Equação de Movimento em Vibrações Mecânicas

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
Samuel Aurélio Santos Reis 
 
 
 
 
 
TRABALHO PRATICO 1 
Vibrações 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte 
2020 
Questão 1 - Como podemos determinar a equação de movimento de um sistema 
vibratório? 
R: Considerando um sistema vibratório livre de translação não amortecido, o 
procedimento que usaremos pode ser resumido da seguinte maneira: 
1. Selecione uma coordenada adequada para descrever a posição da massa ou 
do corpo rígido no sistema. Use uma coordenada linear para descrever o 
movimento linear de uma massa pontual ou do centroide de um corpo rígido e 
uma coordenada angular para descrever o movimento angular de um corpo 
rígido. 
2. Determine a configuração de equilíbrio estático do sistema e meça o 
deslocamento da massa ou corpo rígido em relação a sua posição de equilíbrio. 
3. Desenhe o diagrama de corpo livre da massa ou corpo rígido quando 
submetida a um deslocamento positivo e a uma velocidade. Indique todas as 
forças ativas e reativas que agem sobre a massa ou corpo rígido. 
4. Aplique a segunda lei do movimento de Newton á massa ou corpo rígido 
mostrada no diagrama de corpo livre. A segunda lei do movimento de Newton 
pode ser enunciada como: 
“ A taxa de variação do momento linear é igual à força que age sobre a massa 
ou corpo” 
Assim, se a massa m for deslocada por uma distância x(t) quando uma força resultante 
F(t) agir sobre ela na mesma direção, a segunda lei do movimento de Newton resulta 
em 
�⃗�(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚 ∙
𝑑�⃗�(𝑡)
𝑑𝑡
) 
 
Se a massa m for constante, essa equação se reduz a 
�⃗�(𝑡) = 𝑚 ∙
𝑑2�⃗�(𝑡)
𝑑𝑡2
= 𝑚�̈� (2.1) 
Onde 
�̈� =
𝑑2�⃗�(𝑡)
𝑑𝑡2
 
É a aceleração da massa. A equação (2.1) pode ser enunciada em paravras como: 
Força resultante sobre a massa = Massa x Aceleração 
Para um corpo rígido sujeito a movimento rotacional, a lei de Newton resulta em 
�⃗⃗⃗�(𝑡) = 𝐽�̈� (2.2) 
Onde �⃗⃗⃗� é o momento resultante que age sobre o corpo, e 𝜃 e �̈� = 𝑑2𝜃(𝑡)/𝑑𝑡² são o 
deslocamento angular e a aceleração angular resultantes, respectivamente. A 
equação (2.1) ou a equação (2.2) representa a equação de movimento do sistema 
vibratório. 
Agora o procedimento é aplicado ao sistema não amortecido com um grau de 
liberdade. Quando a massa é deslocada a uma distância +x em relação à sua posição 
de equilíbrio estático, a força na mola é kx, e o diagrama de corpo livre da massa pode 
ser representado como mostrado abaixo. 
 
A aplicação da equação (2.1) à massa m resulta na equação de movimento 
𝐹(𝑡) = −𝑘𝑥 = 𝑚�̈� 
Ou 
𝑚�̈� + 𝑘𝑥 = 0 
 
Questão 2 – Defina amortecimento viscoso 
 R: Amortecimento viscoso é o mecanismo de amortecimento mais comumente usado 
em análise de vibrações. Quando sistemas mecânicos vibram em um meio fluido ao 
corpo em movimento faz que a energia seja dissipada. Nesse caso, a quantidade de 
energia dissipada depende de muitos fatores como o tamanho e a forma do corpo em 
vibrações, a viscosidade do fluido, a frequência de vibração e a velocidade do corpo 
em vibração. No amortecimento viscoso, a força de amortecimento é proporcional à 
velocidade do corpo vibratório. Exemplo típico de amortecimento viscoso é a película 
de fluido entre superfícies deslizantes. 
 
Questão 3 – O que é frequência natural? 
R: a frequência natural é uma propriedade de um sistema mecânico que relaciona 
suas características elásticas (k) e inerciais (m). Se perturbada por uma condição 
inicial, o sistema mecânico vibrará livremente em uma frequência igual a sua 
frequência natural, podendo assim, a vir causar o efeito conhecido como ressonância. 
A frequência natural é representada das seguintes maneiras. 
𝜔𝑛 = √
𝑘
𝑚
 𝑜𝑢 𝐹𝑛 =
1
2𝜋
√
𝑘
𝑚
 
 
Questão 4 – Defina razão (fator) de amortecimento 
R: O fator de amortecimento (𝜁) é definido pela razão entre a constante de 
amortecimento do sistema e a constante de amortecimento critico (valor mínimo de 
amortecimento necessário para que o sistema não oscile). 
𝜁 =
𝐶
𝐶𝑐
 
 
Questão 5 – Um corpo de massa 𝑚, representado na figura pela esfera A, é fixado a 
um mecanismo de massa desprezível e articulado no ponto 𝑜. O mecanismo, por sua 
vez, aciona uma mola de rigidez 𝐾 e um amortecedor viscoso de coeficiente 𝑐 em caso 
de movimento. Supondo que uma condição inicial de deslocamento promova uma 
situação de movimento livre. Baseado na tabela de dados, determine o que se pede 
nas alternativas. 
 
Dados: 𝑚 = 2 [𝐾𝑔] 𝐾 = 4000 [𝑁/𝑚] 𝑐 = 214 [𝑁𝑠/𝑚] 𝐽𝑜 = 0,32 [𝑘𝑔𝑚2] 
 
Considerações: 
 
Pequenos deslocamentos angulares. 𝑔⃗ = 9,81 [𝑚/𝑠²] 
 
 A) O diagrama de corpo livre na condição dinâmica e o balanço de 
energia do sistema. 
 B) A equação diferencial que rege o movimento. 
 C) Para os dados apresentados, o sistema mecânico é estável? Justifique. 
 D) O sistema mecânico oscila? Se sim, qual é a frequência de oscilação? 
 
R: 
 
a) 
 
 
b) 
∑ 𝑀𝑜 = 𝐽𝑜 ∙ �̈� 
 
−0,2𝑘𝑡𝜃 ∙ 0,2 − 0,2𝑐�̇� ∙ 0,2 = 0,32 ∙ �̈� 
 
(0,32)�̈� + (0,04𝑐)�̇� + (0,04𝑘𝑡)𝜃 = 0 (eq. do movimento) 
c) Sim, o sistema mecânico é estável, já que, após um determinado tempo ele irá 
retornar para a posição equilíbrio. 
d) Para verificar se o sist.mecânico oscila, deve-se calcular a razão de 
amortecimento. Caso a razão seja < 1 ele irá oscilar. 
 
𝐶𝑐 = 2 ∙ √𝑘𝑚 
 
𝜁 ∙
𝐶
𝐶𝑐
=
0,04
2 ∙ √𝑘𝑚
 
 
𝜁 =
0,04 ∙ 214
2 ∙ √0,04 ∙ 4000 ∙ 0,32
= 0,6 < 1 ∴ 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎 
 
𝜔𝑑 = √
𝑘
𝑚
∙ (√1 − 𝜉²) = 17,88 [
𝑟𝑎𝑑
𝑠
] 
 
Questão 6 - O sistema mecânico ilustrado pela figura abaixo é composto de um 
pinhão de massa 𝑚𝑝=2[𝑘𝑔] e raio 𝑟=10 [𝑐𝑚], de uma cremalheira de massa 
𝑚𝑐=9[𝑘𝑔]. Uma mola de rigidez 𝑘=4 [𝑁/𝑚𝑚] e um amortecedor de constante de 
amortecimento viscoso 𝑐=80 [𝑁𝑠/𝑚] são acoplados na cremalheira para reduzir 
os efeitos de vibrações. Considerando uma movimentação inicial do pinhão de 
5° a partir da posição de equilíbrio, determine o que se pede nas alternativas. 
 
 
 A) O diagrama de corpo livre na condição dinâmica para cada corpo ou o 
balanço de energia do sistema. 
 B) A equação diferencial que rege o movimento. 
 C) A resposta cinemática de posição do pinhão em função do tempo. 
Considere o momento de inércia de massa do pinhão como sendo 𝐽𝑝=𝑚𝑝𝑟22 
R: 
 
 
a) 
 
∑ 𝑀𝑜 = 𝐽𝑜 ∙ �̈� 
 
−𝐹𝑐 ∙ 𝑟 = 𝐽𝑝 ∙ �̈� 
 
 𝐽𝑝 ∙ �̈� + 𝐹𝑐 ∙ 𝑟 = 0 (II) 
 
 
 
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚 ∙ �̈� 
 
𝐹𝑐 − 𝑘𝑥 − 𝑐�̇� = 𝑚 ∙ �̈� 
 
𝐹𝑐 = 𝑚�̈� + 𝑘𝑥 + 𝑐�̇� (I) 
 
b) I → II 
 
𝐽𝑝�̈� + 𝑚�̈�𝑟 + 𝑘𝑥𝑟 + 𝑐�̇�𝑟 = 0 
 
�̇� = �̇�𝑟 → �̇� = �̇�/𝑟 
 
�̈� = �̈�𝑟 → �̈� = �̈�/𝑟 
 
(
𝐽𝑝
𝑟2
+ 𝑚) �̈� + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 = 0 
 
c) 𝐽𝑝 =
𝑚𝑟2
2
 = 0,01 
 
𝜔𝑛 = √
𝑘
𝐽𝑝
𝑟²
+ 𝑚
=
√
4
0,01
0,1²
+ 9
= 0,632 
 
 
 
 
 
Questão 7 - Dado o sistema mecânico ilustrado pela figura abaixo, determine 
qual deverá ser a constante de amortecimento ′𝐶′ do sistema para que o 
sistema não oscile quando perturbado por uma condição inicial de 
deslocamento. 
 
R: 
 
1
2
𝐽𝑜�̇�
2 +
1
2
𝑚 ∙ �̇�2 +
1
2
𝑘𝑥2 = − ∫ 𝑐�̇�2𝑑𝑡 
 
𝐽𝑜�̈��̇� + 𝑚�̈��̇� + 𝑘𝑥�̇� = −𝑐�̇��̇� 
 
𝑥 = 𝑟2𝜃 𝑦 = 𝑟1𝜃 
�̇� = 𝑟2�̇� �̇� = 𝑟1�̇� 
�̈� = 𝑟2�̈� �̈� = 𝑟2�̈� 
 
(𝐽𝑜 + 𝑚𝑟2
2)�̈� + (𝑐𝑟1
2)�̇� + (𝑘𝑟2²)𝜃 = 0 
 
𝜁 = 1, logo 
𝑐𝑟1
2
2√(𝐽𝑜+𝑚𝑟2
2)(𝑘𝑟2
2)
= 1 
 
𝑐 =
2√(𝐽𝑜 + 𝑚𝑟2
2)(𝑘𝑟2
2)
𝑟1²
 
 
𝑐 = 2240 𝑁𝑠/𝑚