Microsoft Word - A-ELETRICIDADE E MAGNETISMO - NOTAS DE AULAS-CAP-27 _1_

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UFPI/CCN/DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
DISCIPLINA: ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
PROF. VALDEMIRO DA PAZ BRITO 
 
NOTAS DE AULAS. 
 
 Com base na ementa contida no Plano de Ensino da disciplina, 
deveremos abordar os seguintes conteúdos: 
 
i) Cargas Elétricas e Lei de Coulomb; 
ii) Campo Elétrico e Lei de Gauss; 
iii) Potencial Elétrico; 
iv) Capacitores, Corrente e Resistência Elétrica; 
v) Circuitos de Corrente Contínua; 
vi) Campo Magnético; e, 
vii) Indução Magnética. 
 
 Estes conteúdos serão ministrados tomando-se por referência o livro 
texto: FÍSICA 3 de Robert Resnick, David Halliday e Kenneth S. Krane, em sua 
4ª Edição (ou outra mais recente). 
 
CARGAS ELÉTRICAS E LEI DE COULOMB 
 
 Estes conteúdos se encontram apresentados de forma mais detalhada 
no Capítulo 27 do livro texto. 
 
Seção 27-1, 2 e 3: Resumindo brevemente os conteúdos sobre Cargas 
Elétricas, podemos afirmar: 
i) Que existem dois tipos de cargas: positivas e negativas; 
ii) Que cargas surgem quando o equilíbrio elétrico de um corpo neutro é 
quebrado; 
iii) Que cargas de mesmo sinal se repelem e que cargas de sinais opostos se 
atraem; 
iv) Que a carga é conservada; 
v) Que a carga é quantizada; 
vi) Que as cargas poderão ou não fluir através de um corpo, dependo do 
mesmo ser condutor ou isolante; 
vii) A eletrização de um corpo pode ocorrer: por atrito, por contato ou por 
indução. 
 
Seção 27-4: Como existem forças elétricas de atração ou de repulsão entre as 
cargas, após muito tempo investido em experimentos de Laboratório, foi 
possível quantificar estas forças, através da Lei de Coulomb. Esta lei nos 
mostra que o módulo da força elétrica entre duas cargas é diretamente 
proporcional ao produto das cargas (em módulos) e inversamente proporcional 
ao quadrado da separação entre as mesmas. Ou seja, F=k.(q1.q2)/(r
2), onde a 
constante de proporcionalidade, k, depende do meio onde as cargas estão 
imersas. Se este meio é o vácuo, k=1/(4πε0). No sistema SI, temos como: 
unidade de carga, o Coulomb (C); unidade de distância, o metro (m) e como 
constante de permissividade do vácuo, ε0≅8,85x10
-12(C2)/(N.m2), resultando 
então que k≅8,99x109(N.m2)/C2. 
 Então, com essa escolha, teremos F=[1/(4πε0)]. [(q1.q2)/(r
2)], com a força 
expressa em Neutons, N. É fortemente recomendável estudar o Sistema 
Internacional de Unidades (SI). 
 É muito importante lembrar que a força elétrica é um vetor, e, como tal, 
possui: módulo, direção e sentido; os quais não poderão ser esquecidos nunca, 
em qualquer contexto! 
 Quando estivermos tratando com um sistema de muitas cargas, não 
podemos esquecer que os efeitos das interações, as forças elétricas, entre as 
cargas se superpõem (princípio de superposição), e isto nunca poderá ser 
esquecido. 
 Vale destacar agora que, na natureza, poderemos encontrar distribuições 
de cargas: discretas (cargas puntiformes) e contínuas (distribuições lineares, 
superficiais e volumétricas). Os problemas a serem resolvidos serão tanto 
mais complicados quanto mais elaboradas sejam as distribuições de cargas a 
serem estudadas. 
 Resolveremos, a seguir, uma sequência de problemas envolvendo os 
conteúdos deste capítulo: 
A) Problemas com distribuições discretas de cargas (cargas puntiformes); 
B) Problemas com distribuições contínuas de cargas: linear, superficial e 
volumétrica. 
 
A) Problemas com distribuições discretas de cargas: 
 
1) Sejam duas cargas puntiformes q1=5x10
-6C e q2= 4x10
-8C, dispostas fixas no 
vácuo, separadas de 10cm, ao longo de uma reta. Calcule o módulo da força 
que q1 exerce sobre q2, a sua direção e o seu sentido. É dado 
k≅8,99x109(N.m2)/C2, no sistema SI de unidades. 
 
Figura 1: Duas carga puntiformes positivas. 
 
Solução: 
Da Lei de Coulomb, temos F21=k.(q1.q2)/r21
2, segue, com r21n=0,10m, que 
F=[8,99x109(N.m2)/C2].[(5x10-6C.4x10-8C)/(0,10m)2]=17980,00x10-5N 
≅1,80x10-1N ou 0,180N (módulo da força). A direção da força é a direção da 
reta que une as duas cargas. E, o sentido da força é da direita para a 
esquerda, visto que as cargas são positivas. 
 
2) Sejam agora três cargas puntiformes: q1=4x10
-6C, q2=4x10
-6C e q3=-4x10
-8 
C, dispostas no vácuo, como indicadas na figura adiante. Obtenha o vetor força 
resultante sobre a carga q3, sabendo-se que: r31=10cm e r32=50cm. 
Figura 2: Sistema de três carga puntiformes no plano-XY 
 
 
Solução: 
Da Lei de Coulomb, temos F31=k.(q1.q3)/r31
2 e F32=k.(q2.q3)/r32
2, assim, com 
r31=0,10m e r32=0,50m, obtemos: 
F31=[8,99x10
9(N.m2)/C2].[(4x10-6C.4x10-8C)/(0,10m)2]≅1,44x10-1N ou 0,144N 
(módulo da força F31) e 
F32=[8,99x10
9(N.m2)/C2].[(4x10-6C.4x10-8C)/(0,50m)2]≅5,75x10-3N ou 0,00575N 
(módulo da força F32). 
As duas forças são atrativas e formam um ângulo de 90º entre si. Então a 
força resultante terá módulo FR≅√ [(0,144N)
2+(0,006N)2]≅0,144N. A sua 
direção será dada por θR=arctang(F32/F31)≅0,006/0,144≅0,04167, resultando 
θR≅0,0007 graus com a direção horizontal, no segundo quadrante. O sentido da 
força resultante é de afastamento da carga q3. Assim, temos o vetor força 
resultante perfeitamente caracterizado, com módulo, direção e sentido 
determinados. 
 Recomendamos fortemente os exercícios, a seguir, como importantes 
para a consolidação dos conteúdos de distribuições discretas de cargas: 
 
i) Problema 8 da página 10 do livro texto; 
ii) Problema 16 da página 10 do livro texto; 
iii)Problema 19 da página 11 do livro texto. 
 
B) Problemas com distribuições contínuas de cargas: 
 
1) Uma distribuição linear de cargas, λ, resulta da distribuição uniforme de 
uma dada carga líquida, q, sobre uma linha delgada limitada de material não 
condutor. 
 
2) Uma distribuição superficial de cargas, σ, resulta da distribuição uniforme de 
uma dada carga líquida, q, sobre uma superfície plana delgada de material não 
condutor. 
 
3) Uma distribuição volumétrica de cargas, γ, resulta da distribuição uniforme 
de uma dada carga líquida, q, sobre um volume definido de material não 
condutor. 
 
Problema com distribuição linear de cargas: 
 
1) Seja uma distribuição linear constando de um segmento de comprimento L, 
disposto sobre o eixo-X, no vácuo e contendo uma carga total Q, 
uniformemente distribuída. Obter a força resultante sobre uma carga de teste 
q0, positiva, colocada a uma distância a da extremidade direita do segmento de 
cargas. Para um melhor entendimento do problema, ver a figura adiante. 
 
Figura 3: Segmente de material dielétrico, com comprimento L, uniformemente 
carregado, sobre o eixo-X. 
 
 
Solução: 
Como Q está uniformemente distribuída no segmento, temos λ=Q/L, então um 
elemento de carga do segmento será dQ=λ.dx, que atuando em q0, gera um 
dF=(1/4πε0).(q0.dQ)/x
2,resultando dF=(1/4πε0).(q0.λ.dx)/x
2. Integrando membro 
a membro a equação anterior, segue 
 a+L a+L 
F=[(q0.λ)/(4πε0)]. (dx/x2) → F=[(q0.λ)/(4πε0)].(-1/x)| → 
 a a 
F=[(q0.Q/L)/(4πε0)].[L/a(a+L)]=(q0.Q)/[(4πε0).a(a+L)]. Se colocarmos q0 a uma 
distância a>>L, resulta a+L≈a → F≈(q0.Q)/[(4πε0).a
2], ou seja o segmento de 
cargas se comporta, aproximadamente, como uma carga puntiforme. 
 
2) Seja a mesma carga Q agora uniformemente distribuída em um anel 
(circunferência) delgado de raio a, colocado no plano-XY, centrado com a 
origem e no vácuo. Se uma carga q0 for colocada no ponto P da figura adiante, 
a uma distância z da origem, que força resultante atuará sobre a mesma? 
 
Figura 4: Anel de cargas, de raio a, apoiado no plano-XY, centrado com a 
origem. 
 
 
Solução: 
Como a carga Q está uniformemente distribuída no anel, existe uma densidade 
linear de cargas, no mesmo, dada por λ=Q/(2.π.a). Então, se tomarmos um 
elemento do anel de comprimento ds, no mesmo existirá um elemento de carga 
dQ=λ.ds=λ.(a.dθ).Este elemento de carga atuando sobre a carga q0, colocada 
em P, produzirá um elemento de força dF=[1/(4.π.ε0)].(q0.dQ)/r
2 → dF=[(q0. 
λ.a)/(4.π.ε0)].(dθ)/r
2. Mas r2=a2+z2, resultando 
dF={[(q0.λ.a)/(4.π.ε0)]/( a
2+z2)}.(dθ). Mas o vetor dF forma um ângulo α com o 
eixo-Z e somente as contribuições na direção Z sobreviverão, pois as 
contribuições paralelas ao plano-XY se cancelarão aos pares. E, de cosα= 
z/(a2+z2)1/2, resulta dFz={[(q0.λ.a.z)]/[(4.π.ε0).(a
2+z2)3/2]}.(dθ). Então integrando-
se, membro a membro, esta última equação resultará, após substituir o valor de 
λ, Fz=[(q0.Q.z)]/[(4πε0).(a
2+z2)3/2]. Este é o módulo da força resultante sobre q0. 
Sua direção é a do eixo-Z e o seu sentido, é de afastamento do anel de cargas. 
Casos limites: 
i) Quando o ponto P coincide com a origem → z=0 → F=0; 
ii) Quando z>>a → a2 é desprezível na presença de z2 → F≈(q0.Q)/[(4πε0).z
2], 
indicando que para grandes distâncias o anel de cargas se comporta, 
aproximadamente, como uma carga puntiforme. 
Obs: Comentar sobre a mudança do ponto P para o semi eixo negativo de Z, 
no que diz respeito ao sentido da força. 
 
Problema com distribuição superficial de cargas: 
 
1) Seja a mesma carga Q agora uniformemente distribuída em um disco 
delgado de raio a, colocado no plano-XY, centrado com a origem e no vácuo. 
Se uma carga q0 for colocada no ponto P da figura adiante, a uma distância z 
da origem, que força resultante atuará sobre a mesma? 
 
Figura 5: Disco de material dielétrico, uniformemente carregado, apoiado no 
plano-XY e centrado com a origem. 
 
 
 
Solução: 
Como a carga Q está uniformemente distribuída no disco, existe uma 
densidade superficial de cargas, no mesmo, dada por σ=Q/(π.a2). Então, se 
tomarmos um elemento infinitesimal de área do disco, dA, no mesmo existirá 
um elemento de carga dQ=σ.dA=σ.(r.dr.dθ). Este elemento de carga atuando 
sobre a carga q0, colocada em P, produzirá um elemento de força 
dF=[1/(4.π.ε0)].(q0.dQ)/d
2 → dF=[(q0.σ.(r.dr.dθ)/(4πε0)].(1/d
2). Mas d2=r2+z2, 
então dF=[(q0.σ.(r.dr.dθ)/(4πε0)].[1/(r
2+z2]. Mas o vetor dF forma um ângulo α 
com o eixo-Z e somente as suas contribuições na direção Z sobreviverão, pois 
as contribuições paralelas ao plano-XY se cancelarão aos pares. De cosα= 
z/(r2+z2)1/2, segue dFz=[(q0.σ.z/(4πε0)].[(r.dr.dθ)/(r
2+z2)3/2]. Então integrando-se, 
membro a membro, esta última equação obteremos, 
 a 2π 
Fz=[(q0.σ.z)/(4.π.ε0)].[(r.dr)/(r2+z2)3/2.dθ=[(q0.σ.z)/(4.π.ε0)].[1/z-1/(z2+a2)1/2].(2π), 
 0 0 
e após substituir o valor de σ, resultará Fz=(q0.Q)/[(2.π.ε0.a
2)].[1-z/(z2+a2)1/2]. 
Este é o módulo da força resultante do disco sobre q0. Sua direção é a do 
eixo-Z e o seu sentido, é de afastamento do disco de cargas. 
Casos limites: 
i) Quando z>>a, [1-z/(z2+a2)1/2 → (1/2)(a2/z2) → Fz≈(q0.Q)/[(4.π.ε0).z
2] → o disco 
se comporta, aproximadamente, como uma carga puntiforme; 
ii) Quando a>>z → z/(z2+a2)1/2 → 0 → Fz≈(q0.Q)/(2.π.ε0.a
2) ou Fz≈(q0.σ)/2.ε0 → 
o disco se comporta, aproximadamente, como um plano infinito de cargas. 
Obs: Comentar sobre a mudança do ponto P para o semi eixo negativo de Z, 
no que diz respeito ao novo sentido da força. 
 
Problema com distribuição volumétrica de cargas: 
 
1) Seja um hemisfério maciço de raio R, apoiado no plano-XY, com seu centro 
coincidindo com a origem do sistema de coordenadas cartesianas, como 
mostrado na figura adiante. Se a densidade volumétrica de cargas no 
hemisfério, de material não condutor, é ρ(r)=(k.e-ar)/r2, determine a expressão 
da carga total no hemisfério. 
 
Figura 6: Hemisfério de material dielétrico, com densidade volumétrica função 
de r, apoiado no polno-XY e centrado na origem. 
 
Solução: 
Para resolvermos este problema deveremos usar coordenadas esféricas: r, θ e 
φ. Como iremos calcular a carga total contida em um hemisfério, deveremos 
definir um elemento de carga, dq, com dq=ρ(r).dV e expressar o dV em 
coordenadas esféricas, isto é: dV=(dr).(r.dθ).(r.senθ.dφ) → 
dV=(r2.dr).(senθ.dθ).(dφ) → 
dq=[(k.e-ar)/r2].r2.dr.(senθ.dθ).(dφ)=(k.e-ar)dr.(senθ.dθ).(dφ). Então, integrando 
membro a membro esta última equação, com 0≤r≤R, 0≤θ≤π/2 e 0≤φ≤2π, para o 
segundo membro, segue 
 R π/2 2π R π/2 2π 
q=k.(e-ar)dr.(senθ).dθ.dφ → q=k.(-e-ar/a)|.(-cosθ|.(φ)|=(2.π.k)(1- e-aR)/a, 
 0 0 0 0 0 0 
 
o que indica que a carga no hemisfério cai exponencialmente com o raio do 
mesmo. 
 
Problemas para o cálculo de forças nos casos de distribuições volumétricas de 
cargas são muito complicados para serem resolvidos neste momento da 
disciplina. Futuramente retornaremos ao assunto. 
 
 Recomendamos fortemente o problema, a seguir, como importante para 
a consolidação dos conteúdos de distribuições contínuas de cargas: 
 
i) Problema Extra: Seja uma carga Q uniformemente distribuída em um disco 
delgado e vazado de raio interno a e raio externo b, colocado no plano-XY, 
centrado com a origem e no vácuo. Se uma carga q0 for colocada no ponto P 
da figura adiante, a uma distância z da origem, que força resultante atuará 
sobre a mesma? 
Figura 7 (Problema Extra): Disco com as mesmas características da figura 
anterior, mas vazado, sendo o raio interno a e o raio externo b. 
 
 
 Recomendamos fortemente também uma revisão cuidadosa sobre 
os sistemas de coordenadas: cartesianas, polares, cilíndricas e esféricas, em 
todos os seus aspectos relevantes, visando uma melhor preparação para os 
estudos dos demais conteúdos da disciplina.