Capítulo 3

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1 
 
Capítulo 3 
 
 
3.1 Uma tubulação de 400 mm de diâmetro e 2000 m de comprimento parte de um 
reservatório de água cujo N.A. está na cota 90. A velocidade média no tubo é de 1,0 
m/s; a carga de pressão e a cota no final da tubulação são 30 m e 50m, 
respectivamente. 
a) Calcular a perda de carga provocada pelo escoamento nesta tubulação; 
b) Determinar a altura da linha piezométrica a 800m da extremidade da tubulação. 
 
Solução: 
 
a) Aplicando Bernoulli entre A e B: 
 
BA
2
BB
B
2
AA
A Δh
g2
U
γ
P
z
g2
U
γ
P
z 



 
 
BA
2
Δh
81,92
0,1
0,300,50000,90 

  95,9Δh BA  m 
 
 
b) Aplicando Bernoulli entre A e C: 
 
CA
C
CA Δh0
γ
P
z00z   CA
C
CA Δh
γ
P
zz  ( I ) 
 
 
- Perda de carga unitária ( J ) 
 
95,9Δh BA  m m/m005,02000
95,9
L
Δh
J
BA
BA 


 
 
 
- Perda de carga entre A e C: 
 
m97,51200005,0LJΔh CACA   
 
Substituindo na equação ( I ): 97,5
γ
P
z0,90 CC  
 
m03,84
γ
P
z CC   altura piezométrica 
 
 
2 
 
3.2 Uma tubulação de PVC, de 1100 m de comprimento e 100 mm de diâmetro interliga 
os reservatórios R1 e R2. Os níveis de água dos reservatórios R1 e R2 estão nas cotas 
620,0 e 600,0, respectivamente. Considerando desprezível as perdas de carga 
localizadas e a temperatura da água 20
o
 C, calcular a vazão escoada. 
 
Obs. : Resolver o problema através da fórmula universal para perda de carga. 
 
 
Solução: 
 
 
D = 100 mm 
L = 1100 m 
 
Δh’ = 620,0 – 600,0 = 20,0 m 
 
Δh’ = J · L  01818,0
1100
0,20
L
h
J 

 
 













JDg2D
51,2
D3,7
e
logJDg22U e = 0,06 mm 
 
     
 
 
      













01818,01,081,921,0
1001,151,2
1,03,7
0,06.10
log01818,01,081,922U
63-
 
 
 00013,000016,0log3777,0U   U = 1,34 m/s 
 
 
s/m0105,034,1
4
1,0
U.AQ 3
2


  Q = 10,5 L/s 
 
3.3 Uma tubulação horizontal com 200 mm de diâmetro, 100 m de extensão, está ligada 
de um lado ao reservatório R, com 15,0m de lâmina d'água, e do outro, a um bocal 
de 50 mm de diâmetro na extremidade, conforme mostrado na figura a seguir. Este 
bocal foi testado em laboratório e apresentou um coeficiente de perda de carga de 
0,10, quando referenciado à seção de maior velocidade. Calcular as velocidades na 
tubulação e na saída do bocal. 
 
 
 
Solução: 
 
Aplicando Bernoulli entre 1 e 2: 
 
3 
 
21
2
2 Δh
g2
U
15,0 

 ( I ) 
 
''
21
'
2121 hhh   ( II ) 
 
0,10
2g
U
20,0
02,0
L
2g
U
D
f
h
22
'
21    
2g
U
h
2
'
21   ( III ) 
 
g2
U
K
g2
U
Kh
2
2
2
1''
21



  
 
A partir dos dados do Quadro 3.9 (pag. 80) obtém-se: 
 
- Entrada de Borda  K = 1,0 
- Registro de gaveta  K = 0,2 
- Registro globo  K = 10,0 
 K = 11,2 ( IV ) 
 
Relação entre U1 e U2: 
 
2211 U.AU.AQ   2
2
22
1
2
2
1
22
1 U
2,0
05,0
U
D
D
A
.UA
U 





 
 
16
U
U 21  ( V ) 
 
Substituindo ( II ), ( III ) e ( IV ) em ( I ) : 
 
g2
U
1,0
g2
U
2,11
g2
U
10
g2
U
15,0
2
2
2
1
2
1
2
2







  
g2
U
1,1
g2
U
2,2115,0
2
2
2
1



 ( VI ) 
 
 
Substituindo ( V ) em ( VI ) : 
81,92
U
1,1
16
U
81,92
2,21
15,0
2
2
2
2









 
 
 
U2 = 15,8 m/s U1 = 1,0 m/s 
 
 
 
 
4 
 
3.4 Determinar a altura “h” no reservatório, para que este abasteça simultaneamente os 
três chuveiros, mostrados na figura a seguir, utilizando tubos de PVC, nas seguintes 
condições: 
- vazão de cada chuveiro: 0,20 l/s 
- diâmetros dos trechos 6-5 e 5-4: 21,6 mm 
- diâmetros dos trechos 5-3, 4-2 e 4-1: 17 mm 
- pressão dinâmica mínima no chuveiro: 0,2 kgf/cm
2
 
 
 
Obs.: - utilizar a equação de Fair-Whipple-Hsiao para cálculo da perda de carga; 
 - considerar o coeficiente de perda de carga do registro de pressão igual ao do registro 
globo. 
 
Solução: 
 
 Perda de carga localizada (método dos comprimentos equivalentes): 
 
 Trecho 1-4 3 joelhos de 90º ....................... Leq = 3 x 1,1 = 3,3 
 (D = 17mm) 1 registro globo ....................... Leq = 1 x 11,1 = 11,1 
 Σ Leq = 14,4 
 
 
Trecho 4-5 1 Tê de passagem direta .......... Leq = 1 x 0,8 = 0,8 
 (D = 21,6mm) 
 
 
 1 Tê de passagem direta ............. Leq = 1 x 0,8 = 0,8 
 Trecho 5-6 3 joelhos de 90º .......................... Leq = 3 x 1,1 = 3,3 
 (D = 21,6mm) 2 registros de gaveta ................. Leq = 2 x 0,2 = 0,4 
 1 entrada normal ....................... Leq = 1 x 0,4 = 3,3 
 Σ Leq = 5,2 
 
 Perda de carga total: 
 
Utilizando a fórmula de Fair-Whipple-Hsiao para cálculo da perda de carga em tubos de 
PVC: 
 
3 2 1
45
6
7
PVC
datum
2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m
0,3 m
1,5 m
1,0 m
h
5,0 m
 Registro de gaveta
 Registro de pressão
 Cotovelo 90º
 Tê
5 
 
Trecho 1-4 m34,1)8,34,14(
017,0
0002,0
000859,0h
75,4
75,1
 
 
Trecho 4-5 m22,0)0,28,0(
021,0
0004,0
000859,0h
75,4
75,1
 
Trecho 5-6 m45,2)0,102,5(
021,0
0006,0
000859,0h
75,4
75,1
 
Δh1-6 =1,34+0,22+2,45 = 4,0 m 
 
s/m88,0
017,0x
0002,0x4
U
21


 m04,0
g2
U 21  
 
Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 7 e 1, considerando o datum no nível a 
tubulação do trecho 5-4, tem-se: 
 
1+5 + h = 1,5 + 2,0 +0,04 + 4,0 
 
 h = 1,55 m 
 
3.5.Uma linha lateral de um sistema de irrigação possui 10 aspersores, separados de 12 
m um do outro, sendo o primeiro localizado a 12 m da linha principal. Os aspersores 
deverão trabalhar com uma vazão de 1,22 m
3
/h e pressões compreendidas entre os 
valores de 2,0 kgf/cm
2
 e 2,4 kgf/cm
2
. Sabendo-se que a linha lateral é em PVC e tem 
declividade ascendente de 1%, determinar o diâmetro desta tubulação. 
 
Solução: 
 
 Pior situação no trecho A-B: 
 
PA = 2,4 kgf/cm
2
 → máxima 
PA = 2,0 kgf/cm
2
 → mínima 
 
 Aplicando Bernoulli entre A e B: 
 
BA
B
B
A
A h
P
z
P
z 



  BAh0,2020,10,240  
 
m8,2h BA   
 
 Perda de carga em conduto com derivações 
 
RLJh  
Utilizando a fórmula de Scobey 
9,4
9,1
s
D245
QK
J


 
Ks = 0,32 (PVC) 
Q = 10 · q = 12,2 m
3
/h = 0,00339 m
3
/s 
6 
 
L = 120,0 m 
R = 0,4 → 10 derivações + fórmula de Scobey → Quadro 3.4 (página 77) 
 
m8,240,00,120
D245
00339,032,0
h
9,4
9,1
BA 


  
 
mm50m051,0D  
 
 
 
3.6.O reservatório R1 alimenta dois pontos distintos B e C. Determinar a vazão do trecho 
AB, sendo o coeficiente de perda de carga da fórmula de Universal igual a 0,016 e a 
vazão na derivação B igual a 50 l/s. 
Obs. : Desprezar as perdas de carga localizadas. 
 
 
 
 
Solução: 
 
 Perda de Carga entre A e C: 
 
m0,400,9100,950h CA   
 
CBBACA hhh   
 
 Utilizando a equação Universal: 
 
25
C-B
2
CB
215
B-A
2
BA
2CA
L
D
Q
g
f8
L
D
Q
g
f8
h 





  050,0QQ CBBA   
 
 













  500
0,2
Q
870
0,4
050,0Q
81,9
016,08
0,40
5
2
CB
5
2
CB
2
 
 
  2 CB2CB Q500.562.1050,0Q961.8400132,00,40   
 
     2 CBCB2 CB Q500.562.1Q1,96.84Q961.84303.30   
 
    0090.30Q1,96.84Q461.647.1 CB2 CB   
 
 = Raiz negativa 
7 
 
 
   
922.294.3
3,381.4451,96.84
Q CB

  CBQ  
 = 0,1326 m
3
/s 
 
QB-C = 132,6 L/s 
 
QA-B = QB-C + 50 → QA-B = 182,6 L/s 
 
 
3.7.Para um conduto de ferro fundidonovo (C=120), comprimento igual a 1000 m, 
diâmetro de 250 mm, com distribuição uniforme ao longo do percurso, pede-se 
calcular a perda de carga contínua. 
a) Caso a vazão afluente seja 50 l/s e a efluente nula; 
b) Caso a vazão afluente seja 50 l/s e a efluente 10 l/s. 
 
Solução: 
 
L = 1000 m 
D = 250 mm 
C = 120 
 
a) QM = QA = 50 L/s 
 QJ = QA = 0 L/s 
 
 Perda de carga contínua: 
  














JM
1n
J
1n
M
m
'
QQ
QQ
D1n
L
h 
 
como QJ = 0 L/s a equação anterior resulta em: 
 
n
Mm
' Q
D1n
L
h 


 
 
n = 1,85 m = 4,87 
 
00152,0
201
641,10
C
641,10
1,851,85
 
 
85,1
4,87
' 050,0
250,0185,1
000100152,0
h 


 
 
m78,1h '  
 
 
b) QM = QA = 50 L/s 
 QJ = QA = 10 L/s 
 
Perda de carga contínua: 
  












01,005,0
01,005,0
250,0185,1
000100152,0
h
85,285,2
4,87
' 
 
 
m20,2h '  
 
8 
 
 
3.8.A tubulação AD, de 300 mm de diâmetro e coeficiente de perda de carga da fórmula 
de Hazen-Williams igual a 110, é destinada a conduzir água do reservatório R1 para 
o reservatório R2, bem como atender aos moradores localizados ao longo do trecho 
BC que consomem 0,05 l/s.m. Sabendo-se que no ponto B a cota do terreno é 108,0 e 
a pressão 1,3 kgf/cm
2
, pede-se calcular a vazão nos trechos AB e CD e a cota 
piezométrica em D, considerando as perdas de carga localizadas desprezíveis. 
 
 
Solução: 
 
D = 300 mm; C = 110; QB-C = 0,05 L/s.m 
 
 Aplicando Bernouli entre A e B: 
 
BA
B
B
A
A h
P
z
P
z 



 '
BA
h
1,0
3,1
0,1080,13

 m0,9h '
BA


 
 
   
m0,9800
3,0110
Q641,10
L
DC
Q641,10
h
87,485,1
85,1
BA
BA87,485,1
85,1
BA'
BA 









 114,0Q BA  m
3
/s 
 
 
 Vazão no trecho CD: 
 
  s/L8460005,0114LqQQ CBCBBADC   
 
 
 
 Perda de carga no trecho BC: 
 
  



















DCBA
1n
DC
1n
BA
m
C-B
C-B'
CB
QQ
QQ
D1n
L
h 00178,0
011
641,10
C
641,10
1,851,85
 
 
n = 1,85; m = 4,87; LB-C = 600 m; 
 
   
m24,5
084,0114,0
084,0114,0
300,0185,1
00600178,0
h
85,285,2
87,4
'
CB 










  
 
130,00
R1
A
L1 = 800 m
L2 = 600 m
L3 = 700 m
B
C
D
NA cte
R2
9 
 
 
 Aplicando Bernoulli entre B e C: 
 
'
CB
C
C
B
B h
P
z
P
z





 24,5
P
z
1,0
3,1
0,108 CC 

 
 
m76,115
P
z CC 

 
 
Cota piezométrica em C → 115,76 m 
 
QA-B = 114 L/s QC-D = 84 L/s 
 
 
 
   
m25,5700
3,0110
084,0641,10
L
DC
Q641,10
h
87,485,1
85,1
DC87,485,1
85,1
DC'
DC 





 

 
 
'
DC
D
D
C
C h
P
z
P
z 



 ' DC
D
D h
P
z76,115 

 
 
Cota piezométrica em D → 110,52 m 
3.9.Uma linha de PVC, destinada a distribuição em marcha de água ao longo do 
percurso de 1500 m de extensão, possui 200 mm de diâmetro e está ligada aos 
reservatórios R1 e R2, cujos níveis de água estão nas cotas 90,0 e 86,0, 
respectivamente. 
a) Determinar a vazão de distribuição em marcha quando o reservatório R2 não 
recebe e nem cede água. 
b) Quando o consumo no percurso é de 80 l/s, pede-se determinar o valor e a posição 
da cota piezométrica mínima. 
 
 
Solução: 
 
PVC 
D = 200 mm; L = 1500 m; D = 200 mm 
 
a) QJ = 0 q = ? 
 
m0,4h  
 
   1n
LJ
Q
D1n
L
h nMm
'





 
 
 
75.1
75,4
Q
D1n
L000824,0
h 


 
 
75.1
75,4
Q
20,075,2
1500000824,0
0,4 


 0442,0Q  m
3
/s 
 
10 
 
0295,0
1500
0442,0
L
Q
q  L/s.m 
 
 
b) 
 Com a vazão de 80 L/s, superior ao valor encontrado na etapa (a) desse problema, os 
dois reservatórios terão que suprir essa demanda. 
 
 212121 LLqLqLqQQ80Q  
 
0533,0
1500
80
L
Q
q  L/s.m 
 
  1
1E
E1 L
1n
JP
z90h 








 
 
  2
2E
E2 L
1n
JP
z86h 








 
 
 
 2211 LJLJ
1n
1
0,4 

 
 
   


















 2
75,1
275,41
75,1
175,4
LLq
20,0
000824,0
LLq
20,0
000824,0
75,2
1
0,4 
 
 75,2275,2175,2 LLq39,6  
 
 
 
75,2
2
75,2
1 LL6,19191.915.55  
 
 21 LL1500  
 
 
L1 = 1063 m e L2 = 437 m 
 
7,56LqQ 11  L/s e 3,23LqQ 22  L/s 
 
 
 
 
1063
20,075,2
0567,0000824,0P
z90
75,4
75,1
E
E 









 m61,85Piez
P
z E
E
E 

 
 
 
3.10. Uma tubulação de comprimento L e diâmetro D é alimentada nas suas 
extremidades por dois reservatórios R1 e R2 de N.A. situados nas cotas Z1 e Z2, 
respectivamente. Há uma derivação no ponto C, distante L1 de R1 e L2 de R2. 
11 
 
Calcular a vazão máxima que pode sair no ponto, de tal maneira que a pressão na 
tubulação seja igual ou superior a zero. 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 q = 0 
 
Se não existisse uma derivação em “C”, a linha piezométrica seria a reta AE 
(desprezando-se as perdas de carga localizadas e a energia cinética 22U / 2g ) e a vazão 
escoada de R1 para R2 seria: 
 
 
n/1
m
21
L
D
zzQ 






 
 
 q ≠ 0 
 
Com a derivação em C, a linha piezométrica se abaixa de acordo com a vazão escoada 
em C cujas conseqüências são analisadas a seguir: 
 
Seja 'Cz a altura da linha piezométrica no ponto C’ (  CC
'
C Pzz ) 
-  2
'
C zz reservatório R1 abastece a derivação e o reservatório R2; 
-  2
'
C zz reservatório R1 abastece somente a derivação; 
-  2
'
C zz reservatório R1 contribui com uma vazão q1 para a derivação e o 
reservatório R2 contribui com uma vazão q2; 
 
 
21 qqq   































































2/1
2
C
C2
2/1
1
C
C12/15
L
P
zz
L
P
zz
D
q 
12 
 
 
 
 Quanto maior o fluxo no trecho, maior a inclinação da linha piezométrica, portanto, a 
máxima vazão na derivação é obtida quando o ponto C’ coincide com o ponto C: 
 
0
P
zzCC CC
'
C
' 

 
 













 





 








2/1
1
C2
2/1
1
C1
2/1
5
máx
L
zz
L
zzD
q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.11.A tubulação ABC, em PVC, de 200 mm de diâmetro e 1600m de extensão, é 
alimentada por um reservatório que tem o nível de água na cota 80,0. No meio da 
tubulação está localizado o ponto mais alto, ponto B, de cota 75,0 onde está instalado 
um piezômetro. A extremidade C, descarrega livremente na atmosfera na cota 40, 
onde existe um controlador de vazão. Determinar a vazão escoada, e a seção de 
abertura do controlador de vazão, quando a pressão em B é nula. 
13 
 
 
Solução: 
 
 
 Aplicando Bernoulli entre A e B 
 
'
BA
B
BA h
P
zz 

  m0,50,750,80h ' BA   
 
 Perda de carga continua 
 
   
m0,5800
2,0140
Q641,10
L
DC
Q641,10
h
87,485,1
85,1
BA
187,485,1
85,1
BA'
BA 







 
 
QA-B = 0,0363 m
3
/s → vazão escoada com o controlador de vazão parcialmente fechado 
 (Abertura: D = d) 
 
 
 Aplicando Bernoulli entre B e C 
 
CBC
B
B hz
P
z 

  m0,350,400,75h CB   
 
 
 Perda de carga entre B e C 
 
''
CB
'
CBCB
hhh

 
 
 Perda de carga contínua Perda de carga localizada 
 (controlador) 
 
m0,5hh ' BA
'
CB
   m0,300,50,35h
''
CB


 
 
 
0,30
A
0,0363
9,812
50,2
A
Q
g2
K
g2
U
Kh
2
C
2
2
C
2
C-B
2C''
CB 





  
 
2
C m0024,0A  
 
 
 
3.12.Uma tubulação composta por dois trechos, interliga dois reservatórios, cuja 
diferença de nível é 2,8 m. O primeiro trecho, que liga o reservatório R1 ao ponto 
“A” tem 258 m de comprimento e 200 mm de diâmetro. O outro trecho tem 150 m 
de extensão e 150 mm de diâmetro e faz a ligação do ponto “A” ao reservatório R2 
de cota mais baixa. Ambos o trechos são formados por tubos de ferro fundido usado 
(C=100). Uma derivação deverá ser instalada no ponto “A”, situado 2,0 m abaixo da 
14 
 
cota do nível de água do reservatório R2. Determinar a vazão escoada nesta 
derivação para que a pressão no ponto A seja igual a pressão atmosférica. 
 
Solução: 
 
 Pressão no ponto A igual à atmosférica 
 
0
PA 

  21 QQq  
 
 Aplicando Bernoulli entre R1 e A 
 
A1RA1R
hzz   m8,4zzzzh 21A1RA1R   
 
 
 Perda de carga contínua entre R1 e A 
 
   
m8,4258
20,0100
Q641,10
L
DC
Q641,10
h
87,485,1
85,1
1
187,4
1
85,1
85,1
1'
A1R






  
 
 
 
s\m0467,0Q 31  
 
 Aplicando Bernoulli entre R2 e A 
 
A2RA2R
hzz   m0,2zzzh 2A2RA2R   
 
 
 Perda de carga contínua entre R1 e A 
 
   
m0,2150
15,0100
Q641,10
L
DC
Q641,10
h
87,485,1
85,1
2
287,4
2
85,1
85,1
2'
A2R






  
 
 
 
s\m0183,0Q 32  
 
 Vazão escoada na derivação 
 
0183,00467,0QQq 21   s/L65s/m065,0q
3 