O Teste da Integral -12

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O teste da integral. 
Suponhamos que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em e seja Então a série é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente. Isto é:
1) Se for convergente, então é convergente.
2) Se for divergente, então é divergente.
Obs: a) Quando se usar o teste da integral não é necessário começar a série ou a integral em n=1.
Obs: b) Também não é necessário que f seja sempre decrescente, o importante é que f seja decrescente a partir de certo ponto N, e assim, é convergente, e é convergente.
Ex: Usar o teste da integral para verificar se a série é convergente ou divergente. Esta função f dada por: .
Verifiquemos para alguns números, por exemplo, 
, 
f é decrescente, contínua e positiva em [3, Assim usando o teste da integral tem-se: Para resolver esta integral aplica-se o limite no infinito. Ou seja:
3
1
 
 =
 Como a integral imprópria é convergente, 
então a série é convergente.
Fazendo a mudança de variável tem-se: 
3
b
P-Série .
A p-série é definida por convergente se , e será divergente se .
Ex: Verificar se a série é converge ou diverge. 
Temos , observa-se que logo a série diverge.
Ex: Verificar se a série é convergente ou divergente
 
Os Testes de Comparação 
Suponhamos que sejam séries com termos positivos.
i) Se for convergente e , para todo n, então a série também será convergente.
ii) Se for divergente e para todo n, então a série também será divergente.
Ex: Verificar se a série converge ou diverge. 
Tomemos e observa-se que 
devemos mostrar que Ou seja:
 essa é uma p-série com 
Portanto, convergente. 
Conclusão a série é convergente.
Obs. 
Teste da comparação de limite
Suponhamos que sejam séries com termos positivos. Se
c é um número finito e positivo, i.e. , então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
Ex: Teste a série a convergência ou divergência. 
Usando o teste da comparação de limite, tomemos:
 e , agora calculando-se o tem-se: 
Ou 
séries convergem ou divergem 
Temos que Agora precisamos verificar se a série converge ou diverge. Ou seja:
 
Verifiquemos se a série é geométrica, =r. 
Se a série geométrica converge.
Conclusão: a série