Espectro de frequência de sinal não periódico

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Espectro de frequência de sinal não periódico
I. Objetivo
Avaliar funções discretas e cont́ınuas e o comportamento
das mesmas no domı́nio das frequências.
II. Introdução
A transformada de Fourier é utilizada para transformar
uma função no domı́nio tempo em uma função no domı́nio
das frequências. Neste trabalho, serão avaliado dois casos,
sendo estes uma função periódica e outra não-periódica.
III. Discussão de resultados
A. Espectro de frequência de sinal periódico
Inicialmente, tem-se três sinais sinoidais, sendo estes:
Sinal A f
s0 1 50
s1 3 100
s2 2 200
A função desejada é a soma desses três sinais, esses sinais
foram amostrados a uma frequência de 3kHz com 180
amostras. Com esses sinais amostrados, gera-se o seguinte
gráfico:
Figura 1: Representação dos sinais
Em vermelho, temos o sinal s0, em verde, temos sinal
s1, em azul, temos o sinal s2 e em roxo, temos o sinal
resultante. Em seguida, calcula-se o espectro de frequência
do sinal resultante.
Documento enviado em Abril 5 de 2019
Figura 2: Espectro de Frequência
O espectro esperado é condizente com o espectro teórico.
Nota-se a presença de 3 picos, com amplitudes condizentes
a aquelas da tabela, localizados nas frequências da tabela.
A forma triangular do espectro se deve ao número de
amostras de frequência, visto que o MATLAB completa
o espaço entre pontos com uma reta que os conecta.
Em seguida, o numero de amostras é alterado para 200,
obtendo-se dois novos gráficos.
Figura 3: Representação dos sinais
Nota-se uma grande diferença entre os pontos finais
e iniciais desses sinais. Essa diferença quebra o compor-
tamento periódico do sinal, espalhando esse erro para o
espectro de frequência.
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Figura 4: Espectro de Frequência
Nota-se que este gráfico não representa o espectro de
frequência esperado corretamente. Nota-se a presença de
frequências muito além da largura de banda do sinal e a
amplitude incorreta nos picos.
B. Espectro de frequência de sinal não-periódico
Em seguida, para avaliar o espectro de frequência de
sinais não-periódicos, foi utilizada um pulso retângular de
amplitude 2 e comprimento 1.
Figura 5: Pulso retângular
Aplicando a transformada de Fourier e tirando o módulo
da função resultante, obtemos o espectro de frequência
deste pulso.
Figura 6: Espectro de frequência
Em seguida, utiliza-se o MATLAB e a transformada
rápida de Fourier para obter um espectro de frequência.
Figura 7: Espectro de frequência
Ao analisar ambas figuras, percebe-se sua semelhança.
Novamente, a segunda figura gerada pela FFT tem um
comportamento mais triangular, devido a maneira como
o MATLAB forma figuras, porém, as frequências e ampli-
tudes dos picos são condizentes com o espectro anaĺıtico.
Repete-se o processo para comprimento de T=0.1, obtendo
as seguintes figuras:
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Figura 8: Pulso retângular
Figura 9: Espectro de frequência
Figura 10: Espectro de frequência
IV. Conclusão
Em geral, nota-se dois comportamentos distintos ao
avaliar os dois diferentes tipos de função. Uma função
periódica tem um espectro discreto, isto é, formada por
pontos em intervalos unitários. Em contrapartida, funções
não-periódicas tem um espectro cont́ınuo, ou seja, com um
intervalo infinitesimal entre cada ponto. Adicionalmente,
ao utilizar uma FFT, nota-se a importância de manter
o comportamento periódico da amostra, para evitar o
espalhamento de erros no espectro de frequência, como
observado na analise do espectro da função composta de
sinoides.