FUND TEÓRICOS E METOD DO ENSINO DA MATEMÁTICA (1)

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Professora Esp. Paula Regina Dias de Oliveira
• Especialista em Docência no Ensino Superior (Unicesumar)
• Especialista em EAD e as Novas Tecnologias Educacionais (UniCesumar). 
• Licenciatura em Pedagogia (FAPI – Faculdades de Pinhais).
• Tutora Educacional - Modalidade Presencial em disciplinas Híbridas (UNIFCV).
• Professora orientadora de trabalho de conclusão de curso da pós-graduação 
(UNIFCV).
• Professora mediadora na área da Educação (UNIFCV).
Ampla experiência como tutora educacional e como professora mediadora em 
disciplinas do curso de Pedagogia na modalidade EAD. Experiência como facilitadora em 
cursos de formação profissional. Experiência em docência na educação infantil.
Acesse meu currículo lattes: http://lattes.cnpq.br/2006860851344290
AUTORA
http://lattes.cnpq.br/2006860851344290
Olá, prezado(a) acadêmico(a)! 
Seja bem-vindo (a) aos estudos sobre os Fundamentos Teóricos e Metodológi-
cos do Ensino da Matemática. Este livro foi organizado com muita dedicação e carinho 
para você, que a nosso ver, tem buscado ao longo da sua jornada acadêmica compreender 
os desafios que envolvem o ensino da matemática enquanto disciplina de fundamental 
importância na construção da cidadania, uma vez que nos dias atuais, cada vez mais os ci-
dadãos precisam se apropriar de determinados conhecimentos científicos que são exigidos 
pela sociedade. 
Esse livro é composto por quatro unidades que abordam conhecimentos matemá-
ticos que darão embasamento para a formação do professor da Educação Infantil e Anos 
Iniciais do Ensino Fundamental. Cada unidade dispõe de uma breve introdução a fim de 
direcioná-lo para o tema central que irá estudar, seguido das considerações finais.
Na unidade I, faremos uma pequena viagem aos primórdios da humanidade para 
compreendermos como surgiram as primeiras contagens e sua evolução até os dias atuais, 
aprenderemos com Vygotysky e Piaget, como a criança constrói seus primeiros conheci-
mentos matemáticos e aprenderemos sobre a importância da matemática enquanto ciências 
sociais que prepara o aluno para a sociedade levando em consideração sua realidade, sua 
necessidade e seus conhecimentos prévios. Tais conhecimentos são importantes para que 
possamos trabalhar a segunda unidade do livro.
Na unidade II, abordaremos alguns conceitos fundamentais para a construção do 
número pela criança, conheceremos como surgiram os primeiros números e aprenderemos 
sobre os vários sistemas numéricos que existiram até chegarmos ao nosso sistema numé-
rico atual e sua importância para a evolução da tecnologia e dos conhecimentos científicos 
nas mais diversas áreas do conhecimento. Nesta unidade ainda teremos a oportunidade de 
conhecer alguns conceitos básicos para construção metodológica e que são esclarecedo-
res para que possamos entender como se dá o processo de cognição da criança na fase 
APRESENTAÇÃO DO MATERIAL
escolar.
Já na unidade III, trataremos do currículo da matemática, abordaremos os Parâme-
tros Curriculares Nacionais (PCNs) e por fim, os objetivos e os conteúdos básicos para o 
ensino da Matemática que são os conteúdos destaque desta unidade. 
Na unidade IV, estudaremos o porquê a prática pedagógica do professor influencia 
diretamente na aprendizagem da criança, no seu desenvolvimento e na sua avaliação. 
Trataremos da importância de este estar sempre pesquisando, se atualizando e amparado 
por um planejamento adequado e flexível que o oriente na elaboração do seu plano de aula. 
Nesta unidade também propusemos algumas atividades que são trabalhadas em salas 
de aula na educação infantil e nos anos iniciais do ensino fundamental que servem como 
auxilio para o professor no processo de ensino-aprendizagem. 
Por fim, convido você a entrar nesta jornada de estudos e multiplicar os conheci-
mentos sobre tantos assuntos abordados em nosso material. Esperamos contribuir para 
seu crescimento pessoal e profissional. 
Muito obrigado e bom estudo!
SUMÁRIO
UNIDADE I ...................................................................................................... 6
Histórico da Matemática
UNIDADE II ................................................................................................... 28
Noções Básicas para Alfabetização Matemática e seus Aspectos 
Psicognéticos
UNIDADE III .................................................................................................. 55
Referencial Curricular e os Parâmetros Curriculares Nacionais
UNIDADE IV .................................................................................................. 82
Aprender e Ensinar Matemática na Educação Infantil e Anos Iniciais
6
Plano de Estudo:
• Considerações sobre a história da matemática
• A criança e o conhecimento matemático
• A matemática e as necessidades sociais
Objetivos de Aprendizagem:
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
• Conhecer a história da Matemática e sua importância para a humanidade como 
instrumento de resgate da própria identidade cultural.
• Fundamentar baseada nas teorias de Jean Piaget e Vygotsky como se dá o 
conhecimento matemático pela criança na Educação Infantil e Anos Iniciais do Ensino 
Fundamental.
• Identificar a educação matemática como atividade humana como componente 
importante na formação do cidadão.
UNIDADE I
Histórico da Matemática
Professora Esp. Paula Regina Dias de Oliveira
7UNIDADE I Histórico da Matemática
Sabemos que a matemática é uma manifestação cultural e que está presente no 
nosso dia a dia nas ações rotineiras mais simples como, por exemplo, na receita de um 
bolo, na construção de uma pipa, ou até mesmo quando vamos a feira comprar um maço 
de salsinhas e cebolinhas, todas essas atividades exigem medidas matemáticas que pos-
sibilitam o desenvolvimento do raciocínio lógico, da criatividade e a capacidade de resolver 
problemas. 
Diante disso, procuramos trazer aqui um pouco da história da matemática e como 
as dificuldades enfrentadas em cada época contribuíram para a construção dos conheci-
mentos matemáticos que são utilizados hoje a fim de resgatar a sua identidade cultural e 
como a disciplina configura-se no currículo escolar brasileiro.
Além disso, compreender a criança, a forma com que ela aprende e os pressupos-
tos teóricos que fundamentam o seu desenvolvimento são de extrema importância para a 
reflexão acerca das práticas pedagógicas que serão abordadas em sala de aula. 
Justificamos o nosso propósito, por entender que a matemática enquanto disciplina, 
vai além do apresentado em sala de aula, e quando contextualizada, partindo das situações 
problemas do cotidiano do aluno vai abrir um leque de oportunidades dentro da sua realida-
de que permitirão que ele construa sonhos e projetos dentro de modelos matemáticos que 
são pertinentes a sua individualidade. 
Nesse sentido a intenção dessa Unidade é leva-lo a sintetizar o conhecimento dos 
saberes aqui explicitado e que são fundamentais para uma prática pedagógica responsável 
e consciente. 
Então, vamos lá! Bom estudo e espero que o material que preparei para você con-
tribua de forma eficaz para sua formação.
INTRODUÇÃO
8UNIDADE I Histórico da Matemática
1. CONSIDERAÇÕES SOBRE A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
1.1 Um breve relato sobre a História da Matemática
Segundo relatos históricos, a vida humana teve seu surgimento no período da 
Idade da Pedra que vai até 3.500 a. C. aproximadamente, período esse caracterizado por 
um cenário bem diferente da atualidade.
Nessa época os primeiros seres humanos eram organizados em grupos denomi-
nados nômades e sua maior necessidade era buscar novos lugares a fim de encontrar 
alimentos e se protegerem das mudanças climáticas. Eles viviam escondidos em cavernas 
para se protegerem, se alimentavam de raízes, frutas, da caça e da pesca. A concentra-
ção maior desses povos se dava em locais do planeta onde hoje estão localizados países 
como América Central, Ásia, África e Europa. Ainda segundopesquisas sobre do tema, as 
primeiras contagens surgiram a mais de 10.000 mil anos e partiu das necessidades diárias 
do homem, que após algum tempo deixou de ser nômade e passou a se estabelecer em 
terras fixas. 
Apesar de ocorrerem de forma muito primitiva, a contagem era muito importan-
te, pois os seres humanos daquela época a utilizavam para a contagem de animais que 
haviam em seus rebanhos, contagem de membros que haviam em suas tribos, além de 
9UNIDADE I Histórico da Matemática
outras necessidades que eram importantes para a sua sobrevivência, como por exemplo o 
comércio, a contagem do tempo, o movimento da lua, o plantio, a colheita e o comércio de 
trocas entre diferentes tribos. Dava-se então início a agricultura. 
Tais mudanças foram significativas para o seu modo de vida. Acredita-se que nessa 
época o conceito de quantidade e grandeza já estavam sistematizados no homem, pois 
mesmo que de forma ainda muito arcaica, ele já conseguia reconhecer a diferença de 
quantidades, ou seja, ele conseguia diferenciar mais e menos.
Alguns registros também mostram que a correspondência biunívoca (relação de 
um para um) foi a primeira forma de contagem que surgiu na época primitiva, forma essa 
em que cada objeto de um grupo era associado a outro, para cada marcação havia um ele-
mento único. Lopes, Viana e Lopes (2005, p. 20) destacam que “fazer correspondência um 
a um é associar a cada objeto de uma coleção a um objeto de outra coleção. O surgimento 
dessa correspondência foi muito importante no desenvolvimento dos números e deve ser 
valorizado na educação infantil, pois ela é o primeiro passo para que as crianças saibam 
exatamente que o número dois significa um conjunto de dois uns e não mero símbolo”.
SAIBA MAIS
A correspondência biunívoca era comum aos pastores de ovelhas que ao saírem de 
manhã para levar seu rebanho ao pasto, reunia em embornal várias pedrinhas. Cada 
pedrinha correspondia a uma ovelha. Ao retornar no final do dia, o pastor retirava do 
embornal uma pedrinha para cada ovelha que saía do pasto. Dessa forma ele conseguia 
verificar se seu rebanho estava completo ou se alguma ovelha havia fugido, ou ainda, 
se havia ovelhas de outro rebanho junto ao seu. Foi então a palavra pedrinha, que deu 
origem ao termo cálculo, que é utilizado de forma universal na matemática até a atuali-
dade. “A palavra cálculo originou-se da palavra latina calculus, que significa ‘pedrinha’”. 
(IMENES 1997, p. 15).
Fonte: IMENES, Luiz Márcio. A numeração indo-arábica. 7. ed. São Paulo: Scipione, 
1997a. (Coleção Vivendo a Matemática).
Outras formas de usar a correspondência biunívoca com o propósito de associar 
quantidades, era fazendo rabiscos em paredes (pequenas ranhuras) ou pedras, dar nós 
10UNIDADE I Histórico da Matemática
em pedaços de cordas, onde cada nó representava um objeto do grupo ou coleção, havia 
ainda a contagem dos dedos, onde se dobrava ou esticava o dedo para cada unidade que 
era contada, conforme Imenes (1997b), “na língua falada por algumas tribos, para referir-se 
a quantidade CINCO, eles dizem MÃO. Para referir-se ao DEZ, eles dizem DUAS MÃOS” 
(p. 16).
Entretanto, por volta de 2.000 a. C., contar pedrinhas, fazer riscos nas paredes e 
dar nó em cordas, passou a ser um problema para contar e registrar grandes quantidades, 
pois devido às novas necessidades que foram surgindo, como por exemplo, os primeiros 
sistemas de comércio e a divisão da caça pelas tribos, fizeram com que esse processo que 
era considerado satisfatório para pequenas quantidades passasse a não ser mais eficiente. 
Para dar conta das novas demandas o processo de contagem passou a ser siste-
matizado pelos povos, onde cada um usava a sua própria linguagem e sistema para repre-
sentar as quantidades como o sistema egípcio, romano, japonês e indo-arábico, surgindo 
então a numeração escrita que abordaremos na Unidade 2.
1.2 Fundamentos teóricos metodológicos da educação matemática
Aqui falaremos brevemente sobre o que propõe Diretrizes Curriculares do Paraná 
sobre como deve ser o ensino da matemática.
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, LDBEN, (nº. 9394 de 20 de de-
zembro de 1996), é responsável pelas novas interpretações sobre o ensino da matemática, 
ao elencar conteúdos, que de fato fazem parte do campo de conhecimento da matemática. 
No Paraná nesse período, foram criadas disciplinas como álgebra, geometria e desenho 
algébrico. 
A partir de 1998, o Ministério da Educação distribuiu os Parâmetros Curriculares 
Nacionais (PCNs), e enfatizou o uso da matemática com o objetivo de resolver problemas 
locais, além de estimular a abordagem dos temas matemáticos resgatando a importância 
do conteúdo matemático e da disciplina Matemática, as tendências metodológicas em 
Educação Matemática e os procedimentos avaliativos. 
11UNIDADE I Histórico da Matemática
Foi então, a partir de 2003, que a Secretaria de Educação - SEED deflagrou um 
processo de discussão envolvendo professores atuantes em salas de aula, bem como 
educadores dos Núcleos Regionais e das equipes pedagógicas da Secretaria de Estado da 
Educação a fim de resgatar importantes considerações teórico-metodológicas para o ensino 
da matemática que resultam nas Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação 
Básica. 
Tais discussões apontaram para a necessidade de compreender o ensino da mate-
mática em todas as suas vertentes, um ensino que possibilite ao aluno levantar hipóteses, 
discutir, se apropriar de conceitos e formular ideias, visando a sua formação integral como 
cidadão.
Com o intuito de trazer um ensino da Matemática diferente do ensino clássico de 
métodos puramente sintéticos, essas discussões pautavam a busca por um ensino intuitivo 
e indutivo, o que configurou o campo de estudo da Educação Matemática.
A educação matemática, enquanto campo de estudo que proporcionam funda-
mentação teórica e metodológica que direcionam a prática docente engloba saberes que 
influenciam, direta ou indiretamente, os processos de ensino e de aprendizagem. Esse 
objeto de estudo, apesar de ainda estar em construção tem como pressuposto investigar 
a forma com que o estudante compreende e se apropria da matemática, “concebida como 
um conjunto de resultados, métodos, procedimentos, algoritmos etc.” (MIGUEL; MIORIM 
2004, p. 70). 
Também tem como função fazer o aluno construir valores e atitudes que visam a 
sua formação integral enquanto cidadão, influenciando na formação do pensamento do 
aluno que o permitam criar relações sociais e adquirir consciência social. Corrobora Duarte 
(1987) que: 
[...] o ensino de matemática, assim como todo ensino, contribui (ou não) para 
as transformações sociais não apenas através da socialização do conteúdo 
matemático, mas também através de sua dimensão política que é intrínseca 
a essa socialização. Trata-se da dimensão política contida na própria relação 
entre o conteúdo matemático e a forma de sua transmissão-assimilação (p. 
78).
Assim sendo, para que a educação matemática de fato se efetive, o professor deve 
12UNIDADE I Histórico da Matemática
se interessar pelo seu desenvolvimento intelectual e profissional, repensando sua prática, a 
fim de se tornar um professor pesquisador em constante formação que paute a construção 
do conhecimento da matemática sob uma visão histórica onde os conceitos apresentados 
deverão ser discutidos, pensados e repensados com o objetivo influenciar o pensamento 
do aluno e na sua existência. 
Para Medeiros (1987) “implica olhar a própria matemática do ponto de vista do seu 
fazer e do seu pensar, da sua construção histórica e implica, também olhar o ensinar e o 
aprender matemática, buscando compreendê-los” (p. 27). 
Neste sentido, tal reflexão abre espaço para uma educação matemática que esteja 
voltada para o desenvolvimento cognitivo do aluno e também para a relevância social que 
tem o ensino da matemática. 
Para tanto, faz-se necessárioque o processo pedagógico em Matemática 
contribua para que o estudante tenha condições de constatar regularidades, 
generalizações e apropriação de linguagem adequada para descrever e in-
terpretar fenômenos matemáticos e de outras áreas do conhecimento. (PA-
RANÁ 2008, p. 49). 
Assim sendo, concluímos que a perspectiva da Educação Matemática pressupõe a 
análise de variáveis envolvidas nesse processo e as relações que elas estabelecem entre si 
e que são importantes para o professor e de grande relevância para o ensino da matemática.
13UNIDADE I Histórico da Matemática
2. A CRIANÇA E O CONHECIMENTO MATEMÁTICO
Nesse tópico abordaremos um pouco sobre os pressupostos teóricos que norteiam 
a educação baseados na teoria de Piaget e Vygotsky, bem como as crianças formam os 
primeiros conhecimentos matemáticos. A finalidade deste tópico é dar um embasamento 
aos que se preocupam com o Ensino da Matemática na Educação Infantil e nas séries 
iniciais do Ensino Fundamental, proporcionando um estudo sobre a criança e a construção 
do seu conhecimento matemático, uma vez entendemos que qualquer professor deve ter 
subsídios teóricos sobre a evolução histórica do conceito matemático e de como a criança 
constrói este conceito.
2.1 A construção do conhecimento, na concepção de Piaget e Vygotsky.
Existem diferentes teorias diferentes que tem como objetivo, explicar como funciona 
o processo de aprendizagem do indivíduo. Jean Piaget e Lev Vygotsky, são os autores que 
mais se destacam na educação contemporânea. 
Piaget, autor da teoria epistemologia genética ou psicogenética, que parte da ação 
formada por meio dos primeiros conceitos que a criança tem dos objetos que estão a sua 
volta. Em sua teoria ele descreve como se dá o processo de aquisição do conhecimento e as 
sucessivas mudanças no processo cognitivo de acordo com o estágio do desenvolvimento 
em que a criança se encontra. 
14UNIDADE I Histórico da Matemática
Segundo Piaget, o professor deve respeitar o nível mental da criança ao apresentar 
as propostas metodológicas, uma vez que a criança pode aprender de formas diferentes a 
cada etapa do conhecimento (PIAGET, 1970). 
A evolução da lógica moral, de acordo com Piaget (1970), pode ser resumida em 
quatro estágios de desenvolvimento: São eles, sensorial-motor, pré-operatório, operatório 
concreto e operatório formal. 
1. Sensório-motor (0-2 anos): ao nascer, o bebê apresenta padrões de compor-
tamento, como sugar e agarrar. As modificações e o desenvolvimento do comportamento 
ocorrem à medida que, aprende a coordenar suas sensações e movimentos e por meio das 
interações que tem com o meio ambiente. O bebê passa a construir esquemas para assimilar 
o que acontece a sua volta e possui um conhecimento privado que não é influenciado pelas 
pessoas.
2. Pré-operatório (2-7 anos): esta fase está dividida em dois períodos, o primeiro 
se refere a inteligência simbólica, que acontece dos dois aos quatro anos, onde a criança 
é capaz de substituir um objeto por uma representação. O segundo se refere ao período 
intuitivo, que acontece dos quatro aos sete anos, nesse período a criança utiliza a percepção 
que tem dos objetos e não a sua imaginação. 
3. Operatório- concreto (7-11 anos): Nessa fase a criança é capaz de interiorizar 
ações de maneira concreta, fortalece as conservações numéricas, organiza o mundo de for-
ma lógica e operatória, permiti construções mais elaboradas, sendo capaz de compreender 
regras e estabelecer compromissos.
4. Operatório-formal (11-15 anos): O pensamento lógico atingirá o estágio mais 
elevado das operações abstratas, e está apto a aplicar o raciocínio lógico em diferentes 
situações problemas.
Neste sentido, podemos perceber que todas as fases citadas por Piaget se referem 
a organização dos conceitos matemáticos que são ensinados na escola.
15UNIDADE I Histórico da Matemática
SAIBA MAIS
Caso você queira se aprofundar um pouco sobre a teoria de Piaget, recomendamos a 
obra de Iris Barbosa Goulart, com o tema: 
GOULART, I.B. Piaget: experiências básicas para utilização pelo professor. 27. ed. Petró-
polis: Vozes, 2011.
Vygotsky, assim como Piaget, foi outro grande pesquisador sobre as teorias da apren-
dizagem. Sua teoria enfatiza o processo-histórico social e a importância da linguagem 
no desenvolvimento cognitivo do indivíduo. Para ele, o pensamento e a linguagem con-
vergiam em conceitos úteis que auxiliavam no pensamento do indivíduo (VYGOTSKY, 
1984). 
Para o pesquisador, a criança se desenvolve em sala de aula por meio das interações 
sociais que acontece entre os professores e as crianças e do diálogo que a criança es-
tabelece com o grupo. Esse relacionamento também estimula o desenvolvimento oral e 
escrito. 
Neste sentido, para Vygotsky (1984), a aquisição do conhecimento pela criança se dá 
pelas relações interpessoais e intrapessoais, por meio da interação e pelas trocas que 
acontecem com o meio, por intermédio da mediação. A apropriação do conhecimento 
parte da ideia que a criança tem a necessidade de se capaz de desenvolver sua autono-
mia e sua independência e assim evoluir no processo de construção de conhecimento. 
Para Vygotsky e Piaget, a criança tem um papel fundamental no processo de aprendiza-
gem, porém não único, ou seja, ela precisa da interação e da mediação para que haja a 
aquisição do conhecimento.
Entenda um pouco mais da teoria de Vygotsky lendo a seguinte obra de Tereza Cristina 
Rego.
REGO, T.C. Vygotsky: uma perspectiva histórico-cultural da educação. Petrópolis: Vo-
zes, 2005.
16UNIDADE I Histórico da Matemática
2.3 Os primeiros conceitos matemáticos 
Os conhecimentos matemáticos são parte integrante e essencial em sua vivência, 
além disso, a matemática está incorporada ao seu dia a dia. Durante a infância a criança 
participará de inúmeras situações envolvendo relações de quantidade, organização do pen-
samento, raciocínio lógico, noções temporais e espaciais. É possível observar que desde 
muito pequena ela já agrega, divide, separa objetos em suas brincadeiras. As teorias de 
Piaget e Vygotsky nos mostram como a criança constrói esses conhecimentos. Eles nos 
permitem entender a lógica da criança ao lidar com conceitos matemáticos e nos revelam a 
importância da interação da criança com o meio e com os sujeitos da cultura na apropriação 
do conhecimento. (FARIA & DIAS, 2008).
Sobre conhecimento matemático o Referencial Curricular Nacional para a Educa-
ção Infantil (RCNEI) afirma que,
Fazer Matemática é expor ideias próprias, escutar as dos outros, formular e 
comunicar procedimentos de resolução de problemas, confrontar, argumen-
tar e procurar validar seu ponto de vista, antecipar resultados de experiências 
não realizadas, aceitar erros, buscar dados que faltam para resolver proble-
mas, entre outras coisas. Dessa forma as crianças poderão tomar decisões, 
agindo como produtoras de conhecimento e não apenas executoras de ins-
truções. Portanto, o trabalho com a Matemática pode contribuir para a forma-
ção de cidadãos autônomos, capazes de pensar por conta própria sabendo 
resolver problemas. (BRASIL 1998, p. 207).
Como já visto anteriormente, a construção histórica do conhecimento matemático 
surgiu das necessidades sociais o homem de interagir com o meio, das suas tentativas 
de compreender o mundo e de como se encaixar nele. Da mesma forma deve ser com-
preendido o trabalho na Educação Infantil, onde o conhecimento deve ser guiado pelas 
necessidades que emergem do cotidiano das Instituições de Educação Infantil.
Nesse sentido, os professores podem ajudar a criança a organizar suas ideias des-
de os primeiros passos escolares que acontecem na Educação Infantil criando para isso, 
situações que irão favorecer tais aprendizagens, buscando a ampliação e consolidação 
desses saberes cotidianos relacionados à matemática podendo tornar mais significativo 
seus conhecimentos. Para isso é importante que haja um ambiente matematizador,que 
vá além dos conhecimentos escolares, onde muitas vezes o conhecimento está voltado 
somente para a repetição e memorização de números.
17UNIDADE I Histórico da Matemática
Piaget e Szeminska (1975), afirmam que, 
[...] não basta de modo algum a criança saber contar verbalmente “um, dois, 
três, etc”, para achar-se na posse do número. Em outras palavras, memorizar 
apenas não basta, é preciso compreender o número, principalmente como 
representação de quantidade (p.15). 
De acordo com os estudos de Piaget (1970), para que a aprendizagem de fato 
ocorra, é fundamental que haja uma interação entre o sujeito e o objeto a partir de três 
processos:
1. Assimilação generalizadora: ocorre quando os esquemas estruturantes são 
modificados no indivíduo, a partir daí ele passa a assimilar novos objetos da 
realidade e função do todo.
2. Assimilação reconhecedora: É a capacidade que por meio dos esquemas 
estruturantes o indivíduo tem de buscar objetos de forma seletiva ou mais 
características do objeto, baseados na construção lógico-matemática de um 
efetivo sujeito do conhecimento.
3. Assimilação recíproca: É quando dois ou mais esquemas se misturam em uma 
totalidade generalizadora de maior hierarquia. Segundo Piaget, só podemos 
nos aproximar da estrutura de coisas por meio de aproximações sucessivas e 
jamais definitivas.
Propor atividades, jogos e brincadeiras com materiais que desenvolvam a inteli-
gência simbólica e intuitiva, que oportunizem um trabalho sistematizado, são fundamentais 
nesse processo. 
Por volta dos 4 e 5 anos, já é possível trabalhar jogos como o tangram, quebra-
-cabeças chinês a fim de trabalhar conteúdos como geometria. Atividades como seriação, 
classificação, quantificadores, e contagem quando são realizados com a criança desde a 
Educação Infantil poderão criar condições necessárias que favorecerão à construção do 
conceito de número nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
O professor da Educação Infantil está construindo o conceito de número, e suas 
18UNIDADE I Histórico da Matemática
representações quando estimula de forma espontânea a criança a brincar de contar, brincar 
com blocos lógicos, utilizados na percepção de formas e grandezas, agrupando os blocos 
pelas cores, comparando tamanho, largura ou altura, ou até mesmo atividades que envol-
vam consciência corporal e espacial, como atividades de esconder e procurar, construções 
com diferentes materiais, montar percursos e labirintos, cordas e bolas. 
Problematizar a situação antes da brincadeira fará com que a criança comece a 
estabelecer relações, levante hipóteses a respeito do que acontecerá. Durante a brinca-
deira como forma de registro a professora pode propor aos alunos registrar os pontos de 
cada time, ou de cada aluno. Esse registro pode ser feito em papel individual, ou coletivo. 
Ao final da brincadeira a professora pode propor roda de conversa sobre quais foram as 
dificuldades, as estratégias utilizadas, promovendo uma reflexão sobre as ações envolvidas 
na brincadeira. 
Lembrando que, ao trabalhar uma brincadeira ou um jogo com objetivos matemá-
ticos deve-se planejar qual brincadeira é a mais adequada ao conteúdo que está sendo 
estudado, e a idade da criança, além disso, é importante que a criança conheça as regras. 
E para que ela se aproprie do conteúdo é interessante que primeiro ela brinque por brincar, 
exercitando sua imaginação, se socializando e só após a brincadeira deve ser direcionada 
para o conteúdo. 
A criança precisa se sentir a vontade e nunca deve ser forçada a participar de 
algum jogo ou atividade. Sua participação deve ser espontânea. Ver os colegas brincarem, 
pode ser um grande incentivo para que ela passe a se sentir segura e entre na brincadeira. 
Na concepção de Faria; Dias (2008), 
[...] esse modo de trabalhar com o conhecimento matemático na Educação 
Infantil é bastante diferenciado daquelas práticas com as quais o (a) profes-
sor (a), supõe que está desenvolvendo o pensamento matemático ao ensinar 
a criança a repetir a sequência numérica, e a desenhar os numerais, asso-
ciando-os as quantidades, ou daquelas em que as crianças devem desenhar 
formas geométricas várias vezes e fazer exercícios repetidos para aprender 
seus nomes (p.97).
Cabe então ao professor dos anos iniciais do Ensino Fundamental dar sequência 
nesse processo, fazendo com que os alunos continuem desenvolvendo seu conhecimento 
19UNIDADE I Histórico da Matemática
matemático, propondo situações e utilizando materiais diversificados que contribuam para 
um ambiente matematizador.
Dessa forma a criança por meio da sua inteligência, das suas ideias de quantidade 
e da sua interpretação dos sistemas de numeração interage com o meio ambiente, começa 
a atribuir significado ao que está fazendo, o que possibilitará que se aproprie dos conceitos. 
A princípio desbrava o ambiente, utilizando elementos, brinquedos e materiais, em 
seguida passa a dispô-los de forma organizada, e por fim consegue trabalhar mentalmente 
com as ideias de números, mas baseando-se em duas técnicas lógicas do raciocínio: clas-
sificação e seriação. 
Essas habilidades contribuem para percepção dos argumentos que constitui o 
sistema de numeração que trabalharemos na Unidade 2.
20UNIDADE I Histórico da Matemática
3. A MATEMÁTICA E AS NECESSIDADES SOCIAIS
O indivíduo, enquanto cidadão que sonha, arquiteta projetos e que vive em socie-
dade tentando dar significado a ela por meio de seus conhecimentos, por meio das relações 
que estabelece com o meio e com os pares, no cumprimento das leis e do trabalho. A 
matemática, nesse contexto, tem como função oferecer as ferramentas necessárias para 
que ele alcance seus objetivos, tanto individuais, quanto coletivos. Assim sendo, nesse 
tópico falaremos um pouco sobre a importância da matemática e suas necessidades so-
ciais, enquanto atividade humana, capaz de promover o conhecimento necessário para a 
formação de um cidadão crítico, reflexivo em seu papel na sociedade. 
A matemática enquanto disciplina, vai além do apresentado em sala de aula. Muitas 
são as dificuldades e barreiras encontradas pelo aluno no decorrer de sua vivência escolar 
na disciplina de matemática que não se limitam somente as operações mais complexas, 
mais principalmente as operações mais simples, como a adição, subtração, multiplicação, 
divisão e interpretação de situações problemas. O papel da matemática quando aplicada 
a vida é abrir um leque de oportunidades dentro da realidade de cada pessoa, permitindo 
assim que ela construa sonhos e projetos dentro de modelos matemáticos que são perti-
nentes ao indivíduo. 
Formar indivíduos capazes de contribuir para a sociedade não é tarefa fácil, con-
siste em uma caminha longa a ser percorrida, pois a construção do conhecimento é um 
21UNIDADE I Histórico da Matemática
processo que inicia nos primeiros anos de vida e vai se concretizando ao longo da história. 
1.1 O desenvolvimento da matemática como atividade humana
A educação exerce um papel fundamental na vida do aluno. Por meio dela ele é 
capaz de se apropriar dos conhecimentos aprendidos, a fim de transforma-los, ressignifica-
-los, com o objetivo de construir sua dignidade e autonomia de forma crítica e reflexiva. Sua 
caminhada inicia ainda no período escolar, onde é por meio da interação com o meio e com 
os conteúdos que ele começa a construir sua vida social, o qual a integração entre escola e 
comunidade se torna uma relação constituída por meio da humanização e do apreço social. 
Nesse contexto, pressupomos que é na escola que a educação matemática acontece, e 
se dá pelas interações entre alunos e professores, ou seja, entre relacionamentos entre 
pessoas.
A educação matemática deve oferecer ferramentas de ensino que permitirão o aces-
so a vida em sociedade. Ela se torna uma atividade humana quando leva em consideração 
a bagagem cultural que o aluno traz em sua vida cotidiana e a utiliza a fimde sistematizar o 
conhecimento pré-existente do aluno o valorizando em todas as suas vertentes. Para isso 
é preciso que a escola e o professor em seus planejamentos incluam ferramentas pedagó-
gicas e conteúdos que favoreçam a contextualização da vida cotidiana e social do aluno, 
cujo objetivo seja a solução de problemas sociais do seu cotidiano, conforme contribui o 
documento abaixo: 
 
 Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades 
e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, 
ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do 
passado e do presente, o professor tem a possibilidade de desenvolver atitu-
des e valores mais favoráveis do aluno diante do conhecimento matemático. 
Além disso, conceitos abordados em conexão com sua história constituem-
-se veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande 
valor formativo. A História da Matemática é, nesse sentido, um instrumento 
de resgate da própria identidade cultural. Em muitas situações, o recurso à 
História da Matemática pode esclarecer ideias matemáticas que estão sendo 
construídas pelo aluno, especialmente para dar respostas a alguns “porquês” 
e, desse modo, contribuir para a constituição de um olhar mais crítico sobre 
os objetos de conhecimento. (BRASIL, 1998, p.42)
Conforme mencionado no documento, não podemos esquecer da matemática 
como criação humana a partir das suas diversas necessidades sociais e culturais que se 
emergiram no decorrer do processo histórico e que se constituem como forma de informa-
22UNIDADE I Histórico da Matemática
ção cultural, que possui grande valor na formação humana enquanto um instrumento de 
resgate da própria identidade cultural.
3.2 A modelagem matemática e sua contribuição para a vida
A modelagem matemática enquanto ensino, deve ser indissociável da vida cotidia-
na. Ela tem por finalidade transformar problemas do cotidiano em problemas matemáticos, 
interpretando suas soluções em uma linguagem prática no dia a dia. Entretanto, a mate-
mática aplicada a sala de aula nos dias atuais tem sido fragmentada, o qual está baseada 
em uma mera decoração de fórmulas, deixando de lado a informação e contextualização 
da vida cotidiana, social e cultural do aluno. Fato esse que pode parecer sem importância, 
todavia esse pensamento pode limitar o alcance de abstrações da matemática que são 
fundamentais para o desenvolvimento humano, pois tal pensamento pode distanciar muitos 
indivíduos de recursos e ferramentas riquíssimas que são inerentes ao seu cotidiano. Essa 
tendência como afirma Goes (2015), 
[...] permite realizar um caminho contrário ao que usualmente é apresentado 
em sala de aula: de acordo com essa metodologia, não é o conteúdo que 
determina os problemas a serem trabalhados; é a modelagem que determina 
os problemas e os conteúdos utilizados para a sua resolução (p. 114).
Ou seja, à modelagem matemática é uma ferramenta que promove o desenvolvi-
mento individual, intelectual e o raciocínio por meio de interações entre o conhecimento 
sistematizado e o conhecimento empírico que é advindo do cotidiano do indivíduo. Sua 
sistematização ocorre na resolução de situações problemas determinados pela modelagem 
matemática em sala de aula. 
Na modelagem matemática o professor é o mediador do conhecimento e por meio 
de um planejamento adequado tem como função orientar os alunos no desenvolvimento 
das atividades. 
Quando o professor traz para a sala de aula a realidade contextualizada como parte 
integrante do conteúdo, faz com que os alunos reflitam sobre as situações propostas e as 
possíveis respostas, tornando o conteúdo mais atraente e significativo, possibilitando um 
aprendizado de qualidade, capaz de promover o conhecimento necessário para a formação 
de um cidadão crítico, reflexivo em seu papel na sociedade. 
23UNIDADE I Histórico da Matemática
Dessa forma a modelagem matemática enquanto organizadora do processo e rela-
cionada com a vida cotidiana une a teoria e a prática, abre caminhos para a resolução dos 
mais diversos problemas, tornando a educação matemática transformadora voltada para as 
necessidades do aluno. 
Para que isso de fato aconteça é preciso que haja um maior entendimento da escola 
e do professor acerca dessa nova tendência, que por meio dos modelos matemáticos tem 
como propósito levar o aluno a desenvolver seu pensamento analítico e crítico na resolução 
de situações problemas, como um cidadão ativo que tem interesse pelo coletivo e que seja 
capaz de fazer a diferença na sociedade.
REFLITA 
Na vida dez, na escola zero.
A matemática escolar é apenas uma das formas de se fazer matemática. Muitas vezes, 
dentre os alunos que não aprendem na aula estão os alunos que usam a matemática 
na vida diária, vendendo em feiras ou calculando e repartindo lucros. Esse livro analisa 
a matemática na vida diária de jovens e trabalhadores que na maioria das vezes não 
aprenderam na escola o suficiente para resolverem os problemas que resolvem no seu 
cotidiano. (CARRAHER; CARRAHER, SCHLEIMANN, 1988).
Fonte: 
CARRAHER, D.W; CARRAHER, T.N.; SCHLIEMANN, A. D. Na vida dez, na escola 
zero. São Paulo: Cortes, 1988.
24UNIDADE I Histórico da Matemática
Caro aluno, nessa Unidade tivemos a oportunidade de estudar um pouco da história 
da matemática, onde os números surgiram devido às necessidades dos homens e que até 
hoje os conhecimentos matemáticos auxiliam na evolução da humanidade. 
Também verificamos que a, LDBEN, (nº. 9394 de 20 de dezembro de 1996), foi a 
responsável pelas novas interpretações sobre o ensino da matemática, ao elencar conteú-
dos, que de fato fazem parte do campo desse campo do conhecimento. E que a partir daí 
no ano de 2003 a SEED deflagrou um processo de discussão a fim de resgatar importantes 
considerações teórico-metodológicas para o ensino da matemática que culmina com as 
Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. 
Ao darmos sequência em nosso estudo, verificamos que a intenção dessa discus-
são era propor um ensino da Matemática diferente do ensino clássico de métodos pura-
mente sintéticos, essas discussões pautavam a busca por um ensino intuitivo e indutivo e 
enquanto campo de estudo que proporcionam fundamentação teórica e metodológica que 
direcionam a prática docente.
Também foi possível dar embasamento teórico aos que se preocupam com o 
Ensino da Matemática na Educação Infantil e nas séries iniciais do Ensino Fundamental, 
abordamos um pouco sobre os pressupostos teóricos que norteiam a educação baseados 
na teoria de Piaget e Vygotsky. Nesse sentido, proporcionamos um estudo sobre a criança 
e a construção do seu conhecimento matemático, uma vez entendemos que qualquer pro-
fessor deve ter subsídios teóricos sobre a evolução histórica do conceito matemático e de 
como a criança constrói este conceito.
Essa unidade ainda nos permitiu verificar que a matemática enquanto disciplina, vai 
além do apresentado em sala de aula. E quando aplicada a vida abre um leque de opor-
tunidades dentro da realidade de cada pessoa, permitindo assim que ela construa sonhos 
e projetos dentro de modelos matemáticos que são pertinentes ao indivíduo se tornando 
CONSIDERAÇÕES FINAIS
25UNIDADE I Histórico da Matemática
humanizada. Vale ressaltar que o uso da modelagem matemática em sala de aula como 
ferramenta auxilia na aprendizagem e promove o desenvolvimento individual, intelectual e 
o raciocínio por meio de interações entre o conhecimento sistematizado e o conhecimento 
empírico que é advindo do cotidiano do indivíduo. 
Nesse estudo você pode compreender que o professor é o mediador do conheci-
mento e por meio de um planejamento adequado tem como função orientar os alunos no 
desenvolvimento das atividades. 
Portanto, para que a aprendizagem seja de fato significativa é preciso que haja um 
maior entendimento da escola e do professor acerca dessa novatendência, que tem como 
propósito levar o aluno a desenvolver seu pensamento analítico e crítico na resolução de 
situações problemas, como um cidadão ativo que tem interesse pelo coletivo e que seja 
capaz de fazer a diferença na sociedade.
Acredito que o conteúdo abordado na Unidade I contribuiu com sua formação en-
quanto acadêmico e pedagogo. 
Dessa forma concluo essa Unidade lembrando que é muito importante que seus 
estudos possam ir além do material didático. Busque novos conhecimentos e reflexões 
sobre novas formas de ensinar, persevere e não desista, para que enquanto futuro profis-
sional possa contribuir para uma prática pedagógica responsável e consciente.
26UNIDADE I Histórico da Matemática
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO 
• A numeração indo-arábica (Coleção Vivendo a Matemática)
• Luiz Márcio Imenez
• Scipione.
• Para gostar de matemática, é preciso conhecê-la, experimentá-la 
e ter a chance de sentir algum prazer nesse contato. Explorando 
o tema de maneira divertida, mas comprometida com o conteúdo, 
esse livro fala sobre os sistemas de numeração, em uma proposta 
integrada com história.
• A História da Matemática
• Carl B. Boyer
• Blucher.
• Por mais de vinte anos, “História da Matemática” tem sido texto 
de referência para aqueles que querem aprender sobre a fasci-
nante história da relação da humanidade com números, formas e 
padrões. Esta edição revisada apresenta uma cobertura atualizada 
de tópicos como o último teorema de Fermat e a conjectura de 
Poincaré, além de avanços recentes em áreas como teoria dos 
grupos finitos e demonstrações com o auxílio do computador. Quer 
você esteja interessado na idade de Platão e Aristóteles ou de 
Poincaré e Hilbert, quer você queira saber mais sobre o teorema 
de Pitágoras ou sobre a razão áurea, “História da Matemática” é 
uma referência essencial que o ajudará a explorar a incrível história 
da matemática e dos homens e mulheres que a criaram.
• Modelagem Matemática. Teoria e Prática
• Rodney Carlos Bassanezi 
• Editora Contexto.
• A modelagem matemática permite abordar e resolver problemas 
de diferentes naturezas em diferentes áreas, com a utilização de 
números, gráficos, tabelas e equações. Neste livro, Rodney Carlos 
Bassanezi mostra, com exemplos práticos, como a modelagem ma-
temática pode ser aplicada no ensino. Nos últimos tempos, diversos 
pesquisadores têm buscado caminhos para a renovação pedagó-
gica ao criar ambientes de ensino e aprendizagem favoráveis à 
capacitação de pessoas com perfil adequado aos novos tempos. O 
ensino-aprendizagem com modelagem matemática é um dos frutos 
mais ricos e promissores dessa busca. Esta obra atua, assim, como 
inspiração para professores e futuros professores de Matemática 
que desejam renovar criativamente seu método de ensino, tornando 
a ciência mais fácil de ser absorvida pelos alunos.
https://www.amazon.com.br/s/ref=dp_byline_sr_book_1?ie=UTF8&field-author=Rodney+Carlos+Bassanezi&search-alias=books
27UNIDADE I Histórico da Matemática
FILME/VÍDEO 
• Donald no país da matemágica
• 1959.
• Sinopse: donald no País da Matemágica (“donald in Mathmagic Land”) é um curta de 27 
minutos que estrela o Pato donald, foi lançado nos Eua em 26 de junho de 1959, foi dirigido 
por Hamilton Luske. O filme foi disponibilizado para as várias escolas, e se tornou um dos 
mais populares filmes educativos já feitos pela disney. Em 1959, foi indicado ao Oscar 
como Melhor Curta-documentário. Espécie de documentário voltado para o mundo infantil, 
no qual disney usa a animação para explicar como a matemática pode ser fácil de entender 
e como ela está aplicada em coisas muito simples do cotidiano.
•https://www.youtube.com/watch?v=YEpcuMdpBE8&list=PLzcrMvQTIt1zmh8mcy9SzjL6WVGiFgUk8
https://www.youtube.com/watch?v=YEpcuMdpBE8&list=PLzcrMvQTIt1zmh8mcy9SzjL6WVGiFgUk8
28
Plano de Estudo:
• Construção do conceito de número
• A invenção dos números, sistemas de numeração e operações fundamentais
• Conceitos básicos para construção metodológica
Objetivos de Aprendizagem:
A partir dos estudos propostos nessa unidade o aluno poderá ser capaz de: 
• Compreender o processo de construção do conceito de número por meio da teoria 
psicogenética.
• Conhecer alguns sistemas de numeração utilizados no decorrer dos séculos pelos 
homens até chegar ao sistema numérico que utilizamos hoje, bem as quatro operações 
fundamentais.
• Desenvolver conceitos e ideias matemáticas que acompanham o desenvolvimento dos 
conhecimentos lógicos de raciocínio para a construção da sua metodologia.
UNIDADE II
Noções Básicas para Alfabetização 
Matemática e seus Aspectos 
Psicognéticos
Professora Esp. Paula Regina Dias de Oliveira
29UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
Vivemos em um mundo cheio de números, ideias de espaços e formas, onde o 
contato com a matemática ocorre muito cedo na vida da criança. O número da roupa, dos 
calçados, o preço de uma bolacha, a quantidade de balas que é dividida entre os primos, a 
temperatura do forno, nas brincadeiras infantis que são feitas contagens, são experiências 
fundamentais para a aproximação da criança com o conteúdo matemático que será apre-
sentado na escola. 
Nesta unidade serão apresentados alguns conceitos que envolvem a construção 
do número pela criança e como se dá o desenvolvimento da estrutura numérica e das es-
truturas lógicas de classificação e seriação que são fundamentais à construção do conceito 
de número aplicados nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Verá também como as dife-
rentes interações e relações são importantes para a construção do conceito numérico e que 
para que a criança se aproprie desse conceito não basta apenas aprender a contar, mais 
que essa é uma construção que acontece de forma progressiva na vida da criança e que 
só se consolida quando ela consegue coordenar as ações sobre os objetos e quantificá-los.
No decorrer dos estudos também será possível perceber que a matemática surgiu 
e tem se desenvolvido em função das necessidades do homem e, o quanto as civilizações 
antigas e suas culturas contribuíram para a evolução dos sistemas numéricos que utiliza-
mos hoje. Além disso a história da matemática quando contextualizada em sala de aula 
poderá contribuir para que a criança entenda as diferentes situações e ações que envolvem 
o número. Daí a importância de começar por situações matemáticas, que envolvam o 
cotidiano e depois com o uso de materiais a criança vivencie as ações.
Ao final da unidade abordaremos alguns conceitos que são importantes para a 
construção metodológica baseadas em teorias que contribuem para a organização dos 
conhecimentos que são uteis ao professor e que o ajudarão a compreender quais são as 
características do conhecimento matemático e que conceitos como representação e signi-
ficado e ao sentido, bem como as noções de concreto e abstrato presentes na matemática 
são responsáveis pela apropriação dos conhecimentos matemáticos. 
Então, vamos começar!
INTRODUÇÃO
30UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
1. A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO
Na Unidade I abordamos de forma breve um pouco sobre a construção do conhe-
cimento, na concepção de Piaget e Vygotsky. Nesse tópico estudaremos um pouco sobre 
a teoria psicogenética de Jean Piaget e a construção do conceito de número pela criança.
O processo de aquisição do número, por parte das crianças, se inicia pela contagem 
e servirá de base para toda sua aprendizagem futura.
Você já parou para observar uma criança pequena contar? Ao realizar a contagem 
de uma determinada quantidade de objetos, por exemplo, a criança tem o costume de 
recitar os números, algumas vezes ela pula um, outras vezes repete mais de uma vez um 
número já contado anteriormente. Isso acontece porque nessa fase a criança ainda não 
desenvolveu o seu conceito de número. Tais competências são oriundas de processos de 
aprendizagens informais, que estão incorporados no seu dia-a-diae se dão por meio do 
contato social, jogos, brincadeiras, músicas e outras atividades o qual a matemática está 
presente. (LOPES; VIANA; LOPES, 2005).
Ao comparar quantidades e se localizar espacialmente, recitar sequências numéri-
cas, mesmo que do seu jeito, a criança está possibilitando a construção de conhecimentos 
matemáticos. 
31UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
1.1 A criança e a construção do conceito de número
Quando ingressa na Educação Infantil, a criança já traz consigo alguns conceitos 
de números naturais que foram incorporados ao seu dia a dia desde os primeiros anos de 
vida, quando ao brincar, sua mente já começava a diferenciar os objetos no mundo. Ao 
reconhecer objetos, observar as semelhanças e diferenças, agrupar os que são iguais ou 
da mesma cor ou forma estabelecendo padrões em coleções de objetos, a criança está 
desenvolvendo uma das habilidades mais básicas dessa etapa do desenvolvimento. 
Enquanto se desenvolve outras habilidades como contar, classificar e seriar vão se 
formando. A criança vai constituindo condições que são necessárias para a consolidação 
das habilidades de quantificação e operação numéricas, conforme vai aperfeiçoando e 
articulando as habilidades de classificação e seriação.
Dessa forma, as atividades que são trabalhadas na Educação Infantil para a forma-
ção das habilidades acima, são de fundamental importância para a construção do conceito 
de número que serão trabalhadas nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
É importante que o professor conheça como cada etapa do desenvolvimento é 
processada, para que assim consiga entender como se dá as diferentes etapas do desen-
volvimento da criança em sua maneira de pensar, podendo assim planejar a melhor forma 
para intervir, auxiliar e encorajar na criança no processo de desenvolvimento do raciocínio 
lógico e na construção do conceito de número. Também é importante respeitar as diferentes 
etapas de desenvolvimento pela qual a criança passa no processo de aprendizagem.
Na tabela abaixo veremos alguns exemplos de estruturas lógicas bem como a 
aquisição das relações que são construídas pelas crianças por meio de sua interação com 
os objetos. 
CLASSIFICAÇÃO
Consiste em uma operação lógico-matemática realizada 
sobre as semelhanças que existe entre elementos e que 
organiza a realidade que nos cerca. Momento no qual a 
criança separa objetos em classes.
SERIAÇÃO
É a operação lógico-matemática que se desenvolve ao 
ordenar ou seriar objetos seguindo uma determinada re-
lação em ordem crescente ou decrescente.
32UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
QUANTIFICAÇÃO 
Consiste em expressar a relação de quantidade de uma 
ou mais coleção de objetos, identificar onde há mais ou 
menos, associar elementos e os representa-los com seus 
indicadores.
CONTAGEM Consiste na aquisição do senso numérico e na capacida-de para distinguir pequenas quantidades.
CORRESPONDÊNCIA UM A UM É a relação de uma determinada coleção de objetos com o que lhes é correspondente.
RECONHECIMENTO
Consiste em reconhecer as mais diversas representações 
que estão associadas ao número.
ORDINALIDADE
Consiste na capacidade que o indivíduo tem de definir um 
conjunto de valores em que cada valor, com exceção do 
primeiro, possui um único antecessor, e cada valor, com 
exceção do último, possui um único sucessor.
CARDINALIDADE
Consiste no reconhecimento do número de elementos 
que compõe um conjunto, ou seja, quando o indivíduo é 
capaz de identificar a quantidade.
Fonte: Elaborado pela autora, 2019. 
A aquisição das estruturas lógicas mencionadas na tabela acima acontece de forma 
gradativa e individual na criança que aos poucos começa a estabelecer as relações por 
meio do pensamento e assim vai criando hipóteses. Nesse processo o papel do professor 
está em oferecer meios e oportunidades para que a criança pense de maneira ativa e assim 
consiga estabelecer as relações que são necessárias ao desenvolvimento das estruturas 
lógicas. Segundo Kemii (2003), Piaget e seus colaboradores descrevem os tipos de conhe-
cimento como sendo três: Conhecimento físico, lógico-matemático e social.
O conhecimento físico se refere ao conhecimento da realidade visível dos objetos, 
por meio da observação, como tamanho, cor, peso e forma, ou seja, as suas propriedades 
físicas. Para encontrar suas propriedades é preciso que a criança aja sobre o objeto a fim 
de descobrir o que acontece por meio dessa interação que depende da abstração empírica, 
onde a criança foca apenas em uma característica do objeto, como o tamanho e ignora as 
demais (peso, forma, cor, etc.).
O conhecimento lógico-matemático é a capacidade de estabelecer e coordenar 
relações, mentalmente. Esse processo tem como objetivo confirmar se suas hipóteses 
acerca de determinada representação estão corretas ou não. Tal conhecimento depende 
da abstração reflexiva que consiste na coordenação de relações mentais entre os objetos: 
como incluir ou não cenouras e batatas na classe dos vegetais, ou a diferença entre as 
cores azul e laranja. É por meio dessa reflexão que a criança compreende o número.
33UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
O conhecimento social se refere às convenções sociais, conforme exemplifica 
Lopes; Viana; Lopes (2005).
[…] crianças, até mesmo muito novas, conseguirem contar de um (1) a dez 
(10). Muitos acreditam que só porque recitam os números já tenham cons-
truído este conceito. Contudo esse conceito não deve ser confundido com o 
conhecimento lógico-matemático, uma vez que não se apoia em símbolos e 
convenções. Dessa forma, recitar números de um (1) a dez (10) trata-se de 
um conhecimento social. (p.32)
Por volta dos sete anos que a criança chega à ideia operatória do número, apoiada 
pelas capacidades de seriação e classificação que foram desenvolvidas anteriormente. São 
essas capacidades que irão ajudar a criança na estruturação do sistema decimal e dos 
números naturais. Conforme Piaget; Szeminska (1964), o número é uma síntese de dois 
tipos de relações entre os objetos e que são elaboradas pela criança, cuja primeira se 
refere a origem e a segunda se refere a inclusão hierárquica.
A criança constrói mentalmente a relação de ordem dos objetos para ter certeza 
de que não irá esquecer-se de contar nenhum deles, ou que os conte mais de uma vez e 
até mesmo para que não conte objetos inexistentes. Quando não consegue ordenar men-
talmente, a criança deixa objetos sem contar, ou conta a mais. Essa é uma característica 
comum as crianças que ainda não construíram essa relação.
A inclusão hierárquica consiste na inclusão mental do 1 no número 2, do 2 no 
número 3, assim por diante, ou seja, é quando a criança consegue contar até dez (10), 
compreende a ordem da sequência numérica e a estrutura da inclusão hierárquica.
No Ensino Fundamental, a criança constrói o conhecimento numérico quando são 
trabalhadas em sala de aula situações os quais o número é utilizado na resolução de pro-
blemas e como objeto de estudo com fim em si mesmo, observando suas propriedades, 
as relações estabelecidas e de que forma histórica o conceito de número foi construído 
(PCN’s - BRASIL, 2000).
Dessa forma o aluno poderá perceber que existem diversos tipos de representações 
numéricas, em consequência dos mais diferentes problemas enfrentados pela humanidade, 
além de ampliar seu conceito de números quando tiver que confrontar situações problemas 
que envolvam as operações fundamentais.
34UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
É importante ao professor saber que, ao trabalhar com as operações, deve ter como 
objetivo levar a criança a compreender os diferentes significados atribuídos a cada uma, 
bem como promover um estudo reflexivo sobre os cálculos, contribuirá para que a criança 
aprenda a decidir que operação deve mobilizar para cada tipo de situação problema.
35UNIDADEII Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
2. A INVENÇÃO DOS NÚMEROS, SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E OPERAÇÕES 
FUNDAMENTAIS
No decorrer desse processo histórico, cada civilização desenvolveu sua própria 
cultura sendo que a agricultura e o comércio tiveram grande importância em todas elas. “A 
agricultura e o pastoreio modificaram profundamente a vida dos homens, dando origem às 
primeiras aldeias que, lentamente, transformaram-se em cidades. Algumas destas cidades 
cresceram e abrigaram as primeiras grandes civilizações”, (IMENES 1993, p.18). 
A agricultura por sua vez, trouxe consigo os calendários que eram utilizados para 
determinar o plantio e a colheita, surgindo então a necessidade de novos conhecimentos 
como matemática e astronomia. O comércio foi responsável pela organização dessas civi-
lizações e estimulou o contato entre elas. Mesmo com suas particularidades e diferenças 
esses povos possuíam características comuns entre si. Uma dessas características é a 
linguagem escrita, que foi desenvolvida por todas essas sociedades.
Tais demandas exigiram um novo grau de organização que culminou em vários 
problemas que exigiam o conhecimento e o domínio dos números para que fossem solu-
cionados. A realização das mais diversas atividades como a construção de casas, templos 
e estradas, além do comércio, exigiam cálculos e contagem. O que fez com que cada uma 
dessas civilizações criasse sua linguagem própria de escrita e desenvolvessem diferentes 
formas de representação das quantidades.
36UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
2.1 Sistemas de numeração
Sistema numérico é o nome dado a um conjunto de regras e símbolos utilizados 
para representar os números. Desde a antiguidade, as civilizações já utilizavam uma forma 
organizada de representação numérica que serão apresentadas a seguir e que poderão 
contribuir para uma melhor compreensão do nosso sistema numérico atual.
Começaremos pelo sistema numérico egípcio. Criado há, aproximadamente, 5 mil 
anos a.C. também é conhecido como hieróglifos. Esse sistema é decimal de base 10, não 
posicional e estava baseado na ideia dos agrupamentos. Os símbolos eram representados 
por imagens que tinham formas de bastão, pergaminho, ferradura, flor de lótus entre outros. 
Veja na figura abaixo: 
Figura 1 – Símbolos que representam o sistema numérico egípcio.
Símbolo 
Egípcio
Descrição do 
Símbolo
O número na 
nossa notação
Bastão 1
Calcanhar 10
Rolo de corda 100
Flor de lótus 1000
Dedo a 
apontar 10000
Peixe 100000
Homem 1000000
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/numeracao_egipcia.htm
Para representar os números de 1 a 10, eles utilizavam apenas bastões. 
Quando a contagem chegava ao número 10 eles trocavam de símbolo e passavam 
a utilizar o calcanhar que indicava o agrupamento dos números. O número 30, por exemplo, 
era representado pelo agrupamento de três calcanhares. E assim sucessivamente, confor-
me o número que desejavam representar. Dessa forma, para representar o número 238, os 
37UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
egípcios deveriam utilizar os seguintes símbolos da tabela acima:
 , ou seja, 100+100+10+10+10+1+1+1+1+1+1+1+1.
Ainda que maneira muito rudimentar, os egípcios conseguiam realizar algumas 
operações aritméticas como somar, subtrair, multiplicar ou dividir por 10 utilizando seu 
sistema numérico. Entretanto tais formas de operações não serão estudadas nesse tópico.
2.2 Sistema de numeração romano 
Os romanos também utilizavam o sistema de agrupamento simples e assim como o 
sistema egípcio era de base 10. Sua representação era feita por letras maiúsculas os quais 
eram atribuídos valores.
Figura 2 – Símbolos que representam o sistema numérico romano.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
I II III IV V VI VII VIII IX X
20 30 40 50 100 200 300 400 500 1000
XX XXX XL L C CC CCC CD D M
Eles utilizavam a forma de numeração posicional, utilizando as seguintes regras: 
Princípio repetitivo: Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos até três vezes, 
consecutivamente. 
Princípio aditivo: Neste princípio, ao escrever à direita de um símbolo de valor maior 
um outro símbolo de valor menor, então eles serão adicionados (somados). 
Princípio subtrativo: Para não ter que repetir quatro vezes o mesmo símbolo, eles 
utilizavam a subtração, o que assim como no sistema egípcio dificultava a representação 
I 1 II 2 III 3 
X 10 XX 20 XXX 30
C 100 CC 200 CCC 300
M 1000 MM 2000 MMM 3000
VII 5 + 2 = 7
CXX 100+ 20 = 120
DC 500 + 100 = 600
38UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
de alguns números.
Princípio multiplicativo: Utilizado ao final ao final da idade média, os números com-
preendidos entre 1.000 e 5.000 utilizavam barras horizontais sobre os algarismos indicando 
que era só multiplicar o algarismo por 1.000. 
Apesar disso, na atualidade ainda é possível encontrar números romanos em capí-
tulos de uma obra, marcadores de relógios e para representar os séculos.
2.3 Sistema de numeração babilônico (mesopotâmia)
Na mesopotâmia, os babilônios utilizavam o sistema misto de numeração que era 
de base 60, onde os números inferiores a esse formavam um agrupamento de base 10 e os 
números superiores a 60 utilizavam o sistema posicional. Nessa época o zero era utilizado 
pelos mesopotâmios, mais ainda não era reconhecido como número, ele servia como uma 
espécie de guardador de lugar, ou para representar o vazio. Surgido na Índia, se chamava 
sunya, que quer dizer vazio, foi levado posteriormente para a Europa pelos Árabes onde 
passou a se chamar sifr, sendo traduzido para o latim zephirum de onde deu origem ao 
zero em português. Somente nos últimos dois séculos é que de fato, o zero passou a ser 
reconhecido como um número (LORENZATO, 2006a).
Figura 3 – Símbolos que representam o sistema numérico babilônico.
 
Fonte:https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/sistema-numeracao-babilonico.htm
IV 5 – 1 = 4
IX 10 – 1 = 9
X = 10 x 1000 = 10 000 XXVII = 27 x 1000 = 27 000
39UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
Acredita-se que esse sistema matemático surgiu antes do sistema egípcio.
2.4 Sistema de numeração hindu (indo-arábico)
Assim como os romanos, nós também utilizamos o sistema de numeração de base 
10. Esse sistema é caracterizado por uma quantia limitada de símbolos, que, no entanto 
representa uma infinidade de números e são chamados de dígitos ou algarismos. Conforme 
exemplifica Zanardini (2017), 
Nosso sistema de numeração é posicional de base 10. A escolha do número 
10 é feita de forma conveniente, pois corresponde ao número de dedos das 
mãos de uma pessoa. Com os dez algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), 
é possível gerar uma quantidade infinita de números. O número 10 é uma 
combinação de 0 e 1; o número 11 é formado pela repetição do número 1; 
o 12, pelo 1 e pelo 2, e assim por diante. É possível afirmar então, que os 
números maiores ou iguais a 10 são combinações dos números menores do 
que 10. (p. 20) 
Apesar de ter sido desenvolvido pelos hindus, foram os árabes os grandes respon-
sáveis por sua disseminação por todo o mundo. Foi assim que surgiu o nome indo-arábico. 
Uma das características desse sistema é que o mesmo permite realizar cálculos de forma 
simples e rápida, além de permitir a representação de qualquer quantidade numérica, uma 
vez que a cada 10 unidades, se forma uma nova unidade com valor superior, o que não 
acontecia com o sistema egípcio e romano. Segundo Imenes (1997a,) 
[...] talvez, na época em que tal sistema foi inventado, as necessidades prá-
ticas não envolvessem quantidade tão imensas. Entretanto no mundo atual, 
deparamos frequentemente com a necessidade de registrar números muito 
grandes. Assim, tanto o sistema numérico romano, quanto o egípcio não se-
riam realmente práticos nosdias de hoje (p.42).
Vejamos abaixo alguns exemplos da escrita dos algarismos e suas modificações ao 
longo dos séculos até chegar a representação que utilizamos nos dias atuais: 
Fonte:https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/sistema-numeracao-babilonico.htm
40UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
Foi a partir do século VI que esse sistema se expandiu, no entanto foi preciso mais 
de um milênio para que fosse aceito pelo mundo ocidental.
2.5 Sistema de numeração decimal e as quatro operações fundamentais
Como abordoado na Unidade I, registros históricos mostram que o homem apren-
deu a contar a partir da relação biunívoca (correspondência de um a um) recorrendo a 
artefatos como pedras, desenhos nas cavernas e da contagem dos dedos das mãos, o 
qual deu origem a base numeração decimal que utilizamos hoje. Nosso objetivo é tratar do 
estudo do Sistema Numérico Decimal e abordarmos de forma breve as quatro operações 
fundamentais (adição, subtração, multiplicação, divisão).
Sistema de Numeração é um conjunto de símbolos e regras utilizados para escrever 
números. Nosso sistema é o de base 10 e envolve dois aspectos, o decimal e o posicional. 
No aspecto decimal a passagem de uma ordem para outra ordem superior imediata 
é feita por agrupamentos de 10. Ou seja, dez unidades formam uma dezena, dez dezenas 
formam uma centena e assim por diante, conforme o exemplo: 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10; 
10+10+10+10+10+10+10+10+10+10=100.
O aspecto posicional permite a representação de diversas quantidades com apenas 
dez símbolos, onde o valor de um mesmo algarismo é determinado pela posição que ele 
ocupa no número. Conforme o exemplo:
O número 456 é diferente de 654, ou seja, o mesmo número assume valores dife-
rentes quando colocado em posições diferentes. 
Quando não há compreensão desses dois aspectos, podem ocorrer dificuldades na 
aprendizagem dos algoritmos e das quatro operações fundamentais.
Apesar de utilizarmos o sistema de base 10, é importante apresentar a criança 
outras bases que também são utilizadas nos dias de hoje, como a base cinco e a base dois 
que é utilizada na área de Informática, além da base duodecimal utilizada para a contagem 
em dúzias e a base sexagesimal que é utilizada na leitura de ângulos e para as horas do 
relógio.
41UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
É importante que a criança conheça o trabalho que foi desenvolvido no decorrer 
da história da humanidade pelos vários povos existentes, e que lhe seja oportunizada a 
viabilidade do uso de outras bases como alternativas para a construção do conceito de 
número, já que a própria história da matemática e a tecnologia demonstram isso. Dessa for-
ma, é importante o professor explorar atividades de agrupamentos e trocas que envolvam 
diferentes bases. 
Podemos representar qualquer quantidade de números utilizando apenas dez sig-
nos o qual damos o nome de algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6, 7, 8, 9). Eles são separados por 
ordens e classes para facilitar a compreensão do conceito de número, onde cada algarismo 
corresponde a uma ordem. Conforme exemplo abaixo:
Por exemplo, o número 1.773.349 possui 7 ordens e 3 classes. 1.773.349 (um 
milhão, setecentos e setenta e três mil, trezentos e quarenta e nove unidades). 
1ª ordem: 9 unidades 
2ª ordem: 4 dezenas 
3ª ordem: 3 centenas 
4ª ordem: 3 unidades de milhar = 3000 unidades 
5ª ordem: 7 dezenas de milhar = 70 000 unidades 
6ª ordem: 7 centenas de milhar = 700 000 unidades 
7ª ordem: 1 unidade de milhão = 1 000 000 unidades
O quadro abaixo representa um exemplo de decomposição e a organização das 
suas ordens:
3ª classe: milhões 2ª classe: milhares 1ª classe: unidades simples
9ª ordem 8ª ordem 7ª ordem 6ª ordem 5ª ordem 4ª ordem
3ª 
ordem
2ª 
ordem
1ª ordem
centena 
de milhão
dezena 
de milhão
unidade 
de milhão
centena 
de milhar
dezena 
de milhar
unidade 
de milhar
centena 
simples
dezena 
simples
unidade 
simples
1 7 7 3 3 4 9
1.000.000 700.000 70.000 3.000 300 40 9
Uma das características do sistema posicional é a sua relação com o chamado 
valor relativo ou absoluto dos algarismos. 
42UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
O valor posicional no sistema de numeração decimal que utilizamos é caracterizado 
pela sua relação com o valor relativo ou valor absoluto dos algarismos em um determinado 
número. Conforme exemplo abaixo:
No número 555, o algarismo 5 ocupa três posições distintas, ou seja, três valores 
relativos: 5, 50 e 500.
2.6 As quatro operações fundamentais 
Quatro são as operações fundamentais que compõe o campo da aritmética: adição, 
subtração, multiplicação e divisão. A aritmética é o campo da matemática que estuda as 
propriedades dos números e suas operações. Enquanto que algorítimo, é o processo de 
cálculo, ou de resolução de um grupo de problemas semelhantes, em que se estipulam, 
com generalidades e sem restrições, regras formais para obtenção do resultado ou da 
solução de um problema. (AURÉLIO, 1975). 
 
As contas (cálculos numéricos escritos) são formas de representação de ações 
que envolvem as quantidades e, para compreender e construir os conceitos das operações 
fundamentais é importante que a criança entenda as diferentes ações que envolve cada 
operação, brincando e vivenciando elas. É, portanto, a partir das diferentes experiências 
e ações, considerando também o seu nível de desenvolvimento, que a criança passará a 
compreender esses conceitos. 
A criança gosta de situações matemáticas, de atuar sobre elas como descobridora, 
ela também gosta de achar as soluções e enfrentar desafios. Nesse sentido, nos anos 
iniciais do ensino fundamental, é natural que se comece por situações matemáticas, que 
envolvam o cotidiano e depois com o uso de materiais a criança vivencie as ações, a fim de 
5 unidades 5 unidades
5 dezenas 50 unidades
5 centenas 500 unidades
CENTENA DEZENA UNIDADE
Número 5 5 5
Valor relativo do 7 500 50 5
5
5 0
5 0 0
5 5 5
43UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
compreender o que está fazendo. 
Por isso, é importante que o professor tenha um olhar diferenciado para que possa 
perceber o interesse da criança e assim estimulá-la, incentivá-la nesse processo. Após esse 
momento o professor poderá utilizar a linguagem matemática para ensinar a representar a 
operação. 
Corrobora Ramos (2009) que, as crianças quando vivenciam situações o qual 
acrescenta quantidades a outras, está compreendendo o conceito ou ideia de adição, na 
subtração ela compreende o conceito quando retira quantidades de outras, aprende a mul-
tiplicar quando têm pacotes de balas contendo a mesma quantidade e aprendem o conceito 
da divisão quando distribuem figurinhas em caixas. 
Ainda, segundo Ramos (2009), “operação matemática é uma transformação que 
pode ser desfeita. Operação = operar + ação. Transformação = transformar + ação. Ou, 
seja, sem ação não acontece uma transformação; e, da mesma forma, sem ação não ocorre 
operação” (p.67).
Abaixo veremos alguns exemplos que envolvem as ações ou ideias das quatro 
operações fundamentais baseado nos estudos de Ramos (2009).
• Ideias de Adição:
 � Em uma quadra havia 17 bolas, e outras 3 foram jogadas nela. Quantas bolas 
há na quadra?
 � Em um armário há 10 pratos e 6 copos. Qual o total de louças?
O exemplo acima deixa claro que as duas contas são de adições, entretanto há 
uma diferença entre elas. 
Na primeira conta foi utilizada uma “ação de acrescentar”: havia 17 e foram jogadas 
3 totalizando assim 20 bolas na quadra, ou seja, acrescentamos quantidade a uma quan-
tidade já existente. Essas ações são mais claras e elementares e estão apresentadas em 
três tempos: o estado inicial, o fato ou ação que transformou e o estado final, onde o verbo 
declara a ação.
Na segunda conta foi utilizada uma “ação de reunir”: 10 pratos + 6 copos = 16 
louças, ou seja, apenas reunimosas quantidades para sabermos o valor total. Na ação de 
44UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
reunir o verbo não aparece de forma explícita, não existe questão temporal e no estado final 
só houve a inclusão das classes, ou seja, tudo já estava lá. Esta é uma ação que depende 
do ponto de vista de quem está interpretando a questão.
 
Nos exemplos acima podemos verificar que realizamos a mesma conta, porém com 
ações ou ideias diferentes.
• Ideias de Subtração:
Na subtração ocorre o mesmo que na adição, onde diferentes ações são resolvidas 
por meio da subtração.
 � Na piscina havia 20 crianças e saíram 17. Quantas crianças ficaram na piscina? 
Nessa conta foi utilizada uma “ação de retirar”: havia 20 e saíram 17 = 3 crianças 
que ficaram na piscina. Nessa ação eu retiro uma parte do todo e a parte que 
permanece fica menor. Esta ação é apresentada em três tempos: estado inicial, 
estado que transforma a quantidade inicial, estado final. Nessas situações a 
ação é explícita, o verbo declara qual é a ação e a mesma é o inverso da ação 
de acrescentar.
 � No meu álbum cabem 100 fotos, já coloquei 65. Quantas fotos ainda devo colo-
car para que ele fique completo?
Nessa conta foi utilizada uma “ação de completar”: cabem 100, colei 65 = 35 fotos 
que ainda devo colocar. Esta situação há um todo que pode ser completado, ou que inclui 
as partes consideradas. Aqui o verbo não é explícito, o todo sempre usa a ação de incluir, 
e suas partes são as suas subclasses. É uma ação oposta a de reunir, porém ambas 
trabalham com ideias de inclusão.
• Ideias de Multiplicação:
Usaremos como exemplo uma das ideias de multiplicação, a multiplicação aditiva. 
Multiplicar envolve uma ação diferente de somar. Na adição contam-se elementos 
ou quantidades, como por exemplo, balas. 
45UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
Na multiplicação aditiva conta-se grupos com elementos, como por exemplo sacos 
com balas.
Multiplicar e somar consiste em raciocínios diferentes. A natureza dos números 
utilizados na multiplicação aditiva é diferente, ou seja, um dos números conta os grupos e 
o outro grupo conta quantos elementos existem em cada grupo. 
Entretanto é preciso entender que se invertermos as situações: 5 sacos e 3 balas em 
cada saco = 15 balas, mesmo que a quantidade de balas seja a mesma as duas situações 
são diferentes. Dessa forma, é preciso que a criança entenda que mesmo que a ordem dos 
fatores não altere o produto, as situações vividas não são iguais, elas se transformam. 
• Ideias de divisão:
Assim como nas demais operações fundamentais, as mais diversas situações 
podem ser resolvidas com as divisões, conforme os exemplos comparativos logo abaixo:
 � Tenho 15 balas e quero distribuí-las em 3 sacos. Quantas balas devo colocar 
em cada saco para que fiquem com quantidades iguais? 
Resposta: 15 dividido por 3 = 5 balas por saco. Observe que nessa situação utiliza-
mos a ideia de distribuição, ou seja, eu sei quantos grupos (sacos) eu tenho e quero saber 
quantos elementos (balas) ficarão em cada grupo.
 � Outra situação: Tenho 15 balas e quero colocar 3 balas em cada saco. Quantos 
sacos precisarei?
Resposta: 15 dividido por 3 = 5 sacos. Observe que nesta situação, utilizo a ideia de 
46UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
formar grupos, e apesar do valor numérico ser o mesmo da situação anterior, as situações 
são diferentes. Aqui eu sei quantos elementos (balas) colocarei em cada grupo e preciso 
saber quantos grupos (sacos) eu utilizarei. 
Ao fazer o registro numérico de forma concreta, por meio de desenhos ou até 
mesmo dos objetos, o professor consegue atribuir com mais facilidade o significado dos 
números e as operações. 
Ao contextualizar uma situação de cálculos, o professor estará oportunizando a 
criança a encontrar a solução por meio de uma construção progressiva dos diferentes 
significados das operações matemáticas sem que resolver problemas ou fazer contas seja 
algo sem sentido e mecânico. 
SAIBA MAIS
Para aprofundar seu conhecimento sobre o algoritmo da adição e subtração, sugerimos 
a leitura do capítulo 6 do livro da autora Ana Cristina S. Rangel. Educação Matemática e 
a construção do número pela criança: uma experiência em diferentes contextos socioe-
conômicos – Porto alegre: Artes Médicas”.
47UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
3. CONCEITOS BÁSICOS PARA A CONSTRUÇÃO METODOLÓGICA
Diversos pesquisadores, entre eles Jean Piaget, foram responsáveis por criar 
modelos de teorias que conseguem explicar como o nosso raciocínio se desenvolve de tal 
forma que nos permite perceber e transformar de modo intencional as características das 
formas que habitam o espaço. Tais teorias também são responsáveis pela organização dos 
conhecimentos que são uteis ao professor, tendo em vista que ajudam a compreender quais 
são as características do conhecimento matemático e no planejamento das atividades a 
fim de potencializar as aprendizagens tornando-as significativas. Nesse sentido partiremos 
do pressuposto de que a nossa mente lida com o espaço por meio da representação e 
intuição que são dois conceitos centrais que constituem uma síntese de ideias presen-
tes nos modelos piagetiano e que serão brevemente apresentados aqui com o intuito de 
compreendermos que a partir da representação e intuição também poderemos entender 
algumas situações que se referem ao significado e ao sentido, bem como as noções de 
concreto e abstrato presentes na matemática.
3.1 Representação e intuição
Representação é a capacidade que temos de definir registros das coisas por meio 
dos nossos sentidos. Tais registros podem ser imagens constituídas apenas nossa própria 
mente ou concretizadas de outras formas por meio de registros, sejam eles pela linguagem 
oral ou escrita, sejam por formas gráficas, como esculturas, ou por formas planas, como 
48UNIDADE II Alfabetização Matemática e seus Aspectos Psicognéticos
esquemas e mapas.
Utilizada para definir os conceitos matemáticos, é por meio das representações que 
registramos características que consideramos importantes sobre um objeto, a fim de ma-
nipulá-lo, trabalharmos ele em nossa mente, raciocinarmos sobre ele para que possamos 
tirar conclusões acerca desse objeto.
Dessa forma podemos compreender o quão importante é para uma aprendizagem 
significativa, que os professores saibam escolher qual a representação mais adequada 
para trabalhar uma determinada situação, uma vez que a criança se sente entusiasmada 
diante de experiências que desafiem e as incentivem a explorar ideias, levantar hipóteses 
e construir argumentos que a possibilite criar suas próprias ideias pensando por si mesma. 
Por exemplo, ao explorarmos quantos quadrados podemos construir dentro de uma car-
tolina, ao invés de apenas utilizarmos a sua figura sólida (um objeto quadrado), podemos 
utilizar a sua planificação desenhando os quadrados.
A intuição é constituída pelo conjunto dos conhecimentos que nos ajudam a atribuir 
significados às percepções que temos de forma imediata e consciente. É caracterizada pela 
mistura da percepção e do entendimento. 
Por exemplo: quando ouvimos o barulho de um objeto caindo ao chão longe dos 
nossos olhos, algumas vezes conseguimos identificar o objeto pelo som, sem mesmo tê-lo 
visto, isto se dá porque nossa mente relembra algum conhecimento que já possuímos sobre 
esse objeto e que está relacionado com a nossa audição. 
Outro exemplo interessante é quando estamos na rua e sentimos cheiro de café, 
ele evoca em nossas mentes o conhecimento que já temos sobre seu gosto e que são 
percepções que estão ligadas ao nosso olfato e ao nosso paladar.
Podemos perceber que os exemplos acima nos mostram o quão rapidamente as 
nossas intuições nos levam as nossas experiências sensoriais. E quando isso não acon-
tece, ou seja, quando não encontramos