transferencia_de_calor_transie (5)

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Transferência de Calor e 
Massa I
Prof. Juscelino Jr.
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Condução de calor em 
regime transiente
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Condução de calor em regime transiente
Muitos problemas de transferência de calor são dependentes
do tempo. São problemas não-estacionários ou transientes que
surgem quando as condições de contorno de um sistema são
mudadas.
Por exemplo, se a temperatura superficial de um sistema for
alterada, a temperatura em cada ponto desse sistema também
começará a mudar. Essas mudanças continuarão até que uma
distribuição de temperaturas estacionárias seja alcançada.
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Condução de calor em regime transiente
Em um lingote de metal quente, removido de um forno e
exposto a uma corrente de ar frio a energia será transferida
por convecção e radiação de uma superfície para a vizinhança.
Da mesma forma, haverá uma transferência de calor por
condução no interior da peça. Assim haverá uma diminuição
da temperatura em cada ponto do lingote com o tempo, até
que uma condição de regime estacionário seja alcançada.
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Condução de calor em regime transiente
Processo similar é o resfriamento de alimentos, onde o
produto é submetido a uma corrente de ar a baixa
temperatura e a temperatura do produto diminui
gradativamente, até atingir uma mesma condição de regime
estacionário.
O comportamento da temperatura depende do tempo e da
posição no sólido e ocorre em muitos processos industriais de
aquecimento e resfriamento.
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Condução de calor em regime transiente
O problema transiente pode ser resolvido através de duas
análises, considerando:
 A variação de temperatura no interior do sólido é
desprezível (variação com a posição) e somente há variação
com o tempo: T(t)
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Condução de calor em regime transiente
 A variação da temperatura no sólido com a posição e o
tempo: T(x,t)
Exemplos de aplicação:
- Tratamento térmico;
- Lingote de metal quente removido de um forno e exposto a
uma corrente de ar frio;
- Produção de novos materiais com propriedades melhoradas;
- Resfriamento e congelamento de alimentos.
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Condução de calor em regime transiente
Método da capacitância global
 Um problema simples e comum de condução transiente
envolve um sólido que passa por uma súbita mudança no seu
ambiente térmico.
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Condução de calor em regime transiente
Método da capacitância global
 Como exemplo, em um processo de têmpera, o metal a uma
temperatura inicial Ti é submetido a um rápido resfriamento
através da imersão em um meio líquido a uma temperatura
Ti, mais baixa que Ti (Ti > T∞ ).
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Condução de calor em regime transiente
Método da capacitância global
 A essência do método da capacitância global é a hipótese de
que a temperatura do sólido é uniforme no espaço, em
qualquer instante durante o processo transiente, ou seja, os
gradientes de temperatura no interior do sólido são
desprezíveis.
 Pela Lei de Fourier, um gradiente desprezível implica a
existência de uma condutividade térmica (k) infinita, o
que é obviamente impossível.
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Condução de calor em regime transiente
Método da capacitância global
 No entanto, essa solução é aproximada se a resistência
interna à transferência de calor por condução dentro do
sólido é muito pequena comparada à resistência externa
entre a superfície e o meio (convecção).
 Esta aproximação é mais exata quanto maior for a relação
entre a área superficial e o volume, como por exemplo em
placas finas e fios.
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Condução de calor em regime transiente
Método da capacitância global
 Ao desprezar os gradiente de temperatura no interior do
sólido, o problema não pode mais ser analisado do ponto
de vista da equação do calor.
 Como alternativa, a resposta transiente é determinada
através de um balanço global de energia no sólido. Esse
balanço deve relacionar a taxa de perda de calor na
superfície com a taxa de variação de sua energia interna,
isso é:
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Condução de calor em regime transiente
Método da capacitância global
(𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟) = (𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜)
𝐸𝑠𝑎𝑖 = 𝐸𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜
−ℎ. 𝐴𝑠. 𝑇 𝑡 − 𝑇∞ = 𝜌. 𝑉. 𝑐𝑝.
𝑑𝑇 𝑡
𝑑𝑡
onde 𝐴𝑠 e a área superficial do solido, em m², r sua massa especifica, em
kg/m³, V o seu volume, em m³ e 𝑐𝑝 o calor especifico, em J/kg.K. Na mesma
eq., T representa a temperatura e t o tempo.
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Condução de calor em regime transiente
Método da capacitância global
−𝜃 𝑡 =
𝜌. 𝑉. 𝑐𝑝
ℎ. 𝐴𝑠
.
𝑑𝜃 𝑡
𝑑𝑡
Adimensionalizando:
𝜃 𝑡 = 𝑇 𝑡 − 𝑇∞
𝑑𝜃 𝑡
𝑑𝑡
=
𝑑𝑇 𝑡
𝑑𝑡
−ℎ. 𝐴𝑠. 𝑇 𝑡 − 𝑇∞ = 𝜌. 𝑉. 𝑐𝑝.
𝑑𝑇 𝑡
𝑑𝑡
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Condução de calor em regime transiente
Método da capacitância global
−𝜃 𝑡 =
𝜌. 𝑉. 𝑐𝑝
ℎ. 𝐴𝑠
.
𝑑𝜃 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡 = −
𝜌. 𝑉. 𝑐𝑝
ℎ. 𝐴𝑠
.
𝑑𝜃 𝑡
𝜃 𝑡
Separando e integrando:
𝑡 = −
𝜌. 𝑉. 𝑐𝑝
ℎ. 𝐴𝑠
. ln 𝜃 𝑡
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Condução de calor em regime transiente
Método da capacitância global
Aplicando os limites:
𝑡 = −
𝜌. 𝑉. 𝑐𝑝
ℎ. 𝐴𝑠
. ln 𝜃 𝑡
𝜃𝑖 = 𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝑡 = −
𝜌. 𝑉. 𝑐𝑝
ℎ. 𝐴𝑠
. ln
𝜃
𝜃𝑖
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Condução de calor em regime transiente
Método da capacitância global
Reescrevendo:
𝑡 = −
𝜌. 𝑉. 𝑐𝑝
ℎ. 𝐴𝑠
. ln
𝜃
𝜃𝑖
ln
𝜃
𝜃𝑖
= −𝑡.
ℎ. 𝐴𝑠
𝜌. 𝑉. 𝑐𝑝
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Condução de calor em regime transiente
Método da capacitância global
Isolando:
ln
𝜃
𝜃𝑖
= −𝑡.
ℎ. 𝐴𝑠
𝜌. 𝑉. 𝑐𝑝
𝜃𝑖
𝜃
𝜃
𝜃𝑖
=𝑒
−𝑡.
1
𝜏 τ =
𝜌. 𝑉. 𝑐𝑝
ℎ. 𝐴𝑠
onde:
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Condução de calor em regime transiente
Método da capacitância global
Reescrevendo:
𝜃
𝜃𝑖
=𝑒
−𝑡.
1
𝜏
𝑇 𝑡 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
=𝑒
−𝑡.
1
𝜏
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Condução de calor em regime transiente
Método da capacitância global
Mas... 𝑇 𝑡 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
=𝑒
−𝑡.
1
𝜏
Só é válida quando:
𝐵𝑖 =
ℎ. 𝐿
𝑘
< 0,1 𝐵𝑖 =
ℎ. 𝑟
3. 𝑘
< 0,1𝐵𝑖 =
ℎ. 𝑟
2. 𝑘
< 0,1
Cartesiana Cilíndrica Esférica
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Condução de calor em regime transiente
Exercício
Bolas de aço com 12 mm de diâmetro são temperadas pelo
aquecimento a 1150 K seguido do resfriamento lento até 400 K,
em um ambiente com ar a 𝑇∞ = 325 K e h = 20 W/m².K. Supondo
que as propriedades do aço sejam k=40W/m.K, ρ = 7800 kg/m³ e
cp = 600 J/kg.K:
a) Estime o tempo necessário para o processo de resfriamento; (t = 1122 s)
b) Desenhe a curva de resfriamento ate uma temperatura próxima mas
superior a 𝑇∞;
c) Estime a temperatura do solido na metade do tempo total de resfriamento.
(T = 573,8 K)