Atividade 1 (resolução) TT080 Turma AMB (ERE) (em pdf)

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Ministério da Educação
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
Setor de Tecnologia
Departamento de Transportes
Disciplina TT080 Economia de Engenharia, Turma AMB, período especial (Resolução nº 65/2020-CEPE).
Atividade 1 (referente à semana de 03/11/2020 a 06/11/2020)
Resolução dos exercícios
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01. Admitindo uma taxa de juros ou de desconto de 1% ao mês, válida para juros
simples e para juros compostos, qual é o valor do montante que resulta da
capitalização, com juros simples, por oito meses, de um principal que é igual ao dobro
do montante que resulta da capitalização, com juros compostos, por cinco meses, de
um capital (principal) de R$ 1.000,00?
i = 1% ao mês Mn = C · (1 + n · i)
M8(JS) = ? M8 = C · (1 + 8 · 0,01)
C(JC) = R$ 1.000,00 C (JS) = 2 · M5 (JC)
Mn = C · (1 + i)n
M5 (JC) = 1.000 · (1 + 0,01)5
M5 (JC) = R$ 1.051,01
C(JS) = 2 · 1.051,01
C(JS) = R$ 2.102,02
M8 = 2.102,02 · (1 + 8 · 0,01)
M8 = R$ 2.270,18
Resposta: R$ 2.270,18.
02. Admitindo uma taxa de juros de 1% ao mês, qual é o valor, em reais, do capital
(principal) que se deve depositar e deixar integralmente depositado para que, ao final
de dez meses ininterruptos de capitalização com juros compostos, resulte um
montante no valor de R$ 10.000,00?
i = 1% ao mês Mn = C · (1 + i)n
C = ? 10.000,00 = C · (1 + 0,01)10
n = 8 meses C = R$ 9.052,87
M6 = R$ 10.000,00
Resposta: R$ 9.052,87.
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3. Admitindo uma taxa de juros de 12% ao ano, válida para juros simples e para juros
compostos, quantos anos (inteiros) são necessários para que o montante que resulta
da capitalização, com juros compostos, seja maior que o montante que resulta da
capitalização, com juros simples, por dez anos, de um principal igual a R$ 1.000,00?
i = 12% ao ano Mn(JC)> M10(JS)
C = ? Mn (JC)= C · (1 + i)n
Mn (JS)= C · (1 + n · i)
1.000,00 · (1 + 0,12)n > 1.000,00 · (1 + 10 · 0,12)
log (1 + 0,12)n > log (1 + 10 · 0,12)
 n>
log(1+10⋅0,12)
log(1+0,12)
n > 6,96 anos  n = 7 anos
Resposta: 7 anos.
04. Admitindo uma taxa de juros de 12% ao período, qual é o valor, em reais, do
montante que resulta da capitalização, com juros compostos, por cinco anos e meio,
de um capital (principal) igual a R$ 10.000,00, adotando a convenção linear
(capitalização mista)?
i = 12% ao ano Mn não inteiro = C · (1 + i)n inteiro· (1 + i · n fração)
n = 5,5 anos M5,5 = 10.000,00 · (1 + 0,12)5 · (1 + 0,12 · 0,5)
M5,5 = ? M5,5 = R$ 18.680,82
C = R$ 10.000,00
Resposta: R$ 18.680,82.
05. Admitindo uma taxa de juros de 12% ao ano, qual é o valor, em reais, do montante
que resulta da capitalização, com juros compostos, por cinco anos e meio, de um
capital (principal) igual a R$ 10.000,00, adotando a convenção exponencial?
i = 12% ao ano Mn não inteiro = C · (1 + i)n não inteiro
n = 5,5 anos M5,5 = 10.000,00 · (1 + 0,12)5,5
M5,5 = ? M5,5 = R$ 18.650,87
C = R$ 10.000,00
Resposta: R$ 18.650,87.
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06. Considerem-se um capital (principal) de R$ 10.000,00, a ser financiado no regime
de juros compostos, observando no financiamento uma taxa de juros de 1% ao mês,
em dez prestações mensais, todas de mesmo valor, sem entrada, e com a primeira
prestação devendo ser paga já ao final do primeiro mês. Nessas condições, qual é o
valor, em reais, de cada uma das prestações?
PV = R$ 10.000,00 solução algébrica solução com uso de tabela
n = 10 meses R =PV⋅
(1+i )n−1
i⋅(1+i )n
 R = PV · FPR (i, n)
i = 1% ao mês R =10.000,00⋅
0,01⋅(1+0,01)10
(1+0,01)10−1
 R = R$ 10.000,00 · FPR (1%, 10)
R = ? R = R$ 1.055,82 R = R$ 10.000,00 · 0,105582
 R = R$ 1.055,82
Resposta: R$ 1.055,82.
07. Considere-se que um principal de R$ 10.000,00 haja sido financiado no regime de
juros compostos, observando no financiamento uma taxa de juros de 1% ao mês, em
dez prestações mensais, todas de mesmo valor, e com a primeira prestação devendo
ser paga na forma de entrada (no ato da compra), e com cada uma das demais no
início do respectivo mês. Nessas condições, qual é o valor, em reais, de cada uma das
prestações?
PV = R$ 10.000,00 solução algébrica
n = 10 meses R ’ =PV ⋅
i⋅(1+i )n−1
(1+ i )n−1
i = 1% ao mês R ’ =10.000,00⋅
0,01⋅(1+0,01)10−1
(1+0,01)10−1
R’ = ? R’ = R$ 1.045,37
solução com uso de tabela
R’ = PV · FRP (i, 1) · FPR (i, n)
R’ = 10.000,00 · FRP (1%, 1) · FPR (1%, 10)
R’ = 10.000,00 · 0,990099 · 0,105582
R’ = R$ 1.045,37
Resposta: R$ 1.045,37.
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08. Admita-se que uma pessoa disponha de um capital (principal) de R$ 100.000,00 a
serem aplicados em uma hipotética oportunidade de investimento que renda juros
compostos de 1% ao mês. Considerando que essa pessoa planeje sacar, ao final de
cada mês, a totalidade dos juros tão logo sejam gerados, qual é o valor dos juros
mensalmente assim produzidos?
PV = R$ 100.000,00 R = PV · i
i = 1% ao mês R = 100.000,00 · 0,01
R = ? R = R$ 1.000,00
Resposta: R$ 1.000,00.
09. Imagine-se que uma pessoa planeje efetuar, ao final de cada mês, um saque no
valor de R$ 10.000,00 correspondente ao exato valor dos juros mensalmente
produzidos a partir de um capital (principal) capitalizado, com juros compostos, com
uma taxa de juros de 1% ao mês. Qual é o valor, em reais, desse capital (principal)?
R = R$ 10.000,00 PV =
R
i
i = 1% ao mês PV =
10.000,00
0,01
PV = ? PV = R$ 1.000.000,00
Resposta: R$ 1.000.000,00.
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10. Considere-se uma série (postecipada) em gradiente (aritmético) de recebimentos
com seis períodos mensais, a qual, observando o regime de juros compostos e uma
taxa de juros ou de desconto de 1% ao mês, é equivalente a um principal igual a
R$ 10.000,00 referenciado ao instante inicial dessa série. Qual é o valor, em reais, do
recebimento que corresponde ao final do quarto mês da mencionada série?
n = 6 meses G=P⋅
(1+i )n
(1+ i )n−1
i 2
−
n
i
i = 1% ao mês G=10.000,00⋅
(1+0,01)6
(1+0,01)6−1
0,012
−
6
0,01
P = R$ 10.000,00 G = R$ 698,30
G4 = ?
 Gt = máx {0; (t – 1)} · G
 G4 = máx {0; (4 – 1)} · 698,30
 G4 = R$ 2.094,90
Resposta: R$ 2.094,90.
11. Qual é o valor, em reais, do sétimo recebimento de uma série (postecipada) em
gradiente geométrico com oito períodos anuais, e cuja taxa de gradiente geométrico é
igual a 2% ao ano, série essa que, observando o regime de juros compostos e uma
taxa de juros ou de desconto de 10% ao ano, é equivalente a um único recebimento
de R$ 10.000,00 referenciado ao instante de tempo inicial da mencionada série?
VF7 = ? i  g
n = 8 anos VF
1
=VP⋅
g−i
(1+g1+ i )
n
−1
g = 2% ao ano VF
1
=10.000,00⋅ 0,02−0,10
(1+0,021+0,10)
8
−1
i = 10% ao ano VF1 = R$ 1.764,40
VP = R$ 10.000,00
 VFt = VF1 · (1 + g)t - 1 
 VF7 = 1.764,40 · (1 + 0,02) 7 - 1
 VF7 = R$ 1.987,00
Resposta: R$ 1.987,00.
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12. Qual é o valor, em reais, do quinto recebimento de uma série (postecipada) em
gradiente geométrico com dez períodos mensais, e cuja taxa de gradiente geométrico
é igual a 1% ao mês, série essa que, observando o regime de juros compostos e uma
taxa de juros ou de desconto de 1% ao mês, é equivalente a um único recebimento de
R$ 10.000,00 referenciado ao instante de tempo inicial da mencionada série?
VF5 = ? i = g
n = 10 meses VF
1
=VP⋅
1+ i
n
g = 1% ao mês VF
1
=10.000,00⋅
1+0,01
10
i = 1% ao mês VF1 = R$ 1.010,00
VP = R$ 10.000,00
 VFt = VF1 · (1 + g)t - 1 
 VF5 = 1.010,00 · (1 + 0,01)5 - 1
 VF5 = R$ 1.051,01
Resposta: R$ 1.051,01.