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Variáveis Aleatórias Cont́ınuas
Definição, Esperança e Variância
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Introdução
De modo geral, podemos dizer que as variáveis aleatórias cujos valo-
res resultam de algum processo de mensuração são variáveis aleatórias
cont́ınuas.
Por exemplo:
1 O peso ou a altura das pessoas de uma cidade;
2 A demanda de energia de uma empresa;
3 O tempo de vida útil de um equipamento eletrônico;
4 Erros de medidas em geral, resultantes de experimentos em laboratórios.
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Variáveis Aleatórias Cont́ınuas
Definição 1
Dizemos que X é uma v.a. cont́ınua se existir uma função f , denominada função
densidade de probabilidade (f.d.p.) de X, que satisfaça às seguintes condições:
(a) f(x) ≥ 0, ∀x e (b)
∫ +∞
−∞
f(x)dx = 1.
Ilustração:
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Observações
Se X é uma variável aleatória cont́ınua, então:
(i) Para quaisquer a, b, com −∞ < a < b < +∞, teremos
P (a < X < b) =
∫ b
a
f(x)dx.
(ii) P (X = k) = 0, onde k é qualquer valor real.
(iii) P (a < X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a ≤ X ≤ b).
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Exemplo 1
O consumo de combust́ıvel de um certo automóvel é uma variável aleatória
X, medida em km/l. Admita que a função densidade de probabilidade
(f.d.p.) dessa variável é expressa pela seguinte função:
f(x) =
 x− 10, se 10 < x < 11,12− x, se 11 ≤ x < 12,
0, caso contrário.
(a) Mostre que a função acima é, de fato, uma f.d.p..
(b) Qual a probabilidade do consumo desse automóvel ser no ḿınimo
10, 5 km/l?
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Exemplo 1(a): Solução.
Observe que f(x) ≥ 0, ∀x, pois
para 10 < x < 11 temos que f(x) = (x− 10) > 0;
para 11 ≤ x < 12 temos que f(x) = (12− x) > 0;
para x ≤ 10 ou x ≥ 12 temos que f(x) = 0.
Por outro lado, temos que∫ +∞
−∞
f(x)dx =
∫ 10
−∞
f(x)dx+
∫ 11
10
f(x)dx+
∫ 12
11
f(x)dx+
∫ +∞
12
f(x)dx
=
[
x2
2
− 10x
]11
10
+
[
12x− x
2
2
]12
11
=
1
2
+
1
2
= 1.
Logo, a função f é, de fato, uma f.d.p., como queŕıamos mostrar.
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Exemplo 1(b): Solução.
A probabilidade do consumo desse automóvel ser no ḿınimo 10, 5 km/l é
P (X ≥ 10, 5) =
∫ +∞
10,5
f(x)dx =
∫ 11
10,5
f(x)dx+
∫ 12
11
f(x)dx+
∫ +∞
12
f(x)dx
=
∫ 11
10,5
(x− 10)dx+
∫ 12
11
(12− x)dx
=
[
x2
2
− 10x
]11
10,5
+
[
12x− x
2
2
]12
11
=
3
8
+
1
2
=
7
8
= 0, 875.
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Valor Médio (Valor Esperado, Esperança)
Definição 2
Seja X : Ω → RX uma variável aleatória cont́ınua e f sua respectiva
função densidade de probabilidade (f.d.p.). Definimos o valor médio de
X, e denotamos por µ ou E(X), da seguinte maneira
µ = E(X) =
∫ +∞
−∞
x · f(x)dx.
Observação: Pode acontecer que a integral imprópria acima seja diver-
gente. Neste caso dizemos que a variável X não possui valor esperado.
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Observações
(1) Se X ≥ 0 então E(X) ≥ 0.
(2) Se X é uma v.a. e a e b são constantes reais quaisquer, então
E(aX + b) = aE(X) + b.
(3) Em geral, E(Xk) 6= [E(X)]k qualquer que seja k ∈ N e k 6= 1. Como também, em
geral,
E[ln(X)] 6= ln[E(X)] e E[exp (X)] 6= exp [E(X)].
(4) Dada uma v.a. cont́ınua X e a respectiva f.d.p. f , o valor esperado da função
h(X) é dado por
E[h(X)] =
∫ +∞
−∞
h(x) · f(x)dx.
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Exemplo 2
O consumo de combust́ıvel de um certo automóvel é uma variável aleatória
X, medida em km/l. Admita que a densidade de probabilidade dessa
variável é expressa pela seguinte função:
f(x) =
 x− 10, se 10 < x < 11,12− x, se 11 ≤ x < 12,
0, caso contrário.
Calcule o valor esperado de X.
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Exemplo 2: Solução.
O valor esperado de X é
E(X) =
∫ +∞
−∞
x · f(x)dx
=
∫ 10
−∞
x · f(x)dx+
∫ 11
10
x · f(x)dx+
∫ 12
11
x · f(x)dx+
∫ +∞
12
x · f(x)dx
=
∫ 11
10
x · (x− 10)dx+
∫ 12
11
x · (12− x)dx
=
[
x3
3
− 5x2
]11
10
+
[
6x2 − x
3
3
]12
11
=
16
3
+
17
3
= 11 km/l.
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Variância
Definição 3
Seja X : Ω → RX uma variável aleatória cujo valor médio µ = E(X)
existe. Definimos a variância de X, e indicamos Var(X), por
Var(X) = E[(X − µ)2].
Observação: A variância de uma v.a. X é um parâmetro associado à distribuição de
probabilidade que traz informações sobre a dispersão dos posśıveis valores de X em torno
do valor esperado µ = E(X), quando o mesmo existe.
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Observações
(1) Dado que (X − µ)2 ≥ 0 segue que Var(X) ≥ 0.
(2) Uma fórmula alternativa para o cálculo da variância é dada por Var(X) = E(X2)− µ2.
(3) Se X é uma v.a. cont́ınua com função densidade de probabilidade f então
Var(X) = E(X2)− µ2, em que E(X2) =
∫ +∞
−∞
x2 · f(x)dx.
(4) Se X é uma v.a. cuja variância existe e a e b são constantes reais quaisquer, então
Var(aX + b) = a2 · Var(X).
(5) Dado que Var(X) ≥ 0, definimos o desvio padrão de X por DP(X) =
√
Var(X).
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Exemplo 3
O consumo de combust́ıvel de um certo automóvel é uma variável aleatória
X, medida em km/l. Admita que a densidade de probabilidade dessa
variável é expressa pela seguinte função:
f(x) =
 x− 10, se 10 < x < 11,12− x, se 11 ≤ x < 12,
0, caso contrário.
Calcule a variância e o desvio padrão da v.a. X.
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Exemplo 3: Solução.
Já vimos, no Exemplo 2, que µ = E(X) = 11 km/l. Por outro lado, temos que
E(X2) =
∫ +∞
−∞
x2 · f(x)dx =
∫ 11
10
x2 · (x− 10)dx+
∫ 12
11
x2 · (12− x)dx
=
[
x4
4
− 10x
3
3
]11
10
+
[
4x3 − x
4
4
]12
11
=
683
12
+
257
4
=
727
6
(km/l)2.
Logo,
Var(X) = E(X2)− µ2 = 727
6
− 112 = 1
6
(km/l)2 e
DP(X) =
√
Var(X) =
√
1/6 ' 0, 4082 km/l.
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Bibliografia
Estat́ıstica Básica (7ª edição). Wilton O. Bussab e Pedro A. Morettin (2011).
Editora Saraiva.
Noções de Probabilidade e Estat́ıstica (4ª edição). Marcos N. Magalhães e Antonio
C. P. de Lima. (2002). Edusp.
Probabilidade, Aplicações à Estat́ıstica (2ª edição). Paul L. Meyer (1995). LTC.
Dale Carnegie
Muitas das coisas mais importantes do mundo foram conseguidas por pessoas que con-
tinuaram tentando quando parecia não haver mais nenhuma esperança de sucesso.
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