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Programa de Pós-Graduação em Física - PPGF
Disciplina: Mecânica Quântica I
Professor: Bertúlio L. Bernardo
Lista 2
1. Considere o problema da precessão do spin discutido no texto. Ele também pode ser resolvido na representação
de Heisenberg. Utilizando o Hamiltoniano
,
escreva as equações de movimento de Heisenberg para os operadores , e dependentes do
tempo. Resolva-as para obter como funções do tempo.
2. Olhe novamente para o Hamiltoniano do capítulo 1, problema 1.11. Suponha que o digitador tenha cometido um
erro e escrito H como sendo
.
Qual princípio é assim violado? Ilustre sua afirmação explicitamente por meio da tentativa de resolver o problema
dependente do tempo mais geral possível, usando o Hamiltoniano não permitido como este (você pode pressupor,
por uma questão de simplicidade, que ).
3. Um elétron é submetido à ação de um campo magnético uniforme, independente do tempo e de intensidade B, e
que aponta na direção z positiva. Em sabe-se que o elétron se encontra em um autoestado de com
autovalor , onde é um vetor unitário no plano x-z e que faz um ângulo com o eixo z.
(a) Obtenha a probabilidade de achar o elétron no estado como função do tempo.
(b) Ache o valor esperado de como função do tempo.
(c) para sua própria tranquilidade, mostre que suas respostas fazem sentido nos casos
 extremos (i) e (ii) .
4. Sejam e os autoestados do operador hermitiano A com autovalores e , respectivamente
( ). O operador Hamiltoniano é dado por
,
onde é simplesmente um real.
(a) Obviamente e não são autoestados do Hamiltoniano. Escreva quem são estes autoestados. Quais os
autovalores de energia?
(b) Suponha que saibamos que o sistema se encontre no estado em . Escreva o vetor de estado, na
representação de Schrödinger, para .
(c) Qual a probabilidade de achar o sistema no estado em , se sabemos que o sistema se encontrava no
estado em ?
(d) Você consegue imaginar uma situação física que corresponda a este problema ?
5. Uma caixa que contém uma partícula está dividida em um compartimento esquerdo e um direito, separados por
uma partição tênue. Se é conhecido, com absoluta certeza, que a partícula se encontra do lado direito (esquerdo),
o estado é representado pelo ket de posição (esquerda) e (direita), onde negligenciamos variações
espaciais dentro de cada metade da caixa. O vetor de estado mais geral pode ser escrito como
onde e podem ser tomados como sendo “funções de onda”. A partícula pode tunelar através da
partição; este efeito de tunelamento é descrito pelo Hamiltoniano
,
onde é um real com dimensão de energia.
(a) Ache os autoestados de energia normalizados. Quais os autovetores de energia a eles correspondentes? 
(b) Na representação de Schrödinger, os kets de base e são fixos e o vetor de estado muda com o tempo.
Suponha que o sistema seja representado por , como dado acima, em .
(c) Suponha que em a partícula se encontra do lado direito com absoluta certeza. Qual a probabilidade de se
observar a partícula do lado esquerdo como função do tempo ?
(d) Escreva as equações de Schrödinger acopladas para as funções de onda e .
Mostre que as soluções destas equações acopladas são extremamente aqui que você esperaria de (b).
(e) Suponha que a impressora tenha cometido um erro e escrito o H como sendo
.
Resolva explicitamente o problema de evolução temporal mais geral para este Hamiltoniano e mostre que a
conservação da probabilidade é violada.
6. Considere um oscilador harmônico simples unidimensional.
(a) Usando 
, ,
calcule , , , e .
(b) Verifique que o teorema do Virial se aplica aos valores esperados da energia cinética e da energia potencial
calculados para um autoestado de energia.
7. Considere novamente o oscilado harmônico simples unidimensional. Resolva os seguintes itens algebricamente,
isto é, sem o uso de funções de onda.
(a) Construa uma combinação linear de e tal que seja tão grande quanto possível.
(b) Suponha que no instante o oscilador se encontre no estado construído em (a). Qual o vetor de estado
para tempos na representação e Schrödinger ? Calcule o valor esperado de como função do tempo para
, usando (i) a representação de Schrödinger e (ii) a de Heisenberg.
(c) Calcule como função do tempo usando qualquer uma das representações.