Encontro 36 e 37 - Transferência de Calor em Regime Permanente - GF

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Condução de Calor 1D e em Reg. Permanente
Prof. Leonardo C. Martinez
Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Encontros 36 e 37 – 2020/02
Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR)
Campus Sede – Curitiba/PR
Núcleo Comum da Escola Politécnica
Situação Problema:
Como determinar a Distribuição das Temperaturas em um meio, como 
resultado das condições impostas na sua Fronteira (Superfície)?
Em muitos Problemas de Engenharia, é possível modelar o sistema 
utilizando Geometrias Unidimensionais (1D) para analisar a 
Transferência de Calor, no intuito de simplificar a análise, porém 
mantendo boa precisão.
Equação da Difusão de Calor
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Cursos de Engenharia da Escola Politécnica
EQ. DA DIFUSÃO DE CALOR
(DIFUSÃO TÉRMICA)
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Cursos de Engenharia da Escola Politécnica
Um dos objetivos principais da Análise da Condução de Calor é 
determinar o Campo de Temperaturas (Distribuição de Temperaturas) 
num meio resultante das condições impostas em suas Fronteiras.
Uma vez conhecida esta distribuição, o Fluxo de Calor por Condução em 
qualquer ponto do meio ou na sua superfície pode ser determinado 
através da Lei de Fourier.
Metodologia:
Através da aplicação da Conservação da Energia, ou seja, define-se um 
Volume de Controle Diferencial, identificam-se os Processos de 
Transferência de Energia relevantes e substituem-se as Equações das 
Taxas de Transferência de Calor apropriadas.
Equação da Difusão de Calor
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Cursos de Engenharia da Escola Politécnica
∂
∂x
k
∂T
∂x
+
∂
∂y
k
∂T
∂y
+
∂
∂z
k
∂T
∂z
+ ሶq = ρcp
∂T
∂t
Coordenadas Cartesianas
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Cursos de Engenharia da Escola Politécnica
▪ As Taxas de Transferência de Calor por Condução nas entradas do 
Volume Diferencial podem ser determinadas através da aplicação da 
Lei de Fourier:
qx =−k dy dz
∂T
∂x
qy = −k dx dz
∂T
∂y
qz = −k dx dy
∂T
∂z
▪ Já os termos de Taxa de Transferência de Calor nas superfícies de saída 
podem ser determinadas por Expansão em Série de Taylor de 2ª 
Ordem:
qx+dx = qx+
∂qx
∂x
dx qy+dy = qy+
∂qy
∂y
dy qz+dz = qz+
∂qz
∂z
dz
Coordenadas Cartesianas
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Cursos de Engenharia da Escola Politécnica
▪ No interior do Volume Diferencial pode haver, também, um termo de 
Fonte de Energia associada à Taxa de Geração de Energia Térmica. 
Esse termo é:
ሶEg = ሶq dx dy dz
onde ሶq é a taxa na qual a Energia é Gerada por Unidade de Volume (SI: 
W/m³).
▪ Já o termo de Acúmulo de Energia, devido às variações de Energia 
Interna, é dado por:
ሶEacum = ρ cp
∂T
∂t
dx dy dz
onde o termo ρ cp
∂T
∂t
é a Taxa de Variação da Energia Térmica do meio 
com Tempo, por Unidade de Volume.
Coordenadas Cartesianas
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Cursos de Engenharia da Escola Politécnica
O Balanço de Energia pode ser dado por:
ሶEin − ሶEout + ሶEg = ሶEacum
Com isso:
qx + qy + qz − qx+dx − qy+dy − qz+dz + ሶEg = ሶEacum
qx + qy + qz − qx+
∂qx
∂x
dx − qy+
∂qy
∂y
dy − qz+
∂qz
∂z
dz + ሶq dx dy dz
= ρ cp
∂T
∂t
dx dy dz
Coordenadas Cartesianas
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
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−
∂qx
∂x
dx−
∂qy
∂y
dy−
∂qz
∂z
dz+ ሶq dx dy dz = ρ cp
∂T
∂t
dx dy dz
Substituindo os termos da Lei de Fourier:
−
∂
∂x
−k dy dz
∂T
∂x
dx−
∂
∂y
−k dx dz
∂T
∂y
dy−
∂
∂z
−k dx dy
∂T
∂z
dz
+ ሶq dx dy dz = ρ cp
∂T
∂t
dx dy dz
Dividindo por dx dy dz:
∂
∂x
k
∂T
∂x
+
∂
∂y
k
∂T
∂y
+
∂
∂z
k
∂T
∂z
+ ሶq = ρ cp
∂T
∂t
Coordenadas Cartesianas
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Cursos de Engenharia da Escola Politécnica
Se k = CTE:
∂²T
∂x²
+
∂²T
∂y²
+
∂²T
∂z²
+
ሶq
k
=
1
α
∂T
∂t
Se Regime Permanente:
∂
∂x
k
∂T
∂x
+
∂
∂y
k
∂T
∂y
+
∂
∂z
k
∂T
∂z
+ ሶq = 0
Caso a Transferência de Calor seja 1D e com k = CTE:
∂²T
∂x²
+
ሶq
k
=
1
α
∂T
∂t
Simplificações
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
onde α =
k
ρcp
[m²/s]
Difusividade Térmica
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Condições de Análise de Problemas
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Permanente – Temperatura e Fluxo 
de Calor permanecem inalterados
em uma dada Posição do Sistema 
ao longo do Tempo;
Transiente – Temperatura e Fluxo 
de Calor variam com o Tempo em 
uma dada Posição do Sistema.
Regime Permanente x Transiente de Transferência de Calor
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Condições de Análise de Problemas
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Em Geometrias 1D:
Regime Permanente: ∂T
∂t
= 0
Regime Permanente com Geração de Calor:
Regime Transiente sem Geração de Calor:
Regime Permanente sem Geração de Calor:
Regime Transiente: ∂T
∂t
≠ 0
∂²T
∂x²
+
ሶq
k
= 0
∂²T
∂x²
= 0
∂²T
∂x²
=
1
α
∂T
∂t
Cursos de Engenharia da Escola Politécnica
1
r
∂
∂r
kr
∂T
∂r
+
1
r²
∂
∂∅
k
∂T
∂∅
+
∂
∂z
k
∂T
∂z
+ ሶq = ρcp
∂T
∂t
Coordenadas Cilíndricas
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Cursos de Engenharia da Escola Politécnica
1
r²
∂
∂r
kr²
∂T
∂r
+
1
r²sen²θ
∂
∂∅
k
∂T
∂∅
+
1
r²senθ
∂
∂θ
ksenθ
∂T
∂θ
+ ሶq = ρcp
∂T
∂t
Coordenadas Esféricas
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Cursos de Engenharia da Escola Politécnica
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
T(0, t) = T1
1. Temperaturas DEFINIDAS
T(L, t) = T2
2. Fluxos de Calor DEFINIDOS
q”L = −k
𝜕T(L, t)
𝜕x
q”0 = −k
𝜕T(0, t)
𝜕x
Condições de Contorno
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Condições de Contorno
−k
𝜕T 0, t
𝜕x
= h1 T∞− T(0, t)
−k
𝜕T L, t
𝜕x
= h2 T(L, t) − T∞)
3. Condição de Convecção DEFINIDA nas Superfícies
PAREDE PLANA
(SEM Geração de Calor)
Sistema Cartesiano
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Cursos de Engenharia da Escola Politécnica
Parede Plana
Aplicando a Eq. da Condução de Calor na Parede Plana:
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
∂
∂x
k
∂T
∂x
=0
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Parede Plana
Se a Condutividade Térmica, k, do material for tida como CONSTANTE, a 
Equação pode ser integrada DUAS VEZES:
As Condições de Contorno são (Condições de Dirichlet): 
Constantes de Integração:
Substituindo na Eq. da Condução de Calor:
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
T(x) = C1x + C2
T(x=0) = Ts,1 T(x=L) = Ts,2
C2 = Ts,1 C1=
Ts,2 − Ts,1
L
T(x) = 
Ts,2 − Ts,1
L
x + Ts,1
Para a condução 1D em RP numa Parede Plana SEM 
Geração de Calor e Condutividade Térmica 
CONSTANTE, a Temperatura varia linearmente com “x”.
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Parede Plana
Utilizando a Distribuição de Temperaturas e aplicando na Lei de Fourier 
para a Taxa de Transferência de Calor:
Já para oFluxo de Calor:
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
A Taxa de Transferência de Calor por Condução, qx, e o Fluxo Térmico, q"x, são 
CONSTANTES, ou seja, independentes de “x”.
qx = −k A
dT
dx
= −kA
Ts,2 − Ts,1
L
q"x = 
k
L
(Ts,1−Ts,2)
qx = kA
Ts,1−Ts,2
L
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Proced. de Solução Problemas de Condução
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Aplicação das 
Condições de 
Contorno para 
obtenção da 
Solução 
Particular
Aplicação da Lei de 
Fourier para obtenção 
da Taxa de 
Transferência de Calor 
ou Fluxo de Calor
Obtenção da 
Distribuição de 
Temperaturas 
através da Eq. 
da Condução 
de Calor
3
1
2
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Atividade Formativa
EXERCÍCIOS DIRIGIDOS
(Análise das Condições de Contorno)
Exemplo 01 – Encontros 36 e 37
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Considere uma grande Parede Plana de espessura L = 0,2 m, com 
Condutividade Térmica de k = 1,2 W/m.K e Área de Troca Térmica igual 
a A = 15 m2. Os dois lados da parede são mantidos a Temperatura 
Constante de T1 = 120
oC e T2 = 50
oC, respectivamente, o que caracteriza 
uma Transferência de Calor em Regime Permanente. Determine:
(a) A expressão matemática que fornece 
a variação de Temperatura na Parede;
(b) O valor da Temperatura em x = 0,1 m, 
em °C;
(c) A Taxa de Condução de Calor pela 
parede sob Condições Permanentes, 
em W; e
(d) O Fluxo Térmico na Parede, em W/m². 
Exemplo 02 – Encontros 36 e 37
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Considere que a Placa de Base de um Ferro de Passar de 1200W tenha 
espessura L = 0,5 cm e Área da Base de 300 cm2, com k = 15 W/m.K. A 
Superfície Interna da placa é submetida a um Fluxo de Calor UNIFORME 
gerado pela Resistência Elétrica Interna, enquanto a Superfície Externa 
perde calor para o meio por Convecção (T∞ = 20
oC). Considere que o 
Coeficiente de Transferência de Calor por Convecção é h = 80 W/m².K e 
despreze a Perda de Calor por Radiação. 
Nestas condições, DETERMINE:
(a) A expressão que permite calcular a 
variação de Temperatura na Placa da Base 
do Ferro; e
(b) As Temperaturas nas Superfícies Interna e 
Externa da Placa da Base do Ferro, em °C. 
Exemplo 03 – Encontros 36 e 37
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Considere uma Tubulação de Vapor construída em Aço Carbono de 
Comprimento L = 20 m e Raio Interno r1 = 6 cm, Raio Externo r2 = 8 cm 
e Condutividade Térmica de k = 20 W/m.K. As Superfícies Interna e 
Externa são mantidas a Temperaturas CTES de T1 = 150°C e T2 = 60°C, 
respectivamente. Determine:
(a) A expressão para a 
distribuição de 
Temperatura no Interior da 
Parede do Tubo;
(b) A Taxa de Perda de Calor 
do vapor pela Tubulação; e
(c) Proponha uma solução 
para minimizar esta Perda 
de Calor. 
Exemplo 04 – Encontros 36 e 37
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Disciplina de Fenômenos de Transporte e Aplicações
Considere um Recipiente Esférico, como mostrado, possui Raio Interno 
de r1 = 8 cm, Raio Externo de r2 = 10 cm e valor de Condutividade 
Térmica igual k = 45 W/m.K. As Superfícies Interna e Externa do 
recipiente são mantidas a Temperaturas CTES de T1 = 200
oC e T2 = 80
oC, 
respectivamente, como resultado de uma Reação Química que está 
ocorrendo em seu interior. 
Determine:
(a) A expressão para a 
distribuição de 
Temperatura no Interior da 
Casca Esférica; e
(b) A Taxa de Perda de Calor 
pela Superfície da Esfera.