2-Modelos_de_Thvenin_e_de_Norton

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Modelos de Thévenin e de Norton 
 Modelo de Thévenin 
 Um modelo melhor do que o modelo ideal para uma fonte de tensão real é o modelo de 
Thévenin,1 que leva em consideração perdas por processos dissipativos no interior da fonte, 
como se tais perdas fossem uma resistência ôhmica interna. Na prática, este modelo é mais 
adequado para fontes com resistência interna de valor relativamente baixo. 
 A figura abaixo ilustra uma fonte equivalente de Thévenin para uma fonte de tensão. A 
tensão 𝑉𝑇 é a força eletromotriz da fonte, ou seja, a tensão que aparece entre os terminais da 
fonte, 𝑣, na ausência de corrente, podendo ser uma tensão contínua (invariante no tempo) ou 
a amplitude de uma tensão alternada; quanto maior a corrente 𝑖, menor a tensão terminal 𝑣; 
𝑅𝑇 é a resistência interna da fonte, dita resistência equivalente de Thévenin. 
 
 
i 
 
+ 
− 
VT v 
 
+ 
− 
RT 
 
 Modelo de Norton 
 Um modelo melhor do que uma fonte de corrente ideal para uma fonte de corrente real 
é o modelo de Norton, que leva em consideração perdas por processos dissipativos no interior 
da fonte, como se tais perdas fossem uma resistência ôhmica interna. Na prática, este modelo 
é mais adequado quando a resistência interna da fonte tiver um valor relativamente elevado. 
 A figura abaixo ilustra uma fonte equivalente de Norton para uma fonte de corrente. A 
corrente 𝐼𝑁 é a corrente de Norton da fonte, podendo ser uma corrente contínua (invariante no 
tempo) ou a amplitude de uma corrente alternada; 𝑅𝑁 é a resistência interna da fonte, dita 
resistência equivalente de Norton. Na prática, fontes de Norton são aplicadas principalmente 
nos casos de corrente contínua. 
 
RN IN 
 
 Equivalência Thévenin-Norton 
 É simples a interconversão entre uma fonte de Thévenin e uma de Norton. A resistência 
equivalente de Thévenin (uma resistência de curto-circuito) é igual à resistência de Norton (uma 
resistência de circuito aberto): 
𝑅𝑇 = 𝑅𝑁 
 
1 Charles-Léon Thévenin Léon (1857-1926): engenheiro telegráfico francês, formado (1876) pela Escola Politécnica de Paris; foi 
inspetor de ensino na École Superieure (1882); descobriu (1883) o teorema ora com seu nome, publicado em nota à Academia de 
Ciências da França – antecipado (1853) por Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz –; lecionou no curso de Mecânica do Instituto 
Agronômico Nacional, foi diretor da Escola de Engenharia de Telégrafo (desde 1896) e engenheiro chefe das oficinas de telégrafo 
(de 1901 até se aposentar, 1914). O teorema dual do de Thévenin deve-se (1926) a Edward L. Norton. 
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A corrente de Norton é a corrente sobre a resistência do modelo de Norton, em circuito aberto 
ou a corrente de Thévenin em curto-cirtuito no modelo de Thévenin: 
𝐼𝑁 =
𝑉𝑇
𝑅𝑇
 
Fontes Vinculadas 
 Fontes controladas, dependentes ou vinculadas são modelos para comportamentos de 
certos circuitos, geralmente eletrônicos. Não são fontes independentes e dependem de alguma 
forma de alimentação no circuito. Sua operação depende de alguma grandeza elétrica, tensão 
ou corrente, em uma parte do circuito e geram tensão ou corrente em outra parte. 
Fonte de corrente vinculada a corrente 
 Trata-se de um trecho de circuito que garante uma corrente, em um ramo, dependente 
de uma corrente 𝑖𝑘 em outro ramo do circuito. A figura abaixo ilustra o símbolo de uma fonte 
de corrente vinculada a corrente. 
 
 ik 
 
 A corrente gerada 𝑖 é dada por: 
𝑖 = 𝛽𝑖𝑘 
onde 𝛽 é uma quantidade adimensional, denominada ganho de corrente. 
 Um exemplo é um transistor bipolar, no qual a corrente por um terminal, denominado 
coletor, é proporcional à corrente por um outro terminal, denominado base. Valores típicos do 
ganho 𝛽 em transistores bipolares é entre 50 e 200. 
Fonte de corrente vinculada a tensão 
 Trata-se de um trecho de circuito que garante uma corrente, em um ramo, dependente 
de uma tensão 𝑣𝐴𝐵 sobre outro ramo do circuito. A figura abaixo ilustra o símbolo de uma fonte 
de corrente vinculada a tensão. 
 
gm vAB 
 
 A corrente gerada 𝑖 é dada por: 
𝑖 = 𝑔𝑚𝑣𝐴𝐵 
onde 𝑔𝑚 é uma quantidade com dimensões de condutância (inverso de resistência), medida em 
siemens, símbolo S, denominada transcondutância. 
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 Um exemplo é um transistor de efeito de campo, no qual a corrente através de dois 
terminais, denominados fonte e dreno, é proporcional à tensão sobre um outro terminal, 
denominado porta. 
Fonte de tensão vinculada a tensão 
 Trata-se de um trecho de circuito que garante uma tensão, sobre um ramo, dependente 
de outra tensão 𝑣𝐴𝐵 em outro ramo do circuito. A figura abaixo ilustra o símbolo de uma fonte 
de tensão vinculada a tensão. 
 
 
+ 
−  vAB 
 
 A tensão gerada 𝑣 é dada por: 
𝑣 =  𝑣𝐴𝐵 
onde  é uma quantidade adimensional, denominada ganho de tensão. Um exemplo é um 
amplificador operacional. 
Cargas e Correntes 
 A primeira teoria de condução metálica deve-se a Paul Drude.2 
 Por definição, corrente elétrica é a variação da quantidade de carga 𝑞 = 𝑞(𝑡) que 
atravessa um bipolo, ou ramo de circuito, por unidade de tempo: 
𝑖 = 𝑖(𝑡) =
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
 
 Reciprocamente, a quantidade de carga que atravessa um bipolo entre um instante 
inicial 𝑡1 e um instante final 𝑡2 expressa-se por: 
𝑞 = ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
𝑡2
𝑡1
 
Exemplo. Se um bipolo for atravessado por uma corrente que varia no tempo conforme: 
𝑖(𝑡) = {
0 𝑡 < 0
100 mA  0 < 𝑡 < 100 ms
0 𝑡 > 100 ms
} 
pode-se avaliar como segue a quantidade de carga que atravessa o bipolo, conforme os três 
intervalos de tempo acima. 
(a) 𝑡 < 0 ∴ 𝑞(𝑡) = ∫ 0 𝑑𝑡
0
−∞
= 0. Nenhuma carga atravessou o bipolo. 
 
2 Paul Karl Ludwig Drude (1863 –1906): físico alemão. Pioneiro (final do século XIX) no desenvolvimento da elipsometria. Propôs 
(1900) o tratamento das condutividades elétrica e térmica dos metais em termos de elétrons livres, regidos pela Estatística de 
Maxwell e Boltzmann, desenvolvendo sua teoria dos metais em: P. Drude, Ann. Physik 1 (1900) 566, 3, 369. Dos esforços de Drude 
e Lorentz (1909), surgiu a bem-sucedida teoria de Drude e Lorentz. 
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(b) 0 ≤ 𝑡 ≤ 100 ms ∴ 𝑞(𝑡) = ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
0
= ∫ 100 × 10−3𝑑𝑡
𝑡
0
= 0,100𝑡. A quantidade de carga 
que atravessa o bipolo é proporcional ao tempo. 
(c) Carga total que atravessa o bipolo. 𝑞(𝑡) = ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
100 ms
0
= 0,010 C. A quantidade de carga 
total que atravessa o bipolo é de 10 mC. 
 Em resumo: 
𝑞(𝑡) = {
0 𝑡 < 0
0,100𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 100 ms
10 mC 𝑡 > 100 ms
} 
Teorema de Tellegen 
 Este teorema expressa o princípio de conservação de potência aplicado a circuitos 
elétricos. 
 Enunciado. A somatória das potências fornecidas por fontes independentes a um 
circuito é igual à somatória das potências dissipadas e/ou armazenadas nos dispositivos passivos 
em qualquer instante de tempo. 
Equivalente de Thévenin 
 Sejam dois circuitos, A e B, interligados por dois terminais, a e b, submetidos às 
seguintes condições: 
(a) O circuito A é linear, ou seja, constituído por elementos lineares: resistores ôhmicos, 
capacitores e indutores lineares, fontes independentes e fontes vinculadas, mas dependentes 
apenas de elementos do próprio circuito A. 
(b) O circuito B pode conter elementos não-lineares, fontes independentes e fontes vinculadas, 
dependentes apenas de elementos do próprio circuito B. 
Neste caso, vale o teorema de Thévenin. O circuito A pode ser modelado como equivalente a 
associação em série entre uma fonte de tensão e uma impedância – um bipolo equivalente a 
alguma associação entre resistor, capacitor e indutor. No caso mais simples, a impedância é uma 
resistência, como na fonte de tensão de Thévenin. 
 Para calcular o equivalente de Thévenin de um circuito como o A acima, no caso mais 
simples, basta obter a resistência equivalente de Thévenin, 𝑅𝑇 (no caso geral, a impedância 
equivalente de Thévenin, 𝑍𝑇), e a tensão equivalente de Thévenin, 𝑉𝑇, como descrito abaixo.Em ambos os casos, os terminais do circuito A ficam em aberto. 
 Impedância equivalente de Thévenin 
 Para achar a impedância equivalente de Thévenin do circuito A, anulam-se suas fontes 
independentes, a saber: substitui-se qualquer fonte de tensão por um curto circuito e substitui-
se qualquer fonte de corrente por um circuito aberto. Nestas condições, diz-se que o circuito 
está “morto”. A impedância “vista” pelos terminais de saída é a impedância equivalente de 
Thévenin. 
 Tensão equivalente de Thévenin 
 Para achar a tensão equivalente de Thévenin do circuito A, o circuito deve estar vivo, ou 
seja suas fontes independentes voltam ao circuito. 
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 A tensão “vista” pelos terminais de saída é a tensão equivalente de Thévenin. 
 Seguem dois exemplos de equivalente de Thévenin, ambos em circuitos resistivos 
simples, correspondentes ao circuito A. 
Exemplo 1. O circuito abaixo é um divisor resistivo. A tensão entre os terminais de saída, a e b, 
é igual à tensão 𝑣2 sobre o resistor 𝑅2. 
 
 
+ 
− 
R2 
R1 
vg v2 
 
+ 
− 
a 
b 
 
 Com a rede morta, anula-se a fonte de tensão 𝑣𝑔, substituída por um curto-circuito. 
Assim, a resistência vista pelos terminais a e b em aberto é uma associação paralela entre os 
resistores 𝑅1 e 𝑅2. Esta é a resistência equivalente de Thévenin, 𝑅𝑇: 
𝑅𝑇 = 𝑅1//𝑅2 =
𝑅1𝑅2
𝑅1+𝑅2
 
 Com a rede viva, a tensão vista sobre os terminais a e b é a tensão 𝑣2 sobre o resistor 
𝑅2. Como os terminais a e b continuam abertos, a corrente que percorre a associação série entre 
𝑅1 e 𝑅2 é dada por: 
𝑖 =
𝑣𝑔
𝑅1 + 𝑅2
 
E pela lei de Ohm, a tensão 𝑣2 sobre 𝑅2 é a tensão equivalente de Thévenin 𝑣𝑇: 
𝑣𝑇 = 𝑣2 = 𝑅2𝑖 = 𝑅2
𝑣𝑔
𝑅1 + 𝑅2
∴ 𝑣𝑇 = 𝑣2 =
𝑅2𝑣𝑔
𝑅1 + 𝑅2
 
 Há um método mais simples para obter, por inspeção, a tensão de saída sobre a e b é 
multiplicar o valor da tensão da fonte independente pelo valor da resistência sobre a qual se 
mede a tensão de saída 𝑣2 e se divide pela resistência equivalente total no circuito. Diretamente: 
𝑣𝑇 = 𝑣2 =
𝑅2𝑣𝑔
𝑅1 + 𝑅2
 
Exemplo 2. O circuito abaixo também é um divisor resistivo, com uma topologia diferente da do 
circuito anterior. Aplica-se a este caso a análise para obter a resistência e a tensão equivalentes 
de Thévenin deste circuito. 
 
 
+ 
− 
R2 
R1 
vg vab 
 
+ 
− 
R3 
a 
b 
 
 Vale notar que os resistores 𝑅1, 𝑅2 e 𝑅3 não estão associados em série nem em paralelo, 
mas em uma topologia denominada rede em T. Ao anular-se a fonte de tensão 𝑣𝑔, substituída 
por um curto-circuito, a resistência equivalente de Thévenin, 𝑅𝑇, é a resistência vista pelos 
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terminais a e b em aberto, uma associação paralela entre os resistores 𝑅1 e 𝑅2, com esta 
associação em série com o resistor 𝑅3. Ou seja: 
𝑅𝑇 = 𝑅1//𝑅2 + 𝑅3 =
𝑅1𝑅2
𝑅1+𝑅2
+ 𝑅3 
 A tensão entre os terminais de saída, a e b, é igual à tensão 𝑣2 sobre o resistor 𝑅2, como 
no exemplo anterior, pois, com os terminais a e b em aberto, não há corrente através do resistor 
𝑅3, portanto não há queda de tensão sobre este resistor. Assim, neste caso, novamente a tensão 
equivalente de Thévenin 𝑣𝑇 é igual a: 
𝑣𝑇 = 𝑣2 =
𝑅2𝑣𝑔
𝑅1 + 𝑅2
 
Equivalente de Thévenin – Conclusão 
 Toda a explanação acima poderia ser aplicada a um circuito equivalente de Norton, mas 
na prática tal modelo não tem tanta importância. Ademais, pode-se aplicar a interconversão de 
Thévenin-Norton, para obter um circuito só com fontes independentes de Thévenin. 
 Os exemplos acima representam os casos mais importantes na prática, tanto em 
circuitos elétricos quanto em circuitos eletrônicos. 
 Os exemplos vistos foram ambos resistivos, por duas razões principais. Em primeiro 
lugar, porque novamente é o caso de maior interesse prático e solução essencial em circuitos 
de polarização para circuitos eletrônicos. Em segundo lugar, a adaptação para circuitos com 
capacitores e/ou indutores é simples, a partir dos circuitos resistivos. 
 Circuitos reativos – isto é, circuitos com capacitores e/ou indutores – caracterizam-se 
por uma impedância equivalente. Em lugar de resistência, circuitos reativos apresentam 
reatâncias. Estas dependem da frequência elétrica angular ω presente no circuito. 
 A reatância capacitiva, 𝑋𝐶, é inversamente proporcional à frequência angular 𝜔: 
𝑋𝐶 =
1
𝜔𝐶
 
Ou seja, em corrente contínua o capacitor tende a comportar-se como circuito aberto e, em 
frequência tendendo a infinito, o capacitor tende a comportar-se como um curto-circuito. 
 A reatância indutiva, 𝑋𝐿, é proporcional à frequência anular: 
𝑋𝐿 = 𝜔𝐿 
Ou seja, em corrente contínua o indutor tende a comportar-se como um curto-circuito e, em 
frequência tendendo a infinito, o capacitor tende a comportar-se como circuito aberto. 
 Circuitos reativos serão estudados adiante, neste curso.