209309 - lajes planas em concreto armado

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ESTUDOS SOBRE A MODELAGEM DE LAJES PLANAS 
Aluno: Carlos Alexandre Hennrichs 
Orientador: Daniel Domingues Loriggio, Dr. 
1 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
CENTRO TECNOLÓGICO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
EESSTTUUDDOOSS SSOOBBRREE AA MMOODDEELLAAGGEEMM DDEE LLAAJJEESS PPLLAANNAASS DDEE 
CCOONNCCRREETTOO AARRMMAADDOO 
 
 
CCAARRLLOOSS AALLEEXXAANNDDRREE HHEENNNNRRIICCHHSS 
 
 
Dissertação apresentada ao Programa de 
Pós Graduação em Engenharia Civil da 
Universidade Federal de Santa Catarina, 
como requisito parcial para a obtenção do 
título de Mestre em Engenharia Civil. 
 
Área de Concentração: Estruturas 
Orientador: Daniel Domingues Loriggio, Dr. 
 
 
 
Florianópolis / SC - 2003 
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Orientador: Daniel Domingues Loriggio, Dr. 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
CENTRO TECNOLÓGICO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL 
 
A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a dissertação intitulada: 
EESSTTUUDDOOSS SSOOBBRREE AA MMOODDEELLAAGGEEMM DDEE LLAAJJEESS PPLLAANNAASS 
ENGº CIVIL CARLOS ALEXANDRE HENNRICHS 
 
Como requisito para a obtenção do grau de 
MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
Prof. Daniel Domingues Loriggio, Dr. – Orientador. 
 
Prof. Henriette Lebre La Rovere, PhD. 
 
Prof. Ivo José Padaratz, PhD. 
 
Prof. Túlio Nogueira Bittencourt, Dr. 
 
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Orientador: Daniel Domingues Loriggio, Dr. 
3 
AGRADECIMENTOS 
 
 
 
 
A Deus, por me proporcionar à oportunidade de atingir este sonho. 
Ao Professor Daniel Domingues Loriggio, pela incansável dedicação e apoio durante 
todo o programa de pós-graduação. 
Aos professores do curso, pela assessoria e disponibilidade, especialmente os 
professores Ivo José Padaratz, Moacir Henrique de Andrade Carqueja e Henriette Lebre 
La Rovere pelo apoio neste trabalho, na graduação e na Pós-Graduação. 
Ao Engenheiro Jano D´Araújo Coelho, pelos ensinamentos e imenso apoio. 
A Toniolo Pré-Moldados, pela compreensão. 
À minha mãe, por ter sido companheira e torcedora incansável. 
Ao meu pai, pela força e criação. 
Ao meu amigo Estevão, pelo incentivo. 
À minha esposa Cíntia, pelo companheirismo. 
Ao meu irmão Jean, pelo belo exemplo. 
Aos amigos e familiares que me apoiaram em todas etapas de minha vida. 
 
 
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SUMÁRIO 
LISTA DE FIGURAS ................................................................................................................ 8 
LISTA DE TABELAS.............................................................................................................. 16 
LISTA DE SÍMBOLOS............................................................................................................ 18 
RESUMO............................................................................................................................... 21 
ABSTRACT ........................................................................................................................... 22 
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 23 
1.1 LAJES PLANAS.........................................................................................................23 
1.2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DAS LAJES PLANAS................................................29 
1.2.1 VANTAGENS DAS LAJES PLANAS.......................................................................... 29 
1.2.2 DESVANTAGENS DAS LAJES PLANAS.................................................................... 30 
1.3 HISTÓRICO...............................................................................................................31 
1.4 MOTIVAÇÃO ............................................................................................................34 
1.5 OBJETIVOS...............................................................................................................34 
2 CÁLCULO DE LAJES PLANAS........................................................................................ 36 
2.1 TEORIA DAS PLACAS EM REGIME ELÁSTICO............................................................36 
2.1.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 36 
2.1.2 HIPÓTESES FUNDAMENTAIS ................................................................................. 37 
2.1.3 EQUAÇÃO DE LAGRANGE ..................................................................................... 38 
2.1.4 SOLUÇÃO EXATA DO PROBLEMA .......................................................................... 44 
2.1.5 SOLUÇÃO POR SÉRIES DE FOURIER....................................................................... 47 
2.2 CARGAS CONCENTRADAS EM PLACAS: INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE MOMENTO 
INFINITO ...........................................................................................................................51 
2.2.1 CARGA CONCENTRADA EM UMA PLACA RETANGULAR SIMPLESMENTE APOIADA.. 51 
2.2.2 MOMENTOS FLETORES EM UMA PLACA RETANGULAR SIMPLESMENTE APOIADA COM 
UMA CARGA CONCENTRADA ............................................................................................ 55 
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2.3 SOLUÇÕES NUMÉRICAS ...........................................................................................66 
2.3.1 MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ..................................................................... 66 
2.3.2 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS...................................................................... 67 
2.3.3 ANALOGIA DE GRELHA ........................................................................................ 69 
2.3.3.1 Introdução......................................................................................................... 69 
2.3.3.2 ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS .............................................................. 70 
2.3.3.3 MODELAGEM POR ANALOGIA DE GRELHA ........................................................ 74 
3 APLICAÇÃO DOS MODELOS TEÓRICOS: EQUAÇÃO DIFERENCIAL DAS PLACAS EM 
REGIME ELÁSTICO.............................................................................................................. 83 
3.1 INTRODUÇÃO...........................................................................................................83 
3.2 LAJE DE REFERÊNCIA ..............................................................................................84 
3.2.1 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DA LAJE E CONDIÇÕES DE CONTORNO ........... 84 
3.2.2 AÇÕES.................................................................................................................. 85 
3.2.3 CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DO CONCRETO ................................................... 86 
3.3 MODELOS DE CARREGAMENTO EM PLACAS .............................................................87 
3.3.1 PLACA COM CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO............................ 87 
3.3.2 PLACA COM CARGA UNIFORME EM UM RETÂNGULO PARCIAL............................. 90 
3.3.3 PLACA COM CARGA CONCENTRADA .................................................................... 93 
3.3.4 PLACA COM PILAR CENTRAL (PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS) ........... 96 
3.4 RESULTADOS ...........................................................................................................98 
3.5 ANÁLISE DOS RESULTADOS....................................................................................110 
4 APLICAÇÕES - MODELOS EM ELEMENTOS FINITOS .................................................112 
4.1 INTRODUÇÃO.........................................................................................................112 
4.2 MODELAMENTO.....................................................................................................112 
4.2.1 DEFINIÇÃO DA MALHA DE ELEMENTOS FINITOS.................................................. 112 
4.2.2 PROPRIEDADES DAS BARRAS E ELEMENTOS “SHELL” ......................................... 113 
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4.2.3 CONDIÇÕES DE CONTORNO ................................................................................ 113 
4.2.4 CARREGAMENTO................................................................................................ 114 
4.2.5 REFINAMENTO.................................................................................................... 114 
4.3 RESULTADOS .........................................................................................................115 
4.3.1 PILAR MODELADO COMO UM APOIO PONTUAL ................................................... 115 
4.3.2 PILAR MODELADO COMO ELEMENTO SÓLIDO...................................................... 123 
4.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS....................................................................................128 
5 OUTROS MÉTODOS..................................................................................................... 131 
5.1 MÉTODO DIRETO ...................................................................................................131 
5.2 MÉTODO DO EQUILÍBRIO .......................................................................................139 
5.3 MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTES................................................................142 
5.4 RECOMENDAÇÕES DA NBR 6118 ..........................................................................148 
5.5 SOLUÇÃO PROPOSTA POR SZILARD ........................................................................149 
6 APLICAÇÕES - ANALOGIA DE GRELHA...................................................................... 155 
6.1 INTRODUÇÃO.........................................................................................................155 
6.2 MODELOS ANALISADOS COM O PROGRAMA MIX..................................................155 
6.2.1 APLICAÇÃO DO PROGRAMA................................................................................ 155 
6.2.2 RESULTADOS...................................................................................................... 157 
6.2.3 ANÁLISE DOS RESULTADOS................................................................................ 162 
6.3 MODELOS ANALISADOS COM O PROGRAMA ALTOQI EBERICK .............................164 
6.3.1 APLICAÇÃO DO PROGRAMA................................................................................ 164 
6.3.2 RESULTADOS...................................................................................................... 164 
6.3.2.1 LAJE COM VIGAS DE RIGIDEZ EQUIVALENTE................................................... 164 
6.3.2.2 LAJE COM CARGA SIMULANDO O PILAR .......................................................... 170 
6.3.3 ANÁLISE DOS RESULTADOS ................................................................................ 175 
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7 COMPARAÇÃO ENTRE OS DIFERENTES MÉTODOS .................................................... 177 
7.1 INFLUÊNCIA DA MALHA .........................................................................................177 
7.2 DIMENSÕES DO PILAR ............................................................................................181 
8 TÓPICOS ESPECIAIS.................................................................................................... 185 
8.1 INTRODUÇÃO.........................................................................................................185 
8.2 PISO DE EDIFÍCIO ...................................................................................................185 
8.3 VIGAS DE BORDO ..................................................................................................189 
9 CONCLUSÕES .............................................................................................................. 194 
10 REFERÊNCIAS........................................................................................................... 197 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE FIGURAS 
Figura 1.1. Pilares com capitel e “drop panel”..............................................................024 
Figura 1.2. Sistema estrutural com laje plana e drop-panel (flat slab)..........................025 
Figura 1.3. Sistema estrutural com laje plana (flat plate). ............................................025 
Figura 1.4. Sistema estrutural convencional (two-way slab).........................................026 
Figura 1.5. Laje plana com vigas “chatas” 
(Projeto: Eng. Jano D´Araújo Coelho, Msc.). ...................................................027 
Figura 1.6. Laje sem vigas (Projeto: Eng. Giovanni Brisot, Msc. - RCA 
Engenharia de Estruturas)..................................................................................028 
Figura 2.1. Equilíbrio de um elemento de placa para as forças cortantes.....................038 
Figura 2.2. Equilíbrio de um elemento de placa para momentos 
fletores e torsores.............................................................................................. 039 
Figura 2.3. Curvatura de um elemento de placa submetido a um momento mx...........041 
Figura 2.4. Placa retangular simplesmente apoiada com 
carregamento bisenoidal....................................................................................045 
Figura 2.5. Carga concentrada em uma placa retangular simplesmente apoiada..........051 
Figura 2.6. Carga concentrada ao longo do eixo X de uma placa retangular 
simplesmente apoiada........................................................................................054 
Figura 2.7. Carga concentrada ao longo do eixo X de uma placa 
retangular alongada............................................................................................057 
Figura 2.8. Distribuição de momentos fletores e cortantes em uma placa 
quadrada com carga concentrada aplicada no centro.........................................064 
Figura 2.9. Laje plana discretizada para aplicação do método 
das diferenças finitas..........................................................................................067 
Figura 2.10. Laje plana discretizada em elementos finitos........................................... 068 
Figura 2.11. Laje plana discretizada em uma grelha – malha de vigas 
ortogonais entre si.............................................................................................069 
Figura 2.12. Graus de liberdade em um nó de grelha. δz representa a translação, 
θ2 e θ3 representam as rotações em torno dos eixos X e Y..............................071 
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Figura 2.13. Momentos fletores e reações em uma barra devidas ao 
deslocamento vertical em uma das extremidades..............................................072 
Figura 2.14. Momentos torsores em uma barra devidos a rotação 
em uma das extremidades..................................................................................072 
Figura 2.15. Momentos fletores e reações em uma barra devidas a rotação 
em uma das extremidades..................................................................................072Figura 2.16. Exemplo de grelha aplicada para uma placa, indicando 
deslocamentos nas duas direções para forças nodais unitárias..........................073 
Figura 2.17. Laje plana modelada como grelha no plano XY.......................................075 
Figura 2.18. Barra representando uma "faixa" de laje...................................................078 
Figura 2.19. Carregamento uniformemente distribuído nas barras – carga p, e 
carga concentrada nos nós - carga nodal P1 – ou nas barras – P2.....................080 
Figura 2.20. Esforços atuantes nas extremidades de uma barra de grelha....................081 
Figura 2.21. Modelagem de laje plana mostrando a grelha para 
aplicação do método..........................................................................................082 
Figura 3.1. Planta de fôrmas da laje de referência.........................................................085 
Figura 3.2. Placa retangular simplesmente apoiada com carregamento 
uniformemente distribuído...................................................................................087 
Figura 3.3. Momentos my na laje para o caso de carga uniformemente 
distribuída (perspectiva). .....................................................................................089 
Figura 3.4. Momentos my na laje para o caso de carga uniformemente 
distribuída (vista superior). ...............................................................................089 
Figura 3.5. Placa retangular simplesmente apoiada com carga uniforme 
em um retângulo parcial....................................................................................090 
Figura 3.6. Momentos my na laje para carga uniforme em retângulo parcial 
(perspectiva). .....................................................................................................092 
Figura 3.7. Momentos my na laje para carga uniforme em retângulo parcial 
(vista superior). .................................................................................................092 
Figura 3.8. Placa com carga concentrada......................................................................093 
Figura 3.9. Momentos my na laje para carga concentrada (perspectiva)......................094 
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Figura 3.10. Momentos my na laje para carga concentrada (vista superior).................095 
Figura 3.11. Deslocamento em placa submetida a carregamento 
uniformemente distribuído.................................................................................096 
Figura 3.12. Carga concentrada aplicada no centro da placa........................................096 
Figura 3.13. Princípio da superposição de efeitos.........................................................097 
Figura 3.14. Configuração dos momentos fletores my ao longo da linha 
média da laje (y = b/2). .....................................................................................098 
Figura 3.15. Momentos my na laje para o caso de carga concentrada 
(perspectiva). .....................................................................................................099 
Figura 3.16. Momentos my na laje para o caso de carga concentrada 
(vista superior). .................................................................................................100 
Figura 3.17. Momentos ao longo da linha média da laje (y = 5m) para o caso de 
carga concentrada aplicada no centro da laje para simular o pilar central.........100 
Figura 3.18. Deslocamentos ao longo da linha média da laje (y = 5m) para o caso de 
carga concentrada aplicada no centro da laje para simular o pilar central.........101 
Figura 3.19. Valores de carga P no pilar para as diferentes seções...............................103 
Figura 3.20. Momentos negativos my na laje sobre o pilar para as 
diferentes seções................................................................................................103 
Figura 3.21. Momentos positivos máximos para diferentes seções de pilares..............104 
Figura 3.22. Momentos na região próxima ao apoio para carga concentrada...............105 
Figura 3.23. Momentos na região próxima ao apoio para carga uniformemente 
distribuída, pilar 50x50 cm. ..............................................................................105 
Figura 3.24. Diferença percentual do valor da carga P no pilar, comparada aos 
valores obtidos para carga concentrada.............................................................106 
Figura 3.25. Diferença percentual do valor do momento negativo my no centro do 
pilar (MC) e no bordo (MB). ............................................................................107 
Figura 3.26. Diferença percentual do valor do momento positivo máximo my............108 
Figura 3.27. Planilha de cálculo Excel, utilizada para a determinação através da 
Teoria das Placas. .............................................................................................109 
 
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Figura 4.1. Modelo de estrutura floor do SAP2000, utilizado para o 
cálculo de lajes planas. ......................................................................................114 
Figura 4.2. Momentos fletores nas proximidades do pilar para uma malha sem (E) 
e com transição de elementos próximos ao refinamento (D).............................115 
Figura 4.3. Malha de elementos finitos 250x250cm sem (E) 
e com refinamento 125x125 (D)........................................................................116 
Figura 4.4. Malha de elementos finitos 250x250cm 
com refinamento 62,5x62,5 (E) e 31,25x31,25 (D) ..........................................116 
Figura 4.5. Malha de elementos finitos 100x100cm 
sem refinamento (E) e com refinamento 50x50 (D). .........................................117 
Figura 4.6. Malha de elementos finitos 100x100cm 
com refinamento25x25 (E) e 12,5x12,5 (D)......................................................117 
Figura 4.7. Malha de elementos finitos 50x50cm sem refinamento (E) 
e com refinamento 25x25 (D)............................................................................117 
Figura 4.8. Malha de elementos finitos 50x50cm 
com refinamento 12,5x12,5 (E) e 6,25x6,25 (D)...............................................118 
Figura 4.9. Malha de elementos finitos 50x50cm 
com refinamento 3,125x3,125 (E) e 1,5625x1,5625 (D)...................................118 
Figura 4.10. Malha de elementos finitos 25x25cm (E) e 12,5x12,5 (D), 
ambas sem refinamento.....................................................................................118 
Figura 4.11. Carga no pilar para diferentes malhas, pilar modelado como ponto.........121 
Figura 4.12. Momento positivo máximo para diferentes malhas, 
pilar modelado como ponto...............................................................................121 
Figura 4.13. Momentos negativos no centro e a 25 cm do centro 
para diferentes malhas.......................................................................................122 
Figura 4.14. Deslocamentos máximos para diferentes malhas, 
pilar modelado como ponto...............................................................................122 
Figura 4.15. Modelo com pilar definido como elemento sólido 25x100 cm, malha 
geral 50x50 cm, refinamento de 12,5 cm nas proximidades do pilar................123 
 
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Figura 4.16. Momentos em laje para pilar modelado como ponto 
 e como elemento sólido....................................................................................125 
Figura 4.17. Momentos em planta para laje com pilar modelado comoponto (E) 
e como elemento sólido (D)...............................................................................125 
Figura 4.18. Carga no pilar para diferentes seções, pilar modelado 
como elemento sólido........................................................................................126 
Figura 4.19. Momentos positivos para diferentes seções de pilar, 
modelado como elemento sólido.......................................................................126 
Figura 4.20. Momentos negativos para diferentes seções de pilar, 
modelado como elemento sólido.......................................................................127 
Figura 4.21. Deslocamentos na laje para diferentes seções de pilar, 
modelado como elemento sólido.......................................................................127 
Figura 4.22. Momentos fletores máximos nas proximidades de pilares 
com seções 25x100 cm (E) e 50x50 cm (D) .....................................................130 
Figura 5.1. Divisão de painéis para uso do método direto (ACI 318R – 83)................132 
Figura 5.2. Seções quadradas equivalentes para pilares (ACI 318R – 83)....................134 
Figura 5.3. Momentos de referências nas seções (ACI 318R – 83)..............................136 
Figura 5.4. Distribuição do momento total de referência em laje 
sem viga de bordo (ACI 318R – 83) .................................................................138 
Figura 5.5. Distribuição do momento total de referência em laje 
com viga de bordo (ACI 318R – 83). ...............................................................138 
Figura 5.6. Estrutura típica de edifícios com lajes planas.............................................139 
Figura 5.7. Equilíbrio do pano médio de uma laje e coluna média 
separados da parte central..................................................................................140 
Figura 5.8. Pórtico equivalente em uma laje cogumelo................................................143 
Figura 5.9. Divisão de um painel de laje cogumelo de acordo com a NBR6118..........148 
Figura 5.10. Laje plana apoiada sobre pilares (Szilard)................................................149 
Figura 5.11. Correção no momento negativo no centro do pilar em função do 
momento na face, da reação de apoio e da dimensão do pilar (Szilard)............152 
 
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Figura 5.12. Valores de momentos sobre o pilar para diferentes dimensões de seção 
quadrada, aplicado em lajes de 5x5m até 20x20m............................................153 
Figura 5.13. Diferença percentual do valor do momento negativo no centro do pilar 
através da solução de Szilard, comparado aos para carga concentrada através 
da Teoria das Placas...........................................................................................154 
Figura 6.1. Malha 250x250cm sem refinamento (E) e com refinamento 
de 125x125cm (250ref125) nas faixas próximas ao pilar..................................157 
Figura 6.2. Malha 250x250cm (250pil125) com refinamento 125x125cm nas pro-
 ximidades do pilar (E) e malha 125x125cm sem refinamento..........................158 
Figura 6.3. Malha 50x50cm (E) e malha 25x25cm (D), ambas sem refinamento.........158 
Figura 6.4. Carga no pilar central para diferentes malhas modeladas no MIX 
por Analogia de Grelha. ....................................................................................159 
Figura 6.5. Momento positivo máximo para diferentes malhas modeladas no MIX 
por Analogia de Grelha......................................................................................160 
Figura 6.6. Momento negativo máximo para diferentes malhas modeladas no MIX 
por Analogia de Grelha......................................................................................160 
Figura 6.7. Deslocamento máximo para diferentes malhas modeladas no MIX 
por Analogia de Grelha. ....................................................................................161 
Figura 6.8. Momentos My ao longo da linha média da laje até o centro, 
para malhas de 250x250 cm sem e com refinamento........................................161 
Figura 6.9. Momentos My ao longo da linha média da laje até o centro, 
para malhas de 125x125 cm, 50x50 cm e 25x25 cm sem refinamento.............162 
Figura 6.10. Planta de fôrmas do modelo rodado no AltoQI Eberick para simular 
laje plana............................................................................................................165 
Figura 6.11. Configuração deformada da laje e momentos fletores nas barras da 
grelha com malha de 50x50cm..........................................................................167 
Figura 6.12. Carga no pilar para diferentes malhas de grelha 
modeladas no Eberick. ......................................................................................168 
Figura 6.13. Momentos positivos para diferentes malhas de grelha 
modeladas no Eberick. ......................................................................................168 
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Figura 6.14. Momentos negativos para diferentes malhas de grelha 
modeladas no Eberick........................................................................................169 
Figura 6.15. Deslocamentos para diferentes malhas de grelha 
modeladas no Eberick........................................................................................169 
Figura 6.16. Carga de parede simulando o pilar, com carga negativa 
uniformemente distribuída na placa..................................................................170 
Figura 6.17. Configuração deformada da laje e momentos fletores nas barras da 
grelha com malha de 50x50cm, com pilar simulado como carga de parede.....173 
Figura 6.18. Momentos positivos para diferentes malhas e dimensões de pilar para 
modelos em grelha com pilar modelado como carga. ......................................173 
Figura 6.19. Momentos negativos para diferentes malhas e dimensões de pilar para 
modelos em grelha com pilar modelado como carga........................................174 
Figura 6.20. Deslocamentos para diferentes malhas e dimensões de pilar 
para modelos em grelha com pilar modelado como carga. ...............................174 
Figura 7.1. Carga no pilar para diferentes malhas, com pilar modelado 
como ponto........................................................................................................178 
Figura 7.2. Momentos positivos para diferentes malhas, com pilar modelado 
como ponto........................................................................................................178 
Figura 7.3. Momentos negativos para diferentes malhas, com pilar modelado como 
ponto..................................................................................................................179 
Figura 7.4. Deslocamentos para diferentes malhas, com pilar modelado 
como ponto........................................................................................................179 
Figura 7.5. Carga no pilar para diferentes seções de pilar.............................................182 
Figura 7.6. Momentos positivos para diferentes seções de pilar...................................182 
Figura 7.7. Momentos negativos para diferentes seções de pilar..................................183 
Figura 7.8. Deslocamentos para diferentes seções de pilar...........................................183 
Figura 8.1. Modelo de piso de edifício..........................................................................186 
Figura 8.2. Deformada do piso do edifício, modelado em Elementos Finitos, 
Com os momentos máximos atuantes na laje....................................................188ESTUDOS SOBRE A MODELAGEM DE LAJES PLANAS 
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Figura 8.3. Deformada do piso do edifício, modelado em Analogia de Grelha, 
com os momentos atuantes nas barras da grelha...............................................188 
Figura 8.4. Carga no pilar para diferentes seções de vigas de bordo.............................189 
Figura 8.5. Momento positivo máximo da laje para diferentes 
seções de vigas de bordo. ..................................................................................190 
Figura 8.6. Momento negativo máximo da laje para diferentes 
seções de vigas de bordo. ..................................................................................190 
Figura 8.7. Deslocamento máximo da laje para diferentes 
seções de vigas de bordo. ..................................................................................191 
Figura 8.8. Deformada em laje com viga de bordo com seção 15x20 cm.....................192 
Figura 8.9. Deformada em laje com viga de bordo com seção 15x100 cm...................192 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE TABELAS 
Tabela 2.1. Fator α para deflexões em uma placa retangular carregada no centro.......055 
Tabela 2.2. Fatores γ1 e γ2.............................................................................................063 
Tabela 2.3 Fator numérico n para forças reativas R junto aos cantos de placas 
retangulares sob carga central. ν = 0,3..............................................................064 
Tabela 3.1. Propriedades mecânicas do concreto e rigidez D da placa.........................086 
Tabela 3.2. Valores da carga P, momentos fletores e deslocamentos para diferentes 
seções de pilares (u / v), onde a seção zero (0) representa os resultados para 
carga concentrada..............................................................................................102 
Tabela 4.1. Resultados para modelos no SAP2000, onde o pilar foi modelado 
como ponto único, para a laje de referência......................................................120 
Tabela 4.2. Resultados para modelos no SAP2000, onde o pilar foi modelado 
como elemento sólido, para a laje de referência................................................124 
Tabela 5.1. Coeficientes para distribuição de momentos (ACI 318-83).......................137 
Tabela 5.2. Porcentagem de repartição dos momentos de referência 
entre as faixas distintas .....................................................................................146 
Tabela 5.3. Porcentagem de repartição dos momentos de referência 
entre as faixas distintas......................................................................................146 
Tabela 5.4. Coeficientes para deflexão e 
momentos para o interior de pilares de lajes planas (Szilard)...........................152 
Tabela 6.1. Esforços e deslocamentos obtidos para diferentes malhas estudadas 
por Analogia de Grelha no software MIX.........................................................159 
Tabela 6.2. Valores da carga P no pilar, momentos fletores e deslocamento máximo 
para diversas malhas na laje e momentos máximos nas vigas chatas................166 
Tabela 6.3. Esforços e deslocamentos em laje modelada como grelha com carga 
simulando o pilar, para diferentes malhas e seções de pilar..............................172 
Tabela 7.1. Esforços e deslocamentos em laje modelada em Elementos Finitos 
e Analogia de Grelha, para diferentes malhas, com pilar modelado 
como ponto........................................................................................................177 
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Tabela 7.2. Esforços e deslocamentos em laje cogumelo, para algumas seções de 
Pilar central. ......................................................................................................181 
Tabela 8.1. Resultados obtidos para o piso de edifício.................................................187 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE SÍMBOLOS 
a, b lados da placa ou da laje 
b espessura da faixa da grelha 
bg espaçamento entre as barras da grelha. 
bv largura da seção da viga 
c raio de uma área circular 
C constante 
dx, dy dimensões de um elemento de placa 
D rigidez a flexão da placa 
E módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young 
Ec módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young do concreto 
f flecha da laje ou da viga 
G módulo de elasticidade transversal 
h espessura da placa ou da laje 
hv altura da seção da viga, cm 
I momento de inércia axial da barra 
Jp momento de inércia polar 
Iyy momento de inércia axial da seção da faixa em relação ao eixo y 
Kt rigidez a torção da barra da grelha 
L comprimento da barra 
lx lado menor da placa ou da laje 
ly lado maior da placa ou da laje 
m momento fletor na extremidade de uma barra de grelha 
Mx momento fletor na direção X 
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My momento fletor na direção Y 
Mxy momento de torção 
Md momento fletor de cálculo 
n coeficiente que depende da relação entre as dimensões da placa 
P carga concentrada 
p carga uniformemente distribuída 
po carga uniformemente distribuída aplicada no centro da placa 
Qx esforço cortante na direção X 
Qy esforço cortante na direção Y 
r distância entre o ponto em estudo e o ponto de aplicação da carga 
R força de reação 
t momento torsor na extremidade de uma barra de grelha 
Sdim esforço de dimensionamento das barras da grelha 
Sbar esforço obtido na extremidade da barra da grelha 
εx deformação específica na direção X 
εy deformação específica na direção Y 
γf coeficiente de majoração 
γ relação entre a rigidez da viga de apoio e a rigidez da placa 
γ1, γ2 coeficientes que dependem da relação entre as dimensões da placa 
αm coeficiente que depende da relação entre as dimensões da placa 
ν coeficiente de Poisson 
σx tensão normal na direção X 
σy tensão normal na direção Y 
τxy tensão cisalhante 
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λ espaçamento de malha para diferenças finitas 
ω deslocamento vertical da placa, flecha 
Φ rotação da barra em relação ao eixo 1 
θ rotação do nó da barra, em relação ao eixo 2 
ξ, η distância dos eixos X e Y ao ponto de aplicação da carga 
1/ρ curvatura 
{F} vetor coluna de cargas externas 
{δ} vetor deslocamento dos nós 
[K] matriz de rigidez da estrutura 
{d} vetor de deslocamentos correspondente aos nós de extremidade da barra 
{Fo} vetor coluna dos esforços de imobilização dos nós da estrutura 
[r] matriz de rigidez do elemento de barra 
[R] matriz de rotação 
{S} esforços nas extremidades da barra 
{So} esforços de mobilização dos nós na extremidade das barras 
z distância de um elemento de placa até o eixo da placa 
 
 
 
 
 
 
 
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RESUMO 
A utilização de lajes planas data do início do século, sendo que, no princípio tais 
lajes eram executadas empiricamente e, posteriormente, submetidas a ensaios de carga. 
Com o desenvolvimento da computação, a modelagem dessas estruturas tornou-se mais 
acessível aos projetistas e as vantagens inerentes ao sistema tornaram-se visíveis. Mas, 
ao mesmo tempo em que os computadores facilitaram o cálculo das lajes planas,começaram a surgir questionamentos sobre determinados resultados e problemas a 
serem solucionados. 
Um deles é o fato que, teoricamente, quando uma carga concentrada é aplicada 
em uma laje, essa provoca momentos fletores que tendem ao infinito no seu ponto de 
aplicação. Por analogia, quando através de algum método numérico, os pilares de uma 
laje plana são modelados como pontos isolados para o apoio da laje, esses se 
comportam como cargas concentradas contrárias ao carregamento aplicado, tendendo 
também a gerar momentos negativos muito elevados nas suas proximidades. Da mesma 
forma, sabe-se que a malha adotada para discretizar a laje influencia nos esforços e 
deslocamentos dessa. 
Nesse trabalho serão estudados processos teóricos e numéricos para o cálculo de 
lajes planas, bem como os principais fatores a serem considerados na sua modelagem. 
Será definida uma laje de referência, na qual serão modelados exemplos através da 
Teoria das Placas, do método dos Elementos Finitos e da Analogia de Grelha. Também 
serão descritos métodos aproximados utilizados na prática da engenharia. A comparação 
entre os procedimentos teóricos e numéricos é apresentada no final do trabalho. 
A modelagem do pilar e da malha da laje nas suas proximidades mereceu 
atenção especial, inclusive as dimensões do pilar e a sua influência nos resultados. 
Concluindo, são feitas recomendações para modelagens de lajes planas por Analogia de 
Grelha e Elementos Finitos, quais os principais parâmetros que devem ser observados e 
as vantagens e desvantagens de cada processo. 
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ABSTRACT 
The use of flat slabs date of the beginning of century, and, at initially such slabs 
were executed empirically and, afterwards, submitted to load tests. With the 
development of computers and softwares, modeling of such structures became more 
accessible to designers and their inherent advantages became visible. However, at the 
same time in that computers facilitated the analysis of flat slabs, some casues about 
determined results and new problems to be solved. 
One of these problems is the fact that, theoretically, when a concentrated load is 
applied on a flat slab, the bending moments tend to infinite at the application point. For 
analogy, when through some numeric method, the column of a flat slab are modelled as 
points isolated for the support from the slab, these behave as contrary concentrates loads 
to the applied loading, also tending to generate negative bending moments very elevated 
in their proximities. In the same way, it is known that the mesh (or grid) adopted for 
divide the slab influences in the member forces and deflections. 
In this work will be studied theoretical and numeric processes for the flat slabs 
calculation, as well the main factors to are considered in your modeling. It will be 
defined a reference slab, in which will be modelled examples through the Theory of the 
Plates, of the Method of the Finite Elements and of the Gridwork Analogy. They also 
will be described approximate methods used in the practice of the engineering. The 
comparison between theoretical and numeric procedures is presented at the end of the 
work. 
The modeling of the column and of the mesh (or grid) of the slab in her 
proximities deserved special attention, inclusive the dimensions of the column and your 
influence in the results. Concluding, recommendations for flat slabs modelings are done 
for Gridwork Analogy and Finite Elements, which are the main parameters that should 
be observed and the advantages and disadvantages of each process. 
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1 INTRODUÇÃO 
1.1 LAJES PLANAS 
É do conhecimento de todos os profissionais e universitários da área da 
engenharia civil, as facilidades trazidas pelo avanço tecnológico, em especial o da 
computação, para o campo da engenharia de estruturas. No entanto, um dos grandes 
desafios da engenharia moderna é encontrar soluções para problemas que têm surgido 
com o advento do uso de programas computacionais e com as necessidades das 
construções modernas. 
Dos exemplos de estrutura em que o uso da computação tornou-se fundamental 
podemos citar as lajes planas, ou seja, aquelas que apresentam teto liso. Anteriormente, 
o cálculo dessas lajes era feito através de métodos aproximados ou em programas 
computacionais que exigiam enorme quantidade de tempo e grandes computadores para 
o processamento dos dados. Entretanto, com o aprimoramento dos programas de cálculo 
e análise, e dos próprios computadores, o projeto das lajes planas tornou-se mais 
comum no ambiente dos calculistas, o que acentuou o uso dessas soluções estruturais e 
proporcionou a discussão de diversos assuntos sobre o seu uso. Um deles são os 
momentos negativos da laje sobre o pilar e nas suas proximidades, visto que, para 
diferentes métodos e considerações, os resultados obtidos mostram-se bastante 
diferentes entre si. 
As lajes planas podem ser descritas como placas, as quais podem ser apoiadas 
sobre vigas (lajes planas com vigas), sendo que tais vigas apresentam altura igual à 
espessura da laje, ou diretamente sobre pilares (lajes planas sem vigas). 
No caso de lajes sem vigas, os pilares podem ou não ter engrossamento de sua 
seção transversal nas proximidades da ligação com a laje. Esse engrossamento é 
definido como capitel (Figura 1.1b), cuja finalidade principal é reduzir as tensões de 
cisalhamento, evitando o puncionamento da laje. As lajes também podem apresentar um 
aumento de espessura próximo ao pilar, conhecido nos Estados Unidos como “drop 
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panel” (Figura 1.1c). Em outros casos, como a Figura 1.1a é adotada uma solução com 
os dois elementos. Deve-se procurar evitar os capitéis e “drop panels”, de modo que se 
tenha um teto liso e simplificação na execução das fôrmas. 
a) CAPITEL E "DROP PANEL"
LAJE
PILAR
"DROP PANEL"
CAPITEL
b) CAPITEL
CAPITEL
PILAR
LAJE
c) DROP PANEL
LAJE
PILAR
"DROP PANEL"
 
Figura 1.1 Pilares com capitel e painel de transição (drop panel). 
 
Os sistemas com capitéis ou painéis de transição são conhecidas como “lajes 
planas” (Figura 1.2), e os sem capitéis e sem painéis de transição como “placas 
planas” (Figura 1.3). Os sistemas convencionais de “lajes armadas nas duas direções” 
são apresentados na Figura 1.4. No Brasil convencionou-se chamar de laje-cogumelo 
qualquer sistema de laje sem vigas e de lajes planas com vigas aquelas lajes onde as 
vigas ficam embutidas. 
As lajes planas podem ser maciças ou nervuradas, podendo ainda a armadura ser 
passiva, protendida ou uma combinação das duas. Os capitéis e painéis de transição são 
mais comuns em lajes maciças, as quais apresentam, em geral, pequenas espessuras para 
resistir aos esforços de punção nas proximidades dos pilares. As lajes planas nervuradas 
apresentam trechos maciços junto aos pilares para combater a punção e os momentos 
negativos. 
 
 
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Figura 1.2 Sistema estrutural com laje plana (“flat slab”) e painel de transição (“drop-panel”). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.3 Sistema estrutural com laje plana (“flat plate”). 
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Figura 1.4 Sistema estrutural convencional laje armada em duas direções (“two-way slab”). 
 
As lajes planas podem apresentar ou não vigas. No caso de lajes planas com 
vigas, elas se apóiam diretamente nasvigas e essas, por sua vez, se ligam aos pilares. 
Essa solução é muito empregada no caso de lajes nervuradas – lajes que são formadas 
por vigas (nervuras) transversais, com elemento de enchimento inerte entre nervuras de 
modo a reduzir o peso-próprio e consumo de concreto. A Figura 1.5 ilustra um 
pavimento de edifício com laje plana nervurada apoiada sobre vigas “chatas”, as quais 
ficam “embutidas” nas lajes. No caso de lajes apoiadas sobre vigas “chatas”, essas 
últimas apresentam em geral armações de aço bastante “carregadas”, tanto no que se 
refere a estribos como armaduras longitudinais. Deve-se tomar cuidado especial no que 
se refere às deformações dessas vigas, as quais apresentam inércia reduzida em função 
da pouca altura. No entanto, tais lajes conferem, em geral, maior rigidez no plano aos 
pavimentos da edificação, melhor travamento dos pilares e, conseqüentemente, maior 
estabilidade global da edificação, se comparadas às lajes sem vigas. 
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Det. 02
48
2
48
2
49
4
49
1
48
7
48
4
48
2
48
2
48
2
48
2
52
1
Det. 02
51
9
51
65
1250
8
50
5
50
1
49
8
53
7
53
5
53
3
53
1
52
9
52
7
52
5
52
3
Det. 01
Det. 01
40
2
c.f. = 1,5cm
c.f. = 1,5cm
4826
VAR9
L14
24
46
1
Det. 01 c.f. = 1,5cm
40224
L8 15
40
2
c.f. = 2,0cm
VAR24 12
L15
24
L9
Det. 02
46
1
c.f. = 1,5cm
40213
319
319
319
319
319
319
319
83
83
83
83 174
17
4
624
L24
17
4
17
4
31
5
38
9
17
4
17
4
17
4
319
319
319
319
56
7
24
L16
24
2068
20683
83
83
83
24
L22
8 83
c.f. = 2,5cm
12
45
9
L10
45
9
45
9
45
9
c.f. = 2,0cm
Det. 02
466
48
8
50
8
52
1
53
4
54
6
55
4
46
5
7 45924
c.f. = 1,5cm
11
24
L18
319 24
L19
c.f. = 1,5cm
Det. 02
2 466L11 4645
24 46115
L2
24
L3 46113 1224
L4 var 13 var24
L5
46
3
50
1
49
3
49
5
49
7
49
9
48
9
49
1
47
9
48
1
48
3
48
5
48
7
Det. 02
45
7
46
0
43
9
44
1
44
4
44
7
45
0
45
4
43
9
43
9
43
9
43
9
43
9
43
9
43
9
24
c.f. = 1,0cm
c.f. = 1,5cm
Det. 02
8 389
3151
43
9
VARL2024 12
c.f. = 1,5cm
45
9
L12 43914 24
c.f. = 1,5cm
c.f. = 1,5cm
439
VAR24
7
8
L21
Det. 01
43
9
c.f. = 1,5cm
Det. 02
Det. 0115 439L13
45
9
Det. 01
24 45914
L6 45924
L7 15
46
1
46
1
46
1
46
1
46
1
46
1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
45
9
45
9
55
4
53
4
54
6
52
1
50
8
48
8
46
5
45
9
56
7
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
43
9
43
9
43
9
43
9
43
9
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9
43
9
43
9
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9
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9
43
9
43
9
43
9
43
9
43
9
43
9
43
9
43
9
43
9
43
9
43
9
43
9
43
9
43
9
43
9
43
9
46
6
46
6
46
4
46
4
46
4
46
4
46
4
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
45
9
46
6
46
6
46
6
46
6
46
6
46
6
46
6
46
6
46
6
46
6
46
6
46
6
40
2
40
2
40
2
40
2
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2
40
2
40
2
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2
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2
40
2
40
2
40
2
40
2
40
2
40
2
40
2
40
2
40
2
40
2
40
2
40
2
40
2
40
2
40
2
40
2
40
2
206
206
206
206
206
206
206 3
89 38
9
38
9
38
9
38
9
38
9
38
9
c.f. = 2,0cm
 
Figura 1.5 Laje plana com vigas “chatas” (Projeto: Eng. Jano D´Araújo Coelho, Msc.). 
 
As lajes planas sem vigas apóiam-se diretamente sobre os pilares e são 
rigidamente ligadas a eles. Apresentam, em alguns casos, somente vigas de bordo, ou 
vigas de contorno. A Figura 1.6 ilustra um pavimento de edifício em que se adotou a 
solução de laje sem vigas, apresentando-se nesse caso aliviada com elementos de 
enchimento, sendo, portanto, uma laje nervurada. A região próxima dos apoios 
apresenta-se maciça, configuração comumente adotada para resistir aos esforços de 
punção e melhorar o desempenho da laje no que se refere a momentos negativos. No 
caso de lajes apoiadas diretamente sobre pilares, deve-se tomar cuidado especial na 
verificação da punção, das deformações no meio do vão, e na determinação dos 
momentos negativos das lajes sobre os pilares. Esses momentos, quando as lajes são 
modeladas inadequadamente, podem apresentar valores muito diferentes dos que atuam 
em serviço. Portanto, o dimensionamento de tais momentos pode ser equivocado, 
podendo agredir tanto a economia como a segurança da obra. 
 
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28
L5532771
25
11 152
7 var
L7
25
7 var
L6
25
7 532
8 var
5 var
L3
25
11 771
93615
L9
243615
L8
364
344
290
234
180
125
93
323
359
384
409
434
459
484
509
532
532
532
532
532
93939393939324
3
24
3
24
3
24
3
24
3
24
3
353
377
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726
750
771
771
771
771
771
112
118
124
130
136
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152
152
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12
00
12
00
12
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12
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12
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12
00
12
00
12
00
12
00
L2
15
8 201
1661125
L4
7 346
11 1048
7 914
11 480
7445
15 1200
4 376
532771
771
771
771
771
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152
152
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16
6
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201
201
201
201
201
201
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95
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37
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37
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63
9
37
6
10
26
12
00
6399
L1
25
Det 1
Det 1
Det 1
Det 1
Det 4
Det 4
Det 2
Det 2
Det 2
Det 2
Det 5
Det 5
Det 5
 
Figura 1.6 Laje sem vigas (Projeto: Eng. Giovanni Brisot, Msc. –RCA Engenharia de Estruturas). 
 
No presente trabalho serão abordadas exclusivamente lajes de concreto armado 
maciças, com armadura passiva (não protendida), comportamento linear e no regime 
elástico. Não serão adotados capitéis nem painéis de transição (“drop panels”), pois 
serão estudados exclusivamente esforços da laje em serviço, e não a necessidade de 
reforços nessa para o dimensionamento. As cargas aplicadas na laje serão sempre 
normais ao seu plano médio, portanto cargas provenientes de esforços horizontais, como 
o vento, ou mesmo deslocamento da estrutura, não serão consideradas. O estudo se 
concentrará na modelagem da laje e na obtenção de resultados, especialmente 
momentos fletores e deslocamentos. A ligação laje-pilar não terá ênfase no trabalho, 
podendo essa ser objeto de estudos futuros. 
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29
1.2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DAS LAJES PLANAS 
1.2.1 VANTAGENS DAS LAJES PLANAS 
A solução de lajes planas tem sido cada vez mais utilizada nos pavimentos de 
edifícios, principalmente em virtude de diversas vantagens que o sistema apresenta se 
comparado aos sistemas estruturais convencionais compostos de lajes, vigas altas e 
pilares. As principais vantagens que podem ser citadas, conforme Moretto e, também 
Figueiredo (1989) são: 
a) Adaptabilidade de diversas formas ambientais: grandes possibilidades de 
reformas e modificações futuras, racionalização de vedações e aberturas, execução de 
fachadas com grande liberdade; 
b) Simplificação das fôrmas: menor consumo de materiais, as fôrmas 
apresentam um plano contínuo sem obstáculos, as espessuras das lajes podem ser 
uniformizadas, as fôrmas são montadas e desmontadas com maior facilidade, menor 
incidência de mão-de-obra, racionalização e padronização dos cimbramentos; 
c) Simplificação e racionalização das armaduras: ausência de vigas, 
operações de corte, dobra e montagem facilitadas,facilidade de inspeção e conferência; 
d) Simplificação da concretagem: poucos recortes nas lajes, facilitando o 
acesso de vibradores, reduzindo a possibilidade de falhas e melhorando o acabamento; 
e) Diminuição de revestimentos: estruturas com ótimo acabamento, 
dispensando revestimento, redução da superfície a ser revestida, redução da mão-de-
obra e consumo de materiais; 
f) Redução da quantidade de cimento: na concretagem de sistemas 
convencionais onde há grande incidência de vigas pode ser necessário um concreto mais 
fluído; 
ESTUDOS SOBRE A MODELAGEM DE LAJES PLANAS 
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30
g) Redução da altura total do edifício: se houver, por imposição do código de 
obras a limitação da altura de um edifício; 
h) Simplificação das instalações: menor quantidade de condutos e fios 
necessários, menor incidência de cortes e emendas, melhor qualidade do produto final, 
redução de mão-de-obra, modificações futuras são facilitadas, racionalização das 
tarefas, possibilidade de perfuração da laje para passagem de tubulação; 
i) Melhoria das condições de habitabilidade: a ausência de vigas facilita a 
insolação e ventilação dos ambientes, diminuindo a umidade, redução do acúmulo de 
sujeira e insetos; 
j) Redução do tempo de execução: em função da simplificação nas fôrmas, 
armaduras, concretagem e instalações. 
 
1.2.2 DESVANTAGENS DAS LAJES PLANAS 
Mesmo apresentando muitas vantagens, existem algumas desvantagens que 
devem ser observadas, podendo inclusive ser decisivas para a adoção ou não do sistema 
estrutural com lajes planas, tais como: 
a) Punção das lajes: é um dos principais problemas de tais lajes, podendo ser 
solucionado adotando-se uma espessura de laje adequada ou adotando uma armadura de 
punção, ou ambos; 
b) Deslocamentos transversais das lajes: o deslocamento de lajes sem vigas, 
para uma mesma rigidez e um mesmo vão, é maior do que aqueles nas lajes sobre vigas; 
c) Estabilidade global do edifício: no caso de edifícios altos, a ausência de 
vigas diminui a estabilidade global devido às ações horizontais, nesse caso deve-se 
vincular as lajes em paredes estruturais ou em núcleos rígidos. 
 
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31
1.3 HISTÓRICO 
Com o desenvolvimento e as exigências das edificações de concreto armado, as 
lajes sem vigas passaram a ser uma solução interessante. Embora hoje seja um sistema 
amplamente utilizado, as lajes sem vigas foram, desde o início, objeto de 
questionamento tanto pelo meio técnico, como pelo meio executivo. 
Por muitos séculos as construções foram executadas com madeira e pedra. Os 
assoalhos de madeira absorviam as cargas, as quais eram transferidas às vigas 
transversais em madeira, que então eram ligadas às vigas principais (vigas mestras) 
também de madeira ou a paredes ou pilares de pedras. Mesmo com o surgimento do aço 
como material de construção, os pisos de edifícios foram, no princípio, imitações dos 
antigos pisos construídos em madeira e pedra. Os perfis metálicos inicialmente 
passaram a substituir as vigas mestras ou principais. Com o surgimento do concreto 
armado, as estruturas também seguiram o mesmo sistema que era adotado em madeira e 
pedra. Entretanto, para as lajes planas, não ocorreu o mesmo, visto que a sua concepção 
era totalmente diferente dos sistemas até então adotados. (COELHO, 2000). 
O primeiro edifício em lajes sem vigas foi o C.A. Bovey Building, construído 
por C.A.P. Turner, em 1906, Minneapolis, Minnesota. A obra foi executada em virtude 
da necessidade de se obter um teto totalmente liso. Não havendo método de cálculo 
disponível na época, a construção foi executada e submetida a testes de carga, antes de 
sua utilização, tendo se apresentado eficiente. (FILHO, 1989). 
Entretanto, embora a estrutura tenha sido aprovada pelo teste de carga e a 
iniciativa de Turner aplaudida por muitos no meio técnico, não lhe faltaram críticas, 
principalmente após a publicação dos resultados de McMillan e Brayton (1910), os 
quais mostraram, para a mesma laje e carregamento, variações de até 400% na 
quantidade de armadura requerida por vários métodos de cálculo. 
Em 1908, na União Soviética, o engenheiro A. F. Loleyt projetou e construiu um 
edifício de quatro pavimentos para depósito em Moscou. Maillart também executou um 
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32
edifício sem vigas em Zurique. E apesar das críticas, até 1913 mais de 1000 edificações 
sem vigas foram executadas em todo o mundo, utilizando o mesmo procedimento 
empírico. (FILHO, 1989). 
O comportamento das lajes sem vigas pode ser mais bem entendido quando Lord 
(1910), fez medidas de deformações em um piso de edifício sem vigas. Os primeiros 
ensaios em laboratório de lajes sem vigas foram realizados por Bach e Graf, entre 1911 
e 1914. Em 1914, o engenheiro Nichols apresentou um trabalho, partindo das condições 
de equilíbrio, criticando o método de Turner e mostrando valores de momento 
superiores aos obtidos por ele. Turner rebateu dizendo que os resultados de Nichols 
eram um absurdo, e os resultados estavam a seu favor, já que seus edifícios estavam em 
funcionamento e todos se comportaram bem ao teste de carga. (FILHO, 1989). 
A fórmula de Nichols foi adotada pelo “First Joint Comitee”, em 1917. O 
Código da ACI de 1920 foi o que primeiro fez recomendações práticas sobre as lajes 
planas, muito embora o conhecimento do comportamento da estrutura e métodos para 
sua análise fosse uma incógnita para os engenheiros. (FILHO, 1989). 
Em 1921, Westergaard e Slater publicaram um trabalho sobre análise e projeto 
de lajes, incluindo a teoria elástica das placas. O Código de 1956 da ACI ainda utilizava 
uma equação baseada na de Nichols, e chamou de método empírico. No Código de 1971 
da ACI, o método empírico passou a se chamar método direto. No ACI 83 o método foi 
simplificado, e a transformação do momento total em positivos e negativos passou a ser 
executada em função das condições de apoio e existência ou não de vigas. No Código 
de 1971 a análise elástica das lajes sem vigas passou a se chamar de Método dos 
Pórticos Equivalentes, e abrangia o cálculo de todos os tipos de lajes armadas em duas 
direções, com ou sem vigas entre os apoios. 
O CEB 78 é a principal alternativa para o Código do ACI. O código europeu 
permite o uso da Teoria das Linhas de Ruptura, ou Teoria das Charneiras Plásticas. No 
caso de lajes não retangulares e para as lajes sem vigas com malha irregular de pilares, a 
Teoria das Linhas de Ruptura fornece uma boa alternativa. Essa teoria foi desenvolvida 
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33
por Ingerslev (1921) e, posteriormente por Johansen (1962). O Método das Faixas, 
proposto por Hillerborg (1975), forneceu uma alternativa plástica para a análise das 
lajes. 
A NBR6118 de 1978, recomenda o cálculo das lajes sem vigas pela Teoria das 
Charneiras Plásticas, e quando os pilares estiverem em malha ortogonal e a espessura da 
laje obedecer aos limites especificados em norma, é permitido que se calcule a laje pelo 
Método dos Pórticos Múltiplos. 
Atualmente, os métodos numéricos de análise e projeto de lajes têm sido muito 
difundidos no meio técnico, destacando-se o Método das Diferenças Finitas, o Método 
dos Elementos Finitos e o Método de Analogia de Grelha. O Método das Diferenças 
Finitas foi desenvolvido por Stüsse e Collatz, sendo que esse método foi, juntamente 
com o de Marcus (1929), amplamente utilizado para a elaboração de tabelas de 
dimensionamento de lajes. A deficiência desse método está no fato de o mesmo 
considerar as vigas como apoios indeslocáveis, sendo que, durante muitotempo, as 
estruturas eram executadas dessa maneira: com vigas de elevada rigidez ou alvenarias 
robustas de apoio. O Método dos Elementos Finitos, desenvolvido por Turner, Clough, 
Martin e Topp, em 1956, e o Método de Analogia de Grelha (Framework Method), 
desenvolvido inicialmente por Hrennikoff em 1941, não tiveram um desenvolvimento 
muito amplo em sua época devido à deficiência de recursos computacionais. 
Atualmente, com o avanço tecnológico e o desenvolvimento de computadores potentes, 
os dois métodos são amplamente utilizados em programas comerciais de análise e de 
cálculo estrutural. 
Apesar das críticas sobre os edifícios de Turner, o sistema de lajes sem vigas se 
desenvolveu e, hoje em dia, é sabido que o sistema é seguro e eficiente, contudo busca-
se solucionar e melhorar o modelamento e conseqüente dimensionamento das lajes 
planas sem vigas ou lajes cogumelo. 
 
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34
1.4 MOTIVAÇÃO 
A crescente aplicação de lajes planas em estruturas de edifícios se deve 
basicamente a dois motivos: 
a) Exigência de estruturas com melhor desempenho executivo, ou seja, de 
execução mais simples e rápida e com redução de custos; e melhor desempenho 
funcional, permitindo que se tenham ambientes mais confortáveis e personalizados; 
b) Maior facilidade na elaboração de projetos com lajes planas, em virtude do 
desenvolvimento de programas avançados de cálculo estrutural, que utilizam análise por 
Elementos Finitos e Analogia de Grelha. 
Atualmente, edifícios residenciais, comerciais e industriais, e até mesmo 
residências, têm utilizado as lajes planas como sistema estrutural para os seus pisos. A 
motivação desse trabalho baseia-se no fato de poder contribuir com informações e 
conclusões que possam ser adotadas como parâmetros de projeto, ou possam direcionar 
projetistas para o uso adequado das lajes planas. Ainda, pretende-se colocar em 
discussão assuntos importantes a respeito desse sistema estrutural, de modo que esses 
sejam objeto de estudos e trabalhos futuros. 
 
1.5 OBJETIVOS 
Embora as lajes planas sejam utilizadas na prática há muito tempo, os estudos 
acerca de seu comportamento em serviço não são muitos. O Método dos Elementos 
Finitos apresenta resultados pouco satisfatórios nas proximidades do pilar para 
momentos fletores quando o pilar é modelado como um ponto e/ou a malha da laje não 
é corretamente modelada. Por outro lado, a utilização do método de Analogia de Grelha 
aplicado a esse sistema estrutural não apresenta muitas publicações, e os seus resultados 
também podem ser equivocados, quando a laje é inadequadamente modelada e/ou 
analisada. 
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35
O objetivo principal do trabalho é comparar os resultados teóricos estudados 
pela Teoria das Placas, com o Método dos Elementos Finitos e a Analogia de Grelha, 
obtendo-se soluções satisfatórias para deslocamentos, momentos positivos e momentos 
negativos de lajes planas, esses últimos especialmente, na região sobre os pilares. Com 
isso, pretende-se definir uma modelagem adequada de grelha ou malha, para representar 
os esforços e deslocamentos reais, levando-se em conta as dimensões do pilar. Será 
também estudada na modelagem as dimensões do pilar e sua influência nos resultados, 
procurando-se definir o melhor modelo para o conjunto laje-pilar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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36
2 CÁLCULO DE LAJES PLANAS 
2.1 TEORIA DAS PLACAS EM REGIME ELÁSTICO 
2.1.1 INTRODUÇÃO 
As placas se encontram submetidas, fundamentalmente, a esforços de flexão, 
distinguindo-se das chapas, estruturas também planas, mas submetidas a cargas contidas 
no seu plano médio. O trabalho de flexão das placas exige que estas sejam delgadas; se 
a relação entre o lado menor e a espessura for inferior a 5, a placa pode ser considerada 
grossa, surgindo um estado triaxial de tensões de difícil estudo. 
As placas podem diferenciar-se pela sua forma (de contorno poligonal ou 
circular, maciças ou com espaços vazios); pela disposição de seus apoios (placas 
apoiadas no seu contorno, placas em balanço, placas contínuas em uma ou duas 
direções); pela forma do apoio (pontual ou lineares); pelo tipo de apoio (apoio simples 
ou engastamento). Cada placa pode, além disso, estar submetida a diferentes tipos de 
carga, como por exemplo, carga pontual, uniforme, triangular, etc. 
Para o cálculo dos esforços nas placas existem dois grupos de métodos. Os 
métodos clássicos, fundamentados na teoria da elasticidade, supondo que o material é 
homogêneo e isótropo e se comporta elasticamente, da mesma forma que se faz, para o 
cálculo de esforços em outros tipos de elementos estruturais. Já métodos de ruptura, 
fundamentados na teoria da plasticidade, supõem, ao contrário, que o material 
comporta-se como um corpo rígido - perfeitamente plástico. 
Através dos métodos clássicos obtêm-se, com boa aproximação, os esforços na 
situação de serviço, a partir dos quais pode-se definir a distribuição das armaduras na 
placa, de modo que a mesma apresente um bom comportamento em serviço. Os 
métodos de ruptura não proporcionam informação de qual a distribuição de armaduras 
adequada, mas permitem a obtenção mais racional da carga última na situação de 
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Orientador: Daniel Domingues Loriggio, Dr. 
37
esgotamento da placa. Ambos os sistemas são, portanto, de grande interesse, devendo-se 
escolher, em cada caso, o mais adequado para o objetivo que se pretende atingir. 
 
2.1.2 HIPÓTESES FUNDAMENTAIS 
O estudo das placas pode ser feito através de uma teoria simplificada, a Teoria 
das Placas Delgadas, que considera certas hipóteses fundamentais de cálculo, 
semelhantes às aplicadas as estruturas reticuladas, quando do estudo da Resistência dos 
Materiais. Tais hipóteses são conhecidas como hipóteses de Kirchoff-Love. São elas: 
a) O material da placa é homogêneo, isótropo e obedece à Lei de Hooke; 
b) A placa indeformada é plana; 
c) A espessura h é pequena em relação às dimensões da placa, da ordem de 
1/10; 
d) As tensões normais à superfície média são desprezíveis em relação às 
demais tensões; 
e) Os pontos pertencentes antes da deformação a retas normais à superfície 
média encontram-se, após a deformação, sobre retas perpendiculares à superfície média 
deformada; 
f) Os deslocamentos verticais são muito pequenos em relação à espessura h, 
sendo possível desprezar a influência dos mesmos no estudo das condições de 
equilíbrio; 
g) As deformações devidas ao cisalhamento são desprezadas. 
 
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38
2.1.3 EQUAÇÃO DE LAGRANGE 
A relação fundamental da teoria das placas elásticas delgadas é a Equação de 
Lagrange (eq. 2.1), válida para materiais em regime elástico linear. 
D
p
4y
4
2y2x
4
24x
4
=
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂ ωωω (2.1) 
Para a definição da Equação de Lagrange será estudado um elemento de placa, 
com dimensões dx e dy, submetido a uma carga distribuída q. Os esforços internos 
atuantes são: momentos fletores Mx e My; momentos torsores Mxy e Myx e esforços 
cortantes Qx e Qy. 
O equilíbrio do elemento é ilustrado nas figuras 2.1 e 2.2. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 Equilíbrio de um elemento de placa para as forças cortantes. 
 
 A carga total resultante da carga distribuída p aplicada em todo o elemento é 
dada por: 
pdxdyQ = (2.2) 
 Fazendo o equilíbrio das forças verticais: 
dxdy
y
yQ
yQ 



∂
∂
+ Y 
Z 
X 
pdxdy 
dx 
dy 
dydx
x
xQ
xQ 



∂
∂
+xdyQ
Qydx 
h 
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39
0pdxdydxyQdyxQdxdyy
yQ
yQdydxx
xQ
xQ =+−−







∂
∂
++



∂
∂
+ (2.3) 
que simplificando resulta em: 
p
y
yQ
x
xQ −=
∂
∂
+
∂
∂ (2.4) 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 Equilíbrio de um elemento de placa para momentos fletores e torsores. 
 
Fazendo o equilíbrio de momentos na direção X: 
0dxdyyQdxymdxdyy
ym
ymdyxymdydxx
xym
xym =−−







∂
∂
+−−







∂
∂
+ (2.5) 
yQx
xym
y
ym =
∂
∂
−
∂
∂
 (2.6) 
Fazendo o equilíbrio de momentos na direção Y: 
0dydxxQdyxmdydxx
xm
xmdxyxmdxdyy
yxm
yxm =−−



∂
∂
++−







∂
∂
+ (2.7) 
que simplificando resulta em: 
Y 
Z 
X 
dx 
dy 
dyxym h 
dyxm
dxym dxyxm
dxdy
y
ym
ym 



∂
∂
+ 
dxdy
y
yxm
yxm 



∂
∂
+
dydx
x
xm
xm 



∂
∂
+
dydx
x
xym
xym 



∂
∂
+
ESTUDOS SOBRE A MODELAGEM DE LAJES PLANAS 
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Orientador: Daniel Domingues Loriggio, Dr. 
40
xQy
yxm
x
xm =
∂
∂
+
∂
∂ (2.8) 
 Como mxy = - myx, pode-se obter: 
xQy
xym
x
xm =
∂
∂
−
∂
∂ (2.9) 
Substituindo-se (2.6) e (2.9) em (2.4), obtém-se: 
p
x
xym
y
ym
yy
xym
x
xm
x
−=







∂
∂
−
∂
∂
∂
∂+







∂
∂
−
∂
∂
∂
∂ (2.10) 
p
xx
xy2m
2y
y2m
yx
xy2m
2x
xm
2
−=
∂∂
∂
−
∂
∂
+
∂∂
∂
−
∂
∂ (2.11) 
p
xx
xy2m2
2y
y2m
2x
xm
2
−=
∂∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂ (2.12) 
 A equação 2.12 é a Equação Geral de Equilíbrio das Placas, válida para 
qualquer regime (plástico ou elástico), independente do coeficiente de Poisson, e 
independente se a placa é isotrópica ou ortotrópica. 
 Introduzindo-se a equação da linha elástica, ou seja, a curva do eixo da placa, 
imagina-se um elemento de uma placa com espessura h, a qual está submetida a um 
momento fletor mx, o qual provoca uma curvatura 1 / ρ (Figura 2.3). 
A relação deformação-curvatura pode ser escrita como: 
z
x1 ε
ρ
= (2.13) 
onde 
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 εx é a deformação específica de uma fibra localizada a uma distância z da 
superfície média da placa e ρ é o raio de curvatura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 Curvatura de um elemento de placa submetido a um momento mx. 
 
 Pode-se também escrever: 
2dx
21 ω
ρ
∂−= (2.14) 
onde 
 ω é o deslocamento da placa na direção z. 
 Substituindo (2.13) em (2.14), obtém-se: 
1 / ρ 
h 
z σx 
mx mx 
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2dx
2
zx
ωε ∂−= (2.15) 
 Como está se estudando uma placa, é válido para a outra direção escrever: 
2dy
2
zy
ωε ∂−= (2.16) 
 Para uma dimensão, a Lei de Hooke para material elástico linear é dada por: 
εσ ⋅= E (2.17) 
 Ampliando o conceito para duas dimensões, obtém-se as seguintes relações: 
( )yx1
E
x νεεν
σ +
−
= (2.18) 
( )xy1
E
y νεεν
σ +
−
= (2.19) 
( )νγτ += 12
E
xyxy (2.20) 
21
Ezx
ν
σ
−
−= (2.21) 
dz
2y
2
2x
2
21
Ezy 







∂
∂+
∂
∂
−
−= ωνω
ν
σ (2.22) 
 Observando-se a Figura 2.3, pode-se obter o momento mx por unidade de 
comprimento: 
∫
−
=
2h
2h
zdzzxm σ (2.23) 
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∫
−








∂
∂+
∂
∂
−
=
2h
2h
dz
2y
2
2x
2
21
E2zxm
ωνω
ν
 (2.24) 
logo, 








∂
∂+
∂
∂


 −
=
2y
2
2x
2
2112
3Eh
xm
ωνω
ν
 (2.25) 
 Da mesma forma, para a direção Y, pode-se obter: 








∂
∂+
∂
∂


 −
=
2x
2
2y
2
2112
3Eh
ym
ωνω
ν
 (2.26) 
 Definindo-se D como sendo a rigidez da placa: 


 −
=
2112
3EhD
ν
 (2.27) 
onde 
 E = módulo de deformação longitudinal do material da placa 
 h = espessura total da placa 
 ν = coeficiente de Poisson do material da placa 
chega-se a: 








∂
∂+
∂
∂−=
2y
2
2x
2
Dxm
ωνω (2.28) 








∂
∂+
∂
∂−=
2x
2
2y
2
Dym
ωνω (2.29) 
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 As tensões de cisalhamento geram um momento de torção, o qual pode ser 
calculado por: 
∫
−
=
2h
2h
zdzxyxym τ (2.30) 
 Analogamente, pode ser obtido: 
( )
yx
2
1Dxym ∂∂
∂−−= ων (2.31) 
 Substituindo-se as equações (2.28), (2.29) e (2.31) na Equação Geral de 
Equilíbrio das Placas (equação 2.12), obtém-se: 
D
p
4y
4
2y2x
4
24x
4
=
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂ ωωω (2.32) 
 Que é a Equação de Lagrange, que define a relação fundamental da teoria das 
placas delgadas, válida para materiais em regime elástico-linear. 
 A equação pode ser escrita também na forma Laplaciana: 
D
p4 =∇ ω onde 







∂
∂+
∂
∂=∇
2y
2
2x
22 (2.33) 
 
2.1.4 SOLUÇÃO EXATA DO PROBLEMA 
O problema descrito pela Equação de Lagrange apresenta poucas soluções 
exatas, se restringindo somente a casos comuns de geometria da placa e do 
carregamento. Alguns exemplos em que se têm as soluções exatas são lajes circulares e 
retangulares simplesmente apoiadas com carregamento uniformemente distribuído. A 
solução exata da Equação de Lagrange foi proposta por Timoshenko e Woinowsky-
Krieger (1959). Para uma placa retangular simplesmente apoiada, de dimensões a e b 
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(Figura 2.4), submetida a um carregamento bisenoidal distribuído sobre toda a sua 
superfície, dado por: 
b
ysen
a
xsenopp
ππ= (2.34) 
onde 
 po é o valor da carga distribuída no ponto central da placa. 
Da Equação de Lagrange, se obtém: 
b
ysen
a
xsen
D
op
4y
4
2y2x
4
2
4x
4 ππωωω =
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂ (2.35) 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 Placa retangular simplesmente apoiada com carregamento bisenoidal. 
 
 As condições de contorno dessa equação diferencial vêm impostas pelas 
condições existentes nos apoios da placa. 
Para x = 0 e x = a se obtém Mx = 0 e ω = 0 
E, analogamente: 
Y 
X 
O 
po 
a 
b 
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Para y = 0 e y = b se obtém My = 0 e ω = 0 
 Deve-se encontrar ω(x,y) tal que respeite a Equação de Lagrange, e as condições 
de contorno acima. Verifica-se a equação: 
( )
b
ysen
a
xsenCy,x ππω = (2.36) 
onde 
 C é uma constante que deve satisfazer a equação (2.34), a qual respeita 
imediatamente as condições de contorno de ω = 0 para x = 0 e x = a e para y = 0 e y = 
b. Substituindo-se (2.36) na equação (2.35) resulta: 
2
2b
1
2a
1C4
D
op








+= π (2.37) 
 Assim, 
2
2b
1
2a
1D4
opC








+
=
π
 (2.38) 
 Substituindo-se a equação (2.38) em (2.36) tem-se: 
( )
b
y
sen
a
xsen
2
2b
1
2a
1D4
opy,x ππ
π
ω








+
= (2.39) 
que representa o campo de deslocamentos para a placa. 
 Utilizando as equações (2.28), (2.29) e (2.31), as quais definem os momentos, 
são obtidos os campos de momentos fletores e torsores para a placa: 
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b
ysen
a
xsen
2b
1
2a
1
2
2b
1
2a
12
op
xm
ππν
π








+








+
= (2.40) 
b
ysen
a
xsen
2a
1
2b
1
2
2b
1
2a
12
op
ym
ππν
π








+








+
= (2.41) 
( )
b
y
sen
a
xsen
ab
1
2
2b