Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
CH HISTÓRIA 1U.T.I.Unidade Técnica de ImersãoMMATEMÁTICA T © Hexag Sistema de Ensino, 2018 Direitos desta edição: Hexag Sistema de Ensino, São Paulo, 2019 Todos os direitos reservados. Autores Herlan Fellini Pedro Tadeu Batista Vitor Okuhara Diretor geral Herlan Fellini Coordenador geral Raphael de Souza Motta Responsabilidade editorial, programação visual, revisão e pesquisa iconográfica Hexag Sistema de Ensino Diretor editorial Pedro Tadeu Batista Editoração eletrônica Arthur Tahan Miguel Torres Bruno Alves Oliveira Cruz Claudio Guilherme da Silva Eder Carlos Bastos de Lima Fernando Cruz Botelho de Souza Matheus Franco da Silveira Raphael de Souza Motta Raphael Campos Silva Projeto gráfico e capa Raphael Campos Silva Foto da capa pixabay (http://pixabay.com) Impressão e acabamento Meta Solutions Todas as citações de textos contidas neste livro didático estão de acordo com a legislação, tendo por fim único e exclusivo o ensino. Caso exista algum texto, a respeito do qual seja necessária a inclusão de informação adicional, ficamos à disposição para o contato pertinente. Do mesmo modo, fizemos todos os esforços para identificar e localizar os titulares dos direitos sobre as imagens publicadas e estamos à disposição para suprir eventual omissão de crédito em futuras edições. O material de publicidade e propaganda reproduzido nesta obra está sendo usado apenas para fins didáticos, não represen- tando qualquer tipo de recomendação de produtos ou empresas por parte do(s) autor(es) e da editora. 2019 Todos os direitos reservados por Hexag Sistema de Ensino. Rua Luís Góis, 853 – Jd. Mirandópolis – São Paulo – SP CEP: 04043-300 Telefone: (11) 3259-5005 www.hexag.com.br contato@hexag.com.br Você está recebendo o primeiro caderno da U.T.I. (Unidade Técnica de Imersão) do Hexag Vestibulares. Este material tem o objetivo de verificar se você aprendeu os conteúdos estudados nos livros 1 e 2, oferecendo-lhe uma seleção de questões dissertativas ideais para exercitar suas memória e escrita, já que é fundamental estar sempre pronto a realizar as provas de 2ª fase dos vestibulares. Além disso, este material também traz sínteses do que você observou em sala de aula, ajudando-lhe ainda mais a compreender os itens que, eventualmente, não tenham ficado claros e a relembrar os pontos que foram esquecidos. Aproveite para aprimorar seus conhecimentos. Bons estudos! Herlan Fellini CARO ALUNO M MATEMÁTICA T Matemática 10 1 U.T.I. SUMÁRIO Matemática Matemática 1 5 Matemática 2 25 Matemática 3 41 M MATEMÁTICA T Matemática 10 1 U.T.I. 7 Potenciação e radiciação Resumo das pRopRiedades de potências Sendo a e b números reais e m e n números inteiros, temos: § P1: a m ∙ an = am + n § P2: am __ an = a m – n, se a ≠ 0 e m ≥ n § P3: (a ∙ b) m = am ∙ bm § P4: ( a __ b ) m = a m __ bm , se b ≠ 0 § P5: (a m)n = am ∙ n pRopRiedades da Radiciação 1ª propriedade § Se o índice for ímpar (n é ímpar), o radicando poderá ser qualquer número real: n √ __ xn = x, x ∈ R. § Se o índice for par (n é par), o radicando deverá ser um número real não negativo: n √ __ xn = x, x ≥ 0 (condição de existência). Observe que, dessa definição, segue que 24 : 2 = 23, e não 22. 2ª propriedade n √ ___ am = n : p √ ___ am:p , para todo a [ R+ e n, m e p [ N, com n ≥ 2, sendo p um número diferente de zero e divisor comum de m e n. 3ª propriedade n √ ____ a ∙ b = n √ __ a · n √ __ b , para todo a [ R+, b [ R+ e n [ N, com n ≥ 2. 4ª propriedade n √ __ a __ b = n √ __ a ___ n √ __ b , para todo a [ R+, b [ R + * e n ∈ N, com n ≥ 2. potenciação e Radiciação com Radicais ( m √ __ a ) n = m √ __ an , em que a ≥ 0, m é um número natural maior que 1 e n é um número inteiro. m √ ___ n √ __ a = m · n √ __ a , em que a ≥ 0 e m e n são números naturais maiores que 1. 8 Racionalização de denominadoRes Situação 1 § Vamos racionalizar o denominador de 2 ____ 3 √ __ 8 . 2 ____ 3 dXX 8 = 2 ____ 3 dXX 8 · dXX 8 ___ dXX 8 = 2 √ __ 8 ____ 3 ∙ 8 = √ __ 8 ___ 12 Situação 2 § Vamos racionalizar o denominador de 2 _______ dXX 2 + dXX 5 . Nesse denominador, há uma adição de dois números irracionais. Para racionalizá-lo, vamos multiplicar a fração por: dXX 2 – dXX 5 _______ dXX 2 – dXX 5 . 2 _______ dXX 2 + dXX 5 · dXX 2 – dXX 5 _______ dXX 2 – dXX 5 = 2 · ( dXX 2 – dXX 5 ) __________ ( dXX 2 ) 2 – ( dXX 5 ) 2 = 2 dXX 2 – 2 dXX 5 _________ 2 – 5 = 2 √ __ 5 – 2 √ __ 2 ________ 3 potência com expoente fRacionáRio am/n = n √ __ am para todo a [ R+, m [ Z e n [ N, com n ≥ 2. equações do Primeiro grau e Problemas clássicos equações É expressa na forma ax + b = 0, com a i 0. Toda equação possui um conjunto solução. Conjunto solução é o nome que se dá ao conjunto dos valores que tornam uma equação verdadeira. 9 pRoblemas clássicos O problema das torneiras Uma torneira enche um tanque em 16 horas e outra, em 12 horas. Estando o tanque vazio e abrindo simul- taneamente as duas torneiras, em quanto tempo encherão o tanque? Comentários Nessa situação-problema, não devemos aplicar a regra de três, uma vez que as capacidades de trabalho das torneiras são diferentes. A saída, aqui, é identificar as frações do trabalho que as respectivas torneiras realizam em uma unidade de tempo. No caso, ver a parte do tanque que cada torneira enche em 1 hora. Veja: § Se a primeira torneira enche o tanque todo em 16 horas, então em 1 hora ela encherá 1 ___ 16 do tanque. § Se a segunda torneira enche o tanque todo em 12 horas, então em 1 hora ela encherá 1 ___ 12 do tanque. Solução Sendo x horas o tempo que as duas torneira gastarão, juntas, para encher o tanque, em uma hora elas encherão 1 __ x = 1 ___ 16 + 1 ___ 12 do tanque. Daí, 48 ___ 48x = 3x + 4x ______ 48x ⇒ x = 48 ___ 7 = 6 6 __ 7 . Note: 6 __ 7 h = 6 __ 7 · 60 min = 360 ___ 7 min = 51 3 __ 7 min Resposta: 6 6 __ 7 horas ou 6 horas e 51 3 __ 7 minutos O problema das lojas Deborah foi ao shopping-center e entrou em cinco lojas. Em cada uma gastou R$ 1,00 a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Ao sair do shopping-center, pagou R$ 3,00 de estacionamento e ficou com R$ 2,00. Quanto Deborah tinha, inicialmente, antes de entrar na primeira loja? Solução algébrica Sendo x reais a quantia inicial de Deborah, têm-se: Loja Entrou com... Gastou... Saiu com... 1 x x __ 2 + 1 x __ 2 – 1 2 x – 2 ____ 2 x – 2 ____ 4 + 1 x – 2 ____ 4 – 1 3 x – 6 ____ 4 x – 6 ____ 8 + 1 x – 6 ____ 8 – 1 4 x – 14 _____ 8 x – 14 _____ 16 + 1 x – 14 _____ 16 – 1 5 x – 30 _____ 16 x – 30 _____ 32 + 1 x – 30 _____ 32 – 1 10 Então, após pagar R$ 3,00 de estacionamento, temos que: x – 30 _____ 32 – 1 – 3 = 2 ⇒ x – 30 _____ 32 = 6 ⇒ R$ 222,00. Solução aritmética Vendo a situação-problema do fim ao começo, tem-se: 54 Resposta: Deborah tinha, inicialmente, R$ 222,00. O problema das idades Matheus diz a Gabriel: “Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 90 anos”. Determine a idade atual de cada um. Comentários Uma boa saída para os problemas de idade é a construção de uma tabela contendo as idades dos personagens envolvidos, no presente e/ou no passado e/ou no futuro e, depois, montar equações tendo em vista que a diferença das idades não muda: “se quando Gabriel nasceu, Matheus tinha x anos, Matheus sempre será x anos mais velho que Gabriel, no presente, no pas- sado ou no futuro, não importa o tempo”. SoluçãoConsiderando os dados do problema, temos a seguinte tabela: Passado Presente Futuro Matheus y 2x 90 – 2x Gabriel x y 2x Se você não entendeu a construção da tabela anterior, veja a sua construção passo a passo: 1. Matheus disse: ”Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas”. Daí, Matheus, no presente, tem 2x anos e Gabriel, x anos, no passado. 2. Matheus disse: ”(...) quando eu tinha a idade que tu tens”. Daí, Matheus tinha y anos no passado (quando o Gabriel tinha x anos), sendo y anos também a idade de Gabriel hoje, no presente. 3. Matheus disse: ”(...) quanto tu tiveres a idade que eu tenho”. Daí, no futuro, a idade de Gabriel será 2x (a mesma de Matheus hoje, no presente). 4. Matheus disse: “(...) a soma das nossas idades será 90 anos“. Daí, como no futuro a idade de Gabriel será 2x, a de Matheus será o que está faltando para completar os 90 anos, ou seja, a idade de Matheus será (90 – 2x) anos. Observando que, em qualquer tempo, a diferen- ça das respectivas idades será sempre a mesma, da ta- bela tem-se: 11 I. y – x = 2x – y ⇒ 2y = 3x Lembra do artifício do problema da persegui- ção para evitar as frações? 2y = 3x = 6k ⇔ x = 2k y = 3k II. y – x = (90 – 2x) – 2x ⇒ y + 3x = 90 ⇒ ⇒ 3k + 6k = 90 ⇒ k = 10 ⇒ x = 20 y = 30 Logo, hoje Matheus tem 2x = 40 anos e Gabriel, y = 30 anos. O problema dos tratores Para arar certo campo, um primeiro trator gasta 2 horas a menos que o terceiro e uma hora a mais que o segundo. Se o primeiro e o segundo tratores trabalharem juntos, a operação pode ser feita em 1 hora e 12 minutos. Quanto tempo gastam os 3 tratores, juntos, para arar um outro campo idêntico, nas mesmas condições? Comentários Se, para efetuar um trabalho, gastam-se 3 horas, em uma hora faz-se 1 __ 3 desse trabalho. Em geral, para efetuar um trabalho, gastam-se x horas, em uma hora, portanto, faz-se 1 __ x desse trabalho. Solução Sendo x horas o tempo que o terceiro trator gas- ta sozinho, temos: 1. Tempo gasto pelo primeiro trator = (x – 2) horas. 2. Tempo gasto pelo segundo trator = tempo gasto pelo primeiro trator, menos 1 hora = (x – 3) horas. Note: se o primeiro trator gasta uma hora a mais que o segundo, então o segundo gasta uma hora a menos que o primeiro. 3. 1 h e 20 minutos = ( 1 + 12 ___ 60 ) h = 6 __ 5 h. 4. Em uma hora de trabalho, o primeiro trator faz 1 ____ x – 2 do serviço, o segundo faz 1 ____ x – 3 e os dois, juntos, fazem 1 __ 6 __ 5 = 5 __ 6 . Daí: 1 ____ x – 2 + 1 ____ x – 3 = 5 __ 6 ⇒ ⇒ 6(x – 3) + 6(x – 2) ______________ 6(x – 2)(x – 3) = 5(x – 2)(x – 3) ___________ 6(x – 2)(x – 3) ⇒ ⇒ 5x2 – 37x + 60 = 0 ⇒ ⇒ x = 5 ou x = 2,4 (não convém) Assim, o primeiro, o segundo e o terceiro tratores gastam, respectivamente, x – 2 = 3 h, x – 3 = 2 h e x = 5 h. Então, se os três, juntos, gastarem y horas para fazer o serviço, em uma hora eles farão: 1 __ y = 1 __ 2 + 1 __ 3 + 1 __ 5 = 31 ___ 30 . Resposta: 30 ___ 31 horas. O problema da água e do vinho Um barril contém 30 litros de água e outro, 20 litros de vinho. Tomam-se, simultaneamente, x litros de cada barril e permutam-se. Repetindo a operação várias vezes pode-se comprovar que a quantidade de vinho em cada barril se manteve constante, após a primeira troca. Determinar quantos litros (x) são trocados em cada operação. Solução 1. De início, temos: No 1º barril: água = 30 L vinho = 0 No 2º barril: água = 0 vinho = 20 L 2. Após a primeira troca, ficamos com: No 1º barril: água = (30 – x) L vinho = x L fração de vinho = x ___ 30 No 2º barril: água = x L vinho = (20 – x) L fração de vinho = 20 – x _____ 20 ( Lembre-se: fração = parte ____ todo ) 12 A partir da primeira troca, as quantidades de vi- nho, em cada barril, permanecem inalteradas. Então, as quantidades de vinho trocadas são iguais: Vinho que sai do 1º barril = vinho que sai do 2º barril. Daí, obtemos: x ___ 30 · x = ( 20 – x _____ 20 ) · x Uma vez que x é diferente de zero, ficamos com: x __ 3 = 20 – x _____ 2 ⇒ x = 12 Resposta: 12 litros equações do segundo grau É escrita na forma ax² + bx + c = 0, sendo a i 0. As soluções podem ser encontradas pela fórmula de Bhaskara: x = –b ± dXXXXXXX b2 – 4ac ___________ 2a O termo b2 – 4ac, denominado discriminante, é representado pela letra grega delta maiúscula (D). O valor numérico do discriminante indica a quantidade de raízes reais distintas da equação: § Se D > 0 (discriminante positivo), a equação possui duas raízes reais distintas. § Se D = 0 (discriminante nulo), a equação possui apenas uma raiz real. § Se D < 0 (discriminante negativo), a equação não possui raízes reais. soma e pRoduto das Raízes de uma equação do segundo gRau x² – Sx + P = 0, sendo que S = – b __ a e P = c __ a . equações biquadRadas É expressa na forma ax4 + bx² + c = 0, sendo a i 0. Substituindo x² por y, temos x4 = (x²)² = (y)² = y². Logo, a equação na variável y é ay² + by + c = 0, com raízes y1 e y2. Porém, como x² = y, temos que x = ± √ _ y , logo: § x1 = √ __ y1 § x2 = – √ __ y1 § x3 = √ __ y2 § x4 = – √ __ y2 teoria dos conjuntos Intuitivamente, conjunto é um agrupamento de elementos. Formas de representação: § Por extensão: A = {0, 2, 4, 6, 8}. § Por diagramas de Euler Venn. § Por compreensão: A = {x | x é um número par menor que 9}. Relações de peRtinência § x § A Lê-se o elemento x pertence ao conjunto A. § x ∉A Lê-se o elemento x não pertence ao conjunto A. As relações de inclusão , e ÷ relacionam dois conjuntos. 13 Considerando os conjuntos A e B representados pelo diagrama de Venn, temos: Igualdade de conjuntos Indicamos por A = B, quando os conjuntos A e B possuem os mesmos elementos. Conjunto universo É o conjunto que considera todos os elementos de um determinado tópico. Exemplo: o conjunto dos números reais é um conjunto universo. Conjunto unitário É aquele que possui um único elemento. Exemplo: S = {2} Conjunto vazio É aquele que não possui elemento. Há duas for- mas de representação: { } ou Ø. Subconjuntos A = {1, 3, 7} B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} A , B (A está contido em B) B . A (B contém A) opeRações União de conjuntos A união de dois conjuntos A e B é o conjun- to formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Seja A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, então A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 6}. Intersecção de conjuntos A intersecção de dois conjuntos A e B é o con- junto formado pelos elementos que são comuns a A e a B. Seja A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, então A ∩ B = {0, 2, 4}. Diferença de conjuntos Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}. A diferença de conjuntos é definida por A – B = {x | x [ A e x Ó B}. Sendo assim, A – B = {1, 3, 5}. 14 Se B , A, a diferença A – B denomina-se com- plementar de B em relação a A, e indica-se C B A . C B A = A – B Por exemplo, se B = {2, 3} e A = {0, 1, 2, 3, 4}, então C B A = A – B = {0, 1, 4}. númeRos de elementos em um conjunto a: n(a) A = {x | x representa os dias de uma semana}, n(A) = 7. conjuntos disjuntos Dois conjuntos A e B, não vazios, são disjuntos, se não possuem elementos comuns. A > B = Ø númeRos de subconjuntos (conjuntos das paRtes) 1. O conjunto vazio está contido em qualquer con- junto A, isto é, Ø ⊂ A, ∀ A. 2. Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo, isto é, A ⊂ A, ∀ A. 3. Chama-se subconjunto próprio de um con- junto A qualquer subconjunto de A que seja dife- rente de A. Simbolicamente, B é subconjunto próprio de A, se B ⊂ A e B ≠ A. Se um conjunto A possui n elementos, então A possui 2n subconjuntos, que podemos represen- tar por n(P(A)) = 2n(A). númeRos de elementos da união n(A ∪ B) = n(A) +n(B) – n(A ∩ B) oPerações com intervalos § Intervalo fechado [a, b] = {x [ R | a ≤ x ≤ b} § Intervalo aberto ]a, b[ = {x [ R | a < x < b} § Intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) [a, b[ = {x [ R | a ≤ x < b} § Intervalos “infinitos” [a, + Ü[ = {x [ R | x ≥ a} ]–Ü, a] = {x [ R | x ≤ a} 15 RepResentação geométRica de inteRvalos na Reta Real [1, 4[ inequações do 1º e 2º graus inequações § P1: dada a inequação a > b, com a [ R e b [ R, podemos somar um valor c [ R em ambos os lados da inequação e obter uma ine- quação equivalente. a > b e a + c > b + c possuem o mesmo conjunto solução. § P2: dada a inequação a > b, com a [ R e b [ R e um valor c [ R, temos que: i) se c > 0, a > b e a · c > b · c, são equivalentes; ii) se c <0, a > b e a · c < b · c, são equivalentes. Ou seja, podemos multiplicar ambos os lados de uma inequação e obter uma inequação equivalente, porém, se o valor multiplicado for negativo, o sinal da desigualdade inverte. Veja a desigualdade a seguir: 1 __ x < 1 __ 2 1 __ x ≤ 1 __ 2 ⇒ 1 ≤ x __ 2 Para resolver esta e outras inequações, devemos utilizar apenas as propriedades apresentadas, ou seja: 1 __ x < 1 __ 2 1 __ x – 1 __ 2 < 0 2 – x ____ 2x < 0 inequações do 1º gRau Denomina-se inequação do 1º grau na variá- vel x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: ax + b > 0 ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b < 0 Sistemas de inequações do 1º grau O conjunto solução de um sistema de inequa- ções é determinado pela intersecção dos conjuntos so- luções de cada inequação do sistema. inequações do 2º gRau Denomina-se inequação do 2º grau na variá- vel x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c < 0 inequações-pRoduto Dadas duas funções f(x) e g(x), uma inequação- -produto é uma inequação da seguinte forma: f(x) × g(x) > 0 f(x) × g(x) > 0 f(x) × g(x) < 0 f(x) × g(x) < 0 Para resolver inequações desse tipo, procedemos da seguinte maneira: 1o) Fazemos o estudo dos sinais de cada função, se- paradamente. 2o) Colocamos os resultados em um quadro de sinais. 3o) Analisamos o sinal do produto das funções, le- vando em conta as regras dos sinais da multipli- cação de números reais. (com a, b [ R e a Þ 0) (com a, b e c [ R e a Þ 0) 16 Exemplo Resolva a inequação (x – 3)(1 – x) > 0. Analisaremos o sinal de cada função, separada- mente: § f(x) = x – 3 § g(x) = 1 – x f(x) g(x) 3 1 Logo: § para x > 3, f(x) é positiva e para x < 3, f(x) é negativa; § para x > 1, g(x) é negativa e para x < 1, g(x) é positiva. Construímos, agora, o quadro de sinais: f(x) g(x) f(x)g(x) 31 A terceira linha do quadro representa o sinal da função f(x)g(x). § Se x < 1, a função f(x) é negativa e g(x), positiva, portanto, o produto entre elas é negativo. § Se 1 < x < 3, ambas as funções f(x) e g(x) são negativas, portanto, seu produto é positivo. § Se x > 3, a função f(x) é positiva e g(x), negativa, portanto, o produto entre elas é negativo. Como queremos (x – 3)(1 – x) > 0, ou seja, não procuramos os valores de x que anulam o produ- to (x – 3)(1 – x), não incluímos as raízes 1 e 3 no conjunto solução: S = {x [ R | 1 < x < 3} Observe que, ao procurar o conjunto solução de (x – 3)(1 – x) > 0, poderíamos, também, re- alizar o produto do primeiro membro e obter –x² + 4x – 3 > 0, de modo a resolver a inequação do 2º grau, obtendo o mesmo conjunto solução. Inequações-quociente Dadas duas funções f(x) e g(x), uma inequação- -quociente é uma inequação da seguinte forma: f(x) ___ g(x) > 0 f(x) ___ g(x) > 0 f(x) ___ g(x) < 0 f(x) ___ g(x) < 0 A resolução de inequações-quociente é similar à resolução de inequações-produto. A principal diferença na resolução de uma ine- quação-quociente em relação à inequação-produto é que temos agora uma condição de existência, pois no quociente f(x) ___ g(x) temos que g(x) Þ 0. relações, funções e definições domínio, contRadomínio e imagem de uma função f : A é B (função que associa valores do conjun- to A a valores do conjunto B) x é y = f(x) (a cada elemento x [ A correspon- de um único y [ B) § Domínio da função: A é conjunto com os va- lores possíveis para a variável x. Representado por D. § Contradomínio da função: no conjunto B es- tão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio. Representado por CD. § Imagem da função: cada elemento x do domí- nio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de y damos o nome de imagem de x pela função f. O conjunto de todos os valores 17 de y que são imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função. Representado por Im. § Conjunto imagem da função: representado por Im. funções injetoRas § Definição: uma função f de A em B é injeto- ra, se a todo x1 ≠ x2 do domínio (D) tivermos f(x1) ≠ f(x2) no contradomínio (CD). § Resumindo: não pode haver duas flechas con- vergindo para uma mesma imagem (cada x do domínio tem seu y no contradomínio). função sobRejetoRa § Definição: uma função f de A em B é sobrejeto- ra, se o contradomínio (CD) for igual ao conjunto imagem (Im). § Resumindo: não podem “sobrar” elementos no contradomínio (CD). função bijetoRa § Definição: uma função f de A em B é bijetora, se for injetora e sobrejetora simultaneamente. § Resumindo: 1. cada x do domínio tem seu y no contrado- mínio. 2. não “sobra” ninguém no contradomínio (CD = Im). funções do 1º grau Chama-se função do 1º grau toda função defi- nida de R em R por f(x) = ax + b, em que a e b [ R e a ≠ 0. § a é denominado de coeficiente angular. § b é denominado de coeficiente linear. pRopoRção na função do 1º gRau - - - - tga = y2 – y1 _____ x2 – x1 = y3 – y2 _____ x3 – x2 Proporção (igualdade de frações) § a = tga (coeficiente angular) § b = coeficiente linear estudo do sinal da função polinomial do 1º gRau Estudar o sinal de uma função y = f(x) significa analisar para quais valores de x do domínio da função a imagem será positiva, negativa ou nula. Faça o estudo de sinal da função f(x) = 10 – 5x. Construindo o gráfico da função, temos: 18 Do gráfico, temos que: § para todo x > 2, a função possui valores de f(x) negativos; § para todo x < 2, a função possui valores de f(x) positivos; § para x = 2, a função f(x) é nula, sendo x = 2, portanto, uma raiz da função. função Polinomial do 2º grau Função f: R é R dada por f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c reais e a ≠ 0. concavidade a > 0: concavidade para cima a < 0: concavidade para baixo zeRos de uma função quadRática Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são as raízes da equação do 2° grau ax2 + bx + c = 0. Estudo do discriminante (D) § Se D > 0, a equação do segundo grau possui duas raízes reais distintas. § Se D < 0, a equação do segundo grau não pos- sui raízes reais; § Se D = 0, a equação do segundo grau possui uma raiz real distinta. Sendo D = b² – 4ac, em que a, b e c são os coeficientes de uma função do segundo grau f(x) = ax² + bx + c. Se D > 0, a função possui duas raízes distintas x1 e x2, portanto, intercepta o eixo x em dois pontos distintos: Se D < 0, a função não possui raízes reais, por- tanto, não intercepta o eixo x: 19 Se D = 0, a função possui apenas uma raiz real distinta x1 = x2, portanto, intercepta o eixo x em apenas um ponto, tangenciando o eixo: véRtice da paRábola xv = – b __ 2a e yv = – D __ 4a Valor mínimo ou valor máximo da função quadrática § Se a > 0, y = – D __ 4a é o valor mínimo da função. § Se a < 0, y = – D __ 4a é o valor máximo da função. Crescimento e decrescimento de uma função quadrática a > 0 a < 0 f(x) é crescente para { x [ R | x > – b __ 2a } f(x) é crescente para{ x [ R | x < – b __ 2a } f(x) é decrescente para { x [ R | x < – b __ 2a } f(x) é decrescente para { x [ R | x > – b __ 2a } Forma fatorada de uma função quadrática Uma função do segundo grau f(x) = ax² + bx + c pode ser escrita em função de suas raízes x1 e x2 da seguinte forma: f(x) = ax² + bx + x = a(x – x1)(x – x2) 20 u.t.i. - sala 1. (Fuvest adaptado) Calcule o valor da expres- são 1 ___________ 1 + √2 – √3 . 2. Resolva em : a) 6x – 3(x – 3) + 2 = 2(3x + 1) b) 4x + 2(x – 6) = 6(x – 2) c) x __ 3 + x __ 5 = 8x + 7 ______ 15 3. (Fuvest) Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A, pagando R$ 96,00, e unidades do produto B, pagando R$ 84,00. Sabendo que o total de unidades compradas foi de 26 e que o pre- ço unitário do produto A excede em R$ 2,00 o preço unitário do produto B, determine o número de unidades de A compradas. 4. (FEI) Uma escola de línguas oferece somente dois cursos: Inglês e Francês. Sabe-se que ela conta com 500 estudantes e que nenhum de- les faz os dois cursos simultaneamente. Des- tes estudantes, 60% são mulheres e, destas, 10% cursam Francês. Sabe-se que 30% dos estudantes homens também cursam Francês. Qual é o número de estudantes homens que cursam Inglês? 5. (Udesc) Se f(x) = x – 2 e g(x) = x + 1 são funções reais, então o conjunto solução da inequação f(x) ∙ g(x) – 3g(x) + 6 _____________________ (f ° g)(x) ≤ f–1(x) é: Dados: (f ° g)(x) = x – 1; f –1(x) = x + 2 a) S = { x ∈ | x ≤ 3 __ 5 ou x ≥ 1 } . b) S = { x ∈ | x ≤ 3 __ 5 ou x > 1 } . c) S = { x ∈ | 3 __ 5 ≤ x < 1 } . d) S = { x ∈ | x ≤ 3 __ 5 } . e) S = { x ∈ | x > 1 } . 6. (FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = –x² + 30x – 5, onde x é a quan- tidade mensal vendida. a) Qual o lucro mensal máximo possível? b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195? u.t.i. - e.o. 1. (Ufrgs) Qual o valor da expressão (–5)2 – 42 + ( 1 __ 5 ) 0 _______________ 3(–2) + 1 ? 2. Sejam a, b e c números reais, tais que a = 240, b = 320 e c = 710. Então coloque-os em ordem crescente (exemplo: x < y < z). 3. (ESPM) Qual o valor da expressão √ __ 2 – 1 ______ √ __ 2 + 1 – √ __ 2 + 1 ______ √ __ 2 – 1 ? 4. (ESPM adaptado) Dê a solução real da equa- ção x – 2 _____ 3 = 4x – 3 ______ 7 + 7. 5. (Uerj) Em uma escola circulam dois jornais: Correio do Grêmio e O Estudante. Em relação à leitura desses jornais por parte dos 840 alunos da escola, sabe-se que: § 10% não leem esses jornais; § 520 leem o jornal O Estudante; § 440 leem o jornal Correio do Grêmio. Calcule o número total de alunos do colégio que leem os dois jornais. 6. (UFMA) As figuras a seguir ilustram os gráficos das funções g1: R → R, g2: R → R, g3: R → R, respectivamente: I. II. 21 III. A partir dos gráficos acima, são feitas as se- guintes afirmações: I. g1 é sobrejetora. II. g2 é crescente. III. g3 é bijetora. Então: a) II e III são falsas e I é verdadeira. b) todas são falsas. c) I e II são verdadeiras e III é falsa. d) todas são verdadeiras. e) I e III são verdadeiras e II é falsa. 7. (Unesp) Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado respectivamente 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro a fábrica A aumentar sucessiva- mente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produ- ção em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará a produção de A a partir de qual mês? 8. (FGV) Você usa a internet? Observe os resul- tados de uma pesquisa sobre esse tema. A pesquisa de 2009 foi feita em 500 domi- cílios e com 2000 pessoas com 10 anos ou mais de idade. a) Quantos domicílios pesquisados tinham acesso à internet, em 2009? b) Em 2009, quantas pessoas disseram que usa- vam a internet? c) Considere que o gráfico das porcentagens de domicílios com acesso à internet, nos anos 2008, 2009 e 2010, seja formado por pontos aproximadamente alinhados. Faça uma esti- mativa da porcentagem de domicílios com acesso à internet em 2010. 9. (Unesp) Uma companhia telefônica ofere- ce aos seus clientes 2 planos diferentes de tarifas. No plano básico, a assinatura inclui 200 minutos mensais de ligações telefôni- cas. Acima desse tempo, cobra-se uma tarifa de R$ 0,10 por minuto. No plano alternati- vo, a assinatura inclui 400 minutos mensais, mas o tempo de cada chamada desse plano é acrescido de 4 minutos, a título de taxa de conexão. Minutos adicionais no plano alter- nativo custam R$ 0,04. Os custos de assina- tura dos dois planos são iguais e não existe taxa de conexão no plano básico. Supondo que todas as ligações durem 3 minutos, qual o número máximo de chamadas para que o plano básico tenha um custo menor ou igual ao do plano alternativo? 10. (Unicamp) Duas locadoras de automóveis oferecem planos diferentes para a diária de um veículo econômico. A locadora Saturno cobra uma taxa fixa de R$ 30,00, além de R$ 0,40 por quilômetro rodado. Já a locadora Mercúrio tem um plano mais elaborado: ela cobra uma taxa fixa de R$ 90,00 com uma franquia de 200 km, ou seja, o cliente pode percorrer 200 km sem custos adicionais. Entretanto, para cada km rodado além dos 200 km incluídos na franquia, o cliente deve pagar R$ 0,60. a) Para cada locadora, represente no gráfico abaixo a função que descreve o custo diário de locação em termos da distância percorri- da no dia. b) Determine para quais intervalos cada loca- dora tem o plano mais barato. Supondo que a locadora Saturno vá manter inalterada a 22 sua taxa fixa, indique qual deve ser seu novo custo por km rodado para que ela, lucran- do o máximo possível, tenha o plano mais vantajoso para clientes que rodam quaisquer distâncias. 11. (Unicamp) Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a R$ 15,00 o qui- lograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do qui- lo, o restaurante deixa de vender o equiva- lente a 5 kg de comida. Responda às pergun- tas abaixo, supondo corretas as informações da pesquisa e definindo a receita do restau- rante como o valor total pago pelos clientes. a) Em que caso a receita do restaurante será maior: se o preço subir para R$ 18,00/kg ou para R$ 20,00/kg? b) Formule matematicamente a função f(x), que fornece a receita do restaurante como função da quantia x, em reais, a ser acres- cida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição. c) Qual deve ser o preço do quilo da comida para que o restaurante tenha a maior receita possível? 12. (PUC-SP) Um veículo foi submetido a um teste para a verificação do consumo de com- bustível. O teste consistia em fazer o veículo percorrer, várias vezes, em velocidade cons- tante, uma distância de 100 km em estrada plana, cada vez a uma velocidade diferente. Observou-se então que, para velocidades en- tre 20 km/h e 120 km/h, o consumo de ga- solina, em litros, era função da velocidade, conforme mostra o gráfico seguinte. Se esse gráfico é parte de uma parábola, quantos litros de combustível esse veículo deve ter consumido no teste feito à veloci- dade de 120 km/h? 13. (UFES) Um restaurante de comida a quilo, que normalmente cobra R$ 25,00 pelo quilo de comida, está fazendo uma promoção: “Quem consome x gramas de comida ganha um desconto de x ___ 10 por cento.” Este desconto vale para quem consumir até 600 gramas de comida. Consumo superior a 600 gramas dá direito a um desconto fixo de 60%. a) Determine o valor a ser pago por quem con- some 400 gramas de comida e por quem con- some 750 gramas. b) André, que ganhou o desconto máximo de 60%, consumiu 56 gramas a mais que Taís. No entanto, ambos pagaram a mesma quan- tia. Determine a quantidade de gramas que cada um deles consumiu. c) Trace o gráfico que representa o valor a pa- gar (em reais)em função do peso de comida (em gramas). Marque no gráfico os pontos que representam a situação do item anterior. 14. (Unicamp) Três candidatos A, B e C concor- rem à presidência de um clube. Uma pesqui- sa apontou que, dos sócios entrevistados, 150 não pretendem votar. Dentre os entre- vistados que estão dispostos a participar da eleição, 40 sócios votariam apenas no candi- dato A, 70 votariam apenas em B e 100 vota- riam apenas no candidato C. Além disso, 190 disseram que não votariam em A, 110 disse- ram que não votariam em C e 10 sócios estão na dúvida e podem votar tanto em A como em C, mas não em B. Finalmente, a pesquisa revelou que 10 entrevistados votariam em qualquer candidato. Com base nesses dados, pergunta-se: a) Quantos sócios entrevistados estão em dúvi- da entre votar em B ou em C, mas não vota- riam em A? b) Dentre os sócios consultados que pretendem participar da eleição, quantos não votariam em B? 15. Sejam os intervalos reais A = {x ∈ ; 2 ≤ x ≤ 6}, B = {x ∈ ; –2 < x < 4} e C = {x ∈ ; –1 ≤ x ≤ 6}. É correto afirmar que: a) (A ∩ C) – B = A ∩ B. b) (A ∩ C) – B = C – B. c) (A ∩ B) ∩ C = B. d) (A ∩ B) ∩ C = A. e) A ∪ B ∪ C = A ∩ C. 16. (FGV-RJ) O idioma da Álgebra é a equação. Para resolver um problema que envolva nú- meros ou relações entre quantidades, é con- veniente traduzir o problema da sua lingua- gem para a linguagem da Álgebra. Resolva estes dois antigos problemas. a) Quatro irmãos têm 45 moedas de ouro. Se a quantia do primeiro aumenta em duas mo- edas, a quantia do segundo diminui duas moedas, a do terceiro dobra e a do quarto se reduz à metade, todos ficam com a mesma quantia de dinheiro. Quantas moedas tem cada um? b) Dois amigos decidem, caminhando em linha reta, encontrar-se em algum ponto do cami- nho entre as suas casas. Um dos amigos diz 23 ao outro: “Como sou mais velho, caminho a cerca de 3 km por hora; você é muito mais novo e, provavelmente, deve caminhar a cer- ca de 4 km por hora. Então, saia de casa 6 minutos depois que eu sair e nos encontrare- mos bem na metade da distância entre nossas casas”. Qual a distância entre as duas casas? 17. (Insper adaptado) Em uma escola que fun- ciona em três períodos, 60% dos professores lecionam de manhã, 35% lecionam à tarde e 25% lecionam à noite. Nenhum professor da escola leciona tanto no período da manhã quanto no período da noite, mas todo pro- fessor leciona em pelo menos um período. Considerando-se apenas essas informações, responda, em porcentagem, a quantidade: a) exatamente de professores da escola que lecionam somente no período da tarde, em relação ao total. b) máxima de professores da escola que lecio- nam nos períodos da tarde e da noite, em relação ao total. c) mínima de professores da escola que lecio- nam somente no período da noite, em rela- ção ao total. 18. (UFMT) Sejam x e y dois conjuntos com, res- pectivamente, 5 e 6 elementos. A quantida- de de funções injetoras com domínio igual ao conjunto x e contradomínio igual ao con- junto y? 19. (Udesc) Considere a função f, cujo gráfico está representado na figura a seguir. É correto afirmar que: a) f:[–1, 4] → [–2, 2] é injetora, mas não é sobrejetora. b) f:[–1, 4] → [–2, 2] é bijetora. c) f:[–1, 1] → [–2, 1] é injetora, mas não é sobrejetora. d) f:[–1, 1] → [–2, 1] é bijetora. e) f:[–1, 1] → [–2, 2] é sobrejetora, mas não é injetora. 20. (Unifesp) A figura mostra um arco parabóli- co ACB de altura CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm. M é o ponto médio de AB. Qual é a altura do arco em centímetros, em um ponto da base que dista 5 cm de M? M MATEMÁTICA T Matemática 20 1 U.T.I. 27 TrigonomeTria no Triângulo reTângulo senθ = b __ a e cossecθ = a __ b cosθ = c __ a e secθ = a __ c tgθ = b __ c e cotgθ = c __ b 0 < senθ < 1 e 0 < cosθ < 1 cossecθ > 1 e secθ > 1 tgθ > 0 e cotgθ > 0 Razões trigonométricas (valores notáveis) θ (graus) senθ cosθ tgθ cossecθ secθ cotgθ 30º 1 __ 2 dXX 3 ___ 2 dXX 3 ___ 3 2 2 dXX 3 ____ 3 dXX 3 45º dXX 2 ___ 2 dXX 2 ___ 2 1 dXX 2 dXX 2 1 60º dXX 3 ___ 2 1 __ 2 dXX 3 2 dXX 3 ___ 3 2 √ __ 3 ___ 3 Ciclo trigonométrico Observe como localizar o ângulo de 30º no círculo trigonométrico: Repare que o ângulo de 30º determina um ponto P na circunferência, determinando, assim, o triângulo retângulo OBP. 28 Cada ângulo diferente determina um ponto P distinto na circunferência, sendo, assim, o seno e o cos- seno de um ângulo definido por: sen θ = ordenada de P cos θ = abscissa de P tg θ = senθ _____ cosθ com cos θ ≠ 0 No sistema cartesiano, se a ordenada de P (co- ordenada em y) se encontra “acima” da origem, o seno do ângulo será positivo, enquanto que se o ordenada de P se encontra “abaixo” da origem, o seno do ângulo será negativo. Analogamente, se a abscissa de P (coor- denada em x) se encontra à direita da origem, o cosseno do ângulo será positivo, enquanto que se a abscissa de P se encontra à esquerda da origem o cosseno do ân- gulo será negativo. ProduTos noTáveis No cálculo algébrico, alguns produtos são fre- quentes, como: (x + y) (x – y) Produto da soma pela dife- rença de dois termos (x + y) (x + y) = (x + y)2 Quadrado da soma de dois termos (x – y) (x – y) = (x – y)2 Quadrado da diferença de dois termos Quadrado da soma de dois termos (x + y)² = x² + 2xy + y² (x – y)² = x² – 2xy + y² Produto da soma pela diferença de dois termos (x + y)(x – y) = x² – y² Fatoração a(x + y) = ax + ay FaToração a(x + y) = ax + ay Agrupamento 1. x2 + ax + bx + ab Temos: x2 + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) x2 + ax + bx + ab = (x + a)(x + b) Diferença de dois quadrados x2 – y2 = (x + y)(x – y) Trinômio quadrado perfeito a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ou a2 – 2ab + b2 = (a – b) 2 Trinômio do segundo grau ax2 + bx + c = a(x – x1) ∙ (x – x2), sendo que x1 e x2 são raízes. Cubo da soma e cubo da diferença a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 e a3 – 3a2b + 3 ab2 – b3 = (a – b)3 Soma e diferença de dois cubos a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) e a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) novo fator comum 1º grupo 2º grupo 29 ConjunTos numériCos Conjunto dos números naturais (n) N = {0, 1, 2, 3, ...} N* = {1, 2, 3, ...} indica-se por asterisco o con- junto dos números naturais não nulos. Conjunto dos números inteiros (Z) Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} § Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {x [ Z | x i 0} = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...} § Conjunto dos inteiros positivos não nulos: Z+* = N* = {x [ Z | x > 0} = {1, 2, 3, ...} § Conjunto dos inteiros não negativos: Z+ = N = {x [ Z | x ù 0} = {0, 1, 2, 3, ...} § Conjunto dos inteiros negativos não nulos: Z*– = {x [ Z | x < 0} = {–1, –2, –3, ...} § Conjunto dos inteiros não positivos: Z– = {x [ Z | x ø 0} = {0, –1, –2, –3, ...} Divisor de um número inteiro Dados a, b e c números inteiros, dizemos que a é divisor de b, se existe c de forma que ac = b. Exemplo: 5 é divisor de 10, pois 5 · 2 = 10. Números primos Um número natural p é considerado primo, se D(p) = {–1, 1, –p, p}. Isto é, possui apenas como divisores o número 1, o número –1, ele próprio e o seu oposto. números raCionais Os números que podem ser expressos na for- ma a __ b , onde a e b são inteiros e b i 0, são chamados de números racionais e seu conjunto pode ser representa- do por Q = { x = a __ b | a [ Z e b [ Z* }. dízima periódiCa Uma fração irredutível corresponderá a uma dízi- ma periódica quando o denominador apresentar, em sua decomposição em fatores primos distintos, pelo menos um fator primo diferente de 2 e 5, pois, assim, o denomi- nador não será divisor de uma potência de base 10. § 7 __ 3 = 2,333 = 2, 3 (período = 3) § 56 ___ 11 = 5,090909... = 5, 09 (período = 09) Método para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica: Seja adízima 0,3333... ou 0, 3 . Fazendo x = 0,3333..., temos: Subtraindo x de 10x, temos: 10x – x = 3,33333 ... – 0,33333... 9x = 3, x = 3 __ 9 Então, 0, 3 = 3 __ 9 [ Q. propriedades dos números raCionais No conjunto dos números racionais, valem as se- guintes propriedades: 1. A soma de dois números racionais quaisquer é um número racional. 2. A diferença entre dois números racionais quais- quer é um número racional. 3. O produto de dois números racionais quaisquer é um número racional. 30 4. O quociente de dois números racionais, sendo o divisor diferente de zero, é um número racional. números irraCionais (R – Q) Números como √ __ 2 = 1,4142135..., cuja repre- sentação decimal é infinita e não periódica, são chama- dos de números irracionais. Conjunto dos números reais (R) É a reunião dos números racionais com os nú- meros irracionais. Propriedades dos números reais 1. Se o número n √ __ a , com n [ N* e a [ N não é inteiro, então n √ __ a é irracional. 2. A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional. 3. A diferença entre um número racional e um nú- mero irracional, em qualquer ordem, é um núme- ro irracional. 4. O produto de um número racional, não nulo, por um número irracional é um número irracional. 5. O quociente de um número racional, não nulo, por um número irracional é um número irracional. razão, ProPorção e grandezas ProPorCionais razão Razão entre a e b = a __ b . proporção a __ b = c __ d ou a × d = c × b (Lê-se a está para b, assim como c está para d). a __ b = c __ d = k, em que k é chamada de constante de proporcionalidade. Grandezas proporCionais Grandezas diretamente proporcionais A ∝ B à A __ B = k, em que k é a constante de proporcionalidade. Grandezas inversamente proporcionais A ∝ 1 ____ B à A · B = K Grandezas proporcionais a duas ou mais outras grandezas Se uma grandeza A é proporcional às grandezas B e C, então A é proporcional ao produto B · C, isto é A ____ B · C = k, em que k é constante. Essa propriedade se estende para mais de duas outras grandezas. Por exemplo: a. A grandeza X é proporcional às grandezas Y, Z e W. Então, X _______ Y · Z · W = constante. 31 b. A grandeza M é diretamente proporcional às grandezas A e B e inversamente proporcional à grandeza C. Então, M · C _____ A · B = constante. c. A grandeza X é inversamente proporcional às grandezas P, Q e R e diretamente proporcional à grandeza S. Então, X · P · Q · R _________ S = constante. Teorema Fundamen- Tal da ariTméTiCa, m.m.C. e m.d.C. números primos Um número natural é definido como primo se ele possui apenas dois divisores positivos: 1 e ele próprio. teorema fundamental da aritmétiCa Todo inteiro positivo maior que 1 pode ser expres- so como um produto de potências de números primos, desconsiderando a ordem dos fatores de maneira única. Divisibilidade Ao utilizar os números em sua forma fatorada em função de seus fatores primos, podemos verificar se um número a é divisível por outro número b. Número de divisores de um número natural Sejam dois números a, b inteiros. Dizemos que b é divisor de a se existe k também inteiro, tal que b · k = a. Ou seja, k = a __ b , onde k deve ser inteiro. Critérios de divisibilidade § Divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 quando este é par. § Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3. § Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 quando seus últimos 2 algarismos formam um número divisível por 4. § Divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 quando o último algarismo (das unidades) é 0 ou 5. § Divisibilidade por 6: um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. § Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos algarismos restantes for divisível por 7. § Divisibilidade por 8: um número é divisível por 8 quando os dois últimos algarismos formarem um número múltiplo de 8 e o antepenúltimo for par. § Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos formarem um número divisível por 9. § Divisibilidade por 10: um número é divisível por 10 quando seu último algarismo for 0. máximo divisor Comum (mdC) Dados dois números inteiros positivos A = d · k e B = d · q, em que k e q são números inteiros, dizemos que o inteiro d é um divisor (fator) comum de A e B. Exemplos: 1. 12 = 6 · 2 18 = 6 · 3 ⇒ 6 é divisor comum de 12 e 18 2. 42 = 7 · 6 70 = 7 · 10 ⇒ 7 é divisor comum de 42 e 70 32 mínimo múltiplo Comum (mmC) Dados dois inteiros a e b, não nulos, seu mínimo múltiplo comum, que se indica por MMC (a, b), é o me- nor elemento positivo do conjunto M(a) > M(b). Exemplo Para os inteiros 10 e 12, temos: § M(10) = {..., –30, –20, –10, 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, ...} § M(12) = {..., –24, –12, 0, 12, 24, 36, 48, 60, ...} § M(10) > M(12) = {..., –60, 0, 60, ...} é conjunto dos múltiplos comuns de 10 e 12. O menor ele- mento positivo de M(10) > M(12) é 60. Então, mmc (10, 12) = 60. téCniCas para o CálCulo do mdC e do mmC Uma outra maneira de se obter o MDC e o MMC é fatorando, simultaneamente, esses números. Nesse caso, o mdc é o produto apenas dos fatores comuns, enquanto o mmc é o produto de todos os fatores obti- dos. Veja: 4200 720 600 2 2100 360 300 2 1050 180 150 2 525 90 75 2 525 45 75 3 mdc = 23 · 3 · 5 = 120 175 15 25 3 175 5 25 5 35 1 5 5 7 1 1 7 1 1 1 24 · 32 · 52 · 7 = 25.200 = mmc MMC e MDC de expressões algébricas MMC Escolhemos os fatores comuns e não comuns de maior expoente: x²y³ (z + 1) e x(z + 1)³ x²y³ (z + 1)³ Portanto, o MMC entre x²y³(z + 1) e x (z + 1)³ é x²y³ (z + 1)³. MDC Tomamos os fatores comuns e de menor ex- poente: x²y³ (z + 1) e x(z + 1)³ x(z + 1) Portanto, o MDC entre (z + 1)x²y³ e x (z + 1)³ é x(z + 1). PorCenTagem A porcentagem é uma forma usada para indicar uma fração de denominador 100 ou qualquer represen- tação equivalente a ela. § Método 1: utilizando a forma fracionária da taxa: 45% = 45 ___ 100 = 9 ___ 20 9 ___ 20 · 60 = x ⇒ x = 27 § Método 2: utilizando a forma decimal da taxa: 45% = 0,45 0,45 · 60 = x ä x = 27 33 § Método 3: utilizando a proporção na qual 60 corresponde a 100% (inteiro) e a parte x corresponde a 45%: 60 ___ 100 = x ___ 45 ä 100x = 2700 ä x = 27 Portanto, 45% de 60 é 27. fator de atualização Exemplo de fator i > 1 Sejam A e B dois números tais que A __ B = 1,05. Há duas interpretações: 1. A é 5% maior que B; ou 2. A é 105% de B (portanto, 5% maior). Exemplo de fator i < 1 Sejam A e B dois números tais que A __ B = 0,90. 1. A é 10% menor que B; ou 2. A é 90% de B (portanto, 10% menor). aumentos e desContos f = valor novo _________ valor antigo § f > 1 é aumento, ganho, acréscimo § f < 1 é desconto, queda, perda, decréscimo § f = 1 é não houve variação Aumentos e descontos sucessivos Para compor vários aumentos e/ou descontos, basta multiplicar os vários fatores individuais e, assim, obter o fator “acumulado”, que nada mais é que o fator de atualização entre o primeiro e o último valor considerado, independentemente dos valores intermediários. facumulado = f1 · f2 · f3 · f4 ... O fator acumulado é também um fator de atualização e deve ser interpretado como tal. 34 juros simPles e ComPosTos Uma razão percentual pode ser representada também na forma decimal ou como taxa: 1 ___ 100 = 0,01 = 1% 10 ___ 100 = 0,1 = 10% 25 ___ 100 = 0,25 = 25% Vimos, também, que um aumento percentual pode ser calculado facilmente através do fator de atualiza- ção f, na qual f = (1 ± i). Um valor A é atualizado para outro valor B da seguinte forma B = f · A.§ Para aumentar o valor A e obter B, temos B = (1 + i ) · A. § Para diminuir o valor A e obter B, temos B = (1 – i ) · A. juros Os juros em um período de tempo são calculados da seguinte forma J = C · i · t. No caso de um empréstimo, o valor total a ser pago, chamado montante M, é calculado pela soma do ca- pital com os juros M = C + J. Observe que: J = C · i · t M = C + J ⇒ M = C + C · it ⇒ M = C(1 + it) Juros simples Um capital aplicado a um regime de juros simples possui seus juros calculados sempre em relação à quan- tia inicial, os juros gerados em cada período são sempre iguais. M = C + C · i · t = C(1 + i · t) Juros compostos O regime de capitalização mais utilizado atualmente é o de juros compostos. Nele, os juros são aplicados sempre ao montante do período imediatamente anterior. Se um capital C é aplicado a juros compostos à taxa de juros i por t períodos de tempo, o montante M final será de M = C(1 + i)t. A principal característica do regime em juros compostos é seu crescimento exponencial. 36 u.T.i. - sala 1. Na figura abaixo, determine a medida de AB. 2. Sendo x um número real, tal que x + 1 __ x = 3, obtenha os valores numéricos de: a) x2 + 1 __ x2 . b) x4 + 1 __ x4 . 3. (Unesp) Uma gráfica possui 5 máquinas iguais que produziram juntas uma encomen- da de 1200 cartelas de adesivos em 4 ho- ras. Essa gráfica recebeu uma encomenda de 1300 cartelas desse adesivo, porém, 3 des- sas máquinas não poderão ser utilizadas por estarem em manutenção. Portanto, o tempo necessário para produzir essa nova enco- menda será maior do que as anteriores em quantas horas, minutos e segundos? 4. (Fuvest) A porcentagem de fumantes de uma cidade é 32%. Se 3 em cada 11 fumantes dei- xarem de fumar, o número de fumantes fica- rá reduzido a 12800. Calcule: a) o número de fumantes da cidade; b) o número de habitantes da cidade. 5. (Uerj) Para comprar os produtos A e B em uma loja, um cliente dispõe da quantia X, em reais. O preço do produto A corresponde a 2 __ 3 de X, e o do produto B corresponde à fra- ção restante. No momento de efetuar o pagamento, uma promoção reduziu em 10% o preço de A. Sabendo que, com o desconto, foram gastos R$ 350,00 na compra dos produtos A e B, calcule o valor, em reais, que o cliente dei- xou de gastar. 6. (Ufes) Uma associação de moradores arreca- dou 2160 camisas, 1800 calças e 1200 pares de sapatos, que serão todos doados. As doa- ções serão dispostas em pacotes. Dentro de cada pacote, um item poderá ter quantidade diferente da dos demais itens (por exemplo, a quantidade de camisas não precisará ser igual à de calças ou à de pares de sapatos); porém, a quantidade de camisas, em todos os pacotes, deverá ser a mesma, assim como a quantidade de calças e a de pares de sapatos. a) Determine o maior número possível de pa- cotes que podem ser preparados e qual a quantidade de camisas, de calças e de pares de sapatos que, nesse caso, haverá em cada pacote. Justifique. b) Pedro recebeu um pacote de doações com ℓ camisas diferentes, m calças diferentes e n pares de sapatos diferentes. Calcule a quan- tidade de escolhas, que ele pode fazer, de um conjunto contendo apenas 1 camisa, 1 calça e 1 par de sapatos do pacote. u.T.i. - e.o. 1. (CP2) Viajar de avião pode ser nada confortável! Uma das razões é o pouco espaço existente entre as poltronas, o chamado seat pitch. A Anac (Agência Nacional de Aviação Civil) classifica as pol- tronas das aeronaves de acordo com a distância entre seus assentos. No entanto, para fazer essa classificação, a inclinação das poltronas não é considerada. Suponha uma aeronave, cuja distância entre as poltronas (seat pitch) seja 73,6 cm e que a medida do comprimento do encosto do assento seja 70 cm. Quando a poltrona da frente se inclina 30° em relação ao seu eixo vertical, o espaço entre os assentos diminui, conforme a figura a seguir. 37 Essa disposição está representada abaixo: a) Determine a medida AB na figura acima, en- tre o topo da poltrona inclinada e a poltrona de trás. Utilize: sen 30º = 1 __ 2 , cos 30º = √ __ 3 ___ 2 , tg 30º = √ __ 3 ___ 3 b) Determine a altura BC. 2. (CFT-RJ) Três triângulos equiláteros de lado 1 cm estão enfileirados, como indicado na figura abaixo. Nessas condições, determine o seno do ângulo θ. 3. Desenvolva: a) a(a – 1) b) (a2 – b3)(ab – b) c) (a2 – b)(a2 + b) d) (a2 + 1)2 e) (a2 – 1)2 f) (x + 1 __ x ) 2 g) (1 – 1 __ x ) 2 h) ( x2 – 1 __ x2 ) 2 4. (UTF-PR) Simplificando a expressão (x + y)2 – 4xy _____________ x2 – y2 com x ≠ y, obtém-se: 5. (Cefet) Se x + 1 __ x = 3 e 8x 6 + 4x3 y2 ≠ 0, então o valor numérico da expressão 4x9 + 2x6 y2 + 4x3 + 2y2 _____________________ 8x6 + 4x3 y2 é: 6. Desenvolva as seguintes expressões: a) (x + y)3 b) (x – y)3 c) (x + 1)3 d) (x – 1)3 e) (x + 1 __ x ) 3 f) (x – 1 __ x ) 3 7. (UFF-RJ) Calcule o valor numérico de 1 __ M , sendo M = –2 + √ __________ a 2 __ b2 + b 2 __ a2 + 2 , a = 0,998 e b = 1. 8. (UFSC) Você sabe por que as folhas que uti- lizamos para impressão são chamadas A4? Esta denominação está formalizada na nor- ma ISO 216 da International Organization for Standartization. Pela norma, a série de formatos básicos de papel começa no A0, o maior, e decresce até o A10. Os formatos são construídos de maneira a obter o formato de número superior dobrando ao meio uma folha, na sua maior dimensão. Por exemplo, dobrando-se o A3 ao meio, obtém-se o A4. Em todos os formatos, a proporção entre as medidas dos lados se mantém. Sabe-se que o formato inicial A0 tem 1 m2 de área. Com estas informações, responda às pergun- tas a seguir, apresentando os cálculos. a) Qual é a razão entre a medida do lado maior e a medida do lado menor, em qualquer formato de folha? Expresse o resultado usando radicais. b) Quais são as dimensões do formato A0? Efetue as operações e expresse o resultado usando radicais. c) A gramatura do papel exprime o peso, em gramas, de uma folha com 1 m2. Sabendo que a gramatura do A0 é 75 gramas por metro quadrado, qual é o peso exato, em gramas, de uma resma (500 folhas) de papel A4? 9. (Fuvest) Numa certa população, 18% das pessoas são obesas, 30% dos homens são obesos e 10% das mulheres são obesas. Qual a porcentagem de homens na população? 10. (ESPM adaptado) Um artigo de revista es- pecializada informa que um fabricante de sapatos, situado na cidade de Franca, produ- ziu, em 2000, 15% a mais de pares de sapa- tos que no ano de 1999, quando ele exportou 20% de sua produção. Já em 2000, exportou 25% dela. Em 2000, essa fábrica exportou 7000 pares de sapatos produzidos a mais que no ano anterior. Qual foi o número de pares de sapatos produzidos por essa fábrica no ano de 1999? 11. Com 50 trabalhadores, com a mesma produ- tividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 tra- balhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra fi- caria pronta? 12. (FGV) Carolina planeja passar suas férias no Japão. Suas opções para adquirir ienes 38 japoneses (JPY) em espécie a partir de suas economias, em reais (R$) são: I. Comprar dólares americanos (USD) em espécie antes de viajar e, ao chegar ao Japão, trocar esses dólares por ienes. II. Levar seus reais em espécie e trocá-los por ienes ao chegar ao seu destino. No Brasil, as condições de câmbio de reais por dólares são as seguintes: § Tarifa fixa de R$ 50,00 por operação; taxa de câmbio de R$ 2,50 : 1,00 USD. No Japão, as condições de câmbio são: § R$ 1,00 : 38,00 JPY, sem taxa por ope- ração. § USD 1,00 : 100,00 JPY, sem taxa por ope- ração. a) Carolina planeja usar R$ 5.000,00 para ad- quirir ienes. Qual das duas alternativas (I ou II) é mais vantajosa? Justifique. b) Para qual valor, em reais, a ser trocado porienes, as alternativas I e II são equivalentes? c) Suponha que Carolina gaste todo o seu dinhei- ro em espécie antes do final da viagem e pre- cise pagar uma conta de JPY 1.000,00 usando seu cartão de crédito. Considere que transações com cartão de crédito no exterior são taxadas com 7% de IOF e que a operadora do cartão utiliza a taxa de conversão de JPY 40,00 por real. Nessas condições, qual terá sido a taxa de câmbio efetiva paga por Carolina nessa transa- ção, expressa em ienes por real? Quando necessário, aproxime as respostas para duas casas decimais. 13. (UFSJ) Assinale a alternativa que indi- ca quantos são os números inteiros de 1 a 21.000, que NÃO são divisíveis por 2, por 3 e nem por 5. a) 6.300 b) 5.600 c) 7.000 d) 700 14. (Epcar) Uma fábrica vende por mês 30 cami- sas ao preço de 25 reais cada. O custo total de cada camisa para a fábrica é de R$ 10,00. O gerente da fábrica observou que, a cada re- dução de R$ 0,50 no preço unitário de cada camisa, são vendidas 5 camisas a mais. Considerando essas observações, se a fábrica vender 150 camisas, o lucro obtido na venda de cada camisa é de y%. O número de divisores de y é: a) 6. b) 8. c) 10. d) 12. 15. (Unesp) O gráfico representa a distribuição percentual do Produto Interno Bruto (PIB) do Brasil por faixas de renda da população, também em percentagem. Baseado no gráfico, pode-se concluir que os 20% mais pobres da população brasileira detêm 3,5% (1% + 2,5%) da renda nacio- nal. Supondo a população brasileira igual a 200 milhões de habitantes e o PIB brasileiro igual a 2,4 trilhões de reais (Fonte: IBGE), a renda per capita dos 20% mais ricos da po- pulação brasileira, em reais, é de: 16. (Epcar) A quantidade de suco existente na cantina de uma escola é suficiente para atender o consumo de 30 crianças durante 30 dias. Sabe-se que cada criança consome, por dia, a mesma quantidade de suco que qualquer outra criança desta escola. Passados 18 dias, 6 crianças tiveram que se ausentar desta es- cola por motivo de saúde. É correto afirmar que, se não houver mais ausências nem retornos, a quantidade de suco restante atenderá o grupo remanescen- te por um período de tempo que somado aos 18 dias já passados, ultrapassa os 30 dias inicialmente previstos em: a) 10%. b) 20%. c) 5%. d) 15%. 17. (FGV) Como resultado de um processo ga- nho na justiça, Hélio deveria ter recebido, no início de 2006, a quantia de R$ 4.000,00 da empresa Alfa. No mesmo período (início de 2006), Hélio devia R$ 1.000,00 em sua fatura de cartão de crédito. Nenhuma dessas quantias foi quitada à época. Para atualizar (corrigir) valores monetários ao longo do tempo, pode-se utilizar o regime de capitalização de juros compostos. É válida a seguinte relação matemática: M = C · (1 + i)n, em que M é o montante; C é o capital; i é a taxa de juros; e n é o número de períodos de capitalização. Por exemplo, aplicando-se o capital de R$ 1.000,00 à taxa de 5,00% ao mês, por um mês, obtém-se o montante de R$ 1.050,00 A tabela abaixo contém valores para o termo (1 + i)n, para i e n selecionados. 39 n (meses) i (% meses) 1 12 108 120 132 1,00 1,0100 1,1268 2,9289 3,3004 3,7190 2,00 1,0200 1,2682 8,4883 10,7652 13,6528 3,00 1,0300 1,4258 24,3456 34,7110 49,4886 4,00 1,0400 1,6010 69,1195 110,6626 177,1743 5,00 1,0500 1,7959 194,2872 348,9120 626,5958 Utilize as informações do enunciado para responder às seguintes questões: a) Suponha que a taxa de juro utilizada para atualizar o valor que Hélio tem a receber da empresa Alfa seja igual a 1,00% ao mês. Qual será o valor que a empresa Alfa deverá pagar a Hélio no início de 2016, ou seja, após exatos 10 anos? b) Suponha que a taxa de juro utilizada para atualizar a dívida da fatura de cartão de crédito seja igual a 4,00% ao mês. No início de 2016, ou seja, após exatos 10 anos, qual é o valor atualizado dessa dívida de Hélio? c) Suponha que Hélio receba da empresa Alfa, no início de 2016, o valor devido. Quanto, no máximo, poderia ter sido a dívida de Hélio em sua fatura de cartão de crédito, em valores do início de 2006, de forma que ele pudesse quitá-la, no início de 2016, com o valor recebido da empresa Alfa? Nota: taxa de juro utilizada para atualizar: § o valor recebido por Hélio da empresa Alfa: 1,00% ao mês. § a dívida da fatura de cartão de crédito: 4,00% ao mês. 18. (Ifal) Marque a alternativa INCORRETA. a) Todo número NATURAL é também INTEIRO. b) Todo número NATURAL é também RACIONAL. c) Todo número NATURAL é também IRRACIONAL. d) Todo número NATURAL é também REAL. e) Todo número IRRACIONAL é também REAL. 19. (UEL) Os povos indígenas têm uma forte relação com a natureza. Uma certa tribo indígena celebra o Ritual do Sol de 20 em 20 dias, o Ritual da Chuva de 66 em 66 dias e o Ritual da Terra de 30 em 30 dias. A partir dessas informações, responda aos itens a seguir. a) Considerando que, coincidentemente, os três rituais ocorram hoje, determine a quantidade mínima de dias para que os três rituais sejam celebrados juntos novamente. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução deste item. b) Hoje é segunda-feira. Sabendo que, daqui a 3.960 dias, os três rituais acontecerão no mesmo dia, determine em que dia da semana ocorrerá esta coincidência. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução deste item. 20. (UFPR) A velocidade de impressão de uma impressora é calculada em páginas por minuto (ppm). Suponha que determinada impressora tem velocidade de impressão de 15 ppm em preto e branco e de 8 ppm em cores. a) Quanto tempo essa impressora gasta para imprimir 230 páginas em preto e branco? Dê sua resposta no formato min seg. b) Trabalhando ininterruptamente durante 30 minutos, essa impressora imprimiu 366 páginas entre preto e branco e colorida. Quantas dessas páginas eram coloridas? M MATEMÁTICA T Matemática 30 1 U.T.I. 43 Introdução à geometrIa plana Ângulos opostos pelo vértice (OPV) Bissetriz Dado um ângulo A ̂ O B, dizemos que a semirreta _____ › OP é bissetriz de A ̂ O B se, e somente se, A ̂ O P > P ̂ O B. Ou seja, uma bissetriz divide um ângulo em dois ângulos congruentes. Ângulos suplementares adjacentes Ângulo reto Ângulos determinados por duas retas e uma transversal 44 Alternos externos: Alternos internos: Colaterais internos: Retas paralelas cortadas por uma transversal Observação: a e b são congruentes. Consequências Ângulos num trIÂn- gulo e Ângulos numa cIrcunferêncIa Ângulos num triÂngulo Soma dos ângulos internos Considere um triângulo DABC e uma reta r para- lela ao lado BC , contendo o vértice A. 45 A soma dos ângulos internos de qualquer triân- gulo é igual a 180°. Teorema do ângulo externo u = a + b Em um triângulo ABC qualquer, o ângulo exter- no relativo a um determinado vértice equivale à soma dos outros dois ângulos internos não adjacentes a ele. Teorema da soma dos ângulos externos ae + be+ ge = 360° Ângulos numa circunferência Circunferência É o conjunto dos pontos do plano situado à mesma distância de um ponto fixo. O ponto fixo é cha- mado centro. Tangentes (um único ponto comum) Secantes (dois pontos comuns) Externas (nenhum ponto comum) Propriedade da reta tangente à circunferência Caso a reta seja tangente à circunferência, o segmento determinado pelo raio e a reta tangente formam, no ponto de tangência, um ângulo reto. 46 Propriedade da reta secante à circunferência Considere uma circunferência de centro C e uma reta r secante à circunferência, que forma os pon- tos A e B. Sendo M o ponto médio de AB , temos que o seg- mento CM será perpendicular à reta secante r. Ângulos na circunferência Ângulo central É um ângulo que tem como vértice o centro da circunferência e seus lados passam por pontos perten- centes a ela. Ângulo inscrito É aquele cujo vértice é um ponto da circunfe- rência ecujos lados passam por dois outros pontos da circunferência. Propriedade Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma mesma circunferência têm o mesmo arco corres- pondente, então a medida do ângulo central equivale ao dobro da medida do ângulo inscrito. Ângulo de segmento É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência, em um lado secante à circunferência e outro tangente a ela. Na figura, como a reta t é tangente à circun- ferência e o segmento AB é secante, a é um ângulo de segmento. 47 Propriedade A medida do ângulo de segmento é metade de medida angular do arco determinado na circunferência por um de seus lados. razão proporcIonal e teoremas de tales e da bIssetrIz Interna razão proporcional Quatro segmentos AB , CD , EF e GH , nessa ordem, são segmentos proporcionais, se existe a propor- ção AB ___ CD = EF ___ GH . teorema de tales Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas retas transversais, os segmentos determinados sobre a primeira transversal são proporcionais a seus correspondentes determinados sobre a segun- da transversal. Por Tales, AB ___ BC = PQ ___ QR e AC ___ AB = PR ___ PQ . teorema da bissetriz interna A bissetriz de um ângulo interno de um tri- ângulo divide o lado oposto a esse ângulo em dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes a esses segmentos. pontos notáveIs de um trIÂngulo mediana É o segmento que contém um dos vértices e o ponto médio do lado oposto. Na figura, o segmento —— AM é a mediana relativa ao lado BC , pois BM = CM. 48 Em função da mediana Em função da distância GM (distância do baricentro ao lado) Bissetriz Segmento com uma extremidade em um vértice e que divide o ângulo interno formado por ele em dois ângulos congruentes. Todo triângulo possui três bissetrizes que se en- contram em um ponto denominado incentro, simboliza- do na figura pela letra I. O centro da circunferência inscrita ao triângulo ABC coincide com seu incentro. Altura Segmento cuja extremidade é um vértice do tri- ângulo e que é perpendicular ao seu lado oposto (ou do prolongamento dele). Todo triângulo possui três alturas que se encon- tram em um ponto denominado ortocentro, simboli- zado na figura pela letra H. 49 Mediatriz Qualquer segmento de reta que é a reta perpendicular a um lado do triângulo, passando em seu ponto médio. Todo triângulo possui três mediatrizes que se encontram em um ponto denominado circuncentro, simbo- lizado na figura pela letra C. O circuncentro de um triângulo é o centro da circunferência circunscrita a ele. O centro da circunferência circunscri- ta ao triângulo ABC coincide com seu circuncentro. 50 semelhança de trIÂngulos Casos de semelhança 1º caso: Ângulo–Ângulo (AA) Conhecemos dois ângulos dos triângulos em que C ̂ A B ≅ C' ̂ A 'B' e A ̂ B C ≅ A' ̂ B 'C'. DABC ~ DA'B'C' Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes congruentes, então esses triângulos são semelhantes. 2º caso: Lado–Ângulo–Lado (LAL) Conhecemos dois lados dos triângulos e o ângulo formado por eles, em que: AB ____ A'B' = CA ____ C'A' e C ̂ A B ≅ C' ̂ A 'B'. DABC ~ DA'B'C' 3º caso: Lado – Lado – Lado (LLL) Conhecemos os três lados dos triângulos em que AB ____ A'B' = CA ____ C'A' = BC ____ B'C' . DABC ~ DA’B’C’ Se dois triângulos têm os três pares de lados correspondentes proporcionais, então esses triângulos são semelhantes. 51 relação métrIcas no trIÂngulo retÂngulo teorema de pitágoras c b a a² + b² = c² Segunda relação métrica b · c = a · h Terceira relação métrica c2 = a ∙ m b2 = a ∙ n Quarta relação métrica h2 = m ⋅ n 52 trIgonometrIa num trIÂngulo qualquer lei dos cossenos a2 = b2 + c2 – 2bc cosa lei dos senos a ____ sen ̂ A = b ____ sen ̂ B = c ____ sen ̂ C = 2R Área de um DABC qualquer (fórmula trigonométrica) área (DABC) = c ⋅ bsen ̂ A _______ 2 = a ⋅ bsen ̂ C ________ 2 = a ⋅ csen ̂ B _______ 2 áreas dos trIÂngulos área de um triÂngulo em função da base e da altura área (DABC) = S = a ⋅ ha ____ 2 = b ⋅ hb ____ 2 = c ⋅ hc ____ 2 § Área de um triângulo equilátero área (DABC) = S = a² ⋅ dXX 3 ______ 4 § Área de um triângulo em função dos três lados área (DABC) = S = dXXXXXXXXXXXXXXXXXX p(p – a) (p – b) (p – c) (fórmula de Heron) § Área de um triângulo em função de dois lados e o ângulo formado entre eles área (DABC) = S = b ⋅ c ⋅ sena _________ 2 = b ⋅ c ⋅ sen ̂ A _________ 2 § Área de um triângulo em função dos lados e do circunraio (raio da circunferência cir- cunscrita) § O: centro do círculo § P: ponto da circunferência § OP = R (circunraio) § a, b, c: medidas dos lados do DABC área (DABC) = S = a ⋅ b ⋅ c ______ 4R § Área de um triângulo em função dos lados e do inraio § O: centro do círculo § P: ponto da circunferência § OP = r (inraio) § a, b, c: medidas dos lados do DABC § p: semiperímetro área (DABC) = S = p ⋅ r. 54 u.t.I. - sala 1. (FGV) Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as retas paralelas r e s. Responda qual é o valor de a. 2. (Fuvest) a) Na figura 1, calcular x. b) Na figura 2, calcular y. 3. (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa fi- gura, AD = BD, ̂ C = 60° e DÂC é o dobro de ̂ B . Qual é a a razão AC/BC ? 4. (Unirio) Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estaciona a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicópte- ro do exército, situado a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura a seguir. Sendo assim, quanto mede o diâmetro do disco-voador em metros? 5. (UFPR) Uma corda de 3,9 m de comprimento conecta um ponto na base de um bloco de madeira a uma polia localizada no alto de uma elevação, conforme o esquema a seguir. Observe que o ponto mais alto dessa polia está 1,5 m acima do plano em que esse bloco desliza. Caso a corda seja puxada 1,4 m, na direção indicada abaixo, qual será a distân- cia x que o bloco deslizará? 6. (Unicamp) A figura a seguir exibe um pentá- gono com todos os lados de mesmo compri- mento. Qual é a medida do ângulo θ? u.t.I. - e.o. 1. Determine x, y, z nas figuras a seguir: a) b) 55 c) 2. (UFMG) Observe a figura: Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. Qual é a medida do ângulo PQS, em graus? 3. (UEL) Na figura a seguir, tem-se os ângulos XYW, XZW e XTW, inscritos em uma circunfe- rência de centro O. Se a medida do ângulo XOW = 80°, então qual é a soma da medida do ângulo XYW com a medida do ângulo XTW? 4. (UFMG) Na figura, os segmentos BC e DE são paralelos, AB = 15 m, AD = 5 m e AE = 6 m. Qual é a medida do segmento CE? 5. (Fuvest) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retân- gulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. Quanto mede o perímetro desse retângulo, em cm? C Q P A M N B 6. (ESPM) Um mastro vertical é mantido nes- sa posição por 3 cabos esticados que partem da extremidade P e são fixados no chão nos pontos A, B e C, conforme a figura abaixo. Sendo x, y e z as distâncias respectivas des- ses pontos ao pé do mastro, determine o va- lor de z em função de x e y. 7. Na figura a seguir, as retas r e s são parale- las. Qual a medida do ângulo b? t r s 2x 4x 120º b 8. Considerando as medidas indicadas na figu- ra e sabendo que o círculo está inscrito no triângulo, determine x. 56 O 9. (Unesp) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, dooutro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do pon- to em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângu- los BÂC e B ̂ C D valem 30°, e o A ̂ C B vale 105°, como mostra a figura: Dê a medida da altura h do mastro. 10. (Mackenzie) Na figura, ABCDEF é um hexá- gono regular de lado 1 cm. Qual é a área do triângulo BCE, em centímetros quadrados? 11. (PUC-MG) Na figura, o triângulo ABC é equi- látero e está circunscrito ao círculo de centro O e raio 2 cm. AD é altura do triângulo. Sen- do E ponto de tangência, qual é a medida de AE, em centímetros? 12. (Unifesp) Tem-se um triângulo equilátero em que cada lado mede 6 cm. Qual é a medi- da do raio do círculo circunscrito a esse tri- ângulo, em centímetros? 13. (Unifesp) Na figura, o ângulo C é reto, D é ponto médio de AB, DE é perpendicular a AB, AB = 20 cm e AC = 12 cm. Quanto mede a área do quadrilátero ADEC, em centímetros quadrados? 14. No terreno ABC da figura, uma pessoa preten- de construir uma residência, preservando a área verde da região assinalada. Se BC = 80 m, AC = 120 m e MN = 40 m, qual é a área livre para a construção, em metros quadrados? 15. (FGV) Na figura abaixo, o triângulo AHC é re- tângulo em H e s é a reta suporte da bissetriz do ângulo CÂH. Se c = 30° e b = 110°, então qual é o valor de x? 16. No triângulo abaixo, temos AB = BC e CD = AC. Se x e y são as medidas em graus dos ângulos ^ A e ̂ B , respectivamente, então qual é o valor de x + y ? 57 17. Considerando que os segmentos AD e AE são, respectivamente, bissetrizes interna e exter- na do ângulo  do triângulo ABC abaixo, cal- cule a medida BD, se DC = 10 cm e CE = 18 cm. 18. (FGV adaptado) Na figura, AN e BM são me- dianas do triângulo ABC, e ABM é um tri- ângulo equilátero, cuja medida do lado é 1. Qual é a medida do segmento GN? 19. (FEI adaptado) Considere o triângulo retân- gulo ABC dado a seguir. Sabe-se que a medi- da do segmento AB é igual a 3 cm, a do AC é igual a 4 cm, a do BC é igual a 5 cm e a do BM é igual a 3 cm. Neste caso, qual é a medida do segmento AM? 20. (Fuvest) Uma bola de bilhar, inicialmente em repouso em um ponto P situado na borda de uma mesa de bilhar com formato circu- lar, recebe uma tacada e se desloca em um movimento retilíneo. A bola atinge a borda no ponto R e é refletida elasticamente, sem deslizar. Chame de Q o ponto da borda dia- metralmente oposto a P e de θ a medida do ângulo Q ̂ P R. a) Para qual valor de θ, após a primeira refle- xão, a trajetória da bola será paralela ao di- âmetro PQ? b) Para qual valor de θ, após a primeira refle- xão, a trajetória da bola será perpendicular a PQ? c) Supondo agora que 30° < θ < 60°, encontre uma expressão, em função de θ, para a me- dida a do ângulo agudo formado pela reta que contém P e Q e pela reta que contém a trajetória da bola após a primeira reflexão na borda.
Compartilhar