divisão de frações, podemos 
multiplicar a primeira fração pelo 
inverso da segunda. 
Para calcular a potência ou a raiz de uma fração: 
EXEMPLOS RESOLVIDOS
a)
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 � �
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2
9
5
3
2 5
9 3
10
27
b)
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� ��
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15
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5
24

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EXEMPLOS RESOLVIDOS
a)
2
3
5
6
2
3
2
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8
27
5
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16 453 2 3
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24
54
53
54
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1 000
1
10
25
100
8
1 000
1
10
5
10
2
10
1
10
5 2 1
10
6
10
3
3
3
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Na potenciação de uma fração, 
elevamos o numerador e o 
denominador ao expoente da 
potência desejada.
a
b
a
b
p p
p
�
�
	
�
� �
Para extrair a raiz de uma fração, 
calculamos a raiz de mesmo 
índice do numerador e do 
denominador da fração.
a
b
a
b
n
n
n
 
c)
1
4
3
5
1
4
3
5
1
2
9
25
9
50
2 2
2

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8 MATEMÁTICA• •
Ao resolver 
expressões numéricas 
que envolvem 
frações, obedecemos 
às mesmas regras 
sobre a ordem das 
operações. 
Simplificação de frações
Para simplificar uma fração, dividimos o 
numerador e o denominador por um mesmo 
número natural diferente de zero.
Para facilitar 
os cálculos em 
uma expressão 
numérica, siga 
estas dicas:
• Se houver 
números mistos, 
transforme-os 
em frações 
impróprias antes 
de realizar as 
operações.
EXEMPLOS RESOLVIDOS
a)
2
1
5
1
2
3
11
5
5
3
33
15
25
15
8
15
� � � � � �
c)
� � � �� � � � � � � � � � ��
1
2
2 0 04
1
2
2
1
1
2
2
1
2
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0 5 2 0 0 2 1 3
4
100
, , , , ,
d)
1
3
5
7
5
0 5
1
1
3
5
7
5
1
2
5
5
3
5
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 ��
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�
, �� 
 ��
�
	
�
� � 
 �
14
10
5
10
2
5
19
10
38
50
• Se aparecerem números decimais e frações, 
transforme as frações em decimais dividindo o numerador pelo 
denominador ou os decimais em frações para ficar com todos os números escritos da mesma forma. 
EXEMPLOS RESOLVIDOS
a)
 
46
10
23
5
2
2
:
:
 ou podemos escrever assim: 
46
10
23
5
23
5
b)
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11
121
1
11
11
11
:
:
 ou assim: � � �
11
121
1
11
1
11
 
Na multiplicação de duas ou mais frações, podemos 
facilitar os cálculos ao simplificar as frações antes de efetuar a 
operação. Podemos simplificar o numerador de uma fração com 
o denominador de outra. 
b)
2
1
2
3
4
5
2
9
16
45
32
2

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�
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Essa simplificação entre frações somente 
pode ser feita quando a operação 
envolvida entre elas é a multiplicação. 
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mo 
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5
23
5
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1. MATEMÁTICA BÁSICA 9• •
M
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 4. Resolva estas expressões numéricas.
a) 
5
7
1
3
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b) 
7
8
1
2
3
4
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12
5
7
10
 
d) 
3
4
1
6
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ATIVIDADES
15 2 4 4 8 4
15 8 4 64 8 4
15 32 8 4
15 32 4
3 3� 
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( : )
( : )
( )
117 4 13� � � 
O aluno resolveu a subtração antes da multiplicação e, 
dentro dos parênteses, resolveu a subtração antes da 
divisão.
15-23 4+ (43 :8- 4)=
=15-8 4+ (64 :8- 4)=
=7 4+ (64 : 4)=
=28+16= 44
EXEMPLOS RESOLVIDOS
b)
7
15
9
14
3
5
1
5
3
2
5
3
1
1
1
2
1
1
1
2
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25
3
1
11
1

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a)
1
2
4
7
3
8
1
7
3
2
3
14

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 3. Um estudante cometeu erros ao resolver as 
expressões numéricas a seguir. Resolva as 
expressões e descubra os erros que ele cometeu. 
a) 15 2 4 4 8 4
3 3� 
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10 6 18 12 3 100
10 36 18 12 3 10
10 2 12 3 10
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( : )
( : )
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10 30 10
10 30 10
20 10 10
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( )
( )
 
Dentro dos parênteses, o aluno resolveu a subtração
antes da divisão e na mesma linha resolveu a adição 
antes da multiplicação. Duas linhas abaixo, resolveu a 
adição antes da multiplicação. 
10+ (62 :18-12) 3+ 100 =
=10+ (36:18-12) 3+10=
=10+ (36:6) 13=
=10+66 13=
=16 13=208
15
21
7
21
22
21
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7
8
4
8
6
8
3
8
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24
10
7
10
17
10
9
12
2
12
7
12
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b) 10 6 18 12 3 100
2� � 
 �( : )
 1. Resolva estas expressões numéricas. 
a) 2 10 4 3 2
3 2
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[ ( : )]
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8 10 4 3 4
8 10 12 4
8 10 3
8 13 104
[ ( : )]
[ ( : )]
[ ]
b) � � 
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5
( : ) [( ) ] 
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30 32 16 3 2
30 2 1
30 2 28
( : ) [( ) ]
[ ]
c) 6 6 3 5 16
2� 
 �( : ) 
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6 36 3 5 4
6 12 5 4
6 60 4
66 4 70
( : )
d) ( ) [ ( ) ]� � � � 
5 2 4 3 5
2 2
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25 2 16 3 5
25 2 13 5
25 2 65
25 63 38
[ ( ) ]
[ ]
[ ]
( )
 2. Determine o cubo do resultado da expressão 
5 25 3 81 6 2
3 4
: : � � � �� � � . 
5 25 3 81 6 2
125 5 81 9 6 2
25 9 6 2
25
3 4: � � � �� � � �
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( : ) ( : )
( )
33 2
28 2 30
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27 000
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10 MATEMÁTICA• •
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3
2
8
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2
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2
4
4
3
1
5 115
45
30
8
30
37
30
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6
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5
1
4
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3
5
1
6
7
5
1
2
30
30
18
30
5
30
14
10
5
10		
�
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� � � � � � � �
17
30
19
10
17
30
57
30
40
30
4
3
10
10
:
: 
 7. (OBMEP) A figura mostra uma reta numerada 
na qual estão marcados pontos igualmente 
espaçados. Os pontos A e B correspondem, 
respectivamente, aos números 
7
6
 e 
19
6
. Qual é 
o número que corresponde ao ponto C? 
 5. Calcule o resultado das multiplicações e 
divisões a seguir fazendo simplificações 
quando for possível. 
a) 
5
7
1
6

 � 
b) 
6
5
3
 � 
c) 3
5
4
3
 � 
d) 7
1
8
2
3

 
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e) 12 1
1
6
3
7

 
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1
6
3
4
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1
6
1
4
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5
27
5
9
: 
i) 
3
4
3
1
2
: 
j) 
7
40
21
8
: 
 6. Resolva as expressões simplificando os 
resultados quando possível. 
a) � � �
4
7
1
4
2 =
� � � � � � � � � � � �
4
7
1
2
2
1
8
14
7
14
28
14
15
14
28
14
13
14
b) 
4
3
1
3
2
5
1
5
2
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�
	
�
� � ��
�
	
�
� =
� � ��
�
	
�
� � � � � �
� � � �
4
3
5
15
6
15
1
25
4
3
11
15
1
25
100
75
55
75
3
75
42 3
75 3
:
:
��
14
25
 
a) 
1
6
b) 
1
3
c) 
1
2
X d) 
2
3
e) 1
5 1
7 6
5
42
�
6 3
5
18
5
�
17
4
3
17 3
4
51
4

 �
�
7 1 2
8 3
7
12
1
4

 
�
12
1
7
6
3
7
2 1 3
1 1 1
6
1
6
2 1
1 1

 
 �

 

 
� �
1
6
4
3
2
93
2

 �
13
6
1
4
13
6
4
1
26
33
2
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 �
1
3
1
1
5
27
9
5
1
3

 �
3
4
7
2
3
4
2
7
3
142
1
: � 
 �
1
5
1
3
7
40
8
21
1
15

 �
A BC
7
6
19
6
O cálculo do valor de C é dado pela expressão 7
6
19
6
7
6
4� ��
�
	
�
� : . 
Assim:
7
6
19
6
7
6
4
7
6
12
6
4
7
6
12
6
1
4
7
6
3
6
4
6
2
3
3
1
2
3
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A
T
1. MATEMÁTICA BÁSICA 11• •
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y 
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ie
th
oa
ly
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Números primos são todos os números naturais que têm apenas 
dois divisores distintos (o 1 e ele mesmo). Os números naturais que 
apresentam mais de dois divisores distintos são números compostos 
e podem ser escritos como um produto de números primos. 
Decomposição em fatores 
primos e cálculo de raízes
Os produtores de ovos costumam vendê-los em 
embalagens de uma dúzia. Dessa forma, no supermercado, 
você pode comprar, de uma vez, 12, 24, 36 ovos, e assim 
por diante. As grandes confeitarias compram caixas com 15 
dúzias, ou seja, 180 ovos de uma vez.
Os números 12, 24, 36 e 180 são múltiplos de 12. 
EXEMPLO RESOLVIDO
Ser múltiplo de um número é o mesmo que ser 
divisível por ele.
Um número natural é divisível por outro número 
natural não nulo quando a divisão do primeiro pelo 
segundo é exata (resto igual a zero).
Se um número natural é divisível por outro número 
natural, então o primeiro é múltiplo do segundo. 
Nem todos os números naturais têm um número tão grande de divisores como o 180. Há muitos que 
apresentam como divisores apenas o 1 e o próprio número, como o 5 e o 11, por exemplo. Eles são chamados 
de números primos.
O número 180 é múltiplo de 12, mas também 
é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 20, 30, 36, 
45, 60, 90 e do próprio 180. Todos esses números, 
junto com o 12, são os divisores de 180. 
Observação: 
o número 1 
não é primo nem 
composto. 
Decomposição em fatores primos 
Observe como escrever o número 90 como o produto de:
 dois fatores três fatores apenas fatores primos 
90 90 90
10 9 2 3 15 2 3 3 5
M
A
T
#m
ai
o
rp
ri
m
o
co
n
h
ec
id
o
12 2 2 3
50 2 5 5
55 5 11
� 
 
� 
 
� 
71 1 71
130 2 5 13
144 2 2 2 2 3 3
� 
� 
 
� 
 
 
 
 
( )é primo
Todo número composto pode ser decomposto 
em fatores primos. Essa decomposição é 
denominada fatoração do número. Fatorar 
um número significa escrevê-lo como um 
produto de fatores primos.
12 MATEMÁTICA• •
Cálculo de raízes por fatoração 
Sabemos que 82
número que, elevado ao quadrado, também resulte 
em 64? 
Veja: 
2 2
Por convenção, quando calculamos a raiz com 
índice par de um número, consideramos somente o 
número positivo. Dessa forma, nunca teremos raiz 
quadrada, quarta, sexta, etc., com resultado negativo. 
EXEMPLOS RESOLVIDOS
No conjunto dos números reais, não existe raiz 
quadrada de um número negativo, pois sabemos 
que 62 2
número real que, elevado ao quadrado, resulte em 
36 não 
existe. O mesmo ocorre para 
outras raízes com índice par. 
64 8 8� � ou 16 2 24 � � ou
Agora, se o sin
al 
estiver antes 
do radical, é 
diferente.
Veja: 
+ 36 = +6 ou 6 
e � � �36 6. 
Considere que todos os quadrados são formados 
as áreas desses quadrados como as medidas de seus 
lados são números naturais. 
Agora, veja como reconhecer se um número é 
quadrado perfeito ou não.
Vamos verificar se o número 484 é quadrado 
perfeito decompondo-o em fatores primos. 
Quando multiplicamos 
um número negativo por ele 
mesmo e depois novamente 
por ele, o resultado é um 
número negativo. Portanto, 
a raiz cúbica de um número 
negativo sempre existe, assim como as demais raízes 
de índice ímpar.
Os números naturais que expressam a área de 
quadrados são chamados de quadrados perfeitos. 
São números quadrados perfeitos:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...
484 2 2 11 11
22 211
� 
 
 
� ���
484 2
242 2
121 11
11 11
1
Depois de decompor 484 em fatores primos, 
agrupamos os fatores iguais na forma de potências. 
Note que os expoentes de todos os fatores são pares. 
Quando 
decompomos um 
número e obtemos 
apenas fatores com 
expoentes pares, 
dizemos que esse 
número é quadrado 
perfeito. 
Podemos usar 
essa decomposição 
para obter a raiz 
quadrada do 
número somente 
se o radicando for 
não negativo. 
EXEMPLO RESOLVIDO
1 296 2 3
1 296 2 3 2 3
2 3 4 9 36
4 4
4 4 4 2 4 22 2
2 2
� 
� 
 � 
 �
� 
 � 
 �
: ::
A raiz quadrada de um 
número quadrado perfeito 
é obtida dividindo por 2 
todos os expoentes de 
seus fatores e, em seguida, 
multiplicando os fatores 
resultantes.
Observe a sequência de quadrados a seguir.
EXEMPLOS RESOLVIDOS
( ) ( ) ( ) ( ) e� � � 
 � 
 � � � � � �8 8 8 8 512 512 83 3
M
A
T
1. MATEMÁTICA BÁSICA 13• •
 8. Verifique se os números a seguir são primos.
a) 197 É primo. 
b) 169 
c) 101 É primo. 
 9. Escreva os números como uma decomposição 
de fatores primos. 
a) 99 
b) 140 
c) 650 
d) 400 
e) 500 
f) 
 10. Por meio da decomposição em fatores primos, 
verifique se os números dados a seguir são 
quadrados perfeitos. 
 • 441
3 72 2 É quadrado perfeito, pois os expoentes dos fatores 
são pares.
 •
2 5 72 Não é quadrado perfeito, pois os expoentes de 2 e de 7 
são ímpares.
 • 784 
2 74 2 É quadrado perfeito, pois os expoentes dos fatores são 
pares.
 • 258 
2 3 43 Não é quadrado perfeito, pois os expoentes dos fatores
são ímpares.
 •
2 32 4 É quadrado perfeito, pois os expoentes dos fatores são 
pares.
 11. Escreva qual número inteiro representa a raiz 
quadrada do número 
a) 100 
b) 121. 11 
c) –49. Não existe raiz real. 
d) 70 
e) 900. 30 
f) 625. 25 
 12. Determine a raiz quadrada dos números a 
seguir utilizando a fatoração em números 
primos. 
a) 676 
b) 400 
c) 40 000 
d) 529 
e) 1 156 
f) 6 561 
 13. Conhecendo a área de cada quadrado, 
determine a medida de seu lado. 
Veja a sugestão de encaminhamento para 
as atividades 8 e 9 no Manual digital. 
Não é primo, pois pode ser escrito como 13 13.
3 3 11
2 2 5 7
2 5 5 13
2 2 2 2 5 5
2 2 5 5 5
2 2 5 5 13
a) 
 Medida do lado: 
b) 
 Medida do lado: 
c)
 Medida do lado: 
d) 
 Medida do lado: 
144 122m m
441 212m m
196 m =14 m2
576 242m m
144 m2
196 m2
441 m2
576 m2
ATIVIDADES
1 MATEMÁTICA BÁSICA 1
676 2 13 2 13 262 2� 
 � 
 �
400 2 5 2 5 4 5 204 2 2� 
 � 
 � 
 �
40000 2 5 2 5 8 25 2006 4 3 2� 
 � 
 � 
 �
529 23 232
1156 2 17 2 17 342 2� 
 � 
 �
6561 3 3 818 4
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Sh
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ck
/S
of
ia
v
14 MATEMÁTICA• •
3:33 3 3:3 13 3125 = 5 5 5 = 5 = 5 = 5 = 5
 14. 
obter um número real? Explique sua resposta.
Não, pois não existe um número real que elevado ao quadrado resulte 
em um número negativo. Por exemplo, (−10)2 = (−10) · (−10) = +100. 
 15. Calcule as raízes quando possível.
a) 0 81, = 0,9 
b) 
25
196
= 
c) 
64
169
= 
d) 0 16, = 
e) 
9
49
= Não existe raiz real. 
f) 
16
81
= 
g) 
225
256
= 
h) 0 04, = 
 16. Observe como Laura resolveu uma raiz cúbica. 
c) Usando a mesma ideia, como podemos 
calcular uma raiz quarta de um número 
não negativo? 
Se, ao decompor o radicando, obtemos todos os fatores com 
expoentes múltiplos de 4, dividimos os expoentes por 4 e 
determinamos a raiz multiplicando os fatores.
d) Calcule ( )5
3. 
e) Podemos dizer que � � �125 5
3 ? O que 
acontece quando o índice da raiz é um 
número ímpar e o sinal do radicando é 
negativo? 
radicando é negativo, a raiz existe e é negativa.
 17. Calcule as raízes a seguir. 
5
14
8
13
0 4,
4
9
15
16
0 2,
a) Verifique se 5 125
3 .
b) Explique com suas palavras por que a 
forma que Laura usou para calcular a raiz 
cúbica está correta. 
Como o índice da raiz é igual a 3 e o expoente do radicando é 
múltiplo de 3, Laura pode dividir por 3 o expoente e determinar 
a raiz.
5 5 5 25 5 125
 
 � 
 �
( ) ( ) ( ) ( )� 
 � 
 � � 
 � � �5 5 5 25 5 125
Sim, pois ( )� � �5 1253 . Se o índice da raiz é ímpar e o
Relembre aos alunos que algumas vezes a raiz de um número decimal 
pode ser obtida mais facilmente 
se ele for transformado em uma fração, como no exemplo abaixo.
14 MATEMÁTICA• •
Lembre-se de que um 
número decimal pode 
ser escrito n
a forma de 
fração. Isso 
pode ajudá-
-lo a extrair 
a raiz. 
� � � � ��
�
	
�
� � � � �0 008
8
1000
2
10
2
10
0 23 3
3
3, ,
 
a) 10003 = 10 
b) 10003 = –10 
c) 164 = 2 
d) 625
4 = 5 
e) 729
3 = –9 
f) 1
3 = –1 
g) 14 = 1 
h) 12964 = 6 
i) 8 0003 = 20 
j) 0 0083 , = –0,2 
k) 0 00014 , = 0,1 
l) 0 00164 , = 0,2 
M
A
T
1. MATEMÁTICA BÁSICA 15• •
Para calcular a área de um retângulo, utilizamos sempre o mesmo 
tipo de procedimento: multiplicamos a medida da largura pela medida 
do comprimento. Esse procedimento pode ser escrito na forma de uma 
expressão matemática com o uso de letras para indicar as medidas da 
área, do comprimento e da largura, que podem variar de um retângulo 
para outro.
PENSAMENTO ALGÉBRICO
Expressões algébricas
Como já vimos, as medidas dos retângulos podem variar, o que faz 
com que a área também seja diferente. Na expressão que representa a 
área do retângulo, as letras l e c são as variáveis. 
Portanto, a expressão 
algébrica utilizada para calcular 
a quantidade desse tecido 
comprada em metros quadrados 
pode ser escrita como 2 c. 
c pode assumir 
diversos valores, por isso dizemos 
que é uma variável.
Um cliente dessa loja 
2 de tecido. Usando 
uma equação, podemos descobrir 
o comprimento do tecido que ele 
comprou. Acompanhe: 
2 4 2
2 4
2
1 2,
,
,� � � � �
c c c
Uma expressão algébrica é uma 
expressão matemática que, além de 
usar números e sinais de operações, 
utiliza letras para representar números 
desconhecidos que variam. Essas letras 
são chamadas de variáveis.
EXEMPLO RESOLVIDO
Em uma loja, são 
vendidos tecidos de 
clientes compram 
pedaços retangulares 
com essa largura e 
comprimento variável.
Se um cliente 
comprimento desse 
tecido, a quantidade 
de tecido comprada, 
em metros quadrados, 
corresponde à área de um 
retângulo e pode ser calculada assim: 2 · 1 = 1. 
tecido será 2 · 3,5 = 7. 
Equações são igualdades 
que contêm expressões 
com um ou mais elementos 
desconhecidos, representados 
por letras. 
Na equação 2 4 2, � 
 c, existe 
somente um valor para c que a 
torna verdadeira. Dizemos que c é 
uma incógnita.
Por outro lado, suponha que 
2 de 
outro tecido. Usando as letras 
l para a largura e c para o 
comprimento, podemos escrever 
a seguinte equação: 12 � l 
c. 
Nesse caso, há mais de um 
valor para cada letra que torna a 
sentença verdadeira. Veja alguns:
12 0 5 24 12 24 0 5
12 1 12 12 12 1
12 2 6 12 6 2
12 4 3 12 3 4
� �
� �
� �
� �
, ,
 

 

 

 
Logo, as letras l e c são 
variáveis, pois há infinitas 
possibilidades para obter o 
produto igual a 12. 
o
Vamos adotar l para indicar 
a medida da largura e c para 
indicar a medida do comprimento. 
Assim, para calcular a medida da 
área de um retângulo, podemos 
escrever a seguinte expressão 
algébrica: l c.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/T
at
ia
na
 G
or
di
ev
sk
ai
a
16 MATEMÁTICA• •
 18. Escreva uma expressão algébrica que 
represente cada situação. 
a) Em uma quitanda, o preço do quilograma 
x quilogramas de limão? 
b)
cada hora que o veículo permanece no 
se um veículo permanecer t horas? 
c) Uma gestante está preparando o enxoval 
de seus trigêmeos. Ela terá que comprar 
o mesmo número f de fraldas para cada 
quantidade de fraldas a ser comprada no 
total? 
d) A área de um quadrado é igual à medida 
área de um quadrado de lado a?
e) A área de um triângulo é igual à metade do 
produto das medidas da base pela altura 
a área do triângulo de base b e altura h 
relativa a essa base? 
 19. Considere um número natural qualquer n. 
Escreva a expressão algébrica correspondente
a) ao sucessor desse número: 
b) ao dobro desse número: 
2n
c) ao antecessor desse número: 
n – 1
d) à metade do quíntuplo desse número: 
e) à diferença entre a terça parte desse 
número e o seu dobro:
 
 20. Escreva a expressão algébrica que represente 
cada resposta às seguintes situações. Considere 
o valor desconhecido como sendo x.
a)
quilogramas ela tem agora? 
x – 12
b) Em duas horas, o número de bactérias de 
de bactérias após essas duas horas? 
2x
c) Uma loja está vendendo todos os 
etiqueta. Por quanto está sendo vendido 
cada um dos produtos nessa loja? 
0,80x
 21. Em algumas equações, as letras podem 
representar variáveis quando existem 
diferentes valores que tornam a sentença 
verdadeira. Em outras, as letras representam 
uma incógnita, pois há somente um valor para 
satisfazer a igualdade. Escreva V nas equações 
em que y é uma variável e I naquelas em que y 
é uma incógnita. 
a) ( I ) 3 3y 
b) ( V ) x y2 
c) ( I ) 2 5� � �y 
d) ( I ) y
3
8� � 
e) ( V ) x y 
f) ( V ) y
x� � 
 �3 7 9 15 
g) ( I ) y 3 
h) ( I ) y � �5 3
2 
ATIVIDADES
4 50, x
4 9� 
 t
3f
a2
b h
2
n 1
5
2
n
n
n
3
2
Comente com os alunos que, neste momento, o mais importante é 
explorar a expressão algébrica. Assim, podemos considerar apenas 
horas cheias, por exemplo, se o carro ficar 1 h 15 min, usamos t = 2.
 • Nos casos em que a letra y representa uma 
variável, podemos atribuir a ela diferentes 
valores que tornam a igualdade verdadeira. 
Apresente pelo menos dois exemplos para 
cada uma das equações que você assinalou 
com V.
Sugestões de 
resposta:
b) x = 2y
10 = 2 · 5
e
6 = 2 · 3
e) x = y 
2,4 = 2,4
e 
11 = 11
f) y = 3x + 7 · 9 – 15
49 = 30 + 7 · 9 – 15
51 = 31 + 7 · 9 – 15
57 = 32 + 7 · 9 – 15
M
A
T
1. MATEMÁTICA BÁSICA 17• •
Regra de três 
Mauro é arquiteto e está 
desenhando o projeto de um 
significa que cada centímetro no 
no apartamento real, ou seja, a 
razão entre a medida na planta e 
a medida real é 
1
50
.
Na planta que ele está 
desenhando, um quarto mede 
1
50
, podemos calcular as medidas 
reais desse cômodo. 
Largura Comprimento 
3
150
1
50
cm
cm
5
250
1
50
cm
cm
Comparando as frações, podemos 
escrever que:
3
150
5
250
Com a medida real do quarto e a medida na planta, obtivemos 
uma proporção. Note que: 
3 250 5 150
750 750

 � 
��� ���
Em toda proporção, o produto dos 
extremos é igual ao produto dos meios. 
a
a
b
c
d
a d b c
Meios
Extremos
: b c : d� � � � 
 � 
� �		
 �						
Essa é a propriedade 
fundamental das 
proporções.
Podemos usar essa propriedade para calcular o elemento 
desconhecido de uma proporção quando conhecemos os outros três 
termos. Chamamos esse procedimento de regra de três. 
Quando falamos da escala de uma planta, estamos mostrando a 
relação entre duas grandezas: a medida do desenho e a medida real 
do apartamento. Essas grandezas se relacionam da seguinte forma: 
quando uma aumenta, a outra também aumenta na mesma razão, e 
quando uma diminui, a outra também diminui na mesma razão. 
EXEMPLO RESOLVIDO
Na proporção 
2
7
12
x
, aplicamos a propriedade 
fundamental das proporções para obter o valor de x.
2 7 12 2 84
84
2
42
 
x x x� � � � � �
 
Larg
Quando duas razões são iguais ou 
equivalentes, dizemos que elas 
formam uma proporção.
Quatro números racionais e 
diferentes de zero a, b, c e d, nessa 
ordem, são proporcionais quando:
a ou
a
b
c
d
Meios
Extremos
: b c : d
� �	
 �				
Lemos: a está para b assim como c 
está para d.
 • a, b, c e d são denominados 
termos da proporção;
 • b e c são os meios e a e d são os 
extremos. 
 • Nos casos em que y é uma incógnita, o valor de y é o único que torna a sentença verdadeira. 
Encontre esses valores para cada uma das equações que você assinalou com I.
a) 3y = 3 ⇒ y = 1
c) 2 + y = –5 ⇒ y = –7
d) y3 = –8 ⇒ y = –2
g) y = 3 ⇒ y = 9
h) y – 5 = 32 ⇒ y = 9 + 5 ⇒ y = 14
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/L
ov
Ar
t
18 MATEMÁTICA• •
No entanto, existem 
grandezas que se relacionam de 
maneira diferente.
de dinheiro será dividida 
igualmente entre um número 
p de pessoas e que cada uma 
receberá uma quantia q. Se o 
número p aumentar, cada pessoa 
receberá menos dinheiro.
Veja na tabela a seguir um 
exemplo para a quantia de 
p aumenta, q diminui, e se p 
diminui, q aumenta.
p q
1 4 300
2 8 150
3 10 120
4 12 100
EXEMPLO RESOLVIDO
Marcos vai fazer uma viagem para visitar os pais em 
outra cidade. Se for de ônibus, com uma velocidade média 
tempo durará a viagemse ele for de carro e mantiver a 
Solução 
v t são inversamente 
proporcionais, pois, quanto maior a velocidade, menor o 
tempo de viagem. 
v
v
t
t t
t
t
80
100
100
80
80
100 4 5
100 4 5 80
360
100
3 6
�
� � 
 � 
 � � �
,
, ,
 
Comparando as razões 
p
p
1
2
 e 
q
q
1
2
 dos valores na tabela, temos:
p
p
1
2
4
8
1
2
 
q
q
1
2
300
150
2
1
As razões 
p
p
1
2
 e 
q
q
1
2
 são 
inversas uma da outra, pois 
2
1
1
2
é fixo. Esse valor é chamado de 
constante de proporcionalidade. 
Para calcular um valor desconhecido em uma relação de 
proporcionalidade inversa, também podemos aplicar uma regra de três. 
Entretanto, como as razões são inversas, precisamos inverter uma das 
razões. 
Porcentagem 
Vamos conhecer duas maneiras diferentes de calcular a 
porcentagem de um número.
Método 1: usando uma proporção
A porcentagem pode ser representada como uma fração em que o 
20
20
100
%
 
135
135
100
%
 
5 2
5 2
100
52
1 000
, %
,
Assim, podemos trabalhar com ela da mesma forma que 
trabalhamos com uma razão, ou seja, usando a regra de três para 
calcular valores desconhecidos em uma proporção. 
estabelecer uma proporção entre as razões 
75
100
 e 
x
640
, em que x é o 
valor que desejamos calcular. Assim, ficamos com: 
75
100 640
x
. 
Quando duas grandezas variam sempre na razão inversa uma da outra, são 
denominadas grandezas inversamente proporcionais.
181818 MATMATEMÁEMÁTICITICAAA• •
constante de proporcionalidade
Quando duas grandezas variam 
sempre na mesma razão, 
são denominadas grandezas 
diretamente proporcionais. 
Soluçãççç o
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M
A
T
1. MATEMÁTICA BÁSICA 19• •
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 100 75 640
48 000
100
480
 � 
 � � �x x .
Método 2: usando um número decimal
Assim como podemos representar uma porcentagem na forma de fração, podemos representá-la como 
um número decimal.
35
35
100
0 35% ,
 
105
105
100
1 05% ,
 
2 4
2 4
100
24
1 000
0 024, %
,
,
0 35 1 400 490, 
 �
 22. Aplicando a propriedade fundamental das 
proporções, calcule o valor da incógnita em 
cada item.
a) As grandezas envolvidas são diretamente 
ou inversamente proporcionais? Explique 
sua resposta.
b)
se ela fizer 48 cadernos por dia?
 24. Para forrar as paredes de uma sala de visitas, 
necessárias para forrar as paredes dessa sala se 
ATIVIDADES
a) 
5 40
48x
 x = 6
b) 
y �
�
1
2
28
7
 y = 7
c) 
2 1
12
6
16
w �
� w = 2,75
d) 
m�
�
3
11
7
77
 m = –2
e) 
7
13
1
26
�
�a
 a = 13
f) 
0 5
5
4
10
, �
�
m
 m = 1,5
g) 
2
12
2
4
x
 x = 3
h) 
9
17
3
34
�
�y
 y = 21
i) 
c�
�
2
4 5
16
180,
 c = 2,4
j) 
x
x
�
�
1 12
11
 x = 11
k) 
� �
�
x
x
2
7
1
7
 x = 1
l) 
60
8
1
4
�
�b
 b = 29
 23. Liliana recebeu uma encomenda de 
fazer o mesmo número de cadernos por dia, 
ela organizou um quadro para distribuir o 
trabalho. 
Número de cadernos 
feitos por dia 
Dias necessários 
para preparar a 
encomenda 
6 8
Agora, você pode fazer as questões 
26 a 34 da seção Conquista Enem.
As grandezas devem ser escritas na mesma unidade. Analisando 
a situação, notamos que as grandezas são inversamente 
proporcionais. Temos:
x
x x
x x
40
45
100
100 40 45 100 1800
1800
100
18
�
� � �
� � �

 
Seriam necessárias 18 peças com 1 m de largura.
 25. Calcule as porcentagens indicadas e depois 
confira os resultados usando a calculadora. 
a) 450 
b) 410 
c) 105 
d) 30 
e) 267,3 
f) 0,432 
Esse método é 
bastante conveniente 
para ser utilizado em 
uma calculadora, pois 
reduz os cálculos a 
uma única operação. 
20 MATEMÁTICA• •
ORGANIZE AS IDEIAS
A seção Organize as ideias foi pensada para ajudar você em seus estudos. Mapas conceituais, quadros 
esquemáticos e resumos podem ser úteis na sistematização do conhecimento.
Neste capítulo, vamos relembrar alguns conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental e que serão 
bastante úteis durante o Ensino Médio. Vamos resumir as ideias mais importantes!
 • Sobre as operações com frações, complete as frases. 
 • Se as frações têm denominadores iguais , adicionamos ou subtraímos 
os numeradores e conservamos os denominadores .
 • Se as frações têm denominadores diferentes , trocamos as frações dadas por 
frações equivalentes e com o mesmo denominador. Em seguida, adicionamos ou 
subtraímos os numeradores , conservando o denominador .
 • Na multiplicação de frações, multiplicamos o numerador da primeira fração 
pelo numerador da segunda e o denominador da primeira 
fração pelo denominador da segunda.
 • Na divisão de frações, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da 
segunda.
 • Na potenciação de uma fração, elevamos o numerador e o denominador 
ao expoente da potência desejada.
 • Para extrair a raiz de uma fração, calculamos a raiz de mesmo índice do numerador 
e do denominador da fração.
Agora, escreva com suas palavras o que é um número primo. 
Sugestão de resposta: Um número natural que tem apenas dois divisores distintos, o 1 e ele mesmo.
Enuncie a propriedade fundamental das proporções. 
Sugestão de resposta: Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. a b c d
a
b
c
d
a d b c: :� � � � 
 � 
Em expressões numéricas que 
apresentam parênteses, colchetes 
e chaves, devemos resolver 
primeiro as operações que estão 
entre parênteses , 
seguidas das que estão 
entre colchetes 
e por último as que estão 
entre chaves .
Para resolvermos operações envolvidas em 
uma expressão numérica, devemos seguir 
uma ordem. Numere em ordem crescente 
conforme a prioridade das operações. 
( 2 ) Operações de multiplicação e de divisão, 
na ordem em que aparecem da esquerda 
para a direita. 
( 3 ) Adições e subtrações, na ordem em que 
aparecem da esquerda para a direita.
( 1 ) Operações de potenciação e de radiciação. 
Agora, complete 
as frases ao 
lado.
AAgAgAAAgororora,a,a ccccomomo plplpletetettteeee e
asas fffrararasesees ss aoao 
lalaaadoddo..
1. MATEMÁTICA BÁSICA 21• •
M
A
T
Todas as atividades desta seção devem ser 
resolvidas no caderno.
 26. ENEM O boliche é um esporte cujo objetivo é 
derrubar, com uma bola, uma série de pinos 
alinhados em uma pista. A professora de 
matemática organizou um jogo de boliche em 
que os pinos são garrafas que possuem rótulos 
com números, conforme mostra o esquema. 
 28. ENEM No tanque de um certo carro de passeio 
de combustível. Ao sair para uma viagem de 
de combustível estava exatamente sobre uma 
das marcas da escala divisória do medidor, 
conforme a figura a seguir. 
CONQUISTA ENEM
O aluno marca pontos de acordo com a soma 
das quantidades expressas nos rótulos das 
garrafas que são derrubadas. Se dois ou mais 
rótulos representam a mesma quantidade, 
apenas um deles entra na contagem dos 
jogada. Uma das garrafas que ele derrubou 
tinha o rótulo 6,8. 
A quantidade máxima de garrafas que ele 
derrubou para obter essa pontuação é igual a 
a)
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
X e) 6. 
 27. (OBM) Numa pesquisa sobre o grau de 
escolaridade, obtiveram-se os resultados 
expressos no gráfico abaixo: 
o total de pessoas que terminaram pelo menos 
o Ensino Fundamental? 
a) 1
17
b) 3
13
c) 5
16
d) 11
13
X e) 16
17 
Como o motorista conhece o percurso, sabe 
que existem, até a chegada a seu destino, cinco 
postos de abastecimento de combustível, 
que poderá percorrer até ser necessário 
reabastecer o veículo, de modo a não ficar sem 
combustível na estrada? 
a)
X b)
c)
d)
e)
 29. ENEM 
A ingestão de sódio no Brasil, que já é 
normalmente alta, tende a atingir os mais elevados 
índices no inverno, quando cresce o consumo de 
alimentos calóricos e condimentados. Mas, o salnão é um vilão, ele pode e deve ser consumido 
diariamente, salvo algumas restrições. Para uma 
pessoa saudável, o consumo máximo de sal de 
cozinha (cloreto de sódio) não deve ultrapassar 6 g 
diárias ou 2,4 g de sódio, considerando que o sal de 
cozinha é composto por 40% de sódio e 60% de 
cloro.
Disponível em: http://depoisdos25.com. Acesso em: 31 jul. 2012 (adaptado).
Considere uma pessoa saudável que, no 
cozinha. O seu consumo médio diário excede ao 
consumo máximo recomendado diariamente 
em
X a)
b)
c)
d)
e)
22
 30. ENEM Usando a capacidade máxima de carga 
do caminhão de uma loja de materiais de 
areia. No pedido de um cliente, foi solicitada 
de cal e a maior quantidade de latas de areia 
que fosse possível transportar, atingindo a 
capacidade máxima de carga do caminhão.
Nessas condições, qual a capacidade máxima 
de latas de areia que poderão ser enviadas ao 
cliente? 
a)
b)
X c)
d)
e)
 31. ENEM Um vaso decorativo quebrou e os donos 
vão encomendar outro para ser pintado com as 
mesmas características. Eles enviam uma foto 
original) para um artista. Para ver melhor os 
detalhes do vaso o artista solicita uma cópia 
impressa da foto com dimensões triplicadas em 
relação às dimensões da foto original. Na cópia 
impressa, o vaso quebrado tem uma altura de 
quebrado?
a)
b)
X c)
d)
e)
 32. ENEM Deseja-se comprar determinado produto 
e, após uma pesquisa de preços, o produto 
foi encontrado em 5 lojas diferentes, a preços 
variados.
 •
 •
 •
 •
 •
O produto foi comprado na loja que apresentou 
o menor preço total.
O produto foi adquirido na loja
X a)
b)
c) 3.
d) 4.
e) 5.
 33. ENEM Uma empresa divide o balanço anual 
de vendas de seus produtos em duas partes, 
calculando o número de vendas dos produtos 
ao final de cada semestre do ano. Após o 
balanço do primeiro semestre, foram realizadas 
menos vendidos da empresa. A tabela mostra 
a evolução das vendas desses produtos, do 
primeiro para o segundo semestre. 
Produto
Número de 
unidades 
vendidas 
no primeiro 
semestre
Número de 
unidades 
vendidas 
no segundo 
semestre
I
II
III
IV
V
produto é medido pelo aumento percentual do 
número de unidades vendidas desse produto, 
do primeiro para o segundo semestre.
para o produto 
X a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
 34. ENEM 
O Brasil é o quarto produtor mundial de 
alimentos e é também um dos campeões 
mundiais de desperdício. São produzidas por ano, 
aproximadamente, 150 milhões de toneladas de 
alimentos e, desse total, 
2
3
 são produtos de plantio. 
Em relação ao que se planta, 64% são perdidos 
ao longo da cadeia produtiva (20% perdidos na 
colheita, 8% no transporte e armazenamento, 15% 
na indústria de processamento, 1% no varejo e 
o restante no processamento culinário e hábitos 
alimentares). 
Disponível em: www.bancodealimentos.org.br. Acesso em: 1 ago. 
2012. 
O desperdício durante o processamento 
culinário e hábitos alimentares, em milhão de 
tonelada, é igual a 
X a)
b)
c) 56.
d) 64.
e) 96. 
MATEMÁTICA• •
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ststststststst
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S
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
 Conhecer e usar conceitos e 
símbolos básicos da teoria dos 
conjuntos. 
 Ler e interpretar conceitos 
apresentados de maneira 
formal, com o uso de 
linguagem matemática. 
 Reconhecer uma relação de 
dependência entre grandezas 
em representações algébricas 
e gráficas. 
 Compreender a definição 
matemática de função e 
alguns de seus conceitos 
fundamentais. 
 Reconhecer algumas 
características que 
diferenciam as funções. 
 Identificar e aplicar a 
operação de composição e 
calcular inversas de funções 
(quando possível). 
2DOBRE NA LINHA PONTILHADASS
24 MATEMÁTICA• •
2
NOÇÃO DE CONJUNTO E 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Aspectos gerais dos conjuntos
Em 2006, a União Astronômica Internacional atualizou a definição 
de planeta. Para que receba esse nome, um corpo celeste precisa 
satisfazer três condições:
 1ª. ) girar em órbita em torno de uma estrela;
 2ª. ) ter massa suficiente para que sua própria gravidade faça com que 
assuma uma forma próxima de uma esfera;
 3ª. ) ser o objeto dominante na vizinhança de sua órbita.
Com base nesses critérios, nosso Sistema Solar contém oito 
planetas: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e 
Netuno. Antes de serem estabelecidas essas condições, Plutão também 
era considerado um planeta, mas perdeu essa classificação porque 
sua órbita cruza com a de Netuno, que é o corpo celeste dominante 
na região de sua órbita. Assim, podemos dizer que o Sistema Solar 
apresenta um conjunto de oito planetas.
Em um conjunto, a ordem em que os elementos são 
apresentados não importa.
Além da listagem dos elementos, podemos representar um 
conjunto de outras maneiras:
 • por meio de uma propriedade comum a todos os elementos do 
conjunto;
 • por meio de um diagrama. 
Conjunto é uma coleção ou um 
grupo qualquer de objetos. Os 
objetos que formam essa coleção 
são denominados elementos do 
conjunto. 
Podemos representar 
alguns conjuntos dispondo 
seus elementos entre chaves 
e separados por vírgula ou 
ponto e vírgula. Utilizando 
conjunto dos planetas do 
Sistema Solar, temos a 
seguinte representação:
P = {Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno}
Se alterarmos a ordem dos elementos, colocando-os em ordem 
P = {Júpiter, Marte, Mercúrio, Netuno, Saturno, Terra, Urano, Vênus} 
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M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 25• •
algarismos do sistema decimal.
 • Pela listagem de seus elementos:
A � � �0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , , , , , ,
 • Por meio de uma propriedade comum a 
todos os elementos:
A = {x | x é um 
número natural menor 
do que 10} 
 • Por meio de um diagrama:
O diagrama ao lado é conhecido como 
diagrama de Venn. 
do Sistema Solar.
P = {Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno}
Júpiter P
Por outro lado, Plutão não é mais considerado um planeta, portanto 
Plutão P 
O símbolo | significa 
“tal que” ou “de 
modo que”. 
x tem a propriedade que caracteriza um 
x pertence
x A. Caso contrário, dizemos que o elemento x não pertence ao 
 A. 
Em 19 de julho de 2020, cinco planetas do Sistema Solar estiveram 
visíveis ao mesmo tempo no céu a olho nu: Mercúrio, Vênus, Marte, 
Júpiter e Saturno. Não é um fenômeno muito comum, pois a última vez 
em que isso ocorreu foi em 2016.
Podemos representar na forma de conjunto os planetas que foram 
visíveis juntos em 2016 e os que foram visíveis em 2020:
V2016 = {Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter, Saturno}
V2020 = {Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter, Saturno}
Observe que os planetas visíveis nos dois eventos foram os 
mesmos. Assim, os conjuntos V2016 e V2020 são iguais, pois têm os 
mesmos elementos.
V2016 = V2020
0
1
2
3
4
5 6
7 8
9
A
26 MATEMÁTICA• •
Tipos de conjuntos
Alguns dos planetas do Sistema Solar 
apresentam satélites naturais, ou luas. 
Observe na tabela a seguir o número de luas 
conhecidas de cada um deles até o momento. 
Um conjunto que tem um único elemento é 
denominado conjunto unitário.
Planeta Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter Saturno Urano Netuno
Quantidade de 
satélites
0 0 1 2 79 82 27 14
P
Se representarmos em um conjunto da forma Sx 
x 
pertencente ao Sistema Solar, teremos:
STerra = {Lua}
Esse conjunto tem apenas um elemento. Alguns 
conjuntos recebem denominações especiais de 
acordo com o respectivo número de elementos. 
Exemplos
a) O conjunto dos satélites naturais da Terra 
tem apenas um elemento.
b) 
naturais pares que também são primos é 
unitário: A � � �2 . 
Um conjunto que não tem elementoalgum 
é denominado conjunto vazio. 
Exemplos
a) Vênus, formado pelas luas do 
planeta Vênus, é vazio.
b) 
ímpares divisíveis por 2 é vazio, pois todo 
número divisível por 2 é par. 
Um conjunto vazio pode ser representado de 
duas formas: ou � � . Assim, � � ou � � � .
Outro conjunto notável é aquele formado por 
todos os elementos de determinada natureza, 
denominado conjunto universo, geralmente 
indicado por U. Ao estudarmos planetas, luas e 
outros corpos celestes, o conjunto universo nesse 
caso é naturalmente formado por todo o universo 
observável. Quando os conjuntos que estamos 
estudando são formados por números, o conjunto 
universo pode ser todo o conjunto dos números 
reais, ou apenas os inteiros ou os números naturais, 
dependendo do contexto trabalhado.
Em algumas situações, podemos até listar todos 
os elementos de um conjunto universo quando 
ele é suficientemente pequeno. Por exemplo, se 
estivermos estudando os algarismos do nosso 
sistema de numeração, o conjunto universo tem 
apenas dez elementos: U � � �0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , , , , , , .
Exemplpppppp os
Exemplpppp os
Por outro lado, como os conjuntos V2020 e P 
(conjunto de todos os planetas do Sistema Solar) 
não têm os mesmos elementos, então V P2020 . 
Note que, embora todos os elementos de V2020 
também sejam elementos de P, existem elementos 
de P que não são elementos de V2020. Assim: 
Dois conjuntos são iguais quando têm os 
mesmos elementos.
©
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 S
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A
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2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 27• •
FIQUE POR DENTRO
Astrônomos conseguem pela 1ª. vez imagem 
de exoplaneta com novo método
Pesquisadores detectaram um novo exoplaneta – nome dado a 
planetas que orbitam outras estrelas que não o Sol – chamado Beta 
Pictoris c usando um método diferente dos anteriores. 
Esses planetas longínquos costumam ser detectados na astronomia, 
em sua maior parte, por métodos diferentes da observação 
convencional, como cronometria de pulsares, astrometria e microlentes 
gravitacionais. 
O Beta Pictoris c, um gigante formado por gases nove vezes maior que 
Júpiter e que orbita a estrela Beta Pictoris, a 63 anos-luz da Terra, foi 
encontrado no ano passado com o método de velocidade radial. Este 
é o nome dado à medição de variações na velocidade com a qual a 
estrela se afasta ou se aproxima de nós. Também é conhecido como 
“método Doppler”. 
FONSECA, Fausto F. Astrônomos conseguem pela 1ª. vez imagem de exoplaneta com novo método. 
Disponível em: https://www.uol.com.br/tilt/noticias/redacao/2020/10/03/astronomos-registram-rara-
imagem-direta-de-exoplaneta-confira.htm. Acesso em: 18 jan. 2021.
Subconjuntos
No Sistema Solar, existem apenas oito planetas, 
mas em nossa galáxia, a Via Láctea, e no restante 
do Universo foram encontrados muitos outros. Os 
planetas que orbitam uma estrela que não seja o 
Sol recebem o nome de exoplanetas ou planetas 
extrassolares. Até julho de 2020, eram conhecidos 
Considerando o período de até julho de 2020, 
no diagrama a seguir podemos visualizar a relação 
entre o conjunto dos planetas conhecidos (P) e o 
conjunto dos planetas do Sistema Solar (S). 
subconjunto de P.
Dados dois conjuntos, A e B, dizemos 
que A é subconjunto de B se todos os 
elementos de A pertencerem também 
a B.
Simbolicamente, indicamos por A B 
e lemos “A está contido em B”.
Também dizemos que entre os 
conjuntos A e B existe uma relação de 
inclusão, pois todos os elementos de A 
estão incluídos em B. 
De modo geral, enunciamos: 
Beta Pictoris c
P
S
Exoplaneta 1
Exoplaneta 2
Exoplaneta 4 280
...
Júpiter
Urano
Netuno
SaturnoVênus
Terra
Marte
Mercúrio
B
A
©
Sh
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rs
to
ck
/A
st
ro
st
ar
28 MATEMÁTICA• •
 •
indicamos por A B��
 • 
elemento de C (nesse caso, o 10).
 • O conjunto M = {Recife, Curitiba, São Luís, Maceió, Salvador, Cuiabá} 
Nordeste. Existem elementos em M, Curitiba e Cuiabá, que não são 
elementos de N. Portanto, M N.
Considere as definições a seguir. 
 • Um triângulo é um polígono de três lados. 
 • Chama-se isósceles um triângulo que tem pelo menos dois de seus 
lados congruentes. 
 • Um triângulo é equilátero se apresenta os três lados congruentes. 
Se chamarmos de T o conjunto de todos triângulos, de I o conjunto 
de todos os triângulos isósceles e de E o conjunto de todos os triângulos 
equiláteros, então E I e I T, pois todo triângulo equilátero também é 
isósceles e todo triângulo isósceles também é um triângulo. Em diagramas, 
temos: 
Observações
 • Quando A B
B A.
 • O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, � � A
É possível mostrar que a última afirmação é verdadeira provando que sua negação é falsa. Para isso, 
precisamos apresentar um elemento x tal que ele pertença a e não pertença a A. No entanto, isso é 
impossível, pois o conjunto vazio não apresenta elemento algum. Portanto, como não é possível mostrar 
que � �� A, resta-nos admitir como verdadeiro que � � A, ou seja, que o conjunto vazio é subconjunto de 
qualquer outro conjunto. 
Veja a sugestão de encaminhamento no 
Manual digital.
Triângulo isóscelesTriângulo Triângulo equilátero
T
I
E
©
Shutterstock/Star_O
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 29• •
Por exemplo, o conjunto das partes do conjunto A � � �3 4 7, , é dado por:
A� � � � � � � � � � � � � � � � � �� �, , , , , , , , , , , ,3 4 7 3 4 3 7 4 7 3 4 7
Observe que os subconjuntos de A são formados por nenhum elemento (conjunto vazio), 
partes, os elementos são os subconjuntos de A. Portanto, podemos escrever, por exemplo, que:
3 3� � � �� �� � �A A
4 7 4 7, ,� � � �� �� � �A A
Observe que o conjunto das partes de A � � �3 4 7, , tem oito elementos. É possível mostrar 
que o número de elementos do conjunto das partes de um conjunto com n n. 
B � � �� � � �, , , tem 2 164
B� � �
� � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � �
, , , , ,
, , , , , , , , , , ,
� � � �
� � � � � � � � � � � � ,,
, , , , , , , , , , , ,
, , ,
� � � � � � � � � � � �
� � � �
� � � � � � � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
FIQUE POR DENTRO
Conjunto das partes de um conjunto 
Em Matemática, utilizamos o símbolo em uma implicação lógica de duas proposições. A relação 
p q pode ser lida de várias maneiras:
 • p implica q;
 • se p, então q;
 • p somente se q;
 • p é condição suficiente para q;
 • q é condição necessária para p.
Por exemplo, considere p q a proposição “um 
p q , pois todos os triângulos que satisfazem a proposição 
p também satisfazem a proposição q, já que todo triângulo equilátero também é um triângulo isósceles. 
Uma implicação lógica está relacionada com a relação de inclusão entre conjuntos. Sendo E o conjunto 
de todos os triângulos equiláteros e I o conjunto de todos os triângulos isósceles, temos E I. Assim, nesse 
exemplo, p q corresponde a E I.
conjunto das partes de A. Simbolicamente, indicamos o conjunto das partes de A por A� � . 
Veja a sugestão de encaminhamento no Manual digital.
30 MATEMÁTICA• •
 1. Escreva os elementos dos conjuntos a seguir, 
representados por uma propriedade. 
a) A = {x | x é um número natural e 2 < x < 8} 
A � � �3 4 5 6 7, , , ,
b) B = {x | x é um número inteiro e x �4}
B � � � � �� �4 3 2 1 0 1 2, , , , , , , ...
c) C = {x | x é um número natural divisor de 8} 
C �� �1 2 4 8, , ,
d) D = {x | x é um número inteiro e x2 = 9} 
x x ou x2 9 3 3� � � � �
Portanto, como x é um número inteiro, D � �� �3 3, .
e) E = {x | x é um número natural e múltiplo 
de 7} 
E �� �0 7 14 21 28 35, , , , , , ...
f) F = {x | x é um número natural divisor de 1} 
F � � �1
 2. Reescreva cada conjunto por meio de uma 
única propriedade comum a seus elementos. 
a) G � � � � � �� �6 7 8 9 10, , , , 
G = {x | x é um número inteiro e –11 < x < –5}
ou G = {x | x é um número inteiro e –10 ≤ x ≤ –6}
b) H � � �� �1 1, 
H = {x | x é um número inteiro e x2 = 1}
ou H = {x | x ≠ 0 e –1 ≤ x ≤ 1}
 3. Considere os conjuntos a seguir. 
A = conjunto dos númerosnaturais primos
B = conjunto dos números naturais ímpares
Assinale V para cada afirmação verdadeira e F 
para falsa.
ATIVIDADES
a) ( F ) 1 A
b) ( F ) 5 A
c) ( V ) 2 3 5 7, , ,� �� A
d) ( V ) 0 A
e) ( V ) 17 A
f) ( F ) A B
g) ( F ) B A
h) ( F ) 1 3 5, ,� ��B
i) ( V ) 2� �� A
j) ( V ) 0 B
 4. Considere os seguintes conjuntos:
R = conjunto de todos os retângulos;
L = conjunto de todos os losangos;
P = conjunto de todos os paralelogramos;
T = conjunto de todos os trapézios;
Q = conjunto de todos os quadriláteros.
A implicação lógica q p denomina-se recíproca da implicação p q. É importante observar que 
podemos ter p q verdadeira e q p falsa. No exemplo anterior, não é verdade que “um triângulo ser 
mas não necessariamente equiláteros. 
c) I�� �0 11 22 33 44 55 66, , , , , , ... 
I = {x | x é um número natural múltiplo de 11}
d) J �� �1 3 5 15, , , 
J = {x | x é um número natural divisor de 15}
e) K �� �2 3 5 7 11 13 17 19, , , , , , , 
K = {x | x é um número primo menor do que 20}
ou K = {x | x é um número primo e x ≤ 19}
f) L �� �10 8 6 4 2 0, , , , , 
L = {x | x é um número natural par menor ou igual a 10}
ou L = {x | x é múltiplo de 2 e x < 12}
Comente com os alunos que essas são apenas algumas opções 
entre as possíveis respostas.
USE ESTE ESPAÇO 
PARA ANOTAR O QUE 
APRENDEU ATÉ AQUI.
TOME NOTA!
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 31• •
 6. (UFLA – MG) Um modo prático e instrutivo de 
ilustrar as relações entre conjuntos é por meio 
dos chamados diagramas de linhas.
b) Seja x um quadrado. Localize no diagrama 
acima a posição do elemento x.
Se A é um subconjunto de 
B, A B, o diagrama é da forma
Se A B C
Uma outra forma de expressar tais relações 
é o diagrama de Venn. Nas opções abaixo, 
o diagrama de Venn está relacionado ao 
diagrama de linhas. 
Assinale a opção INCORRETA.
a)
X b)
O diagrama de linhas da alternativa b não se relaciona com o 
diagrama de Venn. Para que isso ocorresse, deveríamos inverter 
entre si os conjuntos C e D, ou no diagrama de Venn ou no 
diagrama de linhas.
 
B
A
C
A
B
c)
d)
e)
Se A B, A C, 
B C�� , C B��
C
A
B
Q
T
P
L
R
x A B
D
C
A B
D
C
A B
D
C
A B
D
C
A B
D
C
A B
D
C
A B
DC
A
B
D
C
A B
D
C
A
B
D
C
 5. Assinale V para os conjuntos vazios e U para os 
unitários. 
a) ( V ) M = {x | x é número natural e x < 0}
b) ( U ) M = {x | x é número natural e divisor 
de 1}
c) ( U ) M = {x | x é número natural primo e 
par}
d) ( V ) M = {x | x é número real e x2 = –1}
e) ( U ) M = {x | x é número natural e x2 = 25}
f) ( V ) M = {x | x é número natural e 
0,1 < x < 0,5}
a) No diagrama abaixo, identifique os 
conjuntos L, P, Q, R e T correspondentes. 
32 MATEMÁTICA• •
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
União e intersecção de conjuntos
As empresas que fabricam alimentos estão cada vez mais preocupadas em oferecer produtos saudáveis 
e seguros a seus clientes. As informações nutricionais nas embalagens são essenciais para que o consumidor 
faça melhores escolhas e garanta um equilíbrio alimentar.
Outra informação importante que obrigatoriamente deve estar 
no rótulo de um produto é sobre a presença de substâncias que 
possam causar alergia em algumas pessoas. O glúten, presente 
no trigo, na aveia, na cevada, no centeio e no malte (subproduto 
da cevada), é uma das substâncias que causam alergia em uma 
parcela cada vez maior da população, causando a doença celíaca. 
O selo gluten free indica os produtos seguros para quem é 
intolerante a essa substância. O único tratamento para essa doença 
é a adoção de uma dieta isenta de glúten.
Uma pequena padaria vai encomendar 
etiquetas para as embalagens de pães, 
indicando a presença de substâncias 
alergênicas. Para isso, o padeiro preencheu 
uma tabela que será usada como referência.
alergênicas (ou 
alérgenos): que 
provocam ou 
podem provocar 
alergia.
Pão de 
leite
Pão 
caseiro
Pão de 
batata
Pão de 
grãos
Pão 
integral
Pão low 
carb
Trigo X X X X X
Centeio X
Leite X X X
Ovos X X X X
Castanhas X
Modalidade de dieta 
que restringe a ingestão 
de carboidratos, 
muito utilizada 
para o tratamento 
da obesidade ou do 
diabetes. 
Os conjuntos de pães que contêm entre seus 
ingredientes ovos, trigo e castanhas são, respectivamente:
O = {pão de leite, pão caseiro, pão de batata, pão low carb}
T = {pão de leite, pão caseiro, pão de batata, pão de grãos, 
pão integral}
C = {pão de grãos}
As pessoas que são alérgicas a ovos e castanhas 
não podem comer os pães que pertencem ao seguinte 
conjunto:
A = {pão de leite, pão caseiro, pão de batata, pão low 
carb, pão de grãos}
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/S
te
ph
en
 B
ar
ne
s
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 33• •
Dados dois conjuntos A e B, denominamos união 
(ou reunião) de A e B o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A ou a B. Indicamos essa 
união por A B e lemos “A união B”.
A B x x A ou x B! � � �� �|
Em nosso cotidiano, quando dizemos uma frase 
como “Vou querer um suco de laranja ou de limão”, 
o conectivo “ou” é normalmente utilizado no sentido 
exclusivo, ou seja, indicando que apenas uma das 
coisas ocorrerá. 
Em Matemática, o conectivo “ou” é utilizado no 
sentido inclusivo, ou seja, indica que pelo menos 
uma das coisas ocorrerá, podendo ocorrer as duas.
pelos números naturais menores do que 20 que são 
ímpares ou múltiplos de 3 é:
A � � �0 1 5 6 7 11 12 13 17 18 193 9 15, , , , , , , , , , , , ,
Os elementos 3, 9 e 15, em destaque, são 
ímpares e são múltiplos de 3.
Acompanhe o próximo exemplo: dados os 
conjuntos A � � �2 3 4 5 6 7, , , , , e B � � �0 5 6 7 8 9, , , , , , 
qual é o conjunto A B?
B utilizando um diagrama de Venn: 
Observe os diagramas a seguir, nos quais a 
região correspondente a A B está colorida de 
amarelo: 
O conjunto A B é formado pelos elementos 
ou
Assim:
A B! � � �0 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , , , , ,
de O ou de C. Desse modo, podemos dizer que o 
união
FIQUE POR DENTRO
Importância da leitura do rótulo 
Por diversos fatores relacionados à realidade 
em que vivemos hoje, precisamos, muitas 
vezes, consumir alimentos processados 
industrialmente. Com isso, pessoas com 
alergia dependem das informações 
sobre alérgenos (substâncias capazes de 
desencadear uma reação alérgica) que 
deveriam estar claramente contidas nos 
rótulos dos produtos. Muitas vezes, a 
informação não vem de forma tão clara no 
rótulo do alimento pelo uso de denominação 
pouco acessível. Também não se alerta para 
a possibilidade de contaminação cruzada no 
processo de produção, com consequente 
risco de presença de traços de alérgenos, 
resquícios de ingredientes alergênicos que 
podem estar presentes em dado produto, 
apesar deste não conter essa substância em 
sua formulação. 
CARTILHA da alergia alimentar. Disponível em: https://alimentacaoemfoco.
org.br/wp-content/uploads/2016/11/Cartilha-da-alergia-alimentar-Poe-no-
rotulo.pdf. Acesso em: 19 jan. 2021. 
Como B A, 
então A B A! � .
Veja a sugestão de encaminhamento no Manual digital.
A B
3
2
4
0
8
9
5
7
6
BA
B
A
A B
34 MATEMÁTICA• •
Há também produtos que podem conter leite em sua composição. Alguns deles são:
Assim, é importante atentarmos aos ingredientes que compõem diversos alimentos, buscando-os no 
rótulo da embalagem.
Para quem tem alergia ao leite, por exemplo, é necessário verificar com cuidado a composição e a 
presença dos seguintes alimentos e ingredientes. 
 • albumina
 • livetina
 • gemada
 • grânulo
 • ovo em pó
 • sólidos de ovo
 • ovovitelina
 • fosvitina
 • ovomucoide
 • clara (egg white)
 • lipovitelina
 • merengue
 • lipoproteína de baixa densidade
 • maionese
 • ovotransferrina
 • plasma
 • gema (egg yolk)
 • vitelina
 • conalbumina
 •
 • globulina
 • lecitina
 • simplesse
 • ovalbumina
 • ovo de galinha
 • ovoglobulina
 • flavoproteína
 • ovomucina 
 • biscoitos e bolachas
 • pudim
 • sorvete
 • achocolatado
 • embutidos
 • bolos e tortas
 • pães
 • purê 
Jáquem tem alergia ao ovo deve ter cautela com os alimentos e ingredientes a seguir. 
 • soro de leite
 • caseína hidrolisada
 • queijos em geral
 • ghee (manteiga indiana)
 • leite sem ou com baixo teor de 
lactose
 • lactoglobulina
 • nougat
 • sabor ou aroma de manteiga, 
margarina, caramelo, baunilha, 
queijo, coco, que pode ser natural ou 
conter traços
 • requeijão
 • whey protein
 • caseinato de amônia
 • coalhada
 • gordura anidra de leite
 • leite em pó
 • petit-suisse
 • chantilly (pode conter caseinato)
 • traços de leite
 • composto lácteo
 • proteína láctea
 • caseinato de cálcio
 • manteiga
 • lactato
 • leite de cabra, ovelha
 • lactoferrina
 • nata
 • caseinato de magnésio
 • margarina que contenha leite
 • proteínas do soro
 • bebida láctea
 • fosfato de lactoalbumina
 • lactose (pode conter traços 
proteicos)
 • caseinato de potássio
 • leite condensado
 • molho branco e outros que tenham 
leite
 • leite fermentado
 • leitelho
 • caseína
 • caseinato de sódio
 • doce de leite
 • leite integral, semidesnatado ou 
desnatado
 • iogurte
 • lactoalbumina
 • chocolate
 • proteína do leite hidrolisada
 • creme de leite 
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
Al
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sa
nd
ro
 T
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zk
o.
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02
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 D
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ita
l.
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M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 35• •
Há também produtos que podem conter ovo em sua composição. Alguns deles são: 
 • biscoitos e bolachas
 • pudim
 • macarrão
 • pães
 • achocolatado
 • chocolate
 • bolos e tortas
Fonte: CARTILHA da alergia alimentar. Disponível em: https://alimentacaoemfoco.org.br/wp-content/uploads/2016/11/Cartilha-da-alergia-alimentar-Poe-
no-rotulo.pdf. Acesso em: 19 jan. 2021.
Com base nas informações anteriores, podemos construir alguns conjuntos. Um possível conjunto dos 
produtos que podem conter leite em sua composição é:
L = {biscoitos e bolachas, sorvete, achocolatado, bolos e tortas, pudim, pães, embutidos, purê}
Já um possível conjunto dos produtos que podem conter ovo em sua composição é:
O = {biscoitos e bolachas, macarrão, achocolatado, bolos e tortas, pudim, pães, chocolate}
Observe que existem elementos que pertencem aos dois conjuntos, isto é, que podem conter leite e ovo 
C = {biscoitos e bolachas, achocolatado, bolos e tortas, pudim, pães}
intersecção dos 
Observe os diagramas a seguir, nos quais a região correspondente a A B está colorida de amarelo: 
Dados dois conjuntos A e B, denominamos 
intersecção de A e B o conjunto formado 
pelos elementos que pertencem a A e a B. 
Indicamos essa intersecção por A B e 
lemos “A intersecção B”.
A B x x A e x B" � � �� �|
Como B A, então A B B" � .A B é a região colorida de amarelo. Quando os conjuntos não têm elementos em comum, 
escrevemos A B" �� e dizemos que os conjuntos 
A e B são disjuntos.
L
sorvete
embutidos
purê
macarrão
chocolate
biscoitos e bolachas
achocolatado
bolos e tortas
pudim
pães
O
L O
B
ABA A B
36 MATEMÁTICA• •
Dados dois conjuntos A e B, denominamos diferença de A e B o conjunto 
formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. 
Indicamos essa diferença por A B e lemos “A menos B”.
A B x x A e x B� � � #� �|
Diferença de conjuntos
Uma operadora de telefonia oferece aos clientes serviços para 
celular e para telefone fixo. Os moradores de um edifício estão sendo 
entrevistados sobre quais serviços usam para que seja criada uma 
proposta de serviços mais baratos para todos.
O edifício tem oito apartamentos: 101, 102, 201, 202, 301, 302, 
401 e 402. Os moradores dos apartamentos 301 e 401 usam apenas os 
serviços de celular dessa operadora. Os moradores dos apartamentos 
101, 102 e 402 usam apenas os serviços de telefone fixo. Nos 
apartamentos 201 e 302, são utilizados os dois serviços. O apartamento 
202 não é cliente dessa operadora.
Observe como fica a situação em um diagrama de Venn, em que o 
fixo, e o conjunto C, os que utilizam o serviço de celular da operadora. 
A operadora vai oferecer um desconto especial aos apartamentos que têm apenas o serviço de telefonia 
então, D = {101, 102, 402}.
Podemos também dizer que esse conjunto é a diferença
Considere os diagramas a seguir. 
Veja a sugestão de encaminhamento no Manual digital.
F C
101
402
102
301
401
201
302
202
F C
101
402
102
301
401
202
201
302
A B é a região colorida de amarelo, 
e B A, de verde.
BA
A B é a região colorida de 
amarelo. Como B A, não há 
elementos de B que pertençam 
apenas a B e, portanto, B A� ��. 
Perceba que A – B ≠ B – A. Isso 
significa que a diferença de dois 
conjuntos não é comutativa.
A
B
Os conjuntos não têm elementos em comum, ou 
seja, A B" ��. Desse modo, obtemos A B A� � 
e B A B� � .
A B
©Shutterstock/Evgeny Karandaev
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 37• •
 7. Dados os conjuntos A � � � �� �3 2 1 0 1 2 3, , , , , , , 
B�� �0 1 2 3 4, , , , e C � �� �1 2 3 4 5, , , , , determine: 
a) A B
A B! � � � �� �3 2 1 0 1 2 3 4, , , , , , ,
b) A B
A B" �� �0 1 2 3, , ,
c) A C
A C! � � � �� �3 2 1 0 1 2 3 4 5, , , , , , , ,
d) A C
A C" � �� �1 2 3, ,
e) B C
B C! � �� �1 0 1 2 3 4 5, , , , , ,
f) B C
B C" �� �2 3 4, ,
g) A B C
A B C! ! � � � �� �3 2 1 0 1 2 3 4 5, , , , , , , ,
h) A B C
A B C" " �� �2 3,
 8. Considere os seguintes conjuntos:
A = {x | x é número natural e múltiplo de 3}
B = {x | x é número natural e múltiplo de 4}
C = {x | x é número natural e múltiplo de 6}
O conjunto A B C é formado por todos os 
múltiplos não negativos de um número natural. 
Qual é esse número? 
ATIVIDADES
 9. Dado o conjunto X � � �� �3 1 0 1 3 4, , , , , , 
determine o conjunto Y que satisfaz as 
seguintes condições: 
$ ! � � � � � �� �
$ " � �� �
X Y
X Y
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
1 0 1
, , , , , , , , , ,
, ,
Como X Y! � � � � � �� �5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5, , , , , , , , , , , –5, –4, –2, 2 e 
5 são elementos de Y, pois não são elementos de X.
Como X Y" � �� �1 0 1, , , –1, 0 e 1 são elementos de Y.
Portanto, Y � � � � �� �5 4 2 1 0 1 2 5, , , , , , , .
 10. Considere os conjuntos P x y�� �2 3 4, , , , e 
Q x� �� �1 0 3 7, , , , . Sabendo que P Q" �� �0 3 6, , , 
determine:
a) P Q� � {2, 4} 
b) Q P� � {–1, 7} 
c) P Q! � {–1, 0, 2, 3, 4, 6, 7} 
d) x + y = 6 
e) x – 2 = 4 
 11. Represente nos diagramas os resultados das 
operações com os conjuntos A, B e C.
a) A B A C"� �! "� �
b) A B C�� �"
c) A B A C!� �" !� �
d) A B C A B C! !� �� " "� � 
A
B
�� �
�
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
0
, , , , , , , , , , , , , , , , , ...
, 44 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52
0 6 12 18 24
, , , , , , , , , , , , , ...
, , , , ,
� �
�C 330 36 42 48 54
0 12 24 36 48
, , , , , ...
, , , , , ...
� �
" " �� �A B C
Portanto, o conjunto A B C é formado pelos múltiplos não 
negativos de 12. 
O número 3 já aparece nos dois conjuntos, então não é x. 
Como 0 Q e não aparece em P, então x = 6 e y = 0.
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
USE ESTE ESPAÇO 
PARA ANOTAR O QUE 
APRENDEU ATÉ AQUI.
TOME NOTA!
38 MATEMÁTICA• •
2P
14 8
6
12
4
9
3
15
510R
S
Q
 12. Descreva a região pintada em cada diagrama 
por meio de operações com os conjuntos A, B e 
C. 
 13. Observe o diagrama a seguir.
Há diferentes respostas possíveis.
a) 
b) 
c) 
d) 
a) Descreva os conjuntos P, Q, R e S segundo 
suas propriedades. 
P = {x | x é um número natural par e 0 < x < 15}
Q = {x | x é um número natural múltiplo de 5 e 0 < x ≤ 15}
R = {x | x é um número natural múltiplo de 4 e 0 < x < 15}
S = {x | x é um número natural múltiplo de 3 e 0 < x ≤ 15}
b) Determine: 
 • P Q� �
{2, 4, 6, 8, 12, 14}
 • Q P� � 
{5, 15}
 • R Q! � 
{4, 5, 8, 10, 12, 15}
B – (A C) ou (B – A) (B – C)
(B C) – A ou (B – A) (C – A)
C – A
A B C
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 39• •
O texto a seguir fala sobre pertencimento. Depois da leitura, reúna-se com os colegas para discutir os 
itensapresentados ao final.
EMOÇÕES EM PAUTA 
O t
E
Eu escrevi e reescrevi esse texto inúmeras vezes. Pensei 
em falar da minha experiência de quando cheguei em 
São Paulo e não me sentia da cidade, ao mesmo tempo 
em que, quando eu voltava para a minha cidade natal 
nas férias, meus amigos e familiares faziam questão de 
apontar que eu não era de lá. Pensei em falar de como 
até hoje meu sotaque é uma mistura confusa e como 
todo mundo acaba comentando a mesma coisa: Nossa, 
mas seu sotaque é estranho, de onde você é? Depois, 
pensei em contar da minha experiência no último ano 
de colégio, quando já não me sentia mais àquele lugar. 
Ou de quando voltei para assistir o projeto de teatro 
no ano seguinte em que parei de ajudar e percebi que 
aquele não era mais o meu lugar. Também pensei em 
falar de como meus melhores amigos, de repente, 
pareceram estranhos pra mim. De como eu me sentia 
horrível perto deles, como se eu estivesse mentindo 
sobre quem eu era ou como se eles ignorassem a 
minha presença. Pensei em falar de como me senti 
abandonada, apesar de que, praticamente, quem 
abandonou eles fui eu – pois fui eu quem me afastei, 
por mais que eles me ligassem e me chamassem 
para sair, por mais que às vezes doesse vê-los juntos e 
felizes, enquanto eu estava tão afastada.
Tem dias que parece que eu sou mesmo da Terra de 
Ninguém, um lugar longínquo e triste. População? Eu. 
Mas sei que isso é apenas uma forma de tentar explicar 
esse sentimento abstrato (abstrato no sentido de sem 
nome, porque todos os sentimentos são abstratos, né) 
de não pertencer. E esse sentimento pode se dar de 
diversas formas. Como disse anteriormente, pode ser 
pela mudança literal de cidade, pode ser na sua relação 
com os amigos, com os familiares, pode ser seu jeito 
de pensar que parece diferente daqueles que estão a 
sua volta, pode ser sua aparência diferente das de com 
quem você convive ou mesmo os gostos e interesses. 
São milhares de coisas que podem te levar a se sentir 
assim não pertencente.
Mas depois de quase uma vida inteira me sentindo 
de lugar algum, o que percebi é que todo mundo se 
sente assim. Porque não pertencer não tem a ver com 
nada além do que a mudança. Todas as vezes que esse 
sentimento bateu forte em mim foram em momentos 
de grandes mudanças: quando fui morar em outra 
cidade, quando estava no último ano do colégio, 
quando passei a me interessar por assuntos diferentes 
dos meus amigos, etc., etc., etc. Aqui, na verdade, 
só dei exemplos mais concretos, mas todas as vezes 
que passei também por mudanças interiores, esse 
sentimento veio à tona (talvez, até muito mais do que 
quando foi algo mais palpável). Mas o que quero dizer 
é que a mudança é inevitável. Ela é o rumo natural das 
coisas e não adianta tentar se adiantar para derrotar o 
universo antes.
É como se você estivesse segurando um dente- 
-de-leão na sua mão. E, aflita, você pensa no que 
desejar para ele. Como se aquele seu sopro fosse 
definir todo o seu futuro, realizar todos os seus desejos. 
Mas, enquanto você pensa, o vento surpreende e 
sopra todo o seu futuro sem que antes você consiga 
pensar em qualquer coisa. Agora, você está apenas 
com aquele cabo verde e inútil nas mãos. Não adianta 
tentar voltar atrás, se esforçar para buscar todas as 
plumas – elas se foram ao vento, se espalharam pelo 
mundo. Primeiro, talvez, vem o desespero. O que fazer 
agora? Num momento, você tinha tudo em suas mãos; 
agora perdeu todas as suas chances. Então, você se 
apega ao caule, àquele passado. É quando, finalmente, 
você percebe: aquela ideia de futuro que já não cabe 
mais a você. Largue o caule no chão, ele não te serve 
pra nada. No céu, o sol brilha e esquenta o seu rosto. 
A brisa brinca com seus cabelos. E, dentro de si, algo 
cresce. Algo que não é sentimento: é você mesma. 
Você está inteira e é isso o que importa. O resto é 
consequência. Você está inteira e pertence ao mundo 
todo.
BROWNE, Clara. Sobre não pertencer. Capitolina, ano 1, n. 4, 14 jul. 2014. Disponível em: http://www.revistacapitolina.com.br/sobre-nao-pertencer/. Acesso em: 
22 jul. 2021.
 • Qual é a relação entre os conceitos matemáticos estudados e o texto que você leu? Pessoal. 
 • Descreva dois ou mais grupos aos quais você sente que pertence. Pessoal. 
 • Descreva dois momentos do texto em que a autora afirma não se sentir mais pertencente a um grupo 
ou uma situação. Veja comentários no Manual digital.
 • Você já teve os mesmos sentimentos que a autora expõe no texto? Descreva um grupo ou uma situação 
ao qual você acha que já não pertence mais. Pessoal. 
Veja a sugestão de encaminhamento no Manual digital.
©Shutterstock/Judson Castro
©Shutterstock/Diego Grandi
40 MATEMÁTICA• •
Rua e arquitetura da 
cidade de Gramado – RS
Jardim da cidade de Caldas 
Novas – GO
Número de elementos de um conjunto
Uma agência de turismo, 
especializada em clientes da 
terceira idade, tem em sua base o 
registro dos clientes:
 • 127 clientes já adquiriram 
o pacote para Caldas Novas 
(GO);
 • 215 clientes já compraram o 
pacote para Gramado (RS);
 • 75 são clientes novos 
que ainda não adquiriram 
nenhum pacote;
 • 66 clientes já viajaram para 
Gramado e Caldas Novas.
A agência quer enviar 
correspondências aos clientes 
oferecendo viagens ainda não 
realizadas, mas é preciso saber 
quantos deles ainda podem 
receber a propaganda de cada 
pacote. Como é possível resolver 
esse problema?
Sabemos que 215 clientes 
viajaram para Gramado e que 
66 deles são os que visitaram as 
duas cidades. Então, entre esses, 
os que não foram a Caldas Novas 
são 215 66 149� � .
Para saber a quantidade de 
clientes que foram somente a 
Caldas Novas, subtraímos de 
127 os 66 que já fizeram as duas 
viagens: 127 66 61� � .
Considere agora os conjuntos a seguir. 
G = conjunto dos clientes que já viajaram para Gramado; 
C = conjunto dos clientes que já viajaram para Caldas Novas; 
U = conjunto de todos os clientes da agência (universo).
Podemos representar as quantidades de elementos de cada 
conjunto por meio de um diagrama. 
n do total de 
clientes da agência:
n � � � � �149 66 61 75 351 
Na situação anterior, observe que:
n G C
n G
n C
n G C
n G C
!� � � � �
� � �
� � �
"� � �
�
�
�
�
�
�
�
� !� �
%
351 75 276
215
127
66 2776 215 127 66
��� �� � � ��� ��
� � � � � � � "� �
% % %
n G n C n G C
Existe uma fórmula que relaciona o número de elementos de A B, 
número de elementos de A B e os números de elementos de A e B. 
n A B n A n B n A B!� � � � �� � �� "� � Veja a sugestão de 
encaminhamento no 
Manual digital.
U
C
149 66 61
G
75
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 41• •
EXEMPLO RESOLVIDO
Em algumas situações que envolvem mais de dois conjuntos, precisamos calcular os números de 
elementos. Veremos como resolver um problema desse tipo. Acompanhe. 
(UDESC) O Festival de Dança de Joinville é considerado o maior do mundo pelo Guinness Book of 
Records de 2005. Desde 1998, este festival é realizado no Centreventos Cau Hansen, que tem capacidade 
houve uma noite exclusiva para cada uma das seguintes modalidades: ballet, dança de rua e jazz. A 
noite da dança de rua teve seus ingressos esgotados; na noite do jazz restaram 5% dos ingressos; e a 
noite do ballet teve 90% dos ingressos disponíveis vendidos. Sabe-se que algumas pessoas costumam 
prestigiar mais de uma noite do Festival. Neste ano, 700 pessoas assistiram à dança de rua e ao jazz; 
1 610 assistiram ao ballet e à dança de rua; 380 assistiram ao ballet e ao jazz e 105 prestigiaram as 
três modalidades de dança. Se todas as pessoas que adquiriram os ingressos do Festival assistiram à(s) 
apresentação(ões), então o número total de pessoas distintas que assistiu a pelo menos uma das três 
modalidades anteriormente mencionadas foi
a) 9 385 b) 9 070 c) 9 595 d) 6 275 e) 6 905
Solução
O número de pessoas que assistiram à dança de rua foi 4 200, pois 
teve seus ingressos esgotados. Como na noite do jazz restaram 5% dos 
ingressos,então 95% de 4 200, ou seja, 0,95 · 4 200 = 3 990 pessoas 
assistiram a essa modalidade. Na noite do balé, 0,90 · 4 200 = 3 780 
pessoas compareceram. Assim, podemos organizar os dados do enunciado 
na tabela ao lado.
Com base nessas informações, elaboramos um diagrama de Venn.
Inicialmente, indicamos no 
diagrama a quantidade de 
pessoas que prestigiaram 
as três modalidades.
Em seguida, as quantidades de pessoas que 
assistiram a exatamente duas modalidades.
Finalmente, 
indicamos as 
quantidades 
de pessoas 
que 
assistiram a 
somente uma 
modalidade.
Agora, podemos obter o número total N de pessoas que assistiram a pelo menos uma das três 
modalidades (uma modalidade ou mais). 
N � � � � � � � �1 995 3 015 1 895 595 275 1 505 105 9385
Portanto, a resposta da questão é a alternativa a.
Soluçãçç o
Dança de rua 4 200
Jazz 3 990
Balé 3 780
Dança de rua e jazz 700
Dança de rua e balé 1 610
Jazz e balé 380
Dança de rua, jazz e balé 105
aa
Pessoas que assistiram 
somente à dança de rua
Pessoas que assistiram à dança 
de rua e ao jazz, mas não ao balé
Pessoas que assistiram 
somente ao jazz
Pessoas que prestigiaram 
as três modalidades
Pessoas que assistiram ao jazz e 
ao balé, mas não à dança de rua
Pessoas que assistiram 
somente ao balé
Pessoas que assistiram à dança 
de rua e ao balé, mas não ao jazz
D J
B
D J
B
105
Inicialmente, indicamos no 
diagrama a quantidade de
700 – 105
D J
B
105
595
1 505 275
380 – 1051 610 – 105
D J
B
105
595
1 505 275
4 200 – 105 – 1 505 – 595 3 990 – 105 – 595 – 275
3 780 – 105 – 1 505 – 275
1 995 3 015
1 895
Em seguida, as quantidades de 
pessoas que assistiram a
42 MATEMÁTICA• •
 14. O departamento de marketing de um shopping 
center fez um levantamento entre as 245 lojas 
para saber em quais mídias sociais costumam 
realizar promoções. A pesquisa apontou que 
125 lojas utilizam a rede social A e 88 usam 
a rede social B. As lojas que anunciam suas 
promoções nas duas redes sociais são 65. 
Nessas condições, responda às questões. 
a) Quantas lojas utilizam apenas a rede 
social A?
b) Quantas lojas utilizam apenas a rede 
social B?
c) Quantas lojas anunciam suas promoções 
em apenas uma rede social?
d) Quantas lojas não anunciam suas 
promoções nessas redes sociais? 
Qual é a porcentagem de entrevistados que 
já experimentaram as duas modalidades de 
compras de alimentos pela internet? 
ATIVIDADES
Observe o diagrama. 
a) 60 lojas usam apenas a rede social A.
b) 23 lojas usam apenas a rede social B.
c) O número de lojas que usam apenas uma rede social é: 
60 + 23 = 83
d) O número de lojas que não usam essas redes sociais é: 
245 60 23 65 245 148 97� � � � � �( )
 15. Em um estudo sobre os hábitos de compra 
dos brasileiros, publicado em 2018, foram 
fazer compras de supermercado pela internet, 
obteve-se o gráfico a seguir. 
Fonte: MINDMINERS. A geladeira do brasileiro. 2018.
Você já fez compras de supermercado (alimentos e 
bebidas) pela internet? (Não incluem refeições prontas de 
restaurante.) 
Sim, pelo site do supermercado. 12%
Sim, por aplicativos de entrega. 6% 
Não, nunca fiz. 84%
Sendo x o percentual de entrevistados que já experimentaram as 
duas modalidades de compras de alimentos pela internet, temos:
12 6 84 100
2
% % % %
%
�� � � � �� � � �
�
x x x
x
 16. (PUC-Rio – RJ) Em uma pesquisa, constatou-se 
que, das 345 pessoas de um determinado local, 
195 jogavam tênis, 105 jogavam tênis e vôlei, 
e 80 não jogavam nem vôlei nem tênis. Qual é 
o número de pessoas que jogavam vôlei e não 
jogavam tênis? 
X a) 70
b) 75
c) 105
d) 180
e) 195 
Vamos considerar x o número de pessoas pedido. Como o total de 
pessoas é 345, temos:
90 105 80 345
70
� � � �
�
x
x
Portanto, o número de pessoas que jogavam vôlei e não jogavam 
tênis é 70. 
245
A B
65
125 – 65
2360
88 – 65
S A
x
12%
84%
6%
T V
x80 90 105
195 – 105
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 43• •
 17. Com relação a três conjuntos finitos A, B e C, 
sabe-se que:
 • o número de elementos de A B é 22;
 • o número de elementos de B C é 18;
 • o número de elementos de A B C é 7. 
Calcule o número de elementos de A C B!� �" . 
Observe o diagrama. 
A região destacada na figura a seguir corresponde a A C B!� �" .
Portanto, n A C B!� �"&' () � � � �15 7 11 33. 
 18. (UEL – PR) Um grupo de estudantes resolveu 
fazer uma pesquisa sobre as preferências dos 
alunos quanto ao cardápio do Restaurante 
Universitário. Nove alunos optaram somente 
por carne de frango, 3 somente por peixes, 
7 por carne bovina e frango, 9 por peixe e 
carne bovina e 4 pelos três tipos de carne. 
Considerando que 20 alunos manifestaram- 
-se vegetarianos, 36 não optaram por carne 
bovina e 42 não optaram por peixe, assinale a 
alternativa que apresenta o número de alunos 
entrevistados. 
a) 38
b) 42
X c) 58
d) 62
e) 78 
O número de alunos entrevistados é 
9 3 10 4 5 3 4 20 58� � � � � � � � .
 19. (UNITINS – TO) Uma pesquisa realizada 
entre 3 400 alunos de uma escola revelou 
que exatamente 17% praticam futebol, 22% 
praticam basquete e 8% praticam basquete 
e futebol. A soma dos alunos que praticam 
futebol com os alunos que não praticam 
nenhum dos dois esportes é: 
a)
b)
c)
d)
X e)
De acordo com o enunciado, temos:
17% – 8% = 9% praticam apenas futebol.
22% – 8% = 14% praticam apenas basquete.
100% – 9% – 8% – 14% = 69% não praticam nem futebol nem 
basquete.
Observe o diagrama. 
O percentual dos alunos que praticam futebol ou não praticam 
nenhum dos dois esportes é 9% + 8% + 69% = 86% de 3 400.
Assim:
86 3400 0 86 3400 2924% ,de � 
 �
Agora, você pode fazer as questões 
74 a 77 da seção Conquista Enem.
15
A B
C
A B
C
7
11
22 – 7
18 – 7
4
PF
B
3
4
9
53
10
20
F
14% 69%9% 8%
B
44 MATEMÁTICA• •
Nesta seção, vamos explorar possíveis equívocos que podem nos induzir a marcar alternativas incorretas 
em uma prova. Acompanhe. 
A B 
a) pelo menos uma pessoa leu os dois livros.
b) nenhuma pessoa leu os dois livros.
c) pelo menos uma pessoa não leu nenhum dos dois livros.
d) todas as pessoas leram pelo menos um dos dois livros.
Certa candidata, ao se deparar com essa questão, pediu sua anulação, pois, segundo ela, existem duas 
alternativas corretas. Seu raciocínio foi:
ANÁLISE DO ERRO
Onde está o equívoco no raciocínio dessa candidata?
Solução 
O equívoco foi pensar que não é possível uma pessoa ter lido os livros 
A e B apenas com a informação de que essa pessoa leu A (ou B).
Vamos organizar em um diagrama de Venn as informações do enunciado, no qual x representa o 
número de pessoas que leram os dois livros e y as que não leram nenhum.
Como no grupo há 10 pessoas, temos:
5 4 10 9 10 1� � � � � � � � � � � � �x x x y x y y x
Ou seja, se x pessoas leram os dois livros, o número das que 
analisar as alternativas.
a) pelo menos uma pessoa leu os dois livros.
Uma das possibilidades para x é que seja igual a 0. Nesse caso, nenhuma pessoa teria lido os dois 
livros, o que é possível. A alternativa é incorreta.
b) nenhuma pessoa leu os dois livros.
Observe no diagrama que x pode ser 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4. Portanto, é possível que até 4 pessoas 
tenham lido os dois livros. A alternativa é incorreta.
c) pelo menos uma pessoa não leu nenhum dos dois livros.
Como y x� � 1, y é no mínimo igual a 1, que se dá quando x 0. Portanto, pelo menos uma pessoa 
não leu nenhum dos dois livros. Essa é a alternativa correta. Vamos investigar por que a próxima é 
incorreta. 
d) todas as pessoas leram pelo menos um dos dois livros.
Como pelo menos uma pessoa não leu nenhum dos dois livros, nem todas as pessoas leram pelo 
menos um dos dois livros. Assim, a alternativa é incorreta.
c .
Soluçãç o
c 
alternativas corretas. Seu raciocínio foi:
 
C
 
A
5 – x
B
4 – xx
y
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/D
ea
n 
Dr
ob
ot
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 45• •
O asterisco (*
) indica 
que o elemento 0 
(zero) foi su
primido 
do conjunto. Portanto, 
* � � � �0 .
CONJUNTOSNUMÉRICOS
No Ensino Fundamental, você já estudou alguns 
conjuntos numéricos. Vamos relembrá-los.
Conjunto dos números 
naturais ( )
Os números naturais foram provavelmente os 
primeiros a serem utilizados durante a Antiguidade, 
possivelmente pela necessidade que o ser humano 
tinha de contar e comparar quantidades. 
O conjunto dos números naturais é infinito 
e representado por:
�� �0 1 2 3 4 5, , , , , , ...
O subconjunto do conjunto dos números 
naturais não nulos (sem o zero) é representado por 
* , , , , , ...� � �1 2 3 4 5 . 
Podemos representar os números naturais 
é associada ao número zero (origem). Depois, 
escolhemos uma medida unitária e marcamos, a 
quatro, cinco, etc. unidades:
 0 1 2 3 4 5
Conjunto dos números 
inteiros ( )
Com a evolução das sociedades e o 
desenvolvimento do comércio, surgiram situações 
que apontavam a necessidade da ampliação dos 
números conhecidos. Entre essas necessidades, 
estava a de expressar valores menores do que zero. 
Isso se dava pela situação a seguir, que era bem 
comum. 
Ao contabilizar as despesas de sua loja, um 
5 3 2� � �
Já outro comerciante, ao contabilizar as despesas 
3 5 2� � � #
Diante desse e de outros contextos, houve a 
necessidade de um novo conjunto numérico – o 
conjunto dos números inteiros. 
O conjunto dos números inteiros é infinito e 
representado por:
� � � � � �� �..., , , , , , , , , , , , ...5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
O conjunto dos números 
inteiros é representado 
pela letra , 
provavelmente por ser 
a inicial da palavra 
Zahl, que, em alemão, 
significa “número”. 
Os números inteiros podem ser representados 
em uma reta orientada (reta numérica). A um 
direita desse ponto, da mesma forma como fizemos 
para a representação do conjunto , tomamos uma 
unidade de medida e construímos os números 
inteiros positivos 1, 2, 3...; à esquerda de O, tomamos 
os números simétricos aos inteiros positivos em 
relação à origem. Esses números são os inteiros 
negativos (–1, –2, –3 e assim por diante). 
0 1 2 3–1–2–3
Números opostos ou simétricos
46 MATEMÁTICA• •
Como o conjunto dos números inteiros é formado pelos 
números naturais e seus opostos, então é um subconjunto de . 
� 
Conjunto dos números racionais ( ) 
O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma 
p
q
, 
em que p e q * .
� 
 
� � � �
�
�
�
�
�
�
x x
p
q
p e q| , *
A razão 
p
q
 não é definida para q 0 , pois uma divisão por zero não faz sentido. 
Como um número racional é resultado do quociente entre dois números inteiros, este pode ser um 
número inteiro, um decimal finito ou, ainda, um decimal infinito e periódico (dízima periódica). Observe 
alguns exemplos.
4
1
4
 
3
2
1 5,
 
� � �
1
5
0 2,
 
2
9
0 222, ...
 
0
6
0
Note que, sempre que escrevemos um número racional na forma fracionária com denominador 1, estamos 
representando um número inteiro.
Como todo número inteiro é racional, então é um 
subconjunto de .

 �
Observação:
� 

 �
� �Logo, .
Os números racionais também podem ser representados em uma reta numérica. 
Sabemos que uma reta se constitui de infinitos pontos e que entre dois números racionais existe uma 
infinidade de outros números racionais. Assim, cada número racional pode ser associado a um ponto da reta 
numérica. No entanto, nem todo ponto da reta numérica se associa a um número racional, como estudaremos 
posteriormente. 
Comente com os alunos a respeito de alguns subconjuntos do conjunto dos números inteiros: 
os inteiros não nulos, os inteiros não negativos e os inteiros não positivos. 
* = {..., –5, –4, –3, –2, 
–1, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 
...} = 
– = {..., –5, –4, –3, –2, 
–1, 0} 
Indague a classe sobre a divisão por zero. Ofereça 
para reflexão exemplos como “Se tiver 20 folhas 
de papel para repartir entre ‘zero pessoa’, quantas 
folhas terá para cada uma?” e chame a atenção 
para o absurdo da situação, uma vez que não há 
para quem repartir as folhas.
0,111...
–1–2 1 21,502
5
–
1
4
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 47• •
Vimos que toda dízima periódica é um número racional. Assim, pode ser escrita na forma de um quociente 
entre dois inteiros. Veja como obter o quociente que gera uma dízima periódica, denominada fração geratriz. 
 • 0 111, ...
Escrevemos a seguinte equação:
x I0 111, ... ( )
Como o período da dízima periódica 
simples apresenta um algarismo (1), 
multiplicamos os dois membros de (I) 
por 10: 
10 1 111x II, ... ( )
Subtraímos (I) de (II):
10 1 111
0 111
10 1 111 0 111
9
x II
x I
x x
x
�
�
�
�
�
� � �
�
, ... ( )
, ... ( )
, ... , ...
11
1
9
� �x
Portanto, 0 111
1
9
, ... . 
 • 0 252525, ...
x I0 252525, ... ( )
Agora, como o período da dízima 
periódica simples apresenta dois 
algarismos (2 e 5), multiplicamos os dois 
membros de (I) por 100: 
100 25 252525x II, ... ( )
Subtraímos (I) de (II):
100 25 252525
0 252525
100 25 252525
x II
x I
x x
�
�
�
�
�
� �
, ... ( )
, ... ( )
, .... , ...�
� � �
0 252525
99 25
25
99
x x
Portanto, 0 252525
25
99
, ... .
 • 1 5777, ...
x I1 5777, ... ( )
Como essa é uma dízima 
periódica composta e a parte não 
periódica apresenta um algarismo (5), 
multiplicamos os dois membros de (I) por 
10 para transformá-la em uma dízima 
periódica simples:
10 15 777x II, ... ( )
Agora, multiplicamos os dois 
membros de (II) por 10:
100x = 157,777... (III) 
Subtraímos (II) de (III):
100 157 777
10 15 777
100 10 157 777
x III
x II
x x
�
�
�
�
�
� �
, ... ( )
, ... ( )
, .... , ...�
� � � �
15 777
90 142
142
90
71
45
x x
Portanto, 1 5777
71
45
, ... .
Existem dois tipos de dízimas periódicas:
Simples – o período aparece logo após a vírgula. Por exemplo, 0,444..., 2,363636... e 1,245245245... são dízimas periódicas simples. 
Composta – após a vírgula, aparece uma parte não periódica e em seguida a parte periódica. As dízimas 0,1333... e 7,32171717... são 
compostas.
48 MATEMÁTICA• •
Conjunto dos números irracionais ( )
Uma das grandes realizações dos pitagóricos foi a descoberta de 
números que não pertencem ao conjunto dos números racionais. A 
descoberta desses números não racionais, denominados irracionais, foi, por 
um lado, magnífica e, por outro, perturbadora à filosofia pitagórica, já que 
esta acreditava que todas as relações matemáticas dependiam apenas dos 
números inteiros e das razões entre eles.
A descoberta foi feita por meio da Geometria, na tentativa de 
determinar a medida de cada diagonal de um quadrado de lados unitários.
Aplicamos o teorema de Pitágoras:
d
d
d
d dízima não periódica
2 2 2
2
1 1
2
2
1 414213562373095
� �
�
�
� , ... ( )
O número 2 1 414213562373, ... não pode ser escrito na forma 
p
q
, 
com p e q inteiros e q 0. Portanto, 2 não é um número racional, sendo 
denominado irracional. 
Outro importante número irracional é o número π (lemos “pi”), que 
é igual à razão entre o comprimento de uma circunferência e a medida 
do respectivo diâmetro. Por conta disso, essas duas medidas nunca serão 
simultaneamente números racionais. 
Sendo C o comprimento da circunferência e r a medida do raio, o 
número π é dado por:
� � �
C
r2
3 141592653589, ...
Assim como os números racionais, os números irracionais podem 
ser representados na reta numérica. Alguns desses números podem ser 
construídos geometricamente com o auxílio de um compasso. Para isso, 
construímos o segmento de medida 2, por exemplo, e traçamos um arco 
de circunferência com centro em 0 e raio 2. A intersecção desse arco com 
a reta numérica é o ponto que está associado a 2. Da mesma maneira, 
podemos seguir os mesmos passos para o número 3, que também é 
irracional.
É possível provar que: todo número irracional tem um ponto 
correspondente na reta numérica; entre dois números racionais, existem 
infinitos números irracionais; e entre dois números irracionais também há 
infinitos números racionais.
1 d
1
r
0 1–1–2 22
23
3
1
1
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 49• •
Conjunto dos números reais ( )
A união do conjunto dos números racionais e do 
conjunto dos números irracionais resulta no conjunto 
dos números reais, representado por .
� �� ! ou = {x | x é um número racional ou x 
é um número irracional}
Ainda podemos escrever que � �� � .
� �
�
�
�
�
" ��
� 
 � �
Sabemos que na reta numérica estão contidos os números inteiros, os decimais finitos, as dízimas 
periódicas e as dízimas não periódicas. Note que esgotamos todas as possibilidades de construir novos 
números nessa reta. Assim, dizemos que os números reais preenchem toda a reta numérica, que também é 
chamada de reta real. Observe a seguir alguns números reais representados na reta real. 
ATIVIDADES
 20. Represente no diagrama os seguintes números reais. 
Veja a demonstração da irracionalidade de 2 no Manual digital.
3 2 2 2
5 2 1
1
7
5 0 6
7
2
0 2357801442
0 35 0 616161 4 6
3
2
�
� �
�
�
�
�
�
, ...
, , ... ,
0 1–1 –0,6–2 2 3 4
0,12345...
π
2
3
–1
= – 
= – 
√3
—
2 – 2
π – 1
0,
23
57
80
14
42
...
5 + 2
–0,35 4,6
– 6 – 1
52
0
2–3
0,616161...
1
7
7
2
–
50 MATEMÁTICA• •
 21. Em seu caderno, determine as frações 
geratrizes das seguintes dízimas periódicas: 
a) 0 777, ...
b) 3 111, ...
c) 2 080808, ...
d) 1 230230230, ...
e) 16 45111, ...
f) 0 7656565, ...
 22. Calcule o valor de x na seguinte expressão:
x � �
�
	
�
� � � � �� � 
 �� �1
3
28 444 1 555 5 2 5 2
2
, ... , ...
h) ( F ) O produto de dois números 
irracionais é sempre um número 
irracional.
i) ( F ) O produto de dois números, um 
racional e outro irracional, é sempre um 
número irracional.
j) ( F ) A razão entre dois números 
irracionais distintos é sempre um número 
irracional.
 24. (UEPG – PR) Assinale o que for correto. 
Existem questões 
de vestibulares 
e concursos que 
exigem a soma dos 
valores associados 
às afirmativas 
corretas. 
Por exemplo, se todas as 
afirmativas dessa questão 
forem corretas, o somatório 
seria 31 (01 + 02 + 04 + 
+ 08 + 16). Há um espaço 
ao fim da questão para 
indicar a soma.
X(01) O número real representado por 0,5222... 
é um número racional.
(02) O quadrado de qualquer número 
irracional é um número racional.
X(04) Se m e n são números irracionais então 
m n pode ser racional.
(08) O número real 3 pode ser escrito sob a 
forma 
a
b
, onde a e b são inteiros e b 0 .
(16) Toda raiz de uma equação algébrica do 
Somatório = 05 (01 + 04) 
 25. (UFPR) Uma das instruções de um exame 
vestibular afirmava que cada teste que 
compunha a prova apresentava cinco 
alternativas, das quais apenas uma era correta.
Passados alguns dias da prova, foi divulgado 
que um dos testes havia sido anulado. O teste 
anulado apresentava as seguintes alternativas:
a) x é um número natural.
b) x é um número inteiro.
c) x é um número racional.
d) x é um número irracional.
e) x é um número real.
Explique por que o teste foi anulado.
Vamos desenvolver a expressão numérica.
x
x
� �
�
	
�
� � � � �� � 
 �� �
� � � �
1
3
28 444 1555 5 2 5 2
1
9
256
9
14
9
5
2
2
, ... , ...
�� � �&
'*
(
)+
� � � � �� �
� � � � �� �
� �
2
1
9
16
3
14
9
25 2
1
9
48
9
14
9
25 2
63
9
23
2
x
x
x �� � � � � �x x7 23 16
• Se x é um número racional não inteiro, então as alternativas c e e são 
corretas.
• Se x é um número irracional, então as alternativas d e e são corretas.
Portanto, qualquer que seja x real, não existe apenas uma alternativa correta.
O teste foi anulado porque 
apresenta pelo menos duas 
alternativas corretas. 
• Se x é um número natural, 
então as alternativas a, b, c 
e e são corretas. 
• Se x é um número inteiro 
negativo, então as alternativas b, c 
e e são corretas. 
 23. Assinale V ou F, conforme cada afirmação seja 
verdadeira ou falsa, respectivamente. 
a) ( V ) A soma de dois números naturais é 
sempre um número natural.
b) ( F ) A diferença entre dois números 
naturais é sempre um número natural.
c) ( F ) A razão entre dois números inteiros é 
sempre um número inteiro.
d) ( V ) A soma de dois números racionais é 
sempre um número racional.
e) ( V ) O produto de dois números racionais 
é sempre um número racional.
f) ( F ) A soma de dois números irracionais é 
sempre um número irracional.
g) ( V ) A soma de dois números irracionais 
pode ser um número racional.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/R
om
an
 Z
ai
et
s
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 51• •
Intervalos 
FIQUE POR DENTRO
Para que serve o hemograma, 
o popular exame de sangue
Estamos falando de um dos testes mais solicitados 
nos consultórios e serviços de emergência
O que é o hemograma? Em resumo, 
o famosíssimo exame de sangue avalia 
a quantidade e a [...] qualidade dos três 
principais grupos de células do sangue: 
hemácias (glóbulos vermelhos, que 
transportam oxigênio e nutrientes para o 
corpo), os leucócitos (glóbulos brancos, que 
atuam no sistema imune) e as plaquetas (que 
modulam a coagulação). 
Para que serve
Para avaliar a saúde de maneira geral e 
quando há sintomas como febre, fadiga 
e fraqueza, entre outros. De maneira 
geral, identifica doenças que bagunçam a 
composição do sangue, como leucemia, 
anemia e infecções bacterianas ou virais. 
Alergias e hemorragias também podem ser 
detectadas com ele.
O hemograma é utilizado ainda para 
assegurar que a pessoa esteja apta a passar 
por uma cirurgia. E mesmo para como 
checar a reação do corpo a determinados 
tratamentos. São mil e uma utilidades. 
PINHEIRO, Chloé. Para que serve o hemograma, o popular exame de sangue. 
Disponível em: https://saude.abril.com.br/medicina/para-que-serve-
hemograma-exame-de-sangue/. Acesso em: 11 maio 2021.
Ao receber o resultado de seu exame de sangue, 
uma pessoa observou que o valor adequado de 
concentração de plaquetas deveria ser maior do 
que 150 000 e menor do que 450 000 por mm3 de 
sangue. Dizemos que existe um intervalo entre esses 
dois valores em que a concentração de plaquetas é 
considerada normal.
Na linguagem matemática, utilizamos símbolos 
para registrar comparações entre números e para 
representar intervalos. 
 • Maior do que: >
 • Maior do que ou igual a: ≥
 • Menor do que: <
 • Menor do que ou igual a: ≤
Podemos, então, expressar matematicamente os 
valores de x que estão de acordo com a normalidade 
para a contagem de plaquetas em um exame de 
sangue:
150 000 450 000 x
Assim, os valores de x estão contidos em um 
mm3 de sangue. Também há intervalos para outros 
indicadores nesse tipo de exame: 
 • leucócitos ( ) – 4 000 11 000 unidades/L;
 • hemoglobina (h) – 11 5 16, h g/dL;
 • globulina (G) – 2 4G g/dL. 
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/R
om
an
 Z
ai
et
s
52 MATEMÁTICA• •
 1. Dados os conjuntos A � &' ()0 4, e 
B � �&' &'3 3, , determine:
a) A B
b) A B
c) A B
d) B A
e) A B B A�� � ! �� �
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Quando queremos indicar subconjuntos do conjunto dos números reais que correspondem a todos os 
números entre dois valores distintos a e b (podendo incluir ou não os extremos a e b), utilizamos a notação 
de intervalos.
Dados dois números reais a e b, com a < b, temos: Dados do
Tipo do intervalo Representação geométrica Representação algébrica
Intervalo aberto
Intervalo fechado
Intervalo fechado à esquerda 
e aberto à direita
Intervalo aberto à esquerda 
e fechado à direita
Semirreta direita aberta, 
com origem em a
Semirreta direita fechada, 
com origem em a
Semirreta esquerda aberta, 
com origem em a
Semirreta esquerda fechada, 
com origem em a
Reta real
Observação: o símbolo , representa a ideia de infinito.
A B! � �&' ()3 4,
 O conjunto A B é formado pelos elementos que 
ou
a)
x a x b a b� - -� � � () &'| ,
x a x b a b� . .� � � &' ()| ,
x a x b a b� . -� � � &' &'| ,
x a x b a b� - .� � � () ()| ,
x x a a� /� � � �,() &'| ,
x x a a� � � � �,&' &'| ,
x x a a� -� � � �,() &'| ,
x x a a� .� � � �,() ()| ,
� �, �,() &',
Solução
 Inicialmente, vamos representar os conjuntosA e 
servação: ObObObObOObObObseseseseseeseservrvrvvrvrrvrvaçaçaçaaçaçaçãoãoãoãoãooãoo
Soluçãççççç o
Comente com os alunos que existe outra maneira de representar um intervalo 
aberto, utilizando parênteses. Por exemplo, os intervalos ]2, 5[, [2, 5[ e ]2, 5] 
podem ser representados, respectivamente, por (2, 5), [2, 5) e (2, 5].
a b
a b
a b
a b
a
a
a
a
0 4
–3 3
A
B
0
4
A
B
–3
4
3
A B
–3
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 53• •
 2. Dados os conjuntos C x x a� � �� �| e D x a x b� � - -� �| , determine os conjuntos E, F, G e H. 
 E C D� ! 
E x a x b� � . -� �|
a)
 F C D� "
 F = ∅
elemento a, que não pertence a D.)
b)
 G C D� �
 G = C (Os conjuntos C e D não têm 
elementos em comum.)
c)
 H D C� �
 H = D (Os conjuntos C e D não têm 
elementos em comum.) 
d)
A B" � &' &'0 3,
 O conjunto A B é formado pelos 
elementos que pertencem ao 
conjunto A e
b)
4
A
B
–3 3
A B
0 3
0
 O conjunto A B é formado pelos 
A B� � &' ()3 4,
 Observe que o número 3 pertence ao 
c)
A
B
–3 3
A–B
3
0 4
4
B A� � �&' &'3 0,
 Da mesma forma, obtemos o conjunto 
B A.
d)
A
B
–3
4
3
B–A
–3
0
0
 A B B A�� � ! �� �
A B B A�� � ! �� � � �&' &' ! &' ()3 0 3 4, ,
e)
A
B
–3
4
(A–B) B–A)
–3
0
0 3 4
3
54 MATEMÁTICA• •
 26. Represente em cada item uma reta real com os 
seguintes subconjuntos: 
a) A x x� � � . -� �| 1 0
b) B � � �0 14 2,
c) C � 0 04 10,
d) D � �,0 10,
e) E x x� � . �� �| 5
f) F x x� � � . . ��
�
�
�
�
�
| 1
1
3
 27. Em cada item, represente algebricamente os 
intervalos indicados na reta real. 
c) 
ATIVIDADES
x x ou� � - .� � �0 0| ,1 4 1 4
a) 
b) 
x x ou� � . -� � �&'
&
'| ,2 5 2 5
x x ou� -� � �,0 1| , , ,0 25 0 25
d) 
x x ou� ��
�
�
�
�
�
� �,&
'*
&
'*
| ,
1
2
1
2
e) 
x x ou� � . . �� � � �1 0| ,10 1 10 1
 28. Dados A x x� � � . -� �| 1 4 e B x x� � /� �| 1 , 
determine: 
a) A B
b) A B
c) A B
d) B A
 29. Dados os intervalos A � �0 02 4, , B � �,0 12, e 
C � 1 10 3, , determine os seguintes conjuntos: 
a) A B
b) B C
c) A C
d) A B
e) B C
f) C A
g) A C
h) A B
i) B C
j) A C
k) C B
l) B A
 30. (CEFET – CE) Define-se a amplitude do 
intervalo a b,1 0 como sendo o número d = b – a, 
então a amplitude de �1 0"1 0"1 01 7 1 9 0 8, , , é: 
a) 4
b) 5
X c) 6
d) 7
e) 8
 31. Dois números a e b são tais que: 
15 ≤ a ≤ ≤ b ≤ 10
Determine os valores mínimo e máximo de 
cada um dos números a seguir.
a) a b
b) a b
c) a b
d) 
a
b
–1 0
–4 –2
4 10
0
–5
1–
3
–1
4–1
√5–√2
0,25
1–
2
–10 –1
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/W
ire
st
oc
k 
Cr
ea
to
rs
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 55• •
CONCEITO DE 
FUNÇÃO
A epidemia de Covid-19 
chegou ao Brasil em fevereiro 
de 2020, com a confirmação do 
primeiro caso no dia 26 desse 
mês, em São Paulo. Uma das 
medidas que muitas cidades 
adotaram foi o fechamento 
temporário das academias 
desportivas, com a finalidade de 
diminuir a disseminação do vírus.
Pensando no momento 
do retorno às atividades, 
a Associação Brasileira de 
Academias (Acad Brasil) elaborou 
um manual de orientação sobre 
os procedimentos de reabertura, 
indicando as adaptações 
necessárias no espaço físico e as 
regras para os frequentadores 
terem segurança.
Uma dessas regras se refere 
à quantidade de clientes que 
podem estar simultaneamente no 
ambiente da academia. O número 
foi limitado a um cliente a cada 
2 de área.
Assim, uma academia com 
2 pode 
receber apenas 16 clientes a cada 
vez. Considere que determinada 
academia tem quatro salas 
EM13MAT101, 
EM13MAT510 
de treino e que organizou uma tabela para controlar o número 
máximo de pessoas em cada uma, de acordo com o manual.
Área Número de pessoas
Sala 1 25 m2 4
Sala 2 50 m2 8
Sala 3 55 m2 8
Sala 4 75 m2 12
A tabela mostra uma relação entre duas grandezas: área da sala 
e quantidade de pessoas. Existe uma relação de dependência entre 
a área da sala e o número de alunos que podem ocupá-la.
O conceito de função está relacionado à dependência entre 
grandezas. Dizemos que uma grandeza qualquer está “em função” 
de outra quando depende da outra ou de alguma forma está 
relacionada a ela. Na situação anterior, o número de alunos que 
podem usar uma sala foi calculado com base na área da sala. 
Dizemos que a quantidade de pessoas foi calculada em função da 
área da sala ou, ainda, que a quantidade é função da área.
Acompanhe mais dois exemplos. 
 • Na Geometria, a área de um círculo está diretamente 
relacionada com a medida do raio.
r. A relação entre A e r 
pode ser dada pela fórmula A r� 
� 2. Observe que para cada valor 
de r existe um único valor de A relacionado.
á
Medida 
do raio
1 1,5 2,1 10 r
Área 
Medid
3
2 25, 3 4 41, 100 �
r2
r
56 MATEMÁTICA• •
 • Observe a sequência de figuras. 
Elas mostram a sequência dos números pentagonais, que são obtidos contando pontos dispostos no 
formato de um pentágono regular. Para construir o número p5, devemos repetir a figura em p4 e adicionar 
(3 · 5) – 2 pontos em volta dessa figura.
Com base nessa construção, que envolve recorrer à figura anterior, podemos generalizar para uma figura 
n. Uma relação que envolve pn e pn – 1
p p nn n� � ��1 3 2
Prosseguindo com o mesmo padrão, a quantidade pn n de cada figura. É 
p
n n
n �
�3
2
2
Isso significa que, para cada valor de inteiro e positivo, existe um único valor de pn associado a ele.
A ideia de função está presente em inúmeras situações. Vamos agora apresentar uma definição 
matemática de função utilizando a linguagem de conjuntos. 
As quantidades de pontos nas figuras p1, p2, p3, 
p4 e p5 estão indicadas a seguir. 
Figura p1: 1
Figura p2: 5
Figura p3: 12
Figura p4: 22
Figura p5: 35
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função é uma regra que nos diz como associar 
cada elemento x A a um único elemento y B. Utilizamos a seguinte notação:
f A B: f de A em B”)
p1 = 1 p2 = 5 p3 = 12 p4 = 22
p5 = 35
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 57• •
 • f faz uma correspondência x A em y B , que 
indicamos por f x( ) .
y f(x)
y x
 • Se y x, chamamos x de variável independente e y 
de variável dependente.
Comente com os alunos que, embora seja comum a utilização da letra f para 
representar uma função, podemos adotar outras letras, como g ou h. O mesmo 
ocorre com a variável independente: costumeiramente utilizamos a letra x, mas 
nada impede que seja representada por outra letra qualquer.
y = f(x)
Variável independente
Variável dependente
Observe que todo elemento 
a um único elemento do 
Portanto, temos uma 
função de A em B.
Nesse caso, nem todo 
associado a um único elemento 
A está associado aos elementos 
5 e 6 de B.
Assim, não temos uma 
função de A em B.
Novamente, não temos 
uma função de A em B, pois o 
está associado a elemento 
algum de B.
b) c) 
Domínio, contradomínio e conjunto-imagem de uma função 
Dada uma função f A B: domínio da função e indicado por D f( ) 
(lemos “domínio de f contradomínio da função e indicado por CD f( ) (lemos 
“contradomínio de f”).
Para cada x A , o elemento y B denomina-se imagem de x f ou, ainda, o valor assumido 
f. O conjunto de todas as imagens de x f conjunto-imagem da função, 
indicado por Im( )f (lemos “conjunto-imagem de f”).
f
A B
x y = f(x)
A B
1
2
3
4
2
3
4
5
6
A B
1
2
3
4
2
3
4
5
6
A B
1
2
3
4
2
3
4
5
6
Exemplos
a) 
58 MATEMÁTICA• •
Podemos pensar em uma função como uma máquina. O 
conjunto de saída da máquina.
Para termos uma função bem-definida, precisamos conhecer o domínio, o contradomínio e a regra (ou lei 
de formação) que diz como associar cada elemento x D f( ) a um único elemento y CD f( ) . 
Dados os conjuntos A � � �0 2 4 6 8, , , , , B � � �0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , , , , , , e uma função f A B: tal que f x
x
( )
2
, 
temos:
D f A( ) , , , ,� � � �0 2 4 6 8
CD f B( ) , , , , , , ,, ,� � � �0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f x
x
f f f f f
y
( )
( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )
2
0 0 2 1 4 2 6 3 8 4
Im( ) , , , ,f � � �0 1 2 3 4
Se o domínio e o contradomínio de uma função f A B: não estiverem explicitados, consideramos:
 • como contradomínio o conjunto dos números reais (B );
 • como domínio (A) o maior subconjunto de que possibilite à lei de formação definir uma função.
Acompanhe alguns exemplos. 
a) f x
x
( )
1
x 
diferentes de zero, pois f( )0
1
0
 não está definido. Assim, D f( ) � �� � �0 *.
b) Em g x x( ) � �2, x 2 deve ser um número real não negativo, ou seja, x 2. Caso x 2, x 2
um número real. Assim, D(g) ,� � ,&' &'2 . Podemos escrever, ainda, que D x x(g) |� � � �2 .
c) Em h x x( ) � � 23 , x pode assumir qualquer valor real, pois a raiz cúbica de um número negativo 
D h( ) . 
Veja a sugestão de encaminhamento no Manual digital.
Entrada
x
f
f(x)
Saída
A B
0
f
4
2
6
8
0
2
1
3
4
5
7
6
8
9
0
2
1
3
4
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 59• •
 32. Considere que a velocidade média de 
uma pessoa pedalando uma bicicleta é de 
18,4 km/h.
a) Qual é a distância percorrida por essa 
pessoa em 2 horas? 
d km� 
 �18 4 2 36 8, ,
b) Qual é o tempo que ela gasta para 
percorrer 46 km?
t h
46
18 4
2 5
,
,
c) Podemos dizer que a distância percorrida 
está em função do tempo? 
Sim, pois para cada tempo temos uma única distância associada.
d) Qual é a lei matemática que relaciona a 
distância percorrida (em km) e o tempo 
(em horas)? 
d t t( ) ,� 
18 4
 33. Um técnico em informática que atende os 
clientes em domicílio cobra uma taxa de 
R$ 85,00 pela visita mais R$ 55,00 por hora 
de atendimento. Usando h para representar 
o tempo de atendimento, em horas, e A para 
representar o valor cobrado pelo atendimento, 
em reais, responda às questões a seguir. 
a) Qual é a lei de formação da função que 
relaciona A e h?
A h� � 
85 55
b) Qual é a variável independente dessa 
função? 
A variável h.
c) Qual é a variável dependente dessa 
função? 
A variável A.
d) Se o atendimento durar 5 horas, qual 
será o valor pago pelo cliente? 
A
A
� � 
�
85 5 55
360
O valor pago será de R$ 360,00. 
e) Para que o valor a ser pago não ultrapasse 
R$ 250,00, qual é o tempo máximo de 
atendimento? 
A h
h h h
� � 
� � � � � �
85 55
250 85 55 55 165 3
O tempo máximo de atendimento deve ser de 3 horas. 
ATIVIDADES EM13MAT101, EM13MAT302, EM13MAT314, EM13MAT506, EM13MAT510
Veja a sugestão de encaminhamento no 
Manual digital.
f) O valor cobrado pelo técnico é 
diretamente proporcional ao tempo de 
atendimento?
Não. Por exemplo, se multiplicarmos por 2 o tempo do serviço, 
o valor cobrado não será duplicado. O valor que é diretamente 
proporcional ao tempo é apenas o referente ao número de horas 
de serviço desconsiderando a taxa fixa de R$ 85,00.
 34. Uma agência de turismo está oferecendo um 
pacote de viagem para grupos de estudantes. 
O custo total do pacote é de R$ 20.000,00. 
Esse valor é dividido entre os estudantes que 
participarem da viagem. O número mínimo de 
participantes para que se realize a viagem é de 
10 pessoas.
b) Para que o valor pago por um estudante 
seja de R$ 500,00, quantos estudantes 
devem participar da viagem? 
20 000
500 40
x
x� � �
Quarenta estudantes devem participar da viagem. 
a) Se 25 estudantes adquirirem esse pacote 
de viagem, quanto cada um deles deverá 
pagar? 
O valor y que cada estudante deverá pagar é 
y
20 000
25
800  reais. 
c) Escreva uma lei matemática que relacione 
o valor que cada estudante deverá pagar e 
o número de participantes. 
Sendo x o número de estudantes e y o valor pago por aluno, em 
reais, temos:
y
x
20 000
 
60 MATEMÁTICA• •
 35. Considere A o conjunto formado por todas as 
praças de certa cidade e B o conjunto formado 
pelas medidas das respectivas áreas. 
a) Podemos dizer com certeza que existe 
uma função de A em B? 
Sim, pois para cada praça há uma única medida de área que ela 
ocupa. Portanto, existe uma função de A em B.
b) Podemos dizer com certeza que existe 
uma função de B em A? 
Não, pois pode acontecer que exista mais de uma praça com a 
mesma medida de área. Portanto, não podemos afirmar com 
certeza que existe uma função de B em A.
 36. Considere os conjuntos A � � �� �4 2 0, , e 
B �� �0 1 2 4, , , e a função f A B: definida por 
f x
x
( )
2
4
.
c) f( )4 .
f
f
( )
( )
4 4 4
4 12
2� � �
� �
a) Represente essa função por meio de um 
diagrama. 
b) Qual é o domínio da função? E o 
contradomínio? 
D f e CD f( ) , , ( ) , , ,� � �� � � � �4 2 0 0 1 2 4
c) Qual é o conjunto-imagem da função? 
Im( ) , ,f �� �0 1 4
 37. Dada a função f: definida por 
f x x x( )� � �2 , determine: 
a) f( )2 .
f
f
( ) ( ) ( )
( )
� � � � � �
� � �
2 2 2
2 6
2
d) os valores de x para os quais f x( ) 0
f x
x x x x
x ou x
( )
( )
�
� � � � � �
� �
0
0 1 0
0 1
2
 38. Seja a função g A: definida por 
g x x
x
( )� �3
1
.
a) Qual é o conjunto A mais amplo possível?
A função f não está definida para x 0 apenas. Assim, o maior 
conjunto A possível é �� �0 .
b) Qual é o valor de g( )1 ?
g( )1 3 1
1
1
4� 
 � �
 
c) Qual é o valor de g
1
6
�
�
	
�
� ?
g
1
6
3
1
6
1
1
6
1
2
6
13
2
�
�
	
�
� � 
 � � � �
 39. Qual é o domínio de cada uma das funções a 
seguir?
b) f( )2 .
f
f
( )
( )
2 2 2
2 2
2� � �
� �
a) f x x( )� �4 5
D f( )
b) h x
x
x
( )�
�4
x x
x
� � �
2
4 0 4
0
D h( ) ,� � �,1 1 �� �4 0
c) g x
x
( )�
�
1
5
x x� / � / �5 0 5
D g( ) ,� � �,0 15
d) i x x( )� �5
3
D i( )
f
A
–4
–2
0
B
0
1
2
4
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 61• •
 44. (IME – RJ) Seja f: , onde é o conjunto 
dos números reais, tal que:
f
f x f x f
( )
( ) ( ) ( )
4 5
4 4
�
� � 
�
�
�
O valor de f( )4 é: 
a) 
4
5
b) 
1
4
c) 
1
5
X d)
1
5
e) 
4
5
 
 40. A área A de um triângulo equilátero pode ser 
obtida em função da medida dos lados por 
meio da seguinte fórmula:
A( )
2 3
4
a) Qual é o domínio da função A?
Como a medida dos lados do triângulo é um número real 
positivo, o domínio da função f é D A( ) ,� �,0 10 . Também 
podemos escrever D A( ) |� � /� �� � � 0 . 
b) Qual é o conjunto-imagem da função A?
Como a área de um triângulo também é um número positivo, o 
conjunto-imagem da função A é Im( ) ,A � �,0 10 . 
 41. Um retângulo de perímetro 100 tem 
comprimento de medida c e largura .
 42. (CESUPA) Necessito mudar o piso da cozinha 
de meu apartamento. Quanto gastarei, 
considerando que: 
 I. o operário me cobra R$ 120,00 fixos, mais 
R$ 9,00 por m2;
 II. se a área da cozinha tivesse a metade da 
área que tem, gastaria R$ 660,00.
a) R$ 1.320,00
b) R$ 1.230,00
X c) R$ 1.200,00
d) R$ 960,00
a) Determine a relação entre c e que 
representa o perímetro do retângulo.
2 2 100
50
c
c
� �
� �
b) Determine a área A do retângulo em 
função apenas do comprimento c.
 
c
c
A c
A c c
A c c
� �
� �
� 
� 
 �
� �
50
50
50
50 2
( )
c) Determine o domínio da função A, 
definida no item anterior. 
Devemos ter c 0 e / � � / � � / � � -0 50 0 50 50c c c .
Portanto, o domínio da função A é D A( ) ,� 0 10 50 . Também 
podemos escrever D A c c( ) |� � - -� �0 50 .
Agora, você pode fazer as questões 
78 e 79 da seção Conquista Enem. 
Vamos definir a variável x como a área a 
ser construída, em metros quadrados. O 
custo y, em reais, é dado por:
y = 120 + 9 · x
Considerando um custo de R$ 660,00, 
temos:
Substituindo x por 1, temos:
1 · f(1 – 1) = (1 – 3) · f(1) + 3
f(0) = –2 · f(1) + 3
Precisamos calcular o valor de f(0). Substituindo x por 
0, temos:
0 · f(0 – 1) = (0 – 3) · f(0) + 3
0 = –3 · f(0) + 3 ⇒ f(0) = 1
Então:
f(0) = –2 · f(1) + 3 ⇒ 1 = –2 · f(1) + 3 ⇒ f(1) = 1
 43. (UNICAMP – SP) Seja f(x) uma função tal 
que para todo número real x temos que 
xf x x f x( ) ( ) ( )� � � �1 3 3. Então, f(1) é igual a 
a) 0.
X b) 1.
c) 2.
d) 3.
Substituindo x por –4, temos:
f(–4 + 4) = f(–4) · f(4)
f(0) = f(–4) · f(4) ⇒ f(0) = f(–4) · 5
Precisamos calcular o valor def(0). Substituindo x 
por 0, temos:
f(0 + 4) = f(0) · f(4)
f(4) = f(0) · f(4) ⇒ 5 = f(0) · 5 ⇒ f(0) = 1
Assim:
f(0) = f(–4) · 5 ⇒ 1 = f(–4) · 5 ⇒ f(–4) = 
1
5
ℓ
c
660 = 120 + 9 · x
9x = 540
x = 60
Portanto, metade da área da cozinha é igual a 60 m2, ou 
seja, a área total é 120 m2.
Assim: 
y = 120 + 9 · 120 ⇒ y = 1 200
O custo para mudar o piso da cozinha é R$ 1.200,00.
©Shutterstock/Blvdone
62 MATEMÁTICA• •
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
Frequentemente, encontramos gráficos na 
internet, nas revistas e nos jornais. Eles nos auxiliam 
na observação e na análise de informações. O 
gráfico a seguir, referente ao período de 15 de 
abril a 22 de maio de 2020, mostra a adesão da 
população brasileira ao uso de máscaras em virtude 
da pandemia da Covid-19. 
suas coordenadas ( , )a b , obtidas pela projeção 
ortogonal desse ponto em relação aos eixos. A 
a
b, 
vertical. 
EM13MAT101, EM13MAT302, EM13MAT510
Uso de máscaras em todas as saídas de casaaUso de máscaras em todas as saídas de casaa
Fonte: IMPACTO nos hábitos de compra e consumo: os impactos da pandemia 
nos prestadores de serviço e as possibilidades de reinvenção para os bares e 
restaurantes. Disponível em: https://rdstation-static.s3.amazonaws.com/cms
%2Ffiles%2F7540%2F1590523372Pesquisa_COVID_19_-_9_EDIO.pdf. Acesso 
em: 22 jan. 2021.
isolados, com as porcentagens referentes a cada 
foram traçadas para facilitar a leitura e a 
evolução das informações conforme o decorrer de 
determinados intervalos de tempo.
Plano cartesiano
Para representar o gráfico de uma função, 
utilizamos o plano cartesiano ou sistema cartesiano 
ortogonal.
x (eixo das abscissas) e o 
y (eixo das ordenadas). Esses eixos dividem o 
plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, 
quadrante superior direito. O ponto de intersecção 
0
4.ª onda 5.ª onda 6.ª onda 7.ª onda 8.ª onda 9.ª onda
20%
40%
60%
80%
100%
30%
46%
62%
77% 82%
88%
3o. quadrante 4o. quadrante
y
x
2o. quadrante
Eixo das ordenadas
1o. quadrante
Eixo das abscissas
P(a, b)b
y
x0 a
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 63• •
Observe os pontos localizados no plano cartesiano 
ao lado.
EXEMPLOS RESOLVIDOS
f é formado apenas pelos 
pontos destacados. O domínio da função é 
A � � �0 1 2 3 4 5, , , , , e o conjunto-imagem é 
� �� �4 2 0 2 4 6, , , , , . 
 Em seguida, marcamos os pontos no plano 
cartesiano.
x y = f(x) = 2x – 4 (x, y)
0
1
2
3
4
5
y f� � 
 � � �( )0 2 0 4 4
y f� � 
 � � �( )1 2 1 4 2
y f� � 
 � �( )2 2 2 4 0
y f� � 
 � �( )3 2 3 4 2
y f� � 
 � �( )4 2 4 4 4
y f� � 
 � �( )5 2 5 4 6
( , )0 4
( , )1 2
( , )2 0
( , )3 2
( , )4 4
( , )5 6
 f A: 
definida por f x x( ) � �2 4 , sendo 
A � � �0 1 2 3 4 5, , , , , .
 Solução 
Inicialmente, para cada elemento do domínio 
da função, obtemos as respectivas imagens.
1.
 g: 
definida por g x x( ) � �2 4. 
 Solução 
g, podemos 
utilizar os mesmos pontos do gráfico anterior, 
f e g é 
a mesma. Entretanto, como o domínio da 
g é o conjunto dos números reais, 
existem infinitos outros pontos, que formam 
uma linha contínua.
g é e o conjunto- 
-imagem também é . 
2.
ao primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrantes. Já o 
o ponto que tem coordenadas nulas, representadas pelo 
O
x
y
5
4
3
2
1
1–1
–1
–2
–3
–4
–5
–3–4–5 0 2 3 5
B
A
D
F
C
E
4–2
x
y
5
6
4
3
2
1
1–1
–1
–2
–3
–4
–5
–2–3–4–5 0 2 3 4 5 6 x
y
5
6
4
3
2
1
1–1
–1
–2
–3
–4
–5
–2–3–4–5 0 2 3 4 5 6
Soluçãçççç o 
Solução
 • A( , )2 3
 • B( , )1 5
 • C( , )2 2
 • D( , )4 3
 • E( , )3 0
 • F( , )0 5 
 • O( , )0 0
64 MATEMÁTICA• •
 Construa o gráfico da função h: 0 4,&' () 3 
definida por h x x( ) 2 .
 Solução 
Nesse caso, o domínio é formado por todos os 
números reais do intervalo fechado 0 4,&' () . 
Vamos obter as imagens de alguns desses 
valores.
 O domínio da 
função h é o 
intervalo 0 4,&' () 
e o conjunto-
-imagem é o 
intervalo 1 16,&' () . 
 O gráfico é a curva formada por esses e outros 
infinitos pontos. 
x y = h(x) = 2x (x, y)
0
1
2
3
4
y h( )0 2 10
y h( )1 2 21
y h( )2 2 42
y h( )3 2 83
y h( )4 2 164
( , )0 1
( , )1 2
( , )2 4
( , )3 8
( , )4 16
Produto cartesiano
Em uma loja especializada em sucos naturais, 
um cartaz mostra a promoção da semana. 
Marcos e Mariana aproveitaram a promoção. 
maracujá. Marcos levou de brinde uma garrafinha com 
o mesmo sabor do suco da garrafa maior. Mariana 
resolveu levar uma garrafinha de suco de morango.
Organizando as informações em uma tabela de dupla entrada, podemos verificar que os clientes dessa 
Marcos e de Mariana.
Abacaxi Goiaba Morango
Abacaxi
Goiaba
Marcos
Morango Mariana
Para organizar os pedidos, o atendente da loja registra em primeiro lugar o sabor do suco da garrafa 
inseridos desta maneira:
produto 
cartesiano. 
arcos e de 
garrafa
3.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/S
to
ck
cr
ea
tio
ns
x
y
1
1
2
4
8
16
0 2 3 4
SSoluçãççççç o
Abacaxi · Goiaba · Laranja · Limão · Maracujá · Morango
PROMOÇÃO DA SEMANA
Compre uma garrafa de 500 mL de suco e ganhe uma 
garrafinha de 200 mL do mesmo ou de outro sabor
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 65• •
Dados dois conjuntos A e B não vazios, denominamos produto cartesiano de A por B, que indicamos por A B 
(lemos “A cartesiano B”), o conjunto formado por todos os pares ordenados ( , )x y , com x A e y B .
A B x y x A e y B4 � � �� �( , ) |
O é de uma função, pois toda reta vertical que o 
intersecta o faz em um único ponto (por exemplo, as retas 
r e s). Nesse gráfico, para cada valor real de x existe um 
único valor de y em correspondência. 
O não é de uma função, pois existe pelo menos 
uma reta vertical que intersecta o gráfico em mais de 
um ponto (no exemplo, as retas r e s). Nesse gráfico, para 
todos os valores de x menores do que 4 existem dois 
valores de y em correspondência. 
 • A B4 � � �( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )0 2 0 5 1 2 1 5 2 2 2 5
B A :
 • B A4 � � �( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )2 0 2 1 2 2 5 0 5 1 5 2
O produto cartesiano de dois conjuntos é um conjunto 
de pares ordenados. É importante perceber que, em geral, 
A B B A4 2 4 , pois cada um deles apresenta pares em que 
as coordenadas estão invertidas, podendo representar 
pontos distintos em um plano cartesiano.
Reconhecimento do gráfico de uma função
Para reconhecer se um gráfico qualquer representa ou 
não uma função, devemos lembrar que, para termos uma 
função, cada elemento do domínio deve estar associado a 
um único elemento do contradomínio.
Por exemplo, considere os dois gráficos a seguir. Um 
x no 
y do contradomínio; o outro não é 
o de uma função. 
Gráfico IGráfff I
Observe o seguinte artifício para reconhecer se um 
gráfico é ou não de uma função. Se toda reta vertical 
concorrente com o gráfico intersectá-lo em apenas 
um ponto, significa que a abscissa desse ponto está 
associada a apenas um valor de y. Se uma dessas retas 
intersectar o gráfico em mais de um ponto, significa que 
a abscissa comum a esses pontos está associada a mais 
de um valor de y.
x
y
5
6
4
3
2
1
1–1
–1
–2
–3
–4
–5
–2–3–4–5 0 2
3
4 5 6
x
y
r s
5
6
4
3
2
1
1–1
–1
–2
–3
–4
–5
–2
–3–4–5 0 2 3
4
5 6
x
y
5
6
4
3
2
1
1–1
–1
–2
–3
–4
–5
–2–3–4–5 0 2
3
4 5 6
r s
33
x
y
5
6
4
3
2
1
1–1
–1
–2
–3
–4
–5
–2–3–4–5 0 2 3
4
5 6
66 MATEMÁTICA• •66 MATEMÁTICA• •
Por meio do gráfico de uma função, 
muitas vezes é possível identificar os 
respectivos domínio e conjunto-imagem. 
Observe os gráficos das funções f e g.
x, obtemos um 
conjunto de pontos, ou intervalos, que 
corresponde ao domínio da função; 
projetando os pontos do gráfico sobre 
y, obtemos o conjunto-imagem. 
Note que a indicação dos limites no 
gráfico da função fornece subsídios 
g, 
temos um intervalo aberto à esquerda e 
fechado à direita tanto para o domínio 
como para o conjunto-imagem.Na 
f, ambos os intervalos são 
fechados tanto à esquerda como à 
direita.
f e g, temos:
 • D f x x( ) | ,� � � . .� � � �&' ()4 5 4 5 e 
Im( ) | ,f y y� � � . .� � � �&' ()5 3 5 3
 • D g x x( ) | ,� � � - .� � � �() ()1 4 1 4 e 
Im( ) | ,g y y� � - .� � � () ()1 6 1 6 
 45. Represente no plano cartesiano abaixo os seguintes 
pontos: 
 • A( , )3 3
 • B( , )0 1 
 • C( , )4 0 
 • D( , )2 3 
 • E( , )3 2 
 • F( , )1 3 
 • G( , )0 0
ATIVIDADES
EM13MAT101, EM13MAT302, EM13MAT510
 46. Considere os conjuntos A �� �2 3 5, , e B�� �0 4, .
a) Obtenha os conjuntos A B e B A. 
A B
B A
4 �� �
4 �
( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )
( , ), ( , ), (
2 0 2 4 3 0 3 4 5 0 5 4
0 2 0 3 00 5 4 2 4 3 4 5, ), ( , ), ( , ), ( , )� �
b) Represente graficamente os conjuntos A B e B A . 
Em seguida, trace uma reta que divida os quadrantes 
ímpares (primeiro e terceiro) ao meio. 
x
y
5
6
4
3
2
1
1–1
–1
–2
–3
–4
–5
–2–3–4–5 0 2
3
f
4 5 6
x
g
y
5
6
4
3
2
1
1–1 0 2 3 4 5 6
1
1
–1
–1–2–3–4–5
–2
–3
–4
–5
0
2
3
4
5
2 3 4 5
x
y
A
D
E
F
B
C G
1
1
–1
–1 0
2
3
4
5
6
2 3 4 5 6
x
y
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 67• •
c) Nas representações gráficas de A B e 
B A, é possível observar uma simetria. 
Que tipo de simetria é essa?
Graficamente, os conjuntos A B e B A são simétricos 
em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja, há uma 
simetria de reflexão.
 47. Considere que o preço médio da gasolina 
comum em certa capital brasileira é de R$ 4,00 
o litro.
a) Escreva a lei de formação da função que 
relaciona o valor a ser pago R, em reais, e 
x litros de gasolina comum. 
R x4
b) Construa no plano cartesiano o gráfico 
dessa função. 
 49. (UFPR) Assinale a alternativa que apresenta a 
história que melhor se adapta ao gráfico. 
b) 
 48. Determine o domínio e o conjunto-imagem das 
funções representadas nos gráficos a seguir.
a) 
D e� �1 0 � �1 03 6 2 3, Im ,
D e� �1 0 � �1 01 2 4 5, Im ,
c) 
D e� � �0 0!1 1 � �1 15 1 0 4 2 6, , Im ,
d) 
D e� � �,0 0Im , 3 
1
1
0
2
3
4
5
2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
7
8
9
10
11
12
R (R$)
x (L)
x
y
3
6
–2
–3
x
5
2
y
–1
–4
x
6
4–5
–1
–2
2
y
x
3
y
distância
de casa
tempo
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
68 MATEMÁTICA• •68 MATEMÁTICA• •
Agora, você pode fazer as questões 
80 a 82 da seção Conquista Enem. 
– para um consumo entre 10 e 20 m3, paga-se 
o valor dos primeiros 10 m3 adicionado de 
R$ 6,00 por m3 para o que exceder os 10 m3;
– para um consumo entre 20 e 30 m3, paga-se 
o valor dos primeiros 20 m3 adicionado de 
R$ 12,00 por m3 para o que exceder os 20 m3;
3, paga-se o valor 
dos primeiros 30 m3 adicionado de R$ 18,00 
por m3 para o que exceder os 30 m3;
Por exemplo, se o consumo for de 15 m3, 
então, o valor a ser pago será de 6,00 reais, que 
corresponde aos primeiros 10 m3 consumidos, 
adicionado de 5 6 304 � reais, correspondente 
aos 5 m3que excedem os 10 m3; assim, o 
valor pago por um consumo de 15 m3 será de 
R$ 36,00.
De acordo com as informações acima, no que 
se refere ao pagamento do consumo mensal de 
água de uma residência, é correto afirmar que: 
a) Se o consumo for de 0 m3, então a 
residência está isenta de pagamento.
X b) Se o consumo for de 25 m3, então o 
pagamento será de R$ 126,00.
c) Se o consumo for de 20 m3, então o valor 
pago será o dobro do valor pago quando o 
consumo for de 10 m3.
d) Se o valor pago for de R$ 278,00, então o 
consumo foi de 35 m3.
e) O valor pago é diretamente proporcional 
ao volume de água consumido. 
a) Assim que saí de casa lembrei que deveria 
ter enviado um documento para um 
cliente por e-mail. Resolvi voltar e cumprir 
essa tarefa. Aproveitei para responder 
mais algumas mensagens e, quando me 
dei conta, já havia passado mais de uma 
hora. Saí apressada e tomei um táxi para o 
escritório. 
X b) Saí de casa e quando vi o ônibus parado 
no ponto corri para pegá-lo. Infelizmente 
o motorista não me viu e partiu. Após 
esperar algum tempo no ponto, resolvi 
voltar para casa e chamar um táxi. Passado 
algum tempo, o táxi me pegou na porta de 
casa e me deixou no escritório. 
c) Eu tinha acabado de sair de casa quando 
tocou o celular e parei para atendê-lo. Era 
meu chefe, dizendo que eu estava atrasado 
para uma reunião. Minha sorte é que nesse 
momento estava passando um táxi. Acenei 
para ele e poucos minutos depois eu já 
estava no escritório. 
d) Tinha acabado de sair de casa quando o 
pneu furou. Desci do carro, troquei o pneu 
e finalmente pude ir para o trabalho. 
e) Saí de casa sem destino – estava apenas 
com vontade de andar. Após ter dado 
umas dez voltas na quadra, cansei e resolvi 
entrar novamente em casa.
 50. (CESMAC – AL) Para estimular a economia no 
consumo de água, a Companhia de Saneamento 
de uma cidade aumentou o preço deste líquido. 
No gráfico a seguir, formado de partes de retas, 
temos o preço, em reais, pago pelo consumo 
de água de uma residência, em termos da 
quantidade de m3 consumida. 
A história que melhor se adapta ao gráfico é a da alternativa b. 
O preço do m3 de água depende da faixa de 
consumo:
– até 10 m3 de consumo, o preço é fixado em 
R$ 6,00;
a)
350
300
250
200
150
100
50
10 20 30 400
a) Incorreta. Para um consumo de 0 m3, o valor cobrado será de 
R$ 6,00.
b) Correta. Para um consumo de 25 m3, o valor cobrado será de:
R$ 6,00 + 10 · R$ 6,00 + 5 · R$ 12,00 = R$ 126,00
c) Incorreta. Para um consumo de 20 m3, serão cobrados 
R$ 6,00 + 10 · R$ 6,00 = R$ 66,00, que não correspondem ao dobro 
do valor cobrado para um consumo de 10 m3, que é de 
R$ 6,00.
d) Incorreta. Para um consumo de 35 m3, o valor cobrado será de:
R$ 6,00 + 10 · R$ 6,00 + 10 · R$ 12,00 + 5 · R$ 18,00 = R$ 276,00
e) Incorreta. Dobrando o consumo, o valor cobrado não dobra. 
Triplicando o consumo, o valor cobrado não triplica, e assim por 
diante. Portanto, o valor pago não é diretamente proporcional ao 
volume de água consumido.
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 69• •
CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES
f(x) x2
Para essa função, temos:
 •
f
f
f f
( ) ( )
( )
( ) ( )
� � � �
� �
�
�
�
��
� � �
1 1 1
1 1 1
1 1
2
2
imagens iguais. 
 •
f
f
f f
( ) ( )
( )
( ) ( )
� � � �
� �
�
�
�
��
� � �
2 2 4
2 2 4
2 2
2
2
imagens iguais.
Esse é um exemplo de função par.
Generalizando: 
f x f xx x( ) ( )( )� � � � �2 2
Elementos opostos têm
imagens iguais
� ����� ������
O gráfico de uma função par é 
sempre simétrico em relação ao eixo das 
ordenadas.
Para essa função, temos:
 •
g
g
g g
( ) ( )
( )
( ) ( )
� � � � �
� �
�
�
�
��
� � � �
1 1 1
1 1 1
1 1
3
3
imagens opostas.
 •
g
g
g g
( ) ( )
( )
( ) ( )
� � � � �
� �
�
�
�
��
� � � �
2 2 8
2 2 8
2 2
3
3
imagens opostas.
Esse é um exemplo de função ímpar.
Generalizando: 
g x g xx x( ) ( )( )� �� � � � �3 3
Elementos opostos têm
imagens opostas
� ������� ������ 
Graficamente, uma função ímpar 
sempre apresenta simetria em relação à 
origem do plano cartesiano.
Uma função f A B: é par se, para todo x A, 
f x f x( ) ( )� � .
Uma função f A B: é se, para todo x A , 
f(–x) = –f(x). 
Existem algumas características que 
possibilitam classificar as funções em diferentes 
categorias.
f: e g: , são 
definidas por f x x( ) 2 e g x x( ) 3
. Observe os 
respectivos gráficos. 
x
y
5
6
4
3
2
1
1–1
–1
–2
–2 0 2 3
x
y
5
6
4
3
2
1
1–1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–2 0 2 3
g(x) = x3
70 MATEMÁTICA• •707070707077 MATMATMATM EMÁEMÁEMÁMÁMMMMEM TICTICITICICCCCAAAAAAAAA••• ••••
SeleçãoBrasileira feminina é convocada 
para preparação dos Jogos Olímpicos
A técnica Pia Sundhage selecionou as 24 jogadoras para os 
treinos focados nos Jogos Olímpicos de Tóquio [...] em 2021
Confira todas as convocadas:
Goleiras:
Aline Reis – UD Granadilla Tenerife (Espanha)
Daniele Neuhaus – Benfica (Portugal)
Natascha – Paris FC (França)
Defensoras:
Antonia – Madrid CFF (Espanha)
Kathellen – Internacional de Milão (Itália)
Jucinara – Levante UD (Espanha)
Rafaelle – Changchun Dazhong (China)
Rayanne – Sporting Club Braga (Portugal)
Meio-campistas:
Ana Vitória – Benfica (Portugal)
Andressa Alves – Roma (Itália)
Debinha – North Carolina Courage (EUA)
Formiga – Paris Saint-Germain (França)
Giovanna – Barcelona (Espanha)
Laís Araújo – Apollon Limassol (Chipre)
Luana – Paris Saint-Germain (França)
Maria – Juventus (Itália)
Millene – Wuhan Xinjiyuan (China)
Atacantes:
Bia Zaneratto – Wuhan Xinjiyuan (China)
Ludmila – Atlético de Madrid (Espanha)
Marta – Orlando Pride (Estados Unidos)
Mylena – FC de Familicão (Portugal)
Nycole Raysla – Benfica (Portugal)
Raquel – Sporting Lisboa (Portugal)
Valéria – Madrid CFF (Espanha)
Observação 
existem funções que não são pares nem 
ímpares. Por exemplo, para a função 
f: , dada por f x x x( ) � �3 2, temos:
 • f x x x
f x x x
f x x x
( )
( ) ( ) ( )
( )
� �
� � � � �
� � � �
3 2
3 2
3 2
ObObObObObservaçaççççãoãoãoãoão 
Como f x f x( ) ( )� 2 e f x f x( ) ( )� 2 � , a 
f não é par nem ímpar. O gráfico 
dessa função não é simétrico em relação 
ao eixo das ordenadas nem em relação à 
origem.
funções ímpares e funções que não são 
pares nem ímpares nos conduz à seguinte 
pergunta:
“Existe alguma função que é 
simultaneamente par e ímpar?”
Para responder a essa pergunta, 
precisamos encontrar uma função que 
satisfaça as duas condições. 
Função par f x f x I
Função ímpar f x f x II
:
:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
� �
� � �
�
�
�
f x f x
f x
f x
( ) ( )
( )
( )
� �

 �
�
2 0
0
simultaneamente par e ímpar é f x( ) 0, 
para todo x real. Essa função é 
denominada função nula.
SELEÇÃO Brasileira feminina é convocada para preparação dos Jogos Olímpicos. 
Disponível em: https://www.esporteinterativo.com.br/futebolbrasileiro/Seleo-
Brasileira-feminina-e-convocada-para-preparao-dos-Jogos-Olimpicos-20201008-0010.
html. Acesso em: 22 jan. 2021.
x
y
5
4
3
2
1
1
–1
–1
–2
–3
–2 0 2 3
©Shutterstock/Rost9
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 71• •
Sendo A o conjunto de todas as jogadoras 
convocadas e B o conjunto das respectivas posições 
em campo, todo elemento de B está associado a 
pelo menos um elemento de A (nesse contexto, toda 
posição em campo tem pelo menos uma jogadora 
associada a ela). Dizemos que a função f A B: é 
sobrejetora ou sobrejetiva. 
f, o conjunto-imagem é 
, igual ao contradomínio. Assim, todo elemento 
do contradomínio é imagem de pelo menos um 
elemento do domínio.
Uma função f A B: é sobrejetora (ou 
sobrejetiva) quando todo elemento do 
Im( )f B. 
Por exemplo, a função f: 3 � definida por 
f x x( ) 2 é sobrejetora. 
Podemos relacionar o conjunto das jogadoras convocadas para a Seleção 
Brasileira com o conjunto das funções em campo. 
x
y
5
6
4
3
2
1
1–1–2–3–4–5 0 2 3 4 5 6
Im(f) = +f(x) = x2
BA
Meio-campista
Atacante
Defensora
Goleira
Ana Vitória
Andressa Alves
Debinha
Formiga
Giovanna
Laís Araújo
Luana 
Maria
Millene
Bia Zaneratto
Ludmila
Marta
Mylena
Nycole Raysla
Raquel
Valéria
Antonia
Kathellen
Jucinara
Rafaelle
Rayanne
Aline Reis
Daniele Neuhaus
Natascha
72 • •772 • ••
Podemos também relacionar o conjunto de 
goleiras da Seleção Brasileira aos respectivos 
países onde atuam as atletas convocadas. 
Uma função f A B: é injetora (ou 
injetiva) quando elementos distintos 
f é injetora quando:
x A x A x x f x f x1 2 1 2 1 2� � 2 � 2, , ( ) ( ) 
Observe o gráfico da função f: � 3 
definida por f x x( ) .
Observe que qualquer reta horizontal que 
intersecta o gráfico de f o faz em um único ponto. 
Isso significa que, para todo y Im(f), temos um 
único x� � associado, ou seja, dois valores 
distintos de x estão associados a valores distintos 
de y. Assim, a função é injetora.
Ainda no contexto da notícia, as atletas que 
ocupam a posição de defensoras da Seleção 
podem ser relacionadas aos clubes em que atuam. 
Acompanhe. 
Sendo A o conjunto dos nomes das goleiras e 
B o conjunto dos países onde todas as jogadoras 
convocadas atuam, não existem elementos 
distintos de A associados a um mesmo elemento 
de B (nesse contexto, isso quer dizer que goleiras 
diferentes necessariamente atuam em países 
diferentes). Nesse caso, dizemos que a função 
f A B: é injetora ou injetiva. 
Observe que a função f A B: , que 
simultaneamente injetora e sobrejetora, pois 
todo elemento de B está associado a um único 
elemento de A. 
Uma função f A B: é bijetora se for 
injetora e sobrejetora simultaneamente. 
©Shutterstock/Angelina Bambina
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1
0 1–1 2 3 4 5 6
2
3
4
5
6
y
x
f(x) = √x
r
B
Antonia
Kathellen
Jucinara
Rafaelle
Rayanne
Madrid CFF
Internacional de 
Milão
Levante UD
Changchun 
Dazhong
Sporting Club 
Braga
A
B
Espanha
Portugal
França
Itália
Estados Unidos
China
Aline Reis
Natascha
Daniele Neuhaus
A
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 2
02
1.
 D
ig
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M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 73• •
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Analise os gráficos das funções a seguir e identifique quais são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.
 f:a)
Solução
A função é injetora, pois para cada valor 
distinto de x no domínio há um valor distinto 
y no contradomínio. 
É sobrejetora, pois para todo y que 
pertence ao contradomínio há um x associado 
no domínio.
Como é injetora e é sobrejetora, a função 
é bijetora. 
Soluçãççç o
b)
c)
 h: � 3
Solução 
A função é injetora, pois para cada valor 
distinto de x no domínio há um valor distinto 
y no contradomínio.
Não é sobrejetora, pois existem valores 
de y no contradomínio que não estão 
associados a valores de x no domínio. Por 
exemplo, y = 1.
Como é injetora e não é sobrejetora, não 
é bijetora. 
 g: 3 �
Soluçãççç o 
Solução 
A função não é injetora, pois há valores de y no 
contradomínio que estão associados a um mesmo 
valor de x no domínio. Exemplo: g( ) ( )1 1 2� � � �g 
É sobrejetora, pois para todo y que pertence ao 
contradomínio há um x associado no domínio.
Como é sobrejetora mas não é injetora, não é 
bijetora. 
Soluçãç o 
y
x
1
1–1
–1
–2
–3
–2–3 0 2 3 4 5 6 7
2
3
4
5
6
7
y
x
1
1–1
–1
–2
–3
–2–3 0 2 3 4 5 6 7
2
3
4
5
6
7
y
x
1
1–1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–2–3–4 0 2 3 4 5 6
2
3
4
Al
es
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ro
 T
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oc
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 2
02
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02
1.
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ita
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74 • •74 • •
 51. Classifique cada uma das funções a seguir, de 
 em , em par, ímpar ou nem par nem ímpar. 
ATIVIDADES
b) 
Não é injetora, não é sobrejetora e não é bijetora.
c) 
Não é injetora, é sobrejetora e não é bijetora.
d) 
É injetora, é sobrejetora e é bijetora.
 53. (UFRN) Sejam E o conjunto formado por 
todas as escolas de ensino médio de Natal 
e P o conjunto formado pelos números que 
representam a quantidade de professores 
de cada escola do conjunto E. Se f E P: é 
a função que a cada escola de E associa seu 
número de professores, então:
a) f não pode ser uma função bijetora.
b) f não pode ser uma função injetora.
X c) f é uma função sobrejetora.
d) f é necessariamente uma função injetora.
Se cada escola tiver uma quantidade diferente de professores, a 
função é injetora. Se pelo menos duas escolas tiverem a mesma 
quantidade de professores, a função não é injetora. A função tem 
que ser necessariamente sobrejetora, pois cada quantidade de 
professores está associada a pelo menos uma escola. Portanto, a 
função é sobrejetora e podeou não ser injetora, ou seja, pode ou 
não ser bijetora. 
a) f x x( )
6
f x x x f x( ) ( ) ( )� � � � �6 6
A função é par.
b) g x
x
( )
3
g x
x x
g x( ) ( )� �
�
� � � �
3 3
A função é ímpar. 
c) h x x( )� �2
3
h x x x h x( ) ( ) ( )� � � � � � �2 23 3
A função é par.
d) i x
x
( ) 2
i x
i x
x
x( )
( )
� � � ��2
1
2
1
A função não é par nem ímpar. 
e) j x x( )� �2 6
j x x x( ) ( )� � 
 � � � � �2 6 2 6
A função não é par nem ímpar. 
f) k x
x
x
( )�
�
3
2
2
k x
x
x
x
x
k x
x
x
k x
( )
( )
( )
( ) ( )
� �
�
� �
�
�
�
� � �
�
� �
3
2
3
2
3
2
2 2
2
 A função é ímpar.
 52. Nos diagramas a seguir, identifique quais 
funções representadas em cada item são 
injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.
a) 
É injetora, não é sobrejetora e não é bijetora.
f
A B
g
A B
h
A B
i
A B
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
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 T
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1.
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A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 75• •
 55. (FGV – RJ) Dois conjuntos A e B, ambos não 
vazios e com número finito de elementos, são, 
respectivamente, o domínio e o contradomínio 
de uma função injetora f A B: . Nestas 
condições, pode-se afirmar que:
a) A e B devem ter a mesma quantidade de 
elementos;
b) A pode ter mais elementos que B;
X c) A pode ter menos elementos que B;
d) A deve ser subconjunto de B;
e) B deve ser subconjunto de A.
Se a função é injetora, cada elemento de A tem uma imagem 
distinta em B. Assim, o conjunto B deve ter pelo menos o mesmo 
número de elementos de A, ou um número maior do que A.
 56. (UFF – RJ) Considere as funções f, g e h, todas 
definidas em m n,1 0 com imagens em p q,1 0
representadas através dos gráficos a seguir: 
 54.
a) de uma função injetora que não seja 
sobrejetora.
Pessoal. Exemplo: função f(x) = x + 1 de A = {0, 1, 2} em B = {1, 2, 3, 4}. 
A função não é sobrejetora, pois há um elemento do conjunto B que 
não é imagem de nenhum elemento do conjunto A. A resposta poderia 
também ser fornecida por meio de um diagrama.
Pode-se afirmar que: 
X a) f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é 
injetiva. 
b) f é sobrejetiva, g é injetiva e h não é 
sobrejetiva. 
c) f não é injetiva, g é bijetiva e h é injetiva. 
d) f é injetiva, g não é sobrejetiva e h é 
bijetiva. 
e) f é sobrejetiva, g não é injetiva e h é 
sobrejetiva.
A função f é injetiva e sobrejetiva e, portanto, bijetiva. A função g 
não é injetiva, pois existem valores distintos de x com a mesma 
imagem, porém é sobrejetiva. A função h também não é 
injetiva, pois existem valores de x com a mesma imagem, nem 
sobrejetiva, pois o conjunto-imagem é diferente do contradomínio 
p q,1 0. 
b) de uma função sobrejetora que não seja 
injetora.
Pessoal. Exemplo: função f(x) = x2 – 1 de A = {–2, –1, 0, 1, 2} em 
B = {–1, 0, 3}. A função não é injetora, pois há elementos distintos 
do conjunto A que têm a mesma imagem no conjunto B. A resposta 
poderia também ser fornecida por meio de um diagrama.
c) de uma função bijetora.
Pessoal. Exemplo: função f(x) = x + 1 de A = {0, 1, 2} em B = {1, 2, 3}. 
A resposta poderia também ser fornecida por meio de um diagrama.
d) de uma função que não seja injetora nem 
sobrejetora.
Pessoal. Exemplo: função f(x) = x2 + 1 de A = {–2, –1, 0, 1, 2} em 
B = {1, 2, 4, 5}. A função não é sobrejetora, pois há um elemento do 
conjunto B que não é imagem de nenhum elemento do conjunto A. 
A função não é injetora, pois há elementos distintos do conjunto A que 
têm a mesma imagem no conjunto B. A resposta poderia também ser 
fornecida por meio de um diagrama.
x
y
q
p
m n
f
x
y
q
p
m n
g
x
y
q
p
m n
h
76 • •
©Shutterstock/Catarina Belova
FUNÇÃO COMPOSTA 
Bruno, que é dono de um quiosque na praia, 
obteve uma relação aproximada entre a temperatura 
média do dia, t n 
de clientes atendidos por ele no dia, com t 
relação é dada por n f t t� � �( ) 3 5. 
Assim, quando a temperatura média fica em 
n t� � � 
 � �3 5 3 20 5 65
exemplo, o número de clientes atendidos aumenta 
bastante:
n t� � � 
 � �3 5 3 35 5 110
r do 
n de clientes 
atendidos. Quando são atendidos n
é dada por r g n n� � �( ) 18 360 .
Calculando a receita para n 65 e para n 110, 
temos:
r g n n� � �( ) 18 360
g( )65 810
g( )110 1620
Para poupar cálculos, Bruno pensou em como 
obter uma função que relacione diretamente a 
temperatura média t com a receita do quiosque r. 
Acompanhe. 
 • n f t t I� � 
 �( ) ( )3 5
 • r g n n II� � 
 �( ) ( )18 360
Substituindo I em II
r g f t f t
r g f t
( ) ( )
( ( )) ( )
( ( )) (
:
� � 
 �
� � 
18 360
18 3tt
r g f t t
r g f t t
r h t t
� �
� � � �
� � �
� � �
5 360
54 90 360
54 270
54 2
)
( ( ))
( ( ))
( ) 770
h é denominada função composta de 
g com f, que podemos indicar por g f (lemos “g 
composta com f”). 
f(x)
g
g ° f
x
f
g(f(x))
A B C
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 77• •
M
A
T
M
A
T
2. CONJUJUNTOS E FUFUNÇÕÇÕÕEÕES 7777777777777• •
 Dadas as funções f e g, de em , 
definidas por f x x( ) � �3 4 e g x x( ) 2
, 
determine a lei de formação das funções 
f g e g f. 
Solução
i �
�
�
�
( )( ) ( ( ))
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
f g x f g x
f g x f x
f g x x
f g x
�
�
� 
 �
�
2
23 4
3xx2 4�
i �
�
�
�
( )( ) ( ( ))
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
g f x g f x
g f x g x
g f x x
g f x
�
� �
� �
�
3 4
3 4 2
99 24 162x x� �
 Observe que, em geral, para duas funções 
f e g, temos f g g f .
Dadas duas funções f A B: e 
g B C:
de g com f a função g f A C:
( )( ) ( ( ))g f x g f x x A. 
Assim como fizemos anteriormente, podemos 
pensar na função composta como uma máquina que 
usa duas transformações “em sequência”: 
EXEMPLOS RESOLVIDOS
1) 2) As funções f: e g: são tais 
que f x x( ) � �2 1 e f g x x x( ( )) � � �2 4 32 . 
Calcule o valor de g( )5 .
Solução
f(x) = 2x + 1
f(g(x)) = 2 · g(x) + 1
2x2
2 · g(x) = 2x2 + 4x + 2
g(x) = x2 + 2x + 1
2
Soluçãççç o
Soluçãçç o
x
f
g ° f
g
f(x) g(f(x))
BA C
x
f gf(x)
g(f(x))
78 • •78 • •
 57. Sejam as funções f: e g: 
definidas por f x x( )� �1 e g x x x( )� � �2
4, 
obtenha: 
a) f g x( ( ))
f(x) = x + 1
f(g(x)) = g(x) + 1
f(g(x)) = x2 + x + 4 + 1
f(g(x)) = x2 + x + 5
b) g f x( ( ))
g(x) = x2 + x + 4
g(f(x)) = f(x)2 + f(x) + 4
g(f(x)) = (x + 1)2 + (x + 1) + 4
g(f(x)) = x2 + 2x + 1 + x + 1 + 4
g(f(x)) = x2 + 3x + 6
c) f f x( ( ))
f(x) = x + 1
f(f(x)) = f(x) + 1
f(f(x)) = x + 1 + 1
f(f(x)) = x + 2
d) g g x( ( ))
g(x) = x2 + x + 4
g(g(x)) = g(x)2 + g(x) + 4
g(g(x)) = (x2 + x + 4)2 + (x2 + x + 4) + 4
g(g(x)) = x4 + 2x3 + 9x2 + 8x + 16 + x2 + x + 4 + 4
g(g(x)) = x4 + 2x3 + 10x2 + 9x + 24
e) f g( ( ))1
f(x) = x + 1
g(x) = x2 + x + 4
g(1) = 12 + 1 + 4 = 1 + 1 + 4 = 6
f(g(1)) = f(6) = 6 + 1 = 7
f) g f( ( ))3
f(x) = x + 1
g(x) = x2 + x + 4
f(–3) = –3 + 1 = –2
g(f(–3)) = g(–2) = (–2)2 + (–2) + 4 = 6 
 58. Sendo f: e g: 2, �,1 13 definidas 
por f x x( ) 2 e g x x( )� �2 , calcule o valor da 
f g g f( ( )) ( ( ))6 1 . 
f(x) = 2x
f(1) = 2 · 1 = 2 
g(f(1)) = g(2) = 2 2 = 0 = 0
g(x) = x 2
g(6) = 6 2 = 4 = 2
f(g(6)) = f(2) = 2 · 2 = 4
f(g(6)) + g(f(1)) = 4 + 0 = 4
 59. O gráfico da função f está representado a seguir. 
ATIVIDADES
Determine:
a) f f( ( ))2 
b) f f( ( ))1 
c) f f f( ( ( )))� � 
d) f f f f( )4 
 60. As funções f: e g: são tais que 
f x x( )� �4 e g f x x x( ( ))� � �2
4 3. Calcule g( )3 . 
g f x x x
g x x x
x x
( ( ))
( )
� � �
� � � �
� � � � �
2
2
4 3
4 4 3
4 4� �
g
g
g
( ) ( ) ( )
( )
( )
� � �
� � � �
� � �
� � � � � 
 � �
� � � � � �
� � �
4 4 4 4 4 3
8 16 4 16 3
4 3
2
2
2
Portanto, substituindo α por x, temos g x x x( ) � � �2 4 3 e 
g( )3 3 4 3 3 242� � 
 � � .
f( )� �2 0
f( )0 2
f f f( ( )) ( )� � �1 1 0
f f f f f f( ) ( ) ( )� � � �1 1 0 2
x
y
5
6
4
3
2
1
1–1
–1
–2
–2 0 2 3 4 5 6
USE ESTE ESPAÇO 
PARA ANOTAR O QUE 
APRENDEUATÉ AQUI.
TOME NOTA!
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 79• •
 61. Seja f uma função de em tal que 
f x x( )� � �3 5 16. 
a) Calcule f( )0 .
f x x
x x
f
f
( )
( ) ( )
( )
� � �
� � � � �
� � � 
 � �
�
3 5 16
3 0 3
3 3 5 3 16
0 1
b) Obtenha f x( ).
f x x
x x
f
( )
( ) ( )
� � �
� � � � �
� 
 � �
3 5 16
3 3
5 3 16
� �
� �
f
f
( )
( )
� �
� �
� � �
� �
5 15 16
5 1
Portanto, substituindo α por x, temos f x x( ) � �5 1.
 62. Considere as funções f, g e h, definidas em :
f x x( )� �3 2 g x x( )� �4 1 h x x( ) 2
2
Determine as leis que definem:
a) f g h( ) 
g h g h x g x
g x x x
f g h f g h x f
� �
� 
 � � �
� �
( ( )) ( )
( )
( ) ( ( ( )))
2
2 4 2 1 8 1
2
2 2 2
(( )
( ) ( )
8 1
8 1 3 8 1 2 24 5
2
2 2 2
x
f x x x
�
� � 
 � � � �
b) ( )f g h
f g f g x f x
f x x x
f g h f g h x
� � �
� � 
 � � � �
�
( ( )) ( )
( ) ( )
( ) ( ( (
4 1
4 1 3 4 1 2 12 5
)))) ( ( ))
( ( ))
�
� 
 � � �
f g x
f g x x x
2
2 12 2 5 24 5
2
2 2 2
 64. (UERR) A raiz da equação 
f g[g(x)] [f(x)]� � �10 0, em que f x x( )� �1 e 
g x x( )
2, é:
a) –6
b) –10
X c) 6
d) 2
e) –2
Inicialmente, obtemos f[g(x)] e g[f(x)].
f x x
f
f x
( )
[g(x)] g(x)
[g(x)]
� �
� �
� �
1
1
1 2
g x x
g
g x
( )
[f(x)] [f(x)]
[f(x)] ( )
�
�
� �
2
2
21
Assim:
f g
x x
x x x
x
[g(x)] [f(x)]
( )
� � �
� � � � �
� � � � � �
�
10 0
1 1 10 0
1 1 2 10 0
2 12
2 2
2 2
xx � 6
 63. As funções f: e g: são definidas 
por f x x( )� �5 4 e g x x b( )� �2 . 
Sabendo que f g x g f x( ( )) ( ( )), determine f b( ).
f g x g f x
f x b g x
x b x b
x b
( ( )) ( ( ))
( ) ( )
( ) ( )
�
� � �

 � � � 
 � �
� �
2 5 4
5 2 4 2 5 4
10 5 44 10 8
4 4 1
� � �
� � �
x b
b b
f x x
f b f
f b
( )
( ) ( )
( )
� �
� � 
 �
�
5 4
1 5 1 4
9
Agora, você pode fazer a questão 83 
da seção Conquista Enem. 
80 • •
FUNÇÃO INVERSA
Muitas pessoas não têm em sua cozinha uma 
balança para medir a massa dos ingredientes de 
uma receita. Nesse caso, elas podem usar uma tabela 
de conversão de medidas, que relaciona o volume 
dos ingredientes com a sua massa. Ao lado, temos 
um exemplo de uma tabela desse tipo.
Utilizando esses dados, podemos identificar 
duas funções:
f de A em B, que associa a massa da 
farinha, em gramas, ao volume em xícaras. 
Para determinar a lei de formação da inversa 
de uma função, podemos utilizar um procedimento 
f de A em 
B, que associa a massa ao volume, é dada por 
f x
x� � �
120
.
 • Como y f x( ) f como 
y
x
120
. 
 • Trocamos x por y e y por x, obtendo: x
y
120
. 
 • Escrevemos y em função de x e obtemos 
f x1( ):
x
y
y x f x x� � � � ��
120
120 1201( )
g de B em A, que associa 
o volume à massa da farinha de trigo, é dada por 
g x x( ) 120 . 
Note que a função inversa é aquela que, 
quando a compomos com a função original, 
resulta na função identidade. Portanto: 
f f x x� � �� � �1
g de B em A, que associa o volume 
em xícaras à massa da farinha, em gramas.
As funções f e g são bijetoras. Além disso, o 
domínio da primeira é igual ao conjunto-imagem da 
segunda e, reciprocamente, o domínio da segunda 
é igual ao conjunto-imagem da primeira, ou seja, 
D f g A( ) Im( ) e D g f B( ) Im( ) . Nessas condições, 
dizemos que as funções f e g são inversas uma da 
g, inversa de f, por f 1. 
Dada uma função f A B:
função inversa de f a função f B A� 31 : tal que 
se f a b( ) f b a� �1 ( ) a A e 
b B . 
f a b
f b a
( )
( )
�
��1
FARINHA DE TRIGO
480 g 4 xícaras de chá
240 g 2 xícaras de chá
120 g 1 xícara de chá
60 g 1/2 xícara de chá
30 g 1/4 xícara de chá
BA
4
f
1
2
1/2
1/4
480
120
240
60
30
B A
g
4
1
2
1/2
1/4
480
120
240
60
30
f
f–1
A B
a b
©Shutterstock/Natalia Sem
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 81• •
EXEMPLO RESOLVIDO
Obtenha a função inversa da função f: 
definida por f x x( ) � �3 4.
Solução
 • f como y x� �3 4. 
 • Trocamos x por y e y por x, obtendo: x y� �3 4. 
 • Escrevemos y em função de x e obtemos f x1( ):
x y x y y
x
f x
x
� � � � � � �
�
� �
��3 4 4 3
4
3
4
3
1( )
Observações
• Para que uma função 
seja invertível, ou 
seja, admita inversa, 
ela deve ser bijetor
a. 
• Não confunda a 
notação f 1, 
utilizada para função 
inversa de f, com o 
inverso da regra de 
uma função, ou seja, 
f x
f x
� 21 1( )
( ) . Na função 
f: definida por 
f x x( ) � �3 4, 
f x x� � �1 4
3
( ) , 
enquanto 
1 1
3 4f x x( ) �
�
. 
Gráfico da função inversa 
Se f é uma função, f 1 é sua inversa e f a b( ) , então 
f b a� �1( ) . Isso significa que, se o ponto de coordenadas ( , )a b 
pertence ao gráfico de f, então o ponto de coordenadas ( , )b a 
pertence ao gráfico de f 1. Esses pontos são simétricos em relação 
à bissetriz dos quadrantes ímpares. Observe os gráficos da função 
f: definida por f x x( ) � �3 4 e da sua inversa f� 31: 
definida por f x
x� �
�1 4
3
( ) . 
SSSSSoSSSSSSSSSSS luçãçççççççç ooo
Como curiosidade, se considerar 
oportuno, comente com os alunos 
que existem inúmeras funções iguais 
às suas inversas, como a função 
f
k k
: � ��
�
�
�
�
3 � ��
�
�
�
�
1 1
 definida por 
f x
x
k x
� � �

 �1
, com k ≠ 0.
1
1
–1
–1–2–3–4
–2
–3
–4
0
2
3
4
5
6
7
2 3 4 5 6 7
x
y
x = y
f
f–1
82 MATEMÁTICA• •
Podemos utilizar recursos digitais para desenhar gráficos de funções. Eles facilitam bastante, por 
exemplo, a representação da inversa de uma função e da visualização de suas características.
Os programas de computador que trabalham com gráficos de funções exibem em uma parte da tela a 
representação do plano cartesiano. Também apresentam um campo no qual a expressão algébrica pode ser 
digitada.
Veja na figura a exibição das funções f(x) = x + 2 e de sua inversa, g(x) = x – 2. 
FIQUE POR DENTRO
DICAS DE USO
 • A expressão algébrica da função deve ser digitada no campo “Entrada”.
 • Para escrever expressões que envolvam expoentes, devemos usar o símbolo “^”. Por exemplo, para digitar x2, escrevemos x^2.
 • Clicando com o botão direito sobre um elemento do gráfico, é possível alterar algumas configurações como cor, exibir rótulo, ocultar o objeto ou renomeá-lo. 
 • Os programas também permitem marcar pontos, traçar segmentos, medir distâncias e ângulos, entre outras funcionalidades úteis no estudo de funções. 
1
–1
–2
–3
–4
–5
1–1–2–3 0 2 3 4 5
2
3
4
5
+
A a = 2
f(x) = x + 2
g(x) = x – 2
Entrada...
f
g
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 83• •
 65. Seja a função bijetora f: definida por 
f x
x
( )� �
2
1.
ATIVIDADES
a) Obtenha a lei de formação da função inversa de f. 
f x
x
y
x
x
y
x y y x
f x x
( )
( )
� � � � �
� � � � � � � �
� ��
2
1
2
1
2
1 2 2 2 2
2 21
•
b) No plano cartesiano a seguir, construa os 
gráficos das funções f e f–1.
c) Qual é o ponto de intersecção dos gráficos das funções 
f e f–1?
Os gráficos das duas funções se intersectam no ponto ( , )2 2 . Algebricamente, 
esse ponto de intersecção pode ser obtido resolvendo o sistema formado pelas leis 
de formação das funções.
y
x
y x
x
x x x
x x
y x y
� �
� �
�
�
�
��
� � � � � � � �
� � � � � �
� � � � 
2
1
2 2
2
1 2 2 2 4 4
3 6 2
2 2 2 (( )� � � � �2 2 2y
 66. Em seu caderno, obtenha a lei 
de formação da inversa de cada 
uma das funções de em a 
seguir. 
a) f x x( )� �4 5
b) g x x( )� �3
5
c) h x x( )� �3
1
d) i x x( )� �
1
3
 
 67. Seja g: uma função 
definida por g x
x m
( )�
�3
4
. Se 
g
� �1
5 2( ) , determine o valor de m. 
 68. (IF SUDESTE MG) Seja 
uma função real definida 
algebricamente pela expressão 
f x
x
( )�
�5
3
2
. Podemos afirmar 
que a representação algébrica 
para f x
1
( ) será: 
a) y
x
�
�
2
3
5
b) y
x
�
�5
3
2
c) y x� �( )
5 2
3
X d) y x� �( )2 3
1
5
e) y x� �( )
35
2 
Primeira solução:
g x
x m
y
x m
( ) �
�
�
�3
4
3
4
�
x
y m
x y m y
x m
�
�
� � �
3
4
4 3
4
3
� �
–
g x
x m�1 4
3
( ) �
–
g�1 5 2( ) �
4 5
3
2 20 6 14
· –
–
m
m m� � �� �
Segunda solução:
Como g–1(5) = 2, então g(2) = 5.g x
x m
g
m
m m
( )
( )
�
�
�
�
� � � �
3
4
2 5
3 2
4
5 6 20 14
� �
f
x
y
x
(x) �
�
� �
�5 53
2
3
2
x
y
x y
y x
y x x
�
�
� � � �
� � �
� � � � �
5
5
5
5
1
5
3
2
2 3
2 3
2 3 2 3( )
Portanto, a inversa de f é 
dada por f x x� � �1
1
52 3( ) ( ) .
1
1
–1
–1–2–3–4–5
–2
–3
–4
–5
–6
0
2
3
4
5
6
7
8
2 3 4 5 6 7
x
y
f–1
f
84 MATEMÁTICA• •
 69. (UNIOESTE – PR) Considere �� �0 1 2, , , ... e 
f: dada por f n n( )� �1. 
a) A função inversa de f é g: dada por 
g n n( )� �1.
b) A função inversa de f é g: dada por 
g n n( )� �1.
c) A função inversa de f é g: dada por 
g n n( )� � �1.
d) A função f não tem inversa pois não é 
injetora.
X e) A função f não tem inversa pois não é 
sobrejetora.
 71. (UCB – DF) Considerando que a figura 
apresentada mostra os gráficos de duas 
funções reais, f e g, bem como a bissetriz do 
primeiro e do terceiro quadrantes de um 
sistema cartesiano ortogonal, julgue os itens a 
seguir. 
0. ( F ) As funções f e g têm o mesmo 
domínio.
1. ( F ) A equação f x g x� � � � � tem uma única 
solução real.
2. ( F ) f g0 1� � � � �
3. ( V ) f g x g f x� �� � � � �� �
4. ( V ) Os gráficos representam duas funções 
inversas.
 70. (UNICENTRO – PR) Se f é uma função inversível 
com f( )2 0 e g x x x( ) ( )� �/ 1 , então 
( ) ( )f g
1
0 é igual a
a) –4
b) –3
X c) –2
d) –1
e) 0
Se ( ) ( )f g k� �1 0 , então ( )( )f g k 0. 
Assim:
( )( )
( ( ))
f g k
f g k
0
0
Como a função f admite inversa, f é bijetora e, por conseguinte, 
injetora e sobrejetora.
Sendo injetora, como f( )2 0 e f g k( ( )) 0, temos g k( ) 2.
Portanto:
g x
x
x
g k
k
k
k
k
k k
k f g
( )
( )
( ) ( )
�
�
�
�
�
�
� �
� � � � ��
1
1
2
1
2 2
2 0 21
 
A função f é injetora, pois números 
naturais distintos têm sucessores também distintos. Como não existe 
x ∈ tal que f(x) = 0, a função f não é sobrejetora. Portanto, não é 
bijetora e não admite inversa.
0. Falsa. Por exemplo, o valor x = 0 pertence ao domínio de f, 
mas não pertence ao domínio de g.
1. Falsa. Os gráficos de f e g não se intersectam, logo a equação 
f(x) = g(x) não tem soluções.
2. Falsa. f(0) = 1 e g(1) = 0. 
3. Verdadeira. Como f e g são inversas (pois são simétricas com 
relação à bissetriz dos quadrantes ímpares), temos:
f(g(x)) = x = g(f(x))
4. Verdadeira. Conforme o item anterior, f e g são funções 
inversas. 
1
1
–1
–1 0
2
3
4
5
2 3 4 5 6
x
y
g
f
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 85• •
USE ESTE ESPAÇO 
PARA ANOTAR O QUE 
APRENDEU ATÉ AQUI.
TOME NOTA!
 72. Sejam as funções f: , definida por 
f x x( )� �2, e g: �1 03 �1 04 5 3 2, , , cujo gráfico 
está representado a seguir. Calcule o valor de 
f g f
� �
�
	
�
�
1 3
2
. 
f
g f g
f x x
y x
x y
3
2
3
2
2
7
2
3 5
3
2
3 5 2
2
2
�
�
	
�
� � � � �
�
�
	
�
� � �
� �
� �
� �
,
( , )
( )
22 2
2
3
2
2 2 2 0
1
1 1
� � �
� �
�
�
	
�
� � � � �
�
� �
y x
f x x
f g f f
( )
( )
 73. (UFV – MG) Seja 
5 �� �A B C D E F G H I J K L X Y Z, , , , , , , , , , , , ..., , , , 
conjunto das letras do alfabeto brasileiro 
(incluindo K, W, Y). Considere Ω1 um 
subconjunto de e f :5 53
1
 a função 
definida por f A( ) 3, f B( ) 27, f C( ) 243, 
f D( ) 2187 e assim por diante. Suponha, 
ainda, que f é bijetora e que f
1 é sua inversa. 
Calculando f
1
3( ), f
1 23
3( ), f
1 9
3( ), f
1 25
3( ) e 
mantendo essa ordem, obtém-se a palavra:
a) A N E L
b) A L G O
X c) A L E M
d) A M E I
e) A N I L
f A f B f C f D( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ...3 27 3 243 3 2187 33 5 7
Assim, f E( )39 , f L( )323 e f M( )325 . 
Portanto:
f A� �1 3( ) , f E� �1 93( ) , f L� �1 233( ) e f M� �1 253( )
f f f f
A L E M
1 1 23 1 9 1 253 3 3 3( ) ( ) ( ) ( )���� �� ��� ��� ��
x
y
5
6
4
3
2
1
1–1
–1
–2
–3
–2–3–4 0 2 3 4 5 6
86 MATEMÁTICA• •
ORGANIZE AS IDEIAS
Na primeira metade do capítulo, estudamos os seguintes conjuntos numéricos: naturais, inteiros, 
racionais, irracionais e reais. Para organizar as ideias mais importantes a respeito desses números, 
complete o esquema a seguir.
Sua representação 
decimal é
Sua representação 
decimal é
finita ou infinita 
e periódica
Irracionais
São números que São números que
não podem ser escritos 
como razão de dois 
números inteiros
podem ser escritos 
como razão de dois 
números inteiros
Podem ser
Os alunos podem ainda 
acrescentar exemplos 
para cada tipo de 
número.
Não inteirosInteiros
Naturais Inteiros negativos
OS NÚMEROS REAIS PODEM SEROS NÚMMERROS REAIS POS NÚMMERRO PODDEM SEROS REAIS POS REAIS PODDEM SEROS REAIS P
Racionais
infinita e não 
periódica
Podem ser
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 87• •
Na segunda parte do capítulo, estudamos os aspectos gerais das funções. Entender esses 
conceitos é muito importante na continuidade do estudo dos diferentes tipos de funções. 
No quadro a seguir, as principais ideias apresentadas no decorrer deste capítulo foram 
organizadas em forma de resumo. Complete as frases com as palavras adequadas.
• Em uma função f A B: , cada elemento do conjunto A está associado a um único 
elemento do conjunto B. 
• Em uma função f A B: , o conjunto A é o domínio da função e B é 
o contradomínio da função.
• O conjunto formado por todos os elementos do contradomínio associados a pelo menos um 
elemento do domínio é denominado conjunto-imagem . 
• Quando f(–x) = f(x) para todo x pertencente ao domínio da função f, ela é denominada 
função par . 
• Quando para todo x pertencente ao domínio da função f, ela é 
denominada função ímpar. 
• Em uma função injetora , elementos distintos do domínio estão associados a 
imagens distintas do contradomínio. 
• Em uma função sobrejetora, o conjunto-imagem é igual ao contradomínio . 
• Uma função bijetora é simultaneamente injetora e sobrejetora . 
• Para que uma função admita inversa, ela deve ser bijetora . 
• Os gráficos de uma função e de sua inversa são simétricos em relação à bissetriz dos 
quadrantes ímpares . 
f x f x( ) ( )� � �
88 MATEMÁTICA• •
Todas as atividades desta seção devem ser 
resolvidas no caderno.
 74. ENEM Um fabricante de cosméticos decide 
produzir três diferentes catálogos de seus 
produtos, visando a públicos distintos. Como 
alguns produtos estarão presentes em mais 
de um catálogo e ocupam uma página inteira, 
ele resolve fazer uma contagem para diminuir 
os gastos com originais de impressão. Os 
catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 
45 e 40 páginas. Comparando os projetos de 
cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 
páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em 
comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das 
quais 4 também estarão em C1. 
Efetuando os cálculos correspondentes, o 
fabricante concluiu que, para a montagem 
dos três catálogos, necessitará de um total de 
originais de impressão igual a:
a) 135.
b) 126.
X c) 118.
d) 114.
e) 110.
 75. ENEM Durante uma festa de colégio, um 
grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta 
alunos faltaram à festa e não participaram 
da rifa. Entre os que compareceram, alguns 
compraram três bilhetes, 45 compraram 2 
bilhetes, e muitos compraram apenas um. O 
total de alunos que comprou um único bilhete 
era 20% do número total de bilhetes vendidos, 
e o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o 
número total de alunos do colégio.
Quantos alunos compraram somente um 
bilhete?
a) 34
b) 42
c) 47
X d) 48
e) 79
 76. (UNCISAL) Em um supermercado, uma marca 
de chocolates realizou uma pesquisa sobre as 
preferências de tipos de chocolate e concluiu 
que:
 I. 24 consumidores gostam de chocolate ao 
leite;
 II. 22 consumidores gostam de chocolate 
branco;
 III. 17 consumidores gostam de chocolate meio 
amargo;
 IV. 5 consumidores gostam de chocolate ao 
leite e de chocolate meio amargo;
 V. 4 consumidores gostam de chocolate meio 
amargo e de chocolate branco.
Se nãohouve entrevistado que declarasse 
preferência pelos chocolates ao leite e 
branco simultaneamente, qual o número de 
consumidores consultados?
a) 49
b) 50
X c) 54
d) 58
e) 72
 77. (UFRGS – RS) Em uma pesquisa feita com 50 
sócios de uma cooperativa constatou-se que 
30 são produtores de arroz, 20 são produtores 
de feijão e 10 produzem arroz e feijão. Nessas 
condições é verdadeiro afirmar que, dos sócios 
pesquisados:
a) 60% produzem somente arroz.
b) Exatamente 10% não produzem nem 
arroz nem feijão.
X c) 80% produzem arroz ou feijão.
d) 100% são produtores de pelo menos uma 
das duas culturas.
e) Exatamente 30% produzem somente 
arroz.
 78. (UFF – RJ) Em um certo dia, três mães deram 
à luz em uma maternidade. A primeira teve 
gêmeos, a segunda, trigêmeos e a terceira, 
um único filho. Considere, para aquele dia, o 
conjunto das três mães, o conjunto das seis 
crianças e as seguintes relações: 
 I) A que associa cada mãe ao seu filho.
 II) A que associa cada filho a sua mãe.
 III) A que associa cada criança ao seu irmão.
São funções:
a) somente a I
X b) somente a II
c) somente a III
d) todas
e) nenhuma
 79. ENEM Uma empresa deseja iniciar uma 
campanha publicitária divulgando uma 
promoção para seus possíveis consumidores. 
Para esse tipo de campanha, os meios mais 
viáveis são a distribuição de panfletos na rua 
e anúncios na rádio local. Considera-se que 
a população alcançada pela distribuição de 
panfletos seja igual à quantidade de panfletos 
distribuídos, enquanto que a alcançada por 
um anúncio na rádio seja igual à quantidade 
de ouvintes desse anúncio. O custo de cada 
CONQUISTA ENEM EM13MAT101, EM13MAT302, EM13MAT314, EM13MAT506, EM13MAT510
M
A
T
2. CONJUNTOS E FUNÇÕES 89• •
anúncio na rádio é de R$ 120,00, e a estimativa 
é de que seja ouvido por 1 500 pessoas. Já a 
produção e a distribuição dos panfletos custam 
R$ 180,00 cada 1 000 unidades. Considerando 
que cada pessoa será alcançada por um 
único desses meios de divulgação, a empresa 
pretende investir em ambas as mídias.
Considere X e Y os valores (em real) gastos 
em anúncios na rádio e com panfletos, 
respectivamente.
O número de pessoas alcançadas pela 
campanha será dado pela expressão
X a) 
50
4
50
9
X Y
 
b) 
50
9
50
4
X Y
c) 
4
50
4
50
X Y
d) 
50
4
50
9X Y
e) 
50
9
50
4X
Y
Y
 80. ENEM Acompanhando o crescimento do filho, 
um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a 
variação da sua altura se dava de forma mais 
rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir 
de 17 anos, essa variação passava a ser cada 
vez menor, até se tornar imperceptível. Para 
ilustrar essa situação, esse casal fez um gráfico 
relacionando as alturas do filho nas idades 
consideradas.
Que gráfico melhor representa a altura do filho 
desse casal em função da idade?
X a) 
c) 
Altura (cm)
Idade (anos)100
51
148
171
180
17
Altura (cm)
Idade (anos)100
51
148
171
180
17
Altura (cm)
Idade (anos)100
51
148
171
180
17
Altura (cm)
Idade (anos)100
51
148
171
180
17
Altura (cm)
Idade (anos)100
51
148
171
180
17
 81. ENEM A resistência elétrica R de um condutor 
homogêneo é inversamente proporcional à 
área S de sua seção transversal.
Disponível em: http://efisica.if.usp.br. Acesso em: 2 ago. 2012.
O gráfico que representa a variação da 
resistência R do condutor em função da área S 
de sua seção transversal é
a) 
b)
S
R
d) 
e) 
90 MATEMÁTICA• •
1
2
3
4
5
A1
1
2
3
4
5
A2 82. ENEM Nos seis cômodos de uma casa há 
sensores de presença posicionados de forma 
que a luz de cada cômodo acende assim que 
uma pessoa nele adentra, e apaga assim que 
a pessoa se retira desse cômodo. Suponha 
que o acendimento e o desligamento sejam 
instantâneos.
O morador dessa casa visitou alguns desses 
cômodos, ficando exatamente um minuto em 
cada um deles. O gráfico descreve o consumo 
acumulado de energia, em watt × minuto, em 
função do tempo t, em minuto, das lâmpadas 
de LED dessa casa, enquanto a figura apresenta 
a planta baixa da casa, na qual os cômodos 
estão numerados de 1 a 6, com as potências das 
respectivas lâmpadas indicadas.
A sequência de deslocamento pelos cômodos, 
conforme o consumo de energia apresentado 
no gráfico, é
X a)
b)
c)
d)
e)
 83. (INSPER – SP) O conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} 
foi representado duas vezes, na forma de 
diagrama, na figura abaixo.
b) 
X c) 
d) 
e) 
S
R
S
R
S
R
S
R
Para definir uma função sobrejetora f : A A, 
uma pessoa ligou cada elemento do diagrama 
A1 com um único elemento do diagrama A2, 
de modo que cada elemento do diagrama A2 
também ficou ligado a um único elemento do 
diagrama A1. Sobre a função f assim definida, 
sabe-se que:
 • f(f(3)) = 2 • f(2) + f(5) = 9
Com esses dados, pode-se concluir que f(3) vale
X a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
3DOBRE NA LINHA PONTILHADAFUNÇÃO ÃOO
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
D
Imagens: ©Shutterstock/Rawpixel.com; Allakuz; TanyaFox
 Reconhecer relações entre 
duas grandezas que são 
expressas por uma função 
afim.
 Representar essas relações 
de forma algébrica e gráfica, 
inclusive utilizando recursos 
digitais.
 Identificar características 
de funções afins por 
meio da análise de suas 
representações algébrica e 
gráfica.
 Resolver problemas 
relacionados às funções afins. 
92 MATEMÁTICA• •
3
CONCEITO DE FUNÇÃO AFIM
Venda on-line vira alternativa para o 
comércio durante crise do coronavírus
Supermercado, farmácia, feira e loja de variedades vão para internet ou para 
o serviço de delivery para driblar a crise causada pelo coronavírus
GONÇALVES, Siumara. Venda on-line vira alternativa para o comércio durante crise do coronavírus. Disponível em: https://www.agazeta.
com.br/es/economia/venda-on-line-vira-alternativa-para-o-comercio-durante-crise-do-coronavirus-0320. Acesso em: 30 out. 2020.
Com o crescimento da busca pelos serviços de entrega, houve um aumento na competição entre as 
empresas que oferecem esse tipo de serviço. Algumas delas resolveram oferecer até mesmo um serviço de 
entregas próprio como estratégia para conquistar clientes.
Entre as opções de entrega no site
quilômetro rodado, referente à distância do local de entrega em relação ao depósito da livraria. A distância é 
calculada automaticamente no site, de acordo com o CEP indicado pelo cliente.
Assim, se um cliente que mora a 6 km do depósito utilizar esse serviço, pagará pela entrega:
Podemos relacionar por meio de uma função a distância percorrida d, em quilômetros, com o valor F a ser 
pago pelo frete.
F d� �5 0 2,
Note que, sabendo o valor do frete pago por qualquer cliente, é possível calcular a distância do local da 
entrega em relação ao depósito da livraria.
8 40 5 0 2 0 2 3 40
3 40
0 2
17, , , ,
,
,
� � � � � � �d d d
Observe a representação dessa função no plano cartesiano a seguir. 
A função que relaciona a distância e o valor do frete pode ser representada por uma função afim e, por isso, podemos afirmar que seu gráfico é parte de uma reta. 
EM13MAT302, EM13MAT401, EM13MAT501
Retome com os alunos a função do 1º. grau, 
estudada no Ensino Fundamental, relembrando 
que seu gráfico é uma reta. Mais adiante, 
neste capítulo, demonstraremos que o gráfico 
da função afim é uma reta. A rigor, como o 
contexto exposto nesse exemplo não permite 
que a função assuma valores negativos, o 
gráfico apresentado é, na realidade, uma 
semirreta, cuja origem é o ponto (0, 5). Você 
pode comentar isso com os alunos e aproveitar 
o estudo sobre domínio e imagem de uma 
função realizado no capítulo anterior.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/H
al
fp
oi
nt
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
M
A
T
3. FUNÇÃO AFIM 93• •
Observe que a função que relaciona o frete e a distância 
percorrida na entrega atende a essa definição de função afim:
Toda função f: será uma função afim quando puder ser escrita na forma f x ax b( ) � � , com a, b .
Acompanhe mais esta situação: uma agência de turismo resolveu distribuir camisetas aos clientes que 
adquiremseus pacotes turísticos. Para isso, fez uma cotação de preços em duas empresas fornecedoras. A 
empresa A cobra R$ 450,00 pela elaboração do design da camiseta e mais R$ 35,00 por peça. Na empresa B, 
o custo do design é de R$ 1.000,00 e o preço de cada camiseta é de R$ 30,00.
A relação entre o custo de produção e a quantidade de camisetas em cada empresa é uma função, e a lei 
de formação que representa cada uma dessas funções é:
C x x C x xA B( ) ( )� � 
 � � 
450 35 1000 30
Podemos criar uma tabela com os custos de ambas as empresas para cada quantidade de camisetas e 
escrever os pares ordenados (quantidade de camisetas, custo) de cada empresa. 
Quantidade de 
camisetas (x)
Custo empresa A Custo empresa B Par ordenado 
empresa A
Par ordenado 
empresa B
0 450 1 000 (0, 450) (0, 1 000)
50 2 200 2 500 (50, 2 200) (50, 2 500)
100 3 950 4 000 (100, 3 950) (100, 4 000)
150 5 700 5 500 (150, 5 700) (150, 5 500)
200 7 450 7 000 (200, 7 450) (200, 7 000)
250 9 200 8 500 (250, 9 200) (250, 8 500)
300 10 950 10 000 (300, 10 950) (300, 10 000)
350 12 700 11 500 (350, 12 700) (350, 11 500)
400 14 450 13 000 (400, 14 450) (400, 13 000)
Também podemos representar as duas funções no plano cartesiano. Para isso, basta localizar os pares 
ordenados de cada uma, pois, nesse exemplo, consideramos apenas valores inteiros para o domínio. Os 
pontos que representam os pares ordenados fazem parte de retas que definem funções afins. Na imagem 
abaixo, representamos as retas dessas funções. 
f(x)
a
x
b
F d� �0 2 5,
Veja os comentários no Manual digital.
escrever
Quant
000)
gemmmmm
C x xA ( ) � � 
450 35 C x xB ( ) � � 
1000 30
C (R$)
x
0 50
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
16 000
100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
14 000
(50, 2 200)
(200, 7 000)
(400, 13 000)
CA
CB
(300, 10 950)
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
94 MATEMÁTICA• •
Observando o gráfico, constatamos que as duas funções têm o mesmo valor para certa quantidade de 
camisetas. Isso significa que há um par ordenado em comum para as duas funções.
Podemos calcular esse par ordenado utilizando apenas as fórmulas.
Se os custos são iguais, significa que as funções têm o mesmo valor, ou seja, C x C xA B( ) ( ).
C x C x
x x
x x
x x
A B( ) ( )�
� � �
� � �
� � �
450 35 1000 30
35 30 1000 450
5 550 110
C x x
C
C x x
C
A
A
B
B
( )
( )
( )
( )
� �
� � 
 �
� �
�
450 35
110 450 35 110 4300
1000 30
110 11000 30 110 4300� 
 �
Com base nos valores de a e b, podemos distinguir dois tipos de funções afins.
 • Função constante: uma função afim é dita constante quando o coeficiente da variável x é nulo. 
Nesse caso, a função f: é definida por f x b( ) , com b pertencendo aos números reais.
Exemplos: f x( ) ,� �0 3 f x( ) 12 f x( )
1
4
 • Função polinomial do 1º. grau: é toda função f: definida por f x ax b( ) � � , sendo a e b 
números reais e a 0. 
Entre as funções polinomiais do 1º. grau, destacamos um caso particular: a função linear.
Uma função f: definida por f x ax( ) , com a 0, é denominada função linear. Note que a 
função linear tem b 0. 
Exemplos: f x x( ) 5 f x x( ) ,� �4 19 f x x( ) 2
Quando uma função linear apresenta a 1, temos a função identidade. Esse tipo de função 
f: é definida por f x x( ) . 
Podemos representar essa situação por meio de duas funções afins. Veja:
f x C x a b
g x C x x a b
A
B
( ) ( ) x
( ) ( )
3 � � � �
3 � � � �
450 35 35 450
1 000 30 30 1000
nas duas empresas.
Relembre que, nesse contexto 
específico, consideramos apenas 
os pontos pertencentes às retas, 
pois o domínio dessas funções é 
o conjunto dos números naturais.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/A
nd
re
y_
Po
po
v
nas duas empresas.
M
A
T
3. FUNÇÃO AFIM 95• •
EXEMPLOS RESOLVIDOS
 Os médicos pediatras, ao receitarem antibióticos, 
precisam calcular a dosagem adequada, e isso, 
em geral, é feito com base na massa corporal da 
criança. Se um medicamento indica na bula a dose 
medicamento. Se ele for distribuído em duas doses, 
a) Escreva a fórmula matemática que fornece 
a dosagem desse remédio, em miligramas, 
para duas doses ao dia D2 em função 
da massa corporal m da criança, em 
quilogramas. 
Solução
 
D m
m
ou D m m2 2
50
2
25( ) ( )
 
b) Calcule a massa de uma criança que 
desse remédio.
Solução
D m m
m m
2 25
325 25
325
25
13
( ) �
� � � �
 A criança tem 13 kg.
1)
 2. ENEM
Na seleção para as vagas deste anúncio, feita por telefone ou correio eletrônico, 
propunha-se aos candidatos uma questão a ser resolvida na hora. Deveriam calcular 
segundo mês, se vendessem o dobro. Foram bem-sucedidos os jovens que responderam, 
respectivamente,
a) R$ ,300 00 e R$ ,500 00.
b) R$ ,550 00 e R$ ,850 00.
c) R$ ,650 00 e R$ ,1 000 00.
d) R$ ,650 00 e R$ ,1 300 00.
e) R$ ,950 00 e R$ ,1 900 00.
Solução
Salário em reais: S
Metragem quadrada vendida: v
1º. mês:
v
S
� 
 �
� 
 � �
500 1 40 700
700 0 5 700 300 650
,
( ) ,
v
S
� 
 �
� 
 � �
1 000 1 40 1 400
1 400 0 5 1 400 300 1 000
,
( ) ,
e a alternativa correta é a c . 
2)
Soluçãçç o
SoSooluluçãçççççççççç ooooo
Soluçãççç o
©
Sh
ut
te
rs
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ck
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ik
oS
VENDEDORES JOVENS
Fábrica de LONAS – Vendas no Atacado
10 vagas para estudantes, 18 a 20 anos, sem experiência.
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96 MATEMÁTICA• •
 1. Marque com X as funções afins y ax b� �� � e 
indique para cada uma delas os valores de a e 
b. Considere que as funções a seguir têm como 
domínio o conjunto dos números reais. 
a) ( X ) f x x( )� �3
1
2
 
b) ( ) h z z( )� �3 5
2 
c) ( X ) f m m( )� �2 a = 1 e b = –2 
d) ( X ) f h h( ) 4 a = 4 e b = 0 
e) ( X ) g d( ) 9 a = 0 e b = 9 
f) ( ) p k k k( )� �5
3 2 
g) ( X ) f v v( ) ,� �50 0 03 a = 0,03 e b = 50 
h) ( X ) f c c( ) a = 1 e b = 0 
i) ( X ) g x x( )� �2 a = –2 e b = 0 
j) ( X ) f x m n x( )� � 
 a = n e b = m 
 • Para cada função que você não considerou 
afim, justifique a exclusão.
Nas funções dos itens b e f, o maior expoente da variável 
independente é diferente de 1.
 2. Identifique entre as funções de em a 
seguir quais delas são funções constantes, 
lineares e identidade. 
a) h x( ) 0 Constante. 
b) f x x( )� �
1
3
 Linear. 
c) g m m( ) Linear, identidade. 
d) f x( )
1
4
 Constante. 
e) g x x( ) ,0 15 Linear. 
f) h x x( ) Linear, identidade. 
g) f w w( ) ,� �0 6 Linear. 
h) f c( ) 2 Constante. 
 • Podemos afirmar que toda função 
identidade é uma função linear? 
Sim, pois a função identidade é um caso particular de função 
linear, quando a = 1.
 3. Dada a função g x x( )� � �3 2, calcule: 
 5. Uma função linear f: é tal que f( )3
1
4
. 
Determine o valor de f(9).
f x ax
f a a
f x x f
( )
( )
( ) ( )
�
� � 
 � � �
� 
 � � �
3
1
4
3
1
4
1
12
1
12
9
9
12
3
4
ATIVIDADES EM13MAT302, EM13MAT501
a e b3
1
2
a) g( )2 
g( ) ( )� � � 
 � � � � �2 3 2 2 6 2 8
b) g( )2 
g( ) ( )2 3 2 2 3 2 2� � 
 � � � �
d) x, para que g x( )� �1 
g x x
x x
( ) � � � � � � �
� � � � �
1 3 2 1
3 3 1
 4. Quais valores de x resultam em valores 
positivos para a função f x x( )� �2 3? 
f x
x x x
( )
,
/
� / � / � /
0
2 3 0 2 3 15
c) x, para que g x( ) 0 
g x x
x x
( ) � � � � �
� � � � �
0 3 2 0
3 2
2
3
M
A
T
3. FUNÇÃO AFIM 97• •
 8. (CEDERJ) Uma fábrica vende certo produto por 
R$ 1,20 a unidade. O custo total para fabricar 
N desses produtos consiste de uma taxa fixa de 
R$ 45,00 mais R$ 0,30 por unidade produzida. 
Indique a quantidade mínima de produtos que 
deve ser vendida para não haver prejuízo. 
a) 25
b) 30
c) 45
X d) 50
 7. (UNCISAL) Em uma concessionária de carros, 
um vendedor tem o salário fixo mensal 
de R$ 3.000,00. Além disso, ele recebe 
R$ 500,00 de comissão para cada carro que 
ele vender. Nesse contexto, o ganho mensal 
total do vendedor em função do número x 
de automóveis vendidos e a quantidade que 
ele precisa vender em um mêspara obter um 
salário de R$ 10.000,00 são, respectivamente,
a) 3 000 500x e 6.
X b) 3 000 500x e 14.
c) 3 000 500x e 3.
d) 3 500 x
e) 3 500 x
 6. Uma operadora de TV por assinatura está 
oferecendo duas opções para os fãs de futebol 
no pay-per-view:
 • Opção 1 – R$ 25,00 por jogo;
 • Opção 2 – valor fixo de R$ 90,00 por mês, 
acrescido de R$ 5,00 por jogo. 
a) Escreva as funções para as duas opções de 
pagamento. 
Opção 1: f(x) 25x
Opção 2 : f(x) 90 5x 
b) Se uma pessoa tem R$ 200,00 por mês 
para gastar com esse divertimento, qual 
das opções permite que ela assista ao 
maior número de jogos? 
Opção 1: f(x) 25x 200 25x x 8
Opção 2 : f(x) 90 5x 200 90 5x x 22
A opção 2 é a mais vantajosa para quem quer gastar 200 reais. 
c) Em que condições a opção 1 é a mais 
vantajosa?
25 90 5 20 90 4 5x x x x- � � - � - ,
Se o número de jogos vistos por mês for 4 ou menos, a opção 1 
é a mais vantajosa.
Agora, você pode fazer as questões 
30 a 34 da seção Conquista Enem.
Seja x a quantidade de jogos.
O ganho mensal y do vendedor é a 
soma do salário fixo (3 mil reais) 
com o valor referente à comissão 
(500 reais para cada carro vendido).
Assim, o valor de y em função do 
número x de carros vendidos é:
y = 3 000 + 500 · x
Para que o ganho em um mês seja de 
R$ 10.000,00, devemos ter:
10 000 = 3 000 + 500x 
500x = 7 000 ⇒ x = 14
Custo total C para fabricar N produtos:
C = 45 + 0,3 · N
Receita com a venda de N produtos:
R = 1,2 · N
Assim, para não haver prejuízo, devemos ter:
R ≥ C
1,2 · N ≥ 45 + 0,3 · N
0,9 · N ≥ 45 ⇒ N ≥ 50
Portanto, a quantidade mínima de produtos que deve 
ser vendida para não haver prejuízo é 50.
A função que relaciona o valor V da corrida, 
em reais, com a quantidade x de quilômetros 
rodados é dada por:
V = 220 + 2,9 · x
Para que o valor da corrida não ultrapasse 
R$ 2.300,00, devemos ter:
V ≤ 2 300
220 + 2,9 · x ≤ 2 300
2,9 · x ≤ 2 080 ⇒ x ≤ 717,2...
Portanto, a quantidade máxima de 
quilômetros rodados é 717.
 9. (UNITINS – TO) Uma empresa de transporte 
cobra em cada corrida o valor fixo de 
R$ 220,00 mais R$ 2,90 por quilômetro rodado. 
A quantidade máxima de quilômetros rodados 
para que em uma corrida o valor total a ser 
pago não ultrapasse R$ 2.300,00 será: 
a) 793 km 
X b) 717 km 
c) 638 km 
d)
e)
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/A
lp
ha
sp
iri
t.i
t
98 MATEMÁTICA• •
x f(x)
–1 2
0 3
1 4
2 5
3 6
Para f x x( ) � � 3 , escolhemos ( , )1 2 e ( , )2 5 , 
marcamos os pontos e traçamos a reta que passa 
por eles:
f x x( ) � �3
GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM 
EM13MAT302, EM13MAT401, EM13MAT501, EM13MAT510
6
x g(x)
–1 3
0 1
1 –1
2 –3
3 –5
Para g x x( ) � � �2 1 , escolhemos ( , )0 1 e ( , )3 5 , 
marcamos os pontos e traçamos a reta que passa 
por eles:
g x x( ) � � �2 1g
5
Há várias formas de representar uma função: lei de formação, tabela com alguns valores do domínio e 
suas imagens, texto explicativo, gráfico. Qualquer uma dessas representações pode servir de referência para 
obter as outras. Por exemplo:
 • Com base em um texto explicativo, podemos escrever a lei de formação da função.
 • É possível elaborar uma tabela para a função com base no gráfico.
 • O gráfico fornece os elementos necessários para a representação algébrica (lei de formação).
Pela leitura do gráfico, podemos analisar com detalhes o comportamento de uma função. Acompanhe a 
seguir o estudo do gráfico da função afim.
Construção do gráfico da função afim 
No início deste capítulo, comentamos que o gráfico da função afim resulta em uma reta. De estudos anteriores 
de geometria, você já sabe que, para determinar uma reta, basta conhecermos dois pontos dela. Portanto, 
para determinar o gráfico de uma função afim, precisamos de apenas dois pontos ou dois pares ordenados 
pertencentes à função. Vamos iniciar o estudo do gráfico da função afim usando como exemplos as funções:
f x x( ) � � 3 g x x( ) � � �2 1
Para construir o gráfico de cada função, podemos elaborar uma tabela e escolher dois pares ordenados.
Veja a demonstração de que o gráfico de uma 
função afim é uma reta no Manual digital.
y
x–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6
6
5
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
–4
–5
y
x–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6
6
5
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
–4
–5
©Shutterstock/Mark Rademaker
M
A
T
3. FUNÇÃO AFIM 99• •
Considere o gráfico de uma 
função afim f(x) = ax + b crescente: 
Podemos observar alguns fatos a respeito dos gráficos e 
relacioná-los com as leis de formação das funções. 
Em primeiro lugar, notamos que as duas retas são oblíquas em 
relação aos eixos cartesianos. Entretanto, elas intersectam os eixos 
em pontos distintos e as inclinações das retas são diferentes entre 
si.
Vamos calcular algebricamente o valor de x que torna nula 
cada uma das funções.
f x x x( ) � � � � � �3 0 3 
Perceba que –3 é a abscissa do ponto ( , )3 0 , no qual a reta 
intersecta o eixo x.
g x x x( ) � � � � � �2 1 0
1
2
 
Note que 
1
2
 é a abscissa do ponto 
1
2
0,�
�
	
�
�, no qual a reta 
intersecta o eixo x.
Observando os respectivos gráficos, conseguimos localizar 
esses pontos de intersecção com o eixo x.
Para cada função, é possível estabelecer uma relação entre as 
coordenadas desse ponto e a lei de formação. O gráfico da função 
dada por f x x( ) � � 3 intersecta o eixo y em ( , )0 3 , e o da função 
g x x( ) � � �2 1, em ( , )0 1 . 
Observe que a ordenada de cada um dos pontos é o valor 
de b (termo independente de x na forma geral da função afim 
f x ax b( ) � � ). 
Função crescente e função decrescente
O gráfico de uma função afim é sempre uma reta – ou parte 
dela, dependendo do domínio da função.
Com exceção da função constante, cujo gráfico é uma reta 
horizontal, as outras funções afins têm como gráfico uma reta 
oblíqua. Se os valores de f(x) aumentam quando aumentamos os 
valores de x, dizemos que a função é crescente; e se, à medida 
que os valores de x crescem, os de f(x) diminuem, a função é 
decrescente. 
Podemos comprovar que a função f(x) = ax + b é crescente 
sempre que a 0 e decrescente para a 0. Acompanhe.
x x2 1
Sendo a 0, temos: ax ax2 1
Adicionando b a ambos os 
membros:
ax b ax b2 1� / �
Portanto, se x x2 1, então 
f x f x( ) ( )2 1 .
Considere agora o gráfico de uma 
função afim f(x) = ax + b decrescente: 
x x2 1
Sendo a 0, temos: ax ax2 1
Adicionando b a ambos os 
membros:
ax b ax b2 1� - �
Portanto, se x x2 1, então 
f x f x( ) ( )2 1 .
y
x0 x1
f(x1)
f(x2)
x2
y
x0 x
1 x2
f(x1)
f(x2)
100 MATEMÁTICA• •100 MATMATMATA EMÁEMÁEMÁM TICTICTICICAAA• ••••
©Shutterstock/Mark Rademaker
EXEMPLO RESOLVIDO
Qual é a lei de formação da função afim cujo gráfico passa pelos pontos ( , )2 3 e ( , )3 5 ?
Solução
Vamos resolver essa questão de dois modos. Primeiro algebricamente e, depois, obtendo do 
gráfico relações de proporcionalidade em triângulos semelhantes.
Soluçãççç o
y
x
0 2
3
5
x
y
3
C E F
KA
B
 1) Se o ponto que tem x 2 e y 3
 
pertence ao gráfico, significa que esses 
valores verificam a lei de formação da 
função. Substituindo-os na forma geral da 
função afim, temos:
y f x ax b
a b
a b I
� � �
� 
 �
� �
( )
( )
3 2
2 3
Fazendo raciocínio análogo a esse para o 
par ordenado ( , )3 5 , obtemos:
y f x ax b
a b
a b II
� � �
� 
 �
� �
( )
( )
5 3
3 5
Com as equações (I) e (II), formamos um 
sistema com duas incógnitas, a e b:
2 3
3 5
3 2
5 3
a b
a b
b a
b a
Igualando e
I
I
I
II
II
� �
� �
�
�
�
� �
� �
�
�
�
( )
( )
( )
( )
( )
(III
a a a
):
3 2 5 3 5 3 2� � � � � � �
Substituindo a 2 na equação (I) ou na 
equação (II), temos b � �1.
Assim, a lei de formação da função 
procurada é f x x( ) � �2 1.
 2) Com os dois pontos dados, podemos 
traçar o gráfico da função:
Localizamos os triângulos ABK e CBF. 
Como os ângulos K e F são retos e o ângulo 
B é comum aos dois, esses triângulos são 
semelhantes. Assim, podemos escrever 
relações de proporcionalidade entre os 
segmentos e obter a lei de formaçãoda 
função:
3
3 2
5
5 3
3
1
5
2
2 3 5
6 2 5
2 1
2 1
�
�
�
�
�
�
�
�

 � � �
� � �
� �
� �
x y
x y
x y
x y
y x ou
f x x
( )
( )
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/M
ar
ia
n 
W
ey
o
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/Ia
ko
v 
ka
lin
in
M
A
T
3. FUNÇÃO AFIM 101• •
Zero da função afim 
No Brasil, usamos a escala Celsius para a medida de temperaturas. 
língua inglesa, a escala usada é a Fahrenheit, na qual o congelamento 
Podemos relacionar as temperaturas em graus Celsius aos valores 
correspondentes em Fahrenheit por meio de uma função. Os pares 
representarmos os valores em graus Celsius no eixo x e os valores em 
Fahrenheit no eixo y.
Substituindo os dois pares ordenados na forma 
geral da função afim, obtemos a expressão algébrica 
da função.
Também podemos representar a relação entre as duas escalas por 
meio do gráfico a seguir.
Como descobrimos a temperatura em graus Celsius que torna nula 
a temperatura em graus Fahrenheit?
T
T T
T C
F
C C
C
� � � � �
�

 �
� � �
9
5
32 0
9
5
32
5 32
9
160
9
17 8
( )
, º
intersecta o eixo x. A abscissa, que corresponde à ordenada nula, é o 
zero dessa função.
Podemos obter uma expressão para o cálculo desse valor para 
dada por f x ax b( ) � � , igualamos a zero e encontramos o valor de x. 
ax b
ax b x
b
a
� �
� � � �
�
0
O zero de uma função 
polinomial do 1º. grau 
f x ax b( ) � � é o valor de 
x que anula a função e é 
dado por 
b
a
. 
No gráfico da função, o par 
ordenado do ponto em que 
a reta intersecta o eixo x é 
sempre 
��
�
	
�
�
b
a
, 0 . 
T
T
F
C� �
9
5
32
TF (°F)
TC (°C)100
212
32
0
Nesse momento, vale alertar os 
alunos de que não faz sentido falar 
em zero da função constante 
f(x) = b, pois essa função não 
apresenta o termo em x. Pensando 
no gráfico, se b ≠ 0, a reta não 
intersecta o eixo x, pois é paralela a 
ele. Se b = 0, a reta é o próprio eixo x 
e, nesse caso, todos os valores de x 
anulam a função.
102 MATEMÁTICA• •
Intersecção do gráfico com o eixo y 
Desse modo, concluímos que:
 10. Para cada uma das funções f: , construa, 
no caderno, uma tabela e trace o gráfico em um 
plano cartesiano. 
a) f x( )� �3
b) f x x( )� �2
c) f x x( ) 5
d) f x x( )� �1
 11. Para revestir o piso da cozinha, Jaqueline 
consultou duas lojas de materiais de 
construção e obteve os seguintes orçamentos: 
 ) Taxa de entrega de R$ 90,00 e R$ 40,00 o 
metro quadrado de revestimento.
 Taxa de entrega de R$ 120,00 e R$ 35,00 o 
metro quadrado de revestimento.
Observe que 
a ordenada 
desse ponto é o 
coeficiente b da 
lei de formação 
f x ax b( ) � � da 
função.
intersecta o eixo y em um ponto de abscissa igual 
a zero. Acompanhe a obtenção da ordenada desse 
ponto:
f x ax b
f a b
f b
( )
( )
( )
� �
� 
 �
�
0 0
0
ATIVIDADES
c) Para qual área de piso os dois orçamentos 
apresentam o mesmo custo? 
C x C x x x
x x
1 2 90 40 120 35
5 30 6
( ) ( )= + = +
= =
Para 6 m² de piso, os dois orçamentos são iguais. Esse valor é a 
abscissa do ponto em que os dois gráficos se intersectam.
O ponto em que o 
gráfico de uma função 
polinomial do 1º. grau 
intersecta o eixo y é 
sempre ( , )0 b . 
EM13MAT302, EM13MAT401, EM13MAT501
a) Represente o custo de cada opção para 
x metros quadrados de piso.
Custo da 1ª. opção: C1(x) = 90 + 40x
Custo da 2ª. opção: C2(x) = 120 + 35x
b) Qual das duas opções é mais vantajosa 
para quem precisa de 20 m² de piso?
C1(20) = 90 + 40 ⋅ 20 = 890
C2(20) = 120 + 35 ⋅ 20 = 820
A 2ª. opção é mais vantajosa.
 12. Determine o zero de cada uma das funções a 
seguir. 
a) f x
x
( )� �
2
3
f x
x x
x
( ) �
� � � � � � � �
0
2
3 0
2
3 6
b) f x x( )� �4
f x
x x
( ) �
� � � �
0
4 0 4
c) f x x( ) 5
f x
x x
( ) �
� � �
0
5 0 0
d) f x( )� �2
Não tem zero, porque o gráfico não intersecta o eixo das abscissas. 
M
A
T
3. FUNÇÃO AFIM 103• •
 13. Determine o valor numérico da função 
f x
x
( )� �
4
2
3
 para:
b) represente o gráfico dessa função no 
plano cartesiano.
 15. O gráfico ao lado representa a 
função de em definida por 
y x� �2 2; m e n são os valores 
em que a reta intersecta os 
eixos x e y respectivamente. De 
acordo com essas informações, 
determine m n. 
Para x 0, temos y � 
 � �2 0 2 2. Logo, n 2. 
Para y 0, temos 0 2 2 1� � � � �x x . Logo, m � �1.
Portanto, m n� � � � � �1 2 3.
a) x 0
f( )0
0
4
2
3
0
2
3
2
3
� � � � �
( 2
3
 é a ordenada do ponto em que o gráfico intersecta o eixo y.)
b) x 3
f( )3
3
4
2
3
9 8
12
17
12
� � �
�
�
c) x � �
8
3
f ��
�
	
�
� �
�
� � � 
 � � � � �
8
3
8
3
4
2
3
8
3
1
4
2
3
2
3
2
3
0
2
1
( x � �
8
3
 é o zero da função.)
 14. O lucro de uma empresa, em determinado mês, 
foi representado pela função L d d( )� �12 204, 
em milhares de reais, em que d é o dia 
(do dia 1. ao 30. dia). Dessa 
forma,
(Considere o último dia do 
mês anterior como sendo 
d 0.)
a) calcule o lucro dessa empresa quando:
 I. d 0 
L( )0 12 0 204 204� 
 � � �
 II. d 12 
L( )12 12 12 204 60� 
 � � �
 III. d 25 
L( )25 12 25 204 96� 
 � �
 IV. d 30 
L( )30 12 30 204 156� 
 � �
c) determine o dia em que o lucro é igual a 
zero e marque a abscissa desse ponto no 
plano cartesiano.
L d
d d d
( ) �
� � � � � �
0
12 204 0 12 204 17
Portanto, no 17º. dia o lucro é igual a zero.
 16. O gráfico de uma função afim passa pelos 
pontos A( , )2 4 e B( , )6 4 . Determine a lei de 
formação e o zero dessa função.
Substituindo os pontos na função y = ax + b, temos:
4 2 2 4
6 6
2 4
6
= + + =
4 = + + = 4
+ =
+ = 4
a b a b
a b a b
a b
a b

 � � �
� 
 � �
�
�
�
�
�
( )
A solução do sistema é a = 1 e b = 2. Logo:
f x x( ) = + 2 (lei de formação)
0 = x + 2 x = 2 (zero da função)
y
x
n
m
©Shu
tte
rst
oc
k/T
ati
an
a5
3
L(d) (milhares de reais)
d (dia do mês)
12
17 25 30 
156
96
0
– 60
– 204
104 MATEMÁTICA• •
 20. A temperatura de um condutor elétrico de 
cobre, aquecido durante 10 minutos, passa de 
−8 °C para 27 °C. O gráfico a seguir representa a 
variação da temperatura no tempo. 
Agora, você pode fazer as questões 
35 a 40 da seção Conquista Enem.
 17. (UFPR) O gráfico a seguir representa o 
consumo de bateria de um celular entre as 10 h 
e as 16 h de um determinado dia. Supondo 
que o consumo manteve o mesmo padrão até 
a bateria se esgotar, a que horas o nível da 
bateria atingiu 10%?
a) Use a semelhança de triângulos para 
determinar a lei de formação da função.
b) Usando a lei de formação que você obteve, 
determine, em minutos e segundos, 
quanto tempo depois o condutor estará a 
0 °C. 
a) 18 h. 
X b) 19 h. 
c) 20 h. 
d) 21 h. 
e) 22 h.
No gráfico, observamos que em 6 horas (das 10 h às 16 h) são 
consumidos 60% da bateria (100% – 40%). Assim, a cada hora 
são consumidos 10% da bateria.
Para que o nível da bateria atinja 10%, é necessário que sejam 
consumidos 90% dela. Assim, é preciso que o celular fique ligado
por 9 horas, ou seja, das 10 h às 19 h.
 18. Para produzir 600 ovos de chocolate, gastam- 
-se R$ 170,00 e, para produzir 900 dessas 
unidades, gastam-se R$ 230,00. Considerando 
que o gasto é uma função afim da quantidade 
produzida, qual é o número de unidades que se 
pode produzir com R$ 290,00? 
100%
80%
60%
40%
20%
0%
10:00
Ní
ve
l d
e 
ba
te
ria
 (%
)
11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00
T(t)
27
–8
10 t
Substituindo os pares ordenados (600, 170) e (900, 230) na 
função y = ax + b, temos:
170 = a · 600 + b
230 = a · 900 + b
600 170
900 230
a b
a b
+ =
+ =
�
�
�
A solução do sistema é a = 0,2 e b = 50. Logo, 
f(x) = 0,2x + 50.
Assim, para f(x) = 290, temos:
290 = 0,2x + 50 ⇒ 0,2x = 240 ⇒ x = 1 200 unidades
2 5 3
5 3 2
1
5
� �
� � � �
m
m m
 19. Calcule o valor de m para que a função 
f x m( )� �2 5 seja constante e igual a 3. 
a) Consideramos os triângulos BAC e BDE. Ambos são retângulos, 
e o ângulo B é comum aos dois, portanto 
eles são semelhantes, o que permite 
escrever:
10
10 0
27
27 8
1010
27
35
3 5 8
�
�
�
�
� �
�
�
�
� �
t T
t T
T t t
( )
( ) ,
T é medido em graus Celsius, e o tempo, 
em minutos.
b) T t t
t
t
t
( ) ,
,
,
,
� �
� �
�
�
3 5 8
0 3 5 8
3 5 8
80
35
2 3
Aproximadamente 2,3 minutos depois de iniciado o aquecimento, 
o condutor estará a 0 °C, isto é, após 2 minutos e 18 segundos.
–8
27
10 t
T(t)
B
E
CA
D
T
t
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
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 P
ro
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ct
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n
M
A
T
3. FUNÇÃO AFIM 105• •
TAXA DE VARIAÇÃO
EM13MAT302, EM13MAT401, EM13MAT501
A taxa de variação auxilia no estudo do 
comportamento de uma função afim. Ela 
nos informa quantas unidades a variável 
y aumenta ou diminui quando a variável 
x aumenta uma unidade. 
Acompanhe o cálculo da taxa de variação da função f: definida por f x x( ) � � �4 2.
x –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
f x x( )� � �4 2 14 10 6 2 –2 –6 –10 –14 –18
Tomamos dois valores quaisquer do domínio e 
as respectivas imagens:
x y
x y
1 1
2 2
1 6
3 10
� � �
� � �
;
;
Calculamos as diferenças:
6
6 6
y y y y
x x x x
� � � 6 � � � � �
� � � � � � �
2 1
2 1
10 6 16
3 1 4( )
A taxa de variação é dada pela razão entre as 
diferenças calculadas. Assim:
6
6
�
�
� � 3 �
y
x
16
4
4 4 é a taxa de variação da 
função dada por f x x( ) � � �4 2.
Por se tratar de uma função decrescente, a taxa 
de variação é negativa, ou seja, o valor da função 
diminui quatro unidades sempre que o valor de x 
aumenta uma unidade. Isso pode ser confirmado 
observando a tabela acima. Os valores de x crescem 
decrescem de 4 em 4. 
A taxa de variação de uma função 
afim é constante para qualquer 
intervalo do domínio. 
Confirmamos essa afirmação escolhendo outros 
valores do domínio e as respectivas imagens para 
calcular a taxa de variação:
x y
x y
1 1
2 2
0 2
5 18
� �
� � �
;
;
6
6 6
y y y y
x x x x
� � � 6 � � � � �
� � � � � �
2 1
2 1
18 2 20
5 0 5
6
6
�
�
� �
y
x
20
5
4
De maneira geral, a taxa de variação para a 
função f: , definida por f x ax b( ) � � , é:
Para x temos f x y ax b
Para x temos f x y ax b
x x
1 1 1 1
2 2 2 2
, ( ) .
, ( ) .
� � �
� � �
�6 22 1
2 1
�
� �
x
y y y6
6
6
y
x
y y
x x
ax b ax b
x x
a x x
x x
a�
�
�
�
� � �
�
�

 �
�
�2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
( ) ( )
A taxa de variação de uma função afim é 
sempre igual ao coeficiente a e, portanto, 
não depende do intervalo escolhido. 
106 MATEMÁTICA• •
 21. Em um mesmo plano cartesiano, trace o 
gráfico das funções f x x( )� �3 , g x x( )� � �3 1 e 
h x x( )� � �3 2. 
a) O que se pode afirmar sobre as taxas de 
variação dessas funções? 
São todas iguais a –3.
b) O que pode ser dito a respeito da posição 
relativa entre as retas obtidas nos 
gráficos? 
As retas são paralelas.
 22. Em uma empresa, a produção teve 
um crescimento linear nos últimos 
anos. De 2017 a 2020, o número 
de unidades produzidas passou de 
da produção dessa empresa por ano.
A taxa de crescimento por ano equivale à taxa de variação da função: 
6
6
y
x
�
�
�
� �
6 000 1500
2020 2017
4 500
3
1500
Assim, a taxa de crescimento é de 1 500 unidades por ano. 
b)
EM13MAT302, EM13MAT401, EM13MAT501
Veja uma sugestão de encaminhamento 
no Manual digital.
 23. 
e seu gráfico passa pelo ponto A( , )4 5 . Qual é 
a lei de formação dessa função?
A taxa de variação é igual ao valor de a e o gráfico passa pelo ponto 
A(4, –5).
y = ax + b
–5 = 6 · 4 + b ⇒ b = –29
y = 6x – 29 
Se for mantida essa relação de linearidade 
entre o tempo e a quantidade de água em 
m3, determine em quantos anos, após a 
inauguração, a represa terá 2 mil m3. 
Agora, você pode fazer as questões 
41 e 42 da seção Conquista Enem.
ATIVIDADES
0 8 t (anos)
8
5
em
 m
ilh
ar
es
 d
e 
m
et
ro
s 
cú
bi
co
s
A taxa de variação é 0,0017. 
• A frase deve fazer referência ao aumento de 0,0017 m no 
comprimento do fio de cobre para cada grau Celsius de aumento na 
temperatura.
L(t) = 0,0017t + 25
L(48) = 0,0017 · 48 + 25
L(48) = 25,0816 cm
17 cm = 0,17 m
L(t) = 0,0017t + 25
25 + 0,17 = 0,0017t + 25
0,17 = 0,0017t
t = 100
A 100 °C, o comprimento do fio aumentará 17 cm.
 24. O comprimento de um fio metálico varia 
em função de sua temperatura e, dentro de 
certos limites, essa é uma função afim. No 
temperatura t
função L t t( ) ,� �0 0017 25. 
a) Qual é a taxa de variação dessa função? 
Escreva uma frase explicando o que 
significa essa taxa de variação. 
c) Para qual temperatura o aumento no 
comprimento do fio será de 17 cm? 
 25. (UNESP – SP) Ao ser inaugurada, uma represa 
possuía 8 mil m3 de água. A quantidade de 
água da represa vem diminuindo anualmente. 
O gráfico mostra que a quantidade de água 
na represa 8 anos após a inauguração é de 
3. 
Seja y a quantidade de água na represa, em milhares de m3.
Do gráfico, a taxa de variação é 5 8
8 0
3
8
–
–
– , ou seja, em 
y = ax + b, a = –
3
8
. 
O ponto (0, 8) pertence à reta, portanto b = 8 e y t= +
3
8
8.
Para y = 2, temos: 2
3
8
8 16= + =� �t t .
Em 16 anos, a represa terá 2 mil m3 de água.
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T
3. FUNÇÃO AFIM 107• •
ESTUDO DO SINAL 
DA FUNÇÃO AFIM 
Estudar o sinal de uma função é determinar os 
valores de x que a tornam positiva, negativa ou nula.
Acompanhe este exemplo: certa empresa tem 
um gasto mensal fixo de R$ 27.000,00. Ela fabrica 
um produto que tem um custo de R$ 5,40 por 
unidade e é vendido a R$ 15,40. A partir de quantas 
unidades por mês a empresa terá lucro mensal?
 1º. ) Obtemos a função que expressa o lucro da 
empresa:
L(x) = 15,40x – (5,40x + 27 000)
L(x) = 10x – 27 000
 2º. ) Calculamos o zero da função, que, nesse caso, 
representa a quantidade de unidades vendidas 
que faz com que a empresa não tenha lucro nem 
prejuízo.
L(x) = 10x – 27 000
0 = 10x – 27 000 x = 2 700
 3º. ) Esboçamos o gráfico de uma função crescente 
(a > 0) indicando o zero dessa função.
EM13MAT302, 
EM13MAT401
Comente com os alunos que esse esboço 
mostra o que é necessário e suficiente 
para fazer o estudo do sinal de uma função 
polinomial do 1º. grau.
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ua
l G
en
er
at
io
n
+
–
x2 700
+
–
x
– b
a
+
–
x
– b
a
Podemos dizer que, para uma função crescente 
qualquer ( )a 0 , temos:
Com base no esboço, podemos afirmar que:
 • A função é nula para x = 2 700.
 • A função é positiva para x > 2 700. Nesse caso, a 
empresa terá lucro se vender mais do que 2 700 
unidades.
 • A função é negativa para x < 2 700. A empresa 
terá prejuízo se vender menos do que 2 700 
unidades.
De modo geral, o sinal da função polinomial do 
1º. grau f: , definida por f x ax b( ) � � , pode ser 
estudado com base no esboço de seu gráfico.
 • f x( ) 0
 
para x
b
a
� � .
 • f x( ) 0
 
para x
b
a
/ � .
 • f x( ) 0
 
para x
b
a
- � .
De maneira análoga, para uma função 
decrescente qualquer ( )a 0 , temos:
 • f x( ) 0
 
para x
b
a
� � .
 • f x( ) 0
 
para x
b
a
- � .
 • f x( ) 0
 
para x
b
a
/ � . 
108 MATEMÁTICA• •
 26. Classifique em crescentes ou decrescentes as 
funções a seguir.
a) f x x( )� � �5 2 Decrescente. 
b) g x x( )� �
1
2
 Crescente. 
c) h x x( )� �4 Decrescente. 
d) i x
x
( )� � �1
3
4
 Crescente. 
 27. As sócias de uma loja de roupas perceberam 
que, quando vendem determinado produto por 
R$ 150,00, conseguem vender em média 
40 unidades por semana. Entretanto, se o preço 
de venda for R$ 160,00, vendem em média 
35 unidades semanais. 
d) escreva a lei de formação dessa função. 
Já sabemos que a taxa de variação é o valor de a. Usando 
a = –0,5, a forma geral da função afim e um dos pares ordena-
dos da tabela, podemos calcular o valor de b:
y ax b
b
b
� �
� � 
 �
� � �
40 0 5 150
40 75 115
,
A lei de formação da função é y x� � �0 5 115, .
ATIVIDADES
EM13MAT302, EM13MAT401, EM13MAT501
Considerando que a variação é dada por uma 
função afim, 
a) a função é crescente ou decrescente?
A função é decrescente.
b) monte uma tabela com os valoresdo preço 
de venda (x) e do número de unidades 
vendidas (y) apresentados no enunciado. 
Preço (R$) (x) Unidades vendidas (y)
150 40
160 35
O que você observa na posição das retas dos 
gráficos? O que acontece com as retas à medida 
que aumenta a taxa de variação das funções? 
Todas as retas passam pela origem dos eixos, mas cada uma delas 
com uma inclinação diferente. À medida que aumenta a taxa de 
variação, o ângulo de inclinação em relação ao eixo x também 
aumenta.
 29. No caderno, estude o sinal das seguintes 
funções: 
a) f x x( )� � �5 16
b) f x
x
( )� � �
4
1
c) f x x( ) ,� �0 2 1
d) f x x( )� �
e) f x x( ) ,0 12
f)
c) calcule a taxa de decrescimento 
do número de unidades vendidas 
semanalmente para o aumento de R$ 1,00 
no preço de venda. 
6
6
y
x
�
�
�
� �
40 35
150 160
0 5,
A taxa de variação nas vendas para cada real acrescido no preço 
é –0,5. Nesse caso, faz mais sentido falar que a loja vende sema-
nalmente uma unidade a menos para cada 2 reais de acréscimo 
no preço. 
 28. Construa no plano cartesiano os gráficos destas 
três funções lineares:
f x x( ) , g x x( ) 2 e h x x( ) 3 .
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x
gh fy
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
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oc
k-
St
ud
io
M
A
T
3. FUNÇÃO AFIM 109• •
ANÁLISE DO ERRO
ENEM Uma empresa de telefonia fixa oferece dois planos aos seus clientes: no plano K, o cliente paga 
R$ ,29 90 por 200 minutos mensais e R$ ,0 20 por cada minuto excedente; no plano Z, paga R$ ,49 90 
por 300 minutos mensais e R$ ,0 10 por cada minuto excedente. O gráfico que representa o valor pago, 
em reais, nos dois planos em função dos minutos utilizados é
Vamos analisar cada um 
dos gráficos e verificar por qual 
motivo somente um deles está 
correto.
Sabemos que os dois planos 
são compostos de um período 
em que o valor é constante e 
depois é crescente.
 • Taxa de variação de K, após 
200 minutos: R$ 0,20 por 
minuto
 • Taxa de variação de Z, após 
300 minutos: R$ 0,10 por 
minuto
Na alternativa a, a reta 
correspondente à operadora 
K está posicionada abaixo da 
ordenada 29,90, que é o valor 
mínimo a ser pago pelo plano, 
portanto não é a opção correta.
No item b, a parte do gráfico 
que representa o valor constante 
no plano Z vai até a abscissa 200, 
e deveria ir até 300.
A opção c considera que 
as partes dos gráficos que 
representam funções afins têm 
mesma inclinação, o que não é 
verdadeiro. Uma delas tem taxa 
de variação 0,10, e a outra, 0,20. 
A resposta correta é a 
alternativa d , que mostra 
o gráfico do plano K como 
constante até a abscissa 200 
e depois uma inclinação que 
corresponde à taxa de variação 
de 0,20. Além disso, o plano Z é 
constante até 300 e depois tem 
uma inclinação menor do que 
a do plano K, pois sua taxa de 
variação é de 0,10.
O gráfico do item e também 
apresenta erro nas partes 
que são funções constantes, 
mostrando as duas operadoras 
com o mesmo tempo de duração 
do valor, sem alteração. O correto 
é uma delas ir de 0 a 200, e a 
outra, de 0 a 300. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Solução
Z
K
89,90
79,90
69,90
59,90
49,90
39,90
29,90
R$
min
0 100 200 300 400 500
Z
K89,90
79,90
69,90
59,90
49,90
39,90
29,90
R$
min
0 100 200 300 400 500
Z
K89,90
79,90
69,90
59,90
49,90
39,90
29,90
R$
min
0 100 200 300 400 500
Z
K89,90
79,90
69,90
59,90
49,90
39,90
29,90
R$
min
0 100 200 300 400 500
Z
K89,90
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69,90
59,90
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39,90
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R$
min
0 100 200 300 400 500
110 MATEMÁTICA• •11111111000 MATATAATM EMÁEMÁEMÁMÁTICTICTICT AAAA••• ••
Planilhas eletrônicas – gráficos de funções
Uma função afim envolve duas grandezas. Mesmo que não conheçamos a expressão algébrica que as 
relaciona, podemos usar uma planilha digital, registrar os pares ordenados que representam essa função e 
obter um gráfico que nos permita analisá-la.
As planilhas eletrônicas registram os dados no formato de uma tabela. Então, se já temos os dados nesse 
formato, o trabalho será muito facilitado. Mas, se as informações que temos estão apresentadas de outra 
maneira, em um texto, por exemplo, podemos criar uma tabela no papel, relacionando os valores das duas 
grandezas.
Esta é a aparência geral de uma planilha eletrônica:
PARA SABER MAIS
O retângulo em destaque 
é a célula A1. Para fazer 
uma correspondência entre 
a tabela que temos, com os 
dados da função, e essa tabela, 
digitamos nas células os dados, 
lembrando-se de escrever 
os cabeçalhos das colunas 
e títulos das linhas quando 
necessário.
Na planilha ao lado, há o registro da função afim que relaciona valores 
em real com valores em dólar. Note que apenas alguns valores foram 
relacionados, mas vão nos permitir visualizar outros valores da função 
quando criarmos um gráfico.
Para construir gráficos com base nos dados da planilha, selecionamos 
um retângulo que contenha os dados desejados e clicamos em “Inserir”, 
no menu superior da página. Então, escolhemos o tipo de gráfico mais 
adequado entre os exibidos. Nesse caso, um gráfico de linha é o ideal. 
EM13MAT203, EM13MAT401, EM13MAT501
R$ 60,00
R$ 40,00
R$ 20,00
R$ 0,00
R$ 2,00 R$ 4,00 R$ 6,00 R$ 8,00 R$ 10,00
Valor em real
Va
lo
r e
m
 d
ól
ar
Valor em dólar versus Valor em real
Título da planilha
Arquivo Editar Ver Inserir Formatar Dados Ferramentas Complementos
10ArialR$100% % .0 .00 123
Ajuda
1
A
x
B C D E F G
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B S AI
Arquivo Editar Ver Inserir F
R$100% % .0
1
A
x
B C
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Valor em real
R$ 1,00
R$ 1,50
R$ 2,00
R$ 2,50
R$ 3,00
R$ 4,50
R$ 6,00
R$ 8,00
R$ 10,00
R$ 5,74
R$ 8,61
R$ 11,48
R$ 14,35
R$ 17,22
R$ 25,83
R$ 34,44
R$ 45,92
R$ 57,40
Valor em dólar
Ilu
st
ra
çõ
es
: A
le
ss
an
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o 
To
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cz
ko
. 2
02
1.
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l.
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A
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3. FUNÇÃO AFIM 111• •
M
A
T
ORGANIZE AS IDEIAS
Complete o fluxograma, que ajuda a identificar corretamente os tipos de funções afins, usando as 
expressões abaixo. 
É FUNÇÃO IDENTIDADE. É FUNÇÃO CONSTANTE. É FUNÇÃO AFIM.
NÃO É FUNÇÃO AFIM. É FUNÇÃO LINEAR. NÃO É FUNÇÃO AFIM. É FUNÇÃO LINEAR. 
É ÉÉ FFÉÉ F M.
Veja orientações para o preenchimento do fluxograma no Manual digital.
EM13MAT315, EM13MAT401
A FUNÇÃO É DA 
FORMA f(x) = ax + b, 
COM a, b ∈ ?
a = 0?
b = 0?
a = 1?NÃO É 
FUNÇÃO 
LINEAR.
NÃO É FUNÇÃO 
IDENTIDADE.
É FUNÇÃO 
IDENTIDADE.
É FUNÇÃO AFIM.
NÃO É FUNÇÃO 
AFIM.
É FUNÇÃO 
LINEAR.
SIM
SIM
SIM
SIM
É FUNÇÃO 
CONSTANTE.
NÃONÃO
NÃO
NÃO
a
a
112 MATEMÁTICA• •
Fazer um resumo das principais ideias a respeito de um assunto recém-estudado é um bom modo de 
reuni-las, e usar uma tabela pode auxiliar nessa organização. 
Na segunda parte deste capítulo, estudamos os gráficos das funções afins. Complete a tabela abaixo 
com ideias importantes sobre os gráficos das funções afins. 
Gráfico da função afim – é sempre uma reta
Reta oblíqua em relação aos eixos cartesianos.
Função linear Reta oblíqua que passa pela origem do plano cartesiano.
Função identidade
Reta oblíqua que passa pela origem do plano cartesiano e é bissetriz dos quadrantes 
ímpares.
Função constante Reta horizontal (paralela ao eixo x).
Função crescente
Reta avança da esquerda para a direita e de baixo para cima.
Função decrescente
Reta avança da esquerda para a direita e de cima para baixo.
Zero da função Abscissa do ponto em que a reta intersecta o eixo x:
Ponto de intersecção com o eixo y
Estudo do sinal
Função 
crescente
Função 
decrescente
��
�
	
�
�
b
a
, .0
0, b� �
f x para( ) 0 x
b
a
� �
f x para( ) 0 x
b
a
/ �
f x para( ) 0 x
b
a
- �
f x para( ) 0 x
b
a
� �
f x para( ) 0 x
b
a
- �
f x para( ) 0 x
b
a
/ �
+
– b
a
–
+
–b
a
–
M
A
T
3. FUNÇÃO AFIM 113• •
CONQUISTA ENEM
Todas as atividades desta seção devem ser 
resolvidas no caderno.
 30. ENEM Uma empresa tem diversos funcionários. 
por semana. Os outros funcionários são 
diaristas. Cada um deles trabalha 2 dias 
por semana, recebendo R$80,00 por dia 
trabalhado.
Chamando de X a quantidade total de 
funcionários da empresa, a quantia Y, em reais, 
que esta empresa gasta semanalmente para 
pagar seus funcionários é expressa por 
a) Y = 80X + 920.
b)
c)
X d) Y = 160X + 840.
e)
 31. ENEM Em um município foi realizado um 
levantamento relativo ao número de médicos, 
obtendo-se os dados:
Ano Médicos
1980 137
1985 162
1995 212
2010 287
Tendo em vista a crescente demanda por 
atendimento médico na rede de saúde pública, 
pretende-se promover a expansão, a longo 
prazo, do número de médicos desse município, 
seguindo o comportamento de crescimento 
linear no período observado no quadro.
Qual a previsão do número de médicos nesse 
município para o ano 2040?
a) 387
b) 424
X c) 437
d) 574
e) 711
 32. ENEM O presidente de uma empresa, com o 
objetivo de renovar sua frota de automóveis, 
solicitou uma pesquisa medindo o consumo de 
combustível de 5 modelos de carro que usam o 
mesmo tipo de combustível. O resultado foi:
 • Carro I: deslocamento de 195 km 
consumindo 20 litros de combustível;
 • Carro II: deslocamento de 96 km 
consumindo 12 litros de combustível;
 • Carro III: deslocamento de 145 km 
consumindo 16 litros de combustível;
 • Carro IV: deslocamento de 225 km 
consumindo 24 litros de combustível;
 • Carro V: deslocamento de 65 km 
consumindo 8 litros de combustível.
Para renovar a frota com o modelo mais 
econômico, em relação à razão quilômetro 
rodado por litro, devem ser comprados carros 
do modelo
X a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V. 
 33. (UNIFOR − CE) Damilton foi a uma empresa 
concessionária de telefonia móvel na qual são 
oferecidas duas opções de contratos:
 I. R$ 90,00 de assinatura mensal e mais 
R$ 0,40 por minuto de conversação;
 II. R$ 77,20 de assinatura mensal e mais 
R$ 0,80 por minuto de conversação.
Nessas condições, se a fração de minuto for 
considerada como minuto inteiro, a partir 
de quantos minutos mensais de conversação 
seria mais vantajoso para Damilton optar pelo 
contrato I?
a) 25
b) 29
X c) 33
d) 37
e) 41
 34. ENEM Uma pessoa tem massa corporal de 
167 kg. Sob orientação de um nutricionista, 
submeteu-se a um regime alimentar, em que 
se projeta que a perda de quilos mensais seja 
inferior a 5 kg. Após iniciar o regime, observou-
-se, nos três primeiros meses, uma perda de 
4 kg por mês, e nos quatro meses seguintes, 
uma perda mensal de 3 kg. Daí em diante, 
segundo as recomendações do nutricionista, 
deveria haver uma perda mensal fixa em cada 
um dos meses subsequentes, objetivando 
alcançar a massa corporal de 71 kg ao final do 
regime.
Segundo as projeções e recomendações do 
nutricionista, para alcançar seu objetivo, a 
duração mínima, em mês, que essa pessoa 
deverá manter o seu regime será de
a) 15.
b) 20.
c) 21.
X d) 22. 
e) 25.
EM13MAT302, EM13MAT401, EM13MAT501 
114 MATEMÁTICA• •
 35. ENEM A quantidade x de peças, em milhar, 
produzidas e o faturamento y, em milhar de 
real, de uma empresa estão representados 
nos gráficos, ambos em função do número t de 
horas trabalhadas por seus funcionários.
O número de peças que devem ser produzidas 
a)
b)
c)
X d)
e)
 36. ENEM As sacolas plásticas sujam florestas, 
rios e oceanos e quase sempre acabam 
matando por asfixia peixes, baleias e outros 
animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram 
consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. 
Os supermercados brasileiros se preparam 
para acabar com as sacolas plásticas até 2016. 
Observe o gráfico a seguir, em que se considera 
a origem como o ano de 2007.
0 9
18
No de sacolas (em bilhões)
No de anos (após 2007)
De acordo com as informações, quantos bilhões 
de sacolas plásticas serão consumidos em 
2011?
a) 4,0
b) 6,5
c) 7,0
d) 8,0
X e) 10,0
 37. ENEM O prefeito de uma cidade deseja construir 
uma rodovia para dar acesso a outro município. 
Para isso, foi aberta uma licitação na qual 
concorreram duas empresas. A primeira 
cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n), 
acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00, 
enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 
por km construído (n), acrescidos de um valor 
fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas 
apresentam o mesmo padrão de qualidade 
dos serviços prestados, mas apenas uma delas 
poderá ser contratada.
Do ponto de vista econômico, qual equação 
possibilitaria encontrar a extensão da rodovia 
que tornaria indiferente para a prefeitura 
escolher qualquer uma das propostas 
apresentadas?
X a) 100n + 350 = 120n + 150
b) 100n + 150 = 120n + 350
c) 100(n + 350) = 120(n + 150)
d)
e)
M
A
T
3. FUNÇÃO AFIM 115• •
 38. ENEM Um dos grandes desafios do Brasil é o 
gerenciamento dos seus recursos naturais, 
sobretudo os recursos hídricos. Existe uma 
demanda crescente por água e o risco de 
racionamento não pode ser descartado. O nível 
de água de um reservatório foi monitorado 
por um período, sendo o resultado mostrado 
no gráfico. Suponha que essa tendência linear 
observada no monitoramento se prolongue 
pelos próximos meses.
Nas condições dadas, qual o tempo mínimo, 
após o sexto mês, para que o reservatório atinja 
o nível zero de sua capacidade?
X a) 2 meses e meio.
b) 3 meses e meio.
c) 1 mês e meio.
d) 4 meses.
e) 1 mês.
 39. ENEM Na intenção de ampliar suas fatias 
de mercado, as operadoras de telefonia 
apresentam diferentes planos e promoções. 
Uma operadora oferece três diferentes planos 
baseados na quantidade de minutos utilizados 
mensalmente, apresentados no gráfico. Um 
casal foi à loja dessa operadora para comprar 
dois celulares, um para a esposa e outro para o 
marido. Ela utiliza o telefone, em média 
30 minutos por mês, enquanto ele, em média, 
utiliza 90 minutos por mês. 
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
1 2 3 4 5 6
Nível do reservatório
Mês
Po
rc
en
ta
ge
m 
co
m 
re
la
çã
o
à 
ca
pa
ci
da
de
 m
áx
im
a
Com base nas informações do gráfico, qual é 
o plano de menor custo mensal para cada um 
deles? 
a) O plano A para ambos.
b) O plano B para ambos.
c) O plano C para ambos.
d) O plano B para a esposa e o plano C para o 
marido.
X e) O plano C para a esposa e o plano B para o 
marido.
 40. ENEM A raiva é uma doença viral e infecciosa, 
transmitida por mamíferos. A campanha 
nacional de vacinação antirrábica tem o 
objetivo de controlar a circulação do vírus 
da raiva canina e felina, prevenindo a raiva 
humana. O gráfico mostra a cobertura 
(porcentagem de vacinados) da campanha, 
em cães, nos anos de 2013, 2015 e 2017, 
no município de Belo Horizonte, em Minas 
Gerais. Os valores das coberturas dos anos de 
2014 e 2016 não estão informados no gráfico 
e deseja-se estimá-los. Para tal, levou-se em 
consideração que a variação na cobertura 
de vacinação da campanha antirrábica, nos 
períodos de 2013 a 2015 e de 2015 a 2017, 
deu-se de forma linear.
Disponível em: http://pni.datasus.gov.br. Acesso em: 5 nov. 2017.
Qual teria sido a cobertura dessa campanha no 
ano de 2014?
a) 62,3%
X b) 63,0%
c) 63,5%
d) 64,0%
e) 65,5% 
116 MATEMÁTICA• •
 41. ENEM Uma empresa presta serviço de abastecimento de água em uma cidade. O valor mensal a pagar 
por esse serviço é determinado pela aplicação de tarifas, por faixas de consumo de água, sendo obtido 
pela adição dos valores correspondentes a cada faixa.
 • Faixa 1: para consumo de até 6 m³, valor fixo de R$ 12,00;
 • Faixa 2: para consumo superior a 6 m³ e até 10 m³, tarifa de R$ 3,00 por metro cúbico ao que exceder a 
6 m³;
 • Faixa 3: para consumo superior a 10 m³, tarifa de R$ 6,00 por metro cúbico ao que exceder a 10 m³.
Sabe-se que nessa cidade o consumo máximo de água por residência é de 15 m³ por mês.
O gráfico que melhor descreve o valor P, em real, a ser pago por mês, em função do volume V de água 
consumido, em metro cúbico, é
X a) 
Usando essas informações, um atleta de ossatura grande, pesando 63 kg e com altura igual a 1,59 m, 
que tenha corrido uma meia-maratona, pode estimar que, em condições de peso ideal, teria melhorado 
seu tempo na prova em
a) 0,32 minuto.
b) 0,67 minuto.c) 1,60 minuto.
d) 2,68 minutos.
X e) 3,35 minutos.
 42. ENEM O excesso de peso pode prejudicar o desempenho de um atleta profissional em corridas de longa 
distância como a maratona (42,2 km), a meia-maratona (21,1 km) ou uma prova de 10 km. Para saber 
uma aproximação do intervalo de tempo a mais perdido para completar uma corrida devido ao excesso 
de peso, muitos atletas utilizam os dados apresentados na tabela e no gráfico:
b) c) 
d) e) 
Altura (m)
Peso (kg) ideal para atleta 
masculino de ossatura grande, 
corredor de longa distância
 1,57 56,9
 1,58 57,4
 1,59 58,0
 1,60 58,5
 : :
0 15
V (m3)
P (R$)
0 15
V (m3)
P (R$)
0 15
V (m3)
P (R$)
0 15
V (m3)
P (R$)
0 15
V (m3)
P (R$)
1
Tempo
perdido
(minutos)
1,33
0,67
0,32
Peso acima do ideal (kg)
Tempo × Peso
(Modelo Wilmore e Benke)
Maratona
Meia-maratona
Prova de 10 km
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4DOBRE NA LINHA PONTILHADA
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x
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
 Reconhecer relações entre duas 
grandezas que são expressas 
por uma função quadrática.
 Representar funções quadráticas 
de formas algébrica e gráfica.
 Reconhecer pontos notáveis 
no gráfico de uma função 
quadrática.
 Investigar pontos de máximo 
ou de mínimo de funções 
quadráticas e resolver problemas 
que envolvam esses conceitos.
 Reconhecer quando um 
problema representado por uma 
função quadrática tem ou não 
solução e os intervalos em que 
os valores da função são nulos, 
positivos ou negativos. 
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118 MATEMÁTICA• •
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ni
4
#galileugalilei
CONCEITO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Diz a lenda que Galileu Galilei (1564-1642), um físico, 
matemático, astrônomo e filósofo italiano, subiu à torre inclinada 
de Pisa para realizar um experimento: abandonar do repouso 
objetos com massas diferentes. Ele queria provar que Aristóteles 
(384 a.C.-322 a.C.) estava equivocado ao afirmar que a velocidade 
de queda de um corpo depende de sua massa. De acordo com os 
historiadores, há dúvidas de que a experiência na torre tivesse 
realmente acontecido. De qualquer forma, a resistência do ar que 
agia sobre os objetos teria atrapalhado a experiência e impedido 
Galileu de provar formalmente que a massa do corpo de fato não 
tem influência na velocidade de sua queda.
Apesar disso, Galileu encontrou uma alternativa para investigar 
a relação entre a massa de um corpo e sua velocidade de queda: 
o uso de rampas inclinadas. Assim, observou que a distância 
percorrida por uma esfera rolando por um plano inclinado em 
função do tempo não se comportava de forma linear. Ele esperava 
que em 2 segundos a esfera percorresse o dobro da distância que 
percorria em 1 segundo, mas, na verdade, a distância percorrida era 
4 vezes a distância inicial. Mesmo mudando a inclinação da rampa, 
a relação permanecia, desde que desconsiderasse o atrito da esfera 
com a superfície. Com isso, ele obteve uma fórmula para a situação 
de inclinação máxima, que corresponde à queda livre.
EM13MAT302, EM13MAT502, EM13MAT314
A fórmula que 
relaciona a distância x 
percorrida com o tempo 
t de queda é x
gt2
2
. 
A constante g 
representa o módulo 
da aceleração da 
gravidade que, aqui na 
superfície da Terra, é 
de aproximadamente 
10 m/s².
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1 s
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A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 119• •
ni
n
n
Substituindo o valor aproximado de g na fórmula que relaciona a 
distância percorrida com o tempo de queda livre, obtemos x t5 2.
Assim, podemos criar uma tabela para representar as distâncias 
percorridas pelo objeto de acordo com o tempo de queda (ou de 
deslocamento sobre a rampa):
Tempo (s) Distância percorrida (m)
1 5
2 20
3 45
4 80
5 125
Toda função f: é denominada função quadrática ou 
função polinomial do 2º. grau quando puder ser escrita na 
forma f x ax bx c( ) � � �2 , com a b c, , e a 0. 
A denominação quadrática é uma referência ao fato de a variável 
x aparecer elevada ao quadrado, ou seja, ao fato de a variável ter 
expoente 2 e esse ser o maior expoente presente na expressão.
Na função que analisamos, que relaciona a distância 
percorrida com o tempo em um movimento de queda 
livre, temos:
Observe alguns exemplos de funções quadráticas:
 • f x x x( ) � � �2 2 4 , em que a = 1, b = 2 e c = –4;
 • g x x x( ) � � � �2 12 , em que a = –2, b = 1 e c = 1;
 • h x x( ) � �3 92 , em que a = 3, b = 0 e c = –9;
 • i x x x( ) � � �2 2 , em que a = –1, b 2 e c = 0;
 • j x
x
( )
2
2
, em que a = 
1
2
, b = 0 e c = 0.
A dinâmica de corpos em queda livre mostra que o efeito da 
gravidade sobre todos os corpos é igual e não depende da sua massa 
correspondente. Entretanto, a resistência do ar é um 
fator que faz com que apenas seja possível observar 
esse movimento no vácuo. 
Assim, se deixarmos cair uma esfera de metal 
pesado e uma pena de uma mesma altura, os dois 
objetos deveriam chegar juntos ao chão. No entanto, isso não acontece 
em condições normais de ambiente por causa da resistência do ar que 
age sobre os corpos, e por conta disso é bem provável que a pena seja 
levada para longe pelo vento. 
Em 2014, a Nasa realizou um experimento no maior laboratório de 
vácuo da época, provando experimentalmente a teoria de Galileu. Você 
pode encontrar na internet o vídeo com essa experiência. 
TempoTT A relação entre a 
distância (vertical) 
percorrida por um 
objeto em queda livre 
e o tempo de queda é 
uma função quadrática. 
x t
x f t
a
b
c
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
5
5
0
0
2
( )
vácuo: vazio, oco; 
espaço em que não 
há presença de 
matéria ou ar.
120 MATEMÁTICA• •
Acompanhe outra situação:
Em uma residência está sendo construída uma 
piscina retangular de dimensões 10 m × 20 m. À 
volta dela será instalado um piso antiderrapante 
com largura x metros, que ainda não foi definida.
Para calcular a quantidade de piso necessária, 
podemos subtrair da área do retângulo externo da 
figura a área do retângulo que representa a piscina. 
O retângulo externo tem comprimento de 
Assim, a área desse retângulo, em m², é igual a:
( ) ( )20 2 10 2
200 20 40 4
4 60 200
2
2
� 
 � �
� � � � �
� � �
x x
x x x
x x
Portanto, a área do piso é de:
4 60 200 20 10 4 602x x x x� � � 
 � �( ) ²
A expressão algébrica a seguir determina a 
área (em m²) do piso antiderrapante em função da 
medida x: 
A x x x( ) � �4 602
Veja que essa relação é expressa por uma 
função quadrática. Assim, para calcular a área do 
piso, basta que se defina a medida x.
Se x = 3, temos:
A( )3 4 3 60 3 4 9 180 2162� 
 � 
 � 
 � �
Também é possível definir a medida da largura 
desse piso em função de uma área dada. Supondo 
que tenham sido adquiridos exatamente 136 m² 
de piso para fazer a obra à volta da piscina, para 
descobrir o valor de x, temos que resolver a equação 
A(x) = 136:
A x x x� � � � � �136 4 60 1362
Dividindo toda a expressão por 4, temos:
4
4
60
4
136
4
15 34
2
2x x
x x� � � � �
Observe que um valor de x que torna verdadeira 
a igualdade é 2, pois ( )2 15 2 4 30 342 � 
 � � � .
Outro valor de x que satisfaz a igualdade é –17, 
pois ( ) ( )� � 
 � � � �17 15 17 289 255 342 . No entanto, 
como as medidas são valores não negativos, essa 
solução não convém ao problema.
Portanto, para A = 136 m², temos x = 2 m. 
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x x
x
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4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 121• •
 1. Entre as funçõesa seguir, de em , 
identifique as que são quadráticas e, para essas, 
indique os coeficientes a, b e c. 
a) f x x x( )� � �2
7 1
A função é quadrática, com a = 1, b = 7 e c = –1.
b) g x x x( )� � �2 3
3
A função não é quadrática, pois o maior expoente de x é 3, 
e não 2.
c) h x x x x( ) ( ) ( )� � � 
 �2
1 3
A função não é quadrática, pois h(x) = x2 + x + 3 – x2 – 3x = –2x + 3 
(função afim).
d) i x x x x x( ) ( ) ( )� � 
 � � �2 3 2
1 3 2
A função é quadrática, pois i(x) = x3 + 3x2 – x – 3 – x3 – 2x2 = 
= x2 – x – 3, com a = 1, b = –1 e c = –3.
e) j x
x x
( )� � �
5
2
4 4
A função não é quadrática, mas uma função exponencial, assim 
denominada por apresentar a variável no expoente. 
 2. A função f: é definida por 
f x m x m x( ) ( )� � 
 � �� � 
 �2 2
16 4 8.
a) Para quais valores de m a função f é 
quadrática? 
m
m m e m
2
2
16 0
16 4 4
� 2
2 � 2 2 �
 • Calcule x para que f(x) = 30. 
f x x x
f x x x
x x
x ou x
( )
( )
� � �
� � � � �
� � �
� � � � �
9 8
30 9 8 30
9 38 0
2
38
18
19
9
2
2
2
ATIVIDADES EM13MAT302, EM13MAT502
b) Existe algum valor de m para o qual a 
função é afim? 
m f x
m f x x
� � � �
� � � � � �
4 8
4 8 8
( )
( )
Portanto, para m = 4 e m = –4, a função f é afim. Para m = 4, a 
função f é constante, e para m = –4 a função f é polinomial do 
1º. grau. 
 3. Jonas quer cercar uma parte retangular de seu 
quintal para montar um canil. Ele tem material 
para fazer 12 m de cerca. Para economizar 
material, pretende aproveitar o canto do muro 
e cercar apenas os dois lados que faltam do 
retângulo, como mostra a figura. 
a) Considerando que as dimensões serão x e 
y, em metros, escreva a expressão da área 
do canil em função de x. 
x y y x
A x y
A x x
A x x
� � � � �
� 
� 
 �
� �
12 12
12
12 2
( )
b) Determine a área para uma dimensão x 
igual a:
 • 5 m 
A x x
A
A
A
� �
� 
 �
� �
�
12
12 5 5
60 25
35
2
2
A área é de 35 metros quadrados.
c) Considere m = 5.
 • Calcule os valores de f(0), f(4) e f(–2). 
m f x x x
f
f
f
� � � � �
� 
 � � � �
� 
 � � �
� � 
5 9 8
0 9 0 0 8 8
4 9 4 4 8 140
2 9
2
2
2
( )
( )
( )
( ) (�� � � � �2 2 8 262) ( )
 • 3 m 
A x x
A
A
A
� �
� 
 �
� �
�
12
12 3 3
36 9
27
2
2
A área é de 27 metros quadrados. 
x
yÁrea do canil
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 2
02
1.
 D
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ita
l.
Será estudada 
mais adiante.
122 MATEMÁTICA• •
 4. Observe os quatro polígonos convexos 
nas figuras a seguir, nos quais estão 
traçadas as respectivas diagonais.
Note que o triângulo não tem diagonal, e 
o quadrilátero, o pentágono e o hexágono 
têm, respectivamente, 2, 5 e 9 diagonais.
d) Qual é o polígono convexo que tem um total de 
90 diagonais? 
d
n n
d
n n
n n
n ou n
�
�
� � �
�
� � � � �
� � � �
2
2
2
3
2
90 90
3
2
3 180 0
15 12
Como n = –12 não faz sentido, então n = 15. Portanto, o polígono é o 
pentadecágono.
Um polígono com n lados tem n vértices. 
Perceba que de cada vértice do polígono 
não partem diagonais para os dois 
vértices vizinhos (pois esses segmentos 
são lados do polígono), nem para o 
próprio vértice. Assim, de cada vértice 
partem exatamente n – 3 diagonais.
a) Escreva uma fórmula que permita 
obter o número d de diagonais de 
um polígono convexo em função do 
número n de lados (ou vértices). 
Como de cada vértice partem n – 3 diagonais e cada 
diagonal é comum a dois vértices, temos:
d
n n
d
n n
�

 �
�
�
( )3
2
3
2
2
b) Para quais valores de n tem sentido 
utilizar a fórmula que você obteve 
no item anterior?
c) Qual é o número de diagonais de um 
dodecágono convexo? 
d
n n
n d
�
�
� � �
� 
�
�
�
2
2
3
2
12
12 3 12
2
144 36
2
54
 5. A respeito de uma função quadrática f, sabe-se que 
f( )0 10� � , f( )2 12� � e f( )� � �1 6 . Qual é a lei de 
formação da função f? 
Sendo f x ax bx c( ) � � �2 , temos:
f x ax bx c
f a b c c
f a b
( )
( )
( )
� � �
� � � 
 � 
 � � � � � �
� � � 
 � 
2
2
2
0 10 0 0 10 10
2 12 2 22 12 4 2 12
1 6 1 1 6 6
4
2
� � � � � � � �
� � � � 
 � � 
 � � � � � � � � �
c a b c
f a b c a b c( ) ( ) ( )
aa b c
a b c
a b
a b
a b
a
� � � �
� � � �
�
�
�
�
� � � �
� � � �
�
�
�
�
� � �
�
2 12
6
4 2 10 12
10 6
4 2 2
bb
a b
a b�
�
�
�
�
� � �
� �
�
�
�4
4 2 2
2 2 8
Somando as duas últimas equações, obtemos:
6 6 1
4 1 4 3
a a
a b b b
� � �
� � � � � � � �
Portanto, a lei de formação da função f é f x x x( ) � � �2 3 10.
Para valores naturais e maiores do que 2, ou seja, 
para n�� �3 4 5 6 7, , , , , .
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 123• •
 7. (ESCS – DF) A globalização também ocorre 
no aspecto linguístico, de forma que palavras 
estrangeiras são frequentemente incluídas 
em nosso vocabulário. Hoje, dizemos 
corriqueiramente que vamos a um restaurante 
self-service, que estamos online, que precisamos 
fazer download e que postamos uma selfie.
Considere que seja de P(t)% o percentual de 
palavras estrangeiras no total de palavras 
utilizadas diariamente na língua portuguesa, 
em que P t t t� � � � �� �1
100
64 88
2
, t = 0 
representa o tempo presente, t = 1 representa 
uma estimativa para daqui a 1 ano, e assim 
sucessivamente até os próximos 85 anos 
(t = 85). Nessa situação, é correto afirmar que a 
referida porcentagem chegará a 20% para 
X a) 35 45t .
b) 45 55t .
c) t 55.
d) t 35.
P t t t
P t
t t
t
� � � � �� �
� � �
�
�
�
��
� � �� � � �
� �
1
100
64 88
20
1
100
64 88 20
88
2
2
2 tt t t� � � �� � � � �1936 0 44 0 442
 9. (UNIFESP) A tabela mostra a distância s em 
centímetros que uma bola percorre descendo 
por um plano inclinado em t segundos.
t 0 1 2 3 4
s 0 32 128 288 512
A distância s é função de t dada pela expressão 
s t at bt c( )� � �2 , onde a, b, c são constantes. A 
distância s em centímetros, quando 
t = 2,5 segundos, é igual a
a) 248.
b) 228.
c) 208.
X d) 200.
e) 190.
Escolhendo três valores de t na tabela, temos:
s t at bt c
s a b c c
s a b c
( )
( )
( )
� � �
� � 
 � 
 � � � �
� � 
 � 
 � � �
2
2
2
0 0 0 0 0 0
1 32 1 1 32 aa b c
s a b c a b c
a b
a b
� � �
� � 
 � 
 � � � � � �
� �
� �
32
2 128 2 2 128 4 2 128
32
4 2 12
2( )
88
32
2 64
32 0
32 2 5 32 2 5 202 2
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
� � �
� � � 
 �
a b
a b
a e b
s t t s( ) ( , ) , 00
 
 8. (UNIRG – TO) Duas fábricas, A e B, fabricam um 
tipo de componente eletrônico utilizado em 
manutenção de computadores. Para fabricar 
esse componente, a fábrica A tem um custo fixo 
de R$ 700,00 mais R$ 10,00 por cada peça 
fabricada. O custo de produção, da fábrica B, 
em reais, para fabricar a mesma peça, é dado 
pela função: f(x) x� �500
2, onde x representa o 
número de peças fabricadas. Quantas peças 
devem ser fabricadas, em cada fábrica, para que 
elas tenham o mesmo custo de produção? 
a) 10 X b) 20 c) 30 d) 40
O custo de produção na fábrica A, em função da quantidade x de 
peças produzidas, é dado por g x x( ) � �700 10 .
Para que os custos nas fábricas A e B sejam iguais, devemos ter 
f(x) = g(x). Assim:
2
2
500 x 700 10x
x 10x 200 0
x 20 ou x 10 (não convém)
Portanto, devem ser fabricadas 20 peças. 
Agora, você pode fazer as questões 
55 a 58 da seção Conquista Enem.
 6. (UNIT – SE) Ao longo de certo ano, o número N 
de cirurgias realizadas em um hospital, a cada 
mês m, ( )1 12m , é dado por 
N m m
m
( )� � �420 27
3
2
2
.
Logo, o maior número de cirurgias ocorreu no 
mês de
a) janeiro.
b) março.
c) junho.
X d) setembro.
e) dezembro.
a) m N� � � � 
 �
�1 1 420 27 1
3 1
2
445 5
2
( ) ,
b) m N� � � � 
 �
�3 3 420 27 3
3 3
2
487 5
2
( ) ,
c) m N� � � � 
 �
�6 6 420 27 6
3 6
2
528
2
( )
d) m N� � � � 
 �
�9 9 420 27 9
3 9
2
5415
2
( ) ,
e) m N� � � � 
 �
�12 12 420 27 12
3 12
2
528
2
( )
O mês em que o valor da função é maior é setembro. Observe 
os resultados decimais obtidos nas alternativas a, b e d. Muitas 
vezes, a função que modela uma situação real apresenta resultados 
aproximados, e devemos adequar os valores à situação analisada.
Como ainda não foramestudadas as 
fórmulas das coordenadas dos pontos 
de máximo ou de mínimo da função 
quadrática, podemos resolver essa 
questão fazendo o cálculo para cada um 
dos meses indicados nas alternativas.
, ou seja, 35 < t < 45.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/S
ev
en
ty
Fo
ur
124 MATEMÁTICA• •
GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
EM13MAT402
x (x, y)
–2 (–2, 4)
–1 (–1, 0)
0 (0, –2)
1 (1, –2)
2 (2, 0)
3 (3, 4)
x
(3, 4)
y f x x x� � � �( ) 2 2
y f� � � � � � � �( ) ( ) ( )2 2 2 2 42
y f� � � � � � � �( ) ( ) ( )1 1 1 2 02
y f� � � � � �( ) ( ) ( )0 0 0 2 22
y f� � � � � �( )1 1 1 2 22
y f� � � � �( )2 2 2 2 02
y f� � � � �( )3 3 3 2 42
Assim como o gráfico de uma função afim 
é sempre uma reta, o gráfico de uma função 
quadrática apresenta uma característica especial, 
como veremos a seguir.
Em uma partida de basquete, as faltas são 
cobradas com o jogo parado e um lançamento livre 
da bola em direção ao cesto.
A trajetória que a bola descreve tem a forma 
aproximada de uma curva denominada parábola. 
Nesta imagem, a linha tracejada que une as posições 
do espaço ocupadas pelo centro da bola em alguns 
instantes torna mais fácil visualizar essa curva.
Existem situações em que nos deparamos 
com trajetórias ou formas parabólicas: antenas de 
recepção de sinais de rádio e televisão, trajetória 
de objetos em lançamentos oblíquos (como o caso 
acima) e alguns arcos presentes em construções. 
Podemos demonstrar que o gráfico de toda 
função quadrática é uma parábola.
Veja a construção do gráfico da função 
f: definida por y f x x x� � � �( ) 2 2.
Inicialmente, atribuímos valores à variável 
independente x e determinamos em correspondência 
os valores da variável dependente y. 
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/F
ou
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 a
. s
aa
d
©
Sh
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rs
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ck
/M
at
im
ix
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 125• •
Em seguida, localizamos esses pontos no plano 
cartesiano.
Como o domínio da função é o conjunto 
dos números reais, teremos infinitos pontos 
pertencentes ao gráfico da função f. “Ligando” os 
pontos convenientemente, obtemos o gráfico dessa 
função.
Quando estudamos as funções afins, tínhamos 
três possibilidades para o gráfico, dependendo do 
coeficiente de x. Se esse coeficiente fosse positivo, 
a função era crescente, se fosse negativo, era 
decrescente, e se fosse igual a zero a função era 
denominada constante.
Para as funções quadráticas, também temos 
mais de uma possibilidade. Vamos construir o gráfico 
da função f: definida por 
y f x x x� � � � �( ) 2 2.
Novamente, atribuímos alguns valores para 
a variável x e determinamos os valores de y em 
correspondência.
x (x, y)
–3 (–3, –4)
–2 (–2, 0)
–1 (–1, 2)
0 (0, 2)
1 (1, 0)
2 (2, –4)
 
y f x x x� � � � �( ) 2 2
y f� � � � � � �( )2 2 2 2 42
y f� � � � � �( )1 1 1 2 02
y f� � � � � �( )0 0 0 2 22
y f� � � � � � � � �( ) ( ) ( )1 1 1 2 22
y f� � � � � � � � �( ) ( ) ( )2 2 2 2 02
y f� � � � � � � � � �( ) ( ) ( )3 3 3 2 42
cococoorrrrrrrresesesesppp
(2, 4)
1
1
–1
–1–2–3–4–5
–2
–3
–4
–5
0
2
3
4
5
6
2 3 4 5
x
y
1
1
–1
–1–2–3
–2
–3
0
2
3
4
2 3 4
x
y
(3, 4)(–2, 4)
(–1, 0)
(1, –2)
(2, 0)
(0, –2)
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
126 MATEMÁTICA• • EMÁTICA
Se localizarmos os pontos no plano cartesiano, 
podemos construir o gráfico da função.
Uma parábola que representa o gráfico de uma 
função f : , definida por f x ax bx c( ) � � �2 , 
pode ter a concavidade voltada para cima ou para 
baixo.
 • Se a > 0, a concavidade é voltada para cima.
 • Se a < 0, a concavidade é voltada para baixo. 
Como decidir 
quais valores de 
x são os mais 
convenientes 
para a confecção 
do gráfico?
Em uma 
parábola, 
existem pontos 
que se destacam 
em relação aos outros. Conhecer esses pontos não 
apenas torna mais rápida a construção do gráfico de 
uma função quadrática como também nos fornece 
respostas fundamentais nos casos em que a função 
está associada a um fenômeno de nosso cotidiano. 
Vamos estudar com detalhes cada um desses pontos. 
Perceba que essa parábola tem uma 
característica fundamental que a diferencia da 
anterior: o sentido de sua concavidade. 
Concavidade é uma qualidade que os gráficos de funções 
apresentam. De maneira informal, ela indica em quais intervalos 
do domínio o gráfico é côncavo para cima (tem o formato de 
“U”) ou côncavo para baixo (tem o formato de “∩”). O gráfico de 
uma função quadrática tem concavidade bem definida em todo 
o seu domínio: ou ele é côncavo para cima ou para baixo. 
Ponto de intersecção 
com o eixo y 
No ponto em que a parábola intersecta o eixo 
y, o valor de sua abscissa é zero. Portanto, sendo a 
função f: , definida por f x ax bx c( ) � � �2 , 
temos:
x f a b c f c� � � 
 � 
 � � �0 0 0 0 02( ) ( ) 
Se você observar com atenção os dois gráficos 
construídos anteriormente, notará que no primeiro 
atribuímos para x valores inteiros de –2 a 3, 
enquanto no segundo foram os valores inteiros de 
–3 a 2.
O ponto em que o gráfico de uma função quadrática 
intersecta o eixo y é sempre (0, c). Observe que a 
ordenada desse ponto é o termo independente c da 
lei de formação f x ax bx c( ) � � �2 da função. 
1
1
–1
–1–2–3–4
–2
–3
–4
–5
0
2
3
2 3
x
y
(–1, 2) (0, 2)
(1, 0)(–2, 0)
(–3, –4) (2, –4)
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
0 x
y
Ponto de
intersecção da 
parábola com
o eixo y
Zeros da função
Vértice da
parábolaV
x
2x1
xV
yV
©
Sh
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ck
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ic
ro
on
e
©Shutterstock/Thomas bethge
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 127• •
ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Considere que a altura y, em metros, que uma bola atinge ao 
ser chutada pelo goleiro na cobrança de um tiro de meta varia em 
função do alcance x, também em metros, de acordo com a fórmula
y x x� � �0 01 0 632, , , com x 0.
Se a bola é chutada do ponto A, a quantos metros desse ponto ela 
atingirá o ponto B, supondo que nenhum jogador interferirá em sua 
trajetória?
Para responder a essa pergunta, vamos representar a trajetória da 
bola em um plano cartesiano.
O valor de y nos pontos A e B é 
zero, e podemos calcular o valor de x 
nesses pontos:
y x x
x x
x ou x
� � � � �

 � �� � �
� � � �
�
0 0 01 0 63 0
0 01 0 63 0
0 0 01 0 63 0
0 0
2, ,
, ,
, ,
, 11 0 63
63
x
x
� �
�
,
Para determinar os zeros de uma função quadrática, basta resolver 
a equação do 2º. grau correspondente a essa função quando y = 0. 
Comente com os alunos que os zeros da função que modela a trajetória da 
bola no chute são 0 e 63, pois para esses dois valores de x temos y = 0.
Veja a sugestão de encaminhamento no Manual digital. 
No ponto A, o valor de x é 0 e, no ponto B, 63.
Assim, o alcance total da bola nessa cobrança de tiro de meta foi de 
63 metros. 
Em uma função quadrática f x ax bx c( ) � � �2 , com 
zero
x f x( ) 0
x.
x
y
BA
©
Shutterstock/Feaspb
A B
128 MATEMÁTICA• •
EXEMPLOS RESOLVIDOS
 Determine os zeros da função f: 
definida por f x x x( ) � � �2 4 5.
Solução
y x x
y x x
a b c
x
b b ac
a
x
� � �
� � � � �
� � � � �
�
� 7 �
�
� � 7 �
2
2
2
4 5
0 4 5 0
1 4 5
4
2
4 4( ) ( )22 4 1 5
2 1
4 6
2
5 1
� 
 
 �
�
7
� � � �
( )
x x ou x
Os zeros da função são 5 e –1. Portanto, 
o gráfico dessa função intersecta o eixo x 
nos pontos (5, 0) e (–1, 0).
 Calcule os zeros da função f : 
definida por f x x x( ) � � �2 6 9.
Solução
y x x
y x x
a b c
x
b b ac
a
x
� � �
� � � � �
� � � �
�
� 7 �
�
� � 7 �
2
2
2
2
6 9
0 6 9 0
1 6 9
4
2
6 6( ) ( ) �� 
 
�
7
� �
4 1 9
2 1
6 0
2
3x x
Essa função tem apenas um zero, que é 
igual a 3. Portanto, seu gráfico intersecta o 
eixo x apenas no ponto (3, 0). Note que nesse 
caso 6 � � �b ac2 4 0 .
1)
Soluçãç o
 Quais são os zeros da f: definida por f x x x( ) � � �2 4 10 ?
Solução
y x x
y x x
a b c
x
b b ac
a
x
� � �
� � � � �
� � �
�
� 7 �
�
� 7 �2
2
2
2
4 10
0 4 10 0
1 4 10
4
2
4 4 4 1 
�
� 7 �
10
2 1
4 24
2
x
Essa função não tem zeros, pois não há 
raízes de números negativos no conjunto 
dos números reais. Isso significa que a 
parábola não intersecta o eixo x. Observe 
que 6 - 0.
Estudamos anteriormente que uma equação do 
2º. grau ax bx c2 0� � � pode ter duas raízes reais 
e distintas, duas raízes reais e iguais ou ainda não 
ter raízes reais, conforme o valor do discriminante 
6 � �b ac2 4 seja positivo, nulo ou negativo, 
respectivamente. Dessa forma, para uma função 
quadrática f x ax bx c( ) � � �2 , temos as seguintes 
possibilidades:
 • Se 6 / 0, a função tem dois zeros. 
 • Se 6 � 0, a função tem um único zero.
 • Se 6 - 0, a função não tem zeros. 
2)
3)
Soluçãç o
Soluçãç o
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 129• •
 10. Assinale V se a afirmação for verdadeira e F se 
for falsa. Justifique suas respostas.
( V ) O ponto (0, 0) pertence ao gráfico da função 
f: definida por f x x x( )� � �7
2 .
Como f( )0 7 0 0 02� � 
 � � , o ponto (0, 0) pertence ao gráfico da 
função f.
( F ) O gráfico da função g: definida por 
g x x x( )� � � �2
2 8 é uma parábola com a 
concavidade voltada para cima. 
Como a � �1, a concavidade da parábola é voltada para baixo.
( V ) O gráfico da função h: definida por 
h x x x( )� � � �2 5 1
2 passa pelo ponto P(2, 3).
Como h( )2 2 2 5 2 1 32� � 
 � 
 � � , o gráfico da função h passa pelo 
ponto P(2, 3).
 11. Determine o valor de p de maneira que o 
gráfico da função definida por f x x x p( )� � �2
6 
passe pelo ponto A(2, –3). 
Para que o gráfico da função f passe pelo ponto A(2, –3), devemos 
ter f( )2 3� � :
f
p
p
p
( )2 3
2 6 2 3
4 12 3
5
2
� �
� 
 � � �
� � � �
�
 13. Considere a função f: definida por 
f x m x x( ) ( )� � 
 � �2 7 3 2
2 .
ATIVIDADES
 12. Obtenha os zeros de cada função quadrática a 
seguir. 
a) f x x x( )� � �2
2
a) Para quais valores de m o gráfico da 
função é uma parábola com a concavidade 
voltada para cima? E para baixo? 
Se 2 7 0 2 7
7
2
m m m� / � / � / , então a parábola tem a 
concavidade voltada para cima.
Se 2 7 0 2 7
7
2
m m m� - � - � - , então a parábola tem a 
concavidade voltada para baixo. 
b) f x x x( )� � � �2
12 36
c) f x x x( )� � �2
3 4
d) y x� �3 6
2
e) y x x� �2 9
2
f) y x x� � �2 6 12
2 
f(x) = x2 – x – 2
x
x
x ou x
=
= =
= =
–(– ) (– ) – · · (– )
·
–
1 1 4 1 2
2 1
1 9
2
1 3
2
1 2
2
Os zeros da função são –1 e 2.
f(x) = –x2 + 12x – 36
x
x
=
= =
– – · (– ) · (– )
· (– )
–
–
–
–
12 12 4 1 36
2 1
12 0
2
12 0
2
2
x = 6
O zero da função é 6.
f(x) = x2 – 3x – 4
x
x
x ou x
=
= =
= =
–(– ) (– ) – · · (– )
·
–
3 3 4 1 4
2 1
3 25
2
3 5
2
1 4
2
Os zeros da função são –1 e 4.
y = 3x2 + 6
3x2 + 6 = 0
x x2 2= – � #
A função não tem zeros.
y = 2x2 + 9x
2x2 + 9x = 0 ⇒ x · (2x + 9) = 0
x ou x= =0
9
2
–
Os zeros da função são 0 e –
9
2
.
y = 2x2 – 6x – 12
x
x
x ou x
=
= =
=
+
=
–(– ) (– ) – · ·( )
·
6 6 4 2 12
2 2
6 132
4
6 2 33
4
3 33
2
3 33
2
27 �
7 7
�
Os zeros da função são 3 33
2
 e 3 33
2
.
130 MATEMÁTICA• •
 15. Escreva a lei de formação de cada uma das 
funções quadráticas cujos gráficos estão 
representados a seguir. 
 16. (UECE) Seja f a função real de variável real, 
definida por f x x px q( )� � �2 , em que p e q 
são números reais constantes. Se o gráfico de f 
passa pelos pontos (5, 0) e (0, 5) o valor de f(1) 
é 
a) –1. b) 2. X c) 0. d) 1.
f x x px q
f p q p q
f p q q
( )
( )
( )
� � �
� � � 
 � � � � � �
� � � 
 � � � �
2
2
2
5 0 5 5 0 5 25
0 5 0 0 5 55
5 25 5 5 25 6
6 5
1 1 6 1 5 1 6
2
2
�
�
�
��
� � � � � � � � � �
� � �
� � 
 � � �
p q p p
f x x x
f
( )
( ) �� �5 0
a) 
f x ax bx c
f c
f a b c
f a b c
a b I
( )
( )
( )
( )
( )
� � �
� �
� � � � �
� � � �
� � �
2
0 3
1 0
3 9 3 0
3 0
99 3 3 0
3
3 1
4 4
a b II
a b I
a b II
I II a a
� � �
�
�
�
� � �
� � �
�
�
�
� � � � � �
( )
( )
( )
( ) ( ): 11
1 3 2
2 32
( )
( )
I b b
f x x x
: � � � � � �
� � � �
b) 
f x ax bx c
f c
f a b c
f a b c
a b
( )
( )
( )
( )
� � �
� � �
� � � �
� � � � �
� �
2
0 5
5 25 5 0
1 0
25 5 5 ��
� � �
�
�
�
� �
� �
�
�
�
� � � �
0
5 0
5 1
5
6 6 1
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
I
a b II
a b I
a b II
I II a a:
(( )
( )
II b b
f x x x
: 1 5 5 1 4
4 52
� � � � � � � �
� � �
 17. (CESMAC – AL) O custo C(x), em reais, para se 
produzir x unidades de determinado produto, 
é dado por C x x x( )� � �2
100 4 525. Se, para a 
produção de certo número de unidades, o custo 
foi de R$ 2.125,00, qual dos valores a seguir 
pode ser o número de unidades produzidas? 
Parte do gráfico de C em termos de x está 
esboçada a seguir. 
b) O que podemos dizer sobre a função se 
m
7
2
? 
Se m
7
2
, então f x x( ) � �3 2. Nesse caso, a função é afim, e 
não quadrática.
 14. Determine o valor de m para que 
a função f: definida por 
f x m x m x m( ) ( ) ( )� � 
 � 
 � �1 3 1
2 seja 
quadrática, tenha um único zero e a parábola 
que representa o gráfico dessa função tenha a 
concavidade voltada para cima.
Para que a função tenha um único zero, devemos ter 6 � 0.
6 � � � 
 � 
 � �
� 
 � �
� � � � � � �
0 3 4 1 1 0
3 4 1 0
4 0 4 2
2
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
( )
m m m
m m
m m m ou m �� �2
Para que a parábola tenha a concavidade voltada para cima, 
m� /1 0 , ou seja, m / �1. Portanto, m = 2. 
3
3
–1
y
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
5
–5
–1
y
x
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 131• •
 18. (UEG – GO) A função real cujo gráfico está 
representado a seguir é 
Usando a técnica descrita acima, a área 
aproximada abaixo do gráfico da função 
g x
x
x( )� � �
2
4
1 no intervalo [ , ]0 10 , usando 
cinco retângulos será de:
a) 30 u.a
b) 250 u.a
c) 125 u.a
X d) 110 u.a
e) 27,5 u.a
Usando cinco retângulos, a base de cada um deles tem medida 2, 
pois 
10 0
5
2
�
� . Além disso, as alturas dos retângulos são:
g( )0
0
4
0 1 1
2
� � � �
g( )2
2
4
2 1 4
2
� � � �
g( )4
4
4
4 1 9
2
� � � �
g( )6
6
4
6 1 16
2
� � � �
g( )8
8
4
8 1 25
2
� � � �
Portanto, a soma das áreas dos cinco retângulos será:
2 1 2 4 2 9 2 16 2 25 110
 � 
 � 
 � 
 � 
 � 
a) 52
b) 54
c) 56
d) 58
X e) 60 
a) x x
2
7 10� �
X b) � � �x x
2
7 10
c) � � �x x
2
7 10
d) x x
2
7 10
e) � � �x x
2
7 10
Agora, você pode fazer as questões 59 
a 61 da seção Conquista Enem.
Como o custo foi de R$ 2.125,00, temos:
C x
x x
x x
x ou x
( ) �
� � �
� � �
� �
2 125
100 4 525 2 125
100 2400 0
40 60
2
2
Portanto, entre os valores das alternativas, 60 é um possível número 
de unidades produzidas.
 19. (UDESC) Uma maneira de calcular, 
aproximadamente, a área de uma região abaixo 
do gráfico de uma função é inscrever 
retângulos de bases iguais nesta região, de 
modo que a base dos retângulos esteja sobre o 
eixo x e um dos vértices de cada retângulo 
sobre o gráfico da função. Usando esta técnica, 
quanto maior for o número de retângulos 
melhor será a aproximação da área da região 
abaixo do gráfico da função. A Figura 1 é um 
exemplo do uso desta técnica para calcular, 
aproximadamente, a área abaixo do gráfico da 
função f x x( )
2 no intervalo [ , ]a b . 
Considerando f(x) = ax2 + bx + c, temos:
f c
f a b c
f a b c
( )
( )
( )
0 10
2 4 2 0
5 25 5 0
� � �
� � � �
� � � �
4 2 10 0
25 5 10 0
2 5
5 2
a b I
a b II
a b I
a b II
II
� � �
� � �
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
( )
( )
( )
( )
( ) (( )
( ) ( )
( )
I a a
I b b
f x x x
:
:
3 3 1
2 1 5 7
7 102
� � � � �

 � � � � �
� � � �
Outra forma de resolução é por exclusão das alternativas. 
Considerando que o gráfico é representado por uma parábola 
com concavidade para baixo, temos a < 0, assim excluímos as 
alternativas a e d, que apresentam a > 0. Observando que o ponto de 
intersecção do gráfico com o eixo y é (0, –10), temos c = –10, assim 
a única alternativa que satisfaz as duas condições é a b.C
x
0 80
4 000
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
1–1–2 2
2
–2
–4
–6
–8
–10
–12
4
x
3 4 5 6 7 8
y
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
a b
Figura 1: Aproximação da área
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
132 MATEMÁTICA• •
Ao resolver a seguinte questão, um aluno marcou a alternativa b. Acompanhe:
EM13MAT402
ANÁLISE DO ERRO
Em uma cobrança de falta de um jogo de futebol, a bola descreve uma trajetória dada por 
h x
x x
( ) � � �
2
50 2
, em que h é a altura da bola, em metros, e x é o alcance, também em metros. 
Considerando que o jogador está a 21 metros da linha do gol, que as traves têm 2,44 metros de 
altura e que a bola não será tocada por nenhum jogador durante sua trajetória, podemos afirmar que o 
primeiro ponto em que a bola tocou após o chute estava localizado
a) no travessão.
b) após a linha do gol e fora dele.
c) sobre a linha do gol.
d) antes da linha do gol.
e) após a linha do gol e dentro dele.
O raciocínio do aluno foi o seguinte:
“Se o primeiro ponto em que a bola tocou após o chute for no chão, então ele corresponde a um dos 
zeros da função, pois é um ponto em que y = 0. Assim, devemos resolver a equação � � �
x x2
50 2
0:
x
x
x ou x
 � ��
�
	
�
� � � � �
50
1
2
0 0 25
distância do jogador. Como essa distância está fora do gol, então é claro que a alternativa correta é a b.”
Só que a resposta dele está errada, pois a alternativa correta é a e, após a linha do gol e dentro dele.
Qual foi o erro que o estudante cometeu?
não entrou no gol apenas com o cálculo das raízes da equação h(x) = 0. Também precisamos verificar se 
no caminho a bola vai passar sob a trave, sobre ela, ou bater no travessão.
Para isso, devemos calcular a altura da bola para x = 21:
h( ) , , ,21
21
50
21
2
8 82 10 5 1 68
2
� � � � � � �
Portanto, como 0 1 68 2 44, , , a bola cairá dentro do gol. Assim, e é a alternativa correta. 
QuQQQ al foi o erro quqqq e o estudante cometeu?
21 m
y
x
2,44 m
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/a
rm
o.
rs
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/M
el
in
da
 N
ag
y
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 133• •
©
Sh
u
©
Sh
u
©
Sh
u
©
Sh
u
©
Sh
tte
r
tte
r
tte
r
tte
rs
to
c
st
oc
st
oc
st
oc
k/
M
e
k/
M
e
k/
M
e
k/
M
el
in
d
linlinlin
a 
Na
a 
NN
a 
N
gyyyy
M
A
T
4. FUNNÇÃOO QUADRADRÁTIÁTICACA 131333•• •
VÉRTICE DA PARÁBOLA EM13MAT503
x
0
1
2
3
4
5
6
7
 
Uma casa de espetáculos costuma promover shows
Em média, 200 pessoas assistem aos shows a cada semana, mas a administração percebeu que, a cada 
calcular qual deve ser o preço do ingresso para que o faturamento obtido com os shows seja o maior possível.
O faturamento da casa de espetáculos com a venda dos ingressos é obtido multiplicando o preço unitário 
do ingresso pela quantidade de ingressos vendidos em cada show.
Observe a tabela. 
y x x� � � �250 1500 10 0002
y � � 
 � 
 � �250 0 1500 0 10 000 10 0002
y � � 
 � 
 � �250 1 1500 1 10 000 112502
y � � 
 � 
 � �250 2 1500 2 10 000 12 0002
y � � 
 � 
 � �250 3 1500 3 10 000 122502
y � � 
 � 
 � �250 4 1500 4 10 000 12 0002
y � � 
 � 
 � �250 5 1500 5 10 000 112502
y � � 
 � 
 � �250 6 1500 6 10 000 10 0002
y � � 
 � 
 � �250 7 1500 7 10 000 82502
Preço do 
ingresso
(R$)
Quantidade 
vendida
(unidades)
Faturamento 
por show
(R$)
50,00 200
45,00 250
40,00 300
35,00 350
Analisando os valores da tabela, é possível 
concluir que, se continuássemos calculando o 
faturamento para preços do ingresso ainda menores, 
esse faturamento aumentaria cada vez mais?
Para responder a essa pergunta, vamos obter 
uma função que relacione a redução do preço do 
ingresso com o faturamento.
dados “x x x
 �50 50 ingressos a mais.
Assim, o faturamento y, em reais, obtido com a 
venda dos ingressos, em função de x, é: 
y x x
y x x x
y x
� � 
 
 �
� � � �
� � �
( ) ( )50 5 200 50
10 000 2 500 1 000 250
250 1 500
2
2 xx �10 000
Agora que conhecemos a função que relaciona 
a quantidade x
faturamento dos shows, podemos usá-la para 
completar a tabela a seguir.
134 MATEMÁTICA• •
Localizando os pontos correspondentes em um plano 
cartesiano, construímos o gráfico que representa a situação.
Nesse gráfico, percebemos que de 0 até 3 descontos de 
show sempre aumenta. No entanto, se 
o número de descontos for maior do que 3, o faturamento começa 
a diminuir outra vez. Assim, podemos concluir que o número de 
descontos que faz com que o faturamento seja máximo é 3.
Desse modo, podemos responder à questão inicial: qual deve 
ser o preço do ingresso para que o faturamento seja o maior 
possível? 
Considerando o número de descontos igual a 3, temos: 
R R R$ , $ , $ ,50 00 3 5 00 35 00� 
 � . Portanto, o preço do ingresso 
Uma parábola pode ter a concavidade voltada para cima ou 
para baixo. Se a parábola tiver a concavidade voltada para cima, 
a função tem um valor mínimo. Caso a concavidade seja voltada 
para baixo, a função tem um valor máximo. 
No caso do faturamento obtido com o show, a parábola que 
modela o gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo 
e, portanto, essa função tem um valor máximo, que corresponde a 
O ponto da parábola em que a função quadrática assume 
o valor mínimo (quando a > 0) ou máximo (quando a < 0) é 
denominado vértice. Como qualquer outro ponto do gráfico, o 
vértice tem duas coordenadas.
Veja a seguir como obter as coordenadas do vértice da 
parábola.
Uma reta horizontal qualquer ou intersecta a parábola em 
dois pontos (reta verde), ou intersecta a parábola em um único 
ponto (reta vermelha) ou, ainda, não intersecta a parábola 
(reta azul). Observe que a reta vermelha intersecta a parábola 
justamente em seu vértice.
Vamos considerar agora uma parábola de equação 
y ax bx c� � �2 e vértice V, e uma reta representada pela função 
constante y = m, que intersecta a parábola em V. 
Como a reta e a parábola têm apenas um ponto em comum, o 
sistema formado pelas suas equações tem somente uma solução.
y ax bx c I
y m II
� � �
�
�
�
�
��
2 ( )
( )
Substituindo (II) em (I), temos:
m ax bx c
ax bx c m III
� � �
� � � �
2
2 0 ( )
x
0
5 000
10 000
12 250
15 000
20 000
2 3 4 6
y
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
x
y
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
x
y = m
V
m
y = ax2 + bx + c
y
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 135• •
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Já que o sistema tem apenas uma solução, a equação (III) deve ter duas raízes reais e iguais, ou seja, seu 
discriminante deve ser igual a zero. Para essa equação, note que o termo independente é dado por (c – m). Se 
6 � �b ac2 4 (discriminante da equação ax bx c2 0� � � ), temos:
b a c m
b ac am
am b ac
m
b ac
a
b ac
2
2
2
2 2
4 0
4 4 0
4 4
4
4
4
� 
 
 � �
� � �
� � �
�
� �
�
� �
( )
( )
44
4
a
m
a
�
�6
Substituindo m por 
�6
4a
 em (III), temos:
Assim, o vértice V x yV V,� � da parábola que representa a função quadrática definida por 
f x ax bx c( ) � � �2 é o ponto formado pela abscissa e pela ordenada que satisfaz o sistema de equações 
anterior, ou seja: 
Voltando à função y x x� � � �250 1 500 10 0002
com o faturamento da casa de espetáculos, o vértice da parábola é o ponto V x yv v( , ) , em que
x
b
aV �
�
�
�

 �
�
�
�
�
2
1 500
2 250
1 500
500
3
( )
 e y
aV �
�
�
� � 
 � 

 �
�
�
�
�
6
4
1 500 4 250 10 000
4 250
12 250 000
1 000
12 2
2( ( ) )
( )
550
faturamento máximo, e a ordenada do vértice indica o faturamento máximo. 
x
b
a
e y
a
V
b
a aV V�
�
�
�6
3
� �6�
�
	
�
�2 4 2 4
,
 Considere a função f: definida por f x x x( ) � � �3 12 152 .
b) Qual é o vértice da parábola que representa o 
gráfico da função f?
Solução
x
b
a
y
a
V
V
�
�
�
� �
� �
�
�6
�
� � � 
 
 �
�
�
2
12
2 3
12
6
2
4
12 4 3 15
4 3
3242
( )
[( ) ( )]
112
27� �
b) Essa função tem valor 
mínimo ou valor máximo?Solução
 A função tem valor mínimo, 
pois a concavidade da parábola 
é voltada para cima.
a)
Nesse momento, comente com os alunos que o vértice da parábola 
é um ponto com duas coordenadas. A abscissa do vértice indica o 
valor de x para o qual a função assume o valor mínimo (ou máximo, 
caso a concavidade da parábola esteja voltada para baixo), enquanto a 
ordenada do vértice é o valor mínimo (ou máximo) da função.
Soluçãçç oSoluçãççç o
ax bx c m
ax bx c
b ac
a
a x abx ac b
2
2
2
2 2 2
0
4
4
0
4 4 4
� � � �
� � �
� ��
�
		
�
�� �
� � � � 44 0
4 4 4 4 0
4 4 0
2 0 2
2 2 2
2 2 2
2
ac
a x abx ac b ac
a x abx b
ax b ax
�
� � � � �
� � �
� � �( ) �� � �
� � � � �
�
b
ax b x
b
a
0
2
2
136 MATEMÁTICA• •
 A função f tem dois zeros reais. 
Determine-os e, em seguida, 
calcule a média aritmética entre 
eles.
Solução
f x
x x
x
x
( ) �
� � �
� �
�
�
�
�
0
3 12 15 0
1
5
2 1
2
 A média aritmética entre os zeros é 
igual a 
� �
� �
1 5
2
4
2
2 . 
Conjunto-imagem de uma 
função quadrática
Você já aprendeu o que é o conjunto-imagem 
de uma função. A seguir, você descobrirá como 
determinar o conjunto-imagem de uma função 
quadrática.
d) Substitua o valor de xV na função f, ou seja, 
determine f xV( ) . Que valor é obtido? Qual é a 
relação entre esse valor e yV ? 
Solução
f x x x
x
f x f
V
V
( )
( ) ( )
� � �
�
� � 
 � 
 � � � � � �
3 12 15
2
2 3 2 12 2 15 12 24 15 27
2
2
O valor de f xV( ) é igual a yV . 
c) d)
Explique aos alunos que, quando a função tem dois zeros, a abscissa do vértice pode ser obtida pela média aritmética entre eles. E 
veja a sugestão de encaminhamento no Manual digital. 
Veja a sugestão de encaminhamento no Manual digital. 
A reta vertical que passa pelo vértice da 
parábola é denominada eixo de simetria.
Observe que, quando o gráfico da função 
quadrática apresenta dois zeros, eles estão à 
mesma distância do eixo de simetria. Logo, 
x x x x x x xV V V� � � � � �1 2 1 22 .
Assim, podemos dizer que a abscissa do vértice 
da parábola é a média aritmética entre os zeros 
da função, ou seja, x
x x
V �
�1 2
2
.
Vimos que uma função quadrática ou tem um valor 
máximo ou um valor mínimo. Esse valor corresponde 
à ordenada do vértice da parábola que representa o 
gráfico dessa função.
Acompanhe os exemplos. 
 • f x x x( ) � � �2 4 3
A ordenada do vértice é dada por:
y
aV �
�6
�
� � 
 
�
�
� �
4
4 4 1 3
4 1
4
4
1
2[ ]
Observe ao lado o esboço do gráfico 
de f(x), cuja parábola tem a concavidade 
voltada para cima, e o eixo y, no qual 
está indicada a ordenada do vértice.
Portanto, 
Im( ) { | } ,f y y� � � � � � ,&' &'1 1 .
 • g x x x( ) � � � �2 2 52
A ordenada do vértice é dada por:
y
aV �
�6
�
� � 
 � 

 �
�
�
�
�
4
2 4 2 5
4 2
44
8
11
2
2[ ( ) ]
( )
Observe ao lado o esboço do gráfico 
de g(x), cuja parábola tem a concavidade 
voltada para baixo, e o eixo y, no qual 
está indicada a ordenada do vértice.
Portanto, 
Im(g) | ,� � .�
�
�
�
�
�
� �,(
)+
(
)+
y y
11
2
11
2
. 
Soluçãççç o
Soluçãççç o
x
y
Eixo de
simetria
V
xV
x1 x2
yV
–1
y
V
y
V11
2
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 137• •
 20. Assinale V se a afirmação for verdadeira e F se 
for falsa.
( V ) A função de em definida por 
f x x x( )� � �2
2 3 tem dois zeros. 
As raízes da equação x2 – 2x – 3 = 0 são –1 e 3. Portanto, a função f 
tem dois zeros.
( F ) O gráfico da função g: definida por 
g x x x( )� � � �2 3
2 intersecta o eixo das 
ordenadas no ponto (0, 3). 
Como g( )0 3� � , o gráfico dessa função intersecta o eixo das 
ordenadas no ponto (0, –3).
( F ) Se a função real de variável real definida por 
y x mx� � �2
25 tem um único zero, então 
m = 10. 
( V ) Se m = 10, então a função real de variável real 
definida por y x mx� � �2
25 tem um único 
zero. 
Do item anterior, para m = 10 a função tem um único zero.
( F ) O vértice da parábola que representa a função 
de em definida por f x x x( )� � � �2
6 8 é 
o ponto de ordenada mínima. 
Como a concavidade da parábola é voltada para baixo, o vértice é um 
ponto de ordenada máxima.
 21. Calcule a ordenada do vértice da parábola que 
representa o gráfico da função y x mx� � �2 1
2 , 
sabendo que a abscissa do vértice é igual a 3.
x
m
m
y
y
y
V
V
V
V
� �
� �
� � �
� 
 � 
 �
� � �
� �
3
2 2
3 12
2 3 12 3 1
18 36 1
17
2
( )
 22. Considere a função f: definida por 
f x x x( )� � � �2
2 3.
a) Qual é o valor da função para x = 0? E para 
x = 4?
f x x x
f
f
( )
( )
( )
� � � �
� � � 
 � �
� � � 
 � � �
2
2
2
2 3
0 0 2 0 3 3
4 4 2 4 3 5
 
EM13MAT402, EM13MAT503ATIVIDADES
O discriminante da equação x2 – mx + 25 = 0 deve ser igual a zero, ou 
seja, ( )� � 
 
 � � � � � � �m m m ou m2 24 1 25 0 100 10 10. Assim, 
existem dois valores de m para os quais a função tem um único zero.
b) Determine os zeros (caso existam) dessa 
função.
f x
x x
x
x
( ) �
� � � �
� �
�
�
�
�
��
0
2 3 0
1
3
2 1
2
Os zeros da função são –1 e 3. 
c) Qual é o vértice da parábola que 
representa o gráfico dessa função?
x
y
V
V
�
�

 �
�
� � � 
 � �
2
2 1
1
1 2 1 3 42
( )
O vértice da parábola é o ponto (1, 4). 
d) Qual é o conjunto-imagem da função?
Im( ) { | } ,f y y� � . � �,0 04 4
e) Esboce o gráfico dessa função na malha 
quadriculada a seguir. 
x
y
–1 3
3
4
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
138 MATEMÁTICA• •
X a) –3
b) –2
c) –1
d) 0
 e) 1
f x ax bx c
f a b c c
x
b
a
b a
y
V
V
( )
( )
� � �
� � 
 � 
 � � � �
� � �
�
� � � �
�
2
20 2 0 0 2 2
1
2
1 2
3
ff
a b c
a a a a
( )
( ) ( )
� �

 � � 
 � � �
� � � � � � � � �
1 3
1 1 3
2 2 3 1 1
2
Portanto, a b a a a� � � � � �2 3 3.
 25. (UFJF – MG) É correto afirmar sobre a função 
quadrática y x x� � � �2
3 1 que: 
a) f(x) é decrescente para { | }x x� .0 .
b) A concavidade é para cima.
c) f(x) possui três zeros diferentes.
d) f(x) tem como vértice o ponto 
1
5
4
5
,88�
�
	
�
�.
X e) O valor máximo de f(x) é 
5
4
.
Portanto, a + b é
3
2
−1
y
x
y = –x2 + 8x – 3 
y x x
x
x
x
y
V
V
= + =
= +
=
= =
=
0 8 3 0
4 13
4 13
8
2 1
4
8 4
2 1
2
2
�
�
�
�
��
– –
–
–
· (– )
–[ – · (–11 3
4 1
52
4
13
) · (– )]
· (– )
–
–
= =
Os zeros da função são 4 13 e 4 13– , o vértice da parábola é 
o ponto (4, 13) e o conjunto-imagem é y y� .� � ,0 0| ,13 13� – .
 24. (UFRGS – RS) A parábola na figura abaixo tem 
vértice no ponto (–1, 3) e representa a função 
quadrática f x ax bx c( )� � �2 . 
f) y x x� � � �2
8 3
 23. Para cada uma das seguintes funções 
quadráticas, em seu caderno, determine os 
zeros (caso existam), obtenha as coordenadas 
do vértice da parábola e indique o conjunto- 
-imagem. 
a) f x x x( )� � �2
4 3
f(x) = x2 – 4x + 3
f x x x
x
x
x
y
V
V
( )
( )
[( )
= + =
=
=
= =
=
0 4 3 0
1
3
4
2 1
4
2
2
4 4
2 1
2
2
� �
�
�
�
��
� �
�
� � � 
11 3
4 1
4
4
1
� � �
]
=
Os zeros da função são 1 e 3, 
o vértice da parábola é o ponto 
(2, –1) e o conjunto-imagem é 
y y� �� � � ,1 1| ,1 1= � .
b) y x x� � �2 8
2
y = –2x2 + 8x
y x x
x
x
x
y
V
V
= + =
=
=
= = =
=
0 2 8 0
0
4
8
2 2
8
4
2
8 4 2
2 1
2
2
�
�
�
�
��
–
–
· (– )
–
–
–[ – · (– ) ·· ]
· (– )
–
–
0
4 2
64
8
8= =
Os zeros da função são 0 e 4, 
o vértice da parábola é o ponto 
(2, 8) e o conjunto-imagem é 
y y� .� � �,0 0| ,8 8� .
c) g x x( )� �7 7
2
g(x) = 7x2 + 7
g x x x
x
y
V
V
( )
[ ]
= + = =
= =
= = =
0 7 7 0 1
0
2 7
0
0 4 7 7
4 7
196
28
7
2 2
2
� � �
�
� � 
 
A função não tem zeros, o 
vértice da parábola é o ponto 
(0, 7) e o conjunto-imagem é 
y y� � � ,1 1| ,7 7� � .
d) h x x x( )� � �2
6 9
h(x) = x2 + 6x + 9
h x x x
x
x
x
y
V
V
( )
[ ]
= + + =
=
=
= =
=
0 6 9 0
3
3
6
2 1
3
6 4 1 9
4
2 1
2
2
�
�
�
�
�
�
��
�
�
� � 
 

11
0
4
0= =
O zero da função é –3, o 
vértice da parábola é o ponto 
(–3, 0) e o conjunto-imagem 
é y y� � � ,1 1| ,0 0� � .
e) yx x� � � �8 4
2
y = –8x2 – x – 4 
y x x
x
y
V
= =
= =
= =
0 8 4 0
1 4 8 4 127
1
2 8
1
16
2
2
�
6
– – –
(– ) – · (– ) · (– ) –
–(– )
· (– )
–
VV = =
–[(– ) – · (– ) · (– )]
· (– )
1 4 8 4
4 8
127
32
2
�
A função não tem zeros, o vértice da parábola é 
o ponto � ��
�
	
�
�
1
16
127
32
, e o conjunto-imagem é 
y y� . ��
�
�
�
�
�
�, �(
)+
(
)+
| ,
127
32
127
32
� .
Como a = –1, o gráfico da função é uma parábola com a concavidade 
voltada para baixo. Se y = 0, então:
� � � �
� � �
�
� � 7 � � 
 
x x
x x
x
2
2
2
3 1 0
3 1 0
3 3 4 1 1
2 1
( ) ( )
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 139• •
 27. (UCB – DF) A figura apresentada indica que 
o centro de massa do corpo de um atleta que 
pratica saltos ornamentais descreve uma 
trajetória parabólica, representada por uma 
função da forma f(x) = ax² + bx + c = 0, quando 
esse executa um salto a partir de um trampolim. 
Fixando um sistema de coordenadas, temos a figura a seguir. Os 
pontos A, B e V (vértice da parábola) são, respectivamente, A(–2, 0), 
B(2, 0) e V(0, 5).
Assim:
Considerando ainda que, no momento em que 
o atleta inicia o salto, o centro de massa está no 
ponto com coordenadas �� �2 3,88 e que a altura 
máxima atingida pelo centro de massa é 
5 metros, julgue os itens a seguir.
0. ( V ) Em algum momento, o centro de 
massa do atleta passará pelo ponto de 
coordenadas 2 3,88� �.
1. ( F ) Na expressão da função associada à 
parábola, o coeficiente a é igual a –2.
2. ( F ) Na expressão da função associada à 
parábola, o coeficiente c é igual a 0.
3. ( V ) No momento em que o centro de massa 
do atleta toca a água, ele está sobre um 
ponto da parábola cuja ordenada é negativa.
4. ( F ) A função associada à parábola que 
descreve o movimento do centro de massa 
do atleta é f(x) = –2x + 5.
 28. Um portal de igreja tem a forma de um arco de 
parábola. A largura de sua base AB (veja figura) 
é 4 m e sua altura é 5 m. Qual a largura XY de 
um vitral colocado a 3,2 m acima da base?
x
3,2 m
5 m
4 m
BA
y
x
x
3,2 m
5 m
4 m
BA 0
V
y
y
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
 26. (UNIEVANGÉLICA – GO) A equação da 
trajetória parabólica do salto de uma pulga é 
dada por f x x x� � � � �2
4 . Essa pulga salta no 
ponto de origem do sistema de coordenadas 
cartesianas. Qual é, em decímetros, a altura 
máxima atingida pela pulga? 
X a) 4 b) 1 c) 3 d) 2
A altura máxima é igual à ordenada do vértice da função f:
y
av � �
6
� �
� 
 �� � 
&
'
(
)

 �� �
�
4
4 4 1 0
4 1
4
2
 
�
7
x
3 5
2
Assim, os zeros da função são 3 5
2
 e 3 5
2
.
Para o cálculo das coordenadas do vértice da parábola, temos:
x
b
a
y
V
V
�
�
�
�

 �
�
� ��
�
	
�
� � 
 � � � � � �
2
3
2 1
3
2
3
2
3
3
2
1
9
4
9
2
1
5
4
2
( )
Desse modo, o vértice da parábola é o ponto 
3
2
5
4
,88�
�
	
�
�.
Como a abscissa do vértice da parábola é 
3
2
, f(x) é crescente para 
x
3
2
 e decrescente para x
3
2
.
Visto que a ordenada do vértice da parábola é 5
4
 e a concavidade 
é voltada para baixo, o valor máximo da função é 5
4
. Portanto, a 
alternativa correta é a e.
Disponível em: http://www.cienciamao.usp.br/dados/snef/_
capoeirasjogamfisicawagn.trabalho.pdf. Acesso em: 8/10/2014
y ax bx c
x
b
a
b
y f x f c
V
V V
� � �
� �
�
� � �
� � � � � � �
2
0
2
0 0
5 5 0 5 5( ) ( )
Substituindo, por exemplo, o ponto B(2, 0), temos:
0 2 0 2 5 4 5
5
4
2� 
 � 
 � � � � � � �a a a
Desse modo, a parábola tem equação y x� � 
 �
5
4
52 . Para y 3 2, , 
temos:
3 2
5
4
5 1 44 12 122 2, , , ,� � 
 � � � � � � �x x x ou x
Portanto, a largura XY do vitral é 1,2 m + 1,2 m = 2,4 m.
Considere que a parábola referenciada está 
em um sistema de coordenadas cartesianas, 
graduado em metros, cujo eixo das ordenadas 
coincide com o eixo de simetria da parábola, 
e o eixo das abscissas coincide com a linha 
imaginária que passa pelo trampolim. 
©
Shutterstock/Racheal Grazias
140 MATEMÁTICA• •
R p x
R p p
R p p
� 
� 
 � �
� � �
( )5 500
5 500
2
Observe ao lado o 
gráfico que representa essa 
função. 
Pelo gráfico, podemos 
determinar o preço a ser 
cobrado para que a receita 
receita, nesse caso, é de 
Mas também é possível 
determinar esses valores sem construir o gráfico da função. Basta obter 
as coordenadas do vértice da função definida por R p p� � �5 5002 .
x
y
V
V
� �
�
�
�

 �
�
�
�
�
� �
�6
�
� � 
 � 
p
b
a
R
a
V
V
2
500
2 5
500
10
50
4
500 4 5 02
( )
[ ( ) ]]
( )4 5
250000
20
12500
5 50 500 50 125002

 �
�
�
�
�
� � 
 � 
 �
ou
RV
Valor máximo e 
valor mínimo de uma 
função quadrática
Um parque de diversões 
cobra um preço único na entrada 
e os frequentadores podem 
divertir-se à vontade em todos os 
brinquedos. Considere que o 
preço p do ingresso, em reais, se 
relaciona com o número x de 
frequentadores por meio da 
fórmula x p� � �5 500.
Às terças-feiras, o preço 
esse valor, o número de 
frequentadores é dado por:
x p
p x
� � �
� � � � 
 � �
5 500
75 5 75 500 125
A receita é obtida 
multiplicando o preço do 
ingresso pelo número de 
frequentadores, ou seja, é igual a 
 reais.
Podemos escrever uma 
lei de formação que relacione 
diretamente o preço p do 
ingresso e a receita R, ambos em 
reais.
Dada uma função quadrática f(x) = ax2 + bx + c,
 • se a > 0, a função tem um valor mínimo;
 • se a < 0, a função tem um valor máximo.
O valor mínimo (ou máximo) de uma função quadrática se dá pelo cálculo 
de yV, ou seja, da ordenada do vértice da parábola correspondente a f(x). 
Comente com os alunos que os pontos 
tais que a receita é igual a zero são os 
zeros da função. Como a receita não pode 
ser negativa, esses serão os extremos 
do gráfico. Além disso, a 
média 
aritmética entre os valores extremos de p e 
o respectivo valor da função compõem as 
coordenadas do vértice da parábola.
p
R
12 500
50 1000
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 141• •
 29. Em seu caderno, determine as coordenadas do 
vértice da parábola que representa cada função 
e indique se a função apresenta valor máximo 
ou valor mínimo. 
a) f x x x( )� � �2
4 21
b) f x x x( )� � � �2
3 2
c) f x x( )� � �3 3
2
d) f x x( )
3
5
2
 30. Com relação à função f: definida por 
f x x x( )� � �2
2 15, determine:
a) O valor de x para o qual f(x) é mínimo. 
O valor de x para o qual f(x) é mínimo é a abscissa do vértice 
da parábola que representa a função f, ou seja, 
x
b
aV �
�
�
�
� �
2
2
2 1
1. 
ATIVIDADES EM13MAT402, EM13MAT503
 32. Um fabricante de abajures estima que o custo 
para produzir cada unidade é de R$ 18,00. Ele 
imagina ainda que, se vender cada unidade por 
x reais, venderá 100 – x unidades por dia 
( )0 40- .x .
a) Encontre uma expressão que forneça o 
lucro do fabricante por unidade vendida. 
O lucro por unidade, em reais, é dado por x – 18.
b) O valor mínimo da função.
O valor mínimo da função é igual à ordenada do vértice da 
parábola que representa a função, ou seja, 
y f x fV V� � � � � � 
 � � � �( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 15 162 . Outra possibilidade 
é calcular a ordenada do vértice por meio desta fórmula:
y
aV �
�
�
� � 
 
 �
� �
6
4
2 4 1 15
4 1
16
2[ ( )]
 
 31. Determine os valores de m e n para que o vértice 
da parábola que representa a função f: 
definida por f x x m x n( ) ( ) ( )� � � � �2 2 5
2 seja o 
ponto (2, 7). 
x
m
m mV � �
� � �
� � � � � �2
2
2 2
2 2 8 6
[ ( )]
y f n
n n
V � � � � 
 � 
 � � � �
� � � � � � �
7 2 7 2 2 8 2 5 7
8 16 5 7 20
2( ) ( )
Outra possibilidade:
y
n
n n
V � �
� � � 
 
 �
� �
� � � � � � �
7
8 4 2 5
4 2
7
64 8 40 56 20
2[( ) ( )]
 
b) O lucro diário L do fabricante está em 
função do preço de venda x de cada 
unidade. Encontre uma expressão para 
L(x). 
L x x x
L x x x
Lucro por
unidade
( ) ( ) ( )
( )
� � 
 �
� � � �
18 100
118 18002
��� ��
c) Calcule o lucro diário do fabricante 
quando cada unidade é vendida por 
R$ 30,00 e quandocada unidade é 
vendida por R$ 35,00. 
L x x x
L
L
( )
( )
( )
� � � �
� � � 
 � �
� � �
2
2
2
118 1800
30 30 118 30 1800 840
35 35 118 

 � �35 1800 1105
d) Calcule qual deve ser o preço de venda 
de cada unidade para que o lucro diário L 
seja o maior possível. 
L x x x
x
b
aV
( )
( )
� � � �
�
�
�
�

 �
�
2 118 1800
2
118
2 1
59
Para obter lucro diário máximo, o preço de venda de cada 
unidade deve ser R$ 59,00. 
e) Calcule o maior lucro diário possível.
L x x x
L LV
( )
( )
� � � �
� � � � 
 � �
2
2
118 1800
59 59 118 59 1800 1 681
O lucro máximo possível é R$ 1.681,00. 
142 MATEMÁTICA• •
 33. Em uma praça com formato de triângulo 
retângulo será construído um parquinho para 
crianças, que ocupará uma região retangular 
de dimensões b e h, de acordo com a figura a 
seguir.
( V ) 
b h
12 9
1� � 
Da semelhança entre os triângulos XBZ e ABC, temos:
XB
AB
XZ
AC
h b h b b h
�
�
� � � � � � �
9
9 12
1
9 12 12 9
1
( V ) A área A do retângulo AXZY, em função de b, é 
dada por A b
b
b( )� � �
3
4
9
2
.
b h h b
h
b
A b h
A b b
b
A b b
b
12 9
1
9
1
12
9
3
4
9
3
4
9
3
� � � � � � � �
� 
� 
 ��
�
	
�
�
� �
( )
( )
22
4
 
Os vértices X, Y e Z do retângulo devem estar 
respectivamente sobre os lados AB, AC e BC do 
triângulo. Marque V para verdadeiro e F para 
falso, justificando todas as sentenças (falsas e 
verdadeiras). 
( V ) Os triângulos ABC, XBZ e YZC são semelhantes, 
dois a dois. 
Observamos na figura que XZ AC// . Assim, os ângulos 
XZB e ACZ são congruentes, pois são correspondentes. O 
mesmo raciocínio vale para os ângulos ABC e YZC, que são 
correspondentes e, portanto, congruentes. Pelo caso AA, os 
triângulos ABC, XBZ e YZC são semelhantes, dois a dois. 
( F ) O número que expressa o perímetro do 
triângulo ABC, em metros, é igual à metade 
do número que expressa a área, em metros 
quadrados. 
Sendo x a medida da hipotenusa do triângulo ABC, temos:
x x x2 2 2 29 12 225 15� � � � � �
O perímetro do triângulo ABC, em metros, é 15 + 12 + 9 = 36, e a 
área, em metros quadrados, é 
12 9
2
54
� . Como 36 é maior do 
que a metade de 54, a alternativa é falsa. 
( V ) Para b = 6 metros, obtém-se a maior área 
possível para o retângulo AXZY. 
A b b
b
bV
( ) � �
�
�

 ��
�
	
�
�
�
�
�
�
9
3
4
9
2
3
4
9
6
4
6
2
Comente com os alunos que, como h
b
� �9
3
4
, para b = 6 metros 
temos h � �
�9
3 6
4
4 5, metros, ou seja, as dimensões do 
retângulo para as quais sua área é máxima são 6 metros e 
4,5 metros. 
( V ) A maior área possível para o retângulo AXZY é 
27 metros quadrados.
A b b
b
A AV
( )
( )
� �
� � 
 �
�
9
3
4
6 9 6
3 6
4
27
2
2
Assim, a maior área possível é 27 metros quadrados. A área 
máxima poderia ser calculada por ( ) ( , )6 4 5 27 2m m m
 � .
 34. Um fazendeiro deseja construir um cercado 
de modo que a área interna tenha formato 
retangular. Para isso, dispõe de material para 
construir 400 metros lineares de cerca. Quais 
devem ser as dimensões do cercado para que 
sua área interna seja máxima? Qual é a maior 
área possível? 
B
C
Z9 m
12 m
X
YA
h
b
B
C
ZX
YA
Sendo x e y as medidas dos lados do retângulo, temos:
2x + 2y = 400 ⇒ x + y = 200 ⇒ y = 200 – x
A = x · y ⇒ A = x · (200 – x) ⇒ A = 200x – x2
A área é máxima se x
b
a
�
�
�
�

 �
�
2
200
2 1
100
( )
 metros. Se x = 100, 
então y = 200 – x = 200 – 100 = 100, ou seja, a área interna tem 
formato quadrado e é igual a (100 m) · (100 m) = 10 000 m2. 
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 143• •
 35. (UFAM) A função f: tem como gráfico 
uma parábola e satisfaz f x f x x( ) ( )� � � �1 8 4, 
para todo número real x. Então o menor valor 
de f(x) ocorre quando o valor de x é igual a: 
a) 2
X b) 1
c) 1/2
d) 1/4
e) –1
 38. (FUVEST – SP) O retângulo ABCD, representado 
na figura, tem lados de comprimento AB = 3 e 
BC = 4. O ponto P pertence ao lado BC e BP = 1. 
Os pontos R, S e T pertencem aos lados AB, CD 
e AD, respectivamente. 
O segmento RS é paralelo a AD e intercepta 
DP no ponto Q. O segmento TQ é paralelo a 
AB.
Agora, você pode fazer as questões 62 
a 68 da seção Conquista Enem.
Sendo x o comprimento de AR , o maior 
valor da soma das áreas do retângulo ARQT, 
do triângulo CQP e do triângulo DQS, para x 
variando no intervalo aberto ] , [0 3 , é 
X a) 
61
8
b) 
33
4
c) 
17
2
d) 
35
4
e) 
73
8
RxA
D C
B
P
T
S
Q
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
Seja f x ax bx c( ) � � �2 . Então:
f x f x x
a x b x c ax bx c x
a x x
( ) ( )
( ) ( ) ( )
(
� � � �

 � � 
 � � � � � � �

 �
1 8 4
1 1 8 4
2
2 2
2 �� � � � � � � � �
� � � � � � � � � �
1 8 4
2 8 4
2
2
2 2
) bx b c ax bx c x
ax ax a bx b c ax bx c x
ax �� � � �
�
� � �
�
�
�
� � � �
a b x
a
a b
a e b
8 4
2 8
4
4 8
Assim, f x x x c( ) � � �4 82 .
O menor valor de f(x) ocorre quando x é a abscissa do vértice da 
parábola que representa a função. Desse modo, temos:
x
b
aV �
�
�
� �
�
2
8
2 4
1
( )
Vamos analisar cada uma das afirmativas.
1) Falsa. Temos:
2
2t
T(t) 0 4t 10 0 t 8t 20 0
2
t 10 ou t 2 (não convém)
Assim, para t = 10, a estufa atinge zero grau.
2) Falsa. Da afirmação anterior, temos T(10) = 0. Para t > 10, a 
temperatura é negativa. 
3) Verdadeira. A temperatura máxima é a ordenada do vértice da 
parábola que representa a função. Assim:
2
máx máx
1
4 4 10
2 (16 20) 36
T T 18
14a 2 24
2
Portanto, a temperatura máxima é 18 °C.
A temperatura máxima é a ordenada do vértice da parábola que 
representa a função. Assim:
f x
x
x
a
b
c
( ) � � � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
12
2 10
1
12
2
10
y
a
yV V�
�
� �
� � 
 ��
�
	
�
� 
&
'
*
(
)
+

 ��
�
	
�
�
�
� ��
�
	6
4
2 4
1
12
10
4
1
12
4
10
3
2 
�
�
�
�
�
�
�
1
3
22
3
1
3
22
Portanto, a temperatura máxima atingida por esse objeto nesse local 
de armazenamento é de 22 °C. 36. (UERR) A temperatura de uma estufa, em graus 
centígrados, é dada em função do tempo t, por 
T t
t
t( )� � � �
2
2
4 10, onde t 0. Considere as 
afirmações: 
1) a estufa nunca atinge zero grau;
2) a temperatura é sempre positiva;
3) o valor da temperatura máxima é 18 graus.
Então o valor lógico das afirmações é: 
a) VFV 
b) FVF 
c) VVF 
X d) FFV 
e) Nda
Nda = Nenhuma 
das anteriores
 37. (UEG – GO) A temperatura, em graus Celsius, de 
um objeto armazenado em um determinado 
local é modelada pela função 
f x
x
x( )� � � �
2
12
2 10 , com x dado em horas. A 
temperatura máxima atingida por esse objeto 
nesse local de armazenamento é de 
a) 0 °C 
b) 10 °C 
c) 12 °C 
X d) 22 °C 
e) 24 °C 
144 MATEMÁTICA• •
Forma canônica e forma fatorada de uma função quadrática 
EM13MAT402, EM13MAT503
Comente com 
os alunos que o 
artifício utilizado 
não altera a 
expressão, pois 
somamos e 
subtraímos termos 
iguais, ou seja, 
somamos zero.
Além de escrevermos uma função quadrática na 
forma geral f x ax bx c( ) � � �2 , com a 0, também 
podemos escrevê-la de outras duas maneiras: a 
forma canônica e a forma fatorada.
 • Forma canônica
 Considere a função quadrática geral:
f x ax bx c( ) � � �2
 Colocando a em evidência: 
f x a x
b
a
x
c
a
( ) � 
 � ��
�
	
�
�
2
Como x
b
a
x
b
a
x
b
a
��
�
	
�
� � � �
2 4
2
2
2
2
, podemos obter 
esse quadrado perfeito usando um artifício. 
f x a x
b
a
x
c
a
b
a
b
a
( ) � 
 � �
�
�
		
�
��� �2
2
2
2
24 4
f x a x
b
a
b ac
a
( ) � 
 ��
�
	
�
� �
� ��
�
		
�
��
&
'
*
*
(
)
+
+2
4
4
2 2
2
Como 6 � �b ac2 4 , x
b
aV �
�
2
 e y
aV �
�6
4
, 
podemos escrever:
f x a x
b
a a
f x a x
b
( )
( )
� 
 �
��
�
	
�
�
�
�
	
�
� �
�6�
�
	
�
�
&
'
*
*
(
)
+
+
� 
 �
�
2 4
2
2
2
aa a
�
�
	
�
�
�
�
	
�
� �
�6�
�
	
�
�
2
4
A forma canônica é escrita como:
f x a x x yV V( ) � 
 �� � �
2
Nela, xV é a abscissa do vértice, e yV é a 
ordenada do vértice da parábola que forma o gráfico 
de f(x).
Escrever uma funçãoquadrática na forma 
canônica nos permite determinar diretamente as 
coordenadas do vértice de seu gráfico.
 • Forma fatorada
 Considere a função quadrática geral:
f x ax bx c( ) � � �2
Colocando a em evidência, temos:
f x a x
b
a
x
c
a
( ) � 
 � ��
�
	
�
�
2
Caso a função f x ax bx c( ) � � �2 tenha zeros 
reais x1 e x2, a soma desses zeros é dada por 
x x
b
a1 2� �
�
, e o produto é dado por x x
c
a1 2
 � . 
Dessa forma, temos:
f x a x
b
a
x
c
a
f x a x x x x x x
f x
( )
( ) [ ( ) ]
( )
� 
 � ��
�
	
�
� �
&
'
*
(
)
+
� 
 � � �
2
2
1 2 1 2
�� 
 � � �
� 
 
 � � 
 �
a x x x x x x x
f x a x x x x x x
[ ]
( ) [ ( ) ( )]
2
1 2 1 2
1 2 1
A forma fatorada pode ser escrita como:
f x a x x x x( ) ( ) ( )� 
 � 
 �1 2
Por exemplo, para a função f: , definida 
por f x x x( ) � � �2 16 222 , temos: 
Forma canônica
f x x x
f x x x
( )
( ) ( )
� � �
� 
 � �
2 16 22
2 8 11
2
2
Obtemos o quadrado perfeito:
f x x x
f x x
f x
x
( ) ( )
( ) [( ) ]
( ) [
� 
 � �
� 
 � � �
� 
� �

 
2 8 11
2 4 16 11
2
4 42
2 4
2
2 2
�
(( ) ]
( ) ( )
x
f x x
Forma canônica
� �
� 
 � �
4 5
2 4 10
2
2
� ��� ���
Comente com os alunos que 
na obtenção da forma canônica 
poderíamos somar e subtrair 5 
para obter o quadrado perfeito. 
Fizemos a opção de somar 
e subtrair 42 para replicar 
o procedimento 
utilizado na obtenção 
da expressão 
genérica da forma 
canônica.
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 145• •
EXEMPLO RESOLVIDO
Uma das vantagens de escrever uma função na forma canônica 
é que podemos obter o vértice da correspondente parábola sem a 
necessidade de memorizar fórmulas. 
Vamos analisar a forma canônica de f x x x( ) � � �2 16 222 :
f x x( ) ( )� 
 � �2 4 102
Comparando-a com a expressão genérica f x a x x yV V( ) � 
 �� � �
2
, 
temos xV = 4 e yV = 10.
Também podemos encontrar esses valores de outro modo.
Forma fatorada
f x x x( ) � � �2 16 222
Inicialmente, obtemos os zeros da função, caso existam.
2 16 22 0
8 11 0 4 5 4 5
2
2
x x
x x x ou x
� � �
� � � � � � � �
Portanto, temos:
f x x x
Forma fatorada
( ) ( ) ( )� 
 � � 
 � �2 4 5 4 5� ����� �����
Considere as funções f e g, de em , cujos gráficos estão representados a seguir.
Obtenha a lei de formação de cada uma dessas funções.
O quadrado de um número 
real qualquer é positivo ou zero. 
Assim, o valor mínimo de ( )x 4 2
 
é zero.
Se ( )x � �4 02 , então x 4.
Se x 4, então 
f( )4 2 0 10 10� 
 � � � .
Portanto, o vértice da 
parábola é o ponto ( , )4 10 .
Além disso, os zeros também 
podem ser obtidos com poucos 
cálculos:
f x
x
x
x
x ou x
x ou
( )
( )
( )
( )
�

 � � �

 � �
� �
� � � � �
� �
0
2 4 10 0
2 4 10
4 5
4 5 4 5
4 5
2
2
2
xx � �4 5
 Os zeros da função são 
4 5 e 4 5.
Se a função tiver um único zero, ou seja, se as raízes da equação do 2.º grau associada forem iguais, a forma fatorada será da forma 
f(x) = a · (x – x1)
2. A forma fatorada pode ser utilizada mesmo quando a função não tiver zero, ou seja, quando a equação associada não tiver 
raízes reais. No entanto, nesse momento, é conveniente que ela seja utilizada apenas quando a função tiver pelo menos um zero. 
x
y
g
(1, 0)(–3, 0)
(–2; 4,5)
x
y
f
(0, 6)
(2, –2)
146 MATEMÁTICA• •
Solução
Inicialmente, vamos analisar a função f. 
Conhecemos o vértice da parábola e outro ponto. 
Nesse caso, é vantajoso escrever a função na 
forma canônica.
f x a x x yV V( ) ( )� 
 � �2
Como xV 2 e yV � �2, temos:
f x a x( ) ( )� 
 � �2 22
Substituímos as coordenadas do ponto (0, 6) 
para determinar o valor de a:
f x a x
a a a
y
( ) ( )
( )
� 
 � �
� 
 � � � � � �
2 2
6 0 2 2 8 4 2
2
2
Portanto, f x x( ) ( )� 
 � �2 2 22 (forma 
canônica) ou ainda:
f x x x
f x x x forma geral
( ) ( )
( ) ( )
� 
 � � �
� � �
2 4 4 2
2 8 6
2
2
Agora, vamos analisar o gráfico da função 
g. Não conhecemos o vértice como na função 
f. Porém, os zeros, além de outro ponto, são 
conhecidos. Nesse caso, é conveniente escrever a 
função na forma fatorada.
g x a x x x x( ) ( ) ( )� 
 � 
 �1 2
Como x1 3� � e x2 1, temos:
g x a x x( ) ( ) ( )� 
 � 
 �3 1
Para determinar o valor de a, substituímos as 
coordenadas do ponto (–2; 4,5).
g x a x x
a a a
y
( ) ( ) ( )
, ( ) ( )
� 
 � 
 �
� 
 � � 
 � � � � � � � �
3 1
4 5 2 3 2 1
9
2
3
3
2
Portanto, g x x x( ) ( ) ( )� � 
 � 
 �
3
2
3 1 (forma 
fatorada).
Podemos também escrever na forma geral:
g x x x
g x x x x
g x
x
x
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
� � 
 � 
 �
� � 
 � � �
� � � �
3
2
3 1
3
2
3 3
3
2
3
9
2
2
2
Soluçãçç o
ATIVIDADES
 Para as atividades de 39 a 41, considere as 
seguintes funções, de em .
a) y x x� � �2
8 1
b) y x x� � �3 6 5
2
c) y x x� � � �2
4 4
d) y x x� � �2 3 20
2
 39. Escreva as funções na forma canônica. 
 40. Escreva na forma fatorada as funções que 
tenham pelo menos um zero. 
 41. Pela forma canônica de cada uma das 
funções, determine o vértice de cada parábola 
correspondente e diga se é um ponto de 
máximo ou de mínimo. 
 42. O gráfico de uma função quadrática é uma 
parábola que passa pelo ponto (0, –3) e que 
tem o vértice no ponto (2, 1). Determine a lei de 
formação geral dessa função.
Como conhecemos o vértice da parábola, escrevemos a função na 
forma canônica:
y a x� 
 � �( )2 12
Substituímos as coordenadas do ponto (0, –3) na equação anterior:
� � 
 � �
� � � � � � � � �
3 0 2 1
3 4 1 4 4 1
2a
a a a
( )
Portanto, a lei de formação da função é dada por:
2
2
y 1 (x 2) 1(forma canônica)
y x 4x 3 (forma geral)
 
EM13MAT402, EM13MAT503
USE ESTE ESPAÇO 
PARA ANOTAR O QUE 
APRENDEU ATÉ AQUI.
TOME NOTA!
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 147• •
 43. (UNESP – SP) A expressão que define a função 
quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado, é: 
 44. (PUC-SP) Um veículo foi submetido a um teste 
para a verificação do consumo de combustível. 
O teste consistia em fazer o veículo percorrer, 
várias vezes, em velocidade constante, uma 
distância de 100 km em estrada plana, cada 
vez a uma velocidade diferente. Observou-se 
então que, para velocidades entre 20 km/h e 
120 km/h, o consumo de gasolina, em litros, 
era função da velocidade, conforme mostra o 
gráfico seguinte. 
a) f x x x( )� � � �2 2 4
2 .
b) f x x x( )� � �2
2 4.
c) f x x x( )� � �2
2.
X d) f x x x( )� � �2 2 4
2 .
e) f x x x( )� � �2 2 2
2 .
Como conhecemos os zeros da função (por meio do gráfico), 
escrevemos a função na forma fatorada:
y a x x� 
 � 
 �( ) ( )2 1
Substituímos as coordenadas do ponto (0, –4) na equação anterior:
� � 
 � 
 �
� � � � �
4 0 2 0 1
4 2 2
a
a a
( ) ( )
Portanto, a lei de formação da função é dada por:
y x x forma fatorada
y x x x
y x x fo
� 
 � 
 �
� 
 � � �
� � �
2 2 1
2 2 2
2 2 4
2
2
( ) ( ) ( )
( )
( rrma geral)
Se esse gráfico é parte de uma parábola, 
quantos litros de combustível esse veículo deve 
ter consumido no teste feito à velocidade de 
120 km/h?
a) 20
b) 22
c) 24
X d) 26
e) 28 
Como o vértice da parábola é o ponto (60, 8), temos:
y a x� 
 � �( )60 82
Substituímos, por exemplo, as coordenadas do ponto (20, 16):
16 20 60 8
8 1600
1
200
2� 
 � �
� � �
a
a a
( )
Portanto:
y x
x y
� 
 � �
� � � 
 � � � 
 � �
1
200
60 8
120
1
200
120 60 8
1
200
3600 8 26
2
2
( )
( )
–2 –1 0 1 2 x
1
0
–1
–2
–3
–4
y
y = f(x)
20 60 100 120
16
8
consumo (litros)
velocidade (km/h)
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/Ia
ko
v 
ka
lin
in
148 MATEMÁTICA• •
Estudo do sinal da função quadrática 
Considere que a temperatura T de uma cidade em determinado dia pode ser 
expressa de modo aproximado por T t t t( ) � � 
 � 
 �
1
8
3 102
, em que t é a hora do 
dia, ou seja, 0 24. -t .
Substituindo os valores na expressão, podemos calcular a temperatura em 
alguns momentos do dia, como à zero hora e às 8 horas:
T( )0
1
8
0 3 0 10 102� � 
 � 
 � � � T( )8
1
8
8 3 8 10 62� � 
 � 
 � �
uma temperatura negativa e outra positiva, podemos descobrir se houve algum 
Usando a expressão dada,é possível fazer este cálculo:
T t t t t t t ou t( ) � � � 
 � � � � � � � � � � �0
1
8
3 10 0 24 80 0 4 202 2
E em qual hora do dia a temperatura atingiu o maior valor, ou seja, qual foi a 
temperatura máxima registrada nesse dia?
Podemos descobrir isso determinando as coordenadas do vértice da parábola:
t
T T
V
V
�
�

 ��
�
	
�
�
�
�
�
� � 
 � �
� � � 
 � 
 �
3
2 1
8
3
1
4
3 4 12
12
1
8
12 3 12 12
( ) ( )
( ) 00 18 36 10 8� � � � �
EM13MAT402, EM13MAT503
pode seeeeeeeeeer rrrr
a horra a ddodoooo 
ura emm
6
 alguumm 
t � 200
qual ffoii aaaaaaaaaaaa
parábooooolaa::a:
t
T
–1
0
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
–11
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/N
el
so
n 
An
to
in
e
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/Ia
ko
v 
ka
lin
in
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 149• •
Observando o esboço do gráfico da função, é possível notar que a temperatura T foi 
positiva para alguns valores de t e negativa para outros. 
A temperatura foi negativa para 0 4. -t e 20 24t , positiva para 4 20t e nula 
Assim como fizemos com a função polinomial do 1º. grau, estudaremos de maneira 
geral o sinal da função quadrática. Acompanhe o estudo do sinal de algumas funções.
 • f x x x( ) � � �2 3 22
Como 6 � � 
 
 � � /3 4 2 2 25 02 ( ) , a função f tem dois zeros. Vamos determiná-los:
x
x
x
�
� 7
�
� 7
�
�
� �
�
�
�
��
3 25
2 2
3 5
4
1
2
2
1
2
Já que a 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
 • g x x x( ) � � � �2 20 502
Como 6 � � � 
 � 
 � �( ) ( ) ( )20 4 2 50 02 , a função g tem um único zero:
x x x�
� � 7

 �
�
7
�
� � � �
( )
( )
20 0
2 2
20 0
4
51 2
A concavidade da parábola é voltada para baixo, pois a 0.
 • h x x x( ) � � �2 1
A função h não tem zero, pois 6 � � 
 
 � � -1 4 1 1 3 02 . Além disso, a concavidade da 
parábola é voltada para cima, pois a 0 .
Portanto:
 • f x( ) 0 para x
1
2
 ou x � �2;
 • f x( ) 0 para x - �2 ou x
1
2
;
 • f x( ) 0 para � - -2
1
2
x .
+++++ +++++
x– – – – – ––2
2
1
Portanto:
 • f x( ) 0 para x � �5;
 • não existe x real tal que f x( ) 0;
 • f x( ) 0 para todo x 2 �5.
– – – – – – – – – – – – 
x
–5
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 
20
21
. D
ig
ita
l.
Portanto:
 • não existe x real tal que f x( ) 0;
 • f x( ) 0 para todo x real;
 • não existe x real tal que f x( ) 0. 
++++++++++++++++++++++++++++++
x Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
150 MATEMÁTICA• •
 45. Em seu caderno, estude o sinal de cada uma 
das funções a seguir. 
a) y x x� � � �2
8 15
b) g x x x( )� � � �3 2
2
c) f x x x( )� 
 � 
 �
1
3
5
3
2
2
d) y x� �3 15
2
e) y x x� � � �2
16 64
f) h x x x( )� � �7 14 7
2
 46. Determine para quais valores de p a função 
f: definida por f x x x p( )� � � �2 8
2 
assume valores negativos para todo x real. 
Para que a função f assuma valores negativos para todo x real, 
a parábola que a representa não deve intersectar o eixo das 
abscissas, ou seja, a função não deve ter zero. Assim:
6 -
� 
 � 
 -
- �
- �
0
8 4 2 0
8 64
8
2 ( ) p
p
p
ATIVIDADES EM13MAT402, EM13MAT503
b) Estabeleça matematicamente o 
intervalo dos valores de x para os quais 
efetivamente existe lucro. 
Vamos estudar o sinal da função lucro L(x):
L x x x
L x
x x
x
x
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
� � 
 �
�
� 
 � �
�
�
�
�
�
�
28 200 2
0
28 200 2 0
28
100
1
2��
 47. (FGV – SP) Uma loja de departamentos compra 
cartuchos para uma determinada impressora 
jato de tinta a R$ 28,00 a unidade e prevê que, 
se cada cartucho for vendido a x reais, serão 
vendidos 200 – 2x cartuchos por mês.
a) Encontre uma fórmula que fornece o 
lucro mensal em função do preço de 
venda x de cada cartucho. 
O lucro por unidade, em reais, é de x – 28. Assim, sendo L o 
lucro mensal, em reais, temos:
L x x x
L x x x x
L x x x
( ) ( ) ( )
( )
( )
� � 
 �
� � � �
� � � �
28 200 2
200 2 5600 56
2 256 5
2
2 6600
Assim, para que se tenha lucro, 28 100x , ou seja, x deve 
estar compreendido entre 28 e 100.
c) Para que o lucro seja máximo, qual deve 
ser o preço de venda x de cada cartucho? 
x
b
aV �
�
�
�

 �
�
2
256
2 2
64
( )
Assim, o preço unitário de venda para o qual o lucro é máximo 
é R$ 64,00.
d) Quantos cartuchos serão vendidos 
mensalmente ao preço que maximiza o 
lucro e qual será esse lucro máximo? 
L x x x
y L
y
V
V
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
� � 
 �
� � � 
 � 
� 
 �
28 200 2
64 64 28 200 2 64
36 72 25992
Portanto, o lucro máximo possível é R$ 2.592,00, e serão 
vendidos 72 cartuchos ao preço que maximiza o lucro.
++++++– – – – – – – – 
28 100 x
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 151• •
INEQUAÇÕES
Manter o peso ideal não é sinônimo de vida saudável. A balança está longe de ser a bússola de que nosso 
corpo e organismo estão bem. Os resultados de exames laboratoriais são, de fato, os indicadores de que 
nossos hábitos alimentares, comportamentais e sociais estão no caminho certo.
[...] Por isso, veja por que há números que importam tanto quanto o seu peso. 
O IMC [...] é adotado pela OMS (Organização Mundial de Saúde) para avaliar o peso mais adequado de 
cada indivíduo. Para calcular, divida o peso pela altura elevada ao quadrado (IMC = peso / altura × altura). O 
resultado ideal está entre 18,5 e 24,9. Porém, vale analisar individualmente com acompanhamento médico. 
Valor abaixo desta referência pode indicar magreza – e aumentar o risco de desnutrição, fratura dos ossos 
e infertilidade. Acima, sobrepeso ou obesidade, e causar hipertensão, diabetes, colesterol e até doenças no 
fígado, intestino, estômago e coração.
Apesar de ser um indicador de saúde acessível, o IMC nem sempre traz um resultado preciso (uma 
pessoa com muitos músculos e pouca gordura pode ter IMC elevado mesmo tendo um peso saudável) e por 
isso deve ser associado a outras avaliações, como a circunferência abdominal e/ou a composição corporal 
(percentual de massa magra e gorda).
 
Como IMC
m
h2 , temos:
18 5
1 80
25
18 5
3 24
25
2
,
( , )
,
,
. -
. -
m
m
Multiplicando todos os termos por 3,24, 
obtemos:
18 5 3 24
3 24
3 24 25 3 24, ,
,
, ,
 . 
 - 
m
59 94 81, . -m
Para determinar o intervalo de valores para a 
massa corporal ideal, resolvemos duas inequações 
simultâneas. Veja a sugestão de encaminhamento 
no Manual digital. 
Desenvolvido no século XIX pelo matemático 
belga Lambert Adolphe Jacques Quetelet, o cálculo 
do índice de massa corporal (IMC) é feito por meio 
da fórmula IMC m
h2 , em que m é a massa, em kg, e 
h a altura, em metros.
Classificação IMC
Abaixo do peso Menor do que 18,50
Peso normal De 18,50 até menos do que 25,00
Sobrepeso De 25,00 até menos do que 30,00
Obeso Igual ou superior a 30,00
Com base na tabela, podemos calcular o peso 
ideal para uma pessoa, de acordo com sua altura. Se 
a altura de uma pessoa é igual a 1,80 metro, por 
exemplo, para que seu peso seja considerado 
normal, seu IMC é tal que 18 5 25, . -IMC . 
Converse com os alunos a respeito da aplicabilidade desse índice. Ele foi desenvolvido para calcular o índice de massa corporal de adultos e não 
se aplica a crianças e adolescentes. Para pessoas entre 2 e 20 anos, o cálculo do IMC é feito levando em conta outros fatores, como a idade e as 
diferenças entre a composição corporal. Os médicos preferem acompanhar ao longo do tempo o IMC de crianças e adolescentes a olhar um número 
RAITH, Alexandre. IMC, pressão, glicemia, sono: números que importam tanto quanto o peso. Disponível em: https://www.uol.com.br/vivabem/noticias/
redacao/2020/02/17/imc-pressao-agua-passos-sono-numeros-que-importam-tanto-quanto-o-peso.htm. Acesso em: 14 dez. 2020.
isolado, pois são bastante variáveis as épocas/idades em que ocorrem os 
estirões de crescimento.
©
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152 MATEMÁTICA• •
Mas o que é uma inequação no contexto das 
funções?
Observe com atenção a seguinte definição:
Exemplos:• 2 8 0x � 
 • � � .3 9 0x
 • x x2 5 6 0� � /
 • � � � -4 12 9 02x x
Resolver uma inequação significa determinar os 
valores da incógnita para os quais a desigualdade é 
verificada.
Se a função for polinomial do 1º. grau, a 
inequação é do 1º. grau. Caso seja uma função 
quadrática, a inequação é do 2º. grau. Para resolver 
uma inequação, devemos estudar o sinal da função 
associada. 
Vamos resolver a inequação � � .3 9 0x . 
Acompanhe:
 • O zero da função f definida por f x x( ) � � �3 9 é 
3.
 • Como a 0, a função é decrescente.
 • Fazendo o estudo do sinal da função f, 
identificamos os valores de x para os quais a 
função é negativa ou nula.
A seguir, veremos como resolver uma inequação 
do 2º. grau: x2 – 5x + 6 > 0.
 • Os zeros da função g definida por 
g x x x( ) � � �2 5 6 são 2 e 3.
 • Como a > 0, a concavidade da parábola é voltada 
para cima.
 • Fazendo o estudo do sinal da função g, 
identificamos os valores de x para os quais a 
função é positiva.
Portanto, o conjunto-solução da inequação é 
S x x ou S� � � � ,&' &'{ | } ,3 3 .
O conjunto-solução da inequação é 
S x x ou x� � - /{ | }2 3 ou S � �,() &' ! � ,() &', ,2 3 .
Inequações simultâneas 
Existem situações em que duas ou mais 
inequações estão relacionadas, formando um 
sistema de inequações. Para determinar o conjunto- 
-solução de um sistema de inequações, encontramos 
inicialmente a solução de cada inequação e, em 
seguida, fazemos a intersecção dessas soluções.
Considere o seguinte sistema de inequações:
x x I
x x II
2
2
4 3 0
2 0
� � 
� � /
�
�
�
��
( )
( )
a) Vamos determinar o conjunto-solução da 
inequação (I). 
• Os zeros da função f x x x( ) � � �2 4 3 são 
x1 1 e x2 3.
• Como a 0, a concavidade da parábola é 
voltada para cima. 
Sendo f uma função, denominamos inequação toda 
desigualdade que pode ser escrita em uma das 
seguintes formas:
 • f x( ) 0
 • f x( ) 0
 • f x( ) 0
 • f x( ) 0
+++++++++++++++++++
– – – – – – – – – – – – 
x
3
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
+++++++++ +++++++++
– – – – – – – – x2 3
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
+++++++++ +++++++++
x– – – – – – – – 1 3
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 153• •
EXEMPLOS RESOLVIDOS
b) Determinamos o conjunto-solução da 
inequação (II).
Os zeros da função g x x x( ) � � �2 2 são 
x1 0 e x2 2.
Como a 0, a concavidade da parábola é 
voltada para baixo.
c) Fazemos a intersecção das soluções das 
inequações (I) e (II).
O conjunto-solução desse sistema de inequações 
é S x x� � - .{ | }0 1 .
Inequações-produto e 
inequações-quociente
Denominam-se inequações-produto e 
inequações-quociente as inequações que 
envolvem multiplicações e divisões de funções, 
respectivamente.
Uma inequação-produto pode ser escrita em 
uma das seguintes formas:
 • f x g x( ) ( )
 / 0
 • f x g x( ) ( )
 - 0
 • f x g x( ) ( )
 0
 • f x g x( ) ( )
 . 0
Uma inequação-quociente pode ser escrita em 
uma das formas a seguir, com g x( ) 0:
 • f x
g x
( )
( )
0
 • f x
g x
( )
( )
0
 • f x
g x
( )
( )
0
 • f x
g x
( )
( )
0
Para resolver uma inequação-produto ou uma 
inequação-quociente, é preciso estudar o sinal de 
cada uma das funções que a compõe e, em seguida, 
estudar o sinal do produto ou do quociente.
 Determine o conjunto-solução da inequação ( ) ( )� � 
 � � /x x x2 29 3 2 0.
Para que o produto seja positivo, nenhuma das funções pode assumir valor zero. Dessa forma, 
excluímos cada um dos zeros das funções, indicando com uma bola vazia .
1.
+++++++++– – – – – – – – – – – – – – – – 
x0 2
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
x
SI
x
SII
x
SI SII
2
1
1
0
3
0
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
Solução
 • Estudo do sinal de f x x( ) � � �2 9:
As raízes são –3 e 3.
Como a 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.
+++++++++++– – – – – – – – – –
x–3 3
 • Estudo do sinal de g x x x( ) � � �2 3 2:
As raízes são 1 e 2.
Como a 0, a concavidade da parábola é voltada para cima.
++++++++++++++
– – – – – – – x1 2
 • Com base nos sinais de cada uma das funções, é feito o 
estudo do produto:
O conjunto-solução da inequação ( ) ( )� � 
 � � /x x x2 29 3 2 0 
é S x x ou x� � � - - - -{ | }3 1 2 3 .
––– + +
–3 x3
f ∙ g
21
+++++++++++++++ +++++++++– –
x21
g
+++++++++++++++++ – – –– – –
x3–3
f
154 MATEMÁTICA• •
 Resolva a inequação 
2 6
3 18 24
0
2
x
x x
�
� � �
. .
Solução
Nesse caso, como o quociente também pode ser nulo, a função do numerador pode assumir valor 
zero. No entanto, a função do denominador deve assumir valores diferentes de zero para que a divisão 
tenha significado. Diferenciamos essas duas situações utilizando bola cheia • ou bola vazia .
 • Estudo do sinal de f x x( ) � �2 6:
A raiz é 3.
Como a 0, a função é crescente.
 • Estudo do sinal de g x x x( ) � � � �3 18 242 :
As raízes são 2 e 4.
Como a 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.
 • Com base nos sinais de cada uma das funções, é feito o 
estudo do quociente:
O conjunto-solução da inequação 
2 6
3 18 24
0
2
x
x x
�
� � �
. é
S x x ou x� � - . /{ | }2 3 4 . 
 Para que tenhamos uma função, precisamos conhecer seu domínio, seu contradomínio e a lei de 
formação. Sendo assim, duas funções f e g são iguais quando têm o mesmo domínio, o mesmo 
contradomínio e a mesma lei de formação. Dadas as funções f e g, de em , definidas por 
f x
x
x x
( ) �
� �
� �
2
2 152
 e g x
x
x x
( ) �
� �
� �
2
2 152
, determine o domínio de cada uma delas e responda: as 
funções f e g são iguais?
Solução
Para a função f, as seguintes condições devem 
ser satisfeitas:
� � 
� � /
�
�
�
��
x I
x x II
2 0
2 15 02
( )
( )
Assim, o domínio da função f é 
D f x x( ) { | }� � - �5 .
Já para a função g, temos a seguinte condição:
� �
� �
 
x
x x
2
2 15
0
2
Resolvendo a inequação-quociente, temos:
Portanto, o domínio da função g é 
D g x x ou x( ) { | }� � - � � . -5 2 3 . 
Resolvendo o sistema formado pelas 
inequações, temos:
2.
3.
Soluçãç o
Soluçãççç o
– – – – – – – – – – – – –
– – – – – – – – – – –
++++++++++++
+++++++ +++++++
x
SI
SII
SI SII
–2
x
x
3–5
–5
– – – – – – – – – –
++++++++++++++
++++++++++++
––+ +
– – – – – – – – – –
x3
3
f
x
g
x
2 4
2 4
f
g
++++++++++++++
– – – – – – – – – – x3
– – – – – – – – – – – – – –
– – – – – – – – – – – – – –
++++++++++++++++
+++++++
+ – –+
+++++++
x–2
–2
x
x
3
3
–5
–5
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
+++++++++++
– – – – – – – – – – x2 4
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 155• •
Como as funções f e g têm domínios diferentes, elas não são iguais.
Veja a seguir um exemplo que confirma essa conclusão.
Vamos tomar para x um valor do intervalo � . -2 3x , por exemplo x = 1, e calcular f(1) e g(1):
f x
x
x x
f
f
( )
( )
( )
�
� �
� �
�
� �
� 
 �
�
�
�
#
2
2 15
1
1 2
1 2 1 15
1
3
12
2
2
g x
x
x x
g
g
( )
( )
( )
�
� �
� �
�
� �
� 
 �
�
�
�
� �
2
2 15
1
1 2
1 2 1 15
1
3
12
1
4
1
2
2
2
 48. Resolva cada uma das inequações. 
a) 4 12 0x � /
b) � � .2 11 0x
c) � � - � �3 5 6 22x x
d) x x
2
8 12 0� � 
e) � � � -3 7 6 0
2
x x
f) 4 12 0
2
x x� .
g) 5 10 0
2
x � /
h) x x
2
20 100 0� � /
i) � � � x x
2
6 9 0
 49. Determine o conjunto-solução dos sistemas de 
inequações. 
a) 
2 6 0
8 15 0
2
x
x x
� 
� � -
�
�
�
��
b) 
x x
x
2
6 8 0
3 9 0
� � 
� � -
�
�
�
��
c) 
x x
x x
2
2
3 0
6 8 0
� 
� � � 
�
�
�
��
d) � � � - � � . � �x x x x x x
2 2 2
6 3 2 3 2 5 1
 50. Resolva as seguintes inequações-produto ou 
inequações-quociente. 
a) ( )( )x x x� � � -2 8 12 0
2
b) ( )( )� � � � � .x x x x
2 2
3 2 4 3 0
c) 
x
x x
2
2
4
4 5
0
�
� �
.
d) 
x x
x x
2
2
5 4
2
0
� �
� �
/
e) 
2 8
7
0
x
x
�
�
.
f) 
( )( )
()( )
x x
x x
� �
� � �
 
1 2
1 2
0
 51. Determine o domínio de cada uma das funções. 
a) y x x� �2
7
b) y
x
x
�
�
�
4
3
c) y
x
x
�
�
�
3
2
d) y
x x
�
� � �
1
12
2
e) y
x x
x
�
� �
�
2
7 10
2 8
f) y
x x
�
�
�
�
1
9
1
16
2 2
 
ATIVIDADES
156 MATEMÁTICA• •
 52. (UFJF – MG) Uma empresa trabalha com placas 
de publicidade retangulares, de lados iguais a 
(x + 3) e (2x – 4) metros.
a) Determine os valores de x, para que a área 
da placa varie de 12 m2 a 28 m2. 
12 3 2 4 28
12 2 4 6 12 28
12 12 2 2 12 12 28
2
2
. � 
 � .
. � � � .
� . � � � . �
( ) ( )x x
x x x
x x 112
24 2 2 40
12 20
12
20
12 0
2
2
2
2
2
. � .
. � .
� 
� .
�
�
�
��
�
� � 
x x
x x
x x
x x
x x I
x
( )
22
2
2
20 0
12 0 3 4
20 0 4 5
� � .
�
�
�
��
� � � � � � �
� � � � � � �
x II
x x x ou x
x x x ou x
( )
A solução da inequação (I) é dada por:
x ou x. � 4 3
A solução da inequação (II) é dada por:
� . .5 4x
A intersecção ( ) ( )I II é dada por:
� . . � . .5 4 3 4x ou x III( )
Como x 3 e 2 4x devem ser números positivos, devemos ter 
x IV2 ( ). Portanto, na intersecção ( ) ( )III IV , temos 3 4x .
 53. De uma chapa de madeira, com dimensões de 
90 cm e 60 cm, são retirados dos seus cantos 
quadrados cujos lados medem x cm, como 
mostra a figura a seguir. 
b) Determine as medidas dos lados da placa 
de 28 m2.
2
2
12
2
(x 3) (2x 4) 28
2x 4x 6x 12 28
2x 2x 40 0
x 4
x x 20 0
x 5 (não convém)
Assim, as medidas dos lados da placa de 28 m2 são 7 m e 4 m.
 
a) Qual é a área A da parte restante após a 
retirada dos quadrados? 
b) Para quais valores de x a área é menor do 
que 3 800 cm2? 
a) Temos: A x A x� 
 � 
 � � �90 60 4 5 400 42 2
b) Basta resolver a inequação A < 3 800:
5 400 4 3 800 4 1600 0
4 1 600 0
20
20
2 2
2 1
2
� - � � � -
� � �
� �
�
�
�
�
��
x x
x
x
x
Como x deve ser maior do que zero, então seu valor deve ser 
maior do que 20 cm.
90 cm
x
xx
x
xx
xx
60
 c
m
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
 54. (UFRGS – RS) Dadas as funções f e g, definidas 
por f x x( )� �2
1 e g x x( ) , o intervalo tal que 
f x g x( ) ( ) é 
a) 
� � � ��
�
		
�
��
1 5
2
1 5
2
,88 .
b) �,
� ��
�
		
�
��!
� �
�,
�
�
		
�
��, ,88 88
1 5
2
1 5
2
.
c) �,
��
�
		
�
��!
�
�,
�
�
		
�
��, ,88 88
1 5
2
1 5
2
.
d) 
1 5
2
1 5
2
� ��
�
		
�
��,88 .
X e) ( , )�, �,88 .
f x g x
x x
x x
( ) ( )/
� /
� � /
2
2
1
1 0
Note que o discriminante da equação x x2 1 0� � � é negativo.
6 � � � 
 
6 � � � �
( )1 4 1 1
1 4 3
2
Assim, o gráfico da função y x x� � �2 1 é uma parábola com a 
concavidade voltada para cima e que não intersecta o eixo das 
abscissas. Com isso, x x2 1 0� � / para todo x real, ou seja, o 
conjunto-solução da inequação é � �, �,( , ). 
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 157• •
ORGANIZE AS IDEIAS
Neste capítulo, estudamos a função quadrática. Complete a tabela abaixo com as ideias mais importantes a 
respeito dessa função.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Forma geral f x ax bx c( ) � � �2 , com a, b e c reais e a 0.
Forma canônica
f x a x x yV V( ) ( )� 
 � �2 , com a 0. Os valores xV e yV são as coordenadas do vértice da parábola que representa 
a função quadrática.
Forma fatorada f x a x x x x( ) ( ) ( )� 
 � 
 �1 2 , com a 0. Os valores x1 e x2 são os zeros da função quadrática. 
Gráfico da função 
quadrática
É sempre uma curva denominada parábola .
Se a 0, a concavidade da parábola é 
voltada para cima .
Se a 0, a concavidade da parábola é 
voltada para baixo .
Zero da função
Valor real de x para o qual f x( ) 0. Graficamente, é a abscissa de um ponto de intersecção da 
parábola com o eixo das abscissas .
Se Δ > 0, a função tem dois zeros .
Se Δ = 0, a função tem um único zero .
Se Δ < 0, a função não tem zeros .
Vértice da parábola
Corresponde ao ponto de máximo ou ponto de mínimo da função. As coordenadas do vértice da 
parábola são dadas por: 
x
b
aV �
�
2
 e y
aV �
�6
4
Podemos obter y
V
, a ordenada do vértice, substituindo o valor de x
V
 na função, ou seja, 
y f x
V V
( ). 
Intersecção do 
gráfico com o eixo y
É o ponto (0, c) .
EM13MAT302, EM13MAT402, EM13MAT502, EM13MAT503
158 MATEMÁTICA• •
Todas as atividades desta seção devem ser 
resolvidas no caderno.
 55. ENEM No desenvolvimento de um novo remédio, 
pesquisadores monitoram a quantidade Q 
de uma substância circulando na corrente 
sanguínea de um paciente, ao longo do tempo 
t. Esses pesquisadores controlam o processo, 
observando que Q é uma função quadrática de 
t. Os dados coletados nas duas primeiras horas 
foram:
t (hora) 0 1 2
Q (miligrama) 1 4 6
Para decidir se devem interromper o processo, 
evitando riscos ao paciente, os pesquisadores 
querem saber, antecipadamente, a quantidade 
da substância que estará circulando na 
corrente sanguínea desse paciente após uma 
hora do último dado coletado.
Nas condições expostas, essa quantidade (em 
miligrama) será igual a
a) 4.
X b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
 56. (UPE) Em torno de um canteiro retangular 
de 12 m de comprimento por 8 m de largura, 
pretende-se construir uma calçada. Qual 
deve ser a largura máxima dessa calçada, 
se o material disponível só é suficiente para 
cimentar uma área de 69 m2?
a) 1,0 m 
X b) 1,5 m 
c) 2,0 m 
d) 2,5 m 
e) 3,0 m 
 57. ENEM Um posto de combustível vende 
10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada 
litro. Seu proprietário percebeu que, para cada 
centavo de desconto que concedia por litro, 
eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por 
exemplo, no dia em que o preço do álcool foi 
R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.
CONQUISTA ENEM EM13MAT302, EM13MAT402, EM13MAT502, EM13MAT503
Considerando x o valor, em centavos, do 
desconto dado no preço de cada litro, e V o 
valor, em R$, arrecadado por dia com a venda 
do álcool, então a expressão que relaciona V e 
x é
a) V x x� � �10 000 50
2
. .
b) V x x� � �10 000 50
2
. .
c) V x x� � �15 000 50
2
. .
X d) V x x� � �15 000 50
2
. .
e) V x x� � �15 000 50
2
. .
 58. ENEM A empresa SWK produz um determinado 
produto x, cujo custo de fabricação é dado pela 
equação de uma reta crescente, com inclinação 
dois e de variável x. Se não tivermos nenhum 
produto produzido, a despesa fixa é de R$ 7,00 
e a função venda de cada unidade x é dada por 
–2x2 + 229,76x – 441,84.
Tendo em vista uma crise financeira, a empresa 
fez algumas demissões. Com isso, caiu em 
12% o custo da produção de cada unidade 
produzida. Nessas condições, a função lucro da 
empresa pode ser expressa como
X a) L x x x( ) ,� � � �2 228 448 00
2
b) L x x x( ) , ,� � � �2 227 76 448 84
2
c) L x x x( ) ,� � � �2 228 441 84
2
d) L x x x( ) , ,� � � �2 229 76 441 84
2
e) L x x x( ) , ,� � � �2 227 76 448 96
2
 59. ENEM Um projétil é lançado por um canhão e 
atinge o solo a uma distância de 150 metros do 
ponto de partida. Ele percorre uma trajetória 
parabólica, e a altura máxima que atinge em 
relação ao solo é de 25 metros. 
Admita um sistema de coordenadas xy em que 
no eixo vertical y está representada a altura 
e no eixo horizontal x está representada a 
distância, ambas em metro. Considere que o 
canhão está no ponto (150; 0) e que o projétil 
atinge o solo no ponto (0; 0) do plano xy.
A equação da parábola que representa a 
trajetória descrita pelo projétil é
M
A
T
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA 159• •
 62. ENEM O gráfico cartesiano que melhor 
representa a função R(x), para x real, é:
a) 
b) 
c) 
d) 
X e) 
Um boato tem um público-alvo e alastra-se 
com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez 
é diretamente proporcional ao número de 
pessoas desse público que conhecem o boato e 
diretamente proporcional também ao número de 
pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, 
sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo 
e x o número de pessoas que conhecem o boato, 
tem-se: 
R x k x P x( ) ( )� 
 
 � , onde k é umaconstante positiva 
característica do boato. 
R
x
R
x
R
x
R
x
R
x
a) 18
b) 20
X c) 36
d) 45
e) 54
Texto para as questões 62 e 63:
a) y = 150x – x2
b) 2
c) 75y = 300x – 2x2
d) 125y = 450x – 3x2
X e) 225y = 150x – x2
 60. (UNCISAL) A figura apresenta o projeto 
(desenhado sem escala) de um miniauditório, 
de contorno curvo parabólico, constituído de 
um palco (CDF) e da plateia (ABCD).
Se AB e CD são perpendiculares ao eixo da 
parábola EF, AB EF m20 00, e CD m10 00, , 
a maior profundidade do palco, GF, é igual a
X a) 5,00 m.
b) 6,25 m.
c) 7,25 m.
d) 8,75 m.
e) 10,00 m.
 61. ENEM Um túnel deve ser lacrado com uma 
tampa de concreto. A seção transversal do túnel 
e a tampa de concreto têm contornos de um 
arco de parábola e mesmas dimensões. Para 
determinar o custo da obra, um engenheiro 
deve calcular a área sob o arco parabólico em 
questão. Usando o eixo horizontal no nível do 
chão e o eixo de simetria da parábola como 
eixo vertical, obteve a seguinte equação para 
a parábola: y = 9 – x2, sendo x e y medidos em 
metros.
Sabe-se que a área sob uma parábola como 
esta é igual a 
2
3
 da área do retângulo cujas 
dimensões são, respectivamente, iguais à base e 
à altura da entrada do túnel.
Qual é a área da parte frontal da tampa de 
concreto, em metro quadrado?
DC
G
F
E BA
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
160 MATEMÁTICA• •
A função real que expressa a parábola, no 
plano cartesiano da figura, é dada pela lei 
f x x x C( )� � �
3
2
6
2
, onde C é a medida da altura 
do líquido contido na taça, em centímetros. 
Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o 
vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.
Nessas condições, a altura do líquido contido 
na taça, em centímetros, é 
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 5.
X e) 6.
 65. (IFPI) A R$ 20,00 o ingresso, o show de 
uma banda consegue atrair, em média, 800 
espectadores. Se a cada R$ 1,00 diminuído no 
preço do ingresso, consegue-se atrair mais 50 
espectadores, qual deve ser o valor máximo da 
receita arrecadada por esta banda? Lembre- 
-se que receita é igual ao preço do ingresso 
multiplicado pelo número de espectadores.
a) R$ 15.000,00
b) R$ 15.900,00
c) R$ 16.000,00
X d) R$ 16.200,00
e) R$ 16.500,00
 66. (UFGD – MS) Uma pensão comporta até 50 
moradores e cobra mensalmente de cada 
morador R$ 200,00 mais R$ 5,00 por vaga 
desocupada. Qual a quantidade de moradores 
que fornece maior arrecadação à pensão?
a) 50
X b) 45
c) 35
d) 20
e) 15
 67. (UNEMAT – MT) Um sitiante deseja construir 
um galinheiro em formato retangular, cercando 
uma determinada área de seu sítio. Para 
isso, ele deseja utilizar os 240 metros de tela 
(material usado para construção de cercas) que 
possui. Quais devem ser as dimensões desse 
galinheiro para que a área seja máxima?
a) 90 metros de comprimento por 90 metros 
de largura.
X b) 60 metros de comprimento por 60 metros 
de largura.
c) 40 metros de comprimento por 40 metros 
de largura.
d) 20 metros de comprimento por 20 metros 
de largura.
e) 10 metros de comprimento por 10 metros 
de largura.
 68. (UVV – ES) Um laboratório farmacêutico 
registrou, ao longo de dois meses de trabalho, 
a quantidade diária de seringas descartáveis 
vendidas (q) e o preço unitário de vendas 
praticado (p). Analisando os dados registrados, 
foi observado que existia uma relação entre 
essas duas variáveis, a qual era dada pela lei 
p q� � 
 �
25
64
25
2
.
 
O preço unitário pelo qual devem ser vendidas 
as seringas descartáveis, para que a receita 
diária do laboratório seja máxima, é de
a) R$ 2,00. 
b) R$ 4,25. 
c) R$ 5,35.
X d) R$ 6,25. 
e) R$ 9,50. 
 
 63. ENEM Considerando o modelo acima descrito, 
se o público-alvo é de 44.000 pessoas, então 
a máxima rapidez de propagação ocorrerá 
quando o boato for conhecido por um número 
de pessoas igual a: 
a) 11.000.
X b) 22.000.
c) 33.000.
d) 38.000.
e) 44.000.
 64. ENEM A parte interior de uma taça foi gerada 
pela rotação de uma parábola em torno de um 
eixo z, conforme mostra a figura.
Eixo de rotação (z)
y (cm)
x (cm)
C
V
MAMAMAMAAM TETETETETET MÁMÁMÁMÁÁMÁTITITITICACACACACACA EEE SSSSUAUAUAU S S S S TETETETT CNCNCNCNOLOLOLOLOGOGOGGIAIAIAASSS
LIVRO DE
MATEMÁTICA
DOBRE NA LINHA PONTILHADA1
CAPÍTULO
 LIVRO DE ATIVIDADES 1• •
M
A
T
MATEMÁTICA BÁSICA 
Expressões com parênteses, colchetes e chaves: primeiro as que estão entre parênteses, depois as que 
estão entre colchetes e então as que estão entre chaves. 
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Ordem em uma expressão numérica:
Um número é múltiplo de outro 
quando o primeiro é divisível pelo 
segundo.
Número primo → apresenta apenas 
dois divisores distintos (1 e o próprio 
número).
Se um número não é primo, ele 
é composto → escrito como um 
produto de números primos.
Todo número pode ser decomposto 
em fatores primos → fatoração do 
número.
Raiz quadrada de um quadrado 
perfeito (que expressa a área de 
quadrados) → dividem-se por 2 
todos os expoentes dos fatores e 
multiplicam-se os fatores resultantes.
1.º) operações de potenciação e radiciação;
2.º) operações de multiplicação e divisão, na ordem em que aparecem da esquerda para a direita;
3.º) adições e subtrações, na ordem em que aparecem da esquerda para a direita.
Operações com frações
 • Adição e subtração de frações: 
Denominadores iguais → adicionamos ou subtraímos 
os numeradores e conservamos os denominadores.
Denominadores diferentes → trocamos as frações dadas por 
frações equivalentes e com o mesmo denominador. Depois, 
adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos 
os denominadores.
 • Multiplicação: multiplicamos os numeradores entre si e os 
denominadores entre si.
 • Divisão: multiplicamos a primeira fração pelo inverso da 
segunda.
 • Potenciação: elevamos o numerador e o denominador à 
potência desejada, separadamente.
 • Radiciação: calculamos a raiz de mesmo índice do 
numerador e do denominador da fração, separadamente.
 • Para simplificar uma fração, dividimos o numerador e o 
denominador por um mesmo número natural diferente 
MATEMÁTICA
2 MATEMÁTICA• •
M
A
T
NÚMEROS E OPERAÇÕES
 1. (UFRGS – RS) Considere as afirmações sobre números inteiros.
I. Todo número primo é ímpar.
II. Se a é um número múltiplo de 3, então 2a é múltiplo de 6.
III. Se a é um número par, então a2 é um número par.
Quais estão corretas?
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas III.
Xd) Apenas II e III.
e) I, II e III.
I. Incorreta. O número 2 é primo e par.
II. Correta. 2a é múltiplo de 2 e de 3, pois a é múltiplo de 3, e 2 é múltiplo de 2. Assim, 2a é múltiplo de 6.
III. Correta. Um número par multiplicado por qualquer outro número (inclusive ele mesmo) resulta em um número par.
 2. (UPF – RS) Considere as afirmações abaixo, onde a e b são números reais.
I. a a
2 II. a a bb
2 2� � � III. a ab b
2 2 2 24 4� IV. 
a
b
a
b
b
2
2
2
2
0� 2,
Xa) Apenas III e IV são verdadeiras.
b) Apenas IV é verdadeira.
c) Apenas II é falsa.
d) Apenas I, II e IV são verdadeiras.
e) Todas são verdadeiras.
I. Falsa. Se a for negativo, chegamos a uma contradição. Veja: �� � � �1 1 1
2
.
II. Falsa. Contraexemplo: para a = 1 e b = –1, temos 1 1 1 1 22 2
� �� � � � � . Por outro lado, a + b = 0.
III. Verdadeira. É uma das propriedades da radiciação. Considerando k como o produto das raízes, ou seja, k a b� 
2 2 , temos: 
k a b a b a b2 2 2
2
2
2
2
2
2 2� 
� � � � � 
 � � � 
 . Então, k a b� 
2 2 .
IV. Verdadeira. Mesmo raciocínio do item III.
PENSAMENTO ALGÉBRICO
Em uma expressão algébrica, há letras, números e operações.
Uma igualdade de duas expressões algébricas é chamada de equação.
Razões iguais ou equivalentes: proporção → produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
O procedimento para o cálculo de um elemento desconhecido é a regra de três.
Grandezas diretamente proporcionais variam sempre na mesma razão. Grandezas inversamente 
proporcionais variam na razão inversa uma da outra.
Porcentagem: podemos calculara porcentagem de um número usando uma proporção (fração com 
ATIVIDADES
Á
IV. Verdadeira. Mesmo raciocínio do item III.
� �� � � �� � � �� �
I Incorreta O número 2 é primo e par
) p
� �2
p p p q q ( ) p
LIVRO DE ATIVIDADES 3• •
M
A
T
 4. (CEFET – MG) O valor da expressão 
1
0 1666
0 5
3
2
2
81
3
1
2 2
4
,
,
9
�
�
�
	
�
� �
��
�
	
�
�
�
�
	
�
�
�
 é igual a
a) 
2
3
. Xb) 
4
11
. c) 
2
51
. d) 
4
43
.
2017 2 016 2 016 1 2 016
2016 2 2 016 1 2016 4033
2 2 2 2
2 2 2
� � � � �
� � 
 � � �
( )
1
0 1666
0 5
3
2
3
2
814
1
6
1
2
9
4
3
2
3
1
2 2
,
,
9
�
�
	
�
� �
��
�
	
�
� �
�
�
		
�
��
�
�
� 
�
��
�
	
�
�
�
�
� 
�
�
�
�
�
�
� � 
 � �2
1
6
3
6
9
4
3
4
9
2
6
9
4
4
3
2
6
27 16
12
2
6
12
11
4
11
Fatorando o produto das quatro idades, temos:
37 037 7
5 291 11
481 13
37 37
1
Portanto, as idades das filhas são 7, 11 e 13, e a mãe tem 37 anos. A diferença entre as idades da filha mais velha e mais nova é 
de 6 anos (13 – 7 = 6).
Calculando a soma, temos:
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
30 40 45 48 50
60
213
60
3 55� � � � �
� � � �
� � ,
 3. (UNIGRANRIO – RJ) O valor de 20172 – 20162 é
a) 33 b) 2 003 c) 2 033 d) 4 003 Xe) 4 033
 5. (UNIGRANRIO – RJ) Uma mulher tem três filhas matriculadas regularmente no ensino fundamental. 
O produto da sua idade com as idades de suas 3 filhas é 37 037. Desta forma, pode-se afirmar que a 
diferença entre as idades de sua filha mais velha e sua filha mais nova é
a) 4 b) 5 Xc) 6 d) 7 e) 8
 6. (UECE) A soma de todas as frações da forma 
n
n 1
, onde n é um elemento do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, é
a) 4,55. b) 6,55. c) 5,55. Xd) 3,55.
de 6 anos (13 – 7 = 6).
n
Ca
1
2
�
�
	
��
��
Fatorando o produto das quatro idades temos:
4 MATEMÁTICA• •
M
A
T
PENSAMENTO ALGÉBRICO
 8. (IFPE) A super-heroína Garota-Abelha tem o poder de diminuir seu tamanho na escala de 1 : 140. Se, 
ao utilizar seu poder, ela fica com apenas 12 mm de altura, qual a altura normal da heroína?
a) 1,65 m Xb) 1,68 m c) 1,70 m d) 1,52 m e) 1,62 m
Ingredientes Quantidade
Ovos 3 unidades
Margarina ou manteiga 50 g
Açúcar 150 g
Farinha de trigo 200 g
Leite 200 mL
Fermento 50 g
A proporção que resolve a questão é 1
12
140
x
. Assim: 1
12
140
12 140 1680 168� � � 
 � �
x
x mm m,
Para resolver a questão, vamos montar uma regra de três e calcular quantos gramas de farinha são necessários para fazer um bolo para 
37 pessoas: 
8
200
37
8 200 37
7 400
8
925� � � 
 � � �
x
x x g
Portanto, são necessários 925 g de farinha. Como os pacotes são de 150 g, precisamos de 7 pacotes (6 pacotes dariam 900 g), 
totalizando 1 050 g de farinha.
 9. (CEFET – MG) No quadro abaixo, são apresentados os ingredientes para o preparo de um bolo que 
serve exatamente 8 pessoas.
Uma pessoa decidiu usar essa receita e preparar um bolo para 37 pessoas e, para isso, aumentou 
proporcionalmente os ingredientes para conseguir a quantidade desejada. A farinha de sua preferência 
é vendida apenas em pacotes de 150 g.
A quantidade mínima de pacotes dessa farinha necessários para o preparo desse bolo é
a) 5. b) 6. Xc) 7. d) 8.
 7. (ESPM – SP) Para que o número 64 800 se torne um cubo perfeito, devemos:
a) multiplicá-lo por 30.
b) dividi-lo por 60.
Xc) multiplicá-lo por 90.
d) dividi-lo por 150.
e) multiplicá-lo por 18.
Fazendo a fatoração do número 64 800, encontramos 64800 2 2 3 3 53 2 3 2� 
 
 
 
 . Para que esse número se torne um cubo perfeito, os 
expoentes de todas as potências devem ser 3. Então, multiplicar 64 800 por 2 3 52 , ou seja, por 90, é suficiente para gerar um cubo 
perfeito.
SSA EE É
Fa
ex
pep
d f t ã d ú 64 800 t 64800 2 2 3 3 53 2 32 32 3 2 P ú t b f itF
g
P
3
P
to
Para resolver a questão vamos montar uma regra de três e calcular quantos gramas de farinha são necessários para fazer um bolo paraP
LIVRO DE ATIVIDADES 5• •
M
A
T
 10. Em um trabalho escolar, um aluno fez uma planta do seu bairro, utilizando a escala 1 : 500, sendo 
que as quadras possuem as mesmas medidas, conforme a figura.
C4 H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
O professor constatou que o aluno esqueceu de colocar a medida do comprimento da ponte na planta, 
mas foi informado por ele que ela media 73 m.
O valor a ser colocado na planta, em centímetro, referente ao comprimento da ponte deve ser
a) 1,46.
b) 6,8.
Xc) 14,6.
d) 68.
e) 146.
Sendo a medida real da ponte 73 m e a escala 1 : 500, temos:
1
500 7 300
500 7 300
7 300
500
14 6� � � � � �
x
x x ,
 11. Uma indústria tem um setor totalmente automatizado. São quatro máquinas iguais, que 
trabalham simultânea e ininterruptamente durante uma jornada de 6 horas. Após esse período, as 
máquinas são desligadas por 30 minutos para manutenção. Se alguma máquina precisar de mais 
manutenção, ficará parada até a próxima manutenção.
Certo dia, era necessário que as quatro máquinas produzissem um total de 9 000 itens. O trabalho 
começou a ser feito às 8 horas. Durante uma jornada de 6 horas, produziram 6 000 itens, mas na 
manutenção observou-se que uma máquina precisava ficar parada. Quando o serviço foi finalizado, as 
três máquinas que continuaram operando passaram por uma nova manutenção, chamada manutenção 
de esgotamento.
Em que horário começou a manutenção de esgotamento?
a) 16 h 45 min
Xb) 18 h 30 min
c) 19 h 50 min
d) 21 h 15 min
e) 22 h 30 min
C4 H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Aproveite a questão para relembrar a resolução de problemas com 
a regra de três composta.
Primeira manutenção às 14 horas (depois de 6 horas de trabalho). 
Finalizada essa manutenção às 14 h 30 min, as máquinas voltaram 
ao trabalho. Em 6 horas, as 4 máquinas produziram 6 000 itens. 
A pergunta é: em quantas horas 3 máquinas produzirão os 3 000 
itens que faltam ser produzidos para completar os 9 000 itens?
Para resolver a questão, vamos montar uma regra de três:
Máquinas Horas Itens
4 6 6 000
3 x 3000
Resolvendo a regra de três, temos:
• a quantidade de máquinas e a de horas são inversamente 
proporcionais;
• a quantidade de máquinas e a de itens são diretamente 
proporcionais.
Assim: 
4
3 6
6 000
3000
4
3 6
2
1
6 24 4� 
 � � 
 � � � �
x x
x x horas
Portanto, a partir de 14 h 30 min, as máquinas precisarão de mais 
4 horas funcionando para completar os 9 000 itens, operando 
até 18 h 30 min, horário em que começou a manutenção de 
esgotamento.
S d did l d t 73 l 1 500 t
esgotamento.
s 
Ap
a 
Pr
Fi
ao
A 
ite
Pa
M
c) 19 h 50 min
i ã l b l ã d bl
Resolvendo a regra de três, temos:
A
6 MATEMÁTICA• •
M
A
T
 13. ENEM Um atacadista compra de uma fábrica um produto por R$ 10,00 e repassa às lojas por um preço 
50% superior. Para obterem um lucro suficiente com o produto, os lojistas fazem a revenda com 
acréscimo de preço de 100% do valor pelo qual compraram.
Qual é o preço final, em real, de um produto que passou pelas três etapas listadas?
a) R$ 15,00
b) R$ 20,00
c) R$ 25,00
Xd) R$ 30,00
e) R$ 40,00
 12. (UERJ) No mapa mensal de um hospital, foi registrado o total de 800 cirurgias ortopédicas, sendo 440 
em homens, conforme os gráficos abaixo.
De acordo com esses dados, o número total de cirurgias de fêmur realizadas em mulheres foi:
a) 144
b) 162
Xc) 184
d) 190
Cirurgias de fêmur: 45 800 0 45 800 360% ,de � 
 �
Cirurgias de fêmur em homens: 40 440 0 4 440 176% ,de � 
 �
Cirurgias de fêmur em mulheres: 360 – 176 = 184
C5 H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
Sobre os 10 reais foram acrescentados 50%, ou seja, 5 reais, totalizando R$ 15,00. Depois, esse valor teve um 
aumento de 100% para o valor final de revenda, ou seja, passa a custar o dobro, R$ 30,00.
Outra forma de resolver essa questão é multiplicar o valor inicial, 10, por 1,5 (aumentando 50%) e 2 (aumentando 
100%), isto é, 10 15 2 30
 
 �, .
LIVRO DE ATIVIDADES 7• •
MA
T
 14. (ESPM – SP) Por volta de 2010, a distribuição da população indígena por região do Brasil era 
representada pelo gráfico abaixo:
Considerando-se que a população indígena total estimada para aquela época era de 325 200, podemos 
concluir que, na região Sul, o número de indígenas era de aproximadamente:
a) 32 643
Xb) 27 967
c) 19 436
d) 36 278
e) 22 308
Precisamos calcular 8,6% de 325 200, ou seja, 
8 6
100
325 200 27 967 2
,
,
 � .
C1 H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
 15. Devido ao não cumprimento das metas definidas para a campanha de vacinação contra a gripe 
comum e o vírus H1N1 em um ano, o Ministério da Saúde anunciou a prorrogação da campanha por 
mais uma semana. A tabela apresenta as quantidades de pessoas vacinadas dentre os cinco grupos de 
risco até a data de início da prorrogação da campanha.
BALANÇO PARCIAL NACIONAL DA VACINAÇÃO CONTRA A GRIPE
Grupo de risco
População 
(milhão)
População já vacinada
(milhão) (%)
Crianças 4,5 0,9 20
Profissionais de saúde 2,0 1,0 50
Gestantes 2,5 1,5 60
Indígenas 0,5 0,4 80
Idosos 20,5 8,2 40
Disponível em: http://portalsaude.saude.gov.br. Acesso em: 16 ago. 2012.
Qual é a porcentagem do total de pessoas desses grupos de risco já vacinadas?
a) 12
b) 18
c) 30
Xd) 40
e) 50
A resposta é encontrada pela razão entre o número total de pessoas vacinadas pelo total da população desses grupos, ou seja:
0 9 10 15 0 4 8 2
4 5 2 0 2 5 0 5 20 5
12
30
0 4 40
, , , , ,
, , , , ,
, %
� � � �
� � � �
� � �
C1 H3 R l it ã bl l d h i t é i
)
c) 30
8 MATEMÁTICA• •
M
A
T
 16. Quanto tempo você fica conectado à internet? Para responder a essa pergunta foi criado um 
miniaplicativo de computador que roda na área de trabalho, para gerar automaticamente um gráfico 
de setores, mapeando o tempo que uma pessoa acessa cinco sites visitados. Em um computador, foi 
observado que houve um aumento significativo do tempo de acesso da sexta-feira para o sábado, nos 
cinco sites mais acessados. A seguir, temos os dados do miniaplicativo para esses dias.
C1 H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
Analisando os gráficos do computador, a maior taxa de aumento no tempo de acesso, da sexta-feira 
para o sábado, foi no site
Xa) X.
b) Y.
c) Z.
d) W.
e) U.
 17. (UERJ) Duas latas contêm 250 mL e 350 mL de um mesmo suco e são vendidas, respectivamente, por 
R$ 3,00 e R$ 4,90.
Calculando a taxa de aumento no tempo de acesso para cada um dos sites, temos as porcentagens a seguir. 
Site U: 
56 40
40
0 4 40
�
� �, %
Site X: 
21 12
12
0 75 75
�
� �, %
Site Y: 
51 30
30
0 7 70
�
� �, %
Site Z: 
11 10
10
0 1 10
�
� �, %
Site W: 
57 38
38
0 5 50
�
� �, %
Concluímos que o site X teve a maior taxa de aumento no tempo de acesso.
Vamos calcular o custo de cada mililitro das latas.
Lata de 250 mL: 
3
250
0 012, Lata de 350 mL: 
4 9
350
0 014
,
,
Fazendo a comparação do preço da lata maior em relação à menor, temos:
0 014 0 012
0 012
0 002
0 012
0 167 16 7
, ,
,
,
,
, , %
�
� �
Tomando por base o preço do mililitro do suco, calcule quantos por cento a lata maior é mais cara do 
que a lata menor.
Concluímos que o site X teve a maior taxa de aumento no tempo de acesso.
c) Z.
Calculando a taxa de aumento no tempo de acesso para cada um dos sites temos as porcentagens a seguir
0 012 0 012, ,
Vamos calcular o custo de cada mililitro das latas
que a lata menor.
 LIVRO DE ATIVIDADES 9• •
M
A
T
NOÇÃO DE CONJUNTO E CONCEITOS FUNDAMENTAIS
4
1
2
5
3
A
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
CONJUNTOS E FUNÇÕES 2
CAPÍTULO
Conjunto: coleção ou grupo de objetos. Os 
objetos são os elementos do conjunto. Dizemos 
que um elemento pertence ao conjunto e 
podemos indicar que x pertence a A por x A. 
Quando não pertence, indicamos por x A.
O diagrama de Venn é muito utilizado 
para representar os conjuntos. O conjunto 
 • Conjunto-universo: todos os elementos de 
uma mesma natureza, geralmente indicado por 
U. Exemplo: conjunto dos números naturais 
� 9� �0 1 2 3 4 65, , , , , ,, .
O subconjunto A de um conjunto B é um 
conjunto contendo elementos de B, ou seja, todos 
os elementos de A também pertencem a B.
Se A é subconjunto de B, então escrevemos 
A B , ou seja “A está contido em B”. Quando um 
conjunto não está contido em outro conjunto, 
escrevemos B A , ou seja, “B não está contido 
B. .
O conjunto das partes de um conjunto é aquele 
formado por todos os subconjuntos desse conjunto, 
desde o conjunto vazio até o próprio conjunto. 
Indicamos o conjunto das partes por A.� �. O 
número de elementos do conjunto das partes de A 
é 2n, em que n é o número de elementos de A.
partes de A é:
Tipos de conjuntos
 • Conjunto unitário: apresenta apenas um 
 • Conjunto vazio: não apresenta elementos 
(denotado por ou � � ).
A união de dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Indicado por 
A B e lido como “A união com B”, é o conjunto:
A B x x A ou x B! � � �� �|
A eB x x A x B" � � �� �|
n A B n A n B n A B!� � � � � � � � � "� �
A intersecção de dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B 
simultaneamente. Indicado por A B e lido como “A intersecção com B”, é o conjunto:
A fórmula abaixo relaciona a quantidade dos elementos da união com a quantidade de elementos dos 
conjuntos e da intersecção:
A� � � � �� � � � � � � � � � � � � � �, , , , , , , , , , , , 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
10 MATEMÁTICA• •
M
A
T
A diferença entre dois conjuntos A e B são os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. 
Indicado por A B e lido como “A menos B”, é o conjunto:
= – 
Tipo do intervalo Representação geométrica Representação algébrica
Intervalo aberto a b
x a ba x b� - -� �� 0 1| ,
Intervalo fechado 
a b x a ba x b� . .� ��1 0| ,
Intervalo fechado à esquerda e 
aberto à direita a b
x a ba x b� . -� ��1 1| ,
Intervalo aberto à esquerda e 
fechado à direita a b
x a ba x b� - .� �� 0 0| ,
A B! � � �1 2 3 4 5, , , , , A B" � � �3 , 
A B� � � �1 2, e B A� � � �4 5, .
CONJUNTOS NUMÉRICOS
A eB x x A x B� � � #� �|
Temos � 
 � � e � �! � .
 • Naturais: � 9� �0 1 2 3 4 5, , , , , ,
 • Inteiros: � 9 � � � 9� �, , , , , , , ,3 2 1 0 1 2 3
 • Racionais: � 
 
� � � �
�
�
�
�
�
�
:x x
p
q
p e q| ,
Quando indicamos um conjunto com um 
asterisco, como , estamos excluindo o elemento 
0 (zero) do conjunto.
 • Irracionais( ): números que não podem ser 
escritos na forma de fração (dízimas não 
periódicas e raízes não exatas).
 • Reais ( ): união do conjunto dos racionais e 
dos irracionais.
Intervalos
Maior do que: >
Menor do que: <
Maior do que ou igual a: 
Menor do que ou igual a: 
É
 LIVRO DE ATIVIDADES 11• •
M
A
T
DoDoDomímímínininio o o dedede fff : : : ooo coconjnjjununtoto AAA, , inindidicacadodo pporor DD(f(f).).
CoCoCC ntntntraraadodod mímíninio o dede ff: : oo coconjnjununtoto BB, , inindid cacadodo pporor CCD(D(f)f)..
ImImImImagagagaggemememem dddde ee fff: : susubcbcbb ononjujuntto o dede CD(f)) que contém todos os 
elelee ememememmenenenntotooos s ss y By B qqueue eestãoo asss ociados a algum x A , 
rerererer prprppp eseseee enenenentatatatadododo pporr IIm(m f).
CONCEITO DE FUNÇÃO
Seja a função f A B: .
1
2
3
4
A B
2
3
4
6
5
3o. quadrante 4o. quadrante
y
x
2o. quadrante
Eixo das ordenadas
1o. quadrante
Eixo das abscissas
P(a, b)b
y
x0 a
Observação: de acordo com a 
definição ao lado, não podem sobrar 
elementos no conjunto A que não 
sejam associados a algum elemento 
de B e um único elemento do 
conjunto A não pode estar associa
do 
a dois elementos distintos do 
conjunto B.
Exemplo: Seja a função f A B: dada por:
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
O O grg áfico de uma função é representado no plano 
cartrtesesiaianono oou sistema cartesiano ortogonal.
O O plplanano o cacartrtesesianono aaprp esene ta qquatro quaddrantes.
Um ponto no plano cartesiano 
é representado por (a,b), em que a 
representa a abscissa do ponto, e b, sua 
ordenada.
Função é uma regra que relaciona dois conjuntos 
A e B, associando cada elemento x A a um único 
elemento y B. Utilizamos a seguinte notação:
f: A → B (“função f de A em B”)
Produto cartesiano x A e y B, ou seja: 
A B = {(x, y) | x A e y B}
12 MATEMÁTICA• •
M
A
T
CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES
FUNÇÃO INVERSA
f(x)
g
g ° f
x
f
g(f(x))
A B C
Dadas duas funções f: A → B e g: B → C, 
denominamos função composta de g com f a função 
g f: A → C, definida por (g ∈A.
FuFuFuFunçnçnçnççãoãoããoãoo pppppararaaaa : : ::: apapapapaprererer seses ntntntntaaaaa umum gráráfifif cooo ssimmététrir coo 
emememememm rrrrrelelelelellelaçaçaçaççãoãoãoãoão aaaao o oo o eieieiiixoxooo vvvvverere titicacaaal.l. EEmm umumaa fufunççãoão parar, 
núnúnúnúnúúmememememem rorororooror s s s s opopopo ososooo totot ssss têtêtt mm imimagagene s s igiguau isis, ouou ssejja:
ff f��� ���xxxx �� �� ��x
Uma função f A B: é dita sobrejetora 
quando o contradomínio é igual à imagem, ou seja, 
todo elemento de B é associado a algum elemento 
de A. Nesse caso, temos Im f B� � � .
Exemplo: a função f : 3 � definida por 
f x x� � � 2 é uma função sobrejetora, pois a imagem 
de f é .
Uma função é dita injetora quando elementos 
distintos do domínio apresentam imagens distintas 
no contradomínio, ou seja:
f xA x A x x f x2 1 2 1 2� 2 2 � �� � �, , 
Exemplo: a função f : definida por 
f x x� � � �3 2 é injetora, pois qualquer elemento 
da imagem apresenta apenas um elemento do 
domínio associado. No gráfico, qualquer reta 
horizontal corta o gráfico de f em apenas um ponto.
A função que é simultaneamente injetora e 
sobrejetora é dita bijetora.
FUNÇÃO COMPOSTA
Para encontrar a função composta f g x( ),
usamos g(x) como elemento do domínio 
da função f, ou seja, encontramos f(g(x)). O 
elemento x da função f é substituído por g(x). 
Exemplo: Sejam f x x� � � �2 1 e g x x� � � �4 2 .
Temos que f g x� �� � é:
f g x x x x� �� � � 
 �� � � � � � � �2 4 2 1 8 4 1 8 3
Por outro lado, g f x� �� � é:
g f x x x� �� � � 
 �� � � � �4 2 1 2 8 2
Uma função f: A → B, bijetora, admite inversa.
Essa função inversa é definida por f–1: B → A, tal que se f(a) = b, então f–1(b) = a para todo a ∈ A e b ∈ B.
)
Exemplo: 
f x x f x x x f x� � � � �� � � �� � � � � �3 3 32 2 2
FuFuFunççãoão ííímpmm ar: apresenta simetria em 
rer lalaçãçãção oo ààà orrigeme ddo plano cartesiano. Em uma 
f f� �x � � � �x
Exemplo: 
f x x f x x x f x� � � � �� � � �� � � � � � � �
3 3 3
LIVRO DE ATIVIDADES 13• •
M
A
T
 3. (FATEC – SP) Entre as pessoas que 
compareceram à festa de inauguração da 
FATEC Pompeia, estavam alguns dos amigos de 
Eduardo. Além disso, sabe-se que nem todos os 
melhores amigos de Eduardo foram à festa de 
inauguração.
Considere:
F: conjunto das pessoas que foram à festa de 
inauguração.
E: conjunto dos amigos de Eduardo.
M: conjunto dos melhores amigos de Eduardo.
Com base nessas informações assinale a 
alternativa que contém o diagrama de Euler- 
-Venn que descreve corretamente a relação 
entre os conjuntos.
a) 
b) 
c) 
d) 
Xe) 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
 1. (UEG – GO) Dados dois conjuntos, A e B, 
onde A B b d" �� �, , A B a b d ec! �� �, , ,, e 
B A a� �� � . O conjunto B é igual a
a) {a}
b) {c, e}
Xc) {a, b, d}
d) {b, c, d, e}
e) {a, b, c, d, e}
ATIVIDADES
Considerando as informações do enunciado, podemos 
montar os seguintes conjuntos:
A B
abc d
e
Assim, B = {a, b, d}.
Montando o diagrama de Venn para o problema, temos: 
Sabemos que o total é 970, então:
525 – x + x + 250 – x + 319 = 970
–x = 970 – 1 094
–x = –124
x = 124
O diagrama de Venn 
também é chamado de 
diagrama de Euler-Venn ou 
de Venn-Euler. Nem todos 
os amigos de Eduardo 
foram à festa, então F e E 
se intersectam, mas são 
conjuntos distintos. Todos 
os melhores de amigos de 
Eduardo são amigos de 
Eduardo, portanto M está 
contido em E. E e M não 
estão contidos em F, de 
maneira que a alternativa 
que pode representar o 
problema é a e.
 2. (UEG – GO) Em uma pesquisa sobre a 
preferência para o consumo de dois produtos, 
foram entrevistadas 970 pessoas. Dessas, 
525 afirmaram consumir o produto A, 250 
o produto B e 319 não consomem nenhum 
desses produtos. O número de pessoas que 
consomem os dois produtos é
Xa) 124
b) 250
c) 525
d) 527
e) 775
A B
x
319
525 – x 250 – x
14 MATEMÁTICA• •
M
A
T
Vamos escrever os conjuntos P, M e A sendo os dias de 
férias de Pedro, Marta e Ana, respectivamente. 
P = {4, 5, 6, 7, 8, ..., 26, 27}
M = {5, 6, 7, 8, ..., 29, 30}
A = {2, 3, 4, 5, ..., 24, 25}
Precisamos da intersecção dos três conjuntos para definir 
a resposta:
P M A" " � 9� �5 6 7 8 24 25, , , , , ,
Portanto, são 21 dias que eles poderão sair de férias sem 
faltar às suas obrigações.
O diagrama de Venn para esse problema é:
Como sabemos que o total é 400, então 250 + 20 + x = 
= 400, ou seja, x = 130.
Vamos desenhar o diagrama que representa o problema, 
sendo A o conjunto de pessoas que têm o antígeno A e B o 
conjunto de pessoas que têm o antígeno B. O número fora 
de A e de B representa as pessoas que não têm nenhum 
antígeno, ou seja, as pessoas de sangue tipo O.
A B
x
20
100 – x 110 – x
Como foram feitas 200 amostras no total, temos:
100 – x + x + 110 – x + 20 = 200
Logo, x = 30.
Dessa forma, são 100 – 30 = 70 pessoas que têm o tipo 
sanguíneo A.
 6. 
Disponível em: http://saude.hsw.uol.com.br. 
Acesso em: 15 abr. 2012 (adaptado).
Foram coletadas amostras de sangue de 
200 pessoas e, após análise laboratorial, 
foi identificado que em 100 amostras está 
presente o antígeno A, em 110 amostras há 
presença do antígeno B e em 20 amostras 
nenhum dos antígenos está presente.
Dessas pessoas que foram submetidas à coleta 
de sangue, o número das que possuem o tipo 
sanguíneo A é igual a
a) 30.
b) 60.
Xc) 70.
d) 90.
e) 100.
 4. (IFCE) Pedro e Marta são os pais de Ana. A 
família quer viajar nas férias de julho. Pedro 
conseguiu tirar suas férias na fábrica do dia 4 
ao dia 27. Marta obteve licença no escritório 
de 5 a 30. As férias de Ana na escola vão de 2 
a 25. A família poderá viajar sem faltar as suas 
obrigações por
a) 20 dias.
Xb) 21 dias.
c) 22 dias.
d) 23 dias.
e) 24 dias.
C5 H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos 
como recurso para a construção de argumentação.
 5. (COTIL – SP) As tribos ou sociedades 
indígenas são classificadas segundo afinidades 
linguísticas. Dois desses grupos são o de língua 
Tupi e o Macro-jê. Para uma reunião entre 
duas tribos indígenas, os Guarani-Kaiowá e 
os Kayapós, representantes Tupi e Macro-
-jê, respectivamente, foram recrutados 20 
intérpretes que conseguiam se comunicar com 
as duas tribos. Sabendo que havia 400 pessoas 
nessa reunião, que somente os intérpretes 
conseguiam falar as duas línguas e que havia 
250 que falavam somente Tupi, quantas 
pessoas falavam somente Macro-jê?
a) 100
Xb) 130
c) 150
d) 200
Um grupo sanguíneo, ou tipo sanguíneo, 
baseia-se na presença ou ausência de dois 
antígenos, A e B, na superfície das células vermelhas 
do sangue. Como dois antígenos estão envolvidos, 
os quatro tipos sanguíneos distintos são:
 • Tipo A: apenas o antígeno A está presente;
 • Tipo B: apenas o antígeno B está presente;
 • Tipo AB: ambos os antígenos estão presentes;
 • Tipo O: nenhum dos antígenos está presente.
T M
20250 x
LIVRO DE ATIVIDADES 15• •
M
A
T
Vamos analisar os conjuntos e quantas pessoas escolheram cada um deles.
A: números primos maiores do que 3 (12 pessoas)
B: número par maior do que 3 (30 pessoas)
C: múltiplo de 3 maior do que 3 (14 pessoas)
D: múltiplo de 6 maior do que 3 (6 pessoas)
O conjunto A não forma intersecção com nenhum outro conjunto e o conjunto D é a intersecção dos conjuntos B e C, ou seja:
B C
624 8
A
12
D
Sendo assim, o número de pessoas que não escolheu um número pertencente a um desses conjuntos é:
64 – 12 – 24 – 6 – 8 = 14
Como o número deveria ser maiordo que 3, então todas as pessoas do conjunto A também satisfazem a condição da questão. Logo, 
14 + 12 = 26 pessoas escolheram um número ímpar e não múltiplo de 3.
Considerando J o conjunto dos alunos que leem jornal e R o conjunto dos alunos que leem revista, temos:
R
55% – x
25%
J
x35% – x
35% – x + x + 55% – x + 25% = 100%
–x = 100% – 115%
x = 15%
Como o total de alunos na escola é 3 800, temos que 15% de 3 800 é igual a 570.
 7. (UDESC) Foi solicitado que um grupo de 64 pessoas escolhesse um número natural maior do que 3. 
Após análise das escolhas, constatou-se que: 12 pessoas escolheram um número primo, 30 um número 
par, 14 um múltiplo de 3 e 6 um múltiplo de 6.
O número de pessoas que escolheu um número ímpar, não múltiplo de 3, foi igual a:
a) 14 Xb) 26 c) 12 d) 20 e) 34
 8. (COTUCA – SP) Em uma escola, 35% dos alunos leem jornal e 55% leem revista. Sabe-se que 25% não 
leem jornal nem revista e que a escola possui 3 800 alunos.
Qual é o número de alunos que leem jornal e revista?
a) 285 Xb) 570 c) 760 d) 950 e) 1 330
16 MATEMÁTICA• •
M
A
T
Fazendo a distribuição dos valores entre os conjuntos, 
temos:
N
10
35
S
A
13
5
20
57
23
(01) Incorreto. Apenas uma das marcas: 
13 + 20 + 23 = 56.
(02) Correto. Não levaram a marca S: 
20 + 5 + 23 + 35 = 83.
(04) Incorreto. Nem S nem N: 23 + 35 = 58.
(08) Correto. Apenas duas das marcas de celular: 
7 + 10 + 5 = 22.
Chamando os conjuntos dos Cadetes que praticam 
voleibol, natação e atletismo de V, N e A, respectivamente, 
temos:
N
x
0
V
A
25
6
29
zy
26
Sabemos que:
x y
x z
y z
� � � � �
� � � � �
� � � � �
�
�
�
�
�
6 66 25 41
6 68 29 39
6 70 26 44
Somando as equações, temos:
x y x z y z
x y z
x y z
� � � � � � � � � � �
� � � �
� � � �
6 6 6 41 39 44
2 2 2 18 124
106
2
53
a) Verdadeira, pois x + y + z + 6 = 53 + 6 = 59.
b) Falsa, pois 59 + 25 + 29 + 26 = 139, que é menor do 
que 150.
c) Verdadeira, pois 139 – 26 = 113.
d) Verdadeira, pois x + y + z = 53, que é um número 
primo.
 9. (UEPG – PR) As marcas de celulares mais 
vendidas em um quiosque, em um certo mês, 
foram S, N e A. Os vendedores constataram que 
a venda se deu de acordo com a tabela abaixo.
Marcas vendidas Número de compradores
S 35
N 40
A 40
S e N 15
S e A 12
N e A 10
S, N e A 5
Outras marcas 35
A partir do que foi exposto, assinale o que for 
correto.
(01) 115 compradores levaram apenas uma 
das marcas de celular.
X(02) 83 compradores não levaram a marca S.
(04) 23 compradores não levaram a marca S e 
nem a N.
X(08) 22 compradores levaram apenas duas das 
marcas de celular.
Somatório: 10 (02 + 08) 
 10. (EPCAR – MG) Uma pesquisa foi realizada com 
um grupo de Cadetes da AFA.
Esses Cadetes afirmaram que praticam, pelo 
menos uma, dentre as modalidades esportivas: 
voleibol, natação e atletismo.
Obteve-se, após a pesquisa, os seguintes 
resultados:
I. Dos 66 Cadetes que praticam voleibol, 25 
não praticam outra modalidade esportiva;
II. Dos 68 Cadetes que praticam natação, 29 
não praticam outra modalidade esportiva;
III. Dos 70 Cadetes que praticam atletismo, 
26 não praticam outra modalidade 
esportiva e
IV. 6 Cadetes praticam as três modalidades 
esportivas.
Marque a alternativa FALSA.
A quantidade de Cadetes que
a) pratica pelo menos duas modalidades 
esportivas citadas é 59.
Xb) foram pesquisados é superior a 150.
c) pratica voleibol ou natação é 113.
d) pratica exatamente duas das modalidades 
esportivas citadas é um número primo.
LIVRO DE ATIVIDADES 17• •
M
A
T
CONJUNTOS NUMÉRICOS
 11. (CEFET – MG) Sejam e , respectivamente, os conjuntos dos números inteiros e racionais, o 
número que NÃO pertence ao conjunto 
 � 
 �! "� ��� � é
a) 3,14
b) 1,3333...
c) 
7
5
Xd) –1
 12. (CEFET – MG) Sejam os conjuntos formados por elementos distintos tais que A x�� �, , , ,3 4 5 6 e 
B y�� �, ,2 4 , onde x e y . Se A B� �� �3 5, , então a diferença x – y vale
Xa) –4
b) –2
c) 2
d) 4
 13. (IFCE) Dentre os conjuntos a seguir, é vazio
a) E x x� � �� �� ;2 1 0
7 .
b) B x x e x� ��
�
�
�
�
� - /;
9
4
6
5
.
c) C x x� � � �� �;
2
1 0 .
d) D x x xx� � � � �� �� ;
3 2
1 0 .
Xe) A x x�� �� 
 �;0 2 .
Sabemos que 
 � 
 � � 
! � " � �� � � � . Então, entre as alternativas, o único número que não pertence 
a esse conjunto é o –1.
De acordo com os dados, temos x = 2 (pois não está no conjunto A – B e está em B, logo está em A) e y = 6 (pois A contém 6 e A – B 
não o contém).
Assim, x – y = 2 – 6 = –4.
a) Incorreta. O conjunto não é vazio, pois x � �
1
27
 é raiz da equação.
b) Incorreta. O conjunto não é vazio, pois 2 é menor do que 
9
4
 e maior do que 
6
5
.
c) Incorreta. O conjunto não é vazio, pois x = 1 e x = –1 satisfazem a equação.
d) Incorreta. O conjunto não é vazio, pois x = 1 satisfaz a equação.
e) Correta. O conjunto é vazio, pois não existe x real que multiplicado por 0 seja igual a 2.
18 MATEMÁTICA• •
M
A
T
 14. (UEFS – BA) Sejam A, B e C conjuntos contidos no conjunto dos números naturais, tais que A é o 
conjunto dos números menores do que 250, B é o conjunto dos números múltiplos de 4 e C é o 
conjunto dos números pares. Sendo AC, BC e CC os conjuntos complementares respectivamente de A, B e 
C, o número 33 pertence a
a) A B C
C C! "� �
b) A B C
C C C
c) A B A C
C C" ! "� �� �
Xd) A B B C
C C C C" ! "� �� �
e) A B C
C! "� �
Com base no enunciado, encontramos os conjuntos A, B e C como:
A = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 249}
B = {0, 4, 8, 12, 16, ...}
C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}
Os complementares desses conjuntos são:
Ac = {250, 251, 252, 253, 254, ...}
Bc = {x ∈ ; x não é múltiplo de 4}
Cc = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}
a) Incorreta. 
Ac ∪ B = {x ∈ ; x é par ou um número maior ou igual a 250}  
(Ac ∪ B) ∩ Cc = {x ∈ ; x é ímpar e maior ou igual a 250} 
Portanto, 33 ∉ (Ac ∪ B ) ∩ Cc.
b) Incorreta.
Ac ∩ Bc ∩ Cc = {x ∈ ; x é ímpar e maior ou igual a 250} 
Portanto, 33 ∉ Ac ∩ Bc ∩ Cc.
c) Incorreta.
A ∩ B = {x ∈ ; x é múltiplo de 4 menor do que 250} 
Então, 33 ∉A ∩ B.
Ac ∩ Cc = {x ∈ ; x é ímpar e x ≥ 250} ⇒ 33 ∉ Ac ∩ Cc
Portanto, 33 ∉ (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ Cc).
d) Correta.
Ac ∩ Bc = {x ∈ ; x não é múltiplo de 4 e x ≥ 250} 
Então, 33 ∉ Ac ∩ Bc.
Bc ∩ Cc = {x ∈ ; x é ímpar} ⇒ 33 ∈ Bc ∩ Cc
Portanto, 33 ∈ (Ac ∩ Bc) ∪ (Bc ∩ Cc).
e) Incorreta.
Como 33 ∉ C, 33 ∉ (A ∪ Bc) ∩ C.
I. Correta. Como 0
a
b
c
d
, temos 
a
b
c
d
� - 0 e 
a
b
c
d
� / 0. Assim:
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
�
�
	
�
� � �
�
	
�
� � ��
�
	
�
� ��
�
	
�
� - � �
�
	
�
� - �
2 2 2
0
��
	
�
�
2
II. Incorreta. Sejam 
a
b
� �
5
2
 e 
c
d
1
2
, então 
1
2
5
2
4
2
2 0� ��
�
	
�
� � � � � - .
III. Incorreta. Tomando a = 2 e b = 6, segue que a fração 
2
6
 não é irredutível (o numerador e o denominador são múltiplos de 2).
 15. (UFRGS – RS) Considere as seguintes afirmações sobre números racionais.
I. Se 0
a
b
c
d
, então 
a
b
c
d
�
�
	
�
� - �
�
	
�
�
2 2
.
II. Se 
a
b
c
d
0 , então 
c
d
a
b
� /0.
III. Toda fração da forma 
a
b
 é irredutível.
Quais estão corretas?
Xa) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas III.
d) Apenas II e III.
e) I, II e III.
LIVRO DE ATIVIDADES 19• •
M
A
T
 16. (EPCAR – MG) Em um jogo de videogame há uma etapa em que o personagem, para se livrar do ataque 
de monstros, precisa subir pelo menos 1 dos 20 andares de um prédio, utilizando, necessariamente, 
um elevador.
O personagem encontra-se no térreo e pode escolher e acionar um dos 3 elevadores ali existentes. 
Todos eles estão em perfeito funcionamento e são programados de modo a parar em andares 
diferentes, conforme esquema a seguir:
Elevador Programado para parar apenas nos andares de números
P pares
T múltiplos de 3
C múltiplos de 5
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa, apenas para os andares de 1 
até 20.
( V ) Não há possibilidade de um mesmo andar receber os três elevadores P, T e C.
( V ) Em 6 andares desse prédio, chegam, exatamente, 2 elevadores.
( F ) Se em x andares desseprédio chega apenas 1 elevador, então, x é menor que 7.
Sobre as proposições, tem-se que
a) apenas uma afirmação é verdadeira.
Xb) apenas duas afirmações são verdadeiras.
c) todas as afirmações são verdadeiras.
d) nenhuma afirmação é verdadeira.
Os conjuntos são:
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
T = {3, 6, 9, 12, 15, 18}
C = {5, 10, 15, 20}
A primeira proposição é verdadeira, pois não há um andar ao qual os três elevadores chegam.
A segunda proposição é verdadeira, pois chegam exatamente dois elevadores aos andares 6, 10, 12, 15, 18 e 20.
A terceira proposição é falsa, pois os andares aos quais chega apenas um elevador são 2, 3, 4, 5, 8, 9, 14 e 16, ou seja, oito andares.
 17. (UFJF – MG) Sejam A o conjunto formado pelos números pares que pertencem ao intervalo 
10 2 20 3, &
'
(
) e B o conjunto formado pelos múltiplos de três que pertencem ao intervalo 5 3 10 5, &
'
(
) .
Quantos elementos possui o conjunto formado pelos elementos que pertencem a B mas que não 
pertencem a A?
a) 3 Xb) 4 c) 5 d) 7 e) 9
Como 10 2 14 1, , 20 3 34 6, , 5 3 8 6, e 10 5 22 4, , A é formado pelos pares entre 14,1 e 34,6, e B é formado pelos 
múltiplos de 3 entre 8,6 e 22,4.
A = {16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34}
B = {9, 12, 15, 18, 21}
Dessa forma, o conjunto B – A é composto de quatro elementos, ou seja:
B – A = {9, 12, 15, 21}
20 MATEMÁTICA• •
M
A
T
 18. (EPCAR – MG) Na reta dos números reais 
abaixo, estão representados os números 
m, n e p.
A primeira proposição é verdadeira, pois temos m n 0 
e 1 2p , do qual 
m n
p
�
- 0. Portanto, 
m n
p
 não é 
um número real, pois é uma raiz de número negativo.
A segunda proposição é verdadeira, pois podemos 
considerar, por exemplo, p = 1,3 e m = –1,3, de forma que 
p + m é igual a 0, que é um número inteiro.
A terceira proposição é falsa, pois p pode assumir um 
valor irracional e n um valor racional, ou vice-versa, 
por exemplo, p 2 e n � �
1
4
. Percebemos que 
p
n
�
�
� �
2
1
4
4 2 , que não é um número racional. 
I. Verdadeira. A afirmação “Se a é racional, então p e 
q são racionais” é equivalente à afirmação “Se p ou q 
é irracional, então a é irracional”. Dessa forma, basta 
provarmos que se a é racional então p e q são racionais. 
De fato, se a é racional, a2 e a3 também são racionais, 
assim como a adição de a com a2 ou com a3. Assim, 
sendo a um número racional, p e q também são.
II. Verdadeira. A adição, subtração, multiplicação 
e divisão de dois números racionais sempre 
resultam em um número racional. Assim: 
p q a a a a a a a a p� � � � � � 
 � �� � � 
 �� �2 3 22 2
Disso, temos a
p q
p
�
�
�2
, que é racional, pois p e q são 
racionais, então p + q também é racional e 2 + p também 
é racional. A divisão de dois números racionais também é 
sempre racional, portanto a é racional.
III. Falsa. Considerando a �
�2 1
2
, temos:
p a a a a
p
� � � 
 �� � � ��
�
		
�
�� 
 �
��
�
		
�
��
�
�
�
�
�
2
2
1
2 1
2
1
2 1
2
2 1
2
2 1
2
2 122
4
2 1
4
1
4
�
�
�
q a a a a
q
� � � 
 �� � � ��
�
		
�
�� 
 �
��
�
		
�
��
�
�
	
	
�
�
�
�
�
3 2
2
1
2 1
2
1
2 1
2
2 1
2
��
�
		
�
�� 
 �
� ��
�
		
�
�� �
��
�
		
�
�� 
 �
��
�
		
�
��
�
1
2 2 2 1
4
2 1
2
1
3 2 2
4
q
22 1
2
7 2 2
4
9 2 11
8
�
�
�
�
Portanto, p é racional e q é irracional.
 19. , defina p = a + a2 e 
q = a + a3 e considere as seguintes afirmações:
I. Se p ou q é irracional, então a é irracional.
II. Se p e q são racionais, então a é racional.
III. Se q é irracional, então p é irracional.
É(são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
Xc) apenas I e II.
d) apenas I e III.
e) todas.
Analise as proposições a seguir e classifique-as 
em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).
( V ) 
m n
p
 não é um número real.
( V ) (p + m) pode ser um número inteiro.
( F ) 
p
n
 é, necessariamente, um número racional.
A sequência correta é
Xa) V – V – F
b) F – V – V
c) F – F – F
d) V – F – V
m n p
−1 0 1 2−2
LIVRO DE ATIVIDADES 21• •
M
A
T
CONCEITO DE FUNÇÃO
 20. (CEFET – MG) Seja a função real f x
x
� � �
�
�
�
1
2
2
3
3
4
, x 2 �4.
O valor de f(5) é uma fração racional equivalente a
a) 
2
5
. Xb) 
5
13
. c) 
5
2
. d) 
13
5
.
 21. (UFRGS – RS) Considere as seguintes afirmações sobre quaisquer funções f reais de variável real.
I. Se x. e x > 0, então f(x) > 0.
II. Se f(x) = 0, então x é zero da função f(x).
III. Se x1 e x2 são números reais, com x1 < x2, então f(x1) < f(x2).
Quais estão corretas?
a) Apenas I.
Xb) Apenas II.
c) Apenas III.
d) Apenas I e II.
e) I, II e III.
 22. (MACKENZIE – SP) O domínio da função real definida por f x
x
x
� � � �
�
1
4
 é
a) �0 11 4, 
b) �0 1, � ! �,1 1, , 1 4
c) �1 01 4, 
Xd) �, �0 0! �,0 1, , 1 4
e) �1 11 4, 
Substituindo x por 5 e encontrando o valor numérico da expressão, temos:
f 5
1
2
2
3
3
4 5
1
2
2
3
3
9
1
2
2
10
3
1
2
6
10
1
10
5
3
5
1
13
5
5
13
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
I. Incorreta. A função pode ser constante e igual a zero ou negativa, como a função f(x) = –2, que assume valor negativo para qualquer 
x real. 
II. Correta. Definição de zero de uma função.
III. Incorreta. Isso acontece para funções estritamente crescentes, mas não para funções decrescentes. Por exemplo, para f(x) = –x, 
temos 1 < 2, mas f(1) > f(2).
Para que a raiz seja definida, a fração deve ser maior ou igual a 
zero:
1
4
0
1
4
0
�
�
 �
�
�
 
x
x
x
x
Vamos analisar o numerador e o denominador da fração:
(I) 1 0� x para e 1 0� .x para x . �1
(II) x � /4 0 para x 4 e x � -4 0 para x 4
Para que a função seja positiva, temos que combinar a parte 
positiva das duas funções ou a negativa:
x �1 e x 4 , que resulta em x 4 ; ou
x . �1 e x 4 , que resulta em x . �1 .
Portanto, o conjunto-domínio é �, �0 0! �,0 1, , 1 4 .
22 MATEMÁTICA• •
M
A
T
Devemos ter x � 25 0 e analisar o sinal da fração.
x x� 2 � 2 �5 0 5
x x x
x
x x x
x
x x
x
3 2 2
2
5 25 125
5
0
5 25 5
5
0
5 25
5
� � �
�
 �

 �� � � 
 �� �
�
 
�� � 
 �� �
�
 �
�� � 
 �� � 
 �� �
�
 0
5 5 5
5
0
x x x
x
Então, temos que garantir que x �� � 5 0
2
. No entanto, 
essa equação já é maior ou igual a zero para qualquer x real, 
portanto excluímos do conjunto-domínio apenas o –5, ou seja, 
A � � �� �5 .
O conjunto-imagem é todo o conjunto dos reais positivos, pois a 
equação tem solução nula para x = 5 e maior do que zero para os 
demais valores. Dessa forma, B � �.
Devemos ter x � 22 0 e x2 1 0� . Assim:
x x� 2 � 22 0 2 e x x ou x2 1 0 1 1� � . � 
Portanto, o conjunto-domínio é x x x x x x� . �� �! � . -� �! � /� �; ; ;1 1 2 2 .
Devemos ter x � 21 0 e x � /4 0, ou seja, x 2 �1 e x / �4.
 23. (EEAR – SP) Se f x
x
x
x
x
� � � �
�
�
�
1
1
3
4
 é uma função, seu domínio é D x�� �� | ___________ .
a) x e x/ 24 1
b) x e x- 2 74 1
c) x e x- � 2 �4 1
Xd) x e x/ � 2 �4 1
 24. (IFCE) O maior domínio possível, dentro dos números reais, da função f dada por f x
x
x
� � � �
�
24
1
2
 vale
a) x x� 2� �; 2
b) x x� /� �; 1
Xc) x x xx x x� . � ! � . - ! � /� � � � � �; ; ;1 1 2 2
d) x x� . .� �;1 2
e) x xx x� - � ! � . -� � � �; ;1 1 2
 25. (ESPCEX – SP) Seja A o maior subconjunto de no qual está definida a função real 
f x
x x x
x
� � � � � �
�
3 2
5 25 125
5
. Considere, ainda, B o conjunto das imagens de f. Nessas condições,
a) A � � �� �5 e B� �� �� 10 .
Xb) A � � �� �5 e B. � �.
c) A � � �� �5 e B. .
d) A � � �� �5 5, e B. � � .
e) A � � �� �5 5, e B� �� �� 10 .
LIVRO DE ATIVIDADES 23• •
M
A
T
Temos:
f a f a
a a
a
� �� � � � �� �;

 � �� � �
� �

 �� � �
;
;
� � �
� �
�
2
1
5
1
2 2 2
1
5
1
2 2
1
4 2 2
1
5
1
2aa a a
a a
a a
�
;
�
� �
�
�
;
;
�
� � ;
�
� � ; � � � ; � �
2
1
2 2
1
5
1
2 2
2
2 2
1
5
0
1
1
1
5
1 5 4
Assim:
f
a
f a f f f f
2
1 4
4
2
1 4 4 3 0��
�
	
�
� � �� � � �
��
�
	
�
� � � �� �� � � �� � � � �
Vamos calcular f(–3) + f(0):
f f�� � � � � �

 �� � �
�

 �
�
�
�� � � � �3 0
1
2 3 2
1
2 0 2
1
4
1
2
1
4
2
4
1
4
0 25,
 26. (ESPCEX – SP) Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os 
quais está definida a função f x
x
x
x� � �
�
� �2
23
6 5
4
.
a) � �� �2 2, 
b) �, �� �! �,� �, , 2 5
Xc) �, �� �! �� 0! �,1 �, , , 2 2 1 5
d) �� �, ! �,� �, , 1 5
e) �, �� 0! �,1 �, , 2 2
 27. (EPCAR – MG) Considere a função real f x
x
� � �
�
1
2 2
, x 2 �1.
Se f a f a� �� � � � �� �2
1
5
, então f
a
f a
2
1 4��
�
	
�
�� �� � é igual a
a) 1
b) 0,75
c) 0,5
Xd) 0,25
Para que a função f(x) seja definida, a raiz do denominador deve ser diferente de zero e a do numerador deve ser maior ou igual a zero. 
(I) x x23 24 0 4 0� 2 � � 2
(II) x x x x2 26 5 0 6 5 0� � � � � 
De (I), as raízes de x2 – 4 são –2 e 2, portanto x 2 �2 e x 2.
As raízes da equação (II) são 1 e 5. A parábola tem a concavidade para cima, portanto, para que seja positiva, x 1 ou x 5.
Intersectando as duas condições, o conjunto-domínio é �, �� �! �� 0! �,1 �, , , 2 2 1 5 .
24 MATEMÁTICA• •
M
A
T
 29. (EFOMM – RJ) Dada a função f x y
x y
x y
x y
x y
,� � � �
�
�
�
�
, o valor de f a b a b� �� �, é:
Xa) 
a
ab
b
2 2
b) 
a
ab
b
2 2
2
c) 1
d) 
a
ab
b
2 2
e) 
a
ab
b
2 2
2
Substituindo a + b e a – b no lugar de x e y, temos:
f a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
� �� � � �� � � �� �
�� � � �� �
�
�� � � �� �
�� � � �� �
�, 
22
2
2
2
2 2a
b
b
a
a b
ab
� �
�
 28. (UPF – RS) Um estudo das condições ambientais de um município do Rio Grande do Sul indica que 
a taxa média de monóxido de carbono (CO) no ar será de C(P) = 0,2P – 1 partes por milhão (ppm) 
quando a população for P milhares de habitantes.
Sabe-se que em t anos, a população desse município será dada pela relação P(t) = 50 + 0,05t2. O nível 
de monóxido de carbono, em função do tempo t, é dado por
Xa) C t t� � � �9 0 01
2
,
b) C t t� � � �� �0 2 49 0 05
2
, ,
c) C t t� � � �9 0 05
2
,
d) C t t� � � �� � �0 1 1 0 05 1
2
, ,
e) C t t� � � �10 0 95
2
,
Temos P(t) = 50 + 0,05t2 e C(P) = 0,2P – 1, ou seja:
C t t
C t t
C t t
� � � 
 �� � �
� � � � �
� � � �
0 2 50 0 05 1
10 0 01 1
9 0 01
2
2
2
, ,
,
,
LIVRO DE ATIVIDADES 25• •
M
A
T
 30. (IME – RJ) Considere as alternativas:
I. O inverso de um irracional é sempre 
irracional.
II. Seja a função f A B: e X e Y dois 
subconjuntos quaisquer de A, então 
f X f XY f Y" " � �� � � � � .
III. Seja a função f A B: e X e Y dois 
subconjuntos quaisquer de A, então 
f X Y f X f Y!� � � � �! � �.
IV. Dados dois conjuntos A e B não vazios, 
então A B A" � se, e somente se, B A.
Obs.: f Z� � é a imagem de f no domínio Z.
São corretas:
a) I, apenas.
Xb) I e III, apenas.
c) II e IV, apenas.
d) I e IV, apenas.
e) II e III, apenas.
I. Correta. Seja a um número irracional. Vamos supor que 
seu inverso seja um número racional, ou seja, que possa 
ser escrito na forma de fração: 
1
a
p
q
, em que p e q são 
números inteiros e primos entre si. Então, a
q
p
.
Mas esse número seria racional, o que é absurdo, pois, 
por hipótese, a é irracional. Dessa forma, 
1
a
 também é 
irracional.
II. Incorreta. Vamos considerar os conjuntos A = {0, 1, 2} e 
B = {3, 4} e a função f, como na figura abaixo.
B
3
A
0
4
1
2
Sejam X = {0, 1} e Y = {1, 2}. Portanto, X Y" �� �1 . Temos 
f X� � � � �3 4, , f Y� � � � �3 4, e f X Y"� � � � �4 . Então, 
f X f Y f X Y� �" � � � � � 2 "� �3 4, .
III. Correta. Dado a X Y� ! , temos f a f X Y� �� !� �.
Mas então a X ou a Y, do qual f a f X� �� � � 
ou f a f Y� �� � �, isto é, f a f X f Y� �� � �! � �. Assim, 
f X Y f X f Y!� � � � �! � �.
Por outro lado, seja b f X f Y� � �! � �. Então, 
b f X� � � ou b f Y� � �. Dessa forma, existe 
a X ou a Y tal que f a b� � � . Portanto, 
b f X Y f X f Y f X Y� !� �� � �! � � � !� �.
Juntando as duas partes, temos f X f Y f X Y� �! � � � !� �.
IV. Incorreta. Sejam os conjuntos A = {2} e B = {0, 1, 2}, 
temos A B A" �� � �2 . Mas A B, e não B A.
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
 31. (ESPM – SP) A função que melhor se ajusta ao 
gráfico abaixo é
1
2
x
y
a) f x
x
x
� � � �
�
1
1
Xb) f x
x
x
� � �
�
�2
1
1
c) f x
x
x
� � �
�
�2
1
1
d) f x
x
x
� � � �
�
1
1
2
e) f x
x
x
� � � �
�
1
1
2
Sabemos que x = 1 não pertence ao domínio de f, mas 
x = –1 pertence, portanto eliminamos as alternativas d e e. 
Reescrevendo a função da alternativa b, temos:
f x
x
x
x x
x
x� � � �
�
�
�� � �� �
�
� �
2 1
1
1 1
1
1
Das alternativas a, b e c, a única em que f(1) = 2 é a 
b (consideramos nesse caso que x está infinitamente 
próximo de 1 pela direita e pela esquerda, já que 1 não 
pertence ao domínio da função original). Nas alternativas 
a e c, f(0) = –1, que não é o que podemos visualizar no 
gráfico.
I C t S j ú i i l V
temos A B A�B � � � . Mas A B, e não B A.
26 MATEMÁTICA• •
M
A
T
 33. A água para o abastecimento de um prédio é armazenada em um sistema formado por dois 
reservatórios idênticos, em formato de bloco retangular, ligados entre si por um cano igual ao cano de 
entrada, conforme ilustra a figura.
 32. Atualmente existem diversas locadoras de veículos, permitindo uma concorrência saudável para 
o mercado, fazendo com que os preços se tornem acessíveis.
Nas locadoras P e Q, o valor da diária de seus carros depende da distância percorrida, conforme o gráfico.
C6 H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Disponível em: www.sempretops.com. Acesso em: 7 ago. 2012.
O valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele pago na locadora P para distâncias, em 
quilômetros, presentes em qual(is) intervalo(s)?
a) De 20 a 100.
b) De 80 a 130.
c) De 100 a 160.
Xd) De 0 a 20 e de 100 a 160.
e) De 40 a 80 e de 130 a 160.
Precisamos observar os intervalos em que o gráfico da função Q está abaixo da função P. Isso ocorre para uma distância de 0 km a 
20 km e também de 100 km a 160 km.
C6 H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
LIVRO DE ATIVIDADES 27• •
M
A
T
O carro está imóvel quando sua velocidade é zero. 
Observando o gráfico, podemos perceber que o carro teve 
sua velocidade igual a zero do minuto 6 ao minuto 8, ou 
seja, durante 2 minutos.
A água entra no sistema pelo cano de entrada 
no Reservatório 1 a uma vazão constante e, 
ao atingir o nível do cano de ligação, passa 
a abastecer o Reservatório 2. Suponha que, 
inicialmente, os dois reservatórios estejam 
vazios.
Qual dos gráficos melhor descreverá a altura h 
do nível da água no Reservatório 1, em função 
do volume V da água no sistema?
a) 
b) 
c) 
Xd) 
e) 
O reservatório 1 encherá em uma vazão constante até que 
a água atinja o nível do cano de ligação. No momento em 
que atingir esse cano, ele deixará de ser cheio e a água 
passará direto ao reservatório 2 até que a água atinja, no 
reservatório 2, o cano de ligação. A partir desse instante, 
o reservatório 1 e o reservatório 2 serão enchidos em uma 
razão constante, menor do que a inicial para o 
reservatório 1. Portanto, a alternativa correta é a d.
 34. Os congestionamentos de trânsito 
constituem um problema que aflige, todos 
os dias, milhares de motoristas brasileiros. O 
gráfico ilustra a situação, representando, ao 
longo de um intervalo definido de tempo, a 
variação da velocidade de um veículo durante 
um congestionamento.
C5 H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre 
grandezas.
Quantos minutos o veículo permaneceu imóvel 
ao longo do intervalo de tempo total analisado?
a) 4
b) 3
Xc) 2
d) 1
e) 0
 35. Um investidor inicia um dia com x ações 
de uma empresa. No decorrer desse dia, ele 
efetua apenas dois tipos de operações, comprar 
ou vender ações. Para realizar essas operações, 
ele segue estes critérios:
I. vende metade das ações que possui, 
assim que seu valor fica acima do valor 
ideal (Vi);
II. compra a mesma quantidade de ações que 
possui, assim queseu valor fica abaixo do 
valor mínimo (Vm);
III. vende todas as ações que possui, quando 
seu valor fica acima do valor ótimo (Vo).
C6 H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
28 MATEMÁTICA• •
M
A
T
 36. Dois reservatórios A e B são alimentados por bombas distintas por um período de 20 horas. A 
quantidade de água contida em cada reservatório nesse período pode ser visualizada na figura.
Considerando que o investidor tem x ações, vamos analisar o gráfico e verificar o que o investidor faz a cada momento que as ações 
cruzam uma linha, Vo, Vi ou Vm.
• No primeiro momento em que o valor da ação ultrapassa Vi, o investidor vende metade de suas ações, ficando com 
x
2
.
• No segundo momento, quando a ação fica abaixo de Vm, ele compra 
x
2
 ações, ficando com x novamente.
• Depois, ultrapassando novamente Vi, ele vende metade de suas ações, ficando com 
x
2
.
• Ao final, quando o valor da ação ultrapassa Vo, ele vende todas as suas ações, não realizando nenhuma outra operação nesse dia.
Portanto, o investidor realizou quatro operações nesse dia.
C6 H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
O gráfico apresenta o período de operações e a variação do valor de cada ação, em reais, no decorrer 
daquele dia e a indicação dos valores ideal, mínimo e ótimo.
Quantas operações o investidor fez naquele dia?
a) 3 Xb) 4 c) 5 d) 6 e) 7
LIVRO DE ATIVIDADES 29• •
M
A
T
O número de horas em que os dois reservatórios contêm a mesma quantidade de água é
Xa) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) 6.
Na figura abaixo, a linha contínua azul representa o gráfico de B, na mesma escala que o gráfico de A:
Observando os gráficos, percebemos que ambos têm a mesma quantidade de água apenas entre 8 e 9 horas, período em que o 
reservatório A teve sua quantidade de água reduzida. Portanto, os reservatórios tiveram a mesma quantidade de água durante 1 hora.
CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES
 37. (IFAL) Dada a função f(x) = 2x, assinale a alternativa INCORRETA.
a) É uma função injetora.
b) É uma função sobrejetora.
Xc) É uma função par.
d) É uma função ímpar.
e) É uma função linear.
a) Correta. A função é injetora, pois para todo valor de f(x) temos um único x correspondente.
b) Correta. A função é sobrejetora, pois o contradomínio é , assim como a imagem.
c) Incorreta. A função não é par, pois f x f x� � 2 �� �.
d) Correta. A função é ímpar, pois f x f x�� � � � � �.
e) Correta. A função é linear, pois f(0) = 0.
30 MATEMÁTICA• •
M
A
T
 38. (UEPB) Sejam
I. f x
x
x
� � � �
�
2
2
2
II. f x
x
x� � � 2
1
0
2
,
III. f x
x
x� � � 2
2
0,
IV. f x x x� � � �� �� �� �1 1
Classificando cada uma das funções reais acima 
em par, ímpar ou nem par nem ímpar, temos, 
respectivamente:
a) par, par, ímpar, ímpar
Xb) nem par nem ímpar, par, ímpar, ímpar
c) par, ímpar, par, ímpar
d) ímpar, par, ímpar, ímpar
e) par, par, ímpar, nem par nem ímpar
I. A função não é par nem ímpar: 
f x
x
x
x
x
�� � � � �
�� � �
� �
�
�
2
2
2
22 2 , do qual f x f x( ) ( )� 2 e 
f x f x( ) ( )� 2 � .
II. A função é par: f x
x x
f x�� � �
�� �
� � � �1 1
2 2
III. A função é ímpar: f x
x x
f x�� � �
�
� � � � � �2 2
IV. A função é ímpar. Como f x x x x� � � �� � � �� � �1 1 2 , 
temos f x x x f x�� � � 
 �� � � � � � � �2 2 .
(01) Incorreto. A função f é crescente.
(02) Correto. O menor valor da função 5x2 – 1 é –1, 
quando x = 0, e o menor valor da função –2x é um número 
maior do que –1, já que para x = 0 teríamos –1 como 
resposta e a função –2x é decrescente para x < 0. Observe 
o gráfico de g(x):
6
5
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4
(04) Correto. 
h 3 3 2 3 10 9 6 10 25 52� � � � 
 � � � � � �
(08) Correto. Para cada valor de f(x) existe um único x, 
portanto a função é injetora, e a função tem a imagem 
igual ao contradomínio, que são iguais ao conjunto dos 
reais.
(16) Incorreto. Tendo em vista que y x x� � �2 2 10 é uma 
parábola com concavidade para cima, a função h assume 
um valor mínimo em yv , em que yv é a ordenada do 
vértice da parábola. Como yv = 9, o valor mínimo de h é 
3, portanto seu conjunto-imagem não contém todos os 
números reais positivos.
As funções f(x), g(x) e h(x) serão mais bem estudadas nos 
próximos capítulos, no entanto é possível resolver essa 
atividade sem conhecer todas as propriedades desses 
tipos de funções apenas traçando os gráficos de cada uma 
delas.
APERFEIÇOAMENTO
 39. (UEM – PR) Considere as funções f, g e h, 
dadas a seguir, que possuem como domínio 
e contradomínio o conjunto dos reais 
f x x� � � �2 1 , g x
x se x
se x
x
� � �
�
�
�
�
� 
-
5
2
1 0
0
2
,
,
 e 
h x x x� � � � �2
2 10 .
Assinale o que for correto.
(01) A função f é decrescente.
X(02) O menor valor da função g ocorre para 
x = 0.
X(04) h(3) = 5.
X(08) A função f é injetora e sobrejetora.
(16) Todo número real positivo pertence à 
imagem de h.
Somatório: 14 (02 + 04 + 08) 
(01) I t A f ã f é t
delas.
LIVRO DE ATIVIDADES 31• •
M
A
T
 40. (IME – RJ) Definimos a função f : da 
seguinte forma.
f
f
f n f n n
f n n n
0 0
1 1
2
2 1
1
1
2
� � �
� � �
� � � � �
�� � �
�
�
�
�
�
�
�
 
 
,
,
 
 
Definimos a função g : da seguinte 
forma: g(n) = f(n) · f(n + 1).
Podemos afirmar que:
a) g é uma função sobrejetora.
b) g é uma função injetora.
c) f é uma função sobrejetora.
d) f é uma função injetora.
Xe) g(2018) tem mais do que 4 divisores 
positivos.
A função f não é injetora, pois existem vários valores de n 
que têm imagem igual a 1:
f(2n) = ... = f(4) = f(2) = f(1) = 1
A função g também não é injetora, pois:
g f f1 1 2 1 1 1� � � � � 
 � � � 
 �
g f f2 2 3 1 1 12� � � � � 
 � � � 
 �
O número 3 pertence ao contradomínio das funções f e 
g, mas não pertence à imagem de f e g, portanto elas não 
são sobrejetoras.
g f f f f
f f
2018 2018 2019 1009 2019
2 504 1 2 100
� � � � � 
 � � � � � 
 � � �
� 
 �� � 
 
 99 1 504 10092 2�� � � 
504 tem mais do que quatro divisores, por exemplo: 1, 
2, 3, 4, 126, 168, 252 e 504. Portanto, a única alternativa 
correta é a e.
I. Incorreta. Não existe x tal que f(x) = 1, logo f não é 
sobrejetora e, consequentemente, não é bijetora.
II. Correta. Como X e Y são inversamente proporcionais, 
então Y k
X
� 
1
, sendo k a constante de proporcionalidade. 
Aumentar 25% em X é equivalente a multiplicar por 1,25. 
Então, chamando de d1 o decréscimo sobre Y, temos:
d Y k
X
k
X
Y d1 1
1
125
0 8
1
0 8 0 8� 
� 
 
 � � �
,
, , ,
Quando multiplicamos um valor por 0,8, significa que 
esse valor está sofrendo um decréscimo de 20%, que é 
equivalente a 0,2.
III. Incorreta. Temos:
A B
A C
A B A C
! � �1 0
" � �1 0
!� � � "� �&' () � � �1 1
4 3
1 3
4 1
,
,
,
Assim, � � !� � � "� �&' ()3 A B A C , mas 
� # !� � � "� �&' ()1 A B A C .
IV. Correta. Vamos verificar se a proporção de 75° para 
360° equivale à mesma proporção entre 120 000 e 25 000:
75
360 120 000
360 9 000 000 25000� � � � �
x
x x
 41. (ACAFE – SC) Analise as afirmações.
I. A função f :
: :3 definida por 
f x x� � � �1 é bijetora.
II. Se X e Y são grandezas inversamente 
proporcionais, se X sofre um acréscimo 
de 25%, então Y sofre um decréscimo de 
20%.
III. Se A � �1 02 3, , B� �1 14 2, e C � �1 11 4, , 
então � �� �� � ��� �&' ()! "3 1, A AB C .
IV. Maria recebeu R$ 120.000,00 de herança. 
Para diversificar seus investimentos, 
aplicou na caderneta de poupança, em 
fundo de renda fixa e na bolsa de valores. 
Se o gráfico de setores a seguir mostra 
a distribuição dos investimentos, então 
Maria aplicou R$ 25.000,00 na bolsa de 
valores.
Assinale a alternativa que contém todas as 
afirmações corretas.
a) I – II
b) II – III
Xc) II – IV
d) III – IV
32 MATEMÁTICA• •
M
A
T
FUNÇÃO COMPOSTA
 42. (CEFET – MG) Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, considere a função f A A: representada no 
gráfico abaixo.
O valor de 
f f f
f f f
1
5
� �� �� �
� �� �� �
 é
a) 
1
5
b) 1
3
Xc) 3 d) 5
Pelo gráfico, f(1) = 2, f(2) = 4,f(3) = 1, f(4) = 6, f(5) = 3 e f(6) = 5. Assim:
f f f
f f f
f f
f f
f
f
1
5
2
3
4
1
6
2
3
� �� �� �
� �� �� �
�
� �� �
� �� � �
� �
� �
� �
 43. (ESPM – SP) Se f(x) = 2x + 1 e g(x) = 3 – x, a função h(x) representada no diagrama abaixo é:
h
gf
Xa) h x
x� � � �2
2
b) h x
x
x
� � � �2
c) h x
x
x
� � �
�2
d) h x
x
x
� � �
�2
e) h x
x
x
� � � �2
2
 
Vamos encontrar a composta g(f(x)) e depois inverter essa função para obter h(x).
g f x x x� �� � � � �� � � � �3 2 1 2 2
A inversa dessa função pode ser encontrada invertendo x com y:
y x x y y x y h x
x x
� � � � � � � � � � � � � � � � �
�
�
�
2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
LIVRO DE ATIVIDADES 33• •
M
A
T
 44. (FUVEST – SP) Se a função f : �� �32 é definida por f x
x
x
� � � �
�
2 1
2
 e a função g : �� �32 é 
definida por g x f f x� � � � �� � , então g(x) é igual a
a) 
x
2
b) x2
c) 2x
d) 2x + 3
Xe) x
Temos g x f f x� � � � �� �, então:
g x f
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
� � � �
�
�
�
	
�
� �

 �
�
�
�
�
�
�
� � 
 �� �
�2 1
2
2 2 1
2
1
2 1
2
2
4 2 1 2
2
2 �� � 
 �� �
�
�
� � �
� � �
� �
1 2 2
2
4 2 2
2 1 2 4
5
5x
x
x x
x x
x
x
 45. (UNICAMP – SP) Seja a função h(x) definida para todo número real x por
h x
se x
x se x
x
� � �
.
� /
�
�
�
��
�
2 1
1 1
1
,
.
Então h(h(h(0))) é igual a
a) 0.
b) 2.
Xc) 4.
d) 8.
Temos h 0 2 2 20 1 1� � � � �� . Então, h h h0 2 2 1 1� �� � � � � � � � e, portanto:
h h h h h h0 2 1 2 2 41 1 2� �� �� � � � �� � � � � � � ��
 46. (UNICAMP – SP) Sabendo que a é um número real, considere a função f(x) = ax + 2, definida para todo 
número real x. Se f(f(1)) = 1 então
Xa) a = –1.
b) a = –1/2.
c) a = 1/2.
d) a = 1.
Com base na lei de formação f(x) = ax + 2, temos f(1) = a + 2. Assim:
f f f a a a a a1 2 2 2 2 22� �� � � �� � � 
 �� � � � � �
Mas f(f(1)) = 1, então:
a a a a a a2 2 2
2 2 1 2 1 0 1 0 1� � � ; � � � ; �� � � � � �
34 MATEMÁTICA• •
M
A
T
FUNÇÃO INVERSA
 47. (ESPM – SP) Nas alternativas abaixo há 2 pares de funções inversas entre si. Assinale aquela que não 
pertence a nenhum desses pares:
a) y x� �2 1
b) y
x
�
�1
2
c) y
x
�
�1
2
Xd) y
x
�
�1
2
e) y x� �1 2
Vamos obter a inversa de y = 2x – 1:
y x x y y x y
x
� � � � � � � � � �
�
2 1 2 1 2 1
1
2
Então, a inversa da função da alternativa a é a da alternativa c.
Encontrando a inversa da função y = 1 – 2x, temos:
y x x y y x y
x
� � � � � � � � � �
�
1 2 1 2 2 1
1
2
Portanto, a inversa da função da alternativa e é a função da alternativa b.
Dessa forma, a única alternativa com uma função que não é inversa de função de outra alternativa é a d.
 48. (UECE) A função f : � �� �3 �� �1 1 , definida por f x
x
x
� � �
�1
, é invertível. Considerando-se g sua 
inversa, o valor positivo de k, para o qual f k g k� �� � � � 3 , é igual a
a) 3 3. .
b) 2 3 .
c) 3. .
Xd) 
3
3
.
.
.
Vamos encontrar a inversa de f(x):
y
x
x
x
y
y
x xy y y xy x y
x
x
�
�
� �
�
� � � � � � � �
�1 1 1
Portanto, g x
x
x
� � �
�1
. Daí:
f k g k
k
k
k
k
k k k k
k k
k k
� � � � � � �
�
�
�
�
�

 �� � � 
 �� �
�� � 
 �� �
�
�
� �
3
1 1
3
1 1
1 1
3
2 kk k
k
k k k k
�
�
�
� � � � � � �
2
2
2 2
1
3
2 3 3 3 2 3 0
As raízes dessa equação de 2.º grau são k
3
3
 ou k � � 3.
Como desejamos obter o valor positivo de k, a resposta é 
3
3
.
LIVRO DE ATIVIDADES 35• •
M
A
T
APROFUNDAMENTO
 49. (UFSC) Em relação às proposições abaixo, é CORRETO afirmar que:
X(01) A função f : �� �3 �� �2 2 definida por f x
x
x
� � � �
�
2 3
2
 satisfaz f f x x� �� � � para todo 
x� �� �2 . Se f
1 é a função inversa da f, então f
1 coincide com a f.
(02) Considere a função g x
x
x
se x
se x
� � � ��
�
�
-
 
3 2
5
0
0
,
,
. O domínio da função g é e o conjunto-imagem é .
(04) Se a função f : é definida por f x
x
� � � �
�
	
�
�
1
2
, então f é decrescente e sobrejetiva.
X(08) Seja A. com A. 2� . Se f A: é uma função estritamente crescente em A, então f é injetiva.
(16) Considere a função definida por f x x a� � � � 2 , sendo a� �
* . Então f a81 9� � � � .
Somatório: 09 (01 + 08) 
(01) Correto. Vamos calcular a função composta de f com ela 
mesma e depois a função inversa de f:
f f x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
� �� � �

 �
�
�
�
	
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
2 2 3
2
3
2 3
2
2
4 6
2
3 6
2
2 3
2
�� �
�
� �
�
� �
2 4
2
7
2
7
2
7
7x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
y
y
xy x y
xy y x y
x
x
f x
�
�
�
� �
�
�
� � � � �
� � � � � �
�
�
� � �
2 3
2
2 3
2
2 2 3
2 3 2
2 3
2
(02) Incorreto. Observando o gráfico da função, percebemos que 
de –2 a 0 não há nenhum x correspondente, ou seja, os valores do 
intervalo �1 �2 0, não pertencem à imagem da função.
 –3 –2 –1 1 2 3 4
5
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
–4
–5
(04) Incorreto. Observando o gráfico da função, percebemos que 
essa função é decrescente e não sobrejetiva (não apresenta imagem 
para os valores de y negativos):
1
2
3
4
5
6
y
x
−1
11−11−22−333 2 33 4 55 6 770
(08) Correto. Se a função é estritamente crescente, então para cada 
valor de y da imagem existe um único valor de x correspondente.
(16) Incorreto. Substituindo o valor 81 no lugar do x da função f, 
temos: f a a81 81 92� � � � 2 � .
36 MATEMÁTICA• •
M
A
T
CONCEITO DE FUNÇÃO AFIM
FUNÇÃO AFIM 3
CAPÍTULO
GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM
O gráfico da função afim pode ser construído por meio de 
Uma função afim é toda função f : → que pode ser escrita na forma f(x) = ax + b, com a e b ∈ .
Uma função é dita constante quando a = 0, ou seja, é independente de x, definida por f(x) = b.
Uma função polinomial do 1.º grau é toda função f : → definida por f(x) = ax + b, sendo a e b ≠
A função afim é linear quando f(0) = 0. Essa função apresenta b = 0.
Quando uma função linear apresenta a = 1, temos a função identidade, que é definida por f(x) = x.
•••• elele ababa ororo ararar aa ttababa elela a cocomm pep lolo mmennosos dois pares ordenados;
•••• deesenhar os pares ordenados no plano cartesiano;
••• trtraçaçararar aa rreteta a quque e liligaga eesss eses ponontos.
y
x–5–5555 –4–4–44 –3–3 –33 –2 –2 –1–1 – 11 2 2 3 3 4 4 55 66
66
55
44
33
2222
11
0
–1–1
–2–2–2
–3–3–3–3
–4–––4
–5–5–5––5––
Uma função é dita crescente 
quando para cada valor de x1 
menor do que um valor de x2 
1 < 2
a
A função decrescente é 
aquela tal que se x1 < 2 temos 
1 > 2
a 
O zero ou a raiz de uma 
função afim é aquele valor 
x que satisfaz 
x em que a reta intersecta o eixo 
x
o par ordenado ��
�
	
�
�
b
a
, 0
de uma função intersecta o eixo 
y
sempre intersecta o eixo das 
ordenadas em b
LIVRO DE ATIVIDADES 37• •
M
A
T
TAXA DE VARIAÇÃO
A taxa de variação y aumenta ou diminui em relação a um 
x
++
––
xx
– b
a
++
––
xxxxx
– b
a
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO AFIM
Realizamos o estudo do sinal
O valor cobrado por Renato, considerando t o número de 
horas de festa, é dado por:
f t t� � � �150 20
O valor cobrado por Raimundo é:
g t t� � � �120 25
Momento em que a imagem das funções é igual:
150 20 120 25
5 30
6
� � �
�
�
t t
t
t
Portanto, para 6 horas de festa, os valores são os 
mesmos. Abaixo de 6 horas, o valor cobrado por Renato 
é mais alto, e a partir de 6 horas o valor cobrado por 
Raimundo é mais alto.
•••• ElElElElE a a a aaa é é é é cococonsnsnstatatantntnteee papapararaa qqquaualqlqueuer r inintetervrvalalo o dodo
dodododod mímímíninin o.o.o
•••• FuFuFunçnçnçãoãoão cccrererescscscenenentetete: f �� ��x // 00 para x
b
a
/ � e 
ff ��� ���xxx --- 000 ppparara aaa xx
bbb
aa
- �- .
••• Pode ser calculada por a
y
x
yy
xx
�
�
�
2 1y
2 1xx
, ,
conhecidos os pontos A� �x y
1 1
y e BB�� ���x yy2 22 22yy .
• Funçnçãoão ddececrerescs enentete: ff �� ��xx // 00 pppparararaaa xxxx
bbbb
aaaa
- �- �- � eee 
f �� ��xx -- 00 ppararaa xx
bb
aa
/ �/ � .
CONCEITO DE FUNÇÃO AFIM
 1. (IFCE) Renato trabalha contratando bandas de 
forró para animar festas nos finais de semana, 
cobrando uma taxa fixa de R$ 150,00, mais 
R$ 20,00 por hora. Raimundo,na mesma função, 
cobra uma taxa fixa de R$ 120,00, mais R$ 25,00 
por hora. O tempo máximo para contratarmos 
a festa de Raimundo, de tal forma que não seja 
mais cara que a de Renato será, em horas, igual a
Xa) 6.
b) 5.
c) 4.
d) 3.
e) 2.
ATIVIDADES
Raimundo é mais alto.
38 MATEMÁTICA• •
M
A
T
A função que define esse problema é:
f x x� � � �3 150,
Como o valor pago foi R$ 48,00, temos:
3 150 48 150 45
45
15
30� � � � � � �, ,
,
x x x
Logo, a distância da casa de Rafael ao cinema é de 30 km.
Considerando b a parte fixa do salário, em abril, o salário 
de Carlos foi:
1179 0 02 9 450 1179 189 990� 
 � � � � �, b b
Então, a função que descreve o salário de Carlos é 
f x x� � � �0 02 990, , em que x é o total de suas vendas.
Para o mês de maio, portanto, temos:
1 215 0 02 990 0 02 225 11 250� 
 � � � � �, ,x x x
Dessa forma, suas vendas no mês de maio ficaram entre 
R$ 11.220,00 e R$ 11.260,00.
As funções que representam o preço de cada salão são:
SA(x) = 1 000 + 5x
SB(x) = 200 + 10x
Para que seja indiferente a escolha do salão, temos que 
igualar as equações:
1 000 + 5x = 200 + 10x
5x = 800
x = 160
Como a capacidade do salão é para 300 pessoas, o eixo x 
está definido de 0 a 300. Os eixos estão fora de escala:
160 300
200
1000
2500
SB
SA
3200
y
x
Para mais do que 160 pessoas (resultado do item a), o 
salão A deve ser escolhido.
A
f
C
3
L
Considerando b a parte fixa do salário em abril o salárioC
d
1
E
f
P
1
D
R
C
Como a capacidade do salão é para 300 pessoas o eixo x
alão A deve ser escolhido.
CC
e
P
s
As funções que representam o preço de cada salão são:A
S
S
P
ig
1
5
x 
A
 2. (IFCE) Rafael chamou um Uber para ir ao 
cinema com sua namorada, mas a atendente 
informou que o valor final a ser pago é 
compreendido por uma parcela fixa de R$ 3,00, 
mais R$ 1,50 cobrado por quilômetro rodado. 
Sabendo que Rafael pagou R$ 48,00, a distância 
da casa de Rafael para o cinema, em km, é
a) 40.
b) 50.
Xc) 30.
d) 60.
e) 70.
 3. (UECE) Carlos é vendedor em uma pequena 
empresa comercial. Seu salário mensal é 
a soma de uma parte fixa com uma parte 
variável. A parte variável corresponde a 2% 
do valor alcançado pelas vendas no mês. No 
mês de abril, as vendas de Carlos totalizaram 
R$ 9.450,00, o que lhe rendeu um salário de 
R$ 1.179,00. Se o salário de Carlos em maio foi 
de R$ 1.215,00, então, o total de suas vendas 
neste mês ficou entre
a) R$ 11.300,00 e R$ 11.340,00.
Xb) R$ 11.220,00 e R$ 11.260,00.
c) R$ 11.260,00 e R$ 11.300,00.
d) R$ 11.180,00 e R$ 11.220,00.
GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM
 4. (FGV – SP) Para celebrar uma festa, o centro 
acadêmico de uma faculdade escolhe entre dois 
lugares cujos preços são:
Salão A
R$ 1.000,00 mais 
R$ 5,00 por pessoa
Salão B
R$ 200,00 mais 
R$ 10,00 por pessoa
A capacidade máxima de ambos os lugares é de 
300 pessoas. O centro não tem ainda o número 
de pessoas que irá à festa.
a) Para que número de pessoas é indiferente 
o salão a ser escolhido pelo centro 
acadêmico?
b) Represente graficamente em um mesmo 
par de eixos cada uma das duas funções 
que expressa o preço de cada salão em 
função do número de pessoas que irá à 
festa. Que salão deve ser escolhido caso o 
número de pessoas presentes na festa seja 
maior do que o número obtido no item a)?
LIVRO DE ATIVIDADES 39• •
M
A
T
Observando graficamente, temos:
C
BA
0-2 -1 1 2 3 4 x
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
Os pontos de intersecção e vértices do triângulo são 
(0, 0), (3, 0) e (3, 6).
Logo, a área desse triângulo é:
3 6
2
18
2
9
� � u a. .
O
O
(0
L
 5. (CEFET – MG) Considere o gráfico da função 
real f x x� � � � �2 4 , representado no plano 
cartesiano a seguir.
A função afim, g x� �, cujo gráfico é simétrico 
ao dessa função f x� � em relação ao eixo y, é 
dada por
Xa) g x x� � � �2 4
b) g x x� � � �2 4
c) g x x� � � � �2 4
d) g x x� � � � �4 2
A reta simétrica à apresentada passa pelos pontos (–2, 0) 
e (0, 4). Determinando o coeficiente angular dessa reta, 
temos:
m �
�
� �� �
� �
4 0
0 2
4
2
2
O coeficiente linear é 4, pois é o valor em que a reta 
intersecta o eixo y. Assim, g x x� � � �2 4.
 6. (EEAR – SP) A função que corresponde ao 
gráfico a seguir é f x ax b� � � � , em que o 
valor de a é
 7. (UECE) No plano, com o sistema de 
coordenadas cartesianas usual, seja X a região 
limitada pelo gráfico da função f : , 
f x x� � �2 , pela reta x 3 e pelo eixo x 
(eixo horizontal). Assim, pode-se afirmar 
corretamente que a medida da área da região X 
é igual a
Xa) 9 u.a.
b) 12 u.a.
c) 8 u.a.
d) 10 u.a.
Temos b = 6, o ponto em que a reta intersecta o eixo y. 
Além disso, temos f(3) = 0. Assim:
0 3 6 3 6 2� 
 � � � � � � �a a a
y
x3
6
a) 3
b) 2
Xc) –2
d) –1
40 MATEMÁTICA• •
M
A
T
a) Incorreto. Dois pontos da função são (0, 3) e (1, 5), então o 
coeficiente angular é:
5 3
1 0
2
1
2
�
�
� �
b) Incorreto. Para que a reta seja paralela, os coeficientes 
angulares devem ser iguais. O coeficiente angular de f é 2 e o 
de h é 1, então as retas não são paralelas. Podemos também 
verificar o item b pelo gráfico de f e h. Como o coeficiente 
angular é 2 e o ponto em que a reta cruza o eixo y é 3, a função 
f é f t t� � � �2 3.
h(t)
f(t)
0−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
x
y
−1
−2
1
2
3
4
5
6
7
8
c) Incorreto. Pelo gráfico, percebemos que as retas não são 
perpendiculares:
p(t) f(t)
0−4−5 −3 −2 −1 1 2 3 4 x
−1
−2
1
2
3
4
5
6
7
y
Para que fossem perpendiculares, o coeficiente angular de uma 
das funções deveria ser o oposto do inverso do coeficiente 
angular da outra função, o que não é o caso.
d) Correto. Para verificar se f e g se intersectam no ponto (2, 7), 
vamos igualar as equações:
2 3 5 2t t t� � � � �
f t t f� � � � � � � � 
 � �2 3 2 2 2 3 7
Portanto, as funções se intersectam em (2, 7).
e) Incorreto. Calculando f 3� �, temos:
f 3 2 3 3 9 0� � � 
 � � 2
Incorreto Dois pontos da função são (0 3) e (1 5) então o c) Incorreto Pelo gráfico percebemos que as retas não são
 é
a)a) 
co
b) 
an
de
ve
an
f
APERFEIÇOAMENTO
 8. (UFMS) O gráfico da função f : � 3 a seguir mostra o faturamento f t� � , em milhares de reais, de 
um restaurante, em função do tempo (t), desde o dia de sua inauguração:
APERFFEIÇÇÇÇOAMENTOAAPPERFFFFEIÇÇOAMENNNNTTTTOAPPEEERRFFEEIÇOOAAMMENNTTTOO
É correto afirmar que:
a) o coeficiente angular da função é 3.
b) o gráfico da função f é paralelo ao gráfico da função h : , h t t� � � �3.
c) o gráfico da função f é perpendicular ao gráfico da função p: , p t t� � � � �2 2.
Xd) o gráfico da função f intercepta o gráfico da função g : , g x t� � � �5 no ponto (2, 7).
e) f 3 0� � � .
LIVRO DE ATIVIDADES 41• •
M
A
T
APROFUNDAMENTO
 10. (FAMERP – SP) Um animal, submetido à ação de uma droga experimental, teve sua massa corporal 
registrada nos sete primeiros meses de vida. Os sete pontos destacados no gráfico mostram esses 
registros e a reta indica a tendência de evolução da massa corporal em animais que não tenham sido 
submetidos à ação da droga experimental. Sabe-se que houve correlação perfeita entre os registros 
coletados no experimento e a reta apenas no 1.° e no 3.° mês.
 9. ENEM Um reservatório é abastecido com água por uma torneira e um ralo faz a drenagem da água desse 
reservatório. Os gráficos representam as vazões Q, em litro por minuto, do volume de água que entra 
no reservatório pela torneira e do volume que sai pelo ralo, em função do tempo t, em minuto.
C6 H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
Em qual intervalo de tempo, em minuto, o reservatório tem uma vazão constante de enchimento?
a) De 0 a 10. Xb) De 5 a 10. c) De 5 a 15. d) De 15 a 25. e) De 0 a 25.
20
5
20
5
0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25
Q (L/min) Q (L/min)
Torneira
t (min) t (min)
Ralo
Para que a vazão de enchimento do reservatório seja constante, as vazões de entrada e saída devem ser constantes. Isso ocorre no 
intervalo de 5 a 10 minutos.
Considerando os pontos (1, 1) e (3, 2) da reta, vamos encontrar 
sua