aula_teoria_da_credibilidade_2

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PRECIFICAÇÃO ATUARIAL
CREDIBILIDADE COMPLETA
2. Severidade de sinistros �
Suponha que exista uma amostra de � sinistros de
valores ��, ��, … , ��. Assumimos que �� são i.i.d. com
média 	
 e variância �
� e utilizamos a média amostral
�� para estimar 	
.
Assumimos para amostra de tamanho �
suficientemente grande que �� é aproximadamente
normal com média 	
 e variância

�
�
�
.
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PRECIFICAÇÃO ATUARIAL
CREDIBILIDADE COMPLETA
� �� − �� ≤ ��� = � �� − ��� ≤ �� ≤ �� + ���
= �
−���
��
�
≤
�� − ��
��
�
≤
���
��
�
= ��
���
��
�
− �
se
���
��
�
≥ �
� 
!
�
.
A credibilidade completa (total) é atingida para a
severidade de sinistros se � ≥
�
�"
!
�
#
�

�
$�
�
.
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PRECIFICAÇÃO ATUARIAL
CREDIBILIDADE COMPLETA
3. Perda agregada %
Considere que % = �� + �� +⋯+ �� . Precisamos
analisar
� ' − �' ≤ ��' = � �' − ��' ≤ ' ≤ �' + ��'
= �
−��'
�'
≤
' − �'
�'
≤
��'
�'
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PRECIFICAÇÃO ATUARIAL
CREDIBILIDADE COMPLETA
Sabemos que 	( = 	�	
 e �(
� = 	��
� + 	
���
� . Se
assumirmos que � tem distribuição de Poisson com
média )�, temos que:
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PRECIFICAÇÃO ATUARIAL
CREDIBILIDADE COMPLETA
� ' − �' ≤ ��' = � �' − ��' ≤ ' ≤ �' + ��'
= �
−��'
�'
≤
' − �'
�'
≤
��'
�'
=��
��'
�'
− �
=��
��� *�
��
�+��
�
− �
se
��� *�
��
�+��
�
≥ �
� 
!
�
.
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PRECIFICAÇÃO ATUARIAL
CREDIBILIDADE COMPLETA
Dessa maneira,
*� ≥
�
� 
!
�
�
�
��
� + ��
�
��
�
= *, � + ,-
�
em que ). é o padrão para credibilidade total para � e
/0 =

�
$�
é o coeficiente de variação.
*, � + ,-
� = *, + *,,-
�
Padrão de credibilidade total para ' = Padrão de credibilidade total para � + 
Padrão de credibilidade para �
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PRECIFICAÇÃO ATUARIAL
CREDIBILIDADE COMPLETA
Exemplo:
Um grupo de apólices de seguro de vida tem severidade
com média 25 e variância de 800. Para 1 = 0,15 e
5 = 0,08. Calcule o padrão de credibilidade total para �
e %. Se o grupo tem um número de sinistros esperado
de 400 para o próximo período, a credibilidade total é
alcançada?
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PRECIFICAÇÃO ATUARIAL
CREDIBILIDADE COMPLETA
4. Prêmio puro 7
Vamos considerar 7 =
(
8
e a seguinte probabilidade:
� � − �� ≤ ��� = � �� − ��� ≤ � ≤ �� + ���
= �
−���
��
≤
� − ��
��
≤
���
��
= ��
���
��
− �
em que 	9 e �9
� são, respectivamente, a média e a
variância de 7.
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PRECIFICAÇÃO ATUARIAL
CREDIBILIDADE COMPLETA
Como : é uma constante, temos que
$;

;
=
$<

<
.
Dessa maneira,
� � − �� ≤ ��� = ��
��'
�'
− �
que é a mesma expressão para a perda agregada %.
*� ≥ *, � + ,-
�
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PRECIFICAÇÃO ATUARIAL
CREDIBILIDADE COMPLETA
Exemplo:
Um grupo de apólices seguro de vida tem média de
frequência de sinistros de 0,03 por apólice. A
distribuição de frequência é assumida ser Poisson. Se a
distribuição da severidade é log-normal com 	 = 5 e
� = 1, encontre o número de apólices requerido para
atingir credibilidade total para o prêmio puro, com
1 = 0,02 e 5 = 0,05.
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