Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Primeira Avaliação de Cálculo Diferencial e Integral I – Bioprocessos Professor Telles Data 23-04-2013 Orientações: Duração: 1h30 – Sem consulta – Sem uso de calculadoras – Manter o celular desligado RESPONDA AS QUESTÕES NA FOLHA PAUTADA. DEVOLVA A FOLHA DE QUESTÕES AO PROFESSOR NO FINAL DA PROVA ATENÇÃO: AS QUESTÕES DA PROVA SE DISTRIBUEM POR DUAS PÁGINAS. Questão 1. (Valor 10 pontos) Seja dada uma função f: D , onde D .. Dê a definição de Resolução: Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o numero a, exceto possivelmente o próprio a. Dizemos então que o limite de f(x) quando x tende a a é L, e escrevemos se para todo o número Ɛ > 0 houver um número δ > 0 tal que se 0 < | x – a | < δ então | f(x) – L | < Ɛ Questão 2. Calcule os limites: a. (Valor 10 pontos) Resolução: O limite acima representado é uma indeterminação que pode ser resolvida aplicando a regra de L'Hospital. Sendo assim, temos: Usando as propriedades da multiplicação por constante, obtemos: Agora, devemos lembrar que o limite dos quocientes é o quociente dos limites: E que o limite dos produtos é o produto dos limites: Temos uma função continua, logo, tomando a igualdade cos (0) = 1; e assumindo que qualquer número multiplicado por 0 resulta em 0, temos a seguinte equação: b. (Valor 10 pontos) Resolução: Aplicando as propriedades dos limites, sabemos que o limite do quociente é o quociente dos limites. Abrindo o polinômio, temos: Logo, temos o seguinte limite: = c. (Valor 10 pontos) Para calcular esse limite, racionalizamos a equação e temos: Obtendo então assim: Usando a regra de multiplicação por contante, extraímos a fração e temos: ou E já que o limite do quociente é o quociente dos limites: E o limite das somas é a soma dos limites: Simplificando a radiação: Obtemos o seguinte limite: Assim , caímos em uma indeterminação do tipo ∞/∞ e aplicamos L'Hospital: E caímos em uma indeterminação do tipo ∞/∞ e aplicamos L'Hospital: E por fim, temos: Questão 3. (Valor 20 pontos) Encontre k ., se possível, de forma que a função f:[0, ∞[→., dada por Seja continua no intervalo: [0, ∞[ Resolução: Para que uma função seja continua ela deve atender a três condições de existência. I. f é definida em um intervalo aberto contendo a; II. existe. III. Quando o =f(a). Para garantir que a nossa função será continua quando atribuirmos um valor a k, temos que garantir que as três condições sejam contempladas. A primeira, temos o intervalo aberto necessário. Para a segunda condição, precisamos analizar a função, sabemos que o denominador das funções não pode ser 0, logo k de ou de . Outra condição que deve ser contemplada é que o limite de f(k) deve existir, logo, temos x²-2=2x+1 ou x² – 2x – 3 = 0 Já que a função não está definida para números menores que 0, assumimos que a constante k=3 Questão 4. (Valor 10 pontos) Verifique se a função é contínua em x=2. Resolução: Para que uma função seja continua ela deve atender a três condições de existência. I. f é definida em um intervalo aberto contendo a; II. existe. III. Quando o =f(a). A função está definida em 2, logo atende a primeira condição, o limite de f(2) existe, seu valor é 24, porém, f(2), sendo assim, a função não é contínua. Cálculo do limite de Pela regra da multiplicação de constantes obtemos: 3 Abrindo o polinômio : 3 Assim, temos: 3, sabemos que todo o polinômio é continuo, logo =f(a). Facilmente deduzimos que Questão 5. Seja dada a função g: → com a. (Valor 10 pontos) Encontre as assíntotas horizontais do gráfico da função. Resolução: Para calcular assíntotas horizontais, devemos calcular o limite no infinito, sendo assim: Já que temos uma indeterminação do tipo ∞/∞, aplicamos a regra de L'Hospital e obtemos: Novamente em uma indeterminação, aplicamos L'Hopital novamente Então, uma das assíntotas, quando x tende a -∞ é igual a -5. Repetimos o processo, mas dessa vez tendendo a menos infinito, caindo na mesma indeterminação e obtemos o mesmo resultado. a. b. (Valor 10 pontos) Encontre as assíntotas horizontais do gráfico da função. Resolução: Sabemos que uma assíntota vertical é resultado de um limite tendendo a infinito, em uma função racional, que é o que temos, podemos encontrar esses limites no momento que o denominador tende a 0. No casso da nossa função, encontramos essas assíntotas no ponto x = 3. Para sabermos a equação da reta, calculamos esses limites: Esse limite não existe, mas podemos calcular os limites laterais: A partir do esboço do gráfico vemos que tende a mais infinito em 3+ e menos infinito em 3-
Compartilhar