MAPA - ENG PROD - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - 54 2020

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MAPA - ENG PROD - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - 54/2020 
Curso: Engenharia de Produção Prof. Mediador: Deyvid Oliveira 
Aluno: Tcharles Jonathan de Quadros Souza RA: 20097502-5 
 
 
QUESTÃO 1 
As otimizações de processos envolvendo fatores como custos, quantidade de material, 
tempo de operação, disponibilidade de mão de obra, entre outros, são aplicações práticas 
muito úteis relacionadas às derivadas primeiras, e segundas, de uma função. O 
procedimento corresponde, basicamente, a “traduzir” as informações disponíveis como 
uma função dependente dos fatores que se deseja otimizar e, então, aplicar os conceitos 
de derivada e ponto crítico. 
Suponha que você foi contratado como estagiário em uma empresa que faz instalação de 
dutos, tubos, canos e sistemas de bombeamento, e que sempre participa das atividades de 
instalação como auxiliar. Para uma determinada instalação, que será feita na zona rural, a 
seguinte situação surgiu: 
 
 
O proprietário decidiu que seria instalado um único sistema, que iria do açude mais próximo 
para a plantação (irrigação) e depois abasteceria a casa (dessedentação de animais, 
limpeza geral e sanitários, por exemplo). Para esse caso, as informações disponíveis são: 
 
 
Para esse caso, considere: 
- Distância vertical entre a casa e a plantação de 400 metros, a distância vertical entre o 
açude e a plantação de 600 metros e a distância horizontal entre o açude e a casa de 1000 
metros; 
- A bomba próxima à plantação pode ser instalada mais perto do açude ou da casa, 
dependendo do resultado da otimização; 
- As linhas em azul representam a tubulação. 
 
Agora é com você, ajude no processo de escolha da melhor forma de instalação desse 
sistema, ou seja, com o menor comprimento de canos, respondendo aos seguintes 
questionamentos: 
 
a) Qual a função que descreve o comprimento de tubulação que parte do açude, 
passa pela plantação e segue para a casa? 
 
𝑌1.2 = √0,42 + (1 − 𝑋)2 + √0,62 + 𝑋 = √𝑋2 − 2𝑋 + 1,16 + √𝑋2 + 0,36 
 
𝒀𝟏. 𝟐 = √𝑿𝟐 − 𝟐𝑿 + 𝟏, 𝟏𝟔 + √𝑿𝟐 + 𝟎, 𝟑𝟔 
 
 
 
 
Y1 
Y2 
1-X X 
 
 
b) Qual o menor tamanho de tubulação necessária para se fazer a instalação 
segundo a decisão do proprietário? (otimizar a função da letra “a”) 
=√𝑋2 − 2𝑋 + 1,16 + √𝑋2 + 0,36 
 
𝑦′ =
1
2√𝑥2−2𝑥+1,16
(2𝑥 − 2) +
1
2√𝑋2+0,36
(2𝑥) 𝑦 =
1
2√𝑥2−2𝑥+1,16
2(𝑥 − 1) +
1
2√𝑋2+0,36
2(𝑥) 
 
Y= 
𝑋−1
√𝑥2−2𝑥+1,16
+
𝑋
√𝑋2+0,36
= 0 𝑦 =
(𝑋−1)2
√𝑥2−2𝑥+1,16
2 = −
𝑋2
√𝑥2+0,36
2 
 
𝑦 =
𝑋2 − 2𝑋 + 1
𝑋2 − 2𝑋 + 1,16
=
𝑋2
𝑋2 + 0,36
 
 
Y = 𝑋2 − 2𝑋 + 1(𝑋2 + 0,36) = 𝑋2(𝑋2 − 2𝑋 + 1,16) 
 
Y = X2 + 0,36𝑋2 − 2𝑋3 − 0,72𝑋 + 𝑋2 + 0,36 = 𝑋4 − 2𝑋3 + 1,16𝑋2 
 
𝐘 = 𝟎, 𝟐𝐗𝟐 − 𝟎, 𝟕𝟐𝑿 + 𝟎, 𝟑𝟔 = 𝟎 
 
−𝑏±√∆
2.𝑎
 √∆= 0,48 
0,72 ± 0,48
0,4
=
𝑥′ = 3
𝑥′′ = 0,6
 
0≤x≤1 x=0,6 
 
𝑌 = √𝑋2 − 2𝑋 + 1,16 + √𝑋2 + 0,36 
 
𝒀 = √𝟎, 𝟔𝟐 − 𝟐. 𝟎, 𝟔 + 𝟏, 𝟏𝟔 + √𝟎, 𝟔𝟐 + 𝟎, 𝟑𝟔 = √𝟎, 𝟑𝟐 + √𝟎, 𝟕𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟔𝟓𝟔 + 𝟎, 𝟖𝟒𝟖𝟓 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒21 
R: O menor tamanho de tubulação necessária para se fazer a instalação segundo a 
decisão do proprietário é de 1,41421 km (1.414,21m). 
 
 
 
c) Considerando que o metro de tubulação custa R$ 5,00, que a bomba do açude 
custa R$ 800,00, que a bomba posicionada próxima a irrigação custa R$ 650,00 
e que a mão de obra da empresa para o procedimento de instalação foi de 
R$500,00, calcule o custo total. 
Tubulação: 1.41421m x R$5,00 = R$7.071,05. 
Bombas: R$800,00 + R$650,00 = R$ 1.450,00 
Mão de obra: R$500,00 
O custo total do projeto será de: R$9.021,05