ALC - P1 - Estudo do Produto Escalar e Produto Vetorial no Geogebra - A3 docx

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ROTEIRO​ DE PRÁTICA 
Tema 
Estudo do Produto Escalar e Produto Vetorial no 
GeoGebra 
Unidade 01 
Disciplina (s) ▪ Álgebra Linear Computacional 
Data da última 
atualização 
03/02/2020 
 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio do conteúdo sobre vetores, produto escalar e produto vetorial. 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. 
 
II. Materiais 
Descrição Quantidade 
Software GeoGebra 3D Online 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
III. Introdução 
A compreensão dos conceitos, bem como a execução dos cálculos, que envolvem os temas ​Produto Escalar e 
Produto Vetorial são de suma importância aos estudantes e profissionais das Engenharias/Ciências. Tal importância 
surge da grande variedade de aplicações desses produtos nas diversas disciplinas e na modelagem de problemas 
típicos dessas áreas. Entre outras aplicações, podemos citar: 
▪ Cálculo de ângulos, áreas e volumes. 
▪ Determinação do momento de uma força. 
▪ Trabalho realizado por uma força. 
▪ Fluxo de água através de uma mangueira. 
Nessa atividade, você utilizará o software GeoGebra (​https://www.geogebra.org/​) para determinação do ângulo e do 
produto vetorial entre dois vetores, além do cálculo da área de um triângulo. 
 
https://www.geogebra.org/
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
▪ Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de determinar o ângulo e o produto vetorial entre dois 
vetores, bem como calcular a área de um triângulo a partir do produto vetorial. 
▪ Utilizar o software GeoGebra para determinação do ângulo e do produto vetorial entre dois vetores. Além 
disso, usando a ferramenta de medição, calcular a área de um triângulo. 
 
 V. Experimento 
 
ETAPA 1:​ determinação do ângulo entre dois vetores 
 
PASSO 1: Esboce, no GeoGebra 3D, os vetores e . O Geogebra reconhece os vetores a partir 1, , )u→ = ( 1 1 1, , )v→ = ( 1 3 
de letras minúsculas. 
 
PASSO 2: Ainda usando o GeoGebra, insira três pontos no espaço, sendo eles a origem do sistema de coordenadas 
cartesianas e as extremidades dos vetores já representados: , e . Esses pontos 0, , )A = ( 0 0 1, , )B = ( 1 1 (1, , )C 1 3 
servirão para identificarmos o ângulo entre os vetores e , conforme PASSO 3 abaixo.u→ v→ 
 
PASSO 3: Usando a ferramenta de medição ÂNGULO , clique sequencialmente nos pontos . Qual o B A C 
ângulo apresentado? 
 
 
PASSO 4: Calcule, usando a fórmula abaixo, o ângulo entre os vetores e e compare o resultado com o valor u→ v→ 
encontrado no PASSO 3. 
cos(u, )u→ • v→ = u|→| v| | → v→ 
 
29,5º 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 2:​ determinação do produto vetorial 
 
PASSO 5: Calcule, no espaço abaixo, o produto vetorial entre os vetores e .u→ v→ 
 
 
PASSO 6: Usando o GeoGebra, represente o vetor . Para isso, digite a função . Compare ow→ = u→ × v→ w → = u→ ⊗ v→ 
resultado com o vetor determinado no PASSO 5. 
Observação: o operador pode ser encontrado a partir do seguinte procedimento:⊗ 
É adequado usar essa fórmula para calcular o cosseno e comparar com o ângulo encontrado: 
 
cos θ = ((1, 1, 1) * (1, 1, 3)) / (√(1² + 1² + 1²) * √(1² + 1² + 3²)) => 5 / √33 => 0,87 
 
cos 29,5 = 0,87 
Ou seja, os resultados do PASSO 3 e PASSO 4 coincidem. 
 
D = | i j k | 
 | 1 1 1 | 
 | 1 1 3 | 
 
D = 1i - 1i - 1i + 3i + 1j + 1j - 1j - 3j - 1k - 1k + 1k + 1k 
D = 2i - 2j + 0k 
D = (2, -2, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO 7: Usando o mesmo procedimento realizado nos PASSOS 2 e 3, identifique o ângulo entre os pares de vetores 
 e . O resultado verificado era previsível? Por quê?(u, )→ w→ (v, )→ w→ 
 
 
 
ETAPA 3:​ determinação da área de um triângulo a partir do produto vetorial 
 
PASSO 8: Utilizando a ferramenta de esboço de polígonos , clique nos pontos , e para representarA B C 
o triângulo .ABCˆ 
 
PASSO 9: Identifique a área do polígono , clicando na ferramenta de medição de área e, em sequência,ABCˆ 
no polígono representado. Qual o valor da área encontrada? 
O ângulo de é de 90º e o ângulo de é de 90º também. O valor era previsível por que o produto dos(u, )→ w→ (v, )→ w→ 
vetores daria um resultado adequado para ambos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO 10: Utilize produto vetorial para comprovar o resultado encontrado no PASSO 9. Lembrete: .|u |A = 2
1 → × v→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
 
▪ PAULO WINTERLE. ​Vetores e geometria analítica​, 2ed. Pearson 256 ISBN 9788543002392. 
 
Área do ABC = 1,41 
 
Sendo w = = (2, -2, 0), entãou→ × v→ 
A = ½ * |2, -2, 0| 
A = ½ * 2,83 
A = 1,41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
▪ SANTOS, Fabiano José dos. ​Geometria analítica​. Porto Alegre ArtMed 2009 1 recurso online ISBN 9788577805037.