Proteção - FiltroMimicoDigital

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Filtro Mímico Digital Aplicado na Eliminação da
Componente DC de Decaimento Exponencial
para a Estimação de Fasores
Kleber Melo e Silva
klebermelo@unb.br
1 Componente DC de Decaimento Exponencial
Uma vez que os sistemas elétricos de potência possui característica predominante indutiva, uma com-
ponente DC de decaimento exponencial surge no sinais de corrente após um chaveamento no sistema.
Para simplificar a análise da componente DC de decaimento exponencial, seja o sistema elétrico
monofásico radial ilustrado na Figura 1. A linha de transmissão é modelada como uma linha curta,
com resistência RLT e indutância LLT . A carga, por sua vez, é modelada como sendo corrente
constante, enquanto que o restante do sistema é representado por um equivalente de Thèvenin, com
impedância representada pela conexão em série da resistência RTH e indutância LTH . A fonte vTH
do equivalente pode ser representada por
vTH(t) = Em sen (ωt+ θ) . (1)
Antes do instante t0, a chave S está aberta, de modo que a corrente i(t) vista por um relé instalado
na barra A é apenas a corrente de carga iC(t)
i(t) = iC(t) = Im sen (ωt+ θ − ϕC) . (2)
A chave S é fechada no instante t0, de modo que uma falta com resistência RF é aplicada em uma
porcentagem p do comprimento da linha de transmissão. A partir de então, a corrente i(t) vista pelo
relé na barra A é representada por
i(t) = iC(t) + iF (t), (3)
onde iF (t) é corrente de falta, determinada como
iF (t) =
Em
|ZF |
sen [ω (t− t0) + θ − ϕF ] +A0e−(t−t0)/τ , (4)
com
|ZF | =
√
(RTH + pRLT +RF )
2 + ω2 (LTH + pLLT )
2 (5)
ϕF = tan
−1
[
ω (LTH + pLLT )
RTH + pRLT +RF
]
(6)
τ =
LTH + pLLT
RTH + pRLT +RF
(7)
1
A0 = −
Em
|ZF |
sen (θ − ϕF ) . (8)
A partir das Eqs. 4, 7 e 8, percebe-se que a componente DC de decaimento exponencial depende
dos parâmetros da linha de transmissão, da configuração do sistema (equivalente de Thèvenin) e dos
parâmetros da falta (localização, resistência e ângulo de incidência). Alguns desses parâmetros não
podem ser conhecidos a priori, de modo que a componente DC de decaimento exponencial também
não. Valores típicos para a constante de tempo de decaimento estão compreendidos no intervalo de
0,5 a 5 ciclos (BENMOUYAL, 1995).
F
S
RTH
vTH ( )t
LTH pRLT pLLT
RF
( )1-p RLT ( )1-p LLT
i ( )t
Equivalente de Thèvenin
A
t0
iC ( )t
B
Figura 1: Sistema elétrico monofásico radial.
2 O Efeito da Componente DC de Decaimento Exponencial na Estima-
ção de Fasores
Para avaliar o efeito da componente DC de decaimento exponencial na estimação de fasores, seja o
sinal discreto x(k) a seguir
x(k) = A0Γ
k +
N/2∑
n=1
An cos
(
2πn
N
k + ϕn
)
= xDC(k) + x(k) (9)
onde Γ = e−4t/τ é o termo exponencial; A0 e τ são a amplitude e a constante de tempo da com-
ponente DC de decaimento exponencial; An e ϕn são a amplitude e a fase da n-ésima componente
harmônica;4t é o intervalo de amostragem; N é o número total de amostras por ciclo.
O fasor na frequência fundamental pode ser obtido aplicando o algoritmo de Fourier de um ciclo
ao sinal x(k) (PHADKE; THORP, 2009)
X(k) =
2
N
N∑
r=1
x(k −N + r)e−j
2π
N
r . (10)
Onde X(k) é o fasor na frequência fundamental estimado no instante k, para uma janela de N amos-
tras. Substituindo a (9) em (10), obtém-se
X(k) = X(k) +XDC(k) , (11)
2
onde
X(k) =
2
N
N∑
r=1
x(k −N + r)e−j
2π
N
r (12)
XDC(k) =
2
N
N∑
r=1
xDC(k −N + r)e−j
2π
N
r . (13)
Analisando (12), percebe-se que X(k) é apenas o fasor na frequência fundamental
X(k) = A1e
jϕ1+
2π
N
k , (14)
uma vez que o algoritmo de Fourier de um ciclo elimina todas as harmônicas. Resolvendo (13),
obtém-se
XDC(k) =
2
N
A0Γ
k−N
(
1− ΓN
)
1− Γe−j
2π
N
, k ≥ N. (15)
A partir das equações (11)-(15), observa-se que o algoritmo de Fourier de um ciclo provoca um
erro na estimação do fasor devido à componente DC de decaimento exponencial. Como resultado,
observam-se oscilações em torno do valor real do fasor. Para exemplificar este efeito, seja o sinal
discreto
x(k) = AΓk −A cos
(
2π
N
k
)
, (16)
onde A = 100, N = 16 e τ = 3 ciclos.
A Figura 2 ilustra a amplitude do fasor estimado. Observa-se que a amplitude de X oscila em
torno do seu valor real, o que não ocorre na amplitude de X .
O impacto da componente DC de decaimento exponencial nos algoritmos de Fourier de um e
de meio ciclo pode ser entendido, do ponto de vista da sua resposta em frequência, analisando-se
a Figura 3. Nela representa-se o espectro de frequência de exponenciais com amplitude unitária,
considerando-se três diferentes valores da constante de tempo τ . Observa-se que os ganhos dos espec-
tros de frequência para os diferentes valores de τ diferenciam principalmente nas baixas frequências.
De fato, para estas frequências, quão maior o valor de τ , maior será a magnitude do espectro. Isto
explica o porquê dos filtros de Fourier de meio ciclo serem mais afetados pela componente DC de
20 30 40 50 60 70 80 90 100
80
90
100
110
Tempo (ms)
A
m
p
li
tu
d
e
X
X
14
Figura 2: Efeito da componente DC de decaimento exponencial na estimação dos fasores com o
algoritmo de Fourier de um ciclo.
3
10
0
10
1
10
2
10
30
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Frequência (Hz)
M
ag
n
it
u
d
e
¿ = 1 ciclo
¿ = 2 ciclos
¿ = 3 ciclos
Figura 3: Módulo do espectro de frequência da função exponencial com amplitude unitária para três
valores de τ .
decaimento exponencial do que os de um ciclo, já que eles amplificam as frequências abaixo da fun-
damental. A mesma explicação é válida para observar que o filtro seno é mais sensível à componente
DC de decaimento exponencial que o filtro cosseno (SILVA, 2009).
3 Filtro Mímico Digital Tradicional
O filtro mímico digital proposto em (BENMOUYAL, 1995) é baseado no circuito mímico, uma técnica
utilizada em relés eletromecânicos e estáticos para eliminar o efeito da componente DC de decai-
mento exponencial. Basicamente, se uma corrente DC com decaimento exponencial passar por uma
impedância da forma
K (1 + sτ) , (17)
a tensão sobre esta impedância será apenas uma constante DC, no caso de τ ser igual a constante
de tempo real do sinal (BENMOUYAL, 1995). Em outras palavras, a componente DC de decaimento
exponencial terá sido completamente filtrada.
Para ilustar o funcionamento do filtro mímico, o circuito mostrado na Figura 4, constituído de uma
fonte de corrente em série com uma resistência e uma indutância, pode ser considerado.
Figura 4: Princípio do filtro mímico.
4
No domínio de Laplace, a tensão sobre a impedância Z = R+ sL pode ser calculada como:
V (s) = (R+ sL) I(s) (18)
Se a fonte de corrente for apenas uma componente DC de decaimento exponencial, ou seja:
i(t) = e−t/τ ←→ I(s) = 1
1/τ + s
, (19)
então a tensão sobre a impedância resulta em:
V (s) =
R+ sL
1/τ + s
. (20)
No caso de τ = L/R, a tensão V (s) é calculada como:
V (s) = L , (21)
o que resulta em:
v(t) = Lδ(t), (22)
onde δ(t) representa a função impulso.
Em termos práticos, o fato de que a corrente i(t), representada por uma componente DC de de-
caimento exponencial com constante de tempo igual à relação L/R da impedância do circuito, foi
transformada em uma tensão de saída v(t) em forma de impulso implica que a componente DC foi
completamente eliminada (BENMOUYAL, 1995).
Para fazer a implementação digital do princípio do circuito mímico, o circuito diferenciador, repre-
sentado no domínio de Laplace pelo operador s, é emulado utilizando 1− z−1, resultando na equação
do conhecido filtro mímico digital
K
[
(1− τd) + τdz−1
]
, (23)
com τd expressa em número de amostras. Aplicando esta equação ao sinal discreto x(k) descrito pela
Eq. 9, obtém-se
y(k) = K [(1− τd)x(k) + τdx(k − 1)] . (24)
O ganho K deve ser unitário na frequência fundamental
K =
√√√√√ 1[
(1 + τd)− τd cos
(
2π
N
)]2
+
[
τd sen
(
2π
N
)]2 . (25)
No caso de τd ser igual a constante de tempo de decaimento da componente DC presente no
sinal x(k), então o sinal de saída z(k) consiste da componente de frequência fundamental,N/2 − 1
harmônicas e de uma componente DC.
5
O fasor na frequência fundamental Ŷ (k) pode ser calculado aplicando-se o algoritmo de Fourier
de um ciclo, como ilustrado na Eq. 10,
Ŷ (k) = K
[
(1− τd) X̂(k) + τdX̂(k − 1)
]
. (26)
Uma vez que o algoritmo de Fourier de um ciclo possui ganho zero para as frequências DC e harmô-
nicas, Z(k) será apenas a componente de frequência fundamental.
A Figura 5 ilustra o máximo overshoot percentual na estimação do fasor, considerando o sinal
x(k) da Eq. 16 e utilizando o algoritmo de Fourier de um ciclo combinado com o filtro mímico digital
ajustado para diferentes valores de τd. Observa-se que τd igual a três ciclos resulta em um overshoot
igual a zero. Além disso, para esse caso, mesmo que o valor de τd diferencie de até um ciclo do seu
valor real, o overshoot percentual ainda será inferior a 0,5%.
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
0.0
0.5
1.0
Constante de Tempo (ciclos)¿
d
O
v
er
sh
o
o
t 
(%
)
Figura 5: Overshoot percentual na estimação do fasor, considerando diferentes valores da constante
de tempo τd do filtro mímico digital.
Referências
BENMOUYAL, G. Removal of dc-offset in current waveforms using digital mimic filtering. IEEE
Transaction on Power Delivery, v. 10, n. 2, p. 621–630, Apr 1995.
PHADKE, A. G.; THORP, J. S. Computer Relaying for Power Systems. 2. ed. West Sussex, UK: John
Wiley & Sons Inc, 2009.
SILVA, K. M. e. Estimação de Fasores Baseada na Transformada Wavelet para Uso na Proteção de
Distância de Linhas de Transmissão. Tese (Doutorado), Campina Grande - Paraíba, Abril 2009.
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