Calculo Diferencial e Integral 2 - Prof Rodrigo Veloso

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Cálculo Diferencial e Integral 2
Prof. Rodrigo Veloso
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First printing, March 2013
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Conteúdo
I Parte Um
1 Funções de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Funções de Duas Variáveis 7
1.2 Funções de Três ou Mais Variáveis 15
2 Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Limite de Funções de Várias Variáveis 17
2.2 Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis 24
2.3 Derivadas Parciais de Funções de Mais de Duas Variáveis 32
2.4 Derivadas Parciais de Ordem Superior 33
2.5 Planos Tangentes 34
2.6 Aproximações Lineares e Diferenciabilidade Total 36
2.7 Regra da Cadeia 40
3 Derivadas Direcionais, Vetores Gradiente e Aplicações . . . . . . . . 47
3.1 Derivadas Direcionais e Vetores Gradiente 47
3.2 Valores Máximo e Mínimo 55
3.3 Multiplicadores de Lagrange 61
4 Integrais Múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 Integrais Duplas 69
4.2 Mudança de Coordenadas em Integrais Duplas 82
4.3 Integrais Triplas 87
4.4 Mudança de Coordenadas em Integrais Triplas 96
A Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
B Topologia de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
I
1 Funções de Várias Variáveis . . . . . . . . . . 7
1.1 Funções de Duas Variáveis
1.2 Funções de Três ou Mais Variáveis
2 Limites e Derivadas de Funções de Várias
Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Limite de Funções de Várias Variáveis
2.2 Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis
2.3 Derivadas Parciais de Funções de Mais de Duas
Variáveis
2.4 Derivadas Parciais de Ordem Superior
2.5 Planos Tangentes
2.6 Aproximações Lineares e Diferenciabilidade Total
2.7 Regra da Cadeia
3 Derivadas Direcionais, Vetores Gradiente
e Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1 Derivadas Direcionais e Vetores Gradiente
3.2 Valores Máximo e Mínimo
3.3 Multiplicadores de Lagrange
4 Integrais Múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 Integrais Duplas
4.2 Mudança de Coordenadas em Integrais Duplas
4.3 Integrais Triplas
4.4 Mudança de Coordenadas em Integrais Triplas
A Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . 105
B Topologia de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Parte Um
1. Funções de Várias Variáveis
1.1 Funções de Duas Variáveis
Definição 1.1.1 Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par (x,y) ∈ D
um único valor real f (x,y), onde D é um conjunto de R2. O valor f (x,y) é dito a imagem do
ponto (x,y) e o conjunto D é dito o domínio da função f .
Definição 1.1.2 Seja f uma função de duas variáveis com domínio D. Definimos a imagem de
f como o conjunto de todos os valores reais que são de fato imagem de algum ponto (x,y) ∈ D.
Em outras palavras:
Im f = {z ∈ R : z = f (x,y) para algum (x,y) ∈ D}.
Figura 1.1: Associação de um ponto (x,y) a
um número real f (x,y).
Figura 1.2: Ilustração de f (−2,3) =−1
6
no
Exemplo 1.3.
Escrevemos frequentemente f : D−→ R para indicar que f é uma função real com domínio D
com imagem no conjunto dos números reais.
Obs 1.1.1 Quando definimos uma função f (x,y) de duas variáveis através de uma equação, fica
entendido que o domínio de f é o conjunto de todos os pontos (x,y) do plano para os quais a
8 Capítulo 1. Funções de Várias Variáveis
expressão dada está bem definida.
� Exemplo 1.1 Considere o mapa do Brasil e fixe como origem do sistema cartesiano a cidade de
Brasília. A altitude z de um ponto (x,y) em relação ao nível do mar define uma função de duas
variáveis z = f (x,y). O domínio D desta função não consiste de todos os pontos do plano, pois D
está restrito aos pontos (x,y) ∈ R2 que representam o território Brasileiro. �
O exemplo acima ilustra o conceito de função de duas variáveis, mas não esperamos que
seja possível encontrar uma expressão envolvendo funções elementares (funções polinomiais,
exponenciais, trigonométricas, etc) que descreva todo o relevo brasileiro. Abaixo, no Exemplo 1.3,
temos um exemplo de uma função definida através de uma expressão.
� Exemplo 1.2 Considere a função
f (x,y) =
1
xy
.
Podemos calcular o valor de f em algum ponto (x,y) qualquer de R2 da seguinte forma: se
(x,y) = (−2,3), então
f (−2,3) = 1
(−2) ·3
=−1
6
.
Veja a Figura 1.2. Devemos ter xy 6= 0 para que a expressão acima esteja bem definida, logo
Dom f = {(x,y) ∈ R2 : x 6= 0 e y 6= 0}.
A imagem de f é dada por Im f = (−∞,0)∪ (0,+∞). De fato, para nenhum par (x,y) temos
f (x,y) = 0, logo 0 /∈ Im f . Para qualquer outro valor real z, podemos encontrar um par (x,y) tal que
f (x,y) = z. Por exemplo, o número z = 5 está na imagem de f , pois z = 5 é a imagem do ponto
(x,y) = (1,1/5):
f
(
1,
1
5
)
=
1
1 · 15
= 5.
O mesmo argumento mostra que qualquer número z1 6= 0 é imagem, por exemplo, do ponto
(x,y) = (1,1/z1). Veja a Figura 1.3. �
Figura 1.3: Imagem da função f (x,y) =
1
xy
destacada em vermelho.
� Exemplo 1.3 Considere a função f (x,y) = x2 + y2 +2xy. Como não existe restrição para soma
e multiplicação de números reais, temos Dom f = R2. A fim de determinar a imagem de f ,
observamos que
f (x,y) = x2 + y2 +2xy = (x+ y)2.
1.1 Funções de Duas Variáveis 9
Segue que Im f = [0,+∞). De fato, para qualquer z1 ≥ 0, temos z1 = f (x,y) se e somente se
(x+ y)2 = z1. O ponto (x,y) = (
√
z1,0) é uma solução para esta equação:
f (
√
z1,0) = (
√
z1 +0)2 +1 = z1.
Em outras palavras, o ponto (x,y) = (
√
z1,0) tem como imagem z1. Isto mostra que Im f = [0,+∞).
�
É comum escrevermos z = f (x,y) para representar que os valores que uma função assume
através de uma nova variável, que denotamos neste caso por z. Esta variável é dita uma variável
dependente: os valores que z assume estão condicionados ao valores que escolhemos para as
variáveis x e y. As variáveis x e y estão livres para assumir qualquer valor dentro do domínio D da
função. Por este motivo dizemos que x e y são variáveis independentes. Se escrevermos z = f (x,y)
no Exemplo 1.3, então temos que z = 9 quando (x,y) = (1,2).
� Exemplo 1.4 Determine e esboce o domínio da função f1(x,y) =
√
x2− y.
Como a raiz quadrada de números negativos não está bem definida nos números reais, devemos
ter x2− y ≥ 0 para que a expressão que define f1(x,y) esteja bem definida. Em outras palavras,
devemos ter x2 ≥ y:
Dom f1 = {(x,y) ∈ R2 : y≤ x2}.
O domínio de f1 define uma região no plano xy que é definida pela inequação y≤ x2. Esta inequação
pode ser interpretada como a união de todos os pontos (x,y) que satisfazem y = x2 e y < x2; a
igualdade representa os pontos de R2 que se encontram na parábola y = x2, enquanto a desigualdade
y < x2 inclui no domínio de f1 os pontos que se encontram abaixo desta parábola. Veja Figura 1.4.
�
Figura 1.4: Domínio da função f1(x,y) =
√
x2− y.
Exercício 1.1 Determine o domínio e a imagem das funções abaixo.
(i) f (x,y) = x2 + y2 (ii) g(x,y) = x2− y2 (iii) h(x,y) =
√
x+2y
�
10 Capítulo 1. Funções de Várias Variáveis
Figura 1.5: Mapa de calor de uma função de
duas variáveis(Exemplo 1.5).
Figura 1.6: Gráfico da função do Exemplo
1.5.
Exercício 1.2 Obtenha uma expressão para f (t,t2) se f (x,y) = exy + cos(x+ y). �
Exercício 1.3 Determine e esboce o domínio das funções abaixo.
(i) f (x,y) =
1
4
√
y− x2
(ii) g(x,y) =
1
3
√
x− y2
(iii) h(x,y) = sen(xy)
(iv) F(x,y) = ln(xy)
(v) G(x,y) =
√
6− x2 + y2
(vi) G(x,y) = log2(x+ y)
�
Podemos representar graficamente o comportamento de uma função f (x,y) de duas variáveis
de diferentes maneiras. O exemplo abaixo utiliza um “mapa de calor”.
� Exemplo 1.5 Considere uma placa de metal que ocupa o retângulo [0,1]× [0,1] do plano xy, isto
é, o retângulo definido pelos intervalos [0,1] no eixo x e [0,1] no eixo y. A temperatura T (x,y) em
graus Celsius em cada ponto da placa é dada pela função
T (x,y) = 100−50x2−50y2.
Por exemplo, a temperatura na origem é T (0,0) = 100−50 ·02−50 ·02 = 100, enquanto no ponto
(1,1) temos temperatura T (1,1) = 100−50 ·12−50 ·12 = 0. Podemos representar graficamente a
distribuição de temperatura na placa através de um “mapa de calor”: veja a Figura 1.5, onde temos
associada a cada ponto do quadrado [0,1]× [0,1] uma cor, onde os pontos em azul indicam uma
região mais fria da barra, enquanto pontos em vermelho indicam uma temperatura mais alta. �
A representação gráfica mais comum de uma função de duas variáveis é, no entanto, o seu
gráfico em R3, conforme definido abaixo.
Definição 1.1.3 Seja F uma função de duas variáveis com domínio D. O gráfico de F é
definido como o conjunto de pontos (x,y,z) de R3 tais que (x,y) ∈ D e z = F(x,y).
Temos na Figura 1.6 a representação em R3 da função T (x,y) da Figura 1.5 e, para facilitar
a visualização, exibimos ainda o mesmo esquema de cores. Destacamos nessa figura o ponto
(x,y,z) = (0,0,100): este é um ponto do gráfico porque satisfaz z = T (x,y), isto é, 100 = T (0,0).
1.1 Funções de Duas Variáveis 11
Figura 1.7: Gráfico de uma função de duas variáveis.
Como z = T (x,y), os pontos mais altos (maior valor de z) obedecem ainda a escala da Figura 1.5:
os pontos em vermelho são os mais altos, por volta de 100◦C, enquanto os pontos mais baixos
(menores valores de z) estão coloridos em azul.
� Exemplo 1.6 Considere a função f (x,y) = 6−3x−2y. Note que Dom f = R2. O gráfico de f é
definido por
z = f (x,y) ⇐⇒ z = 6−3x−2y ⇐⇒ 3x+2y+ z = 6.
Segue que o gráfico de f é um plano. Assim como dois pontos definem uma reta, três pontos
(não-colineares) definem um plano; escolhemos portanto três pontos arbitrários do plano acima
para, a partir destes, traçar o gráfico da função f . Como
x = 0, y = 0 =⇒ z = 6,
x = 0, z = 0 =⇒ y = 3,
y = 0, z = 0 =⇒ x = 2,
o gráfico de f pode ser esboçado como na Figura 1.8. Temos ilustrado na Figura 1.8 também que
f (1,1) = 6−3−2 = 1. �
� Exemplo 1.7 Considere a função f (x,y) =
√
9− x2− y2. Note que o domínio de f é dado por
9− x2− y2 ≥ 0 ⇐⇒ x2 + y2 ≤ 9,
onde, pelo Teorema de Pitágoras, a expressão r2 = x2+y2 representa o quadrado da distância de um
ponto (x,y) à origem. Segue que o domínio de f é dado pelo círculo do plano de raio 3 e centro na
origem. Além disso, se z =
√
9− x2− y2, então, elevando ambos os lados da equação ao quadrado,
obtemos
z2 = 9− x2− y2 ⇐⇒ x2 + y2 + z2 = 9. (1.1)
Provamos acima que, se (x,y,z) é um ponto do gráfico de f , então (x,y,z) é um ponto da esfera
descrita na Equação (1.1): aquela com centro na origem e raio 3.1 Entretanto, nem todo ponto da
esfera é ponto do gráfico de f , pois se z =
√
9− x2− y2 então z ≥ 0. Segue que o gráfico de f
consiste do hemisfério superior da esfera descrita na Equação (1.1); veja a Figura 1.9. �
A seguir trataremos de curvas de nível. Este conceito nos ajuda a compreender o gráfico de
funções de duas variáveis, além de apresentar grande aplicabilidade em problemas práticos.
1Para mais informações sobre a equação de superfícies conhecidas como uma esfera, ver o Capítulo 9 do livro Paulo
Winterle, Geometria Analítica.
12 Capítulo 1. Funções de Várias Variáveis
Figura 1.8: Gráfico da função f (x,y) = 6−3x−2y.
Figura 1.9: Gráfico da função f (x,y) =
√
9− x2− y2.
Definição 1.1.4 Seja f (x,y) uma função de duas variáveis. Uma curva de nível de f é uma
curva no plano x,y definida por uma equação da forma f (x,y) = k, para k um número real
qualquer.
Como o gráfico de f (x,y) é definido pela equação z = f (x,y), uma curva de nível f (x,y) = k
corresponde à restrição z = k ao gráfico de f , isto é, corresponde à interseção do gráfico de f com
o plano z = k. Em outras palavras, a curva de nível f (x,y) = k representa o conjunto de pontos do
gráfico que estão à mesma altura k do plano xy.
� Exemplo 1.8 Considere a função do Exemplo 1.7. Para cada número real k, temos
f (x,y) = k ⇐⇒
√
9− x2− y2 = k. (1.2)
Vejamos abaixo algumas curvas de nível de f :
(i) k = 0:
√
9− x2− y2 = 0 ⇐⇒ 9− x2− y2 = 0 ⇐⇒ x2 + y2 = 9;
(ii) k = 1:
√
9− x2− y2 = 1 ⇐⇒ 9− x2− y2 = 1 ⇐⇒ x2 + y2 = 8;
1.1 Funções de Duas Variáveis 13
(iii) k = 2:
√
9− x2− y2 = 2 ⇐⇒ 9− x2− y2 = 4 ⇐⇒ x2 + y2 = 5.
Nas curvas de nível (i), (ii) e (iii) temos a equação de uma circunferência; note que o raio decresce
à medida que k cresce. Em outras palavras, a interseção dos planos z = k com o gráfico da função
são dadas por circunferências que vão encolhendo à medida que k cresce. Note ainda que
(iv) k = 3:
√
9− x2− y2 = 3 ⇐⇒ 9− x2− y2 = 9 ⇐⇒ x2 + y2 = 0,
(v) k = 4:
√
9− x2− y2 = 4 ⇐⇒ 9− x2− y2 = 16 ⇐⇒ x2 + y2 =−7.
A única solução para a a equação do item (iv) é a origem: (x,y) = (0,0). Isto significa que o plano
z = 3 intersecta o gráfico da função no único ponto (0,0,3). Como a equação do item (v) não possui
solução, concluímos que o plano z = 4 tem interseção vazia com o gráfico da função. Finalmente,
note que
(vi) k =−1:
√
9− x2− y2 =−1.
Vemos que para valores negativos de k também temos uma equação sem solução, isto é, como no
item (v), temos interseção vazia com o gráfico da função.
A Figura 1.10 ilustra a interseção do gráfico da função com o plano z = 1, isto é, a curva de
nível f (x,y) = 1. �
Figura 1.10: Curva de nível f (x,y) = 1.
Curvas de nível de uma função de duas variáveis são frequentemente representadas no plano:
consideramos a projeção no plano xy da curva obtida pela interseção entre o gráfico z = f (x,y)
de uma função e o plano z = k. Dessa maneira é possível, através de uma figura bidimensional,
compreender as principais características do gráfico de uma função.
Ilustramos a representação do gráfico de uma função de duas variáveis através de curvas de
nível com a Figura 1.11. No centro da Figura 1.11 temos algumas curvas de nível da função do
Exemplo 1.8 em R3. À direita na Figura 1.11 temos representadas a projeção destas curvas no
plano xy. Note que a superfície z = f (x,y) é mais inclinada onde as curvas de nível estão mais
próximas umas das outras: no caso da função do Exemplo 1.8, isto ocorre com as curvas de nível
mais próximas ao plano xy (valores mais baixos de z).
Exercício 1.4 Considere a função z = f (x,y) = 6−3x−2y, cujo gráfico se encontra na Figura
1.8. Represente em um único plano cartesiano as suas curvas de nível z = k para k = 0,1,2,3. �
14 Capítulo 1. Funções de Várias Variáveis
3
2
1
0
1
2
3 3
2
1
0
1
2
3
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.50
2.75
3.00
3
2
1
0
1
2
3 3
2
1
0
1
2
3
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.50
2.75
3.00
2 1 0 1 2
3
2
1
0
1
2
3 0.800
1.000
1.2001.4001.600
1.800
2.000
2.200
2.400
2.600
2.800
Figura 1.11: Curvas de nível de f (x,y) =
√
9− x2− y2.
Exercício 1.5 Considere a função z = f (x,y) = x2− y2, cujo gráfico se encontra na Figura
1.12. Represente em um único plano cartesiano as suas curvas de nível z = k para k =
−3,−2,−1,0,1,2,3. �
Exercício 1.6 Considere a função z = f (x,y) = senx+ cosy, cujo gráfico se encontra na Fi-
gura 1.13. Represente em um único plano cartesiano as suas curvas de nível z = k para
k =−3,−2,−1,0,1,2,3. �
Figura 1.12: Gráfico da função
f (x,y) = x2− y2.
Figura 1.13: Gráfico da função
f (x,y) = senx+ cosy.
Exercício 1.7 Esboce as curvas de nível f (x,y) = k paraos valores de k especificados.
(i) f (x,y) = x2 + y2 para k =−1,0,1,2,3.
(ii) f (x,y) = x/y para k =−2,−1,0,1,2.
(iii) f (x,y) = x−2y para k =−2,−1,0,1,2.
1.2 Funções de Três ou Mais Variáveis 15
(iv) f (x,y) = y− senx para k =−2,−1,0,1,2.
�
1.2 Funções de Três ou Mais Variáveis
Definição 1.2.1 Uma função de n variáveis é uma regra que associa a cada ponto (x1,x2, . . . ,xn)∈
D um único valor real f (x1,x2, . . . ,xn), onde D é um conjunto de Rn. Este valor f (x1,x2, . . . ,xn)
é dito a imagem do ponto (x1,x2, . . . ,xn) e o conjunto D é dito o domínio da função f .
Definição 1.2.2 Seja f uma função de n variáveis com domínio D. Definimos a imagem
de f como o conjunto de todos os valores reais que são de fato imagem de algum ponto
(x1,x2, . . . ,xn) ∈ D. Em outras palavras:
Im f = {z ∈ R : z = f (x1,x2, . . . ,xn) para algum (x1,x2, . . . ,xn) ∈ D}.
É comum também neste caso escrevermos y = f (x1, . . . ,xn) e para indicar que y é uma variável
dependente de x1, . . . ,xn; estas são ditas variáveis independentes. No caso de uma função f de três
variáveis escrevemos frequentemente os pontos de seu domínio como (x,y,z); veja a Figura 1.14.
Figura 1.14: Função de três variáveis w = f (x,y,z).
Assim como na Seção 1.1, quando definimos uma função f (x1,x2, . . . ,xn) de n variáveis
através de uma equação, fica entendido que o domínio de f é o conjunto de todos os pontos
(x1,x2, . . . ,xn) ∈ Rn para os quais a expressão dada está bem definida.
Exercício 1.8 Determine o domínio das funções abaixo. Para as funções dos itens (i) e (ii),
esboce ou descreva em palavras o domínio como um conjunto de R3.
(i) f (x,y,z) =
lnz√
x+ y− z
(ii) g(x,y,z) = (x2 + y2− z)−3/2
(iii) h(x1,x2,x3,x4) = (x21−3x4) tg(x2 + x3)
(iv) ϕ(x1, . . . ,x5) =
exp
(
x2/(x3−2)
)
3
√
x25− x1
�
Definição 1.2.3 Seja f (x,y,z) uma função de três variáveis. Uma superfície de nível de f é
uma superfície em R3 definida por uma equação da forma f (x,y,z) = k, para k um número real
qualquer.
Uma superfície de nível de uma função de três variáveis f (x,y,z) representa um conjunto de
pontos onde o valor da função permanece inalterado.
16 Capítulo 1. Funções de Várias Variáveis
Exercício 1.9 Para cada uma das funções abaixo, esboce o gráfico das superfícies de nível
f (x,y,z) = k para k =−2,−1,0,1,2.
(a) f (x,y,z) = x+ y+ z
(b) g(x,y,z) = x2 + y2 + z2
(c) h(x,y,z) = x2− y2 + z2
�
2. Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis
Neste capítulo temos como objetivo estender o conceito de derivada de funções de uma variável
para funções de várias variáveis. Expressamos matematicamente o conceito de taxas de variação
neste contexto mais amplo através do conceito de derivadas parciais, extensão natural da derivada
de funções de uma variável. A seguir definimos o que é a derivada total de uma função; além de
fornecer a aproximação do comportamento de uma função em torno de um ponto, a derivada total
representa um conceito fundamental em estudos mais profundos de funções de várias variáveis.
Munidos destas ferramentas podemos observar como o estudo de funções de várias variáveis, em
particular o conceito de derivada, nos ajuda na abordagem de problemas presentes na indústria ou
no nosso dia-a-dia. Estudamos primeiramente, entretanto, o conceito limite de funções de várias
variáveis.
2.1 Limite de Funções de Várias Variáveis
Relembramos primeiramente o que significa a afirmação limx→x0 f (x) = L no caso de uma função
de uma variável f (x). Em palavras, dizemos que
“o limite de f (x) quando x tende a x0 é L se f (x) assume valores arbitrariamente próximos de L
desde que x esteja suficientemente próximos de x0.”
Convém escrever este conceito em termos matemáticos precisos, pois nem sempre é possível
seguir nossa intuição: o gráfico de uma função de 4 variáveis, por exemplo, é um conjunto de
pontos de R5. Dizemos que limx→x0 f (x) = L se, dada uma margem de erro ε > 0 em torno do
valor L, basta escolhermos pontos suficientemente próximos de x0 que teremos f (x) dentro desta
margem de erro. Ou seja, dada qualquer margem de erro ε > 0, existe um intervalo (x0−δ ,x0 +δ )
tal que se x ∈ (x0−δ ,x0 +δ ), x 6= x0, então f (x) ∈ (L− ε,L+ ε).
Cabe ressaltar que excluímos o valor de f (x) em x = x0 da análise acima, pois a função f
por vezes sequer está definida no ponto x0. Desejamos estudar o comportamento de f (x) nas
proximidades do ponto x0, não exatamente no ponto x0. Na Figura 2.1 temos ilustrada uma função
que tal que limx→1 f (x) não existe. Dada uma margem de erro ε > 0 pequena, não é possível
18 Capítulo 2. Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis
escolher um intervalo (1− δ ,1+ δ ) tal que f (x) ∈ (L− ε,L+ ε) para todo x ∈ (1− δ ,1+ δ ),
x 6= 1.
Figura 2.1: Função y = f (x) cujo limite quando x→ 1 não existe.
O mesmo raciocínio se aplica a uma função f (x,y) de duas variáveis. Considere um ponto
P = (a,b) que seja ponto de acumulação de seu domínio; veja a Definição B.7 e a discussão que
segue. Dizemos que
“o limite de f (x,y) quando (x,y) tende a (a,b) é L se f (x,y) assume valores arbitrariamente
próximos de L desde que (x,y) esteja suficientemente próximos de (a,b).”
Assim como é discutido no Apêndice B, para definir o limite de funções de duas variáveis basta
interpretar corretamente a noção de pontos próximos um do outro, isto é, pontos a uma distância
pequena um do outro. Ao invés de buscarmos um intervalo (x0−δ ,x0 +δ ) no domínio (conjunto
da reta), buscamos um disco de centro P e raio δ onde tenhamos f (x,y) ∈ (L− ε,L+ ε).
Definição 2.1.1 Seja f (x,y) uma função de duas variáveis e seja P = (a,b) um ponto de
acumulação de seu domínio D. Dizemos que o limite de f (x,y) é L quando (x,y) se aproxima
de (a,b) se, para todo ε > 0, existe um disco B com raio δ > 0 tal que, se (x,y) ∈ B∩D e
(x,y) 6= (a,b), então f (x,y) ∈ (L− ε,L+ ε). Escrevemos nesse caso
lim
(x,y)→(a,b)
f (x,y) = L.
Caso contrário, dizemos que o limite acima não existe.
O limite de funções de duas variáveis satisfaz propriedades semelhantes àquelas vistas no
estudo de funções de uma variável. Estas propriedades nos dão suporte para o cálculo de limites de
funções simples.
Teorema 2.1.1 Sejam f (x,y) e g(x,y) funções de duas variáveis cujos domínios possuem (a,b)
como ponto de acumulação. Suponha que
lim
(x,y)→(a,b)
f (x,y) = L1 e lim
(x,y)→(a,b)
g(x,y) = L2.
Então:
(i) lim
(x,y)→(a,b)
(
f (x,y)+g(x,y)
)
= L1 +L2;
(ii) lim
(x,y)→(a,b)
(
f (x,y)−g(x,y)
)
= L1−L2;
2.1 Limite de Funções de Várias Variáveis 19
Figura 2.2: Função z = f (x,y) cujo limite quando (x,y)→ (a,b) é L.
Figura 2.3: Função z = f (x,y) cujo limite quando (x,y)→ (a,b) é L.
(iii) lim
(x,y)→(a,b)
f (x,y) ·g(x,y) = L1 ·L2;
(iv) se k é um número real, lim
(x,y)→(a,b)
k · f (x,y) = k ·L1;
(v) se L2 6= 0, lim
(x,y)→(a,b)
f (x,y)
g(x,y)
=
L1
L2
;
� Exemplo 2.1 Considere o limite da função
f (x,y) =
x− xy+3
x2y+5xy− y3
quando (x,y)→ (0,1). Segue dos itens (i) e (iii) do Teorema 2.1.1 que
lim
(x,y)→(0,1)
(x− xy+3) = 0−0 ·1+3 = 3
e
lim
(x,y)→(0,1)
(x2y+5xy− y3) = 02 ·1+5 ·0 · y−13 =−1.
20 Capítulo 2. Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis
Portanto,
lim
(x,y)→(0,1)
f (x,y) =
3
−1
=−3.
�
� Exemplo 2.2 Considere o limite da função
f (x,y) =
x3− xy2
x− y
quando (x,y)→ (0,0). Note que
lim
(x,y)→(0,0)
(x3− xy2) = 0
e
lim
(x,y)→(0,0)
(x− y) = 0.
No entanto, manipulando a função obtemos
lim
(x,y)→(0,0)
x3− xy2
x− y
= lim
(x,y)→(0,0)
x 6=y
x(x2− y2)
x− y
= lim
(x,y)→(0,0)
x 6=y
x(x− y)(x+ y)
x− y
= lim
(x,y)→(0,0)
x 6=y
x(x+ y) = 0.
�
Se o limite de uma função de uma variável g(x) quando x se aproxima de x0 é L então g(x)
deve se aproximar do valor L quando x se aproxima de x0, independente do caminho escolhido.
Como o domínio de uma função de uma variável é um subconjunto da reta, isto só pode ocorrer
de duas formas: pela esquerda ou pela direita do ponto x0. Estes limites laterais devem ser iguais
para o limite limx→x0 g(x) exista. Analogamente, para que o limite da Definição 2.1.1 exista,
é necessário quef (x,y) se aproxime de L quando (x,y) se aproxima de (a,b), independente do
caminho escolhido: se f (x,y) se aproxima de valores distintos L1 6= L2 quando (x,y) se aproxima
de (a,b) por caminhos distintos C1, C2, então o limite lim(x,y)→(a,b) f (x,y) não existe. Veja a Figura
2.4.
Figura 2.4: Função z = f (x,y) cujos limites por caminhos C1 e C2 são distintos.
2.1 Limite de Funções de Várias Variáveis 21
Obs 2.1.2 Um caminho passando por um ponto (a,b), como citado acima, é um conjunto de
pontos do plano que possui (a,b) como ponto de acumulação. Se o limite de f (x,y) quando (x,y)
se aproxima de (a,b) por um caminho C é L, escrevemos
lim
(x,y)→(a,b)
(x,y)∈C
f (x,y) = L.
Se escolhemos a reta y = x como um caminho para analisar o limite de uma função f (x,y) quando
(x,y) se aproxima de zero, podemos escrever também
lim
(x,y)→(a,b)
y=x
f (x,y) = L.
Teorema 2.1.3 Sejam f (x,y) uma função de duas variáveis, (a,b) um ponto de acumulação de
seu domínio e C1,C2 caminhos do plano contendo o ponto (a,b). Se
lim
(x,y)→(a,b)
(x,y)∈C1
f (x,y) = L1 e lim
(x,y)→(a,b)
(x,y)∈C2
f (x,y) = L2
onde L1 6= L2, então o limite lim(x,y)→(a,b) f (x,y) não existe.
� Exemplo 2.3 Considere a função
f (x,y) =
xy
x2 + y2
.
O domínio de f consiste de todos os pontos do plano exceto a origem. Veremos agora que o limite
de f quando (x,y) se aproxima deste ponto não existe. Considere os caminhos C1 e C2 dados por
C1 = {(x,y) ∈ R2 : x = 0} e C2 = {(x,y) ∈ R2 : y = x}. Então
lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈C1
f (x,y) = lim
y→0
0 · y
02 + y2
= 0.
Por outro lado,
lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈C2
f (x,y) = lim
x→0
x · x
x2 + x2
= lim
x→0
x2
2x2
=
1
2
.
Como os limites de f quando (x,y)→ (0,0) por C1 e C2 são distintos, segue do Teorema 2.1.3 que
o limite lim(x,y)→(0,0) f (x,y) não existe.
Veja a Figura 2.5. O caminho C1 fornece os pontos em branco na figura, enquanto os pontos
no caminho C2 fornecem os pontos em tom vermelho-escuro. Apesar do argumento acima ser
suficiente para provar que o limite em questão não existe, você pode considerar o caminho Cm =
{(x,y)∈R2 : y = mx} na figura e calcular o limite de f (x,y) quando (x,y)→ (0,0) por este caminho:
repare que cada escolha de m fornece uma cor diferente no mapa de calor à esquerda da Figura 2.5,
fornecendo também um valor diferente para o limite. �
Obs 2.1.4 O Teorema 2.1.3 nos permite provar apenas que um limite não existe. Caso encontremos
dois (ou mais) caminhos que resultem no mesmo limite, nada podemos afirmar sobre o limite
global.
22 Capítulo 2. Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis
Figura 2.5: Gráfico da função z = xy/(x2 + y2).
Exercício 2.1 Mostre que os limite abaixo não existem.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
(b) lim
(x,y)→(0,0)
x4− y2
x4 + y2
(c) lim
(x,y)→(0,0)
− x√
x2 + y2
(d) lim
(x,y)→(0,0)
xy
|xy|
�
Assim como no estudo de funções de uma variável, a definição de continuidade de uma função
de duas variáveis é compreendida de imediato a partir do conceito de limite.
Definição 2.1.2 Uma função f (x,y) de duas variáveis é dita contínua em um ponto (a,b) de
seu domínio se o limite lim
(x,y)→(a,b)
f (x,y) existe e
lim
(x,y)→(a,b)
f (x,y) = f (a,b).
Caso contrário dizemos que f é descontínua em (a,b). Se f é contínua em todo ponto de seu
domínio dizemos simplesmente que f é contínua.
Obs 2.1.5 Note que o conceito de limite de uma função f (x,y) se estende a pontos (a,b) que não
pertencem ao domínio de f , enquanto a continuidade de uma função está definida apenas para
pontos de seu domínio.
Usando as propriedades de limite enunciadas no Teorema 2.1.1 podemos ver que a soma,
diferença, produto e quociente de funções contínuas resultam também em funções contínuas; no
último caso, como anteriormente, exigimos que a função no denominador não se anule no ponto
em questão.
2.1 Limite de Funções de Várias Variáveis 23
Teorema 2.1.6 Se f (x,y) e g(x,y) são funções contínuas em (x,y) = (a,b), então:
(i) f ±g é contínua em (a,b);
(ii) f ·g é contínua em (a,b);
(iii) f/g é contínua em (a,b), desde que g(a,b) 6= 0.
Outros exemplos de funções contínuas são obtidos através da composição de funções, conforme
enunciado no teorema a seguir.
Teorema 2.1.7 Sejam f (x,y) uma função de duas variáveis contínua, (a,b) um ponto do domínio
de f e H(z) uma função de uma variável. Se f (x,y) é contínua em (a,b) e H(z) é contínua em
f (a,b), então a função composta (H ◦ f )(x,y) = H
(
f (x,y)
)
é contínua em (a,b).
� Exemplo 2.4 As funções abaixo são contínuas em seus respectivos domínios:
(i) funções polinomiais em duas variáveis, como f (x,y) = x4y2−2xy3 +3x2;
(ii) funções racionais (quociente de polinômios), como g(x,y) =
5x2y−3x4y2
xy+1
;
(iii) h(x,y) = ex−x
2y2+1;
(iv) ϕ(x,y) = sen
(
x2− xy
x+ y− xy
)
.
�
Note que as funções do Exemplo 2.4 são contínuas em seus respectivos domínios, o que não
significa que estas funções possuam todo o plano como domínio. Por exemplo a função do item
(ii) não está definida no ponto (x,y) = (1,−1), já que este ponto anula o seu denominador; logo,
a função g não é contínua em (1,−1), mas é contínua em todo ponto (x,y) em que ela está bem
definida.
Exercício 2.2 Para cada uma das funções abaixo, determine seu domínio e a maior região do
plano em que ela é contínua.
(i) f (x,y) = ln(x+ y)
(iii) F(x,y)=

x4− y4
x2 + y2
, se (x,y) 6= (0,0),
0, se (x,y) = (0,0).
(ii) g(x,y) =
exy
1+ x2 + y2
(iv) G(x,y) =

xy+ y
y
, se y 6= 0,
0, se y = 0.
�
Os conceitos de limite e continuidade vistos acima podem ser estendidos diretamente para
funções de mais de duas variáveis. Por vezes representaremos um ponto de Rn como uma n-upla
(x1, . . . ,xn), mas também usaremos a notação x para um ponto deste espaço; tome cuidado com a
notação para não confundir um número real com um ponto de Rn, pois estes diferem na notação
muitas vezes no uso de fonte em negrito.
Definição 2.1.3 Seja f (x1, . . . ,xn) uma função real de n variáveis com domínio D ⊆ Rn e
seja a um ponto de Rn que é ponto de acumulação de D. Dizemos que o limite de f quando
x→ a é L se, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que, se x ∈ B(a,δ ), x ∈ D e x 6= a, então
f (x) ∈ (L− ε,L+ ε).
Definição 2.1.4 Seam f (x1, . . . ,xn) uma função de n variáveis e a ∈ Rn um ponto de seu
24 Capítulo 2. Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis
domínio. Dizemos que f é contínua em a se o limite lim
x→a
f (x) existe e
lim
x→a
f (x) = f (a).
Figura 2.6: Função w = f (x,y,z) cujo limite quando (x,y,z)→ (a,b,c) é L.
2.2 Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis
Considere a Figura 2.7, onde encontramos uma tabela indicando a sensação térmica registrada de
acordo com as condições do vento e a temperatura. A sensação térmica, que denotaremos por S,
depende dos valores da temperatura T e da velocidade V do vento registrada. Em outras palavras, a
grandeza S é uma função de T e V : S = f (T,V ).
Temos na Figura 2.7 destacada a coluna referente a ventos de 65 km/h (V = 65). Uma vez que
fixamos o valor V = 65 para a velocidade do vento, a sensação térmica passa a depender apenas da
temperatura registrada. Em outras palavras, fixando V = 65 temos que S = f (T,65) é uma função
de apenas uma variável, que denotamos por g(T ):
g(T ) = f (T,65).
Podemos ver através da coluna destacada como a sensação térmica aumenta conforme a temperatura
aumenta; esta taxa de variação é representada pela derivada da função g. Por exemplo, a taxa
de variação da sensação térmica S em relação à temperatura quando T = 12 é representada pela
derivada da função g em T = 12:
g′(12) = lim
T→12
g(T )−g(12)
T −12
= lim
h→0
g(12+h)−g(12)
h
.
Como g(T ) = f (T,65), podemos escrever a derivada de g em T = 12 como
g′(12) = lim
T→12
f (T,65)− f (12,65)
T −12
= lim
h→0
f (12+h,65)− f (12,65)
h
.
Podemos também observar a variação da sensação térmica mantendo fixo um valor para a tem-
peratura. A linha destacada na Figura 2.7 corresponde aos valores de S para T = 12. Analogamente,
2.2 Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis 25
Figura 2.7: Sensaçãotérmica de acordo com a condição do vento e
temperatura registrada. Fonte: Inmetro.
se mantivermos a temperatura fixa em 12o C, a sensação térmica passa a ser uma função de apenas
uma variável: S depende apenas da velocidade V do vento. Denotamos esta função por G(V ):
G(V ) = f (12,V ).
A variação da sensação térmica em função da velocidade do vento nesta situação é representada
pela derivada da função G(V ). Por exemplo, para V = 65,
G′(65) = lim
h→0
G(65+h)−G(65)
h
= lim
h→0
f (12,65+h)− f (12,65)
h
.
De um modo geral, se z = f (x,y) é uma função de duas variáveis, podemos avaliar a taxa de
variação de z em relação a x ou a y, mantendo a outra variável fixa, assim como fizemos acima. Isto
é, consideramos a função g(x) = f (x,b) e calculamos a derivada de g(x) em um ponto x = a. A
derivada de g(x) no ponto x = a é chamada de derivada parcial de f em relação a x no ponto (a,b).
Definição 2.2.1 Sejam f (x,y) uma função de duas variáveis e (a,b) um ponto interior ao seu
domínio. Considere a função de uma variável dada por g(x) = f (x,b). A derivada parcial
26 Capítulo 2. Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis
fx(a,b) de f em relação a x no ponto (a,b) é definida como
fx(a,b) = g′(a) = lim
h→0
g(a+h)−g(a)
h
= lim
h→0
f (a+h,b)− f (a,b)
h
,
caso o limite exista. Analogamente, se G(y) = f (a,y), a derivada parcial fy(a,b) de f em
relação a y no ponto (a,b) é definida como
fy(a,b) = G′(b) = lim
h→0
G(b+h)−G(b)
h
= lim
h→0
f (a,b+h)− f (a,b)
h
,
caso o limite exista.
A Figura 2.8 ilustra o significado da Definição 2.2.1: a derivada parcial fx(a,b) é definida como
o limite da variação média
[
f (a+h,b)− f (a,b)
]
/h em intervalos da forma [a,a+h] (ou [a−h,a])
na direção do eixo x.
Figura 2.8: Variação de uma função f na direção do eixo x.
Existem muitas notações diferentes para derivadas parciais. Abaixo vemos algumas maneira de
representar a derivada parcial de uma função f (x,y) em relação a x:
fx(a,b) =
∂ f
∂x
(a,b) =
∂ f
∂x
∣∣∣∣
(a,b)
=
∂ z
∂x
(a,b) =
∂ z
∂x
∣∣∣∣
(a,b)
= Dx f (a,b).
Naturalmente, usamos uma notação semelhante para representar a derivada parcial de f em relação
a y:
fy(a,b) =
∂ f
∂y
(a,b) =
∂ f
∂y
∣∣∣∣
(a,b)
=
∂ z
∂y
(a,b) =
∂ z
∂y
∣∣∣∣
(a,b)
= Dy f (a,b).
� Exemplo 2.5 Calcule as derivadas parciais fx(2,−1) e fy(2,−1) da função f abaixo:
f (x,y) =−x4 +2x2y3− y+5.
Para calcular a derivada parcial fx(2,−1) podemos fixar y =−1 e considerar a função de uma
variável resultante:
g(x) =−x4 +2x2(−1)3− (−1)+5 =−x4−2x2 +6.
2.2 Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis 27
Segue que g′(x) =−4x3−4x e então
fx(2,−1) = g′(2) =−4 ·8−4 ·2 =−32−8 =−40.
A derivada parcial fy(2,−1) é obtida de maneira semelhante. Mantemos x = 2 fixo e consideramos
a função resultante na variável y:
h(y) = g(2,y) =−24 +2 ·22y3− y+5 = 8y3− y−11.
Segue que h′(y) = 24y2−1 e assim
fy(2,−1) = g′(−1) = 24(−1)2−1 = 23.
�
Apresentamos os cálculos do Exemplo 2.5 como acima para fins didáticos, mas normalmente
calculamos derivadas parciais usando o conceito de função derivada parcial: veja a Definição 2.2.2
e o Exemplo 2.6.
Definição 2.2.2 Seja f (x,y) uma função de duas variáveis. A derivada parcial de f em relação
a x é definida como a função que associa a cada (x,y) ∈ Dom f a derivada parcial fx(x,y):
fx(x,y) = lim
h→0
f (x+h,y)− f (x,y)
h
,
caso o limite exista. Analogamente, a derivada parcial de f em relação a y é definida como a
função que associa a cada (x,y) ∈ Dom f a derivada parcial fy(x,y):
fy(x,y) = lim
h→0
f (x,y+h)− f (x,y)
h
,
caso o limite exista.
Para calcular a derivada parcial de uma função f (x,y) em relação a x, como as Definições 2.2.1
e 2.2.2 sugerem, consideramos a variável y como uma constante e derivamos a expressão como
uma função de uma variável. O mesmo é feito para o cálculo de fy(x,y).
� Exemplo 2.6 As derivadas parciais da função
f (x,y) =−x4 +2x2y3− y+5
em relação a x e y são dadas por:
fx(x,y) =−4x3 +2 ·2x · y3 +0 =−4x3 +4xy3,
fy(x,y) = 0+2x2 ·3y2−1+0 = 6x2y2−1.
As derivadas parciais de f no ponto (2,−1), calculadas no Exemplo 2.5, podem ser obtidas da
seguinte maneira:
fx(2,−1) =−4 ·23 +4 ·2(−1)3 =−32−8 =−40,
fy(2,−1) = 6 ·22(−1)2−1 = 24−1 = 23.
�
� Exemplo 2.7 As derivadas parciais da função
g(x,y) = sen(x2 +2y3)
28 Capítulo 2. Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis
são calculadas usando a regra da cadeia para funções de uma variável. Para calcular a derivada
parcial gx, consideramos y como uma constante e escrevemos sen(x2 + 2y3) = F(G(x)), onde
F(x) = senx e G(x) = x2 +2y3. Logo,
gx(x,y) =
dF
dx
(
G(x)
)
· dG
dx
= cos(x2 +2y3) ·2x = 2xcos(x2 + y2).
Analogamente,
gy(x,y) = cos(x2 +2y3) ·6y2 = 6y2 cos(x2 +2y3).
�
Exercício 2.3 Calcule as derivadas parciais das funções abaixo em relação a x e a y.
(i) f (x,y) = x4y−2x√y
(ii) g(x,y) =
x
y2
(iii) h(x,y) = ln(2x3− y2)
(iv) F(x,y) =
3y
x
tan(x)
(v) G(x,y) = (ex−√y)cos(1−4xy2)
(vi) H(x,y) = cos
(
x2 + ln(2x4y− y3)
)
(vii) φ(x,y) =
tan(x2− y2)+ xy
x2
(viii) ψ(x,y) = exp
(
sec(xy)
)
�
Frequentemente, em uma situação real, lidamos com uma função f (x,y) cuja expressão algébrica
não é conhecida, como é o caso na Figura 2.7. Podemos nestes casos aproximar os valores das
derivadas parciais utilizando a sua definição.
� Exemplo 2.8 Considere a função S = f (T,V ) que expressa a sensação térmica S em função da
temperatura T e da velocidade V do vento na Figura 2.7. A derivada parcial fT (12,65) expressa
a taxa de variação da sensação térmica S em função da temperatura T , isto é, descreve como a
S variará se mantivermos V = 65 fixo e aumentarmos ligeiramente a temperatura T = 12. Não
podemos, no entanto, calcular esta derivada parcial como nos Exemplos 2.5 e 2.6 pois não temos
uma expressão algébrica para f (T,V ). Utilizamos então a definição de derivada parcial para obter
uma aproximação.
Considere a função g(T ) = f (T,65). Temos fT (12,65) = g′(12) e o valor desta derivada pode
ser aproximada utilizando a definição
fT (12,65) = g′(12) = lim
T→12
g(T )−g(12)
T −12
.
Aproximamos o valor de g′(12) através de alguns valores da tabela na Figura 2.7, escolhendo um à
direita de T = 12 e um à esquerda:
g′(12)≈ g(13)−g(12)
13−12
=
1−0
1
= 1,
g′(12)≈ g(11)−g(12)
11−12
=
−2−0
−1
= 2.
Tirando a média dos valores acima temos a aproximação fT (12,65) = g′(12)≈ 1,5. A interpretação
desta derivada parcial é a seguinte: quando a temperatura é 12oC e o vento tem velocidade de 65
km/h, a sensação térmica S aumenta 1,5oC para um aumento de 1oC da temperatura real.
2.2 Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis 29
Analogamente, podemos obter uma aproximação para a derivada parcial fV (12,65) ao con-
siderar a função G(V ) = f (12,V ) e aproximar a derivada G′(65) usando os valores à direita e à
esquerda de V = 65 na Figura 2.7:
G′(65)≈ G(68)−G(65)
68−65
=
−1−0
3
=−1
3
,
G′(65)≈ G(61)−G(65)
61−65
=
−0−0
−4
= 0.
Fazendo a média aritmética destas aproximações obtemos fV (12,65) = G′(65)≈ 0,16. Podemos
assim prever que, quando a temperatura é de 12o C e o vento tem velocidade 65 km/h, a sensação
térmica diminui aproximadamente 0,16oC para um aumento de uma unidade na velocidade do
vento. �
Vimos no começo desta seção que a derivada parcial fx(a,b) de uma função z = f (x,y) repre-
senta a taxa de variação de z em relação a x no ponto x = a, se mantivermos y = b fixo. Vejamos
agora o que esta derivada parcial representa geometricamente. A equação y = b representa uma
reta no plano, mas y = b define um plano no espaço. Veja a Figura 2.9.
Figura 2.9: A equação y = b define uma reta no plano e um plano no
espaço.
Logo, quando fixamos y= b no estudo do comportamento da função f (x,y) estamos restringindo
nossa atenção à interseção do gráfico z = f (x,y) com este plano; o resultado desta interseção é
uma curva que denotamos por C1 (Figura 2.10). A curva C1 coincide com o gráfico da função
g(x) = f (x,b). Vemos assim que a derivada parcial fx(a,b) representa o coeficiente angular da reta
tangente a C1 no ponto (a,b).A derivada parcial fy(a,b) tem um significado semelhante: ela representa o coeficiente angular
da reta tangente à curva C2 no ponto (a,b), onde C2 é a curva obtida pela interseção do gráfico de f
com o plano x = a. Veja as Figuras 2.12 e 2.13.
� Exemplo 2.9 Considere a função
f (x,y) = 9− x2− 3y
2
2
.
As derivadas parciais de f em (1,−1) são dadas por
∂ f
∂x
∣∣∣∣
(1,−1)
=−2x
∣∣∣∣
(1,−1)
=−2,
30 Capítulo 2. Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis
Figura 2.10: Curva C1 dada pela interseção do plano y = b com o gráfico
z = f (x,y).
Figura 2.11: Significado geométrico de fx(a,b).
∂ f
∂y
∣∣∣∣
(1,−1)
=−6y
2
∣∣∣∣
(1,−1)
= 3.
As curvas C1 e C2 correspondentes, obtidas através da interseção de z = f (x,y) com os planos y = 1
e x =−1, são ilustradas nas Figuras 2.14 e 2.15. Vemos que no ponto (1,−1) a curva C1 temos um
coeficiente angular negativo na direção do eixo x, enquanto o gráfico da função tem uma inclinação
positiva na direção do eixo y. �
Até o momento estudamos superfícies em R3 dadas pelo gráfico de funções de duas variáveis,
isto é, superfícies definidas por equações da forma z = f (x,y). De um modo geral, uma equação
a três variáveis F(x,y,z) = 0 define uma superfície em R3. Podemos, também neste caso, nos
perguntar qual é a taxa de variação de z em relação a x ou a y em um determinado ponto; o
significado geométrico destas derivadas parciais é o mesmo, ilustrado nas Figuras 2.10 a 2.13. Isto
é feito através de derivação implícita, processo que se assemelha com aquele estudado no cálculo
de funções de uma variável.
2.2 Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis 31
Figura 2.12: Curva C2 dada pela interseção do plano x = a com o gráfico
z = f (x,y).
Figura 2.13: Significado geométrico de fy(a,b).
� Exemplo 2.10 Calcule o valor de ∂ z/∂x no ponto (1,1,1) supondo que a equação
xy+ z3x = 2yz
define implicitamente uma função z = f (x,y) na vizinhança do ponto (1,1,1) cujas derivadas
parciais de primeira ordem existem.
Supondo que z é função de x e y, ambos os lados da equação acima dependem da variável
x. Suas derivadas parciais em relação a esta variável são iguais, logo, considerando que y é uma
constante, temos
∂
∂x
(
xy+ z3x
)
=
∂
∂x
2yz⇐⇒ ∂
∂x
xy+
∂
∂x
z3x = 2y
∂ z
∂x
.
Como z é uma variável que depende de x, calculamos as derivadas acima usando a regra do produto
e a regra da cadeia:
1 · y+
(
3z2
∂ z
∂x
)
x+ z3 ·1 = 2y ∂ z
∂x
.
Segue que
3z2x
∂ z
∂x
−2y ∂ z
∂x
=−y− z3⇐⇒ (3z2x−2y)∂ z
∂x
=−y− z3.
32 Capítulo 2. Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis
Figura 2.14: Plano y =−1 e gráfico de z = 9− x2−3y2/2.
Figura 2.15: Plano x = 1 e gráfico de z = 9− x2−3y2/2.
Portanto,
∂ z
∂x
=
−y− z3
3z2x−2y
.
Podemos calcular o valor desta derivada parcial no ponto (1,1,1) através da expressão acima:
∂ z
∂x
(1,1,1) =
−1−13
3 ·12 ·1−2 ·1
=
−2
3−2
=−2.
�
2.3 Derivadas Parciais de Funções de Mais de Duas Variáveis
Derivadas parciais de funções de três ou mais derivadas são definidas analogamente ao que vimos
na Definição 2.2.1: mantemos todas as variáveis constantes e consideramos a variação da função
com respeito apenas à restante.
2.4 Derivadas Parciais de Ordem Superior 33
Definição 2.3.1 Seja f (x1, . . . ,xn) uma função de n variáveis e (a1, . . . ,an) ∈ Rn um ponto
interior ao seu domínio. Definimos, para k = 1, . . . ,n, a derivada parcial de f em relação a xk
no ponto (a1, . . . ,an) como
∂ f
∂xk
∣∣∣∣
(a1,...,an)
= lim
h→0
f (a1, . . . ,ak−1,ak +h,ak+1, . . . ,an)− f (a1, . . . ,ak−1,ak,ak+1, . . . ,an)
h
,
caso o limite exista. A derivada parcial de f em relação a xk é definida como a função que
associa a cada (x1, . . . ,xn) ∈ Dom f a sua derivada parcial ∂ f/∂xk.
A derivada parcial de f (x1, . . . ,xn) em relação a xk pode ser escrita também como:
∂ f
∂xk
= fxk = fk = Dk f .
Nosso foco neste curso se encontra em funções de duas ou três variáveis. Ilustramos a Definição
2.3.1 neste último caso: o cálculo da derivada parcial fx de uma função f (x,y,z), por exemplo, é
calculada considerando que y,z são constantes e derivando a expressão como uma função de apenas
uma variável.
� Exemplo 2.11 As derivadas parciais fx, fy e fz da função
f (x,y,z) = xzsen(y+3z)
são dadas por
fx(x,y,z) = zsen(y+3z),
fy(x,y,z) = xz cos(y+3z) · (1+0) = xz cos(y+3z),
e
fz(x,y,z) = xsen(y+3z)+ xz cos(y+3z) · (0+3) = xsen(y+3z)+3xz cos(y+3z).
�
Cabe ressaltar que as derivadas parciais de uma função de três variáveis têm interpretações
semelhantes àquelas vistas para funções de duas variáveis. Por exemplo, se T (x,y,z) indica a
temperatura em cada ponto (x,y,z) de um sólido E do espaço, a derivada parcial Tx(a,b,c) indica
que variação de temperatura esperamos se caminharmos dentro do sólido E na direção do eixo x,
partindo do ponto (a,b,c).
2.4 Derivadas Parciais de Ordem Superior
No estudo de funções de uma variável, a segunda derivada f ′′ de uma função f (x) tem grande
importância: além de descrever a concavidade do gráfico de f , ela fornece um teste para verificarmos
se pontos críticos são extremos relativos. Derivadas parciais de segunda ordem têm um papel
semelhante.
Seja z = f (x,y) uma função de duas variáveis. A derivada parcial fx da função f é uma função
de duas variáveis, logo podemos pensar nas derivadas parciais de fx(x,y) em relação a x ou a y; o
mesmo ocorre com fy(x,y). A derivada parcial de segunda ordem de f em relação a x é definida
como a função fxx(x,y) que associa a cada ponto (x,y) a derivada parcial da função fx(x,y) em
relação a x:
fxx = ( fx)x =
∂
∂x
(
∂ f
∂x
)
=
∂ 2 f
∂x2
=
∂ 2z
∂x2
.
34 Capítulo 2. Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis
Definimos analogamente as outras derivadas parciais de segunda ordem de f :
fyy = ( fy)y =
∂
∂y
(
∂ f
∂y
)
=
∂ 2 f
∂y2
=
∂ 2z
∂y2
,
fxy = ( fx)y =
∂
∂y
(
∂ f
∂x
)
=
∂ 2 f
∂y∂x
=
∂ 2z
∂y∂x
,
e
fyx = ( fy)x =
∂
∂x
(
∂ f
∂y
)
=
∂ 2 f
∂x∂y
=
∂ 2z
∂x∂y
.
� Exemplo 2.12 Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
f (x,y) = xcosy+ yex.
Temos
fx(x,y) = cosy+ yex e fy(x,y) =−xseny+ ex,
logo
fxx(x,y) = yex,
fyy(x,y) =−xcosy,
fxy(x,y) =−seny+ ex,
e
fyx(x,y) =−seny+ ex.
�
Verificamos que no caso da função f do Exemplo 2.12 temos fxy = fyx. Isto não foi apenas
uma coincidência; esta igualdade ocorre em muitos casos, descritos no teorema abaixo.
Teorema 2.4.1 Sejam f (x,y) uma função de duas variáveis e (a,b) um ponto interior ao seu
domínio. Se as derivadas parciais fxy e fyx existem e são contínuas em um conjunto aberto
contendo o ponto (a,b), então
fxy(a,b) = fyx(a,b).
Obs 2.4.2 Podemos definir derivadas parciais de terceira ordem de uma função f (x,y) da mesma
maneira, isto é, como as derivadas parciais das funções fxx, fyy, fxy e fyx. Entretanto, nas aplicações
do Cálculo Diferencial e Integral à Física e às Engenharias encontramos mais frequentemente
derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
Obs 2.4.3 Derivadas parciais de segunda ordem para funções de três ou mais variáveis, assim
como derivadas parciais de ordem superior, são definidas analogamente.
2.5 Planos Tangentes
Seja f (x,y) uma função de duas variáveis tais que suas derivadas parciais fx e fy existem e são
contínuas em um disco aberto com centro em (x0,y0) ∈ Dom f . Seja S a superfície definida pelo
gráfico de f e considere as curvas C1 e C2 obtidas a partir da interseção de S com os plano y = b e
x = a. Ilustramos com as Figuras 2.11 e 2.13 que fx(x0,y0) e fy(x0,y0) representam o coeficiente
angular das retas T1 e T2 tangentes a C1 e C2 em (x0,y0). Existe um único plano que contém as
retas T1 e T2, dito o plano tangente a S em (x0,y0); veja a Figura 2.16.
2.5 Planos Tangentes 35
Figura 2.16: Planto tangente π ao gráfico z = f (x,y) de uma função.
A equação geral do plano de R3 que contém o ponto (x0,y0,z0), z0 = f (x0,y0), com vetor
normal −→n = (A,B,C) é
A(x− x0)+B(y− y0)+C(z− z0) = 0.
Se C 6= 0, podemos dividir a equação por C e reescrevê-la como
z− z0 = A′(x− x0)+B′(y− y0). (2.1)
Quando fixamos y = y0 na Equação(2.1) obtemos a equação da reta T1:
z− z0 = A′(x− x0).
O número A′ na equação acima representa o coeficiente angular da reta tangente T1, logo a =
fx(x0,y0). Analogamente, ao fixarmos x = x0 na Equação (2.1), concluímos que B′ = fy(x0,y0).
Teorema 2.5.1 Seja f (x,y) uma função de duas variáveis com derivadas parciais contínuas
em torno de um ponto (x0,y0). A equação do plano tangente à superfície z = f (x,y) no ponto
(x0,y0,z0), z0 = f (x0,y0), é dada por
z− z0 = fx(x0,y0)(x− x0)+ fy(x0,y0)(y− y0).
� Exemplo 2.13 Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função
f (x,y) =−3x2 +6x−2y2−12y−28
no ponto (2,−2,−12).
Temos que
fx(x,y) =−6x+6 e fy(x,y) =−4y−12,
logo
fx(2,−2) =−6 e fy(2,−2) =−4.
Segue que a equação do plano tangente é dada por
z+12 =−6(x−2)−4(y+2)⇐⇒ 6x+4y+ z =−8.
Veja as Figuras 2.17 e 2.18.
�
36 Capítulo 2. Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis
Figura 2.17: Planto tangente do Exemplo
2.13.
Figura 2.18: Planto tangente do Exemplo
2.13.
Obs 2.5.2 Para entender a geometria do gráfico de f , realizamos um procedimento chamado
completar quadrados. Temos como objetivo escrever o termo −3x2 +6x da expressão que define f
como −3x2 +6x = a(x+b)2 + c. Note que
−3x2 +6x =−3(x2−2x) =−3
[
(x−1)2−1
]
=−3(x−1)2 +3. (2.2)
Analogamente, temos
−2y2−12y =−2(y2 +6y) =−2
[
(y+3)2−9
]
=−2(y+3)2 +18. (2.3)
Seguem das Equações (2.2) e (2.3) que o gráfico de f é dado por
z =−3(x−1)2 +3−2(y+3)2 +18−28 =−3(x−1)2−2(y+3)2−7,
isto é,
z+7 =−3(x−1)2−2(y+3)2.
Logo, se
x−1 = x1, y+3 = y1 e z+7 = z1, (2.4)
então
z1 =−3x21−2y21.
Concluímos que o gráfico z = f (x,y) consiste de uma translação (Equação (2.4)) do paraboloide
elíptico z =−3x2−2y2; veja a Figura 2.19. Veja a Seção 1.3 de Cálculo Volume 1, James Stewart
e os exercícios 65 e 66 de Cálculo Volume 2, James Stewart.
Exercício 2.4 Determine a equação do plano tangente ao gráfico das funções abaixo no ponto
dado.
(i) f (x,y) = yex, P = (0,1,1) (ii) g(x,y) =
√
x3 + y2, Q = (2,−1,3)
�
2.6 Aproximações Lineares e Diferenciabilidade Total
Seja y = f (x) é uma função de uma variável. Se f é diferenciável em x = x0, então seu gráfico
possui uma reta tangente bem definida no ponto
(
x0, f (x0)
)
. A Figura 2.20 sugere que o valor de
2.6 Aproximações Lineares e Diferenciabilidade Total 37
Figura 2.19: Gráfico da função do Exemplo 2.13.
f (x) para pontos próximos x próximos de x0 podem ser aproximados pela coordenada y fornecida
pela reta tangente. Como esta reta tangente contém o ponto (x0, f (x0) e possui coeficiente angular
f ′(x0), a equação da reta é
y− f (x0) = f ′(x0)(x− x0)⇐⇒ y = f (x0)+ f ′(x0)(x− x0).
A aproximação de f (x) pela coordenada y fornecida pela reta tangente pode então ser escrita como
f (x)≈ L(x) = f (x0)+ f ′(x0) · (x− x0), para x próximo de x0. (2.5)
Figura 2.20: Linearização de f (x) = x2 em torno de x = 1.
Vejamos uma justificativa alternativa para a aproximação (2.5). A derivada de f no ponto x0 é
definida como
f ′(x0) = lim
h→0
f (x0 +h)− f (x0)
h
= lim
x→x0
f (x)− f (x0)
x− x0
,
38 Capítulo 2. Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis
logo podemos pensar na seguinte aproximação, para x um número real próximo de x0 (h pequeno):
f ′(x0)≈
f (x)− f (x0)
x− x0
=⇒ f (x)≈ f (x0)+ f ′(x0) · (x− x0). (2.6)
Como L(x) = f (x0)+ f ′(x0) · (x− x0) é a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = x0, a
Equação (2.6) nos diz que é possível aproximar os valores de f em torno do ponto x0 pelos de sua
reta tangente em x0. Esta aproximação é dita a aproximação linear de f em torno de x = x0:
f (x)≈ L(x) = f (x0)+ f ′(x0) · (x− x0), para x− x0 = h pequeno. (2.7)
A função L(x) no lado direito da Equação (2.7) é dita a linearização de f em torno de x0. A Figura
2.20 ilustra a aproximação linear de f (x) = x2 em torno de x = 1. Veja a Seção 3.10 de Cálculo
Volume 1, James Stewart, para mais informações sobre a linearização e aproximações lineares de
funções de uma variável.
É possível aproximar os valores de uma função de duas variáveis em torno de um ponto (x0,y0)
através de uma função linear de duas variáveis; tais funções têm um plano como gráfico. Temos
nas Figuras 2.21 e 2.22 ilustrados o gráfico e o plano tangente da função do Exemplo 2.13; observe
o que ocorre quando damos um zoom nas proximidades do ponto (2,−2,−12).
Figura 2.21: Planto tangente do Exemplo
2.13.
Figura 2.22: Planto tangente do Exemplo
2.13.
Considere o caso do Exemplo 2.13. A equação do plano tangente à função f (x,y) =−3x2 +
6x−2y2−12y−28 no ponto (2,−2,−12) é 6x+4y+ z =−8. A imagem de f em um ponto (x,y)
próximo de (2,− 2) pode ser aproximado pelo valor de z que a equação do plano tangente em
(2,−2,−12) fornece, como as Figuras 2.21 e 2.22 sugerem. Por exemplo, para (x,y) = (2,1, −1,9),
temos na equação do plano tangente
6(2,1)+4(−1,9)+ z =−8⇐⇒ 12,6−7,6+ z =−8⇐⇒ z =−3.
A aproximação linear afirma neste caso que f (2,1, −1,9) ≈ −3. O valor real de f (2,1, −1,9)
pode ser calculado através da expressão f (x,y) = −3x2 + 6x− 2y2− 12y− 28, o que fornece
f (2,1, −1,9) =−3,05.
A aproximação linear acima pode ser escrita da seguinte maneira. Quando substituímos um
certo ponto (x,y) na equação 6x+4y+ z =−8 do plano tangente e calculamos o z correspondente
estamos usando a seguinte função de duas variáveis: como z =−6x−4y−8, temos
z = L(x,y) =−6x−4y−8.
A função L(x,y) acima é aquela que possui como gráfico o plano z = −6x− 4y− 8. Então as
Figuras 2.21 e 2.22 sugerem que, para pontos (x,y) próximos de (2,−2), a aproximação de f (x,y)
por L(x,y) é bem precisa:
f (x,y)≈ L(x,y) =−6x−4y−8.
2.6 Aproximações Lineares e Diferenciabilidade Total 39
Definição 2.6.1 Seja f (x,y) uma função com derivadas parciais contínuas em torno de um
ponto (a,b) ∈ Dom f . A linearização de f em (a,b) é definida como a função L(x,y) que tem
como gráfico o plano tangente a z = f (x,y) no ponto
(
a,b, f (a,b)
)
:
L(x,y) = f (a,b)+ fx(a,b)(x−a)+ fy(a,b)(y−b).
A aproximação
f (x,y)≈ L(x,y) = f (a,b)+ fx(a,b)(x−a)+ fy(a,b)(y−b).
é definida como a aproximação linear de f em (a,b).
Exercício 2.5 Determine o plano tangente ao gráfico da função f (x,y) = ysenx+ x2y2ex no
ponto (0,1,0) e use-o para aproximar o valor de f no ponto (0.1,0.9). �
Exercício 2.6 Use a linearização da função f no ponto P dado para aproximar o valor de f no
ponto Q.
(i) f (x,y) = x3−2xy, P = (2,1), Q = (2.01,1.99)
(ii) f (x,y) =
x2− y
x+ y
, P = (−1,−2), Q = (−1.09,−2.1)
�
Note que, se escrevemos x = a+∆x, y = b+∆y, então a aproximação linear de f em (a,b) é
escrita como
f (a+∆x,b+∆y)≈ f (a,b)+ fx(a,b)∆x+ fy(a,b)∆y.
Em uma situação como a do Exercício 2.5 devemos nos perguntar: qual o erro cometido ao fazer
tal aproximação? Ou seja, ao aproximarmos o valor de f (x,y) em um ponto (a+∆x,b+∆y) pelo
plano tangente de f em (a,b), será que a diferença
E(∆x,∆y) = f (a+∆x,b+∆y)−
[
f (a,b)+ fx(a,b)∆x+ fy(a,b)∆y
]
é pequena? Podemos reformular a pergunta da seguinte maneira: será que à medida que ∆x e
∆y se aproximam de zero o erro E(∆x,∆y) fica cada vez menor? De certa forma, introduzimos o
conceito de diferenciabilidade (total) de funções de duas variáveis para descrever os casos em que
esta linearização fornece uma boa aproximação.
Definição 2.6.2 Sejam f (x,y) uma função de duas variáveis e (a,b) um ponto interior ao seu
domínio. Dizemos que f é diferenciável em (a,b) se
E(∆x,∆y) = ε1∆x+ ε2∆y
onde ε1,ε2→ 0 quando (∆x,∆y)→ (0,0).
Podemos reescrever a condição da Definição 2.6.2 da seguinte maneira: definimos o incremento
de z nesta situação como
∆z = f (a+∆x,b+∆y)− f (a,b),
de modo que f é diferenciável em (a,b) se
∆z = fx(a,b)∆x+ fy(a,b)∆y+ ε1∆x+ ε2∆y,
onde ε1,ε2→ 0 quando (∆x,∆y)→ (0,0).
40 Capítulo 2. Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis
O teorema a seguir fornece uma condição suficiente para a diferenciabilidade de uma função de
duas variáveis; como esta condição é mais simples que a diferenciabilidade, podemos usá-lo para
garantir que a linearização fornece de fato uma boa aproximação. Para um resultado mais precisosobre o erro cometido na aproximação linear de uma função de duas variáveis, veja a Seção 14.6 de
Cálculo Volume 2, George Thomas.
Teorema 2.6.1 Seja f (x,y) uma função de duas variáveis e (a,b) um ponto interior ao seu
domínio. Se as derivadas parciais fx e fy existem em um disco aberto contendo (a,b) e são
contínuas em (a,b), então f é diferenciável em (a,b).
Definição 2.6.3 Sejam f (x,y,z) uma função com derivadas parciais contínuas em torno de um
ponto (a,b,c) ∈ Dom f . A linearização de f em (a,b,c) é definida como a função
L(x,y,z) = f (a,b,c)+ fx(a,b,c)(x−a)+ fy(a,b,c)(y−b)+ fz(a,b,c)(z− c).
A aproximação
f (x,y,z)≈ L(x,y,z) = f (a,b,c)+ fx(a,b,c)(x−a)+ fy(a,b,c)(y−b)+ fz(a,b,c)(z− c)
é definida como a aproximação linear de f em (a,b,c).
2.7 Regra da Cadeia
Sejam f e g funções de uma variável tais que y = f (x) e x = g(t). Então, pela regra da cadeia,
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
.
Por exemplo, se y = cos(t2−3t), então podemos escrever y = cosx, onde x = t2−3t. Logo,
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
=−senx · (2t−3) =−(2t−3)sen(t2−3t).
Este regra de derivação possui um análogo para funções compostas de várias variáveis; a Figura
2.23 ilustra a composição de funções do enunciado do Teorema 2.7.1.
Figura 2.23: Composição de funções.
Teorema 2.7.1 Sejam z = f (x,y) uma função diferenciável de x e y, onde x = g(t) e y = h(t)
2.7 Regra da Cadeia 41
são funções diferenciáveis de t. Então
z = f
(
g(t),h(t)
)
= F(t)
é uma função diferenciável de t e
dz
dt
=
∂ z
∂x
dx
dt
+
∂ z
∂y
dy
dt
.
z
t
yx
t
Figura 2.24: Regra da cadeia (Teorema 2.7.1).
Demonstração. Provaremos, de acordo com a definição de derivada de função de uma variável,
que o limite
lim
∆t→0
F(t +∆t)−F(t)
∆t
= lim
∆t→0
∆z
∆t
existe e é igual à expressão acima. Um incremento não nulo ∆t na variável t produz incrementos
∆x = g(t +∆t)−g(t), ∆y = h(t +∆t)−h(t)
nas variáveis x e y que, por sua vez, produzem um incremento ∆z na variável z. Como f é
diferenciável, segue da Definição 2.23 que
∆z = fx∆x+ fy∆y+ ε1∆x+ ε2∆y,
onde ε1,ε2→ 0 quando (∆x,∆y)→ (0,0). Logo,
∆z
∆t
= fx
∆x
∆t
+ fy
∆y
∆t
+ ε1
∆x
∆t
+ ε2
∆y
∆t
,
e, quando ∆t se aproxima de zero, temos
lim
∆t→0
∆z
∆t
= fx · lim
∆t→0
∆x
∆t
+ fy · lim
∆t→0
∆y
∆t
+ lim
∆t→0
(
ε1
∆x
∆t
+ ε2
∆y
∆t
)
.
Como x = g(t) e y = h(t) são diferenciáveis, temos
lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
e lim
∆t→0
∆y
∆t
=
dy
dt
,
Portanto,
lim
∆t→0
∆z
∆t
= fx ·
dx
dt
+ fy ·
dx
dt
+0 · dx
dt
+0 · dy
dt
,
isto é,
dz
dt
= lim
∆t→0
∆z
∆t
=
∂ z
∂x
· dx
dt
+
∂ z
∂y
· dy
dt
,
como gostaríamos. �
42 Capítulo 2. Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis
� Exemplo 2.14 Encontre o valor de
dz
dt
em t = 1 se z = cos
(
x2
y
)
e
x = 2t +1 e y = t3.
Temos pela regra da cadeia (Teorema 2.7.1) que
dz
dt
=
∂ z
∂x
dx
dt
+
∂ z
∂y
dy
dt
(2.8)
onde
∂ z
∂x
=
∂
∂x
cos
(
x2
y
)
=−sen
(
x2
y
)
2x
y
,
∂ z
∂y
=
∂
∂y
cos
(
x2
y
)
=−sen
(
x2
y
)(
−x
2
y2
)
.
Usando as expressões x = 2t +1, y = t3 obtemos os seguintes valores para t = 1:
∂ z
∂x
∣∣∣∣
t=1
=−sen
(
(2t +1)2
t3
)
2(2t +1)
t3
∣∣∣∣
t=1
=−6sen9, (2.9)
∂ z
∂y
∣∣∣∣
t=1
= sen
(
(2t +1)2
t3
)
((2t +1)2
t6
∣∣∣∣
t=1
= 9sen9. (2.10)
Além disso, temos
dx
dt
=
d
dt
(2t +1) = 2 e
dy
dt
=
d
dt
t3 = 3t2,
logo
dx
dt
∣∣∣∣
t=1
= 2 e
dy
dt
∣∣∣∣
t=1
= 3. (2.11)
Segue das Equações (2.8) a (2.11) que
dz
dt
∣∣∣∣
t=1
= (−6sen9) ·2+(9sen9) ·3 =−12sen9+27sen9 = 15sen9≈ 6,18.
�
Um resultado semelhante ao Teorema 2.7.1 é válido também para funções de n variáveis.
Teorema 2.7.2 Sejam z = f (x1, . . . ,xn) uma função diferenciável de n variáveis, onde x1, . . . ,xn
são funções diferenciáveis de t, isto é, x1 = g1(t), . . . ,xn = gn(t). Então
z = f
(
g1(t), . . . ,gn(t)
)
= F(t)
é uma função diferenciável de t e
dz
dt
=
∂ z
∂x1
dx1
dt
+ · · ·+ ∂ z
∂xn
dxn
dt
.
� Exemplo 2.15 Encontre o valor de
dw
dt
em t = 0 se w = xy+ z e
x = cos t, y = sen t e z = t. (2.12)
2.7 Regra da Cadeia 43
z
t
x1
t
x2 xn
t
Figura 2.25: Regra da cadeia (Teorema 2.7.2).
Temos pela regra da cadeia (Teorema 2.7.2) que
dw
dt
=
∂w
∂x
dx
dt
+
∂w
∂y
dy
dt
+
∂w
∂ z
dz
dt
.
Como x = cos t, y = sen t e z = t, temos
dx
dt
=−sen t, dy
dt
= cos t e
dz
dt
= 1,
logo
dx
dt
∣∣∣∣
t=0
= 0,
dy
dt
∣∣∣∣
t=0
= 1 e
dz
dt
∣∣∣∣
t=0
= 1.
Mais ainda, temos
∂w
∂x
= y,
∂w
∂y
= x e
∂w
∂ z
= 1.
onde x = cos t, y = sen t e z = t implicam em x = 1, y = 0 e z = 0. Portanto,
∂w
∂x
∣∣∣∣
t=0
= 0,
∂w
∂y
∣∣∣∣
t=0
= 1 e
∂w
∂ z
∣∣∣∣
t=0
= 1.
Segue que
dw
dt
∣∣∣∣
t=0
= 0 ·0+1 ·1+1 ·1 = 2.
Note que a Equação (2.12) descreve uma hélice no espaço; o significado da derivada que
calculamos acima é a taxa de variação de w conforme o ponto (x,y,z) se desloca seguindo o
caminho descrito pela hélice. �
Situações envolvendo taxas de variação relacionadas podem ser vistas através do prisma de
funções de várias variáveis.
� Exemplo 2.16 A lei dos gases ideias afirma que a temperatura T em Kelvin, a pressão P em
newtons por metro quadrado e o volume V em metros cúbicos de um gás satisfazem a equação
PV = kT , onde k é uma constante de proporcionalidade. Use esta lei com k = 10 para encontrar a
taxa de variação da temperatura em relação ao tempo de um gás no instante em que seu volume é
de 120 m3 sob uma pressão de 8 N/m2, sabendo que seu volume está crescendo a uma taxa de 2
m3/s e a pressão está decrescendo a uma taxa de 0,1 N/m2s.
A temperatura do gás pode ser escrita como uma função de duas variáveis
T =
1
10
PV,
44 Capítulo 2. Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis
onde P = P(t) e V =V (t) são funções do tempo. Segue da regra da cadeia que
dT
dt
=
∂T
∂P
· dP
dt
+
∂T
∂V
· dV
dt
,
isto é,
dT
dt
=
V
10
· dP
dt
+
P
10
· dV
dt
.
Segue que no instante dado temos
dT
dt
=
120
10
· (−0,1)+ 8
10
·2 =−1,2+1,6 = 0,4.
Então a temperatura do gás está aumentando a uma taxa de 0,4 K/s neste instante. �
O teorema a seguir representando a versão mais geral da regra da cadeia.
Teorema 2.7.3 Seja y = f (x1, . . . ,xn) uma função diferenciável de n variáveis onde cada xi é
função diferenciável de t1, . . . , tm: xi = gi(t1, . . . , tm). Então
y = f
(
g1(t1, . . . , tm), . . . ,gn(t1, . . . , tm)
)
é uma função diferenciável de t1, . . . , tm e, para j = 1, . . . ,m,
∂y
∂ t j
=
∂y
∂x1
∂x1
∂ t j
+ · · ·+ ∂y
∂xn
∂xn
∂ t j
.
y
t1
x1
tntj t1
x2
tntj t1
xn
tntj
Figura 2.26: Regra da cadeia (Teorema 2.7.3).
� Exemplo 2.17 Seja u = x4y+ y2z3 onde x = rset , y = rs2e−t e z = r2s sen t. Encontre o valor de
∂u
∂ s
quando (r,s,t) = (2,1,0).
Temos pela regra da cadeia que
∂u
∂ s
=
∂u
∂x
· ∂x
∂ s
+
∂u
∂y
· ∂y
∂ s
+
∂u
∂ z
· ∂ z
∂ s
onde
∂x
∂ s
= ret ,
∂y
∂ s
= r2se−t e
∂ z
∂ s
= r2 sen t.
Segue que, se (r,s,t) = (2,1,0),
∂x
∂ s
∣∣∣∣
(r,s,t)=(2,1,0)
= 0,
∂y
∂ s
∣∣∣∣
(r,s,t)=(2,1,0)
= 1 e
∂ z
∂ s
∣∣∣∣
(r,s,t)=(2,1,0)
= 1.
2.7 Regra da Cadeia 45
Temos ainda que
∂u
∂x
= 4x3y,
∂u
∂y
= x4 +2yz3 e
∂u
∂ z
= 3y2z2.
Para (r,s,t) = (2,1,0) temos (x,y,z) = (2,2,0), logo
∂u
∂x
∣∣∣∣
(r,s,t)=(2,1,0)
= 64,
∂u
∂y
∣∣∣∣
(r,s,t)=(2,1,0)
= 16 e
∂u
∂ z
∣∣∣∣
(r,s,t)=(2,1,0)
= 0.
Segue que
∂u
∂ s
∣∣∣∣
(r,s,t)=(2,1,0)
= 64 ·2+16 ·4+0 ·0 = 192.
�
Exercício 2.7 O raio de um cilindro circular reto está decrescendo a uma taxa de 5 cm/min e
sua altura está aumentando a uma taxa de 12 cm/min. Determine a taxa de variação do volume
do cilindro no instante em que o raio é 20 cm e a altura é 40 cm. �
Exercício 2.8 Seja w = x+2y+ z2 onde x = r/s, y = r2 + lns e z = 2r. Determine o valor da
taxa de variação de w em relação a r e s quando r =−2 e s = 3. �
Exercício 2.9 Seja z = f (x,y) uma função diferenciável tal que
x = g(t), g′(5) =−1, fx(−2,15) = 3, g(5) =−2,
y = h(t), h′(5) = 4, fy(−2,15) = 2, h(5) = 15.
Determine o valor de
dz
dt
quando t = 5. �
Exercício 2.10 A produção W de trigo em toneladas em um dado ano depende da temperatura
média T e da precipitação anual de chuva R. Cientistas estimam que a temperatura média está
aumentando a uma taxa de 0,15oC por ano ea precipitação está decrescendo a uma taxa de
0,1 cm por ano. Eles também estimam que, nos níveis atuais de produção, WT =−2 e WR = 8.
Determine uma estimativa para a taxa de variação
dW
dt
da produção de trigo em função do
tempo. �
3. Derivadas Direcionais, Vetores Gradiente e Aplicações
3.1 Derivadas Direcionais e Vetores Gradiente
Vimos no Capítulo 2 que as derivadas parciais de uma função z = f (x,y) num ponto (x0,y0),
definidas por
fx(x0,y0) = lim
h→0
f (x0 +h,y0)− f (x0,y0)
h
e
fy(x0,y0) = lim
h→0
f (x0,y0 +h)− f (x0,y0)
h
representam a taxa de variação de z em relação às variáveis x e y, respectivamente. Geometricamente,
fx(x0,y0) e fy(x0,y0) representam o coeficiente angular das retas tangentes às curvas obtidas pela
interseção do gráfico de f com os planos y = b e x = a; veja as Figuras 2.11 e 2.13. Veremos agora
que é possível determinar a taxa de variação de z em uma direção arbitrária, dada por um vetor
unitário~u = (a,b).
Definimos esta taxa de variação de maneira análoga às definições fx(x0,y0) e fy(x0,y0). O
vetor com a direção e sentido de ~u e módulo h é h~u = (ha,hb). Consideramos um segmento de
comprimento h na direção do vetor~u partindo do ponto (a,b). O quociente da variação total de f
neste “intervalo” por h representa a variação média de f neste segmento; como os extremos deste
intervalo são dados pelos pontos (x0,y0) e (x0 +ha,y0 +hb), esta média é dada por
f (x0 +ha,y0 +hb)− f (x0,y0)
h
.
O limite desta média quando h→ 0 representa a taxa de variação (instantânea) de interesse. Veja a
Figura 3.1 e compare com a Figura 2.8.
Definição 3.1.1 Sejam f (x,y) uma função de duas variáveis e (x0,y0) um ponto interior ao seu
domínio. Seja~u = (a,b) ∈ R2 um vetor unitário. A derivada direcional de f na direção do vetor
48 Capítulo 3. Derivadas Direcionais, Vetores Gradiente e Aplicações
Figura 3.1: Taxa de variação de uma função f no ponto (x0,y0) na direção do vetor
unitário~u = (a,b).
~u no ponto (x0,y0) é definida como
D~u f (x0,y0) = lim
h→0
f (x0 +ha,y0 +hb)− f (x0,y0)
h
,
se o limite existir.
Note que se ~u =~i = (1,0) ou ~u = ~j = (0,1) então a derivada direcional D~u f (x0,y0) coincide
com as derivadas parciais fx(x0,y0) e fy(x0,y0), isto é,
D~i f (x0,y0) = fx(x0,y0) e D~j f (x0,y0) = fy(x0,y0).
Compare as Definições 3.1.1 e 2.2.1 nos casos~u =~i e~u = ~j.
Obs 3.1.1 Cabe ressaltar que o conceito de direção apresentado aqui diverge daquele estudado em
Geometria Analítica. Neste contexto de derivada direcional de funções, por direção definida por
um vetor~u entende-se a direção e o sentido definidos por este vetor.
O teorema abaixo fornece uma maneira simples de calcular a derivada direcional de uma função.
Teorema 3.1.2 Seja f (x,y) uma função diferenciável de duas variáveis definida sobre um
conjunto aberto. Se (x0,y0) ∈ Dom f e~u = (a,b) é um vetor unitário, então a derivada direcional
D~u f (x0,y0) existe e
D~u f (x0,y0) = fx(x0,y0) ·a+ fy(x0,y0) ·b.
Demonstração. Considere a função de uma variável g(h) = f (x0+ha,y0+hb). Segue da definição
de derivada de uma função que
g′(0) = lim
h→0
g(h)−g(0)
h
= lim
h→0
f (x0 +ha,y0 +hb)− f (x0,y0)
h
= D~u f (x0,y0). (3.1)
Por outro lado, temos g(h) = f (x,y) onde x = x0 +ha e y = y0 +hb. Então, pela regra da cadeia,
g′(h) =
∂ f
∂x
· dx
dh
+
∂ f
∂y
· dy
dh
= fx(x,y) ·a+ fy(x,y) ·b,
3.1 Derivadas Direcionais e Vetores Gradiente 49
onde (x,y) =
(
x(h),y(h)
)
= (x0 +ha,y0 +hb). Para h = 0 temos x(h) = x0 e y(h) = y0, então
g′(0) = fx(x0,y0) ·a+ fy(x0,y0) ·b. (3.2)
O resultado segue das Equações (3.1) e (3.2). �
� Exemplo 3.1 Calcule a derivada direcional D~u f (1,2), onde f (x,y) = x2 + xy e~u =
(
1√
2
,
1√
2
)
.
Temos fx(x,y) = 2x+ y e fy(x,y) = x, logo fx(1,2) = 4 e fy(1,2) = 1. Segue que
D~u f (1,2) = 4 ·
1√
2
+1 · 1√
2
=
5√
2
.
�
O significado geométrico da derivada direcional é semelhante ao das derivadas parciais. Dados
uma função f (x,y), um ponto (x0,y0)∈Dom f e um vetor unitário~u = (a,b), a interseção do gráfico
de f com o plano b(x− x0)−a(y− y0) = 0 é um curva C cujo coeficiente angular da reta tangente
no ponto
(
a,b, f (a,b)
)
é igual a D~u f (x0,y0). Veja as Figuras 3.2 e 3.3.
Figura 3.2: Significado geométrico da derivada direcional.
Cabe ressaltar que o Teorema 3.1.2 é válido apenas para vetores unitários. Vetores de mesma
direção e módulos diferentes forneceriam derivadas direcionais de diferentes valores, o que não é
de nosso interesse. Por esse motivo, se a direção em questão é definida por um vetor de módulo
diferente de 1, é necessário normalizá-lo para usar então aplicar o Teorema 3.1.2.
� Exemplo 3.2 Determine a derivada direcional da função f (x,y) = ln(x2 + y2) no ponto (2,1) na
direção definida pelo vetor~u = (−1,2).
Temos
fx(x,y) =
2x
x2 + y2
e fy(x,y) =
2y
x2 + y2
,
logo
fx(2,1) =
4
5
e fy(2,1) =
2
5
.
O módulo de~u é dado por ‖~u‖=
√
1+4 =
√
5. Segue que~u tem a direção do vetor unitário
~v =
1√
5
(−1,2) =
(
−1√
5
,
2√
5
)
.
50 Capítulo 3. Derivadas Direcionais, Vetores Gradiente e Aplicações
Figura 3.3: Significado geométrico da derivada direcional.
Segue que a derivada direcional em questão é dada por
D~v f (2,1) =−
1√
5
· 4
5
+
2√
5
· 2
5
=
−4+4
5
√
5
= 0.
�
Exercício 3.1 Calcule a derivada direcional de f na direção indicada e no ponto dado.
(i) D~u f (x,y) no ponto P = (2,1) e na direção do vetor~u = (2,−1), se f (x,y) =−3x2y3.
(ii) D~u f (x,y) no ponto P = (0,π/4) e na direção do vetor~u = (−3,−5), se f (x,y) = tan(x2−
y).
(iii) D~u f (x,y) no ponto P = (1,2) e na direção de P ao ponto Q = (−3,3), se f (x,y) = exy.
�
Observamos que o Teorema 3.1.2 descreve o valor da derivada direcional D~u f (x0,y0) através
do produto escalar dos vetores~u = (a,b) e
(
fx(x0,y0), fy(x0,y0)
)
:
D~u f (x0,y0) =
(
fx(x0,y0), fy(x0,y0)
)
· (a,b) = fx(x0,y0) ·a+ fy(x0,y0) ·b.
O vetor
(
fx(x0,y0), fy(x0,y0)
)
é dito o vetor gradiente de f no ponto (x0,y0).
Definição 3.1.2 Seja f (x,y) uma função de duas variáveis. O vetor gradiente ou, simplesmente,
o gradiente de f é a função ∇ f que associa a cada ponto (x,y) ∈ Dom f o vetor
∇ f (x,y) =
(
fx(x,y), fy(x,y)
)
= fx(x,y)~i+ fy(x,y)~j.
Com a notação acima, podemos reescrever o Teorema 3.1.2 da seguinte maneira:
D~u f (x,y) = ∇ f (x,y) ·~u. (3.3)
Mas o que o vetor gradiente de uma função f (x,y) de duas variáveis representa? A resposta desta
pergunta envolve a seguinte propriedade do produto escalar de dois vetores:
~u ·~v = ‖~u‖‖~v‖cosθ , (3.4)
onde θ ∈ [0,π] é o ângulo de~u e~v. Portanto,
D~u f (x0,y0) = ∇ f (x0,y0) ·~u = ‖∇ f (x0,y0)‖‖~u‖cosθ ,
3.1 Derivadas Direcionais e Vetores Gradiente 51
e como~u é vetor unitário na Equação (3.3),
D~u f (x0,y0) = ‖∇ f (x0,y0)‖cosθ . (3.5)
Veja a Figura 3.4: diferentes vetores~u formarão diferentes ângulos θ com o vetor gradiente. Segue
da Equação (3.5) que a derivada direcional D~u f (x0,y0) é maximizada quando cosθ = 1. Isto ocorre
quando θ = 0, isto é, quando ~u tem a mesma direção e sentido do vetor ∇ f (x0,y0). Em outras
palavras, o valor máximo de D~u f (x0,y0), para (x0,y0) fixo, considerando todos os vetores unitários
~u ∈ R2, ocorre quando~u tem a direção de ∇ f (x0,y0). Isto significa que ao caminharmos no gráfico
z = f (x,y) da função f partindo do ponto (x0,y0), temos a subida com maior inclinação na direção
do vetor gradiente ∇ f (x0,y0). Mais ainda, usando cosθ = 1 na Equação (3.5) concluímos que a
derivada direcional nesta direção tem valor ‖∇ f (x0,y0)‖.
Figura 3.4: Ângulo θ formado pelo vetor~u que define a derivada direcional e o vetor
gradiente ∇ f (x0,y0).
Note que a Equação (3.5) implica ainda que a derivada direcional D~u f (x0,y0) é mínima quando
cosθ = −1; isto é equivalente a θ = π , isto é, quando ~u e ∇ f (x0,y0) têm a mesma direção mas
sentidos opostos. Além disso, concluímos também que a taxa de variação de f em (x0,y0) é nula
em uma direção~u se e somente se~u é ortogonal a ∇ f (x0,y0).
Teorema 3.1.3 Seja f (x,y) uma função diferenciável de duas variáveis e seja (x0,y0) um ponto
de seu domínio.Então a taxa de variação máxima de z = f (x,y) no ponto (x0,y0) ocorre na
direção ∇ f (x0,y0) e este valor máximo é dado por |∇ f (x0,y0)|.
� Exemplo 3.3 Considere a função f (x,y) =
x2
2
+3y2. Determine a direção em que z = f (x,y):
(a) cresce mais rapidamente no ponto (2,1);
(b) decresce mais rapidamente no ponto (2,1);
(c) possui taxa de variação nula no ponto (2,1).
O vetor gradiente de f é dado por ∇ f (x,y) = (x,6y), logo ∇ f (2,1) = (2,6). Segue que a direção
em que z = f (x,y) cresce mais rapidamente é~u = (2,6); aquela em que z decresce mais rapidamente
é −~u = (−2,−6). As duas direções em que z possui taxa de variação nula são aquelas ortogonais
ao vetor gradiente, isto é, aquelas dadas por~v = (a,b) onde
~v ·∇ f (2,1) = 0, isto é, 2a+6b = 0, isto é, 6b =−2a.
Devemos então escolher dois vetores ~v1,~v2 com direções opostas que satisfazem a equação 6b =
−2a. Segue que as direções em que a derivada direcional é nula são as dos vetores ~v1 = (6,−2) e
~v2 = (−6,2). �
O vetor gradiente de uma função f (x,y) possui uma outra propriedade importante. Não é
possível apresentar estas ideias em sua plenitude pois é necessário um conhecimento prévio de
parametrização de curvas; veja o Capítulo 13 de Cálculo Volume 2, James Stewart.
52 Capítulo 3. Derivadas Direcionais, Vetores Gradiente e Aplicações
Teorema 3.1.4 Sejam f (x,y) = k uma curva de nível de uma função diferenciável f de duas
variáveis e (x0,y0) um ponto desta curva. Então ∇ f (x0,y0) é ortogonal a esta curva de nível no
ponto (x0,y0).
Mais precisamente, o Teorema 3.1.4 afirma que ∇ f (x0,y0) é ortogonal à reta tangente a esta
curva de nível no ponto (x0,y0); veja a Figura 3.5. Nas Figuras 3.6 e 3.7 temos representados
o campo gradiente de duas funções f (x,y): para alguns pontos (x,y) do plano, é representado
graficamente o vetor ∇ f (x,y). O campo gradiente ilustra o fato que os vetores gradientes apontam
para a direção de “subida do morro” (subida de maior inclinação).
Figura 3.5: O vetor gradiente ∇ f (x0,y0) é ortogonal à curva de nível f (x,y) = k
contendo (x0,y0).
Figura 3.6: Campo gradiente
de f (x,y) =
√
9− x2− y2.
Figura 3.7: Campo gradiente
de f (x,y) = x2− y2.
Podemos definir de maneira análoga a derivada direcional e o vetor gradiente de uma função de
três variáveis. Teoremas semelhantes são provados com os mesmos argumentos.
Definição 3.1.3 Sejam F(x,y,z) uma função de três variáveis e (x0,y0,z0) um ponto interior ao
seu domínio. Seja~u = (a,b,c) ∈ R3 um vetor unitário. A derivada direcional de F na direção do
vetor~u no ponto (x0,y0,z0) é definida como
D~uF(x0,y0,z0) = lim
h→0
F(x0 +ha,y0 +hb,z0 +hc)−F(x0,y0,z0)
h
,
se o limite existir.
3.1 Derivadas Direcionais e Vetores Gradiente 53
Definição 3.1.4 Seja F(x,y,z) uma função de três variáveis. O vetor gradiente ou, simples-
mente, o gradiente de F é a função ∇F que associa a cada ponto (x,y,z) ∈ DomF o vetor
∇F(x,y,z) =
(
Fx(x,y,z),Fy(x,y,z),Fz(x,y,z)
)
= Fx(x,y,z)~i+Fy(x,y,z)~j+Fz(x,y,z)~k.
Teorema 3.1.5 Seja F(x,y,z) uma função diferenciável de duas variáveis definida sobre um
conjunto aberto. Se (x0,y0,z0) ∈ DomF e ~u = (a,b,c) é um vetor unitário, então a derivada
direcional D~uF(x0,y0,z0) existe e
D~uF(x0,y0,z0) = ∇F(x0,y0,z0) ·~u
= Fx(x0,y0,z0) ·a+Fy(x0,y0,z0) ·b+Fz(x0,y0,z0) · c.
A Equação (3.4) também é válida para vetores ~u,~v de R3. Segue então do Teorema 3.1.5
que o máximo da derivada direcional D~uF(x0,y0,z0), para (x0,y0,z0) fixo, dentre todos os vetores
unitários ~u ∈ R3, é ‖∇F(x0,y0,z0)‖ e ocorre quando ~u tem a direção e sentido do vetor gradiente
∇F(x0,y0,z0).
Teorema 3.1.6 Seja F(x,y,z) uma função diferenciável de três variáveis e seja (x0,y0,z0) um
ponto de seu domínio. Então a taxa de variação máxima de w = F(x,y,z) no ponto (x0,y0,z0)
ocorre na direção ∇F(x0,y0,z0) e este valor máximo é dado por ‖∇F(x0,y0,z0)‖.
Já foi discutido anteriormente o conceito de plano tangente ao gráfico de uma função. Entretanto,
nem toda superfície S de R3 representa o gráfico z = f (x,y) de uma função f de duas variáveis.
Algumas podem ser descritas como a superfície de nível de uma função F de três variáveis, isto é,
S = {(x,y,z) ∈ R3 : F(x,y,z) = k}.
Neste caso, é possível provar que se (x0,y0,z0) é um ponto de S e C é uma curva contida em S que
passa por (x0,y0,z0), então ∇F(x0,y0,z0) é ortogonal à reta tangente a C neste ponto. É natural
portanto definir o plano tangente a S em (x0,y0,z0) como aquele que contém o ponto (x0,y0,z0) e
tem o vetor ∇F(x0,y0,z0) como vetor normal. Veja a Figura 3.8.
Definição 3.1.5 Seja F(x,y,z) uma função diferenciável de três variáveis. Sejam S a super-
fície de nível definida pela equação F(x,y,z) = k e (x0,y0,z0) um ponto de S. Suponha que
∇F(x0,y0,z0) 6= (0,0,0). Definimos o plano tangente π a S em (x0,y0,z0) como o plano que
contém o ponto (x0,y0,z0) e tem o vetor ∇F(x0,y0,z0) como vetor normal:
π : Fx(x0,y0,z0)(x− x0)+Fy(x0,y0,z0)(y− y0)+Fz(x0,y0,z0)(z− z0) = 0.
A reta normal r à superfície S no ponto (x0,y0,z0) é definida como aquela que passa pelo ponto
(x0,y0,z0) e é normal ao plano tangente a S neste ponto:
r : (x,y,z) = (x0,y0,z0)+∇F(x0,y0,z0) · t,
isto é,
r :

x = x0 +Fx(x0,y0,z0) · t,
y = y0 +Fy(x0,y0,z0) · t,
z = z0 +Fz(x0,y0,z0) · t.
Note que, se f (x,y) é uma função de duas variáveis, então seu gráfico z = f (x,y) corresponde à
54 Capítulo 3. Derivadas Direcionais, Vetores Gradiente e Aplicações
z
a
b
x
y
f(a,b)
π
Figura 3.8: Reta normal a uma superfície.
superfície de nível F(x,y,z) = 0 da função F(x,y,z) = z− f (x,y):
z = f (x,y)⇐⇒ z− f (x,y) = 0⇐⇒ F(x,y,z) = 0.
Assim, de acordo com a Definição 3.1.5, o plano tangente ao gráfico de f num ponto (x0,y0,z0) é
dado por
− fx(x0,y0)(x− x0)− fy(x0,y0)(y− y0)+1 · (z− z0) = 0,
isto é,
z− z0 = fx(x0,y0)(x− x0)+ fy(x0,y0)(y− y0).
Esta equação coincide com aquela do Teorema 2.5.1; em outras palavras, podemos enxergar o
gráfico de uma função de duas variáveis como uma superfície de nível, se desejarmos. A reta
normal ao gráfico de uma função de duas variáveis está bem definida portanto pela Definição 3.1.5.
� Exemplo 3.4 Determine o plano tangente e a reta normal à superfície y = x2− z2 no ponto
(4,7,3).
A superfície em questão é dada pela equação F(x,y,z) = 0, onde F(x,y,z) = y− x2 + z2. Como
Fx(x,y,z) =−2x =⇒ Fx(4,7,3) =−8,
Fy(x,y,z) = 1 =⇒ Fy(4,7,3) = 1,
Fz(x,y,z) = 2z =⇒ Fz(4,7,3) = 6,
temos que o plano tangente a S no ponto (4,7,3) é
−8(x−4)+1(y−7)+6(z−3) = 0⇐⇒−8x+ y+6z+7 = 0.
As equações paramétricas da reta normal a S em (4,7,3) são
x = 4−8t,
y = 7+ t,
z = 3+6t.
�
3.2 Valores Máximo e Mínimo 55
Exercício 3.2 Determine as direções em que a derivada direcional de f (x,y) = ye−xy no ponto
(0,2) tem valor 1. �
Exercício 3.3 Determine os pontos do plano em que a direção de maior crescimento de f (x,y) =
x2 + y2−2x−4y é~v =~i+~j. �
3.2 Valores Máximo e Mínimo
Estudaremos nesta seção pontos de máximo e mínimo de funções de várias variáveis, definidos a
seguir.
Definição 3.2.1 Sejam f (x,y) uma função de duas variáveis e (x0,y0) um ponto interior ao
domínio de f . Dizemos que (x0,y0) é um extremo local de f se existe um disco aberto D com
centro em (x0,y0) e raio r > 0 tal que:
(i) f (x0,y0)≥ f (x,y) para todo (x,y) ∈ D, ou
(ii) f (x0,y0)≤ f (x,y) para todo (x,y) ∈ D.
Dizemos, respectivamente, que (x0,y0) é ponto de máximo ou ponto de mínimo de f . O valor
f (x0,y0) é dito um valor máximo local ou um valor mínimo local, respectivamente.
Para encontrar os extremos locais de funções de uma variável, buscamos os pontos que possuem
reta tangente horizontal; na Figura 3.9 temos ilustrados os extremos locais da função y = 0,1x3−
1,2x. No caso de uma função z = F(x,y) de duas variáveis, procedemos de maneira semelhante:
buscaremos os pontos (x0,y0) do domínio de F onde gráfico de F possui plano tangente horizontal.
Como o plano tangente a z = F(x,y) no ponto
(
x0,y0,F(x0,y0)
)
tem equação
z− z0 = Fx(x0,y0)(x− x0)+Fy(x0,y0)(y− y0),
isto equivale a procurar os pontos onde ambas as derivadas parciais de F se