cap 11- concreto armado

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Capítulo 11 
 
ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DE LAJES 
MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO 
 
11.1 INTRODUÇÃO 
Nos capítulos anteriores tratamos da teoria e formulação básica necessária para 
o cálculo de elementos lineares submetidos a flexão simples. 
No presente capítulo, os conceitos e formulações para a análise, o 
dimensionamento e o detalhamento de lajes maciças de concreto armado, são 
apresentados. Todo o conteúdo foi quase que integralmente extraído de Araújo (2014). 
11.2 CONSIDERAÇOES INICIAIS SOBRE LAJES MACIÇAS DE EDIFICAÇÕES 
11.2.1 DEFINIÇÕES E TIPOS PRINCIPAIS DE LAJES NOS EDIFÍCIOS 
Como visto no Capítulo 5, os modelos estruturais podem ser idealizados por 
elementos estruturais básicos que formam sistemas estruturais que permitem 
representar de maneira clara os caminhos percorridos pelas ações até os apoios da 
estrutura. Os elementos estruturais básicos são classificados em elementos lineares e 
elementos de superfície. 
Lajes – são elementos estruturais de superfície que têm a função básica de receber as 
cargas de utilização das edificações, aplicadas no piso, e transmiti-las às vigas. 
Seguindo o caminho percorrido pelas ações, as vigas transmitem as cargas aos 
pilares e, a partir destes, o carregamento é transferido para as fundações. 
A lajes também servem para distribuir as ações horizontais entre os elementos 
estruturais de contraventamento. 
Lajes – são elementos bidimensionais planos cuja espessura ℎ é bem inferior às outras 
duas dimensões (𝑙𝑥, 𝑙𝑦), e que são solicitadas, predominantemente, por cargas 
perpendiculares ao seu plano médio – Figura 11.1. 
Os pavimentos das edificações podem ser executados com diferentes tipos de 
lajes, dentre as quais: 
 maciça – Figura 11.2; 
 nervurada – Figura 11.3; 
 lisa – Figura 11.4; 
 cogumelo – Figura 11.5; 
 pré-moldadas – Figura 11.6. 
 
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Figura 11.1 – Lajes de concreto armado. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Figura 11.2 – Laje maciça. 
 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Figura 11.3 – Laje nervurada. 
 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Figura 11.4 – Laje lisa. 
 
 
Fonte: Araújo (2014). 
 
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Figura 11.5 – Laje cogumelo. 
 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Figura 11.6 – Laje pré-moldada. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
A definição do tipo de laje a ser utilizada depende de considerações econômicas, 
de segurança e de desempenho. Além disso, deve-se atender ao projeto arquitetônico. 
Maiores informações sobre cada tipo de laje acima citado, podem ser 
encontradas tanto nas referências clássicas (como o próprio Araújo (2014), Carvalho 
(2014), etc.) sobre concreto, quanto na web (em sites, canais, etc.). Neste Apostila, serão 
descritos os aspectos teóricos e a formulação necessária para a análise, o 
dimensionamento e o detalhamento de lajes maciças. Por meio do estudo destas, pode-
se apresentar melhor os conceitos relativos a flexão biaxial. 
Lajes maciças – são placas de espessura uniforme, apoiadas ao longo do seu contorno. 
Os apoios podem ser constituídos por vigas ou alvenarias. 
Observa-se que o termo laje é empregado para designar as placas de concreto 
armado. 
11.2.2 VÃOS TEÓRICOS DAS LAJES 
O vão teórico de uma laje é a distância entre os centros dos seus apoios. Quando 
se tratar de uma laje em balanço, o vão teórico é o comprimento da extremidade livre 
até o centro do apoio. A Figura 11.7 ilustra a geometria de uma laje contínua. A distância 
entre as faces internas dos apoios 𝑙0 é o chamado vão livre da laje. 
 
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Figura 11.7 – Geometria da laje para consideração do vão teórico. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Observa-se que na laje em balanço, 𝑙0 é a distância entre a extremidade livre e a 
face do interna do apoio. 
De acordo com a ABNT NBR 6118:2014, é desnecessário considerar como vão 
teórico valores maiores que: 
 Laje isolada: vão livre acrescido de 60% da espessura da laje; 
 Laje contínua: vão livre acrescido de 60% da espessura da laje no painel 
considerado. 
Para ambos os casos tem-se que: 
𝑙 = 𝑙0 + 0,6ℎ (11.1) 
OBSERVAÇÃO – Quando a largura das vigas não é muito grande, as diferenças entre 
a distância entre os centros dos apoios e os limites expressos pela Equação (11.1) são 
pequenas. Assim, nos edifícios é usual adotar como vão teórico a distância entre os 
centros dos apoios para lajes isoladas (ou contínuas) e, a distância entre a 
extremidade livre e o centro do apoio para lajes em balanço. 
11.2.3 CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES QUANTO A ARMAÇÃO 
Seja a laje retangular mostrada na Figura 11.8, simplesmente apoiada em todos 
os seus bordos e que está submetida a um carregamento de superfície uniformemente 
distribuído 𝑝. Admite-se que o contorno é indeformável. 
Figura 11.8 – Laje retangular sob contorno rígido. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
 
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Conforme mostrado em Araújo (2014), se o vão maior 𝑙𝑥 é bem maior que o vão 
menor 𝑙𝑦, então o momento na direção do menor vão é cerca de cinco vezes maior que 
o momento na direção do maior vão, isto é, 𝑀𝑦 = 5𝑀𝑥. Assim, pode-se classificar as 
lajes em lajes armadas em duas direções e em uma direção, como segue. 
A) LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ) 
Lajes armadas em cruz – São aquelas em que a relação entre o vão maior e o vão 
menor não é superior a 2. 
Nestes casos, os momentos fletores nas duas direções são importantes e devem 
ser calculados. Assim, deve-se realizar o dimensionamento e dispor armaduras nas 
direções correspondentes. A Figura 11.9 ilustra a situação. 
Figura 11.9 – Laje armada em cruz (apoios rígidos). 
 
Fonte: Araújo (2014). 
B) LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO 
Lajes armadas em uma direção – São aquelas em que a relação entre o vão maior e o 
vão menor é superior a 2. 
Nestes casos, os momentos fletores na direção do maior vão é pequeno e não 
precisa ser calculado. Basta adotar uma armadura de distribuição nesta direção. A Figura 
11.10 ilustra esta situação. 
Figura 11.10 – Laje armada em cruz (apoios rígidos). 
 
Fonte: Araújo (2014). 
 
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11.2.4 PROCEDIMENTO TRADICIONAL DE CÁLCULO DAS LAJES 
Por se tratar de uma placa, a formulação para determinação dos esforços 
internos e deslocamentos nas lajes é mais complexa, se comparado com os elementos 
lineares. Além disso, os esforços internos em um pavimento são função da interação 
entre as vigas e os pilares com as lajes. 
A análise do pavimento como uma estrutura única requer o emprego de métodos 
numéricos como o método de analogia de grelha (Figura 11.11) ou o método dos 
elementos finitos (mais refinado). Sistemas computacionais, comumente utilizados para 
o cálculo de estruturas de concreto armado, fazem uso da formulação matricial. 
Figura 11.11 – Análise de lajes por analogia de grelha. O pavimento é transformado em simples 
barras, mas ainda requer a solução de grandes matrizes. 
 
Disponível em: http://faq.altoqi.com.br/content/274/669/pt-br/rea%C3%A7%C3%B5es-negativas-em-
lajes.html (Acessado em 25.10.2020) 
Graças a capacidade dos computadores atuais, as análises têm se tornado cada 
vez mais sofisticadas, precisas e os modelos cada vez mais simulam com uma maior 
fidelidade os problemas físicos em questão. Entretanto, é imprescindível entender o 
funcionamento das estruturas por meio de modelos mais simplificados, antes de se 
realizar análise utilizandoos sofisticados softwares hoje disponíveis. A capacidade de 
abstração e entendimento é fundamental para concepção de estruturas eficientes e 
para que se possa fazer análises críticas de resultados obtidos por sistemas 
computacionais. 
Modelos simplificados são adotados a muito tempo e a sua validade tem sido 
comprovada na prática por meio da observação de estruturas antigas que se 
mantiveram seguras e apresentaram um bom desempenho durante toda a sua vida útil. 
OBSERVAÇÕES: 
(1) Todo modelo simplificado possui limitações, cabendo ao projetista conhecê-las; 
(2) O modelo numérico também possui limitações, uma vez que é elaborado a partir 
de um modelo teórico; 
(3) Aparentemente, a solução obtida por meio de software é mais precisa do que 
aquela obtida por meio de um modelo simplificado. Entretanto, isso pode não 
corresponder a realidade, pois a resposta estrutural obtida com o uso de software 
depende de vários parâmetros de entrada (como as condições de contorno e a rigidez 
dos elementos estruturais), os quais podem não corresponder a realidade física. Se 
esses dados forem mal avaliados, a resposta pode ser totalmente distorcida. 
 
 
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Nos procedimentos tradicionais de projeto, os diversos painéis de lajes que 
compõem o pavimento são tratados separadamente, como se eles fossem isolados. 
Assim, cada painel é denominado de laje. 
Quando as lajes são apoiadas em paredes ou vigas faz-se o cálculo separado de 
cada laje (painel) introduzindo as seguintes considerações: 
 Bordos internos: quando há continuidade com lajes vizinhas, admite-se um 
engastamento perfeito. Observa-se que isto só será verdadeiro se as rotações 
sobre as linhas de apoio forem nulas, o que acontece apenas em caso bem 
particulares; 
 Bordos externos: nestes bordos (ou nos bordos internos em que exista laje 
rebaixada), admite-se a condição de apoio simples. Isto corresponde a 
desconsiderar a capacidade de engastamento das vigas de bordo, o que é 
razoável, dada a baixa rigidez a torção destas vigas. 
Na Figura 11.12 ilustra-se um pavimento com 9 painéis de lajes. As linhas 
separando os painéis correspondem aos eixos das vigas de apoio. A laje L4 é rebaixada, 
como mostrado em detalhe no corte A-A. 
Figura 11.12 – Pavimento com 9 painéis de lajes. A laje L4 é rebaixada. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Geralmente faz-se lajes rebaixadas em banheiros, para a colocação das 
tubulações hidrossanitárias. Alternativamente, tais tubulações podem ser escondidas 
sob a laje por meio de um forro falso. Assim, a laje não necessitaria ser rebaixada. 
A convenção indicada na Figura 11.13 pode ser utilizada para representar as 
condições de apoio. 
Figura 11.13 – Convenção para as condições de apoio das lajes. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
 
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Na Figura 11.14 são mostradas as condições de apoio dos nove painéis de lajes 
do piso indicado na Figura 11.12. 
Figura 11.14 – Condições de apoio das lajes. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Em vez de calcular uma laje contínua contendo 9 painéis de lajes, podem-se 
calcular 9 lajes isoladas com as condições de contorno antes indicadas. Isto simplifica a 
análise, pois para os 9 casos isolados, existem soluções prontas, sejam analíticas ou por 
meio de tabelas. 
Este procedimento tradicional de análise requer que as hipóteses indicadas na 
Figura 11.12 sejam atendidas (engaste perfeito nos bordos comuns entre as lajes; vigas 
de apoio indeformáveis). 
Do cálculo das lajes isoladas obtêm-se os momentos fletores positivos nos vãos 
e os momentos negativos nos bordos engastados. 
Como cada laje foi calculada de forma isolada, em um bordo comum resultam 
dois valores para momento negativo – Figura 11.15. 
Figura 11.15 – Descontinuidade do diagrama de momentos fletores. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
 
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Como uma aproximação, pode-se adotar a média dos valores dos momentos 
negativos no bordo ou 80% do maior valor entre estes valores de momentos. Assim, o 
momento 𝑋 a ser considerado entre as lajes 𝐿1 e 𝐿2 na Figura 11.15 é: 
𝑋 = {
(𝑋1 + 𝑋2)/2
0,8 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, 𝑋2)
 
(11.2) 
em que 𝑋1 e 𝑋2 estão considerados em valor absoluto. 
Em geral não é necessário fazer nenhuma correção nos momentos positivos no 
centro das lajes. 
11.2.5 CARGAS NAS LAJES MACIÇAS 
As cargas atuantes nas lajes das edificações podem ser classificadas em cargas 
permanentes e em cargas acidentais. As primeiras são aquelas que ocorrem com valores 
constantes durante praticamente toda a vida útil da construção. Já as segundas, sofrem 
variações significativas durante a vida da construção. 
Os valores característicos das cargas permanentes podem ser obtidos por meio 
dos pesos específicos dos materiais de construção constantes na ABNT NBR 6120:2019. 
Nesta norma pode-se obter ainda os valores das cargas acidentais características. 
A) CARGAS PERMANENTES 
 Peso próprio da laje 
Seja um elemento de laje com 1 m2 de área conforme ilustrado na Figura 11.16. 
Considerando que o peso específico do concreto armado é 25 kN/m3, o peso próprio da 
laje por m2 é dado por: 
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑟ó𝑝𝑟𝑖𝑜 = 25ℎ 𝑘𝑁/𝑚2 (com ℎ em metros) (11.3) 
Figura 11.16 – Elemento de laje com carga unitária. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
 Revestimentos 
Seja a laje e seu revestimento típico mostrado na Figura 11.17. Pela norma ABNT 
NBR 6120:2019, pode-se obter os seguintes pesos de revestimento por unidade de área: 
o placa de mármore: 28 ∗ 0,025 = 0,70 𝑘𝑁/𝑚2 
o argamassa de assentamento: 21 ∗ 0,02 = 0,42 𝑘𝑁/𝑚2 
o reboco inferior: 21 ∗ 0,015 = 0,32 𝑘𝑁/𝑚2 
 
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o Peso total: 1,44 𝑘𝑁/𝑚2 
Figura 11.17 – Revestimentos típicos em lajes. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
 Enchimentos 
São utilizados em lajes rebaixadas, como mostrado na Figura 11.18. Pode-se 
obter o peso do enchimento por meio da seguinte expressão: 
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑟ó𝑝𝑟𝑖𝑜 = 12ℎ𝑟 𝑘𝑁/𝑚
2 (com ℎ𝑟 em metros) (11.4) 
Figura 11.18 – Enchimentos em lajes rebaixadas. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
 Peso de alvenarias 
Depende do tipo de tijolo utilizado e das espessuras do reboco e argamassa de 
assentamento. De acordo com Araújo (2014), pode-se adotar os seguintes valores: 
- Alvenaria de tijolos furados: 13 𝑘𝑁/𝑚3 
- Alvenaria de tijolos maciços: 18 𝑘𝑁/𝑚3 
A forma como a carga da alvenaria é considerada no cálculo dos esforços 
depende se a laje é armada em duas (em cruz) ou em uma direção. 
 Lajes armadas em cruz 
Quando a parede estiver afastada da região central, ou quando existirem várias 
paredes distribuídas sobre a superfície da laje (Figura 11.19), pode-se distribuir 
uniformemente o peso total das paredes pela área da laje. Assim: 
𝑝𝑎 = 𝛾𝑎
𝑏𝐻𝑙𝑝
𝑙𝑥𝑙𝑦
 , 𝑘𝑁/𝑚2 (11.5) 
em que: 
 - 𝑙𝑝 é a espessura da parede; 
 - 𝐻 é a altura da parede; 
 
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 - 𝛾𝑎 é o peso específico da alvenaria; 
 - 𝑙𝑥 e 𝑙𝑦 são os vãos da laje. 
Figura 11.19 – Alvenaria sobre laje armada em cruz. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Se houver apenas uma parede passando pelo centro, este procedimento não é 
indicado. 
 Lajes armadas em uma direção (com parede paralela ao vão maior) 
Neste caso, considera-se uma carga concentrada, conforme ilustrado na Figura 
11.20. A carga de alvenaria 𝑝𝑎, correspondendo a um metro de comprimento é dada 
por: 
𝑝𝑎 = 𝛾𝑎𝑏𝐻 , 𝑘𝑁/𝑚 (11.6) 
em que: 
- 𝑙𝑝 é a espessura da parede; 
- 𝐻 é a altura da parede; 
- 𝛾𝑎 é o peso específico da alvenaria. 
Figura 11.20– Carga concentrada decorrente de parede. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
O momento fletor devido à parede (na direção do vão de cálculo) a ser 
adicionado ao momento devido às outras cargas é dado por: 
 
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𝑀𝑥 = 𝑃𝑎𝑙𝑥/4 (11.7) 
 Lajes armadas em uma direção (com parede paralela ao vão menor) 
Necessita-se reforçar uma faixa nas proximidades da parede, tal como ilustrado 
na Figura 11.21. 
Figura 11.21 – Distribuição da armadura de reforço. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Se dois bordos na direção do vão de cálculo são apoio simples, a armadura 
principal deve ser reforçada para o momento adicional: 
𝑀𝑥 = 0,11𝑃𝑎𝑙𝑥 (11.8) 
em que 𝑃𝑎 é dada pela Equação (11.6). 
Necessita-se ainda prever uma armadura transversal adicional para o momento 
𝑀𝑦 (que em 𝑙𝑥/2 é aproximadamente igual a 𝑀𝑥) que deve ser disposta em todo o vão 
e pode ter comprimento igual a 0,6𝑙𝑥. Calcula-se então o momento pela Equação (11.8) 
e dimensiona-se uma armadura adicional para a região da parede. A Figura 11.21 indica 
a faixa de reforço e a distribuição da armadura. 
B) CARGAS ACIDENTAIS 
São definidas em função do uso da edificação. As cargas verticais que atuam nos 
pavimentos das edificações são oriundas do peso de pessoas, móveis, utensílios, 
veículos, etc., e são supostas uniformemente distribuídas – Tabela 11.1. Os valores 
mínimos desses carregamentos são fornecidos pela ABNT NBR 6120:2019. 
Tabela 11.1 – Cargas acidentais em edifícios residenciais. Fonte: Araújo (2014). 
Local Carga (𝑘𝑁/𝑚2) 
Dormitórios, sala, copa, cozinha, banheiro 1,50 
Dispensa, área de serviço, lavanderia 2,00 
Escadas (sem acesso ao público) 2,50 
Forros (sem acesso a pessoas) 0,50 
Terraços 2,00 
 
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11.3 ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO DAS LAJES MACIÇAS ARMADAS EM 
UMA DIREÇÃO 
11.3.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS 
Nas lajes armadas em uma direção, apenas o momento fletor na direção do 
menor vão necessita ser calculado. Esse cálculo pode ser feito, de maneira simplificada 
e a favor da segurança, considerando-se uma faixa de largura unitária na direção do vão 
menor. O momento fletor nessa direção é obtido como para uma viga de largura 
unitária. 
Na Figura 11.22, indicam-se as condições de apoio e os diagramas de momentos 
fletores na direção do menor vão das lajes armadas em uma direção. As lajes estão 
submetidas a uma carga uniformemente distribuída 𝑝, sendo 𝑙𝑥 o vão de cálculo. 
Figura 11.22 – Distribuição da armadura de reforço. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
 Os momentos fletores indicados na Figura 11.22 têm as expressões seguintes, 
conforme o caso: 
Caso 1: Laje apoiada em dois lados. 
O momento positivo máximo, 𝑀, é dado por: 
𝑀 = 
𝑝𝑙𝑥
2
8
 [𝑘𝑁𝑚/𝑚] (11.9) 
 
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Caso 2: Laje apoiada em um lado e engastada no outro. 
 O momento positivo máximo vale: 
𝑀 = 
𝑝𝑙𝑥
2
14,22
 [𝑘𝑁𝑚/𝑚] (11.10) 
Caso 3: Laje engastada em dois lados 
 Neste caso, tem-se: 
𝑀 = 
𝑝𝑙𝑥
2
24
; 𝑀𝑒 = − 
𝑝𝑙𝑥
2
12
 [𝑘𝑁𝑚/𝑚] (11.11) 
Caso 4: Laje em balanço. 
 O momento de engastamento é dado por: 
𝑀𝑒 = − 
𝑝𝑙𝑥
2
2
 [𝑘𝑁𝑚/𝑚] (11.12) 
 A flecha 𝑊 no centro das lajes apoiadas ou na extremidade livre das lajes em 
balanço é dada por: 
𝑊 = 
𝑘
384
 
𝑝𝑙𝑥
4
𝐷
 [𝑘𝑁𝑚/𝑚] (11.13) 
em que 𝑘 (dado na Tabela 11.2) é um coeficiente que depende das condições de apoio 
e 𝐷 é a rigidez à flexão da laje dada por: 
𝐷 = 
𝐸𝑐𝑠ℎ
3
12(1 − 𝜈2)
 [𝑘𝑁𝑚] (11.14) 
em que: 
 𝐸𝑐𝑠 é módulo de deformação longitudinal secante do concreto e; 
 𝜈 é coeficiente de Poisson do concreto (𝑣 = 0,2). 
Tabela 11.2 – Coeficientes para o cálculo da flecha. Fonte: Araújo (2014). 
Caso 𝑘 Local 
1 5 centro 
2 2 centro 
3 1 centro 
4 48 extremo 
 A Equação (11.13) deve ser modificada para levar em conta a fluência do 
concreto, conforme é apresentado no Capítulo 2. 
 As reações de apoio nos lados maiores podem ser calculadas de forma análoga, 
considerando a faixa de largura unitária na direção do menor vão. Essas reações são 
indicadas na Figura 11.23, sendo consideradas uniformemente distribuídas ao longo do 
lado 𝑙𝑦. Na tabela 11.3, apresentam-se as expressões das reações de apoio. 
 
 
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 Figura 11.23 – Reações de apoio nos lados de comprimento 𝑙𝑦.. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Tabela 11.3 – Reações de apoio nos lados maiores das lajes. Fonte: Araújo (2014). 
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 
𝑅𝑦 =
𝑝𝑙𝑥
2
 𝑅𝑦 =
3𝑝𝑙𝑥
8
 𝑅𝑦𝑒 =
𝑝𝑙𝑥
2
 
𝑅𝑦𝑒 = 𝑝𝑙𝑥 
 
𝑅𝑦𝑒 =
5𝑝𝑙𝑥
8
 
 
 De acordo com Araújo (2014), com esses cálculos dos momentos fletores e das 
reações de apoio, garante-se o equilibrio dos momentos fletores no pavimento como 
um todo, segundo as duas direções. 
11.3.2 LAJES CONTÍNUAS ARMADAS EM UMA DIREÇÃO 
Seja a laje contínua mostrada na Figura 11.24, em que o vão 𝑙𝑦 é superior ao 
dobro de todos os demais vãos da direção 𝑥. Assim, todos os painéis de laje são armados 
na direção 𝑥. 
 Figura 11.24 – Laje contínua. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Neste caso, a laje pode ser calculada como uma viga contínua de largura unitária. 
Entretanto, para o cálculo dos momentos negativos, deve-se engastar os apoios 
intermediários, e cada painel de laje é considerado como uma laje isolada. 
 
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Para se obter os momentos fletores positivos nos vãos, a serem utilizando no 
dimensionamento da laje, considera-se os maiores valores obtidos no cálculo da 
estrutura como se a mesma fosse contínua e resultantes da análise da estrutura com se 
esta fosse composta de painéis isolados. 
11.3.3 EXEMPLOS SOBRE LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO 
EXEMPLO 11.1 (Extraído de Araújo (2014), volume 2, página 21). 
Calcule os momentos fletores da laje representada na Figura 11.24. Dados: 𝑙𝑥1 = 𝑙𝑥3 =
4 𝑚; 𝑙𝑥2 = 3 𝑚; 𝑙𝑥4 = 2 𝑚; 𝑝 = 5𝑘𝑁/𝑚
2. 
Na Figura 11.25, representa-se o diagrama de momentos fletores obtidos do 
cálculo da laje como viga contínua. Este pode ser obtido por meio dos métodos clássicos 
da hiperestática (método das forças, método dos deslocamentos e processo de Cross), 
por análise matricial ou ainda por meio de plataformas educacionais como o Ftool. 
 Figura 11.25 – Diagrama de momentos fletores da faixa considerada da laje. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
 O cálculo considerando engastamento perfeito nos apoios internos é feito com 
as Equações (11.9) a (11.12). Estes valores são mostrados na Figura 11.26. 
 Figura 11.26 – Diagrama de momentos fletores obtido engastando os apoios internos. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
 Comparando os dois diagramas, verifica-se que os maiores momentos fletores 
positivos, os quais serão empregados para o dimensionamento das armaduras nos vão 
da laje, são os seguintes: 
 
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 Vão 1: 𝑀 = 6,78 𝑘𝑁𝑚/𝑚 (obtido do primeiro cálculo); 
 Vão 2: 𝑀 = 1,88 𝑘𝑁𝑚/𝑚 (obtido do segundo cálculo); 
 Vão 3: 𝑀 = 4,61 𝑘𝑁𝑚/𝑚 (obtido do primeiro cálculo); 
 Vão 4: 𝑀 = 1,41 𝑘𝑁𝑚/𝑚 (obtido do segundo cálculo). 
 Os momentos negativos a serem utilizados no dimensionamento, são os 
indicados na Figura 11.26. 
 Analisando o diagrama da Figura 11.26, verifica-se que resultaram dois valores 
distintos para o momento negativo nos apoios internos. Isto ocorreu porque os tramos 
foram calculadosisoladamente. Uma boa estimativa do momento fletor negativo 𝑋 é 
dado na Equação (11.2), 
 Por exemplo, considerando o primeiro apoio interno da Figura 11.26, resulta em: 
𝑋 ≥ {
10 + 3,75
2
= 6,88
0,8 × 10 = 8
} ⟹ 𝑋 = 8𝑘𝑁𝑚/𝑚 (11.15) 
Na Tabela 11.4, são apresentados os valores dos momentos negativos obtidos 
com essa aproximação e através do cálculo como viga contínua. 
Tabela 11.4 – Momentos negativos. Fonte: Araújo (2014). 
Apoio interno Cáclulo como viga contínua Cálculo com a Equação (11.2) 
1 -7,07 -8,00 
2 -4,94 -5,34 
3 -5,85 -5,34 
Observa-se que os resultados obtidos com a Equação (11.2) aproximam-se 
satisfatoriamente daqueles encontrados através do cálculo como viga contínua. 
EXEMPLO 11.2 - Cálculo de uma marquise (Extraído de Araújo (2014), vol. 2, pág. 31). 
As marquises são lajes em balanço, geralmente engastadas em uma viga de borda, 
sendo calculada como as lajes armadas em uma direção. Por sua vez, a viga de 
sustentação da marquise está submetida à torção com flexão. 
Seja a marquise mostrada na Figura 11.27. Para reduzir o peso próprio, e evitar o 
acúmulo de água da chuva, a espessura da laje é variável. 
Para a determinação do carregamento na marquise, são feitas as seguintes 
considerações: 
  o peso próprio é obtido com a espessura média da laje; 
  o peso do revestimento é igual a 1,0 𝑘𝑁/𝑚2; 
  a carga acidental é igual à carga de forros sem acesso a pessoas; 
  na extrem. livre atua uma carga linear de 1,0 𝑘𝑁/𝑚 (carga acidental concentrada). 
 
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18 
Figura 11.27 – Geometria da marquise. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
SOLUÇÃO 
1) Cargas 
  Peso próprio = 25(0,10 + 0,07)/2 = 2,03𝑘𝑁/𝑚2 
  Revestimento = 1,00𝑘𝑁/𝑚2 
  Carga acidental = 0,50 𝑘𝑁/𝑚2 
  Carga uniformemente distribuída = 3,63 𝑘𝑁/𝑚2 
  Carga linear no extremo livre = 1,00𝑘𝑁/𝑚 
2) Modelo de cálculo e esforços 
A marquise será calculada como uma viga em balanço de um metro de largura. O modelo 
de cálculo e os diagramas de esforços solicitantes são idicados na Figura 11.28. 
 Figura 11.28 – Cargas e esforços em uma faixa de 1 m. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Os esforços solicitantes característicos (ou de serviço), necessários para o 
dimensionamento da marquise, são dados pelos cálculos a seguir. 
 
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19 
  Momento fletor: 
𝑋 = −3,63 
(1,6)2
2
− 1,0𝑥1,6 = 6,25𝑘𝑁𝑚/𝑚 
  Esforço cortante: 
𝑉 = 3,63𝑥1,6 + 1,0 = 6,8𝑘𝑁/𝑚 
Esses esforços correspondem a uma faixa de largura igual a um metro. Logo, a seção 
transversal para o dimensionamento da armadura é a seção retangular indicada na 
Figura 11.29. 
 Figura 11.29 – Seção transversal para dimensionamento. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
 A armadura longitudinal de tração calculada tem uma área 𝐴𝑠. Para explicar que 
essa armadura é distribuída em uma faixa de 1 𝑚 de largura, empregam-se as unidades 
𝑐𝑚2/𝑚. Essa armadura é colocada na face superior da marquise no sentido do balanço 
(pois o momento fletor é negativo). No sentido longitudinal, adota-se uma armadura de 
distribuição. O detalhamento dessas armaduras é apresentado posteriormente. 
 Com o esforço cortante máximo, deve-se verificar se a espessura adotada é 
suficiente para dispensar o uso de armadura transversal, conforme foi apresentado no 
Capítulo 7. Além disso, é necessário calcular a flecha na extremidade do balanço. 
EXEMPLO 11.3 - Cálculo de sacadas (Extraído de Araújo (2014), vol. 2, pág. 34). 
Calculo das sacadas em balanço é análogo ao cálculo das marquises. A diferença básica 
está no carregamento. 
No caso das sacadas básicas, a carga acidental uniformente distribuida pode ser 
considerada igual à carga acidental da peça contígua. Além disso, devem-se considerar 
as cargas decorrentes dos parapeitos. Na Figura 11.30, indica-se uma sacada em balanço 
contígua a uma sala de apartamento. 
Figura 11.30 – Sacada em balanço. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
 
 
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20 
SOLUÇÃO 
As cargas atuantes na sacada são as seguintes: 
 Carga uniforme 𝑝 
  peso próprio: 25ℎ 𝑘𝑁/𝑚2, onde h é a espessura da laje; 
  revestimento: 1,0 𝑘𝑁/𝑚2; 
  carga acidental: 1,5 𝑘𝑁/𝑚2. 
 Carga na extremidade livre 𝑄 
  peso do parapeito: 𝛾𝑎𝑏𝐻 𝑘𝑁/𝑚, (𝛾𝑎 é o peso especif. - concreto ou alvenaria); 
 carga acidental: 2𝑘𝑁/𝑚. 
11.4 ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO DAS LAJES MACIÇAS ARMADAS EM 
DUAS DIREÇÕES 
As denominadas lajes armadas em cruz são aquelas em que a relação entre os 
vãos é inferior a 2, conforme a classificação dada anteriormente. Para essas lajes, o 
cálculo dos esforços deve ser feito levando-se em conta sua flexão biaxial, o que 
aumenta consideravelmente a complexidade do problema. 
Diversos métodos de cálculo são disponíveis na bibliografia, e seguindo Araújo 
(2014), pode-se mencionar os seguintes: 
A – Teoria das Grelhas 
 É um método simplificado bastante útil para o projeto das lajes de concreto 
armado. Nesse método, admite-se um comportamento elástico linear do material da 
laje. Da teoria das grelhas, deriva o conhecido Método de Marcus. 
B – Teoria das linhas de ruptura 
 Nessa teoria, admite-se que o material apresenta um comportamento rígido-
plástico. O equilíbrio é garantido pela aplicação do princípio dos trabalhos virtuais, 
desprezando-se totalmente a contribuição das deformações elásticas. 
C – Teoria de flexão de placas 
 Esta é a teoria “exata” dentro dos princípios da teoria da elasticidade. A solução 
do problema é obtida resolvendo-se uma equação diferencial de quarta ordem, 
juntamente com as condições de contorno. Admite-se que o material apresenta um 
comportamento elástico linear. 
D – Analogia da grelha equivalente 
 É um dos métodos numéricos mais utilizados para análise de lajes de concreto 
armado, estando implementado em diversos softwares comercias. O método pode ser 
utilizado para a análise de lajes poligonais de forma diversas, incluindo também as vigas 
 
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21 
de apoio. A laje é associada a uma grelha equivalente, a qual é analisada com um 
programa baseado no método da rigidez. 
E – Método das diferenças finitas 
 É um método numérico que foi bastante empregado no passado. Geralmente, 
admite-se que o material é elástico linear, mas é possível incluir a não linearidade física 
sem maiores dificuldades. O inconveniente deste método está na dificuldade de 
generalização das condições de contorno e de carregamento, motivos pelos quais ele 
tem sido abandonado. 
F – Método dos elementos finitos 
 É um método numérico muito empregado atualmente. Nesse método, podem-
se considerar as não linearidades físicas e geométricas, as diferentes condições de 
contorno e de carregamento, formas diversificadas, etc. Entretanto, a formulação não é 
tão simples e o custo computacional pode ser considerável. 
 Análises por métodos numéricos requer estudos mais complexos tratados em 
disciplinas específicas da graduação (como o Método dos Elementos Finitos) e pós-
graduação (como a Teoria das Estruturas Laminares (ou Cascas e Placas)). A seguir serão 
apresentadas aspectos das formulações relativas a teoria de placas e dos métodos 
simplificados. 
11.4.1 TEORIA DE FLEXÃO DE PLACAS 
Por meio da teoria das placas finas de Kirchhoff pode-se obter a equação 
diferencial da placa, que é dada por: 
 
𝜕4𝑤
𝜕𝑥4
+ 2
𝜕4𝑤
𝜕𝑥2𝜕𝑦2
+
𝜕4𝑤
𝜕𝑦4
=
𝑝(𝑥, 𝑦)
𝐷
 (11.16) 
em que a função 𝑤(𝑥, 𝑦) deve atender a Equação (11.16) e as condições de contorno. 
A solução exata da equação diferencial da placa pode ser obtida apenas para 
alguns poucos casos particulares.Em casos mais gerais de carregamento e condições de 
contorno, as soluções podem ser obtidas por meio de expansões em séries de Fourier 
(solução de Navier e solução de Lévy). 
Obtendo 𝑤(𝑥, 𝑦) encontra-se os esforços internos solicitantes e reações de 
apoio: 
 momentos fletores 𝑀𝑥 e 𝑀𝑦; 
 momento torçor 𝑀𝑥𝑦; 
 esforços cortantes 𝑉𝑥 e 𝑉𝑦; 
 reações de apoio 𝑅𝑥 e 𝑅𝑦. 
Para simplificar o cálculo de esforços e reações em placas, diversas tabelas tem 
sido disponibilizadas na literatura. A seguir mostra-se como se faz a análise de lajes pelas 
tabelas de Kalmanok, tal como apresentado em Araújo (2014). 
 
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22 
EXEMPLO 11.4 – Laje retangular simplesmente apoiada em todo o contorno com carga 
 uniformemente distribuída (Extraído de Araújo (2014), vol. 2, pág. 34). 
Seja a laje retangular mostrada na Figura 11.31 com espessura ℎ = 10 𝑐𝑚. A laje 
corresponde ao pavimento de um dormitório de apartamento. Dado: 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎. 
Figura 11.31 – Laje retangular. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
SOLUÇÃO 
1) Carregamento atuante na laje: 
  peso próprio 𝑔1: 25ℎ = 25 × 0,10 = 2,5 𝑘𝑁/𝑚
2; 
  revestimento 𝑔2: 1,0 𝑘𝑁/𝑚
2; 
 carga permanente: 𝑔 = 𝑔1 + 𝑔2 = 3,5 𝑘𝑁/𝑚
2. 
  carga acidental 𝑞: 1,5 𝑘𝑁/𝑚2. 
 carga total: 𝑝 = 𝑔 + 𝑞 = 3,5 + 1,5 = 5,0 𝑘𝑁/𝑚2. 
2) Esforços internos e reações na laje: 
 Sendo 𝑙𝑥 = 4 𝑚 e 𝑙𝑦 = 3 𝑚, deve-se empregar a parte inferior da Tabela A2.1 
(Apêndice de Araújo (2014)). 
 Entrando com a relação entre os lados 𝑙𝑦 𝑙𝑥⁄ = 3 4⁄ = 0,75 (conforme 
instruções constantes no Apêndice 2 de Araújo (2014)), encontra-se os seguintes 
coeficientes nas Tabelas: 
 𝑤𝑐 = 6,62; 
 𝑚𝑥 = 44,2; 
 𝑚𝑦 = 68,3; 
 𝑚𝑥𝑦 = 46,3; 
 𝑟𝑥 = 303; 
 𝑟𝑦 = 263. 
Os esforços são então obtidos por meio das fórmulas constantes na página 365 
(𝑙𝑥 𝑙𝑦⁄ < 1) e página 366 (𝑙𝑦 𝑙𝑥⁄ < 1) do Apêndice 2 de Araújo (2014). Assim tem-se: 
Momentos fletores positivos no centro da laje: 
 𝑀𝑥 = 0,001𝑚𝑥𝑝𝑙𝑦
2 = 0,001 × 44,2 × 5,0 × 32 = 1,99 𝑘𝑁𝑚/𝑚; 
 
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23 
 𝑀𝑦 = 0,001𝑚𝑦𝑝𝑙𝑦
2 = 0,001 × 68,3 × 5,0 × 32 = 3,07 𝑘𝑁𝑚/𝑚; 
Momento torçor nos cantos: 
 𝑀𝑥𝑦 = 0,001𝑚𝑥𝑦𝑝𝑙𝑦
2 = 0,001 × 46,3 × 5,0 × 32 = 2,08 𝑘𝑁𝑚/𝑚; 
Reações de apoio: 
 𝑅𝑥 = 0,001𝑟𝑥𝑝𝑙𝑦 = 0,001 × 303 × 5,0 × 3 = 4,55 𝑘𝑁/𝑚; 
 𝑅𝑦 = 0,001𝑟𝑦𝑝𝑙𝑦 = 0,001 × 263 × 5,0 × 3 = 3,95 𝑘𝑁/𝑚; 
3) Cálculo da flecha inicial da laje 
A flecha inicial pelas equações do Apêndice 2 é dada por: 
𝑊0 = 0,001𝑤𝑐
𝑝0𝑙𝑦
4
𝐷
 
Na expressão anterior deve-se utilizar o carregamento quase-permanente 𝑝0. 
Este é dado por: 
𝑝0 = 𝑔 + 0,3𝑞 = 3,5 + 0,3 × 1,5 = 3,95 𝑘𝑁/𝑚
2. 
Por sua vez, a rigidez da placa 𝐷 é calculada por: 
𝐷 =
𝐸𝑠𝑐ℎ
3
12(1 − 𝜐2)
 
O módulo de elasticidade secante é dado por: 
𝐸𝑠𝑐 = 𝛼𝑖𝐸𝑐 
O valor de 𝛼𝑖 é dado por: 
𝛼𝑖 = 0,8 + 0,2(𝑓𝑐𝑘 80⁄ ) ≤ 1 
𝛼𝑖 = 0,8 + 0,2 × (30 80⁄ ) = 0,875 ≤ 1 
Já o valor de 𝐸𝑐, para um concreto com 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎 é calculado por meio de: 
𝐸𝑐 = 𝛼𝐸5600√𝑓𝑐𝑘 
Considerando que o concreto é constituído por agregado graúdo do tipo granito, 
tem-se que 𝛼𝐸 = 1 (Ver páginas 18 e 19 de Araújo (2014), Volume 01). Assim: 
𝐸𝑐 = 1 × 5600√30 = 30672,46 𝑀𝑃𝑎 
E então, o módulo de deformação longitudinal secante é: 
𝐸𝑠𝑐 = 0,875 × 30672,46 = 26838,40 𝑀𝑃𝑎 = 26838,40 × 10
3 𝑘𝑁/𝑚2 
E assim, se obtém o valor da rigidez da placa: 
𝐷 =
26838,40 × 103 × 0,13
12(1 − 0,22)
=
26838,40 × 103 × 0,13
12(1 − 0,22)
= 2329,72 𝑘𝑁𝑚 
Finalmente, a flecha inicial pode ser calculada: 
 
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24 
𝑊0 = 0,001𝑤𝑐
𝑝0𝑙𝑦
4
𝐷
= 0,001 × 6,62 ×
3,95 × 34
2329,72
= 0,0009092 𝑚 
Esta flecha não leva em consideração os efeitos da fluência e nem as 
deformações das vigas de apoio. 
Na Figura 11.32 indica-se os momentos e as reações de apoio calculadas. As 
armaduras devem ser calculadas e dispostas nas direções destes momentos fletores. 
Além disso, deve-se dispor uma armadura de canto, as quais devem ser dimensionadas 
para o momento torçor 𝑀𝑥𝑦 = 2,08 𝑘𝑁𝑚/𝑚. 
Figura 11.32 – Momentos fletores e reações de apoio. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
11.4.2 TEORIA DE GRELHAS PARA LAJES SOBRE APOIOS RÍGIDOS 
Para Araújo (2014), lajes armadas em duas direções que não possua rigidez a 
torção ou que sejam insuficientemente ancoradas nos cantos (para evitar o seu 
levantamento) pode ter seu cálculo feito pela teoria das grelhas. Usa-se ainda este 
método para o caso de lajes usuais em que as lajes são concretadas monoliticamente 
com as vigas, quando não se utiliza armaduras na face superior da laje – Figura 11.33. 
Figura 11.33 – Situações em que se pode aplicar a teoria das grelhas. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
No caso em que se concreta as lajes monoliticamente com as vigas, deve-se 
observar se a fissuração pode provocar o surgimento de patologias e assim 
comprometer a durabilidade. Lajes no interior dos edifícios residenciais e de escritórios 
ficam protegidas e, assim, podem prescindir da armadura de canto, o que simplificaria 
 
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25 
a execução. Todavia, em lajes com grandes vãos, recomenda-se o emprego de uma 
armadura mínima nos cantos para evitar fissuração. 
Seja a laje apoiada nos quatro lados e submetida a uma carga uniformemente 
distribuída 𝑝, conforme mostrado na Figura 11.34. Os vãos da mesma são 𝑙𝑥 e 𝑙𝑦 e os 
apoios são considerados indeformáveis. 
A análise por teoria de grelhas baseia-se na consideração de duas faixas de 
largura unitária que se cruzam no centro do painel, sendo dispostas uma em cada 
direção e, desse modo, admite-se que a flecha no centro da laje é igual para as duas 
faixas. Admite-se também que um carregamento total 𝑝 é dividido em quinhões de 
carga definidos segundo cada direção, sendo aqui representados por 𝑝𝑥 e 𝑝𝑦 e ilustrados 
na Figura 11.34. 
Figura 11.34 – Laje simplesmente apoiada nos quatro lados. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
 De acordo com esta formulação os quinhões de carga devem obedecer a 
seguinte equação: 
𝑝 = 𝑝𝑥 + 𝑝𝑦 (11.17) 
 A flecha no centro da faixa da direção 𝑥, sob a carga 𝑝𝑥, é dada por: 
𝑊𝑥 =
5
384
𝑝𝑥𝑙𝑥
4
𝐷
 (11.18) 
 Analogamente, a flecha no centro da faixa da direção 𝑦, sob a carga 𝑝𝑦, é dada 
por: 
𝑊𝑦 =
5
384
𝑝𝑦𝑙𝑦
4
𝐷
 (11.19) 
 Considerando que a flecha no centro da laje tem um valor único, pode-se igualar 
as Equações (11.18) e (11.19) e, dessa forma obter: 
𝑝𝑥𝑙𝑥
4 = 𝑝𝑦𝑙𝑦
4 (11.20) 
 
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26 
Da Equação (11.17) tem-se que: 
𝑝𝑦 = 𝑝 − 𝑝𝑥 (11.21) 
Substituindo a Equação (11.20) na Equação (11.21): 
𝑝𝑥 = (
𝑙𝑦
4
𝑙𝑥4 + 𝑙𝑦4
) (11.22) 
As Equações (11.21) e (11.22) permitem a obtenção dos quinhões de carga. 
Definindo a relação: 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
 (11.23) 
pode-se escrever a seguinte relação em que cada quinhão representa uma parcela do 
carregamento 𝑝: 
𝑝𝑥 = 𝑘𝑥𝑝 ; 𝑝𝑦 = 𝑘𝑦𝑝 (11.24) 
em que: 
𝑘𝑥 = 
𝜆4
1 + 𝜆4
; 𝑘𝑦 = 1 − 𝑘𝑥 (11.25) 
 Como se pode verificar na Equação (11.24) e (11.25), os quinhões dependem 
apenas da relação entre os vãos da laje. Conhecidos os quinhões pode-se obter os 
momentos fletores nas duas direções, as reações de apoio e a flecha. 
 Momento fletor da direção 𝑥. 
𝑀𝑥 =
𝑝𝑥𝑙𝑥
2
8
 (11.26) 
 Substituindo 𝑝𝑥 = 𝑘𝑥𝑝 tem-se: 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝑙𝑥
2; 𝑚𝑥 =
𝑘𝑥
8
 (11.27) 
 Momento fletor da direção 𝑦. 
𝑀𝑦 =𝑝𝑦𝑙𝑦
2
8
 (11.28) 
 Substituindo 𝑝𝑦 = 𝑘𝑦𝑝 tem-se: 
𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝑙𝑥
2; 𝑚𝑦 =
𝑘𝑦𝜆
2
8
 (11.29) 
 Reação de apoio 𝑅𝑥 
𝑅𝑥 = 𝑟𝑥𝑝𝑙𝑥; 𝑟𝑥 =
𝑘𝑦𝜆
2
 (11.30) 
 Reação de apoio 𝑅𝑦 
 
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27 
𝑅𝑦 = 𝑟𝑦𝑝𝑙𝑥; 𝑟𝑦 =
𝑘𝑥𝜆
2
 (11.31) 
 Flecha 
𝑊 = 𝑤𝑐
𝑝𝑙𝑥
4
𝐷
; 𝑤𝑐 =
5𝑘𝑥
384
 (11.32) 
Procede-se de forma semelhante para os demais casos de condições de contorno 
e assim se pode obter as formulações para o cálculo dos esforços em lajes retangulares 
armadas em cruz com apoios rígidos. A Figura 11.35 apresenta estes casos e em seguida 
a formulação respectiva. 
Figura 11.35 – Condições de contorno das lajes retangulares. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Caso 1 (demonstrado acima): 
𝑘𝑥 = 
𝜆4
1 + 𝜆4
; 𝑤𝑐 =
5𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 =
𝑘𝑥
8
; 𝑚𝑦 =
𝑘𝑦𝜆
2
8
; 𝑟𝑥 =
𝑘𝑦𝜆
2
; 𝑟𝑦 =
𝑘𝑥
2
 (11.33) 
Caso 2: 
𝑘𝑥 = 
5𝜆4
2 + 5𝜆4
; 𝑤𝑐 =
2𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 =
𝑘𝑥
14,22
; 𝑚𝑦 =
𝑘𝑦𝜆
2
8
; 𝑚𝑥𝑒 = −
𝑘𝑥
8
; 
 𝑟𝑥 =
𝑘𝑦𝜆
2
; 𝑟𝑦 =
3𝑘𝑥
8
; 𝑟𝑦𝑒 =
5𝑘𝑥
12
 
(11.34) 
Caso 3: 
𝑘𝑥 = 
5𝜆4
1 + 5𝜆4
; 𝑤𝑐 =
𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 =
𝑘𝑥
24
; 𝑚𝑦 =
𝑘𝑦𝜆
2
8
; 𝑚𝑥𝑒 = −
𝑘𝑥
12
; 
𝑟𝑥 =
𝑘𝑦𝜆
2
; 𝑟𝑦 =
𝑘𝑥
2
 
(11.35) 
 
 
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28 
Caso 4: 
𝑘𝑥 = 
𝜆4
1 + 𝜆4
; 𝑤𝑐 =
2𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 =
𝑘𝑥
14,22
; 𝑚𝑦 =
𝑘𝑦𝜆
2
14,22
; 𝑚𝑥𝑒 = −
𝑘𝑥
8
; 
𝑚𝑦𝑒 = −
𝑘𝑦𝜆
2
8
; 𝑟𝑥 =
3𝑘𝑦𝜆
8
; 𝑟𝑥𝑒 =
5𝑘𝑦𝜆
8
; 𝑟𝑦 =
3𝑘𝑥
8
; 𝑟𝑦𝑒 =
5𝑘𝑥
8
 
(11.36) 
Caso 5: 
𝑘𝑥 = 
2𝜆4
1 + 2𝜆4
; 𝑤𝑐 =
𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 =
𝑘𝑥
24
; 𝑚𝑦 =
𝑘𝑦𝜆
2
14,22
; 𝑚𝑥𝑒 = −
𝑘𝑥
12
; 
𝑚𝑦𝑒 = −
𝑘𝑦𝜆
2
8
; 𝑟𝑥 =
3𝑘𝑦𝜆
8
; 𝑟𝑥𝑒 =
5𝑘𝑦𝜆
8
; 𝑟𝑦 =
𝑘𝑥
2
 
(11.37) 
Caso 6: 
𝑘𝑥 = 
𝜆4
1 + 𝜆4
; 𝑤𝑐 =
𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 =
𝑘𝑥
24
; 𝑚𝑦 =
𝑘𝑦𝜆
2
24
; 𝑚𝑥𝑒 = −
𝑘𝑥
12
; 
𝑚𝑦𝑒 = −
𝑘𝑦𝜆
2
12
; 𝑟𝑥 =
𝑘𝑦𝜆
2
; 𝑟𝑦 =
𝑘𝑥
2
 
(11.38) 
 No Apêndice 2 de Araújo (2014) pode-se encontrar os coeficientes em tabelas 
construídas por meio das Equações (11.33) a (11.38). 
De posse dos coeficientes calculados a partir das expressões anteriores para o 
respectivo caso de condição de contorno, utiliza-se das equações abaixo para, por fim, 
calcular os momentos fletores, reações de apoio e flecha das lajes. 
 Para o cálculo da flecha: 
𝑊 = 𝑤𝑐
𝑝𝑙𝑥
4
𝐷
; 𝐷 = 
𝐸𝑐𝑠ℎ
3
12(1 − 𝜈2)
 (11.39) 
 Momentos fletores no centro da laje: 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝑙𝑥
2; 𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝑙𝑥
2 (11.40) 
 Momentos fletores negativos: 
𝑀𝑥𝑒 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝑙𝑥
2; 𝑀𝑦𝑒 = 𝑚𝑦𝑒𝑝𝑙𝑥
2 (11.41) 
 Reações nos lados apoiados: 
𝑅𝑥 = 𝑟𝑥𝑝𝑙𝑥; 𝑅𝑦 = 𝑟𝑦𝑝𝑙𝑥 (11.42) 
 Reações nos lados engastados: 
𝑅𝑥𝑒 = 𝑟𝑥𝑒𝑝𝑙𝑥; 𝑅𝑦𝑒 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝑙𝑥 (11.43) 
 
 
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29 
EXEMPLO 11.5 (Extraído de Araújo (2014), vol. 2, pág. 88). 
Calcular os momentos fletores e as reações de apoio da laje do EXEMPLO 11.4 utilizando 
a teoria de grelhas. 
SOLUÇÃO 
Entrando com a relação entre os lados 𝑙𝑦 𝑙𝑥⁄ = 3 4⁄ = 0,75 na Tabela A2.22 
pode-se obter os coeficientes e assim calcular os esforços e reações por meio das 
Equações (11.39) a (11.43). Assim, tem-se: 
Momentos fletores: 
 𝑀𝑥 = 2,40 𝑘𝑁𝑚/𝑚; 
 𝑀𝑦 = 4,27 𝑘𝑁𝑚/𝑚; 
Reações de apoio: 
 𝑅𝑥 = 5,70 𝑘𝑁/𝑚; 
 𝑅𝑦 = 2,40 𝑘𝑁/𝑚; 
11.4.3 MÉTODO DE MARCUS 
Este método é uma técnica simplificada que procura adaptar a teoria das grelhas 
para incluir os efeitos da torção da laje. 
Devido a rigidez à torção os valores dos momentos fletores positivos e a flecha 
das lajes ficam reduzidos em relação aos valores fornecidos pela teoria das grelhas. 
Assim, os valores dos momentos fletores positivos no centro da laje são dados 
por: 
𝑀𝑥𝑜 = 𝐶𝑥𝑀𝑥; 𝑀𝑦𝑜 = 𝐶𝑦𝑀𝑦 (11.44) 
em que 𝑀𝑥 e 𝑀𝑦 são os valores dos momentos fletores positivos calculados por meio da 
teoria das grelhas sobre apoio rígidos. 
 Os coeficientes 𝐶𝑥 < 1 e 𝐶𝑦 < 1 dependem das condições de contorno e da 
relação entre os vão da laje, sendo dado por: 
𝐶𝑥 = 1 −
20𝑘𝑥
30𝛼𝑥𝜆2
; 𝐶𝑦 = 1 −
20𝑘𝑦𝜆
2
30𝛼𝑦
 (11.45) 
em que: 
 faixa biapoiada: 𝛼 = 8; 
 faixa engastada e apoiada: 𝛼 = 14,22; 
 faixa biengastada: 𝛼 = 24. 
O método de Marcus é bastante utilizado e torna-se atrativo pela sua relativa 
simplicidade. 
 
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30 
11.5 DETALHAMENTO DE LAJES MACIÇAS 
11.5.1 ESPESSURAS MÍNIMAS 
As lajes devem ser projetadas com uma espessura mínima suficiente para limitar 
suas deformações, além de evitar vibrações que causem desconforto aos usuários da 
edificação. Além disso, do ponto de vista construtivo, é conveniente que as lajes sejam 
projetadas com armadura simples, para evitar o uso de armadura superior ao longo dos 
vãos. 
Segundo a ABNT NBR 6118:2014, a espessura das lajes maciças de concreto 
armado não deve ser menor que os seguintes limites: 
 7 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
 8 cm para lajes de piso não em balanço; 
 10 cm para lajes em balanço; 
 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
 12 cm para lajes que suportem veículos de peso maior que 30 kN; 
 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes cogumelo. 
Para lajes em balanço com espessura inferior a 19 cm, deve-se considerar o 
seguinte coeficiente adicional: 
𝛾𝑛 = 1,95 − 0,05ℎ ≥ 1 (11.46) 
em que ℎ ≥ 10 é a espessura da laje em cm. O coeficiente 𝛾𝑛 deve majorar os esforços 
de cálculo finais. 
11.5.2 CÁLCULO DE FLECHAS 
A ABNT NBR 6118:2014 estabelece diversos limites para os deslocamentos dos 
elementos estruturais. Esses limites são valores práticos, determinados de modo a evitar 
que os deslocamentos da estrutura não causem sensações desagradáveis aos usuários, 
não impeçam a utilização adequada da construção, nem causem danos em elementos 
não estruturais. Além disso, esses limites devem garantir a validade da hipótese de 
pequenos deslocamentos, usualmente admitida na análise estrutural. 
Assim, o limite a ser adotado para um deslocamento é função do dano que se 
quer evitar. Por exemplo, se o objetivo é evitar vibrações que podem ser sentidos no 
piso, a flecha devida à carga acidental não deve ultrapassar um determinado limite. Por 
outro lado, o objetivo pode ser evitar danos em paredes. Neste caso, o acréscimo na 
flecha da laje, ocorrido após a construção da parede deve ser limitado. 
No caso dos edifícios residenciais e de escritórios, basta limitar a flecha 
provocada pela totalidade das cargas. Isto se deve ao fato de que a carga acidental é 
pequena em relação à carga permanente. Além disto, a fluência do concreto só é 
introduzida no cálculo da flecha quando são consideradas as cargas permanentes. 
Assim, as flechas das lajes não devem ultrapassar o limite 𝑙/250, em que 𝑙 é o menor 
 
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vão da laje. Para as lajes em balanço como as marquises, a flecha na extremidade livre 
deve ser limitada em 𝑙/125, em que 𝑙 é o comprimento do balanço. 
As flechas devem ser calculadas para a combinação quase permanente do 
carregamento, a qual é dada por: 
𝑝0 = 𝑔𝑘 + ∑ 𝜓2𝑖𝑞𝑘𝑖
𝑛
𝑖=𝑙
 (11.47) 
em que 𝑔𝑘 representa a soma das ações permanentes características e os coeficientes 
de combinação 𝜓2𝑖 são definidos para as diversas ações variáveis características 𝑞𝑘𝑖. No 
caso dos edifícios residenciais, tem-se: 
𝑝0 = 𝑔 + 0,3𝑞 (11.48) 
em que se subtende que a cargapermanente 𝑔 e a carga acidental 𝑞 são tomadas com 
seus valores característicos. 
A flecha final 𝑊∞ incluindo a fluência do concreto, pode ser obtida através da 
seguinte expressão: 
𝑊∞ = (1 + 𝜑)𝑊0 (11.49) 
em que 𝜑 é o coeficiente de fluência e 𝑊0 é a flecha inicial calculada para a carga 𝑝0. 
Na Equação (11.49), admite-se a ocorrência do estádio I, tanto para o cálculo da 
flecha inicial, quanto para a inclusão da fluência. Esse procedimento de cálculo é válido 
para lajes maciças dos edifícios, pois as mesmas se encontram no estádio I para o nível 
das cargas quase permanentes. 
OBSERVAÇÃO – Eventuais fissuras que podem surgir em pontos localizados da laje 
não são suficientes para desviar o seu comportamento global do estádio I, como se 
comprova a partir da análise de resultados experimentais e por meio de uma análise 
não linear. 
 A flecha inicial 𝑊0 é calculada através dos procedimentos apresentados (ou 
citados) nas seções anteriores: expressões analíticas para lajes armadas em uma 
direção, tabelas da teoria de placas, teoria das grelhas para lajes sobre apoios rígidos, 
além da possibilidade de cálculo através de métodos numéricos. 
 Em todos os casos, considera-se a rigidez a flexão da laje dada por: 
𝐷 = 
𝐸𝑐𝑠ℎ
3
12(1 − 𝑣2)
 (11.50) 
em que 𝑣 = 0,2 é o coeficiente de Poisson do concreto e 𝐸𝑐𝑠 é o módulo secante. 
Para atender as exigências quanto ao estado limite de deformações excessivas, 
deve-se ter: 
 𝑊∞ ≤ 𝑙 250⁄ , para lajes não em balanço (sendo 𝑙 o comprimento teórico); 
 𝑊∞ ≤ 𝑙 125⁄ , para lajes em balanço (𝑙 é o menor vão). 
 
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32 
11.5.3 CÁLCULO DAS ARMADURAS DE FLEXÃO 
Os momentos fletores na laje são obtidos por unidade de comprimento e, dessa 
forma, as armadura podem ser calculadas dimensionando-se uma seção retangular de 
largura unitária e altura útil 𝑑, tal como mostrado na Figura 11.36. Assim, o 
dimensionamento das armaduras de flexão é realizado por meio da formulação 
apresentada no Capítulo 6. 
Figura 11.36 – Seção transversal para o cálculo das armaduras da laje. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Conhecendo-se a altura da seção ℎ, o diâmetro das barras 𝜙, e o cobrimento 
nominal das armaduras 𝑐, a altura útil pode ser obtida por meio da seguinte expressão: 
𝑑 = ℎ − 𝜙 − 𝑐 (11.51) 
Então, realizando a análise estrutural obtém-se o momento fletor característico 
𝑀𝑘 [𝑘𝑁𝑚/𝑚] e a partir deste, pode-se calcular o momento fletor reduzido para o 
cálculo da armadura por meio da seguinte equação: 
𝜇 =
𝑀𝑑
𝑏𝑑2𝜎𝑐𝑑
=
𝛾𝑓𝑀𝑘
𝑏𝑑2𝜎𝑐𝑑
 (11.52) 
em que 𝛾𝑓 é o coeficiente parcial de segurança e 𝜎𝑐𝑑 [𝑘𝑁/𝑐𝑚
2] é a tensão de cálculo 
do concreto. 
Comparado-se o valor de 𝜇 com o 𝜇𝑙𝑖𝑚, pode-se verificar a possibilidade de fazer 
o dimensionamento para armadura simples. Se 𝜇 > 𝜇𝑙𝑖𝑚 pode-se aumentar a altura 
total da laje ℎ e refazer os cálculos. Como resultado final, obtém-se o valor da área de 
aço 𝐴𝑠 [𝑐𝑚
2] que deve ser distribuída na faixa de 1 𝑚. 
Realizado o dimensionamento, deve-se ainda comparar a armadura calculada 
com a armadura mínima. 
Obtidas as áreas de aço, deve-se escolher um diâmetro para as barras e calcular 
o espaçamento necessário para que a armadura disposta em uma faixa de 1 𝑚 de 
largura, tenha a área calculada – Figura 11.37. 
Figura 11.37 – Distribuição da armadura na seção transversal. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
 
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Se o espaçamento das barras é 𝑠 em 𝑐𝑚, a área de aço existente em uma faixa 
de 1 𝑚 é dada por: 
𝐴𝑠 = 100 (
𝜋𝜙2
4𝑠
) = 100
𝐴𝑠1
𝑠
, 𝑐𝑚2/𝑚 (11.53) 
em que 𝐴𝑠1 é a área da seção transversal de uma barra. A partir dessa Equação (11.53), 
pode-se determinar o espaçamento das barras, uma vez conhecida a área de aço e 
escolhido o diâmetro. Para limitar a abertura das fissuras, deve-se adotar barras de 
pequeno diâmetro e pouco espaçadas. O diâmetro das barras não deve ultrapassar 1/8 
da espessura da laje. 
11.5.4 COBRIMENTO DA ARMADURA 
Como discutido nos capítulos anteriores, as armaduras devem ser protegidas por 
uma camada de concreto com uma espessura adequada. Os cobrimentos nominais são 
dados em função da classe de agressividade ambiental. 
Para garantir o cobrimento previsto, dispositivos especiais chamados 
espaçadores de forma devem ser usados – Figura 11.38. 
Figura 11.38 – Espaçadores de forma. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
11.5.5 LIMITES PARA O ESPAÇAMENTO DAS ARMADURAS 
De acordo com Araújo (2014), em lajes armadas em uma direção, a armadura de 
distribuição por metro de largura de laje deve ter no mínimo os limites indicados na 
Figura 11.39. 
Figura 11.39 – Armadura de distribuição. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Já na região dos maiores momentos fletores das lajes, o espaçamento das barras 
não deve ser maior que 20 𝑐𝑚 e nem maior que 2ℎ, conforme mostrado na Figura 11.40. 
 
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Figura 11.40 – Espaçamentos máximos das armaduras principais. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
OBSERVAÇÃO – Para Araújo (2014), o espaçamento máximo indicado na figura 
anterior deveria ser obedecido tanto para armaduras positivas no meio do vão e para 
armaduras negativas nos lados engastados. Entretanto, para facilitar as operações de 
concretagem das regiões onde há armaduras negativas, pode ser conveniente 
aumentar o espaçamento dessas barras e empregar barras de maior diâmetro. 
11.5.6 CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE O DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 
As armaduras de flexão das lajes são de dois tipos: as armaduras positivas 
(colocadas na face inferior) e as armaduras negativas (colocadas na face superior nas 
regiões de engastamento). Além disso, têm-se as armaduras de canto, dispostas nos 
cantos simplesmente apoiados (para absorver os momentos torçores). Na Figura 11.41 
ilustra-se um corte de um piso de concreto armado e as posições das armaduras de 
flexão. 
Figura 11.41 – Posicionamento das armaduras de flexão. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Em lajes apoiadas em vigas de grandes dimensões, mesmo que a laje tenha sido 
calculada como simplesmente apoiada, deve-se prever uma armadura negativa para 
controlar eventuais fissuras decorrentes do engastamento parcial existente entre a laje 
e a viga. 
O detalhamento das armaduras deve ser feito tal como ilustrado na Figura 11.42. 
Nesta, na direção do vão maior devem ser colocadas 17 barras de 5 mm de diâmetro, 
espaçadas de 20 cm em 20 cm, cada uma dela possuído um comprimento igual a 520 
cm. Essas barras são designadas por N1. Considerações análogas podem ser feitas a 
respeito da barra N2. 
 
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Figura 11.42 – Armaduras positivas com barras corridas. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Os comprimentos totais das barras da laje mostrada na Figura 11.42 são iguais 
ao vão livre em cada direção mais 20 cm (10 cm em cada apoio) necessários para 
ancoragem. De acordo com Araújo (2014), em virtude dos pequenos diâmetros 
utilizados, normalmente o comprimento de ancoragem é inferior a largura dos apoios. 
Assim, geralmente é suficiente que as barras penetrem nos apoios, deixando-se os 
cobrimentos necessários. Para lajes usuais de edifícios, com o emprego de barras de 
diâmetro menor ou igual a 8 mm, basta adotar o comprimento mínimo de ancoragem 
reta igual a 10 cm. A rigor os comprimentos de ancoragem das barras devem ser 
determinados de acordo com a teoria e formulação apresentada no Capítulo 8. 
Na Figura 11.43 indicam-se os detalhamentos das armaduras negativas sobre os 
apoios internos das lajes contínuas. Na figura, 𝑙𝑚 é o maior dos vão menores das lajes 
contíguas.Figura 11.43 – Detalhamento das armaduras negativas. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
As armaduras negativas devem ser posicionadas na parte superior por meio de 
um espaçador chamado caranguejo – Figura 11.44. 
Na Figura 11.45 apresenta-se o detalhamento das armaduras negativas sobre os 
apoios internos e sobre os apoios de extremidade das lajes. Estas são necessárias 
quando as vigas de borda possuem grande rigidez à torção. Na maioria dos casos, essas 
podem ser omitidas (em edifícios residenciais com vigas de borda esbeltas). 
 
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Figura 11.44 – Espaçadores para armaduras negativas.
 
Fonte: Araújo (2014). 
Figura 11.45 – Armaduras negativas das lajes. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Nos cantos das lajes retangulares simplesmente apoiadas surgem momentos 
torçores, sendo necessário colocar uma armadura denominada armadura de canto. Esse 
problema é importante em lajes sobre apoios rígidos e tende a se dissipar à medida que 
os apoios vão se tonado mais flexíveis. 
Quando as armaduras de canto não forem calculadas, elas devem ter uma área 
da seção transversal igual a máxima armadura existente no centro da laje. Para falilitar 
a execução, adota-se armaduras de canto em malha ortogonal, segundo as direções x e 
y. Estas armaduras devem se estender a partir das faces dos apoios até uma distância 
igual a 1/5 do menor vão da laje, tal como mostrado na Figura 11.46. 
Lajes de sacadas geralmente possuem um rebaixo da ordem de 5 cm para evitar 
a penetração de água de chuva dentro dos apartamentos. Neste caso deve-se fazer um 
laço na armadura principal, tal como mostrado na Figura 11.47(a). O detalhamento 
conforme apresentado em (b) ocasiona o surgimento de uma força R indesejada 
denominada “empuxo ao vazio”. 
 
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Figura 11.46 – Disposição usual das armaduras de canto. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Figura 11.47 – Detalhamento de sacadas. 
 
Fonte: Araújo (2014). 
Em Araújo (2014) pode-se obter considerações adicionais sobre o detalhamento 
de lajes com bordos livres, com presença de aberturas, marquises, entre outras. 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
Utilizando um dos métodos de análise apresentados, calcule os esforços solicitantes da 
laje maciça ilustrada na Figura 11.48. Dimensione, defina as armaduras e detalhe as 
mesmas para os esforços calculados anteriormente. 
Figura 11.48 – Laje maciça. 
 
 Obs.: Distâncias entre os eixos das vigas de apoio. 
Dados: 
Utilização da laje: dormitórios; 
Umidade relativa do ar = 70 %; 
Todas as vigas possuem seção 20 cm  50 cm; 
Todas as lajes possuem espessura h = 10 cm; 
Considerar a altura útil das lajes d = 7 cm; 
fck = 25 MPa; 
Aço CA-50. 
 
 
 
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