Capitulo 2

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N I
Alexandre Balbinot
Valner João Brusamarello
Instrumentação e Fundamentos 
de Medidas
Volume 1
3a edição
l
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LTC, Forense, Método, Atlas e Forense Universitária
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Co
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I
Capítulo 2
FUNDAMENTOS DE ESTATÍSTICA, INCERTEZAS DE MEDIDAS E SUA PROPAGAÇÃO
Figura 2.1 Esboço de um eletrogoniômetro posicionado para 
avaliar os ângulos envolvidos em determinados movimentos de 
um braço.
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Figura 2.2 Exemplo de uma distribuição de dados.
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Figura 2.3 Formas de onda e suas correspondentes médias aritméticas: (a) seno e 
(b) onda quadrada.
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Figura 2.4 Gráfico para o exemplo da dosagem de um medicamento.
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Figura 2.5 Forma de onda para exemplificar a média quadrática.
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Figura 2.6 Tensão senoidal.
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Figura 2.7 Esboço do retificador de meia-onda.
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Massa dos capacitores (gramas)
Tendência do histograma 
se o número de 
amostras aumentar e 
os intervalos diminuírem
Figura 2.8 Curva de distribuição normal para os componentes eletrônicos.
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Figura 2.9 Funções densidade de probabilidade para o exemplo dos veículos (n = 35): (a) com p = 15% e p = 30% e (b) com p = 60% e p = 90%.
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Figura 2.10 Funções densidade de probabilidade para quatro veículos (n = 4) do problema anterior com p = 30% e com p = 60% (consideran-
do-se P(X < 5)).
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Figura 2.11 Funções densidade de probabilidade para um processo de Poisson com  = 0,15 e  = 0,20.
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Figura 2.12 Funções densidade de probabilidade gama com parâmetros  = r = 1 (linha cinza);  = r = 2 (linha tracejada) e 
 = r = 3 (linha pontilhada).
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Figura 2.13 Função densidade de probabilidade qui-quadrada (caso especial da função distribuição gama) com parâmetros 
 = 1/2 e r = 1/2 (linha cinza) e  = 1/2 e r = 1 (linha tracejada).
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Distribuição exponencial
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
x
f(
x)
Figura 2.14 Exemplo de função densidade de probabilidade exponencial com  = 1/38.
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Figura 2.15 Função distribuição cumulativa F(x) para o exemplo anterior, em que o eixo X representa total de horas.
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Figura 2.16 Função densidade de probabilidade f(x) de Weibull para δ = b = 1 (linha cinza), δ = 3,4 e b = 2 (linha tracejada) e 
δ = 4,5 e b = 6,2 (linha pontilhada).
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Distribuições gaussianas com diferentes médias e desvios padrão
Figura 2.17 Função densidade de probabilidade gaussiana para diferentes valores de média e de desvio padrão: m = 1 = s 
(linha cinza), m = 0 e s = 1 (linha pontilhada), m = 2 e s = 0,5 (linha traço e ponto) e m = 1 e s = 0,5 (linha tracejada).
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Figura 2.18 Desvio padrão e sua relação com a média na curva normal.
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Figura 2.19 Curva distribuição normal para o exemplo anterior.
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Figura 2.20 Exemplos de sinais e sua correlação r: (a) sinal seno e cosseno são descorrelacionados e (b) alta 
correlação entre o sinal seno e onda triangular.
(a)
(b)
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Figura 2.21 Dados de um determinado experimento e amostras de ensaios e o 
coeficiente de correlação r.
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Figura 2.22 Dois cossenos: (a) com um dos cossenos deslocado no tempo e (b) deslocamento no tempo dos cossenos 
com diferença de fase menor que (a).
(a)
(b)
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Figura 2.23 Sinal senoidal e sinal eletromiográfico e suas correspondentes funções de autocorrelação.
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Figura 2.24 Sinais eletromiográficos e suas correspondentes funções de autocorrelação.
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Figura 2.25 Diagrama de um possível aparato experimental para determinar a transmissibilidade da vibração de dois assentos automotivos.
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Figura 2.26 Representação da incerteza de saída em função 
da variabilidade das variáveis de entrada.
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Figura 2.27 Paralelepípedo com dimensões x, y e z.
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Fr
eq
uê
nc
ia
 a
cu
m
ul
ad
a 
(x
) 
re
la
tiv
a
Fr
eq
uê
nc
ia
 a
cu
m
ul
ad
a 
(x
) 
re
la
tiv
a
Figura 2.28 Efeitodo número de medições simuladas (M) na curva de distribuição gerada: (a), (b) M = 100 e (c), (d) M = 100 000.
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Figura 2.29 O resultado 
da soma de duas distribuições 
retangulares com o mesmo 
intervalo [0; 1] é uma dis-
tribuição triangular. A 
ilustração é feita com histo-
gramas de 100 000 simulações.
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Figura 2.30 O resultado 
da soma de duas distribuições 
retangulares com o intervalo [0; 
1] e [0; 2,5] é uma distribuição 
trapezoidal. A ilustração é 
feita com histogramas de 100 
000 simulações.
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Figura 2.31 Resultado da soma de três distribuições retangulares, utilizando o MMC com X1 com um intervalo [0; 1], X2 com um intervalo 
[0; 2,5] e X3 com um intervalo [0; 1]), considerando-se 100 000 simulações.
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Figura 2.32 Distribuição da variável de saída para o exemplo da calibração do multímetro digital (gerada com 100 000 simulações).
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Figura 2.33 Regressão linear.
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Figura 2.34 Relação dos dados experimentais: temperatura versus quantidade de água 
absorvida.
Q
ua
nt
id
ad
e 
d
e 
ág
ua
 a
b
so
rv
id
a 
(m
g
)
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Figura 2.35 Regressão linear para os dados do experimento da Tabela 2.20.
Q
ua
nt
id
ad
e 
d
e 
ág
ua
 a
b
so
rv
id
a 
(m
g
)
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Figura 2.36 As curvas tracejadas representam o intervalo de confiança dos dados.
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Figura 2.37 Ajuste de curvas por mínimos quadrados.
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Figura 2.38 Diagrama de blocos para um experimento eficiente.
CONHECIMENTOS NECESSÁRIOS PARA
INSTRUMENTAÇÃO
UM
EXPERIMENTO EFICIENTE
Compreender a relação dos dados com o modelo
Para coletar, apresentar,
analisar e utilizar os
corretamentedados
Para compreender a
variabilidade dos dados
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Figura 2.39 Diagrama de blocos do aparato experimental projetado para esse exemplo.
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Figura 2.40 Distribuição dos resíduos em função da correspondente ordem de repetição.
Ordem das medidas
2
1,5
1
0,5
0
20,5
21
21,5
22
22,5
0 2 4 6
 
8 10 12 14 16 18 20
R
es
íd
uo
s
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Média aritmética do nível
2
1.5
1
0.5
0
20.5
21
21.5
22
22.5
1 2 3 4
 
5 6 7 8
R
es
íd
uo
s
Figura 2.41 Distribuição dos resíduos em função da correspondente média dos níveis. 
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Figura 2.42 Composição experimental da Tabela 2.43.
d
d
d
d
IV
b
b
b
b
II
a
a
a
a
I
c
c
c
c
III
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Figura 2.43 Composição experimental da Tabela 2.44.
c
c
d
a
IV
d
b
b
a
II
a
b
b
d
I
a
d
c
c
III
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Figura 2.44 Composição experimental da Tabela 2.46.
c
d
a
b
IV
d
c
b
a
II
a
d
b
c
I
a
b
c
d
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Figura 2.45 Uma possível composição experimental: Marca de Assento (a, b, c, d) e Tipo de 
Veículo (I, II, III, IV) estão em blocos, mas Marca de Assento (a, b, c, d) e Tipo de Piso de Rodagem (1, 2, 
3, 4) estão confundidos.
IVIII
1a
3c
2b
4d
1a
3c
2b
4d
1a
3c
2b
4d
1a
3c
2b
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Figura 2.46 Uma possível composição experimental: Marca de Assento (a, b, c, d) e Tipo de 
Veículo (I, II, III, IV ) estão em blocos e também Marca de Assento (a, b, c, d) e Tipo de Piso de 
Rodagem (1, 2, 3, 4).
1d
3d
2a
4c
IV
1b
3d
2c
4a
II
1a
3c
2b
4d
I
1c
3a
2b
4d
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Figura 2.47 Composição experimental do exemplo anterior: Marca de Assento (a, b, c, d), Tipo 
de Veículo (I, II, III, IV) e Tipo de Piso de Rodagem (1, 2, 3, 4).
1a
4c
2b
3d
IV
1c
3a
2d
4b
II
1b
3c
2a
4d
I
1d
3d
2c
4a
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Figura 2.48 Solução do Exercício 5.
1901ral
1901ral
0
Dias
V
a
l
o
r
e
m
R
$
1901ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral
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Figura 2.49 Distribuições geradas no Exercício 15.
Incerteza - Termopar�104
6
4
2
0
�0,25 �0,2 �0,15 �0,1 �0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
mV
N
úm
er
o 
de
 e
ve
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os
N
úm
er
o 
de
 e
ve
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os
N
úm
er
o 
de
 e
ve
nt
os
N
úm
er
o 
de
 e
ve
nt
os
Incerteza - Parcela experimental
mV
Incerteza - Resolução voltímetro
Incerteza de saída em mV
mV
mV
�104
�104
�105
�0,5 �0,4 �0,3 �0,2 �0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
2,5
2
1,5
1
0,5
0
15
10
5
0
28,4 28,6 28,8 29 29,2 29,4 29,6 29,8
�0,03 �0,02 �0,01 0 0,01 0,02 0,03
6
4
2
0
 Instrumentação e Fundamentos de Medidas
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