SLIDE Estatística

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Unidade I
ESTATÍSTICA
Profa. Adriana Bertolino
Introdução Histórica
 Os homens, desde a antiguidade, vem 
fazendo registros de dados que 
consideram importantes. Geralmente 
estes dados eram ligados a interesses 
do Estado, tais como: número de 
habitantes riquezas do povo etchabitantes, riquezas do povo, etc.
 A partir do século XVI surgiram as 
primeiras tábuas e registros organizados 
de fatos sociais. Ex.: casamentos e 
batizados.
 Somente no século XVIII a Estatística 
foi denominada como o estudo 
matemático de catalogação de 
dados numéricos coletivos.
Conceitos Básicos
 Estatística Descritiva: responsável 
pela coleta, organização e descrição 
dos dados.
 Estatística Indutiva: responsável pela 
análise e interpretação dos dados.
 Dados: são informações obtidas a partir 
de medições, resultados de pesquisas, 
contagens e levantamentos em geral.
Exemplos: 
 número de alunos de uma sala número de alunos de uma sala
 número de famílias carentes
Conceitos Básicos
 Dados (variáveis) qualitativos: são dados 
compostos de qualquer informação não 
numérica. Exemplos: estado civil 
(solteiro, casado)
 Dados (variáveis) quantitativos: são 
dados compostos de informações 
numéricas . Exemplos: número de filhos 
(1, 2, 3,...).
Conceitos Básicos
 População: é o conjunto de entes 
portadores de, no mínimo, uma 
característica comum. A população pode 
ser finita ou infinita.
 Amostra: corresponde ao subconjunto 
finito e representativo de uma população.
Conceitos Básicos
Exemplo: 
 Queremos obter informações sobre 
a audiência de certo programa 
de televisão.
 A população corresponde ao númeroA população corresponde ao número 
total de domicílios que possuem TV.
 A amostra é o conjunto de domicílios 
que serão visitados.
Conceitos Básicos
 O método utilizado para a escolha da 
amostra chama-se amostragem.
Os métodos de amostragem são:
 Amostragem simples (ou aleatória)
 Amostragem sistemática Amostragem sistemática
 Amostragem estratificada
Interatividade
Ao nascer, os bebês são pesados e 
medidos, para se saber se estão dentro das 
tabelas de peso e altura esperados. Essas 
duas variáveis são:
a) Qualitativas.
b) Ambas discretas.
c) Ambas contínuas.
d) Contínua e discreta, respectivamente.
e) Discreta e contínua, respectivamente.
Distribuição de frequências
 Exemplo: O rol em seguida apresenta 
o número de veículos por residência 
para um determinado bairro de uma 
cidade muito pequena: 
 Construa uma distribuição de 
frequências contendo: fi e fri.
Distribuição de frequências
______________________________
Número de carros fi fri
0 6 0,15
1 13 0,325
2 9 0,225
3 8 0,20
___ 4____________4____0,10_
40 1
ObObs:
6/40 = 0,15 13/40 = 0,325 9/40 = 0,225
8/40 = 0,20 4/40 = 0,10
Distribuição de frequências
 Exemplo: Abaixo estão apresentadas as 
estaturas de 40 alunos:
150 155 160 162 166
151 156 160 162 167
152 156 160 163 168152 156 160 163 168
153 156 160 163 168
154 157 161 164 169
155 158 161 164 170
155 158 161 164 172155 158 161 164 172
155 160 161 165 173
Construa a distribuição de frequências.
Distribuição de frequências
Fórmulas:
Amplitude total: 
AA = 173 – 150 = 23 
Número de classes:
logo a distribuição terá 6 classes.
Amplitude da classe: 
h AA/k 23/6 3 83h = AA/k = 23/6 = 3,83 
Logo a amplitude de classes deve ser 4.
Distribuição de frequências
Utilize o menor valor: 150
Some o valor da amplitude da classe, da
seguinte forma:
Cálculo Classes
150 + 4 = 154 150 ├ 154150 + 4 = 154 150 ├ 154
154 + 4 = 158 154 ├ 158
158 + 4 = 162 158 ├ 162
162 + 4 = 166 162 ├ 166
166 + 4 = 170 166 ├ 170166 + 4 = 170 166 ├ 170
Distribuição de frequências
__________________________________
Estaturas__ _ fi fri Fi___
150 ├ 154 4 0,1 4
154 ├ 158 9 0,225 13
├158 ├ 162 11 0,275 24
162 ├ 166 8 0,20 32
166 ├ 170 5 0,125 37
170 ├ 174_____ 3_____ 0,075 ___40_
40 1______________40________1________
Interatividade
Considere a 
tabela apresentada
ao lado:
Nº de carros fi
0 2
1 9
2 5
3 2
4 2
A porcentagem de residências que 
possuem 3 carros é igual a:
a) 2%
b) 5%
∑ 20
b) 5%
c) 10%
d) 15%
e) 20%
Histograma 
 O histograma também é conhecido por 
gráfico de coluna.
Polígono de frequências
 O polígono de frequências é obtido 
ligando os pontos médios das 
colunas do histograma.
Medidas de tendência central 
Média, Mediana e Moda
Para dados não agrupados
Exemplo: As notas de um aluno em uma 
determinada disciplina durante o ano foram: 
3,5; 5,0; 6,5; 6,5 e 8,5. Calcule a nota média, a 
moda e a mediana do aluno na disciplina.
Solução:
= 3,5 + 5,0 + 6,5 + 6,5 + 8,5 = 30 = 6,0
5 5
Mo = 6,5 (número que mais aparece)
Me = 6,5 (número que se encontra no centro)
Medidas de tendência central 
Média, Mediana e Moda
Para dados agrupados sem intervalo de 
classe
Exemplo: Dada a distribuição de frequência 
abaixo, calcule a média, a mediana e a 
moda.
Nº d fiNº de carros fi
0 2
1 9
2 5
3 2
4 2
∑ 20
Solução: Mo = 1 (número que mais aparece)
∑ 20
Medidas de tendência central 
Média, Mediana e Moda
Nº d fiNº de carros fi
0 2
1 9
2 5
3 2
4 2
∑ 20
= 0x2 + 1x9 + 2x5 + 3x2 + 4x2 = 33 = 1,65
20 20
Mediana
T t l d l t /2 20/2 10
∑ 20
Total de elementos/2 = 20/2 = 10
10º elemento = 1
Me = 1
Medidas de tendência 
central Média
Para dados agrupados com intervalo de 
classe
Exemplo:
Considerando a
distribuição de
Estaturas 
(cm)
fi
150├ 154 4
154├ 158 15distribuição de
frequências ao lado,
determine a média.
Solução:
154├ 158 15
158├ 162 11
162├ 166 10
∑ 40
Solução:
=152x4 + 156x15 + 160x11 + 164x10=158,7
40
Interatividade
Considere a distribuição de
frequências ao lado.
Determine a alternativa
que apresenta a média
xi fi
10 1
11 3
12 4
13 5
14 7
e a moda desta distribuição.
a) Média = 10 e Moda = 10
b) Média = 12,7 e Moda = 14
) Médi 13 M d 11
20
c) Média = 13 e Moda = 11
d) Média = 13, 5 e Moda = 14
e) Média = 14 e Moda = 10
Medidas de dispersão: dados não 
agrupados
Exemplo: Calcule a variância, o desvio
padrão e o coeficiente de variação para os
dados abaixo.
3,5 5,0 6,5 9,0
Solução: Média = = 24/4 = 6,0Solução: Média 24/4 6,0
xi xi- (xi- )2
3,5 3,5 - 6 = -2,5 (-2,5)2 = 6,25
5,0 5 - 6 = -1 (-1)2 = 1
6,5 6,5 – 6 = 0,5 (0,5)2 = 0,25( )
9,0 9 - 6 = 3 (3)2 = 9
24 ∑(xi- )2 = 16,5
Medidas de dispersão: dados não 
agrupados
Variância:
3
Desvio padrão:
Coeficiente de variação: 
CV = 2,03 x 100 = 33,44%
6
Medidas de dispersão: dados 
agrupados sem intervalo de classe
Exemplo: Determine a variância, o desvio
padrão e o coeficiente de variação, dada a
distribuição abaixo.
Nº de carros fi
0 20 2
1 9
2 5
3 2
4 2
∑ 20
Solução:
= 0 + 9 + 10 + 6 + 8 = 1,65
20
∑
Medidas de dispersão: dados 
agrupados sem intervalo de classe
Nº de 
carros
fi xi- (xi- )2 (xi - )2.fi
0 2 1,65 2,72 2,72 x 2 = 5,44
1 9 - 0,65 0,42 0,42 x 9 = 3,78
2 5 0,35 0,12 0,12 x 5 = 0,60
3 2 1 35 1 82 1 82 x 2 = 3 64
Variância Desvio padrão
3 2 1,35 1,82 1,82 x 2 = 3,64
4 2 2,35 5,52 5,52 x 2 = 11,04
∑ 20 ∑(xi- )2.fi = 24,5
Coeficiente de variação:
CV = 1,11 x 100 = 67,27%
1,65
19
Medidas de dispersão: dados 
agrupados com intervalo de classe
Exemplo: Considere os dados abaixo. 
Calcule a variância e o desvio padrão.
Estaturas 
(cm)
fi
150├ 154 4
├154├ 158 9
158├ 162 11
162├ 166 8
166├ 170 5
170├ 174 3
∑ 40
Solução:
= 6440 = 161
40
Medidas de dispersão: dados 
agrupados com intervalo de classe
E t t fi i ( i )2 ( i )2 fiEstaturas 
(cm)
fi xi- (xi- )2 (xi- )2.fi
150├ 154 4 -9 81 324
154├ 158 9 -5 25 225
158├ 162 11 -1 1 11
162├ 166 8 3 9 72
166├ 170 5 7 49 245166├ 170 5 7 49 245
170├ 174 3 11 121 363
∑ 40 ∑(xi- )2.fi = 1240
Variância:
Desviopadrão: 
39
Interatividade
Considere os resultados das medidas das
estaturas e dos pesos de um mesmo grupo
de indivíduos apresentados abaixo:
Média s
Estaturas 175 cm 5,0 cm
A maior variação ocorre:
a) Na estatura, pois S = 5,0 cm.
b) Na estatura, pois CV = 2,86%.
Estaturas 175 cm 5,0 cm
Pesos 68 kg 2,0 kg
) , p ,
c) No peso pois, S = 2,0 kg.
d) No peso, pois a média é igual a 68 kg.
e) No peso, pois CV = 2,94%.
ATÉ A PRÓXIMA!
Unidade II
ESTATÍSTICA
Profa. Adriana Bertolino
Conceitos básicos – Probabilidade
Espaço Amostral (S): é o conjunto de todos
os resultados possíveis, enquanto n(S) é o
número de elementos do espaço amostral.
Exemplos:
a) no lançamento de uma moeda, temosa) no lançamento de uma moeda, temos
S = {cara, coroa}
n(S) = 2
b) no lançamento de um dado, temos) ç ,
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
Conceitos básicos – Probabilidade 
Evento (E): é qualquer subconjunto de um
espaço amostral. Está relacionado com o
experimento aleatório em questão. n(E) é o
número de resultados possíveis do evento.
Exemplo: no lançamento de um dado, o
evento é sair um número par na face
superior. Logo
E = {2, 4, 6}
n(E) = 3 
Definição de Probabilidade 
Probabilidade (P): é a razão (divisão) entre
o número de elementos (ou resultados)
favoráveis a um determinado evento (E) e o
número total de elementos (ou resultados)
do espaço amostral (S).
Fórmula:
P = n(E) = número de elementos favoráveis
n(S) número de elementos de S
em que S representa o espaço amostral.
Exemplo
Considere o lançamento de um dado. 
Calcule a probabilidade de:
a) sair o número 3. 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo n(S) = 6
E = {3} logo n(E) = 1E = {3}, logo n(E) = 1
P = 1/6
b) sair um número par.
E = {2 4 6} logo n(E) = 3E = {2, 4, 6}, logo n(E) = 3
P = 3/6 = 1/2
Exemplo
Considere o lançamento de um dado. 
Calcule a probabilidade de:
c) sair um número maior que 10. 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo n(S) = 6
E = { } logo n(E) = 0E = { }, logo n(E) = 0
P = 0/6 = 0 (evento impossível)
d) sair um número natural maior ou igual a 
1 e menor ou igual a 6.g
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo n(E) = 6
P = 6/6 = 1 (evento certo)
Eventos complementares
Se P é a probabilidade de um evento 
ocorrer (sucesso), Q é a probabilidade de 
que o mesmo evento não ocorra 
(insucesso). Para obter Q, que é 
complementar de P, temos:
P + Q = 1 = 100%
Exemplo: se a probabilidade de um evento 
ocorrer é de 1/5, a probabilidade de o 
mesmo evento não ocorrer é calculada por:mesmo evento não ocorrer é calculada por:
P = 5 – 1 = 4
5 5
Interatividade
Considere o lançamento de duas moedas. 
Determine a probabilidade de o resultado 
apresentar duas caras.
a) ½
b) 2/3b) 2/3
c) ¼
d) 1/3
e) 1
Eventos independentes – definição 
Dois eventos são independentes quando
a realização de um deles não afeta a 
probabilidade de realização do outro,
e vice-versa.
A probabilidade de os eventos se 
realizarem simultaneamente é dada por:
P = P1 x P2
em que P1 e P2 são os eventos 
independentes (também chamados
de eventos produto).
Eventos independentes – exemplo 
Ao serem lançados dois dados, qual é a 
probabilidade de obtermos 1 no primeiro 
dado e um número par no segundo dado? 
Solução:
probabilidade de sair 1 = 1/6probabilidade de sair 1 1/6
probabilidade de sair número par = 3/6 = ½
P = 1 x 1 = 1
6 2 12
Eventos mutuamente exclusivos –
definição
Dois eventos são mutuamente exclusivos 
quando a realização de um interfere na 
realização do outro. Por exemplo, no 
lançamento de uma moeda, o evento tirar 
cara e o tirar coroa são mutuamente 
exclusivos pois se um deles for realizadoexclusivos, pois, se um deles for realizado, 
o outro não será. 
A probabilidade de que um ou outro evento 
se realize é dada por:
P = P1 + P2
em que P1 e P2 são os eventos mutuamente 
exclusivos (também chamados de eventos 
soma).
Eventos mutuamente exclusivos –
exemplo 
Ao lançar um dado, qual é a probabilidade 
de o resultado ser 3 ou 5 na face superior?
Solução:
probabilidade de sair o número 3 = 1/6
probabilidade de sair o número 5 = 1/6probabilidade de sair o número 5 = 1/6
P = 1 + 1 = 2 = 1
6 6 6 3
Exemplos de probabilidade
Numa caixa existem 10 bolinhas idênticas, 
numeradas de 1 a 10. Qual a probabilidade 
de que, ao se retirar uma bolinha, ela seja 
múltiplo de 2 ou de 5?
Solução:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
n(S) = 10
E = {2, 4, 5, 6, 8,10}
n(E) = 6
P = 6 = 3
10 5
Exemplos de probabilidade
Uma caixa contém 20 canetas iguais, das 
quais 7 são defeituosas, e outra caixa 
contém 12, das quais 4 são defeituosas. 
Uma caneta é retirada aleatoriamente de 
cada caixa. Determine as probabilidades de 
que ambas sejam defeituosasque ambas sejam defeituosas.
Solução:
Caixa A – 20 canetas, em que 7 são 
defeituosas e 13 são perfeitas.
Caixa B – 12 canetas, em que 4 sãoCaixa B 12 canetas, em que 4 são 
defeituosas e 8 são perfeitas.
P = 7 x 4 = 28 = 11,67%
20 12 240
Interatividade
Considere uma urna que contém 7 bolas 
brancas, 2 bolas vermelhas e 5 bolas 
pretas. Determine a probabilidade de se 
retirar, ao acaso, uma bola preta.
a) ½
b) 1/6
c) 5/12
d) 5/7
e) 5/2
Distribuição normal de 
probabilidades – exemplo 
Os comprimentos das peças produzidas 
por certa máquina apresentaram as 
seguintes medidas estatísticas:
média = 2,00 cm
desvio-padrão = 0,04 cmdesvio padrão 0,04 cm
Qual é a probabilidade de uma peça retirada 
aleatoriamente do lote analisado ter 
comprimento entre 2,00 cm e 2,0508 cm? 
Solução:
z = 2,00 – 2,00 = 0
0,04
z = 2,0508 – 2,00 = 0,0508 = 1,27
0,04 0,04
Distribuição normal de 
probabilidades – exemplo
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0
0,1
0,2
0,3
Verificando na tabela, temos que a 
b bilid d é d d
...
1,2 0,3980
...
probabilidade é dada por:
P = 0,3980 = 39,80%
Distribuição normal de 
probabilidades – exemplo
A nota média de uma classe de alunos é 
igual a 8,50, com desvio-padrão igual a 
0,40. Sabendo que a nota é normalmente 
distribuída, calcule a probabilidade de 
encontrar alunos com média entre 8,00 e 
9 509,50.
Solução:
z = 8,00 – 8,50 = 0,50 = – 1,25
0 40 0 400,40 0,40
z = 9,50 – 8,50 = 1,00 = 2,5
0,40 0,40
Distribuição normal de 
probabilidades – exemplo
Verificando na tabela a probabilidade de 
encontrar a variável entre:
0 e 1,25 é igual a 0,3944
0 e 2,5 é igual a 0,4938
Sendo assim:
P = 0,3944 + 0,4938 
P = 0,8882
P = 88 82%P = 88,82%
Correlação linear
Em Estatística, a correlação é um 
parâmetro que indica o grau de 
correspondência entre duas variáveis 
(neste estudo, simbolizadas por x e y).
Exemplos:
 salário de um trabalhador X escolaridade 
do trabalhador;
 quantidade de livros que uma pessoa já 
leu X escolaridade;
 horas de estudo X nota na prova; horas de estudo X nota na prova;
 temperatura de um forno X tempo de 
cozimento no forno.
Correlação linear
A correlação pode ser:
 positiva – dada pela relação direta entre 
as variáveis (se a variável x aumentar, a 
variável y também aumentará, e vice-
versa). Exemplo: horas de estudo X nota 
na prova.
 negativa – dada pela relação inversa 
entre as variáveis (se a variável x
aumentar, a variável y tenderá a diminuir, 
e vice-versa). Exemplo: velocidade do 
carro X tempo da viagem.
Interatividade
Encontre na tabela normal de 
probabilidades a probabilidade de 
encontrar uma variável padrão entre
0 e 1,47.
a) 0,4292
b) 0,4676
c) 0,2332
d) 0,3454
e) 0,1234
Correlação linear – Diagrama de 
Dispersão
Considere os dados apresentados abaixo 
que representam o número de anos que a 
pessoa estudou (xi) e número de livros que 
a pessoa já leu (yi).
xi 3 5 7 9 10 14 16
yi 1 2 3 5 7 10 13 
Construa o diagrama de dispersão 
equivalente.
Correlação linear – Diagrama de 
Dispersão
Solução:
xi 3 5 7 9 10 14 16
yi 1 2 3 5 7 10 13 
Correlação linear: coeficiente
de correlação de Pearson
Fórmula:Os possíveis valores de r variam de –1 a 1, 
em que:
 r = –1,00: correlação negativa perfeita;
 r = 0: correlação inexistente; r = 0: correlação inexistente;
 r = 1: correlação positiva perfeita.
Correlação linear – exemplo
Abaixo estão apresentados os dados 
referentes ao número de anos que a pessoa 
estudou (xi) e ao número de livros que a 
pessoa já leu (yi).
xi 3 5 7 9 10 14 16
yi 1 2 3 5 7 10 13
Calcule o coeficiente de correlação de 
Pearson e interprete-o.
Correlação linear – exemplo 
Solução:
xi yi xi.yi xi2 yi2
3 1 3 9 1
5 2 10 25 4
7 3 21 49 9
9 5 45 81 25
10 7 70 100 49
14 10 140 196 100
16 13 208 256 16916 13 208 256 169
64 41 497 716 357
Correlação linear – exemplo
Interatividade
Foi realizada uma pesquisa sobre a relação 
entre as horas de estudo e a nota da prova 
e verificou-se que o coeficiente de 
correlação é igual a 0,98. Podemos concluir 
que a correlação é:
a) fraca.
b) positiva forte, ou seja, quanto maior o 
número de horas de estudo, maior a 
nota. 
c) positiva forte, ou seja, quanto maior oc) positiva forte, ou seja, quanto maior o 
número de horas de estudo, menor
a nota. 
d) inexistente.
e) negativa.
ATÉ A PRÓXIMA!
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