capitulo 2 ARMAZENADORES TÉRMICOS DE TIPO LEITO FIXO

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CAPITULO 2 
ARMAZENADORES TÉRMICOS DE TIPO LEITO FIXO 
2.1 INTRODUÇÃO 
Muitos processos industriais envolvem interação entre um ou mais fluidos e um ou mais sólidos. Para 
conseguir então uma maior razão de área de superfície ao volume, os fluidos podem ser passados 
através de um leito do sólido, aumentando assim as taxas de troca de calor. A taxa de transferência de 
calor para o sólido num leito fixo é uma função das propriedades físicas do fluido e do sólido, da 
temperatura local do fluido, da superfície do sólido, da taxa do fluxo do fluido e finalmente das 
características do leito. O leito de sólidos pode ser arranjado numa forma ordenada ou em forma 
aleatória. 
O arranjo aleatório é o mais comum. As características do leito fixo dependem da forma e orientação do 
material sólido e também da razão de vazio do leito. A razão de vazio ou porosidade é a fração do 
volume total ocupado pelo gás (ε ). O mecanismo pelo qual acontece a troca de calor entre o fluido e os 
sólidos é muito complicado. Esta complicação é provocada pela natureza recirculante fluido em 
escoamento e também pelos efeitos de condução inter e intra partículas. 
A resistência fundamental da troca de calor é localizada na interface entre fluido e sólido e inversamente 
proporcional ao coeficiente convectivo de troca de calor (h). A temperatura da superfície do sólido 
depende da condução transiente da troca de calor da superfície para o interior do sólido. É também 
dependente com grau menor da condução térmica interpartículas quando as partículas estão em contato 
físico entre elas. A transferência de calor pelo ou para s paredes do recipiente (tanque) também 
influenciam o desempenho transiente do leito fixo. 
Um outro fator que influencia a taxa de troca de calor é o efeito da mistura no fluido provocado pelas 
esteiras causadas pelo movimento do fluido entre as partículas sólidas. Este efeito é chamado dispersão. 
Em resumo, podemos dizer que o uso do leito fixo como armazenador de calor oferece a vantagem de 
alta taxa de troca de calor em comparação aos trocadores convencionais por causa de alta razão de 
superfície ao volume. Entretanto, isto provoca uma queda muito grande na pressão e, portanto, custo 
operacional muito elevado. 
2.2 Modelos Matemáticos 
Três modelos para determinação da resposta transiente de um armazenador tipo leito fixo serão 
apresentados. O primeiro é baseado na suposição que a temperatura do fluido e material de 
armazenamento sejam iguais a qualquer posição axial. Para o segundo, considere o material de 
armazenamento e o fluxo do fluido separadamente com efeitos de dispersão e influencia interpartículas 
desprezados. Para o terceiro modelo considere essas duas influências. 
1. Resistência térmica desprezível 
Se a condutividade térmica do material leito e o coeficiente convectivo de troca de calor são grandes, 
será oferecida pequena resistência para a troca de calor entre o fluido e o material do leito. A temperatura 
do fluido e do leito será igual. Um balanço energético que inclui ambos, o fluido e o material de 
armazenamento, pode ser escrito para o leito fixo. 
Assumindo que: 
1. Não há troca de calor transversal no leito, isto é, as paredes do leito são consideradas perfeitamente 
isoladas; 
2. Propriedades térmico-físicas constantes; 
3. Taxa de acumulação de energia no fluido é pequena; 
4. Temperatura inicial no leito é uniforme to; 
5. Efeitos de radiação são desprezíveis. 
A equação de energia resultante: 
( )
2
2
1
x
t
k
t
Ec
x
t
cv m
h
mffff
∂
∂
=
∂
∂
−+
∂
∂
τ
ρρ (2.1) 
As seguintes variáveis adimensionais são introduzidas: 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
76
Distância: ( )fff
m
cv
k
x
x ρ≡ 
Temperatura: 
ofi
o
tt
tt
T
−
−
≡ (2.2) 
Tempo: 
( )
( )Eck
cv
mmm
fff
−
=
1ρ
ρτ
θ 
 
Substituindo a equação da energia fica: 
2
2
x
TT
x
T
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
θ
 (2.3) 
 
A condição de contorno na entrada para o leito é: 
( )ttcv
x
t
kx fifffm −=
∂
∂
−= ρ0 
Ou 
fiTT
x
t
x −=
∂
∂
= 0 (2.4) 
A solução desse problema é: 
( ) ( )


 −
−+




 −
=
θ
θ
π
θ
θ
θ
θ
4
exp
22
1
,
xx
erfcxT 
( ) ( ) 




 −
++−
θ
θ
θ
2
exp1
2
1 x
erfcxx (2.5) 
Esse modelo é simples e os resultados obtidos são idênticos aos do modelo a ser tratado (modelo 
simplificado) quando .10<θ Resultados desse modelo são mostrados nas figuras 2.1 e 2.2. 
 
 
Figura 2.1 Temperatura adimensional do leito. 
 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
77
 
Figura 2.2 Temperatura adimensional do leito. 
 
 
Figura 2.3 O leito fixo. 
 
2. Modelo simplificado 
A equação básica controlando a resposta transiente do leito fixo na ausência condução entre partículas e 
disperso do fluido é a mesma para troca de calor para o fluido via meio poroso. 
Schumann desenvolveu as equações diferenciais básicas e apresentou solução para o caso de 
temperatura inicial do sólido uniforme, e temperatura da entrada do fluido constante, veja figura 2.3. 
Assumindo que: 
1. O material do leito tem uma condutividade térmica infinita na direção transversal 
2. O material do leito tem uma condutividade térmica nula na direção do escoamento 
3. Não há troca de calor transversal ao leito, isto é, as paredes são perfeitamente isoladas; 
4. Propriedades térmico-físicas constantes; 
5. Coeficiente convectivo da troca de calor uniforme; 
6. Escoamento do tipo plug e a velocidade muda na direção de escoamento; 
7. O leito está inicialmente numa temperatura uniforme; 
8. Não há efeitos de radiação; 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
78
A resposta transiente do leito é obtida escrevendo o balanço de energia para ambos, o fluido e o material 
sólido. Uma simplificação adicional da equação é de considerar que o fluido não armazena energia no 
seu volume. O formato inicial de equação: 
fm
fff
tt
x
t
hA
Lcm
−=
∂
∂&
 
A taxa na qual energia transferida do fluido para o sólido do leito deve ser igual a taxa de acumulação da 
energia dentro do leito, ou 
( )
mf
mmm
fr tt
t
hA
ELc
S −=
∂
∂−
τ
ρ 1
 
Introduzindo as seguintes variáveis adimensionais, 
Comprimento: 
Lcm
hAx
ff
&
=ξ 
Tempo: 
( )
( ) LcES
vxhA
mmfr ρ
τ
η
−
−
≡
1
/
 
O termo (x/v) representa o tempo necessário para uma partícula do fluido para passar da entrada do leito 
até a posição x. Esse termo é geralmente pequeno e pode ser ignorado sem grandes conseqüências. 
O tempo é então redefinido como: 
( )
( ) LcES
vxhA
mmfr ρ
τ
η
−
−
≡
1
/
 
Temperatura: 
ofi
of
f
tt
tt
T
−
−
≡ 
 
ofi
om
m
tt
tt
T
−
−
≡ 
O modelo completo do leito é: 
Fluido: fm
f
TT
T
−=
∂
∂
ξ
(2.8) 
Material do leito: mf
m TT
T
−=
∂
∂
η
(2.9) 
Condições de contorno: ( ) 0,0,exp1,00 ==−−=== mmf TTT ηηξ (2.10) 
Esse modelo idêntico ao modelo descrito para o armazenador de placa plana. 
O coeficiente de troca de calor volumétrico hv é frequentemente usado em cálculo de leitos fixos. 
A relação entre o coeficiente de troca de calor superficial (h) e coeficiente volumétrico hv é: 
L
hA
hvS fr = (2.11) 
Assim as variáveis do comprimento e tempo ficam: 
ff
fr
cm
xhvS
&
=ξ 
( ) mmcE
hv
ρ
τ
η
−
=
1
 (2.12) 
Soluções obtidas por Klinkemberg são: 
0,2<η 0,2<ξ 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
79
( ) ∑ ∑
∞
=
−=
=
−−






−=
1
1
0
0,1,
N
Nk
k
kN
kN
e
ηξ
ξη ξη (2.13) 
0,40,240,2 <≤<≤ ξξη 
( ) ( )[ ] ( )ηξ
ξη
ξ
ηξξη ξη 2
44
1
2
1
0,1,
4/1
ovvf
IeerfT −−
+
−−+−= (2.14) 
0,44 ≥≥ ξη 
( )
















−−−+−=
ηξ
ηξξη
8
1
8
1
1
2
1
0,1, erfT f (2.15) 
 
Sendo que as equações são simétricas, o valor da Tm pode ser determinado usando a relação: 
( ) ( )ABTBAT fm ,1, −= 
A temperatura do fluido na saída do leito pode ser estimada a partir do gráfico, figura 2.4 . Na operação 
do leito fixo como armazenador de calor um dos itens de interesse é a fração de energia disponível no 
fluxo quente. À medida que a temperatura do fluido saindoda unidade atinge a temperatura do fluido na 
entrada, a quantidade de energia removida de fluxo quente decresce, pode estabelecer uma temperatura 
máxima de saída e quando essa temperatura é atingida, o fluxo de gás quente será desviado para outro 
armazenador de leito fixo. 
 
 
Figura 2.4 Temperatura adimensional do fluido na saída. 
 
A quantidade de energia armazenada no leito fixo pode ser obtida usando a temperatura média do leito, 
( ) ( ) mofimmfr TttcELSQ −−= ρ1 
onde: 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
80
∫=
L
o
xmm dT
L
T
1
 
A energia armazenada pode ser determinada usando a temperatura do fluido na saída. A fórmula: 
( ) ( ) ( )∫∫ −−=−=
L
o
foofoff
L
o
ofiff dtttcmdttcmQ ττ 1&& 
 
Figura 2.5 calor armazenado no leito. 
 
Figura 2.6 calor armazenado no leito fixo 
O calor máximo possível armazenado é obtido quando a temperatura do leito fixo é uniforme e igual a 
temperatura do fluido entrando na unidade, ou 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
81
( ) ( )ofimmfr ttcELSQ −−= ρ1max 
Assim, 
( )
( ) ( )
( ) ( )∫∫ −=−−−
−
=
ητ
η
λ
τ
ρ
o
fo
o
fo
ofimmfr
ofiff
dtdt
ttcELS
ttcm
Q 1
1
1
1
*
&
 (2.16) 
Resultados de Q* são mostrados nas figuras 2.5 e 2.6. 
2.3 Modelo de dispersão e condução interpartículas 
No modelo anterior foram considerados os efeitos de dispersão e condução interpartículas. Por exemplo; 
no caso de presença de efeitos de condução entre as partículas, as partículas de armazenador não 
podem ser consideradas com temperatura uniforme. A temperatura da superfície em contato como fluido 
depende do coeficiente convectivo e condução interpartículas. À medida que o fluido escoa no leito, 
pequenas turbulências serão giradas no fluido criando um processo de mistura entre as partículas do 
fluido. O processo de mistura e condução de calor axi-molar são classificados como efeitos de dispersão. 
As equações de conservação em leitos fixos com partículas esféricas incluindo esses efeitos são: 
Fluido: ( ) 0
2
=
∂
∂
+
∂
∂
−−
x
t
ESk
x
t
cmtt
L
hA f
frf
f
fffw
& (2.17) 
Partículas: mf
mm
m
m
mm tt
r
t
rr
t
k
t
c −
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ 2
2
2
τ
ρ (2.18) 
Com 
( )






=
∂
∂
=
∂
∂
−=−=
00
τ
τ
m
m
mfwo
t
r
t
ktthrr
 (2.19) 
O último termo da equação (2.17) representa os efeitos de dispersão axial. A taxa de acumulação da 
energia dentro o fluido foi desprezada na formulação da equação (2.17). 
O conjunto completo das equações é difícil de resolver na forma prescrita. Se somente a dispersão axial 
for considerada, a equação da energia para o fluido fica: 
( ) 0
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
−−
x
t
ESk
x
t
cmtt
L
hA f
frf
f
ffw
& (2.20) 
Para o sólido a equação fica similar a equação (2.9) 
( ) ( )wfmmmfr tthA
t
LcES −=
∂
∂
−
τ
ρ1 (2.9) 
A solução desse modelo foi apresentada por Chao & Hoelscher [8] e Edwards e Richardson [9] 
Se somente os efeitos de condução interpartículas forem considerados, a equação da energia para o 
fluido fica: 
( ) 0=
∂
∂
−−
x
t
cmtt
L
hA f
fffw
& (2.21) 
Junto com equações (2.18) e (2.19) e 
owf ttt === 0τ 
fif ttx ==> 00τ 
completa o conjunto das equações, formando o modelo. 
Uma solução analítica desse problema foi apresentada por Reseu [10], Babcock, Green e Perry [11]. A 
solução por diferenças finitas foi apresentada por Handley & Heggs [12] e Qeuny & Quon [13] 
Uma avaliação dos vários métodos disponíveis para determinação da resposta transiente do leito fixo foi 
apresentada por Jefferson [14]. As partículas usadas foram esféricas considerando a condução 
interpartículas e dispersão axial no modelo. Foi determinado que houvesse três parâmetros 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
82
adimensionais significativos na determinação das condições de operação nas quais o modelo 
simplificado pode ser modificado satisfatoriamente para acomodar efeitos de condução interpartículas e 
dispersão axial. Os parâmetros são: 
Biot: 
m
o
i
k
hr
B = 
Razão de calor específico: 
( )
Ec
Ec
V
ff
mm
H ρ
ρ −
=
1
 
Razão da capacidade térmica: 
1+
=
H
H
V
V
β (2.22) 
Número de Peclet: 
( )
Ak
LESvc
P
f
fraff
e
2
ρ
= 
Se a condutividade térmica do material de armazenamento for muito grande, o número de Biot será 
pequeno aproximando-se do zero. No limite do material de armazenamento será de temperatura uniforme 
e a solução do modelo de condução interpartículas aproxima-se de modelo simplificado. A razão da 
capacidade térmica VH a razão da capacidade térmica do só1ido e da a capacidade térmica do fluido. A 
razão da capacitância térmica β é a razão da capacidade do material armazenador à capacidade do leito 
completo incluindo sólidos e fluidos. 
Para valores grandes de VH a resposta transiente do leito fixo pode ser adequadamente prevista pelo 
modelo simplificado se um coeficiente efetivo de película he for usado na avaliação do tempo e do 
comprimento adimensional. O coeficiente efetivo de película considera a dispersão axial e os efeitos 
interpartículas e é dado por: 
( ) LESvc
AkB
hh
fraff
fi
e
2
2
5
1
11
ρ
β +





+= (2.23) 
Quando VH é de ordem de um, essa correção não pode ser mais aplicada. 
Condições arbitrárias da entrada do leito e condições iniciais do leito. 
Na formulação do modelo matemático do leito fixo, foi assumido que a temperatura inicial do leito é 
uniforme e que a temperatura da entrada do fluido foi mantida constante na tfi durante o período de 
armazenamento de energia. Em muitas aplicações, a temperatura da entrada do fluido varia com o tempo 
e que o leito não está inicialmente numa temperatura uniforme. Sendo que as equações diferenciais 
descrevendo o sistema são lineares, o método de superposição pode ser usado para avaliar o 
desempenho do armazenador nessas condições mais realísticas. 
 
Figura 2.7 Variação na temperatura da entrada do fluído. 
 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
83
 
Figura 2.8 Variação de grau na temperatura de entrada 
2.4 6 .1. Variação arbitrária temporal na temperatura da entrada do fluido. 
Sendo que as equaç6es de conservação da energia, equações (2.7) e (2.9) do modelo simplificado do 
leito fixo, são lineares, a temperatura real da entrada do fluido pode ser subdividida em etapas discretas e 
o método de superposição utilizado para determinar a resposta transiente do leito é como está na figura 
2.7. 
No modelo simplificado, a solução foi apresentada para um salto brusco na temperatura da entrada do 
fluido do leito fixo considerado inicialmente a uma temperatura uniforme como está na figura 2.8. A 
temperatura adimensional: 
( )
ofi
of
f
tt
tt
T
−
−
=ξη, 
É função do ξη e , e a temperatura do fluido no comprimento ξ é: 
( ) ( )ξη,fohiof Ttttt −+= 
Chamando ( ) Ttt ofi ∆=− , uma expressão geral para variação arbitrária na temperatura da entrada do 
fluido contendo ambos as variações contínua e brusca: 
Temperatura da saída do fluido 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] βλβη
β
ληη
η
dT
d
td
Tttt f
o
jf
J
j
jofo ,,
1
−
∆
+−∆+= ∫∑
=
 (2.24) 
Calor armazenado 
( )( ) ( ) ( )








−
∆
+−∆= ∫∑
=
γλγη
γ
ληη
η
dQ
d
td
QtMcQ
o
j
J
j
jm ,,
**
1
 (2.25) 
onde: 
( ) mfr ELSM ρ−= 1 
 
Figura 2.9a Distribuição inicial da temperatura do leito. 
 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
84
 
 
Figura 2.9b Superposição da temperatura inicial não uniforme. 
 
2.5 Variação arbitrária na distribuição inicial da temperatura do leito fixo 
Às vezes o leito fixo não atinge estado de equilíbrio térmico resultando em que a temperatura do leito não 
é uniforme. A técnica a ser usada para prever a resposta transiente do leito será baseada no princípio de 
superposição. A temperatura da entrada do fluido será assumida constante durante o processo, enquanto 
o leito fixo será subdividido em seções com aproximadamente temperatura uniforme. Figura (2.9a) 
mostra uma distribuição da temperatura do leito subdividido. Assim teremos três sub- problemas a tratar, 
Figura 2.9b para obter a temperatura do fluido na saída do leito.No primeiro subproblema, a temperatura 
e entrada do fluido Tfi e nos outros subproblemas, a temperatura da entrada do fluido é zero. 
A equação geral para temperatura da saída do fluido e o calor armazenado são: 
( ) ( ) ( ) ( )( )∑
=
−−−−+−+=
J
j
jfojojfofiofo TttTtttt
1
11 ,11, ξληλη 
( ) ( )( ) ααλη
α
λ
dT
d
td
f
o
o −−
∆
+ ∫ ,1 (2.26) 
( ) ( )( )LttQcESQ ofimmfr 1* ,1 −+−= ληρ 
( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]dkk
dk
td
kQ
hA
Lcm
xLxttQ
o
o
J
Zj
ff
jojojj −
∆
−−−−−−− ∫∑
=
λληξλη
λ
,,1,, **
&
 (2.27) 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
85
2.6 5.3 Variação temporal arbitrária da taxa de fluxo 
A determinação da resposta transiente de armazenador do leito fixo quando a taxa de vazão varia com 
tempo pode ser feito usando a técnica de superposição. O procedimento físico para determinar a 
distribuição da temperatura no leito no instante do acontecimento da variação na vazão. A técnica usada 
para determinar a resposta transiente em conseqüência da variação arbitrária na temperatura inicial do 
leito. Nota-se que depois de cada variação na vazão, é necessário reavaliar o coeficiente convectivo da 
película e a queda de pressão. Os valores de η e ξ devem então ser recalculados. 
 
Figura 2.10 Variação na taxa de fluxo mássico 
 
Figura 2.11 Unidade de armazenamento em pedras 
 
O procedimento a seguir será ilustrado usando os perfis da figura 2.10 com as seguintes etapas para 
cálculo: 
1. O coeficiente convectivo da película determinado na taxa de fluxo mássico 1m& 
2. A temperatura do fluido saindo do leito durante o intervalo 20 ττ ≤≤ é dado por: 
( ) ( )11, ληfofiofo Ttttt −−= (2.28) 
3. A distribuição da temperatura no leito fixo na 2ττ = é calculada por: 
( ) ( )1, ηξfofiom Ttttt −−= (2.29) 
4. O leito fixo subdividido em seções consideradas a uma temperatura uniforme; 
5. O coeficiente convectivo da película determinado no novo fluxo mássico 
2m& , 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
86
6. A temperatura do fluido saindo do leito fixo para 2ττ > é dado pela equação (2.26) onde ξλη e, e 
são avaliados usando h2: 
 
 
Figura 2.12a Fator de atrito para leitos fixos. 
 
Figura 2.12b Coeficiente de troca de calor para leitos fixos. 
 
 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
87
2.7 Operação periódica dos leitos fixos 
Em muitas aplicações industriais fluxos de ar quente e ar frio são alternadamente passados no leito fixo. 
Se a temperatura da entrada do fluido for variada regularmente com tempo, o leito fixo depois de um 
número de ciclos atingirá a condição de operação periódica. A avaliação das condições de operação 
periódica de leito fixo pode ser determinada usando técnicas de operação periódica dos regeneradores. 
Os parâmetros adimensionais do leito são: 
( ) LcES
hA
cm
hA
mmfr
o
gf ρ
τ
πλ
−
==
1
,
&
 (2.30) 
2.8 Armazenamento em calor sensível de sólidos (Leitos Fixos) 
Para analisar o escoamento e a troca de calor por convecção em leitos fixos, algumas simplificações são 
geralmente necessárias. Um estudo feito por Lof e Hawley, resultou em que o coeficiente de troca de 
calor pode ser dado por: 
( ) 7,0/ sbbv DAmh &= (2.31) 
Onde: 
hv = coeficiente volumétrico da troca de calor W/m
3 °K; 
bm& = taxa de escoamento mássico kg/seg; 
Ab = área de seção do leito m
2; 
Ds = diâmetro equivalente das partículas m; 
Ds pode ser determinado a partir da equação: 
3/1
6






=
partículasdenúmero
sólidosdelíquidovolume
Ds π
 
A verificação experimental da equação (2.31) mostrou que é válida para a faixa de temperatura 311°K a 
367°K, tamanho de partículas de 4,8 mm a 38 mm, taxa de escoamento de ar de 0,66 a 3,6 m3/s m2 da 
área vazia do leito. 
A área total superficial de partículas dada por: 
( )
s
bv
D
LAE
Ap
−
=
16
 (2.33) 
onde: 
Ev = fração do vazio do leito 
L = comprimento do leito. 
Handley e Heggs recomendaram a seguinte equação: 
33,0
255,0
ev
h
RE
j = 
onde: 
( )
u
GD
R se = 
Ds = diâmetro da esfera; 
jh = número de Staviton (Nu/Re Pr
3) 
G = velocidade mássica superficial do ar. 
Para o ar, Pr = 0,17 e 
vE
Nu
3,2
Re23,0
= (2.35) 
A queda da pressão no comprimento L do leito é dada por: 
( )
75,1
Re
1
170
11
32
+
−−
=
∆
leito
v
v
v
ss
E
E
E
DPV
P
 (2.36) 
Onde: 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
88
( )
( )µv
ss
leito
E
DpV
−
=
13
2
Re 
vE porosidade do leito = mw/pw/V; 
pA
m
h
b
v
&
= velocidade superficial; 
Para leitos comuns 45,035,0 aEv = 
O fator de forma da área superficial α é a razão da área de superfície da partícu1a dividida pela área da 
superfície da esfera equivalente. 
α para pedras de rio = 1,5 
α para pedras quebradas varia entre 1,5 para tamanho pequeno a 2,5 para 50 mm de diâmetro. 
Uma outra formulação para prever a perda de carga é dada por: 
( ) ( )





 −
+
−
=∆
DG
u
DPar
LG
p
o
o
2/32/3
2 1
16675,4
1
ε
αε
ε
αε
 (2.37) 
onde: 
Go = velocidade mássica do ar ( = fluxo mássico do ar/área frontal do leito área frontal do leito). 
Outra formulação para prever p∆ na ausência de medidas de α e ε é dada por: 
 





+=∆
DG
u
DPar
LG
p
o
o 175021
2
 (2.38) 
O coeficiente de troca de calor h pode ser escrito como: 
( ) 7,0/650 DGh ov = (2.39) 
A relação entre hv e o coeficiente de troca normal dado por: 
 ( )
D
hhv
α
ε−= 16 2.40) 
 
 
Figura 2.13 Coeficiente de troca de calor e queda de pressão para leitos fixos. 
 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
89
 
Figura 2.14 Leito fixo dividido em n camadas - modelo de Schumann 
2.9 Modelo de Schumann para leitos fixos 
Neste modelo é considerado que: 
- escoamento unidimensional; 
- ausência da condução ou dispersão axial; 
- propriedades constantes; 
- não há troca de massa; 
- não há perda para o ambiente; 
- ausência de gradiente de temperatura no sólido. 
As equações diferenciais para o fluido e o leito são: 
( )
( )
( )
fbv
ffpf
fp
TTh
x
T
A
Cm
x
T
pC −+
∂
∂
−=
∂
∂ &
ε (2.41) 
( ) ( ) ( )bfvbbp TTht
T
pC −
∂
∂
− ε1 (2.42) 
onde: 
ε = fração do vazio; 
hv = coeficiente de troca de calor volumétrico entre o leito e o fluido. 
Para o sistema operando com o ar, podemos negligenciar o primeiro termo da equação (41), assim 
temos: 
( )
( )
fb
f
TTNTU
Lx
T
−=
∂
∂
/
 (2.43) 
( )
bf
b TTNTU
T
−=
∂
∂
θ
 (2.44) 
onde: 
NTU = primeiro de unidades transferidas = ( )
fpv
CmALh &/ 
θ = tempo adimensional; 
 = ( ) ( ) ( )[ ]ALpCCmALh
fpfpv
ετ −1// & 
A = área da seção do leito; 
L = comprimento do leito. 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
90
Com base na figura 2.14, consideramos uma temperatura uniforme no intervalo ∆ x. (No modelo mais 
complicado essa temperatura é considerada como tendo gradiente linear com a distância). A temperatura 
do ar com o perfil exponencial resulta em temperatura do ar deixando o elemento i: 
( )LxNTU
ibif
ibif
e
TT
TT
/
,,
,1. ∆−+ =
−
−
 (2.45) 
A energia transferida do ar para o leito no comprimento ∆ x é: 
( ) ( ) ( ) ( )NNTUibiffpififfp eTTCmTTCm
/
,,1,, 11
−
+ −−+=− && (2.46) 
onde: 
N = L/ x∆ 
Com base na equação (2.46) um balanço de energia nos sólidos dentro da região ∆ x pode ser expressa 
como: 
( )
ibif
ib
TTN
d
dT
,,
, −=η
θ
 (2.47) 
onde: 
( )NNTUeteconsé /1tan −−=η 
A equação (2.47) representa N equações diferenciais ordinárias em N temperaturas do leito. 
Temperaturas do leito podem ser obtidas da equação (2.46). 
Para permitir a avaliação das perdas para o ambiente Ta uma extensão da equação (2.47) resulta em: 
( ) ( )( ) ( )iba
fp
i
ibif
ib
TT
Cm
AU
TTN
d
dT
,,,
, −
∆
+−=
&
&η
θ
 (2.48) 
onde: 
( )
iAU∆ é o coeficiente de perda da seção (i). 
A técnica numérica de Crank-Nicolson pode ser usada para resolver o sistema da equação (2.48). 
O processo começa na seção 1, com a temperatura da entrada do fluido conhecida, calcula-se a nova 
temperatura do leito da equação (2.48) e a temperatura da saída do fluido da equação (2.46). Essa nova 
temperatura do fluido considerada como sendo a temperaturada entrada para a seção 2 e repetem-se as 
mesmas etapas até a última secção. 
Quando o NTU = infinito, as duas equações podem ser acopladas iguais, a equação resultante toma a 
forma de: 
( )
( ) ( )TTCm
UA
x
T
L a
fp
b −+
∂
∂
−=
∂
∂
&θ
 (2.49) 
O modelo de Schumann baseado em assumir que os gradientes da temperatura nas partículas do leito 
são muito pequenos. Os gradientes de temperatura acima mencionados, podem ser considerados como 
uma nova definição do NTU, deste modo temos: 
( )
5
1
Bi
NTU
NTU c
+
= (2.50) 
onde: 
Bi = número de Biot 
R = raio equivalente da esfera; 
h = coeficiente de troca do calor do fluido para o sólido. 
O novo NTUc pode ser introduzido nas equações do modelo, para acomodar as variações nos gradientes 
da temperatura do sólido. 
Se o Bi for menor que 0,1, os gradientes da temperatura do sólido, pode ser ignorado. 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
91
 
Figura 2.15 Modelo do leito fixo. 
 
 
Figura 2.16 Seção m do leito. 
2.10 Armazenamento em leito fixo de pedras (Modelo de Mumma & Marvin) 
 
Assumir o comprimento do leito L na direção de escoamento e a área de secção A, que o leito pode ser 
dividido em n elementos cada de comprimento x∆ = L/n Um balanço de energia no fluido no 
comprimento x = L/n mostrado nas Figuras 2.15 e 2.16. 
( ) ( )
xbxfvxxfxffffff TTxAhTTcmdTcm ,,,, −∆=−= ∆+&& (2.51) 
Onde: 
hv = coeficiente volumétrico de troca de calor entre o ar e o leito. 
O valor numérico típico é 7 kW/m3 °G. 
A equação (51) pode ser integrada para determinar 1, +mfT notando: 
( ) ∫∫
∆∆
===
−
x
o ff
v
ff
xv
x
o bf
f
cmn
ALh
cm
Adh
TT
dT
φ
&
 
Ou 
( ) ( )φ−−+=+ exp,,,1, mbmfmbmf TTTT (2.52) 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
92
Fazendo o balanço de energia nas pedras no elemento m no incremento do tempo (dT), figura 2.17. 
 
Figura 2.17 Volume de controle para seção m. 
Taxa de Mudança de Energia Interna das Pedras = Taxa de Ganho da Energia Vinda do ar - Taxa de 
Perda de Energia para o Ambiente 
( ) ( )ambmststmfmfffmbb TTAUTTCm
dt
dT
CxA −−−−∆ + ,,1,
,
.1 &ερ (2.53) 
onde: 
ε = fração do vazio no leito; 
ρ = densidade das pedras; 
Cb = capacidade térmica das pedras; 
Ust = coeficiente de perda de calor entre o leito e o ambiente; 
mstA , = área externa da perda térmica do elemento m do leito. 
 
Em diferenças finitas, a equação (2.53) fica: 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] tTTTTtTttT ambmfmfmbmb ∆−−−+=∆+ + ,31,,2,, φφ (2.54) 
Onde: 
( )
( ) ( )
fp
stst
b
fp
Cm
AU
CAL
Cm
&
&
=
−
= 32
1
φ
ερ
φ (2.55) 
As equações (2.52) e (2.54) são as equações necessárias para calcular o desempenho térmico do leito 
com 321, φφφ e e especificados junto com a temperatura inicial do leito. 
A estabilidade do cálculo numérico é controlada pela relação entre o incremento do tempo e o elemento 
do leito, ou, 
( )( ){ } 112 exp1
−
−−≤∆ φφt (2.56) 
2.11 Correlações de troca de calor e queda da pressão em leitos fixos 
A queda da pressão no leito fixo depende do tamanho, distribuição e configuração do material do leito, 
enquanto o coeficiente da troca de calor depende além desses itens, das propriedades térmicas de 
material de armazenamento. A resistência à troca de calor é dominante na interface fluido superfície, 
inversamente proporcional ao coeficiente convectivo da película, e internamente no material do leito. 
Calor também pode ser transferido entre as partículas no leito, sendo que as partículas estão em contato 
umas com as outras. Esse fenômeno é chamado de efeitos interpartículas. 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
93
2.11.1 Cálculo da Queda de Pressão 
Com base nos trabalhos de Ranz [15] e Ergun [16], a fórmula utilizada para cálculo da queda de pressão 
é: 
( ) ( )
23
2
3
1
0,150
1
75,1
pp
v
c
DE
vE
DE
GE
g
L
p µ−
+







 −
=
∆
 (2.57) 
onde o primeiro termo da equação (2.57) associado com as perdas cinéticas e o segundo associado com 
as perdas de energia. 
Essa equação pode ser rearranjada multiplicando pelo termo: 
( )
23
2
1
pDE
vE µ−
 
e introduzindo o número de Reynolds µ/Re dpv= para obter: 
( )
150
1
75,1
1
2
2
3
+
−
=
−
∆
E
R
v
D
E
E
g
L
p ep
c µ
 
Essa equação pode ser escrita na forma geral: 
( ) 2122
3
11
C
E
R
C
v
R
E
ED
g
L
p eep
c +
−
=
−
∆
ρ
 (2.58) 
 
Tabela 2.1 Dimensões e Velocidades do Ar para Leitos Fixos. 
 Diâmetro da Partícula (pol) 
 0,25 0,5 0,75 
Altura do leito, pé 3,4 5,9 7,4 
Área do leito, pé2 275.5 159 126 
Velocidade do Ar, 
pé/min 
6 10.5 13.1 
Altura do leito, pé 2.75 4.0 5.0 
Área do leito, pé2 340 233.5 186.8 
Velocidade do ar, 
pé/min 
4.85 7.07 8.8 
Altura do leito, pé 2 2.0 2.0 
Área do leito, pé2 467 467 467 
Velocidade do Ar, 
pé/min 
3.53 3.53 3.53 
 
onde 
C1 = associado com as perdas cinéticas; 
C2 = associado com as perdas viscosas. 
Handley Heggs [17] usaram a equação (2.58) junto com medidas experimentais para determinar as 
constantes C1 e C2 como está na Tabela (2.2). 
As constantes são válidas na região 3100,130,1 xRe << . Se o número de Reynolds for menor que 1, a 
equação do Kozeny - Carman é válida. 
As constantes C1 = 0,0 e C2 = 150,0 e a equação fica: 
( )
150
1
2
23
=
−
∆
vE
DE
g
L
p p
c
µ
 
Se o numero de Reynolds for maior que 13,0 x 1010, a expressão da queda de pressão dada por Burke - 
Phummer onde: 
0,075,1 21 == CeC 
E 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
94
( ) ( )E
R
v
D
E
E
g
L
p ep
c
−
=
−
∆
1
75,1
1
2
2
3
µ
 
 
Tabela 2.2 Valores de C1 e C2 1,0< Re < 13 x 10
3 
 
Material do Leito Tamanho das 
Partículas pol 
C1 C2 
Cilindro ¼ x ¼ 1,25 598,0 
Cilindro 3/16 x 3/16 1,28 458,0 
Cilindro 1/4 x 1/2 1,54 1083,0 
Anéis, aço ¼ x ¼ 3,15 410,0 
Anéis, porcelana ¼ x ¼ 2,37 356,0 
Anéis, porcelana 3/8 x 3/8 1,72 452,0 
Outros [16] 1,75 150,0 
 
 
 
 
Figura 2.18 Correlações de transferência de calor para partículas. 
2.11.2 Correlações de Troca de Calor 
Varias técnicas foram usadas para determinar os coeficientes de troca de calor em leitos fixos. Essas 
técnicas podem ser classificadas como regime permanente ou transiente. Os coeficientes de troca de 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
95
calor podem ser mudados diretamente ou por analogia entre troca de calor e troca de massa. Uma 
revisão detalhada dos coeficientes de troca de calor e as correlações disponíveis foram apresentadas em 
Barker [18]. 
 
Figura 2.19 Correlações de transferência de calor para esferas. 
 
Foram estudadas várias configurações de leitos. Métodos de um regime permanente para determinação 
do coeficiente convectivo de película usando métodos analógicos ou métodos de medida direta do 
coeficiente de troca de calor. Correlações de coeficiente de troca de calor em leitos de cubos de ferro, 
cilindros, etc. são mostradas na Figura 2.18. 
A área de superfície por unidade de volume é a. O fator de Colburnj é definido como: 
( ) 3/23/2 r
f
rr P
Gc
h
PSj == (2.61) 
e o coeficiente convectivo de filme é: 
( ) 3/2r
f
P
jGc
h = 
O comprimento característico usado nessas correlações o diâmetro da esfera que tem a mesma área da 
superfície do material do leito. A velocidade mássica baseada na velocidade superficial, frSfmG /&= . As 
correlações do coeficiente de troca de calor em leitos fixos formados de esferas são mostradas na Figura 
2.19. A porosidade dos leitos varia na faixa 0,35 a 0,48. 
Num trabalho de Schumann, um modelo foi desenvolvido dando, 
( )
E
CRC
j em 21= (2.63) 
Essas correlações foram baseadas em esferas equivalentes em volume da partícula. O diâmetro 
hidráulico definido como sendo volume de vazio do leito dividido pela área de superfície do material. Para 
uma esfera equivalente de diâmetro de, a expressão do diâmetro hidráulico: 
( )E
ED
D
p
h
−
=
13
2
 (2.64) 
O numero de Reynolds modificado é: 
( ) µ
ρ
µ
ρ v
R
DD
R
ph
em
−
==
13
2.
 (2.65) 
Kamal A. R. Ismail 2014 
 
96
( )µ
ρ
E
vD
R
p
em
−
=
13
2
 (2.65) 
onde: 
afr EvSfmv == ρ/& = velocidade superficial média do gás; 
ρvG = = velocidademássica superficial. 
Valores de C1 e C2 são dados na Tabela 2.2. 
 
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