Pratica Aula 2

Prévia do material em texto

INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
1 Isac Ilal, Agosto de 2020 
 
Licenciatura em Engenharia Mecânica e de Transportes 
Licenciatura em Engenharia Civil e de Transportes 
Licenciatura em Engenharia Informática e de Telecomunicações 
Licenciatura em Engenharia Ferroviária 
Licenciatura em Engenharia Electotécnica 
 
TEMA 1 – ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
 
Aula Prática 2 Semana de 24 à 28 de Agosto de 2020 
 
Disciplina: Probabilidades e Estatística 
Ano/Semestre: 1º Ano/2º Semestre 
Carga horária: 4 H/semana; 
 
PERGUNTAS DE AUTO-AVALIAÇÃO 
Pergunta1: Em 2010 uma turma do curso de Contabilidade da Universidade de 
Patopólis, teve na disciplina de Estatística as seguintes notas: 
9 14 12 8 14 12 16 16 8 14 
11 12 12 11 11 18 14 18 15 15 
A. A variável em estudo é: 
1. Quantitativa Contínua 
2. Quantitativa Discreta 
3. Qualitativa Nominal 
4. Qualitativa Ordinal 
B. Apresente os dados numa tabela de frequências 
C. Faça uma interpretação descritiva dos dados da tabela apresentada em B. 
D. Apresente um gráfico que resuma as notas obtidas em B. 
E. Proponha um título para a tabela apresentada em B. 
 
Pergunta 2: Considere a seguinte distribuição de frequências correspondente aos 
diferentes preços de um determinado produto em 100 lojas pesquisadas. 
 
 INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
2 Isac Ilal, Agosto de 2020 
 
Preços ($) Número de lojas 
50 10 
55 20 
60 25 
65 15 
70 30 
Total 100 
A. Quantas lojas apresentaram um preço de $60? 
B. Quantas lojas apresentaram um preço de até $55 (inclusive)? 
C. Qual é a percentagem de lojas com preço maior que $60? 
D. Qual é a percentagem de lojas com preço maior do que $55 e menor do que 
$70? 
 
Pergunta 3: admita que um grupo de 50 analistas financeiros efectuou uma 
previsão do ganho por acção, em euros, de uma empresa no próximo ano, sendo 
os resultados apresentados em 7 classes de igual amplitude na tabela seguinte: 
 
Classes Pontos 
Médios 
fi Fi Fr 
(a) 5 (j) 4 0.08 
(b) (f) (k) 8 (r) 
[08 – 10[ (g) (l) (o) (s) 
[10 – 12[ (h) 8 27 (t) 
(c) 13 (m) 37 0.74 
(d) (i) (n) (p) (u) 
(e) 17 5 (q) 1 
 
A. Complete a tabela. 
B. Quantos analistas tiveram um ganho por acção entre 14 a 15 euros (inclusive)? 
C. Qual é a proporção de analistas que teve ganhos por acção compreendidas 
entre 6 a 8 euros? 
D. Qual é a proporção de analistas que teve ganhos por acção inferiores a 11,4 
euros? 
 
 INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
3 Isac Ilal, Agosto de 2020 
 
Pergunta 4: os dados que se seguem referem-se ao comprimento (em cm) de um 
grupo de bebés prematuros (idade gestacional inferior a 36 semanas) nascidos 
durante um mês numa maternidade 
29.90 40.20 37.80 19.70 30.00 29.70 19.40 
19.10 34.70 33.50 18.30 19.40 27.30 38.20 
41.40 13.60 32.20 24.30 19.10 37.40 23.80 
17.20 13.30 37.70 12.60 39.60 24.60 18.60 
 
E. Construa uma tabela de frequência para os dados. 
F. Represente os dados através de um histograma com frequências relativas. 
 
 
Pergunta 5: O gráfico a seguir expressa o número de animais doentes encontrados 
num levantamento de 350 propriedades rurais em Patopolis, 1998: 
 
A. Classifique a variável. 
B. Quantos propriedades apresentaram no máximo dois animais doentes? 
C. Qual é o percentual de propriedades que apresentaram somente um animal 
doente? 
D. Qual é o percentual de propriedades que apresentaram pelo menos um 
animal doente? 
 INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
4 Isac Ilal, Agosto de 2020 
 
Pergunta 6: Os dados seguintes são referentes ao nível de glicose de 60 crianças: 
 
56 61 57 77 62 75 63 55 64 60 
60 57 61 57 67 62 69 67 68 59 
65 72 65 61 68 73 65 62 75 80 
66 61 69 76 72 57 75 68 83 64 
69 64 66 74 65 76 65 58 65 64 
65 60 65 80 66 80 68 55 66 71 
 
A. Construa uma distribuição de frequência 
B. Qual é o nível de glicose que mais predomina? 
 
RESPOSTAS ÀS PERGUNTAS DE AUTO-AVALIAÇÃO 
 
Pergunta 1: 
Resposta A: Considerando que o resultado é um número inteiro e que qualquer 
valor decimal é aredondado, considera-se quantitativo discreto. 
Resposta B. A tabela de frequência contém as frequências simples, relativa, 
relativa percentual, acumulada e acumulativa percentual 
 
Notas f fr fr% F Fr Fr% 
8 2 0.10 10 2 0.1 10 
9 1 0.05 5 3 0.15 15 
11 3 0.15 15 6 0.3 30 
12 4 0.20 20 10 0.5 50 
14 4 0.20 20 14 0.7 70 
15 2 0.10 10 16 0.8 80 
16 2 0.10 10 18 0.9 90 
18 2 0.10 10 20 1 100 
 20 1 100 
 
Resposta C: A tabela em C apresenta o resumo das notas dos 20 estudantes. De 
acordo com a mesma, pode-se constatar que a maior parte dos estudantes teve 12 
ou 14 valores. No entanto, apenas 1 teve 9 valores, não obstante dois estudantes 
terem tido a nota mínima de 8 valores. De um modo geral, as notas foram 
satisfatórias uma vez que 15% dos estudantes teve até 9 valores. 
Resposta D: Pela natureza dos dados, o gráfico que melhor se adequa à situação, 
é o gráfico de barras. 
 INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
5 Isac Ilal, Agosto de 2020 
 
 
Resposta E: Notas de Estatística (oquê?) na Universidade de Patopólis (onde?) 
em 2010 (quando?). 
 
Pergunta 2: 
Resposta A: Antes mesmo de responder às questões sugeridas, melhor aprsentar 
a tabela de frequênias que ajude a encontrar as resposntas. Posto isto, tem-se a 
seguinte tabela: 
 
 Preços 
($) f fr fr% F Fr Fr% 
50 10 0.10 10 10 0.1 10 
55 20 0.20 20 30 1.5 150 
60 25 0.25 25 55 2.75 275 
65 15 0.15 15 70 3.5 350 
70 30 0.30 30 100 5 500 
 100 1 100 
 
Logo, olhando a tabela pode-se constatar que 25 lojas apresentaram preços de 
$60 para um determinado produto. 
Resposta B: De acordo com o valor da frequência acumulada de cima para baixo, 
pode-se constatar que 30 lojas apresentaram um preço de até $55 inclusive (veja 
as 10 lojas que apresentaram um preço de $50 e as 20 lojas que apresentaram um 
preço de $55. Portanto, somando as 10 e as 20 lojas, ficamos com um total de 30 
lojas). 
Resposta C: para responder a esta pergunta, temos que fazer um exercício 
inverso do que fizemos na alínea B. O que significa que temos que considerar a 
frequência acumulada de baixo para cima. Nete caso teríamos a sequência: 30% 
($70), 45% ($65), 70% $60), 90% ($50). Daí que, obviamente, 70% das lojas 
apresentaram um preço maior que $60. 
0
5
10
15
20
25
30
35
50 55 60 65 70
frequências absolutas
 INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
6 Isac Ilal, Agosto de 2020 
 
Resposta D: corresponde às lojas que tiveram preços iguas a $60 e $65 para um 
determinado produto. Portanto, 40% das lojas observaram preços maiores que $55 
e menores que $70. 
Pergunta 3: admita que um grupo de 50 analistas financeiros efectuou uma 
previsão do ganho por acção, em euros, de uma empresa no próximo ano, sendo 
os resultados apresentados em 7 classes de igual amplitude na tabela seguinte: 
 
Classes Pontos 
Médios 
fi Fi Fr 
(a) 5 (j) 4 0.08 
(b) (f) (k) 8 (r) 
[08 – 10[ (g) (l) (o) (s) 
[10 – 12[ (h) 8 27 (t) 
(c) 13 (m) 37 0.74 
(d) (i) (n) (p) (u) 
(e) 17 5 (q) 1 
 
Resposta A: Complete a tabela. 
Em relação aos espaços de (a) à (e), correspondente às classes, podemos ver que 
nas classes de 8 a 10 e de 10 a 12, existe um elemento constante(duas unidades) 
que corresponde à amplitude de classe. Daí, facilmente se calcula a classe anterior 
à classe [08 – 10[ que será [06 – 08[ e a posterior a classe [10 – 12[ que será [12 
– 14[. Assim sucessivamente se obtem: 
Para completar os pontos de f à i, temos de ter em conta o conceito de ponto médio 
de classe. De acordo com a teoria dada, constatou-se que o ponto médio de classe 
é a média da classe. Isto é, a média da primeira classe é a soma do limite inferior 
e superior dividido por dois. Daí, temos para a primeira classe o valor 5. 
Sucessivamente, se continuarmos a calcular, teremos o valor 7, 9, 11, 13, 15 e 17. 
Um cálculo simples e rápido pode ser obtido usando o seguinte critério: primeiro 
calcular a amplitude da primeira classe (5). Os pontos médios seguintes serão 
obtidos adicionando-se a amplitude de classe (que é a constante 2) ao ponto médio 
anterior. Daí, 5 mais 2 igual a 7. 7 mais 2 igual a 9, e assim em diante. 
De j à n temos que nos basear em: 
1. A soma das frequências deve ser igual à 50, conforme o enunciado. 
2. A primeira frequência acumulada é igual à primeira frequência simples. 
3. O cálculo da frequência acumulada. 
 INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
7 Isac Ilal, Agosto de 2020 
 
Daí, o primeiro espaço a ser completado é q=50 ou j=4. Depois k=4 (porque o 
número que adicionado a 4 que dá 8 é 4). De seguida o=19 (27 – 8 = 19). 
Sucessivamente, vamos preenchendo as céluas de j à q. 
De r a u, basta que se calcule a frequência relativa acumulada. Portanto, a tabela 
resultante é: 
 
Classes Pontos 
Médios 
fi Fi Fr 
[04 – 06[ 5 4 4 0.08 
[06 – 08[ 7 4 8 0.16 
[08 – 10[ 9 11 19 0.38 
[10 – 12[ 11 8 27 0.54 
[12 – 14[ 13 10 37 0.74 
[14 – 16[ 15 8 45 0.90 
[16 – 18[ 17 5 50 1 
Resposta B: De acordo com o valor da frequência simples, 15 analistas tiveram 
um ganho por acção entre 14 a 15 euros (inclusive). 
Resposta C: esta questão remete-nos ao cálculo da frequência simples relativa 
para o intervalo dado. Portanto, se a frequência absoluta é de 4, então para este 
caso temos a frequência relativa de 8%. Portanto, a proporção de analistas que 
teve ganhos por acção compreendidas entre 6 a 8 euros é de 8%. 
 
Resposta D: 54% de analistas que teve ganhos por acção inferiores a 11,4 euros. 
 
Pergunta 4: 
Resposta A: Para construir a tabela de frequência há que seguir os seguintes 
passos: 
1. Cálculo do número de classes segundo a formula: 
k = 5.807355. Portanto, de acordo com a regra, considerar o número inteiro. 
Logo, 5 classes. 
2. Cálculo da amplitudo total que é a difença entre o valor máximo e mínimo da 
distribuição: 28.8 
3. Cálculo da amplitude de classe que é o quociente entre a amplitude total e o 
número de classes: 5.76 
4. Tabela de frequências. 
ln
1
ln 2
n
k
 
= + 
 
 INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
8 Isac Ilal, Agosto de 2020 
 
 
 
f fr% F Fr% 
 [ 12.60 - 18.36 [ 5 17.9 5 17.9 
[ 18.36 - 24.12 [ 7 25.0 12 42.9 
[ 24.12 - 29.88 [ 4 14.3 16 57.1 
[ 29.88 - 35.64 [ 5 17.9 21 75.0 
[ 35.64 - 41.40 ] 7 25.0 28 100.0 
Total 28 100.0 
 
 
Note que a primeira e a última classe fazem parte da distribuição. Por isso mesmo 
os intevalos são fechados. 
Uma pergunta poderia surgir: porquê não considerar a amplitude de classe de 6 
(valor aredondado de 5.76). A resposta, neste caso é simples: é necessário 
respeitar os algarísmos significativos. Os dados já vem com duas casas decimais1 
 
Resposta B: 
 
 
 
Pergunta 5: O gráfico a seguir expressa o número de animais doentes encontrados 
num levantamento de 350 propriedades rurais em Patopolis, 1998: 
 
Resposta A: “...número de animais doentes...” – variável quantitativa discreta. 
 
Resposta B: De acordo com o diagrama, pode-se ver que para dois animais 
doentes, a frequência correspondente é de 112 propriedades. 
 
 
1 Reveja o conceito de algarísmos significativos da matemática básica 
 
 INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
9 Isac Ilal, Agosto de 2020 
 
Resposta C: para um total de 350 propriedades, 60 apresentam apenas um animal 
doente. Isto corresponde a 17.14%. 
 
Resposta D: O termo pelo menos, neste caso, refere-se às propriendades que tem 
1, 2, ..., ou 6 animais doentes. Portanto, seria a soma relativa. No entanto, para 
evitarmos esta soma, podemos optar pelo complementar, isto é, encontrar a 
percentagem das propriendades que não apresentam nenhum animal doente e 
subtraírmos ao total de 100%. Daí, a percentagem das propriendades que não 
apresentam nenhum animal doente é de 15.71%. Logo, o complementar é 84.29%. 
 
Pergunta 6: 
 
Resposta A: considerando o “nível de glicose como uma variável quantitativa 
discreta, a tabela de frequências a apresentar é com intervalos de classe. 
 
1. Cálculo do número de classes segundo a formula: 
k = 6.906891. Portanto, de acordo com a regra, considerar o número inteiro. 
Logo, 6 classes. 
2. Cálculo da amplitudo total que é a difença entre o valor máximo e mínimo da 
distribuição: 28.8 
3. Cálculo da amplitude de classe que é o quociente entre a amplitude total e o 
número de classes: 4.8, aproximadamente 5 
Tabela de frequências: 
 
Classes f fr% F Fr% 
 [ 55 - 60 [ 9 15.0 9 15.0 
[ 60 - 65 [ 15 25.0 24 40.0 
[ 65 - 70 [ 21 35.0 45 75.0 
[ 70 - 75 [ 5 8.3 50 83.3 
[ 75 - 80 [ 6 10.0 56 93.3 
[ 80 - 85 [ 4 6.7 60 100.0 
Total 60 100.0 
 
 
Resposta B: O nível de glicose que mais predomina é em torno de 67,5 (marca de 
classe da classe com maior frequência). 
Nota: Para esta questão é também válida a resposta [ 65 – 70 [ 
 
PERGUNTAS DE AVALIAÇÃO 
Pergunta 1: A ISO – International Organization for Standartization (Organização 
Internacional para Normalização), em Genebra, na Suíça, desenvolveu um 
conjunto de padrões de qualidade amplamente aceitos: ISO 9000. As empresas 
por todo o mundo têm-se tornado certificadas na ISO 9000. Um levantamento da 
Grant Thornton (Fifth Annual Grant Thornton Survey of American Manufacturers 
ln
1
ln 2
n
k
 
= + 
 
 INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
10 Isac Ilal, Agosto de 2020 
 
Report, 1994) perguntou aos fabricantes dos Estados Unidos sobre os seus planos 
para obter certificação. Seja: 
C = já certificados, B = em busca de certificação, R = buscará certificação, N = não 
buscará certificação e I = indecisos. 
A seguinte amostra de dados está coerente com as respostas obtidas pela Grant 
Thornton. 
R B N N R B C R R N 
N R I R B R B C N B 
B N R R N R N R R N 
C R B R N N C R B N 
R R N R N I N R N R 
 
a) Use a estatística descritiva para sintetizar os dados colectados. 
b) A Grant Thornton relatou que menos que 15% das empresas eram certificadas 
em 1993. Baseado na amostra de dados de 1994, comente sobre a tendência 
das empresas de obter a certificação ISSO. 
c) Represente o resumo dos dados graficamente. 
Pergunta 2: A Revista Fortune realizou um levantamento para informar-se sobre 
seus assinantes nos Estados Unidos e no Canadá. Uma das questões do 
levantamento perguntava sobre o valor da carteira de investimentos dos assinantes 
(acção, títulos, fundos mútuos e certificados de deposito). A seguinte distribuição 
de frequência percentual foi preparada a partir das respostas a essa questão 
(Fortune, O Retrato do Assinante Americano, 1994). 
 
Valor dos Investimentos Frequência 
Percentual 
 
fr 
 
F 
 
Fr 
Inferior a US$ 25.000 17 0.17 17 0.17 
US$ 25.000 – US$ 49.999 9 0.09 26 0.26 
US$ 50.000 – US$ 99.999 12 0.12 38 0.38 
US$ 100.000 – US$249.999 20 0.20 58 0.58 
US$ 250.000 – US$ 499.999 13 0.13 71 0.71 
US$ 500.000 – US$ 999.999 13 0.13 84 0.84 
US$ 1.000.000 ou mais 16 0.16 100 1.00 
 INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
11 Isac Ilal, Agosto de 2020 
 
a) Que percentagem de assinantes tem investimentos inferiores a US$ 100.000? 
b) Que percentagem de assinantes tem investimentos entre US$ 100.000 e US$ 
499.999? 
 
Pergunta 3: O Departamento de Comércio declarou ter recebido os seguintes 
formulários de inscrição para o Prémio de Qualidade Nacional Malcolm Baldrige 
(nos USA): 30 de grandes empresas de manufactura, 40 de grandes empresas de 
serviços e 50 de pequenas empresas de negócios. 
a) Qual foi o tamanho da amostra para essa pesquisa? 
b) Que variável encontra-se em estudo e de que tipo é? 
c) Que percentagem de formulários foi entregue pelas pequenas 
empresas? 
 
Pergunta 4: Considere os dados a seguir, que mostram a distribuição salarial de 
18 trabalhadores de uma firma. 
 
Tabela – Distribuição salarial de 18 trabalhadores de uma firma, em um determinado ano 
 
a) Identifique e classifique cada uma das variáveis apresentadas. 
b) Mostre por meio de um diagrama de sectores os dados que mostra o 
resumo da função dos trabalhadores. 
 
Pergunta 5: Considere os resultados finais de Estatística de 20 estudantes de 
uma Universidade. 
9 14 12 8 14 12 16 16 8 14 
11 12 12 11 11 18 14 18 15 15 
a) Classifique a variável em estudo. 
b) Represente os dados numa tabela de frequência. 
 Ord. Nome Sexo Anos Serviço Função Salário Nacionalidade 
1 Luís Masculino 15 Gerente 5,700,000.00Mt Moçambicana
2 Mateus Masculino 16 Escritório 4,200,000.00Mt Moçambicana
3 Santos Masculino 12 Limpeza 2,145,000.00Mt Moçambicana
4 Armando Masculino 8 Escritório 2,190,000.00Mt Moçambicana
5 Dinís Masculino 15 Limpeza 4,500,000.00Mt Moçambicana
6 Valentim Masculino 15 Escritório 3,210,000.00Mt Moçambicana
7 Alberto Masculino 15 Vendas 3,600,000.00Mt Moçambicana
8 Adelaide Feminino 12 Escritório 2,190,000.00Mt Moçambicana
9 Sululu Masculino 15 Tradução 2,790,000.00Mt Moçambicana
10 Luisa Feminino 12 Escritório 2,400,000.00Mt Moçambicana
11 Celeste Feminino 16 Vendas 3,030,000.00Mt Moçambicana
12 Júlio Masculino 8 Tradução 2,835,000.00Mt Moçambicana
13 Alex Masculino 15 Escritório 2,775,000.00Mt Moçambicana
14 Gabriel Masculino 15 Tradução 3,510,000.00Mt Moçambicana
15 Helena Feminino 12 Escritório 2,730,000.00Mt Moçambicana
16 Trevour Masculino 12 Escritório 4,080,000.00Mt Estrangeira 
17 Kelvin Masculino 15 Vendas 4,600,000.00Mt Estrangeira 
18 Xantelo Feminino 16 Gerente 10,375,000.00Mt Moçambicana
 INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
12 Isac Ilal, Agosto de 2020 
 
c) Represente os dados graficamente. 
 
Pergunta 6: Barulho é medido em decibéis, representado por dB. Um decibel 
corresponde ao nível do som mais fraco que pode ser ouvido em um local 
silencioso por alguém com boa audição. Um ussurro corresponde a cerca de 30 
dB; a voz humana em conversação normal corresponde a cerca de 70dB; um rádio 
em volume alto cerca de 100 dB; Desconforto para os ouvidos geralmente ocorre 
a cerca de 120 dB. Os dados abaixo correspondem aos níveis de barulho medidos 
em 36 horários diferentes em um determinado local. 
82 89 94 110 74 122 112 95 100 78 65 60 
90 83 87 75 114 85 69 94 124 115 107 88 
97 74 72 68 83 91 90 102 77 125 108 65 
Para estes dados responda às seguintes perguntas: 
a) De que tipo de variável se trata? 
b) Represente os dados numa tabela de frequência. 
c) Faça a representação gráfica dos dados.