Portifólio - 4º bim - CICLO IV - MAT (1)

Prévia do material em texto

ORIENTAÇÕES 
 
Olá alunos e alunas! Preparamos algumas tarefas para vocês realizarem durante 
esse período de distanciamento social. Esse material é referente aos conteúdos 
trabalhados no 4º bimestre. As atividades estão divididas em quatro partes. A parte 1 
aborda o conteúdo Proporcionalidade. A parte 2 é sobre Potenciação e Notação Científica. 
A Parte 3 trata do assunto Funções. As partes 1, 2 e 3 contém um material explicativo e 
uma lista de exercícios de fixação ao final. Vocês deverão estudar com atenção o material 
explicativo e fazer os exercícios. Por fim, vocês deverão realizar a autoavaliação sobre esse 
bimestre e o conteúdo estudado. Vamos começar? 
 
Há muitas situações cotidianas, seja na vida, na ciência ou negócios que requerem o uso 
de razões e proporções. Por exemplo, na cozinha, se há a intenção de acrescentar ou 
diminuir algum ingrediente, as razões e proporções são usadas para determinar isso – "3 
ovos para cada duas colheres de farinha". 
1) RAZÃO 
A palavra razão significa quociente ou divisão. Assim, razão é o quociente entre dois 
números A e B, com B ≠ 0. A razão entre os números A e B pode ser dita "razão de A para 
B" e representada por 
𝐴
𝐵
 . 
Uma razão também pode identificada pela representação A : B. É importante saber que, 
em uma razão, A sempre será chamado de antecedente, enquanto B será sempre chamado 
de consequente. 
Exemplo: se uma bicicleta possui 54 dentes em uma coroa dianteira e 27 dentes na coroa 
traseira, a razão da marcha da bicicleta será 54 : 27 ou 2 : 1. Isso significa que a roda 
traseira gira duas vezes cada vez que o pedal gira uma vez. Então, se a razão for de 54 : 
11, por exemplo, a roda traseira vai girar aproximadamente cinco vezes para cada vez que 
 PARTE 1 – Proporcionalidade 
 
o pedal girar. 
Razão entre duas grandezas 
A razão entre duas grandezas, dadas em certa ordem, é razão entre a medida da primeira 
grandeza e a medida da segunda (sendo esta última diferente de zero). Se as grandezas 
que formam a razão são de uma mesma espécie, devemos apresentá-las em uma mesma 
unidade. Nesse caso, a razão é um número que não apresenta unidade de medida. 
Exemplo: a razão entre 12 metros e 15 metros é: 
12 𝑚
15 𝑚
=
12 ÷3
15 ÷3
=
4
5
 , ou seja, é 4 para 5. 
Se as grandezas que formam uma razão não são de uma mesma espécie, a unidade dessa 
razão vai depender das unidades das grandezas do antecedente e do consequente. 
Exemplo: o deslocamento diário de 140 quilômetros de casa para a fábrica onde trabalha, 
é percorrido por um operário em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo 
gasto em percorrê-la é: 
140 𝑘𝑚
2ℎ
=
140
2
 𝑘𝑚/ℎ = 70 𝑘𝑚/ℎ 
Podemos dizer que a velocidade média de seu meio de transporte nesse deslocamento é 
de 70 km/h. 
Algumas das principais razões usadas no nosso dia a dia são: 
a) Velocidade média = 
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑘𝑚)
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 (ℎ)
 
b) Densidade demográfica = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 (ℎ𝑎𝑏)
á𝑟𝑒𝑎 (𝑘𝑚2)
 
c) Escala = 
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
2) PROPORÇÃO 
Dados quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, proporção é a expressão 
Repare que simplificamos a razão 
por 3, pois o número 12 e 15 são 
divisíveis por 3. 
 
que indica uma igualdade entre duas ou mais razões e pode ser expressa da seguinte 
forma: 
𝐴
𝐵
= 
𝐶
𝐷
 
Uma proporção também pode ser expressa como a igualdade entre os produtos (A . D) e 
(B . C), da seguinte forma: 
𝐴 . 𝐷 = 𝐵 . 𝐶 
É importante saber que os números A, B, C e D são denominados termos, sendo que os 
números A e B são os dois primeiros termos e os números C e D são os dois últimos termos 
da relação de proporção. Os números A e C são os antecedentes de cada razão, enquanto 
os números B e D são os consequentes de cada razão que compõem a relação de 
proporção. Em uma relação de proporção A e D são os extremos e B e C são os meios. 
Além disso, a divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante K, denominada 
constante de proporcionalidade K da razão. 
Exemplo: em duas filiais de uma mesma empresa, nos serviços de escritório, foi 
diagnosticada a seguinte situação 
Filial 
Funcionários com curso de 
informática completo 
Total de funcionários 
A 6 8 
B 9 12 
A razão entre os funcionários que apresentam curso completo de informática e o número 
total de funcionários do escritório de cada filial é: 
𝐹𝑖𝑙𝑖𝑎𝑙 𝐴 →
6
8
=
6 ÷ 2
8 ÷ 2
=
3
4
 
𝐹𝑖𝑙𝑖𝑎𝑙 𝐵 →
9
12
=
9 ÷ 3
12 ÷ 3
=
3
4
 
Quando simplificamos cada uma das razões, encontramos um mesmo número, logo 
podemos afirmar que 
6
8
= 
9
12
 (ou 6 : 8 :: 9 : 12) . A leitura de cada uma dessas expressões 
Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
 
é a mesma: “6 está para 8 assim como 9 está para 12”. 
Assim, dados os números 6, 8, 9 e 12, nesta ordem, podemos afirmar que a razão entre os 
dois primeiros é igual à razão entre os dois últimos. A igualdade entre duas razões recebe 
um nome especial. Dizemos que, nessa mesma ordem, os números 6, 8, 9 e 12 formam 
uma proporção. 
Vimos que em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
Vamos verificar essa afirmação usando os dados do nosso exemplo. 
 
6 × 12 = 8 × 9 
72 = 72 
Quarta Proporcional 
Dados três números A, B e C, nesta ordem, é um número X para completar com os outros 
três uma relação de proporção, obtém-se: 
𝐴
𝐵
= 
𝐶
𝑋
 
Exemplo: quando aplicamos a propriedade fundamental na proporção 
3
4
= 
6
𝑥
 , temos: 
3 𝑥 = 4 × 60 
3 𝑥 = 240 
 𝑥 = 240 ÷ 3 
𝑥 = 80 
3) GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
Quando a variação de uma grandeza provoca uma variação em outra grandeza, dizemos 
que essas grandezas se relacionam. Como por exemplo, distância percorrida por um 
automóvel e a quantidade de combustível gasto ou a velocidade média e o tempo gasto 
para se fazer um determinado percurso. A variação em uma grandeza causa a variação na 
 
outra. De acordo com a relação entre essas duas grandezas, elas podem ser classificadas 
em grandezas diretamente proporcionais ou grandezas inversamente proporcionais. 
Grandezas diretamente proporcionais 
Segundo a NR 24, norma do Ministério do Trabalho e do Emprego que regula as condições 
sanitárias e de conforto nos locais de trabalho, cada empresa deve providenciar, por 
trabalhador, a quantidade de 60 litros de água para o consumo nas instalações sanitárias. 
Em uma empresa que obedece a essas normas foi construída a seguinte tabela: 
Filial A B C D E 
Número de funcionários 12 18 20 30 50 
Quantidade mínima de 
água necessária (em litros) 
720 1080 1200 1800 3000 
Note que: 
→ Enquanto uma grandeza aumenta, a outra também aumenta; 
→ Cada uma das razões entre a quantidade de água mínima necessária (litros) e o número 
de funcionários de cada unidade da empresa é sempre igual a 60, pois 
720
12
= 
1080
18
=
1200
20
=
1800
30
=
3000
50
= 60 
Dizemos, então, que as sequencias de números (720, 1080, 1200, 1800, 3000) e (12, 18, 
20, 30, 50) são diretamente proporcionais e que o coeficiente de proporcionalidade é 60. 
Grandezas inversamente proporcionais 
Em um serviço de entregas, um veículo de uma transportadora percorre certa distância em 
6 horas, a uma velocidade média de 40 km/h. Se sua velocidade média aumentasse para 
80 km/h, o tempo que se levaria para percorrer a mesma distância seria reduzido para 3 
horas. Ou seja: 
Velocidade média (km/h) 40 80 
 
Tempo de percurso (h) 6 3 
Note que: 
→ Aumentando em duas vezes a velocidade média, o tempo gasto para fazer o mesmo 
percurso diminui, é reduzido à metade. 
→ Enquanto uma grandeza aumenta, a outra diminui, ou seja, as grandezas variam em 
sentido contrário. 
As grandezas velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. As 
sequencias (40, 80) e (6, 3) são inversamente proporcionais. 
Listade Exercícios 
1) A idade de Pedro é 30 anos e a idade de Josefa é 45 anos. Qual é a razão entre as 
idades de Pedro e Josefa? 
________________________________________________________________________ 
2) Uma caixa de chocolate possui 250g de peso líquido e 300g de peso bruto. Qual é a 
razão do peso líquido para o peso bruto? 
________________________________________________________________________ 
3) (ENEM) Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a 
vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras 
não foram vendidas. A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do 
setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é: 
a) 
17
70
 
b) 
17
53
 
c) 
53
70
 
d) 
70
17
 
4) A razão entre as idades de um filho e seu 
pai é de 2 : 5 . Se o filho tem 24 anos, qual 
é a idade do pai? 
 
________________________________________________________________________ 
5) Para fazer um refresco, misturamos suco concentrado com água na razão de 3 para 5. 
Nessas condições, 9 copos de suco concentrado devem ser misturados com quantos 
copos de água? 
________________________________________________________________________ 
6) Um automóvel percorre 120 km com 15 litros de gasolina. Quantos litros serão 
necessários para percorrer 200 km? 
________________________________________________________________________ 
7) Analise cada afirmação abaixo e diga se é diretamente ou inversamente proporcional: 
a) A idade de uma pessoa e a massa de seu corpo. _________________________ 
b) A distância em que um carro a uma velocidade constante e o tempo de percurso. 
_____________________________________________________________________ 
c) A quantidade de pessoas para executar uma tarefa e o tempo para executá-la. 
_____________________________________________________________________ 
8) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições 
equivalentes, quantos litros de álcool esse mesmo carro consumirá para percorrer 840 
km? 
(A) 60 litros. (B) 70 litros. 
 
(C) 80 litros. 
 
(D) 90 litros. 
9) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas 
do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? 
(A) 10 kg. (B) 14 kg. 
 
(C) 20 kg. 
 
(D) 32 kg. 
 
 
A notação científica é uma forma de escrever números usando potência de 10. É utilizada 
para reduzir a escrita de números que apresentam muitos algarismos. Números muito 
pequenos ou muito grandes são frequentemente encontrados nas ciências em geral e 
 PARTE 2 – Potenciação e Notação Científica 
 
escrever em notação científica facilita fazer comparações e cálculos. 
Um número em notação científica apresenta o seguinte formato: 
Exemplos: 
6 590 000 000 000 000 = 6,59 ∙ 1015 
0, 000000000016 = 1,6 ∙ 10–11 
 
Transformando um número em notação científica 
1º Passo: Escrever o número na forma decimal, com apenas um algarismo diferente de 0 
na frente da vírgula. 
2º Passo: Colocar no expoente da potência de 10 o número de casas decimais que tivemos 
que "andar" com a vírgula. Se ao andar com a vírgula o valor do número diminuiu, o 
expoente ficará positivo, se aumentou o expoente ficará negativo. 
3º Passo: Escrever o produto do número pela potência de 10. 
Exemplos 
1) Transformar o número 32 000 em notação científica. 
• Primeiro "andar" com a vírgula, colocando-a entre o 3 e o 2, pois desta forma ficaremos 
apenas com o algarismo 3 antes da vírgula; 
3,2 000 
• Para colocar a vírgula nesta posição verificamos que tivemos que "andar" 4 casas 
decimais, visto que nos números inteiros a vírgula se encontra no final do número. 
Neste caso o 4 será o expoente da potência de 10. 
• Escrevendo em notação científica: 
3,2 ∙ 104 
2) A massa de um elétron é de aproximadamente 0,000000000000000000000000000911 
g. Transforme esse valor para notação científica. 
• Primeiro "andar" com a vírgula, colocando-a entre o 9 e o 1, pois desta forma ficaremos 
apenas com o algarismo 9 (que é o primeiro algarismo diferente de 0) antes da vírgula; 
0 0000000000000000000000000009,11 
 
• Para colocar a vírgula nesta posição "andamos" 28 casas decimais. É necessário 
lembrar que ao colocar a vírgula depois do 9, o número ficou com um valor maior, então 
para não modificar seu valor o expoente ficará negativo; 
• Escrevendo a massa do elétron em notação científica: 
9,11 ∙ 10-28 g 
Lista de Exercícios 
1) A massa do Sol é de 1 980 000 000 000 000 000 000 000 000 toneladas e a massa da 
Terra é de 5 980 000 000 000 000 000 000 000 quilogramas. 
a) Escreva em notação científica a massa do Sol e a massa da Terra em quilos. 
________________________________________________________________________ 
b) Quantas vezes a massa do Sol é maior que a massa da Terra? 
________________________________________________________________________ 
2) A velocidade da luz, é de cerca de 300000 km por segundo. Nota: Escreva todos os 
números em notação científica. 
a) Que distância percorre num minuto? 
________________________________________________________________________ 
b) E numa hora? 
________________________________________________________________________ 
c) E num dia? 
________________________________________________________________________ 
d) E num ano? 
________________________________________________________________________ 
3) Um micrómero (um) é a milionésima parte de um metro ( 10⁻⁶ m) e um nanómetro (nm) 
é a bilionésima parte de um metro ( 10⁻9). Considere uma bactéria que tem de 
comprimento 5 um e um vírus que tem 5 nm de comprimento. Usando a notação 
científica, determine qual dos organismos é maior. 
 
________________________________________________________________________ 
 
Noção de função 
A noção de função está presente em muitas situações do cotidiano. Trata- -se de um 
conceito matemático que possibilita analisar como duas grandezas envolvidas em 
determinado fato ou fenômeno se relacionam. As situações a seguir apresentam algumas 
noções relacionadas à ideia de função. 
Situação 1. O Imposto de Renda é calculado de acordo com a faixa salarial. Confira as 
alíquotas cobradas em cada faixa. 
Tabela de Imposto de Renda 
Faixa salarial mensal (R$) Alíquota (%) 
Até R$ 1.903,99 Isento de pagamento 
De 1.903,99 até 2.826,65 7,5% 
De 2.826,66 até 3.751,05 15% 
De 3.751,06 até 4.664,68 22,5% 
Acima de 4.664,68 27,5% 
De acordo com a tabela, a alíquota a ser paga depende da faixa de salário mensal, ou seja, 
a alíquota está em função da faixa de salário. Note que acima de R$4.664,68, não dá 
diferença de alíquota. Isso significa que um magistrado (juízes e desembargadores) do 
Estado da Paraíba, que recebem em média um salário mensal de R$25.000,00 tem a 
mesma alíquota do que um professor da rede estadual que atua em uma escola integral e 
tem salário de R$ 5.060. 
Situação 2. O comprimento C de um círculo depende de seu raio r. Diz-se que C é uma 
função de r. A fórmula matemática que permite calcular o valor de C é dada por 𝐶 = 2 ∙ 𝜋 ∙
𝑅. Essa é a lei de correspondência que faz cada valor positivo de r corresponder a um único 
valor de C. 
PARTE 3 – Função 
 
Situação 3. A temperatura T registrada em ºC pelo Instituto Nacional de Meteorologia 
(Inmet) durante um dia de primavera é uma função do tempo t dado em horas. 
 
Embora não haja uma fórmula matemática simples que relacione as duas grandezas, essa 
situação descreve uma lei segundo a qual para cada período de tempo t há uma única 
temperatura T registrada. Nessa função, a temperatura depende do tempo e, por isso, é 
chamada de variável dependente. Já o tempo, como não depende de nada, é chamado de 
variável independente. 
Tabelas, fórmulas e gráficos são as formas mais comuns utilizadas para representar uma 
função, como foi mostrado em cada uma das situações aqui apresentadas. 
Definiçãode função 
Dada duas variáveis x e y, em que x é a variável independente e y a variável dependente 
de x, se para cada valor de x é possível associar um único valor de y, então y está em 
função de x. 
Uma função ƒ é uma lei que faz cada elemento x de um conjunto A corresponder a um único 
elemento y de um conjunto B. 
 
 
 
São válidas as notações a seguir. 
• ƒ: A → B 
Lê-se: função ƒ de A em B, ou aplicação ƒ de A em B, ou transformação ƒ de A em B. 
• x ⟼ y 
Lê-se: a função ƒ transforma (ou leva) x em y. 
Uma função pode ser entendida de duas maneiras: como uma relação que leva, ou como 
uma relação que transforma ou produz. 
No exemplo abaixo, temos uma relação que leva os elementos do conjunto ℕp para o 
conjunto ℕ. Repare que os elementos do conjunto ℕp são os números pares e cada um 
deles está associado a apenas um elemento do conjunto ℕ. 
 
Essa relação ƒ é uma função que leva cada elemento dos números pares a um único 
elemento do conjunto dos números naturais. 
A relação que transforma ou produz pode ser pensada como uma máquina que aceita na 
entrada números naturais e como saída é produzido o triplo desses números. O número 
que sai depende do número que entra. Assim, a máquina representa uma função ƒ que, a 
 
partir de x, produz y. Também pode ser dito que representa uma função ƒ que transforma 
cada número x em um número y tal que y = 3x. 
Lei de correspondência 
Exemplo: um técnico que presta serviços de manutenção de computadores em residências 
cobra uma taxa fixa de R$ 35,00 pela visita e R$ 10,00 por hora trabalhada. Encontre a lei 
de correspondência que relaciona o valor pago pelo serviço prestado e as horas de trabalho 
desse técnico. 
Vamos construir uma tabela com os valores cobrados e a duração do serviço prestado. 
Duração do 
serviço (d) 
Taxa variável Taxa fixa Valor cobrado 
1h R$10 ∙ 1 = R$10 R$35 R$35 + R$10 = R$45 
2h R$10 ∙ 2 = R$20 R$35 R$35 + R$20 = R$55 
3h R$10 ∙ 3 = R$30 R$35 R$35 + R$30 = R$65 
4h R$10 ∙ 4 = R$40 R$35 R$35 + R$40 = R$75 
Podemos perceber que a cada hora de serviço prestado, o valor total aumenta R$10. Assim, 
escrevemos a lei de correspondência dessa situação da seguinte maneira: 
V = R$35 + R$10 ∙ d 
Onde V representa o valor cobrado e d representa a duração do serviço prestado. 
Lista de Exercícios 
1) Tendo como base a situação do exemplo anterior, responda: 
a) Qual é o valor de um serviço iniciado às 15h 45min e concluído às 17h 45min? 
________________________________________________________________________ 
b) Quantas horas esse técnico trabalhou, sabendo que ele recebeu R$ 75,00 pelo serviço? 
 
________________________________________________________________________ 
c) Qual é a variável dependente da lei obtida no item c? E a variável independente? 
________________________________________________________________________ 
2) Na tabela a seguir, o preço do combustível está em função do volume do 
abastecimento. 
a) Escrever a lei de correspondência que associa o preço do combustível (P) e o volume 
(V). 
_______________________________________ 
b) Determinar o valor pago por 7 litros de combustível. 
________________________________________________________________________ 
c) Determinar o volume de combustível que corresponde ao preço de R$ 60,00. 
________________________________________________________________________ 
3) (Enem–2008–Adaptado) A figura abaixo representa o boleto de cobrança da 
mensalidade de uma escola referente ao mês de junho de 2008. Temos que M(x) é o valor, 
em reais, da mensalidade a ser paga, e x é o número de dias em atraso. Determine a função 
que oferece o valor do boleto para pagamento com atraso, e calcule o valor de uma 
mensalidade com 12 dias de atraso. 
________________________________ 
________________________________ 
________________________________ 
 
________________________________ 
Queremos saber: o que você achou das tarefas? Foi fácil ou difícil fazer elas? O que você 
achou das explicações e exemplos? Como você avalia seu compromisso com o estudo? 
Como foi sua dedicação para com a realização das tarefas? Nesse espaço, queremos que 
você avalie as tarefas e você mesmo. Queremos saber sua opinião, críticas e sugestões 
para as próximas tarefas. Procure responder com bastante honestidade! 
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________ 
PARTE 4 – Autoavaliação