FENÔMENOS DE TRANSPORTE

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FENÔMENOS DE 
TRANSPORTE
FENÔMENOS DE 
TRANSPORTE
R343 
 Rego, Angela 
 História da língua portuguesa no Brasil [livro eletrônico] / 
 Angela Rego. – Rio de Janeiro: UVA, 2019. 
 
 727 KB. 
 
 ISBN 978-85-5459-044-4
 
 1. Língua portuguesa - Brasil - História. 2. Sociolinguística 
 - Brasil - História. I. Universidade Veiga de Almeida. II. 
 Título. 
 
 CDD – 469.800981
Copyright © UVA 2019
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer 
meio sem a prévia autorização desta instituição.
Texto de acordo com as normas do Novo Acordo Ortográfico 
da Língua Portuguesa.
AUTORIA DO CONTEÚDO
Cezar Luiz França Pires
REVISÃO
Janaina Senna
Theo Cavalcanti
Lydianna Lima
PROJETO GRÁFICO
UVA
DIAGRAMAÇÃO
UVA
Bibliotecária Katia Cavalheiro CRB 7 - 4826.
Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca Central da UVA.
SUMÁRIO
Apresentação
Autor
6
7
Estática dos fluidos 33
• O fluido estático, o princípio de Pascal, o princípio de Stevin e a equa-
ção fundamental da estática dos fluidos
• A equivalência entre pressão e altura, o princípio de vasos comuni-
cantes e os manômetros
• As máquinas hidráulicas, o princípio de Arquimedes e a força empuxo 
e o equilíbrio de corpos flutuantes
UNIDADE 2
8
• A hipótese atômica. O modelo do movimento browniano. O modelo 
atômico da matéria. A partícula fluida e a hipótese do contínuo
• As fases da matéria. Conceitos de temperatura e pressão
• A definição de fluido e suas propriedades
Estrutura da matéria
UNIDADE 1
SUMÁRIO
Fundamentos de transmissão de calor 94
• Calor. Processos de transmissão de calor: condução, convecção e 
radiação
• Dilatação térmica: linear, superficial e volumétrica
• O equilíbrio térmico. A capacidade térmica e o calor específico
UNIDADE 4
62
• A dinâmica dos fluidos. O conceito de fluxo, seção transversal e vazão. 
Os tipos de escoamento de fluidos
• Equações determinísticas. O princípio de conservação da massa e 
a equação da continuidade. O princípio de conservação da energia e 
equação de Bernoulli. As perdas de carga total, contínua e localizada
• O tubo de Pitot e o medidor de Venturi
Dinâmica de fluidos
UNIDADE 3
6
Nossa disciplina chama-se Fenômenos de Transportes. Porém, o que é transportado? 
Vamos analisar aqui, primeiramente, o transporte de massa que ocorre quando a matéria 
tem capacidade de escoar e, portanto, transportar-se. O transporte de massa se dá quan-
do a matéria se encontra em um estado chamado de fluido, que será definido na Unidade 
1. Nas Unidades 2 e 3, vamos estudar a chamada mecânica dos fluidos ou, como tam-
bém é conhecida, mecânica do contínuo. Em seguida, na Unidade 4, vamos estudar o 
transporte de energia, na parte da ciência designada física térmica.
A disciplina é, em geral, pertencente à parte final do ciclo básico dos cursos de Engenha-
ria, tratando-se de uma disciplina de física. Porém, costumamos dizer que é uma discipli-
na com “um pé no ciclo profissional das diversas Engenharias”. Isso devido a conceitos, 
modelos e equações que vamos estudar aqui, que com certeza serão necessários e 
empregados de forma bem nítida em diversos contextos de engenharia.
Como exemplos, podemos citar estudos em:
• Redes de distribuição de fluidos (água, ar, gases diversos, óleo, petróleo...), incluindo 
o dimensionamento e o uso de bombas elevatórias e compressores de ventilação.
• A geração de energia em turbinas (hidráulicas e ólicas, a vapor e gás).
• Máquinas industriais como elevadores, macacos e prensas, todos hidráulicos.
• Instalações pneumáticas, hidráulicas e vapor. 
• Trocas de massa e calor em aquecedores, caldeiras, motores a explosão.
• Aerodinâmica e hidrodinâmica de estruturas (barragens, edifícios, aeroportos...) e 
veículos (carros, aviões, navios).
• Qualidade da água e do ar em contextos de poluição e tratamento de poluentes.
• E muitos outros.
APRESENTAÇÃO
7
CEZAR LUIZ FRANÇA PIRES
Graduado em Engenharia Civil pela Universidade Veiga de Almeida – UVA; pós-graduado 
com especialização em Ensino Superior pela UVA; mestrado em Engenharia Civil com 
ênfase em Recursos Hídricos em Meio Ambiente pelo Instituto Alberto Luiz Coimbra de 
Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia – Coppe/UFRJ; professor de graduação e pós-
-graduação de diversas instituições de ensino desde 1987; professor e coordenador do 
curso de graduação em Engenharia Ambiental da UVA.
AUTOR
Estrutura da matéria
UNIDADE 1
9
A Unidade 1 é introdutória. Vamos aqui definir o modelo físico adotado para o estudo 
macroscópico dos fenômenos de transportes de massa e energia, bem como apresentar 
os fundamentos importantes desse modelo e as principais grandezas físicas e proprie-
dades envolvidas. Esta unidade é básica para que possamos compreender e aplicar os 
conteúdos das demais unidades.
INTRODUÇÃO
Nesta unidade, você será capaz de:
• Entender o modelo atômico da matéria, os conceitos de fases da matéria e de fluido 
e suas propriedades.
OBJETIVO
10
A hipótese atômica. O modelo do movimento 
browniano. O modelo atômico da matéria. A 
partícula fluida e a hipótese do contínuo 
A hipótese atômica
Nossa espécie é designada como Homo sapiens, isto é, o hominídeo que adquiriu sa-
piência. Segundo historiadores, há cerca de 70 mil anos começamos a ter a capacidade 
de abstrair e criar modelos mentais para o entendimento das coisas a nossa volta que 
percebíamos por meio de nossos sentidos. Alguns historiadores chegaram a designar 
tal momento como o “grande salto”. Essa capacidade de cognição nos tornou seres de 
busca da compreensão do funcionamento do universo.
Porém é importante perceber que nunca conheceremos a realidade absoluta das coisas 
e dos fenômenos, pois o que fazemos é apenas criar modelos mentais de compreensão. 
Essa modelagem, portanto, é limitada por nossa capacidade de observar.
Por exemplo: um modelo muito conhecido é o astronômico oriundo da Grécia 
antiga, que posicionava a Terra estática no centro do universo e todo o resto cir-
culando a sua volta. Tal modelo perdurou por séculos como realidade final. Foi 
compreensível que fosse assim, pois dispúnhamos somente da capacidade de 
olhar para o céu a olho nu e era isso que víamos. Na chamada Revolução Cien-
tífica iniciada no século XV, já dispondo de instrumentos de observação como 
a luneta e de cálculo como a álgebra, pudemos substituir o modelo geocêntrico 
pelo heliocêntrico, isto é, todo o universo circula em torno do Sol e não da Terra. 
Hoje sabemos que a complexidade é muito maior.
Exemplo
Tal como o exemplo acima, vários outros modelos mentais foram substituídos conforme 
fomos adquirindo maior capacidade de análise dos fenômenos. Trata-se de um processo 
evolutivo da ciência. Na compreensão do mundo molecular não foi diferente. Na Grécia 
antiga existiam duas escolas: a atomista, atribuída a Epicuro (em que todas as coisas 
eram formadas de porções infinitesimais de matéria indivisível, porém de formas distintas: 
11
o átomo), e a teoria dos quatro elementos de Empédocles (em que as coisas eram forma-
das por porções distintas de água, terra, fogo e/ou ar).
Figura 1: Epicuro (341 a.C. 
– 270 a.C.)
Figura 3: René Descartes 
(1596 – 1650).
Figura 4: Isaac Newton 
(1643 – 1727) 
Figura 2: Empédocles (495 
a.C. – 444 a.C.) 
O último modelo ganhou mais força e perdurou até a Revolução Científica, quando então 
o modelo atômicofoi resgatado e ampliado por Descartes, Newton, entre outros, e a partir 
de então vários outros cientistas propuseram modelos variados para o mundo molecular.
O modelo atômico da matéria
Hoje entendemos o mundo molecular, por meio da chamada física quântica, como sendo 
um complexo formado de partículas diversas contendo massa (moléculas formadas por 
átomos, que, por sua vez, são formados por inúmeras partículas, como elétrons, prótons, 
nêutrons...) que circulam em órbitas alternando massa em energia.
12
O modelo do movimento browniano
Einstein demonstrou a existência de átomos e moléculas em 1905 utilizando o movimen-
to browniano. Esse movimento é o deslocamento aleatório de partículas em suspensão 
em um meio fluido (o fluido será definido formalmente no Tópico 3 nesta unidade, mas é 
composto basicamente pelos estados líquido e gasoso). 
O movimento browniano recebeu esse nome em home-
nagem ao biólogo Robert Brown, que o estudou pela 
primeira vez em 1827.
Curiosidade
Figura 5 – Robert 
Brown (1773/1858)
MIDIATECA
Acesse na midiateca da Unidade 1 o conteúdo sobre o movimento browniano indicado 
como material complementar.
A partícula fluida e a hipótese do contínuo
No estudo da mecânica dos fluidos e fenômenos de transportes de massa (Unidades 2 
e 3), o modelo físico (mental) que vamos utilizar é a física newtoniana, também chama-
da de física clássica. Essa física já foi entendida como modelo final de todas as coisas 
e não pôde ser aplicada quando a física começou a se aprofundar no mundo atômico. 
Simplesmente nesse mundo não funcionava, isto é, não modelava os fenômenos físicos. 
Por exemplo, o movimento browniano, por ser aleatório e probabilístico, não podia ser 
explicado deterministicamente pela física clássica. O modelo newtoniano, porém, funcio-
nava muito bem para fenômenos macroscópicos.
13
Na solução de problemas de engenharia, em geral, estamos interessados no comporta-
mento no mundo macroscópico. Assim, faz-se necessário para esse nível de observação 
criarmos a chamada partícula fluida de hipótese do contínuo.
Partícula fluída
Trata-se de uma abstração, isto é, uma idealização da matéria, para fins de estudos mo-
delados pela física clássica na escala macroscópica. Assim, define-se uma partícula flui-
da como a menor porção de matéria, que tenha, no entanto, comportamento macros-
cópico, regido pela física newtoniana sem movimento browniano. A partícula fluida é, 
portanto, muito maior do que uma molécula do fluido.
Hipótese do contínuo
Pela mesma razão, ou seja, idealizar um fluido que seja compatível com o modelo ma-
croscópico, temos a hipótese do meio fluido como um meio contínuo. Dessa forma é 
conveniente conceber o fluido como um meio onde não há vazios intermoleculares e 
mobilidade de elétrons, por exemplo. Nosso fluido será formado por infinitas partículas 
fluidas, umas coladas às outras. Uma partícula fluida vai apresentar as mesmas proprie-
dades e comportamento da matéria fluida como um todo.
Figura 6: Fluido – Visão macroscópica.
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 1 e veja o conteúdo sobre as abordagens ma-
croscópica e molecular indicado como material complementar pelo professor.
14
As fases da matéria. Conceitos de tempera-
tura e pressão 
As fases da matéria
A matéria, como se apresenta no universo conhecido, pode se apresentar em diferentes 
configurações macroscópicas de formas e comportamentos: são as chamadas fases 
ou estados físicos da matéria. As fases da matéria são consequências da velocidade de 
agitação (energia cinética) das partículas que as constituem.
Na física atual, são definidos diversos estados da matéria, sendo, porém, os mais impor-
tantes e comuns os três estados convencionais: sólido, líquido e gasoso. O fluido é 
definido pelos estados líquido e gasoso, pois são os estados com capacidade de escoar, 
ou seja, fluir, como veremos mais adiante em nosso curso.
A força de coesão é definida como a atração entre partículas no interior de um sólido ou 
fluido. Quanto maior a força, menor será a agitação das partículas. A matéria no estado 
sólido caracteriza-se por apresentar grande coesão, suficiente para os sólidos apresen-
tarem forma e volume bem definidos.
Já nos estados líquido e gasoso, a força de coesão decresce respectivamente, sendo 
ainda forte o bastante para manter a matéria no estado líquido com volume constante, 
porém sem forma definida. 
Dez litros de água em uma bacia, quando transportados para um balde de mes-
ma capacidade, permanecem com seus 10 litros inalterados, assumindo, no 
entanto, a nova forma do balde. No estado gasoso, a força de coesão é baixa, 
não mantendo nem forma nem volume constantes.
Exemplo
15
Figura 7: Força de coesão.
Sólido Líquido Gasoso
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 1 e veja o conteúdo sobre os estados da maté-
ria indicado como material complementar pelo professor.
Outra força importante, de mesma natureza particular da coesão, é a força de adesão. 
Esta se caracteriza também como sendo uma força de atração entre partículas, porém 
entre partículas fluidas e sólidas do recipiente continente do fluido. A força de adesão, 
também chamada de força de aderência, pode ser exemplificada quanto entornamos a 
água de um copo de vidro, virando-o para baixo. Nem toda água do copo cai. Algumas 
gotículas permanecem molhando o copo, aderidas ao vidro. Ora, tais gotículas, por menor 
que sejam, têm massa — e portanto peso — e deveriam também cair. Se tal não ocorre é 
porque alguma força se contrapõe ao peso próprio delas. Tal força é a força de adesão.
16
Figura 8: Força de adesão.
Fonte: adaptado de sergiorbtorres.blogspot.com
Moléculas de água
Forças de adesãoVidro
As forças de coesão e adesão e consequentemente o estado da matéria variam natural-
mente de uma substância para outra.
Conceitos de temperatura e pressão
Temperatura (T) – Grandeza física macroscópica que expressa a energia interna de um 
corpo (sólido ou fluido). Em outras palavras, trata-se de uma medida estatística do grau 
de agitação (energia cinética) de partículas (átomos ou moléculas) no interior do corpo. 
O aumento de temperatura de um corpo diminui sua coesão, podendo alterar, portanto, 
seu estado de matéria.
A água apresenta adesão maior que sua coesão, ao contrário do mercúrio, em 
que a coesão é bem maior que sua adesão. Além disso a variação se dá tam-
bém com temperatura e pressão em que encontramos a matéria, como vere-
mos adiante. 
Exemplo
http://sergiorbtorres.blogspot.com/2016/03/forcas-de-adesao-e-coesao.html
17
Figura 9: Temperatura.
Corpo frio
Partículas mais agitadas
Corpo quente
Partículas menos agitadas
A temperatura é mensurável por meio de instrumentos conhecidos como termômetros. 
No sistema internacional (SI) de unidades a escala adotada é a Kelvin (K). Essa escala 
é absoluta, isto é, não apresenta valores negativos. Em muitos países como o Brasil é 
comum usar-se a escala Celsius (oC). É comum também em vários países a escala Fah-
renheit (oF).
A relações matemáticas entre essas escalas de temperatura são descritas pelas equa-
ções abaixo.
Em que:
TK – Temperatura em Kelvin.
TC – Temperatura em graus Celsius.
TF – Temperatura em graus Fahrenheit.
A figura a seguir ilustra melhor as relações entre as três escalas de temperatura apresen-
tadas.
18
Figura 10: Escalas de temperatura.
Figura 11: Pressão.
Fonte: estatica-metrologia.com.br
Ponto de 
fusão da 
água
Zero 
absoluto
Ponto de 
fusão da 
água
Pressão (p) - É definida como sendo de uma força (F) normal, isto é, uma força na dire-
ção perpendicular, aplicada a um elemento de área (A).
Força
Área
Trata-se de uma grandeza escalar, pois, apesar de a força ser uma grandeza vetorial 
(necessitando de módulo, direção e sentido para ser definida), a definição de pressão 
considera apenas o seu módulo (intensidade).
http://www.estatica-metrologia.com.br/pressao.php
19
A pressão é expressa no sistema internacional SI/mks (unidades básicas: metro, qui-
lograma esegundo) em pascal (Pa). Um pascal é a força de um newton (N) por metro 
quadrado (1 Pa = 1 N/m²). No SI/cgs (unidades básicas: centímetro, grama e segundo), 
a unidade é o bária (Ba). Um bária é a força de um dina (dyn) por centímetro quadrado (1 
Ba = 1 dyn/cm²).
Sempre lembrando que a segunda lei de Newton:
Figura 12: Blaise Pascal (1623 – 1662).
que define a unidade de força, o Newton, como sendo a massa de 1 quilograma subme-
tido a uma aceleração unitária: 1 N = 1 kg . 1 m/s². Da mesma forma que 1 dyn = 1 g . 1 
cm/s².
A pressão é ainda expressa comumente na engenharia com unidades do sistema técnico 
(ST), pelo quilograma-força (quilos de força peso) por metro quadrado — kgf/m² (algumas 
vezes escrito na forma kg*/m²) ou kgf/cm². A vantagem prática do quilograma-força é 
que ele é definido já considerando a aceleração da gravidade (g) à qual estamos sem-
pre submetidos (ao contrário do Newton, que é definido com uma aceleração unitária). 
Assim: 1 kgf = 1 kg . 9,81 m/s², logo 1 kgf = 9,81 N, ou aproximadamente 1 kgf ≅ 10 N, 
considerando a aceleração da gravidade como 10 m/s².
Dada a relevância dessa grandeza, encontramos a pressão expressa em diversas uni-
dades como no sistema inglês: o psi (abreviação do inglês pound force per square inch 
(lbf/in²), ou seja, “libra-força por polegada quadrada” (lbf/pol²). Temos ainda a unidade 
atmosfera (atm), em que se considera um valor de referência da pressão atmosférica 
como unidade. Assim, se um mergulhador está submetido a 3,7 atm significa que ele 
suporta uma pressão da água equivalente a 3,7 vezes o valor da pressão atmosférica à 
qual estamos todos submetidos.
20
Em nosso curso usaremos os sistemas internacionais (mks e cgs) e o sistema 
técnico de unidades.
Importante
A variação de pressão em um corpo pode também exercer influência nos estados da 
matéria desse corpo.
A pressão atmosférica (patm) é a pressão causada pelo peso de ar existente na atmosfera. 
Essa pressão vária com latitude e longitude. A pressão nos polos do planeta é maior que 
no equador. Varia também com a altitude: quanto mais alto, menor tende ser a pressão 
atmosférica. Varia ainda temporalmente, isto é, em um ponto a pressão pode variar prin-
cipalmente devido a variações climáticas. Por exemplo, ao entrar uma frente fria oriunda 
da Antártica no sul e sudeste do país, a pressão tende a aumentar devido ao maior peso 
do ar frio. O aparelho que mede pressão atmosférica chama-se barômetro.
Um valor referencial ao nível do mar considera a pressão atmosférica igual a:
100.000=105 Pa ou 100 kPa (quilos pascal) – SI/mks ou 106 Ba – SI/cgs ou ainda 10.000 
kgf/m² e 1,0 Kgf/cm² - ST.
Figura 13: Barômetro.
A pressão pode ser descrita de forma absoluta ou efetiva (relativa). Na pressão absoluta 
(pabs) considera-se sempre o valor da pressão atmosférica. Assim a pressão absoluta 
é sempre positiva, pois a menor pressão possível seria zero em uma condição de total 
ausência de matéria, isto é, em um vácuo total. Nesse caso soma-se à pressão medida o 
valor da pressão atmosférica.
21
Por exemplo, se um objeto está a quatro metros de profundidade em uma piscina, estará 
submetido a uma pressão absoluta realizada pela pressão da água mais o valor da pres-
são atmosférica sempre presente. Logo:
Como a pressão atmosférica sempre ocorre na superfície de nosso planeta, torna-se 
desnecessário levá-la em conta todo o tempo. Desta forma, pode-se desconsiderar a 
pressão atmosférica igualando-a a zero (patm = 0). A pressão atmosférica passa a ser 
considerada como origem (zero) na escala de pressão efetiva. Dessa forma, se a pressão 
medida (sem considerar a pressão ambiente atmosférica) for maior que o valor da pres-
são atmosférica, ela será positiva. Ao contrário, se a pressão medida da mesma forma 
for menor que a pressão atmosférica, seu valor será negativo.
No interior de uma embalagem de alimento a vácuo (retira-se o ar/oxigênio 
criando um vácuo parcial para dificultar a proliferação de bactérias e conser-
var o alimento fisicamente) a pressão é negativa, isto é, menor que a pressão 
atmosférica. 
Exemplo
Em nosso curso, tal como na maioria dos problemas práticos de engenharia, 
usa-se a pressão efetiva preferencialmente. 
Importante
22
A definição de fluido e suas propriedades 
Fluido
Fluido é definido classicamente como a substância que se deforma continuamente 
quando submetida a um esforço de cisalhamento (direção tangencial). No estado sólido 
tal esforço vai provocar uma deformação inicial muito pequena. Em seguida, aumentan-
do-se o esforço cisalhante o sólido pode não resistir (se ultrapassar a elasticidade do 
material) e colapsar, ou seja, ocorrer um corte ou ruptura em uma seção mais frágil. Por 
esse motivo o esforço cisalhante quando aplicado em sólido é conhecido também por 
esforço cortante.
Os fluidos não resistem ao esforço cisalhante, por menor que seja sua intensidade, e vão 
ter a capacidade de escoar (fluir) transportando matéria.
Na figura da esquerda abaixo, um anteparo horizontal é fixado em um corpo sólido e, 
na da direita, em um elemento de fluido. Ao aplicar um esforço cisalhante F no anteparo 
podemos fazer uma análise comparativa. No sólido (alta coesão) verificamos um ângulo 
de deformação θ máximo, a partir do qual não mais haverá deformação e o corpo poderá 
colapsar conforme descrito acima. Já no elemento de fluido (baixa coesão) ocorre uma 
deformação contínua de angulações sucessivas t0, t1, t2....ao longo do tempo, caracteri-
zando o ato de fluir ou escoar. 
Figura 14: Deformação de um sólido e de um elemento fluido submetidos a tensões cisalhantes.
Fonte: Livi (2017, p. 5).
Sólido
θ θ t0 t1 t2
Elemento 
fluido
F F
Basicamente os fluidos são constituídos dos estados líquido e gasoso.
23
Propriedades dos fluidos
Tensão superficial – Uma partícula no interior de um líquido está submetida a forças 
(coesão) simétricas exercidas por partículas iguais a ela. Assim sua resultante é nula. Já 
uma partícula na superfície do líquido deixará de estar simetricamente rodeada e será 
atraída para dentro do fluido por partículas iguais que se encontram abaixo dela.
Figura 15: Tensão superficial.
Figura16: Grandeza física chamada tensão superficial.
Fonte: fisicacomentada.blogspot.com
Assim cria-se uma película na superfície do líquido capaz de resistir a pequenas tensões, 
como, por exemplo, o peso de um inseto que caminha sobre a água parada. Podemos 
visualizar essa película também quando enchemos um copo com água acima da sua 
borda superior. Tal como em uma gota d’água, a água não escorre devido à película que 
é capaz de se contrapor ao peso da água. Essa é a grandeza física chamada de tensão 
superficial.
A tensão superficial varia naturalmente de um fluido para outro e com a temperatura e 
é expressa no sistema internacional em N/m (SI/mks) e em dyn/cm (SI/cgs). A tabela a 
seguir ilustra o valor da tensão superficial (dyn/cm) para diferentes fluidos em uma tem-
peratura constante de 20 oC.
A
B
http://fisicacomentada.blogspot.com/2013/01/tensao-superficial.html
24
Água 73,0
59,0
33,0
465
Glicerina
Azeite de oliva
Mercúrio (Hg)
Capilaridade – Fenômeno de ascensão de um líquido em um tubo de pequeno diâmetro, 
menor que 9,5 mm (capilar).
Trata-se de um fenômeno natural de origem molecular devido à coesão, adesão e tensão 
superficial e, portanto, variando de um fluido para outro e com a temperatura.
Em que:
• d – é o diâmetro do capilar.
• h – ascensão capilar.
O fenômeno ocorre também em placas paralelas pouco afastadas entre si e em meios 
porosos. Um exemplo no contexto de engenharia é a chamada franja capilar, que ocorre 
entre o nível do lençol de água subterrânea e a camada de solo não saturado de água, 
conforme apresentado na figura abaixo.
Figura 17: Efeito de capilaridade.
Fonte: Livi (2017, p. 11).
d
h
25
Figura 18: Capilaridade nos solos.
Figura 19 - Compressibilidade (elasticidade).
Fonte: manualdaquimica.com
Fonte: ebah.com.br
Compressibilidade ou elasticidade– É a capacidade que um fluido no estado gasoso 
tem de reduzir seu volume quando submetido a um esforço compressor normal. Cessa-
do o esforço, o fluido tende a recuperar suas dimensões originais mantidas as mesmas 
condições de temperatura.
A figura ilustra um fluido gasoso diminuindo seu volume devido à compressão de um 
êmbolo.
Os líquidos apresentam baixa compressibilidade, sendo geralmente considerados incom-
pressíveis para a maioria dos contextos de engenharia.
A compressibilidade de um fluido é medida por meio do módulo de elasticidade volumé-
trica e expressa em unidades de pressão.
https://www.manualdaquimica.com/quimica-geral/caracteristicas-gerais-dos-gases.htm
https://www.ebah.com.br/content/ABAAAAqcUAH/aguas-subterraneas
26
Viscosidade – Propriedade natural dos fluidos contrária ao esforço cisalhante, isto é, 
à fluidez. Assim, quanto menor a viscosidade de um fluido, maior sua facilidade para 
escoar. Um bom exemplo é a água, que, por possuir baixa viscosidade, tem grande capa-
cidade de escoar e alcançar um movimento turbulento. Ao contrário, fluidos com grande 
viscosidade, como o mel, os óleos etc., possuem maior dificuldade para adquirir movi-
mento.A figura abaixo ilustra um fluido com alta viscosidade.
Para melhor compreensão podemos fazer uma imagem didática da viscosidade como 
sendo um atrito interno entre as partículas fluidas. Na realidade, porém, a viscosidade é 
uma característica molecular natural de cada fluido, diferindo, portanto, do atrito, que é 
fricção em escala macroscópica. Sendo uma característica molecular natural dos flui-
dos, vai variar com a temperatura.
A viscosidade pode ser quantificada por meio de coeficientes de viscosidade. O mais 
comum é o chamado coeficiente de viscosidade dinâmica, que é expresso em geral no 
sistema internacional pela unidade chamada poise (P). Dada a ordem de grandeza da vis-
cosidade dinâmica dos fluidos, costuma-se usar o centipoise (cP). A título de ilustração, 
apresenta-se abaixo as viscosidades em cP de alguns fluidos à temperatura de 20 oC:
Figura 20: Fluido viscoso.
Água
Hidrogênio
1,0
0,00860
1,490
84,0
102
1.554
Glicerina
Azeite de oliva
Óleo lubrificante leve
Mercúrio (Hg)
27
Figura 21: Jean-Louis-Marie Poiseuille (1797 – 1869).
Densidade – Expressa a quantidade de matéria (massa - m) existente em uma unidade 
de volume (V) de um corpo sólido ou fluido.
A maneira mais direta de expressar a densidade de forma absoluta é por meio da massa 
específica (ρ).
No sistema internacional de unidades, a massa específica é expressa em kg/m³ (SI/mks) 
ou g/cm³ (SI/cgs). 
A água à temperatura ambiente, de 20 °C, apresenta massa específica de cerca de 1.000 
kg/m³ ou 1,0 g/cm³.
Quanto maior a massa específica de um corpo ou fluido, maior será seu peso (segun-
da lei de Newton: força peso – P = m . g).Assim, torna-se comum expressar também a 
densidade absoluta por meio do peso específico (ɣ), isto é, o peso da massa contida na 
unidade de volume.
Assim, novamente pela segunda lei de Newton, temos:
28
No sistema internacional, o peso específico é expresso em newton por metro cúbico – N/
m³ (SI/mks) ou dina por centímetro cúbico – dyn/cm³ (SI/cgs).
A água a pressão e temperatura ambiente (20 °C) apresenta peso específico no sistema 
internacional (SI/mks) de aproximadamente:
Como é uma relação entre mesmas grandezas, a densidade relativa é um número adi-
mensional (sem unidades) que expressa então o quanto um sólido ou fluido é mais ou 
menos denso que a água.
A tabela abaixo ilustra a densidade relativa de alguns fluidos `a temperatura (20 ºC) e 
pressão ambiente:
Lembrando que o kg.m/s² é chamado de newton – N.
No sistema técnico – ST de unidade, como visto, 1 kgf ≅ 10 N; assim, a densidade da 
água vale 1.000 kgf/m³.
É interessante notar que a massa específica da água (SI/mks) vale 1.000 kg/m³, e seu 
peso específico, 1.000 kgf/m³, ou seja, existe uma igualdade numérica entre as densida-
des, o que torna fácil a transformação de massa para peso específico, e vice-versa.
É muito comum na prática trabalharmos com a massa específica no SI (mks e cgs) e o 
peso específico no ST de unidades. Não é usual expressar a massa específica no siste-
ma técnico.
A densidade pode ainda ser expressa em termos relativos. A densidade relativa (d) de um 
corpo ou fluido é a relação entre sua densidade absoluta (massa específica ou peso es-
pecífico) com a densidade absoluta de uma substância de referência. Em geral usa-se a 
água como referência por termos percepção do comportamento físico desse fluido que 
usamos em nosso cotidiano. Assim:
29
Óleos
Ar
0,75 a 0,95
1,225 x 10-3
1,0
1,025
13,6
Água
Água do mar (salgada)
Mercúrio (Hg)
É interessante perceber que a massa específica no sistema internacional (SI-cgs) tem o 
mesmo valor que a densidade relativa. Por exemplo, a ρágua = 1,0 g/cm³ e sua densidade 
relativa também vale d = 1,0.
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 1 e veja o que é um fluido indicado como material 
complementar pelo professor.
NA PRÁTICA
Apesar de ser uma unidade mais introdutória e teórica, temos a oportunidade de vis-
lumbrar algumas aplicações práticas da Unidade 1.
Considere o seguinte problema: temos uma piscina de plástico pequena que será utiliza-
da na cobertura de um prédio. Quando cheia a piscina tem capacidade de 5.000 litros de 
água. Para dimensionar a laje de forma segura, o engenheiro projetista deve considerar 
essa carga adicional da piscina cheia. A questão então é: qual será o peso de água?
Solução
Devemos, portanto, calcular o peso da água a partir de seu volume. No Tópico 3 desta 
unidade temos definido o conceito de peso específico (ɣ) como sendo a relação entre 
peso e volume de um fluido.
30
Como sabemos o valor da densidade absoluta (peso específico) da água à tempera-
tura ambiente (20 °C): ɣ = 1.000 kgf/m³, podemos inverter a definição acima e calcular 
o peso da água:
É importante notar que, como 1 m³ corresponde a 1.000 l, dividimos os 5.000 l de 
água por 1.000 para poder calcular o volume em m³.
O engenheiro deverá considerar, portanto, um acréscimo nada desprezível de 5.000 
kgf (sistema técnico de unidades) de água (ou cinco toneladas forças), fora o peso 
próprio da piscina e partes acessórias.
Caso queiramos expressar o peso em newton (N) no sistema internacional mks, a 
relação a ser usada é 1 kgf ≅ 10 N (Tópico 3), assim teremos: 50.000 N de peso.
𝛾 =
𝑃
𝑉
𝑃 = 𝛾 .𝑉 = 1.000
𝑘𝑔𝑓
𝑚3 .
5.000
1.000𝑚³ = 5.000 𝑘𝑔𝑓
31
Resumo da Unidade 1
Vimos na unidade 1 o modelo newtoniano como um modelo aplicado com validade 
apenas para os fenômenos macroscópicos e que será utilizado em nosso curso para 
a análise dos conteúdos físicos associados aos fenômenos de transportes de massa e 
energia. Para a aplicação do modelo newtoniano ao movimento de massa, estudamos 
os estados da matéria e suas variações em função das grandezas apresentadas: tem-
peratura e pressão.
Em seguida definimos o fluido e o modelamos como formado por infinitas partículas 
fluidas em um meio contínuo. Analisamos também suas principais propriedades: visco-
sidade e densidade.
No Tópico 1 desta unidade, o conceito mais importante é o de modelo mental e a dife-
renciação de validade entre os modelos molecular e macroscópico.
No Tópico 2 são apresentados os conceitos de fases da matéria em função das gran-
dezas físicas temperatura e pressão.
No Tópico 3 o fluido e suas principais propriedades são conceituados.
CONCEITO
32
Referências 
LIVI, C. P. Fundamentos de fenômenos de transporte: um texto para cursos básicos. 2. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
Estática dos fluidos
UNIDADE 2
34
Na estática vamos estudar o fluido em equilíbrio, isto é, quando não está submetido à 
tensão cisalhante, que, como vimos na definição de fluido na Unidade 1, provoca movi-
mento (escoamento). Nos Tópicos 1 e 2, vamos abordar questões conceituais, analisan-
do melhor a grandeza pressão, suas propriedades quando aplicada em um fluido e sua 
relaçãocom a altura de coluna de um fluido. Por fim, no Tópico 3, vamos relacionar os 
conceitos à prática, no estudo de máquinas hidráulicas e corpos flutuantes.
INTRODUÇÃO
OBJETIVO
Nesta unidade, você será capaz de:
• Aplicar os conceitos da estática dos fluidos na engenharia, a partir da interpreta-
ção de leis, conceitos e princípios relacionados ao equilíbrio dos fluidos.
35
O fluido estático, o princípio de Pascal, o 
princípio de Stevin e a equação fundamen-
tal da estática dos fluidos 
O fluido estático
Um fluido é definido como estático ou em equilíbrio quando não há movimento relativo 
entre suas partículas fluidas, isto é, não está submetido a tensões cisalhantes, que pro-
vocam escoamento.
A grandeza mais importante na estática é a pressão vista na Unidade 1, Tópico 2, pela 
relação entre o módulo de uma força normal aplicada a um elemento de área.
𝑝 =
�⃗�
𝐴
O princípio de Pascal
Como visto na Unidade 1, Tópico 2, a pressão é uma grandeza escalar que independe, 
portanto, de direção e sentido. Assim, em um ponto imerso em um fluido em repouso, 
a pressão é transmitida igualmente em qualquer direção. Esse fenômeno é conhecido 
como princípio de Pascal: “O acréscimo de pressão, em um ponto de líquido em equilí-
brio, transmite-se integralmente a todos os pontos deste líquido.”
Um exemplo cotidiano é a pressão atmosférica que atua sobre nós, não somen-
te de cima para baixo, mas também de baixo para cima e lateralmente. Caso 
contrário (se atuasse como o peso, apenas de cima para baixo) ao nos abrigar-
mos embaixo de um teto deixaríamos de senti-la. O que claramente não ocorre.
Exemplo
36
Conhecido o princípio de Pascal vamos agora ver a chamada pressão fluidoestática.
O princípio de Stevin e a equação fundamental da estática 
dos fluidos
Entre os séculos XVI e XVII, Simon Stevin estudou a pressão exercida sobre corpos imer-
sos em fluidos estáticos, chegando ao chamado princípio de Stevin.
Considere na figura abaixo um reservatório contendo um fluido qualquer em que no fundo 
destaca-se um elemento de área A. Sabemos que esse elemento está sujeito à pressão 
efetiva (sem considerar a pressão atmosférica) realizada pelo peso da coluna (prisma de 
base A) de fluido de altura h acima dele.
Figura 1: Reservatório contendo fluido.
Fonte: centro-americanístico
A
h
Sendo o peso específico (ɣ) (Unidade 1, Tópico 3) de um fluido a relação entre seu peso 
e volume:
Pode-se dizer alternativamente que:
𝛾 =
𝑃
𝑉
𝑃 = 𝛾 .𝑉
https://www.obaricentrodamente.com/2012/02/o-teorema-de-stevin.html
37
Substituindo a expressão acima na definição de pressão (p), temos:
Da geometria, sabemos que o volume de um prisma de base A é calculado por:
Assim:
Por fim, tem-se:
Considerando a relação entre peso e massa específicas (segunda lei de Newton):
Tem-se, alternativamente:
Podemos dizer, então, que:
A pressão fluidoestática pode ainda ser descrita também em função da densidade relati-
va (d) do fluido (ver Unidade 1/Tópico 3):
𝑝 =
�⃗�
𝐴 =
𝑃
𝐴 =
𝛾 .𝑉
𝐴
𝑉 = 𝐴 . ℎ
𝑝 =
𝛾 .𝑉
𝐴 =
𝛾 . (𝐴. ℎ)
𝐴
𝑝 = 𝛾 . ℎ
𝛾 = 𝜌 .𝑔
𝑝 = 𝛾 . ℎ = 𝜌 .𝑔. ℎ
𝑑 =
𝜌
𝜌á𝑔𝑢𝑎
= 
𝛾
𝛾á𝑔𝑢𝑎
𝛾 = 𝑑 . 𝛾á𝑔𝑢𝑎 𝑒 𝜌 = 𝑑 . 𝜌á𝑔𝑢𝑎
38
Assim:
Assim:
Ou ainda:
Stevin definiu assim seu princípio:
“A diferença entre as pressões de dois pontos de um fluido em 
equilíbrio (repouso) é igual ao produto entre a densidade do 
fluido, a aceleração da gravidade e a diferença entre as pro-
fundidades dos pontos.” 
𝑝 = 𝑑 . 𝛾á𝑔𝑢𝑎. ℎ = 𝑑 . 𝜌á𝑔𝑢𝑎.𝑔. ℎ
As equações acima são conhecidas como equação fundamental da estática dos fluidos.
Esse resultado é chamado de paradoxo da estática dos fluidos, isto é, apesar de a pres-
são ser definida em função da área, a pressão no interior de um líquido estático indepen-
de da área. Como a equação acima nos mostra, a pressão fluidoestática é função ape-
nas da densidade (ɣ ou ρ) do líquido e da profundidade (h) do ponto ou área em estudo.
Caso quiséssemos considerar a pressão absoluta pabs, isto é, considerando a pressão 
atmosférica que sempre ocorre, teríamos:
𝑝𝑎𝑏𝑠 = 𝑝 + 𝑝𝑎𝑡𝑚
𝑝𝑎𝑏𝑠 = 𝛾 . ℎ + 𝑝𝑎𝑡𝑚
𝑝𝑎𝑏𝑠 = 𝜌 .𝑔. ℎ + 𝑝𝑎𝑡𝑚
Figura 2: Simon Stevin 
(1548/1620).
39
Fonte: google.com
A
Δh
hB
hA
B
𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 = 𝛾 .∆ℎ = 𝜌 .𝑔.∆ℎ
Em que: 
∆ℎ = ℎ𝐴 − ℎ𝐵
A equação fundamental da estática dos fluidos apresenta uma relação simples entre a 
pressão efetiva (p) e a profundidade (h). Trata-se de uma relação de proporcionalidade 
direta e linear, em que a constante de proporcionalidade é a densidade do fluido (ɣ) ou 
(ρg), considerando não haver variações na densidade de um mesmo fluido ao longo de 
sua profundidade.
Matematicamente, essa relação é representada por uma equação de primeiro grau:
Em que:
• p é a variável dependente y.
• h é a variável independente x.
• ɣ ou ρg é o coeficiente angular (inclinação) da reta a.
𝑦 = 𝑎 . 𝑥 + 𝑏
𝑝 = 𝛾 . ℎ = 𝜌 .𝑔. ℎ
Figura 3: Princípio de Stevin.
https://www.google.com/search?q=princ%C3%ADpio+de+Stevin&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjLueuY7LjgAhWcILkGHT5sBVgQ_AUIDigB&biw=1424&bih=692#imgrc=SWpi49LqIeTZhM
40
O coeficiente linear b da reta (interseção da reta com eixo vertical da ordenada), no caso 
de pressão efetiva, é igual a zero, pois a reta parte da origem, ou seja, quando a profundi-
dade é zero (na superfície do fluido), a pressão efetiva é também zero (desconsiderando 
a pressão atmosférica).
O gráfico abaixo ilustra a relação:
Se considerarmos a pressão absoluta, o coeficiente linear (b) assume o valor da pressão 
atmosférica: b = patm.
Figura 4: Relação entre pressão efetiva e altura de pressão.
Figura 5: Relação entre pressão absoluta e altura de pressão.
Fonte: mundoeducacao.bol.uol.com.br (modificada).
0
p
h
0
p
patm
h
𝑝 = 𝛾 . ℎ = 𝜌 .𝑔. ℎ
𝑝𝑎𝑏𝑠 = 𝛾 . ℎ + 𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝜌 .𝑔. ℎ + 𝑝𝑎𝑡𝑚
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/pressao-um-ponto-um-líquido.htm
41
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 2 e veja o conteúdo sobre o princípio de Pascal indi-
cado como material complementar pelo professor.
42
A equivalência entre pressão e altura, o 
princípio de vasos comunicantes e os ma-
nômetros 
A equivalência entre pressão e altura
Como visto, há uma relação íntima entre pressão e profundidade. Na prática, essa relação é 
explorada comumente quando expressamos uma pressão por meio da altura de coluna de 
um fluido. Assim, altura ou profundidade (h) será também chamada de altura de pressão 
(ou altura piezométrica). Temos então pelo menos duas novas unidades de “pressão” (na 
verdade é a pressão expressa por sua equivalência com a altura de pressão):
• mca: metros de coluna d’água: usa-se a água pelo fato de a utilizarmos todo o tempo.
• mm de Hg: milímetros de mercúrio: usa-se o mercúrio por ser muito denso e pesa-
do e se prestar, portanto, a medir maiores pressões.
Por exemplo, considere um mergulhador em uma piscina de água a 5,0 m de profundida-
de. Sua pressão será calculada pela equação fundamental da estática dos fluidos:
𝑝 = 𝛾á𝑔𝑢𝑎 . ℎ = 𝜌á𝑔𝑢𝑎 .𝑔. ℎ
Usando o sistema internacional (SI/mks) e considerando a aceleração da gravidade g 
como aproximadamente 10 m/s², temos:
Assim, podemos expressar a “pressão” no mergulhador por meio de sua altura de pres-
são em água (mca) simplesmente invertendo a equação:
𝑝 = 10.000 
𝑁
𝑚3 . 5,0 𝑚 = 1.000 
𝑘𝑔
𝑚3 . 10 
𝑚
𝑠2 . 5,0 𝑚 = 50.000
𝑁
𝑚2 𝑜𝑢 𝑃𝑎
43
Ou:
Ou:
No sistema técnico, usando o peso específico (γ):
E altura de pressão em água (mca):
Se, em vez de água, quisermos a altura de pressão expressa em milímetros de mercúrio, 
cuja densidade à temperatura de 20 °C vale dHg = 13,6 ou ρ = 13.600 kg/m³ ou, ainda, ɣ 
= 136.000 N/m³, temos então:
𝑝 = 𝛾á𝑔𝑢𝑎 . ℎ = 1.000 
𝑘𝑔𝑓
𝑚3 . 5,0 𝑚 = 5.000 
𝑘𝑔𝑓
𝑚2 𝑜𝑢 0,5 
𝑘𝑔𝑓
𝑐𝑚2
44
E para mercúrio (mm de Hg), cujo peso específico no ST é ɣ = 136.000 kgf/m³:
Conclusão: o mergulhador está submetido a uma pressão efetiva de 50.000N/m³ (SI/
mks) ou 5.000 kgf/m² (ST), que equivale à pressão realizada pelo peso de uma coluna de 
água de 5,0 mca ou de mercúrio de 368 mm de Hg. Na prática, diz-se simplesmente que 
a “pressão” do mergulhador é de 5,0 mca ou 368 mm de Hg.
Deve-se sempre lembrar que, caso se queira a pressão absoluta (pabs) que ocorre no mer-
gulhador, basta somar o valor da pressão atmosférica (patm) local à pressão efetiva (p).
O princípio de vasos comunicantes
Como visto, o princípio de Stevin (Unidade 2, Tópico 1) nos diz que a pressão efetiva de 
um fluido estático depende apenas de sua densidade e profundidade. Assim, a pres-
são independe do formato e do volume do recipiente no qual o líquido está contido. É o 
chamado princípio de vasos comunicantes. Vasos comunicantes são recipientes que se 
interligam contendo um mesmo fluido. A figura abaixo ilustra o princípio:
É importante observar que, independentemente do formato e do volume de líquido con-
tido em cada recipiente (vaso), a altura de fluido é a mesma, logo as pressões exercidas 
nas bases dos recipientes também serão iguais. Na figura acima: p1 = p2 = p3.
Figura 6: Vasos comunicantes.
p1 p2 p3
45
Uma aplicação prática do princípio de vasos comunicantes pode ser vista no funciona-
mento dos chamados tubos piezométricos ou simplesmente piezômetros. Consistem 
em um tubo vertical graduado no qual se pode ler o nível (altura de pressão ou piezomé-
trica) de um líquido contido em uma tubulação ou reservatório colocado em comunica-
ção de vasos. A partir das alturas de pressão (h) medidas, podemos, como sabemos (p 
= ɣ . h = ρ . g . h), calcular as pressões fluidoestáticas atuantes.
Uma seção transversal A de uma tubulação circular é mostrada na figura abaixo, cuja 
pressão é pA. Essa pressão é positiva e pode ser oriunda de um reservatório suspenso ou 
de uma bomba situados a montante (acima) da seção A — pouco importa no momento. 
O fluido que escoa na tubulação enche os tubos piezométricos acoplados, até a altura h.
Para uma pressão em A constante, temos uma respectiva altura de pressão h, também 
constante, que pode ser lida no tubo piezométrico graduado. Sabendo-se a densidade do 
líquido (ρ ou ɣ), podemos então calcular a pressão pA por:
A medição de pressão por piezômetros é limitada para:
• Pequenas pressões: pois, no caso de maiores pressões, são necessários tubos pie-
zométricos muito altos e pouco operacionais.
• Apenas pressões positivas: caso na tubulação a pressão pA fosse negativa, o líquido 
não encheria o tubo piezométrico, e sim o ar externo é que entraria na tubulação (o 
fluido escoa sempre do ponto de maior pressão para o de menor, como veremos na 
Unidade 3, Dinâmica dos fluidos).
h
Figura 7: Piezômetros.
Fonte: amt-ft.blogspot.com
𝑝𝐴 = 𝛾 . ℎ = 𝜌 .𝑔. ℎ
http://amt-ft.blogspot.com/2010/09/medidores-de-pressao-piezometro-e-tubo.html
46
• Apenas pressões em líquidos: obviamente se ligarmos um piezômetro em um ga-
soduto, o gás irá escapar pelo tubo piezométrico, que se encontra vazio antes de 
acoplado à tubulação.
O tubo piezométrico é, portanto, limitado e simples, porém tem a vantagem de ser de fá-
cil e rápida medição. Caso o fluido que escoa na tubulação seja água, a pressão medida 
pode ser expressa de forma prática como sendo h mca (equivalência entre pressão e 
altura em metros de coluna d’água, como visto acima neste tópico).
Os piezômetros são usados também em poços piezométricos escavados para medir o 
nível de água em solos em lençóis freáticos (lençol de água), em aterros, em barragens e 
contenções de terra e em rios, em poços escavados na margem. A figura abaixo ilustra 
poços piezométricos medindo os níveis do lençol freático.
Figura 8: Piezômetros em lençóis de água.
Fonte: slideplayer.com.br
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 2 e veja o conteúdo sobre vasos comunicantes indi-
cado como material complementar pelo professor. 
https://slideplayer.com.br/slide/1866500/
https://slideplayer.com.br/slide/1866500/
47
Os manômetros
São instrumentos de diferentes tipos e formas de funcionamento que têm por objetivo 
medir a pressão efetiva em sistemas fechados. Podemos classificá-los em dois tipos: 
manômetros metálicos e líquidos.
Manômetros metálicos: em geral utilizados para medir grandes pressões. São de diver-
sos tipos, e os mais tradicionais medem a pressão incidente por meio de seu efeito de 
deformação em tubos metálicos recurvados ou diafragmas no interior desses aparelhos.
Figura 9: Manômetro metálico (parte interna).
Figura 10: Manômetro metálico (parte externa).
Fonte: www.tecniar.com.br
São, portanto, medidores de pressão industrialmente construídos e de fácil leitura em 
seu mostrador externo.
Elemento elástico
Movimento
Soquete
Conexão inferior
Batente interno
Batente interno
Extremidade móvel
Ponteiro
Braço de articulação
http://www.tecniar.com.br/mamometro/manometro-informacoes-uteis/
http://www.tecniar.com.br/mamometro/manometro-informacoes-uteis/
48
Manômetros líquidos: são mais simples e consistem em tubos transparentes graduados 
em milímetros, em forma de U ou múltiplos U. São mais indicados para pressões meno-
res, positivas ou negativas, medidas em líquidos e gases. Os tubos contêm previamente 
um líquido chamado de líquido manométrico, em geral mercúrio (Hg). Usa-se o mercúrio 
por ele ser imiscível (não se mistura com outros líquidos) e por ser muito denso e pesado, 
prestando-se, assim, a medir maiores pressões.
Seu funcionamento ocorre em função da variação de nível do líquido manométrico, pro-
porcional à pressão medida. Vamos analisar o manômetro de mercúrio (fluido manomé-
trico – Hg) abaixo:
Novamente considere uma tubulação sob pressão cuja seção transversal aparece na 
figura acoplada ao manômetro de mercúrio. Assim, o objetivo é medir a pressão em A 
na tubulação.
Como visto no princípio de vasos comunicantes, as pressões efetivas exercidas em uma 
mesma linha horizontal de um mesmo fluido estático são iguais. É o que acontece quan-
do traçamos um referencial horizontal passando pelo limite inferior do mercúrio no ramo 
(lado) da esquerda no ponto B no manômetro. Criam-se assim os pontos B e C, que pos-
suem a mesma pressão (mesma horizontal):
Figura 11: Manômetro simples de mercúrio.
Fonte: tudoengcivil.com.br (modificado).
h2
Fluido manométrico
h1
D
CB
A
https://www.tudoengcivil.com.br/2014/03/exercicios-resolvidos-de-mecanica-dos_15.html
https://www.tudoengcivil.com.br/2014/03/exercicios-resolvidos-de-mecanica-dos_15.html
49
𝑝𝐵 = 𝑝𝐶
Vamos, então, analisar as pressões que ocorrem em cada ponto considerado B e C. Pelo 
princípio de Pascal, sabe-se que o ponto B recebe a pressão transmitida da tubulação A 
(do reservatório suspenso ou da bomba) mais, ainda, a pressão realizada pelo peso da 
altura de fluido (ɣfluidoh1 ou pfluidogh1) que entra no manômetro (ramo esquerdo). Assim, 
sua pressão vale:
Já no ponto C (ramo direito), a pressão ocorre apenas devido à altura de mercúrio (ɣHgh2 
ou pHgh2):
Assim, igualando as pressões pB e pC, tem-se:
Ou:
Por fim, pode-se calcular o valor de pA:
Basta medirmos as alturas h1 e h2 na escala graduada do manômetro e conhecermos a 
densidade do fluido que está escoando na tubulação (como visto anteriormente, a densi-
dade do mercúrio à temperatura ambiente vale no SI/mks: ρ = 13.600 kg/m³ ou, ainda, ɣ 
= 136.000 N/m³, e no ST: ɣ = 136.00 kgf/m³).
𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 + 𝛾𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 .ℎ1 = 𝑝𝐴 + 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 .𝑔. ℎ1
𝑝𝐶 = 𝛾𝐻𝑔 .ℎ2 = 𝜌𝐻𝑔 .𝑔. ℎ2
𝑝𝐴 + 𝛾𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 .ℎ1 = 𝛾𝐻𝑔 .ℎ2
𝑝𝐴 + 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 .𝑔. ℎ1 = 𝜌𝐻𝑔 .𝑔. ℎ2
𝑝𝐴 = 𝛾𝐻𝑔 . ℎ2− 𝛾𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 . ℎ1 = 𝜌𝐻𝑔 .𝑔. ℎ2 − 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 .𝑔. ℎ1
50
É importante frisar que os manômetros líquidos somente medem a pressão efetiva, sem 
considerar a pressão atmosférica que atua no ponto D (pD = patm) e igualmente atua na 
pressão PA dentro da tubulação propagada devido ao princípio de Pascal, já estudado 
anteriormente nesta unidade (Tópico 1).
Manômetro diferencial de mercúrio: trata-se do mesmo manômetrode mercúrio. No 
manômetro simples de mercúrio visto acima, um dos ramos está aberto para a atmos-
fera. Agora, no manômetro diferencial, os dois ramos estão ligados a pontos de pressão. 
Dessa forma, em vez de medir a pressão em um ponto apenas, mediremos a diferença 
de pressão entre dois pontos.
Figura 12: Manômetro diferencial de mercúrio.
Fonte: engbrasil.eng.br (modificado).
h1
h3
h2
DC
Hg
B
A
Observe que os dois ramos estão ligados em diferentes tubulações A e B. A forma de lei-
tura é a mesma: criam-se dois pontos de pressões iguais, C e D, traçando um referencial 
horizontal pelo limite inferior do mercúrio (ponto D). Sabemos que:
E que a pressão em C vale:
𝑝𝐶 = 𝑝𝐷
𝑝𝐶 = 𝑝𝐴 + 𝛾𝐴 . ℎ1+ 𝛾𝐻𝑔 . ℎ2 = 𝑝𝐴 + 𝜌𝐴 .𝑔. ℎ1 + 𝜌𝐻𝑔 .𝑔. ℎ2
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula5.pdf
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula5.pdf
51
E a pressão p em D:
Ou:
Ou:
Em que as densidades dos líquidos A e B são, respectivamente, ɣA e ɣB ou ρA e ρB. Igua-
lando as pressões pC e pD, tem-se:
Assim, a diferença de pressão entre os pontos A e B pode ser calculada explicitando pB 
(maior pressão, pois o mercúrio abaixa mais nos ramos à direita) menos pA: 
𝑝𝐷 = 𝑝𝐵+ 𝛾𝐵 . ℎ3 = 𝑝𝐵 + 𝜌𝐵 .𝑔. ℎ3
𝑝𝐴 + 𝛾𝐴 . ℎ1+ 𝛾𝐻𝑔 . ℎ2 = 𝑝𝐵+ 𝛾𝐵 . ℎ3
𝑝𝐴 + 𝜌𝐴 .𝑔. ℎ1 + 𝜌𝐻𝑔 .𝑔. ℎ2 = 𝑝𝐵 + 𝜌𝐵 .𝑔. ℎ3
𝑝𝐵 − 𝑝𝐴 = 𝛾𝐴 . ℎ1+ 𝛾𝐻𝑔.ℎ2− 𝛾𝐵 . ℎ3
𝑝𝐵 − 𝑝𝐴 = 𝜌𝐴 .𝑔. ℎ1 + 𝜌𝐻𝑔 .𝑔. ℎ2 − 𝜌𝐵 .𝑔. ℎ3
52
As máquinas hidráulicas, o princípio de Ar-
quimedes e a força empuxo e o equilíbrio de 
corpos flutuantes 
As máquinas hidráulicas
Máquinas hidráulicas são engenhos que se fundamentam no princípio de Pascal (estudado 
no Tópico 1 desta unidade), isto é, a propagação das pressões ao longo de uma massa 
líquida. Como exemplo, temos os elevadores hidráulicos (figura abaixo), as prensas e ma-
cacos hidráulicos.
Basicamente, tais máquinas consistem em dois cilindros contendo pistões interligados in-
ternamente por um fluido estático, em geral óleo lubrificante (para reduzir o atrito entre 
o pistão e as paredes dos cilindros). O líquido interno transmite integralmente a pressão 
oriunda de uma pequena força (f) incidente em um pistão de área transversal pequena (a) 
— lado esquerdo da figura. Ao se propagar até um pistão de área transversal grande (A), a 
pressão (p) gera uma força maior (F) neste último — lado direito da figura. Como pressão é 
definida como força sobre área (Unidade 1, Tópico 2), temos:
𝑝 =
𝑓
𝑎 =
𝐹
𝐴
Figura 13: Elevador hidráulico.
53
Por exemplo: imagine que no elevador hidráulico da figura temos:
• f = 2.000 kgf (ST).
• a = 4,0 cm².
• A = 1.600 cm².
Qual a força resultante F?
Podemos calcular a pressão exercida no pistão da direita de área a:
A pressão resultante se propaga até o cilindro do lado esquerdo (princípio de Pascal), en-
contrando nesse cilindro uma área maior (A = 1.600 cm²). Daí uma força resultante maior 
pode ser calculada por:
O princípio de Arquimedes e a força empuxo
Na física, podemos classificar dois tipos de forças: de distância (de campo) e de contato. 
As forças de distância são as realizadas devido a campos, no nosso caso o campo gravi-
tacional terrestre, que resultam na força peso. Já as forças de contato ocorrem devido à 
terceira lei de Newton (ação e reação) mediante a interação física entre corpos e fluidos.
Por fim, a força resultante será F = 800.000 kgf ou 800 tf (toneladas-força).
𝑝 =
𝑓
𝑎 =
2.000 𝑘𝑔𝑓
4,0 c𝑚²
= 500 
𝑘𝑔𝑓
𝑐𝑚2
𝑝 =
𝐹
𝐴 = 
𝐹
1.600 𝑐𝑚²
= 500 
𝑘𝑔𝑓
𝑐𝑚²
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 2 e veja o conteúdo sobre experimentos de elevador 
hidráulico indicado como material complementar pelo professor.
54
Um corpo no interior de um fluido em equilíbrio recebe por parte desse fluido uma força 
de contato de direção vertical, sentida de baixo para cima, cujo módulo (intensidade) é 
igual ao valor do peso de volume de fluido deslocado pelo corpo (como dois corpos não 
podem ocupar o mesmo espaço, quando totalmente imerso, um corpo desloca um volu-
me de fluido igual ao seu próprio volume imerso). Essa força é conhecida como empuxo 
de Arquimedes, em homenagem ao geômetra grego do século II a.C.
Sendo o módulo do empuxo igual ao peso do volume de fluido deslocado, podemos, a 
partir da segunda lei de Newton (P = m . g), escrever que:
Figura 14: Empuxo de Arquimedes.
Empuxo
Figura 15: Arquimedes (288 a.C.-212 a.C.).
Fonte: www.pensador.com
𝐸 = 𝑚𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 .𝑔
https://www.pensador.com/autor/arquimedes/biografia/
https://www.pensador.com/autor/arquimedes/biografia/
55
Em que:
• E: força empuxo.
• mfluido: massa de fluido deslocado pelo corpo.
Vimos na Unidade 1, Tópico 3, o conceito de densidade absoluta expressa pela massa 
específica (ρ):
Podemos, então, expressar a massa como sendo:
E, substituindo na expressão do empuxo, temos:
• ɣfluido: peso específico do fluido deslocado pelo corpo.
• ρfluido: massa específica do fluido deslocado pelo corpo.
• Vfluido: volume de fluido deslocado pelo corpo.
Alternativamente, como ɣ = ρ . g (Unidade 1, Tópico 3), temos:
𝜌 =
𝑚
𝑉
𝑚 = 𝜌 .𝑉
𝐸 = 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 .𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 .𝑔
𝐸 = 𝛾𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 .𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
56
Figura 16: Forças peso e empuxo atuando em um corpo imerso.
Fonte: www.if.ufrgs.br (modificado).
E
P
A força peso (P) pode ser escrita em função da densidade do corpo de forma similar que 
fizemos para o empuxo, pois:
Em que:
• m: massa do corpo.
• V: volume do corpo. 
• ρ e ɣ: são a densidade absoluta do corpo, respectivamente massa e peso específicos.
Na figura acima, o corpo está totalmente submerso, portanto seu volume é igual ao do 
líquido por ele deslocado (V = Vfluido).
Analisando comparativamente as expressões abaixo de empuxo e peso:
𝑃 = 𝑚 .𝑔 = 𝜌 .𝑉.𝑔 = 𝛾 .𝑉
𝐸 = 𝑚𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜.𝑔 = 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜.𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜.𝑔 = 𝛾𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜.𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝑃 = 𝑚 .𝑔 = 𝜌 .𝑉.𝑔 = 𝛾 .𝑉
O equilíbrio de corpos flutuantes
Em um corpo imerso em um fluido em equilíbrio, temos no mínimo duas forças atuando 
na direção vertical: o peso do corpo (força do campo gravitacional) e o empuxo (força 
de contato entre o corpo e o fluido). Essas forças têm direções opostas, como ilustra a 
figura abaixo:
http://www.if.ufrgs.br/mpef/mef004/20021/Angelisa/deducao.html
http://www.if.ufrgs.br/mpef/mef004/20021/Angelisa/deducao.html
57
𝑅 = 𝑃 − 𝐸 = 𝛾 .𝑉 − 𝛾𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 .𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
Nesse caso, a resultante (R) será chamada de peso aparente do corpo, pois um corpo 
mergulhado em um fluido parece pesar menos. É óbvio que o peso de um corpo não se 
altera quando dentro ou fora de um fluido. O que ocorre é que, quando imerso, o peso 
do corpo será contraposto pelo empuxo, dando a impressão aparente de pesar menos.
• E > P. Como V = Vfluido (corpo imerso), temos agora situação contrária: o fluido é 
mais denso que o corpo (ɣfluido > ɣ). Por exemplo: um corpo de madeira ou cortiça 
mergulhado em água ou em óleo. Agora o corpo vai subir acelerado pela resultante 
(R), empuxo menos peso:
Quando atinge a superfície, o corpo entra em equilíbrio em uma condição de flutuação. 
Assim, sua resultante passa a ser igual a zero: R = 0, e o peso passa a ser igual ao empuxo.
𝑅 = 𝐸 − 𝑃 = 𝛾𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 .𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 − 𝛾 .𝑉
Figura 17: Corpo flutuante.
Fonte: if.ufrgs.br (modificado).
E
P
Temos, basicamente, duas situações:
• P > E. Como V = Vfluido (corpo imerso), necessariamente, nesse caso, o corpo é mais 
denso que o fluido (ɣ > ɣfluido). Por exemplo: um corpo metálico ou de cimento mer-
gulhado em água ou óleo. O corpo irá afundar acelerado pela resultante (R), peso 
menos empuxo:
http://www.if.ufrgs.br/mpef/mef004/20021/Angelisa/condicoesdeflutuacao.html
http://if.ufrgs.br
58
NA PRÁTICA
Vamos pensar sobre como o princípio de Arquimedes apresenta utilidade prática. 
Por exemplo, considere o seguinte problema de engenharia: em um canteiro de uma 
obra civil, o concreto produzido precisava ser testado em relação a sua densidade, 
para verificar se estavaem uma faixa aceitável para uso. O engenheiro então pegou 
um corpo de prova do concreto produzido e levou-o para o laboratório. Primeira-
mente, pesou o corpo de prova em uma balança e encontrou 3,87 kgf. Em seguida, 
mergulhou totalmente o corpo de prova em um recipiente contendo água e mediu 
seu peso quando imerso nela, conforme ilustra a figura abaixo, encontrando 2,37 kgf.
Qual a densidade do concreto?
Solução
O peso próprio do corpo de prova é 3,87 kgf. O peso do corpo 
imerso em água é o chamado peso aparente do corpo, isto é, 
seu peso próprio menos o empuxo realizado pela água.
Podemos escrever, então, o somatório de forças na direção vertical como sendo:
Sabendo que o empuxo é definido como:
𝑅 = 𝑃 − 𝐸 = 2,37 𝑘𝑔𝑓
𝐸 = γfluido. Vfluido = 2,37 𝑘𝑔𝑓
Podemos calcular, então, o volume de água deslocada:
Vágua =
𝐸
γágua
=
2,37 𝑘𝑔𝑓
1.000 𝑘𝑔 𝑓 𝑚⁄ ³
= 2,37 𝑥 10−3 𝑚³
59
Como no experimento o corpo de prova foi totalmente imerso em água, o volume de 
água deslocada é igual ao volume do corpo:
Por fim, podemos calcular a densidade expressa pelo peso específico do concreto por 
meio da definição de peso específico (conforme estudamos na Unidade 1, Tópico 3):
E:
V = Vágua = 2,37 𝑥 10−3 𝑚³
𝛾 =
𝑃
𝑉
𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 =
3,87 𝑘𝑔𝑓
2,37 𝑥 10−3 𝑚³
= 1.632 𝑘𝑔 𝑓 𝑚⁄ ³
60
Resumo da Unidade 2 
Na Unidade 2, definimos fluidos estáticos e seu comportamento no que diz respeito a 
pressões e força empuxo. Abordamos também como medir pressões por meio de piezô-
metros e manômetros. Vimos, ainda, como se aplicam os conceitos teóricos da estática 
dos fluidos em máquinas hidráulicas.
CONCEITO
No Tópico 1 desta unidade, os conceitos abordados mais importantes foram a trans-
missão de pressão no meio de uma massa fluida (princípio de Pascal) e a definição 
de pressão fluidoestática (o princípio de Stevin).
No Tópico 2, foram apresentadas a relação prática entre pressão e altura e a medi-
ção por meio do princípio de vasos comunicantes no piezômetro e em manômetros.
No Tópico 3, tivemos a aplicação dos conceitos anteriores nas chamadas máquinas 
hidráulicas. Vimos também o conceito da força empuxo (princípio de Arquimedes) e 
a análise em corpos imersos em fluidos em equilíbrio.
61
Referências 
LIVI, C. P. Fundamentos de fenômenos de transporte: um texto para cursos básicos. 2. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
Dinâmica de fluidos
UNIDADE 3
63
Na dinâmica vamos estudar o fluido em movimento, isto é, sujeito à tensão cisalhan-
te, que, como visto na definição de fluido na unidade 1, Tópico 3, provoca movimento 
(escoamento). No Tópico 1 vamos estudar os conceitos iniciais importantes para o en-
tendimento da dinâmica dos fluidos, como fluxo, vazão, seção transversal e os tipos de 
escoamentos. No Tópico 2 veremos nossas equações determinísticas de trabalho na di-
nâmica: equações da continuidade e de Bernoulli, incluindo o conceito de perda de carga. 
Por fim, no Tópico 3, vamos aplicar nossas equações para medir velocidade e vazões de 
escoamentos por meio dos tubos de Pitot e medidor de Venturi.
INTRODUÇÃO
OBJETIVO
Nesta unidade, você será capaz de:
• Aplicar os conceitos da fluidodinâmica na engenharia, a partir da interpretação 
de leis que se relacionam com o movimento de um fluido e as consequências 
desse movimento.
64
Figura 1: Tubo de corrente e seções transversais.
Fonte: lusoacademia.org (modificado).
A dinâmica dos fluidos. O conceito de fluxo, 
seção transversal e vazão. Os tipos de es-
coamento de fluidos 
A dinâmica dos fluidos
Na dinâmica dos fluidos vamos estudar o fluido em movimento, isto é, escoando devido 
à ação de um esforço cisalhante (ver definição de fluido na unidade 1, Tópico 3).
Os conceitos de fluxo, seção transversal e vazão
Na dinâmica dos fluidos veremos então o fluido escoando em um fluxo de massa, tam-
bém chamado de tubo de corrente, que vai atravessar seções transversais ao escoa-
mento. Estaremos, portanto, sempre estudando o comportamento das grandezas do 
escoamento (velocidades, área das seções transversais ao escoamento, pressões...) as-
sociado a uma ou mais seções transversais. Na figura abaixo, o tubo de corrente circular 
apresenta duas seções transversais ao escoamento A1 e A2, cujas velocidades médias 
são respectivamente v1 e v2. As linhas tracejadas do fluxo são conhecidas por linhas de 
corrente fluida.
A2
v1
v2
Tubo de 
Corrente
A1
 https://lusoacademia.org/2015/08/11/3-hidrodinamica/
https://lusoacademia.org/2015/08/11/3-hidrodinamica/
65
A grandeza mais importante na dinâmica dos fluidos é a vazão. Definida como sendo a 
grandeza que expressa a intensidade do fluxo de massa, a vazão é, portanto, a quantida-
de de matéria (massa) que atravessa uma seção transversal ao escoamento na unidade 
de tempo:
A vazão em volume não pode ser usada para gases que apresentem grande compres-
sibilidade (Unidade 1/Tópico 3), pois, para um mesmo fluxo, tais fluidos poderiam ter 
volumes diferentes, dependendo das condições de temperatura e pressão. Nesse caso, é 
preferível usar a vazão mássica.
Em que:
V: vazão em volume.
m: volume de fluido que atravessa a seção.
t: tempo.
As unidades (ver Unidade 1) mais usadas são kg/s (SI/mks) ou g/s (SI/cgs) para vazão 
em massa e para vazão em volume:
• m³/s (metro cúbico por segundo): usado para grandes vazões, como em rios e grandes 
canais. 
• l/s (litros por segundo): usado para pequenas vazões, como em tubulações de água ou 
óleo (oleodutos).
Em que:
M: vazão em massa (mássica).
m: quantidade de matéria (massa) que atravessa a seção.
t: tempo.
A vazão é mais frequentemente expressa em termos do volume da massa fluida que 
atravessa a seção transversal ao escoamento na unidade de tempo:
𝑀 =
𝑚
𝑡
𝑄 =
𝑉
𝑡
1m³ = 1.000 l
66
Na figura abaixo temos um volume de fluido V, conhecido como volume de controle, que 
escoa entre as seções transversais A, consideradas em uma unidade e tempo t.
Sendo x a distância entres as seções A, podemos calcular o volume V, via geometria:
Como visto, a vazão em volume é definida por:
Assim, substituindo o volume temos:
A distância percorrida x na unidade de tempo t é o conceito de velocidade média de es-
coamento, temos então:
Em que:
Q: vazão.
A: área molhada da seção transversal.
Figura 2: Volume de controle entre seções de escoamento.
Fonte: Elaborada pelo autor (2019).
𝑉 = 𝐴 𝑥
𝑄 =
𝑉
𝑡
𝑄 =
𝐴 𝑥
𝑡
𝑄 = 𝐴 𝑣
x
vA A
67
V: velocidade média de escoamento na seção transversal.
A expressão acima é conhecida como a definição indireta de vazão em volume e é utili-
zada frequentemente na prática.
Os tipos de escoamento de fluidos
Podemos classificar o escoamento de fluidos de diferentes formas.
a) Quanto às dimensões espaciais do escoamento.
• Unidimensional: quando apenas uma dimensão do escoamento é significativa, po-
dendo-se, assim, desconsiderar as demais. As grandezas do escoamento (desloca-
mento, velocidade...) apresentam variações relevantes apenas na dimensão espa-
cial principal (x).
Figura 3: Escoamento unidimensional. 
Fonte: infoescola.com (modificado).
É importante notar que, mesmo que uma tubulação ou um canal mude sua direção de 
escoamento, ele continua sendo um escoamento unidimensional, dado que o escoamen-
to permanece mais relevante em uma dimensão apenas.
O escoamento a uma dimensão é o de maior aplicação prática, pois será considerado no 
escoamento em tubulações, canais e rios.
• Bidimensional: quando duas dimensões do escoamento são significativas, poden-
do então desconsiderar-se a terceira. É considerado em estudos em superfícies de 
fluido, como no escoamento em reservatórios e lagos ou quando queremos acom-
panhar uma mancha de óleo oriundo de um acidente ambiental se deslocando
(X)
https://www.infoescola.com/mecanica-de-fluidos/tipos-de-fluxos-e-escoamentos/
68
no mar. A mancha vai se deslocar nas dimensões (x) e (y) consideradas. O óleo não afun-
da, dado que é mais leve que a água, podemos assim desprezar a dimensão de profundi-
dade(z). Também encontramos aplicações do escoamento a duas dimensões em túneis 
de vento para estudos de aerodinâmica.
Figura 4: Escoamento bidimensional.
Fonte: scielo.br (modificado).
• Tridimensional: quando o escoamento se dá nas três dimensões indistintamente, 
não se pode desconsiderar nenhuma delas. Um exemplo é o escoamento em meio 
poroso, solo que não apresenta nenhuma dimensão espacial mais relevante que as 
outras. 
b) Quanto à agitação das partículas fluidas do escoamento.
• Escoamento laminar (tranquilo, fluvial): quando as partículas fluidas se deslocam 
suavemente em camadas (lâminas) em trajetórias lineares. A ação da viscosidade 
(vide o conceito de viscosidade na Unidade 1/Tópico 3) impede que o fluido adquira 
turbulência. Assim o escoamento laminar é característico de fluidos com maior 
viscosidade ou escoando em baixa velocidade. É útil, por exemplo, no escoamento 
em canais e na navegação.
• Escoamento turbulento (nervoso, torrencial): as partículas fluidas deslocam-se em 
trajetórias irregulares e aleatórias, ocasionando perda da energia mecânica do es-
coamento. Ocorre em fluidos de baixa viscosidade ou com grande velocidade de 
escoamento. É particularmente útil para misturar de forma rápida fluidos diferentes.
O chamado número de Reynolds (Re) é uma relação adimensional entre inércia (ρ.v.L) e 
viscosidade (µ) que define o quanto um escoamento é laminar ou turbulento:
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-11172001000400009
69
𝑅𝑒 = 
𝜌 𝑣 𝐿
𝜇
Em que: 
ρ: massa específica.
V: velocidade média do escoamento (média das velocidades das partículas fluidas).
L: dimensão linear típica, ou seja, o diâmetro em uma tubulação ou a profundidade em 
um canal ou rio.
μ: coeficiente de viscosidade dinâmica.
Temos então:
- Re < 2.000 – Escoamento laminar.
- 2.000 < Re < 2.400 – Escoamento de transição.
- Re > 2.400 – Escoamento turbulento.
Figura 5: Escoamento laminar e turbulento.
Fonte: ebah.com.br 
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 3 e veja o conteúdo sobre o escoamento turbulento 
e laminar indicado como material complementar pelo professor.
Regime Laminar
Regime Turbulento
Re<2000
Re>2400
https://www.ebah.com.br/content/ABAAAfZJcAC/relatorio-reynolds
70
c) Quanto às pressões do escoamento.
• Escoamento forçado: quando ocorre com pressão diferente da atmosférica, posi-
tiva ou negativa. Assim, o fluido ocupa toda a seção transversal, que em geral tem 
forma circular e é fechada. O escoamento se dá por pressão, do ponto de maior 
para o de menor pressão.
• São exemplos de condutos forçados: tubulações urbanas e prediais de água tratada, 
tubulações de sucção e recalque de uma bomba centrífuga, oleodutos, gasodutos...
Figura 6: Conduto forçado.
Figura 7: Conduto livre: seção circular fechada. 
Fonte: ebah.com.br (modificado).
Fonte: ebah.com.br (modificado).
• Escoamento livre: apresenta lâmina fluida na qual ocorre pressão atmosférica. O 
fluido não ocupa toda a seção transversal, que tem diferentes formas (retangular, 
trapezoidal, triangular, circular...), podendo ser aberta ou fechada. O escoamento se 
dá por gravidade, isto é, de cima para baixo, por declividade favorável.
São exemplos de condutos livres: rios, canais, tubulações de esgoto sanitário e pluvial.
Conduto Forçado 
de área de seção 
transversal
Conduto Livre
Ar
Q
https://www.ebah.com.br/content/ABAAAhSGsAD/slide-condutos-livres
https://www.ebah.com.br/content/ABAAAe4qUAB/apostila-escoamento-interno-perda-carga
71
8: Conduto livre – Canal trapezoidal.
Fonte: youtube.com (modificado).
d) Quanto às variações das grandezas do escoamento no tempo.
• Escoamento permanente (estacionário): quando não há variações das grandezas 
do escoamento (velocidade, área da seção...) no tempo. Trata-se de um escoamen-
to a vazão constante. É o mais comum nos estudos de engenharia, incluindo os 
estudos de dimensionamento de tubulações e canais.
• Escoamento não permanente: quando existem variações relevantes das grandezas 
do escoamento no tempo. A vazão estará se modificando durante o tempo consi-
derado. É um tipo de escoamento mais complexo com aplicações para problemas 
de estudo específico, como por exemplo em estudo de cheias, quando a dimensão 
temporal não pode ser desprezada.
e) Quanto às variações das grandezas do escoamento no espaço.
• Escoamento uniforme: quando as grandezas do escoamento (velocidade, área da 
seção...) se mantêm constantes no espaço, isto é, entre as seções do escoamento. 
Trata-se de um escoamento muito simples e que na verdade só ocorre em condi-
ções de laboratório.
• Escoamento variado: quando as grandezas do escoamento variam no espaço, isto 
é, entre as seções do escoamento.
Em nosso curso, vamos trabalhar com o escoamento unidimensional, laminar e transitó-
rio, permanente variado, seja em condutos forçados ou livres, e de vazão constante. Tais 
escoamentos apresentam maior aplicabilidade na engenharia.
https://www.youtube.com/watch?v=RXGK9j0R_VI
72
Na figura abaixo, a velocidade na seção 1 v1 e v2 será constante no tempo, po-
rém v1 é diferente de v2.
Exemplo
Figura 9: Escoamento permanente a uma dimensão.
Fonte: Elaborada pelo autor (2019).
(1)
Q = cte
(2)
73
Equações determinísticas. O princípio de 
conservação da massa e a equação da con-
tinuidade. O princípio de conservação da 
energia e equação de Bernoulli. As perdas 
de carga total, contínua e localizada 
Equações determinísticas
Chamamos de equações determinísticas (físicas) aquelas que apresentam significado 
físico explicito, oriundas de um princípio físico. A partir de determinada causa bem co-
nhecida, seu uso pode estimar os efeitos recorrentes de um fenômeno físico com boa 
precisão.
Na fluidodinâmica duas equações determinísticas são de grande importância:
1) Equação da continuidade: oriunda do princípio de conservação de massa.
2) Equação de energia (Bernoulli): oriunda do princípio de conservação de energia.
O princípio de conservação da massa e a equação da conti-
nuidade
Como visto no tópico anterior, vamos estudar o escoamento unidimensional, permanente 
variado, isto é, com vazão constante.
Considere o escoamento da figura abaixo, em que selecionamos três seções transver-
sais de áreas A1, A2 e A3 e velocidades médias v1, v2 e v3.
74
Figura 10: Escoamento unidimensional de vazão constante.
Fonte: slideplayer.com.br (modificado).
Considere também o escoamento permanente (invariável no tempo) de um fluido incom-
pressível (sem variações de volume, com densidade constante). Logo, segundo o princí-
pio da conservação de massa, a vazão que entra na seção 1 tem que ser igual à que sai 
na seção 3. Assim as vazões em volumes que passam nas seções 1, 2 e 3 são iguais, 
isto é:
E pela definição indireta de vazão no Tópico 1 desta unidade:
Logo, podemos escrever:
A equação acima, baseada no princípio da conservação de massa, é a chamada equação 
da continuidade simplificada.
Trata-se de uma igualdade que nos diz simplesmente que, se a área da seção transversal 
diminui de uma seção inicial para uma seção final do escoamento, a velocidade média do 
escoamento na seção final vai aumentar de forma linearmente proporcional à diminuição 
de área, para poder deixar passar a mesma vazão constante.
𝑄1 = 𝑄2 = 𝑄3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑄 = 𝐴 𝑣
𝑄 = 𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2 = 𝐴3𝑣3 = … = 𝐴𝑛 𝑣𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
1
3
2
https://slideplayer.com.br/slide/1601613/
75
O princípio de conservação da energia e a equação de Ber-
noulli
Do princípio de conservação da energia mecânica sabemos que:
𝐸𝑇 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Em que:
ET: energia total mecânica que se conserva.
Ep: energia potencial gravitacional – Ep = mgh.
Ec: energia cinética (de movimento) – Ec = ½ mv².
Em que:
m: massa.
h: altura em relação a um referencial.
v: velocidade média do escoamento.
g: aceleração gravitacional (g).
Aplicando o conceito de conservação de energia entre duas seções transversais (figura 
abaixo) a um escoamento fluido como definidono tópico anterior, isto é, escoamento 
unidimensional, laminar e transitório, permanente variado, temos:
Figura 11: Escoamento permanente e unidimensional entre duas seções 1 e 2.
Fonte: Elaborada pelo autor (2019).
𝐸𝑇1 = 𝐸𝑇2 + 𝐸𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝐸𝑇1 = 𝐸𝑇2 + 𝐸𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
(1)
Q = cte
(2)
76
Então:
e
ou
Podemos, então, dividir todas as parcelas da equação pela massa (constante) e pela 
gravidade g. Temos, assim:
𝐸𝑝1 + 𝐸𝑐1 = 𝐸𝑝2 + 𝐸𝑐2
𝑚𝑔ℎ1 + 1 2� 𝑚𝑣1
2 = 𝑚𝑔ℎ2 + 1 2� 𝑚𝑣2
2
𝑚𝑔ℎ1 + 1 2� 𝑚𝑣1
2 = 𝑚𝑔ℎ2 + 1 2� 𝑚𝑣2
2
ℎ1 +
𝑣12
2𝑔� = ℎ2 +
𝑣22
2𝑔�
É importante observar que, ao dividirmos toda a equação original pela massa e 
pela aceleração da gravidade, ocorre mudança na dimensão original (dimensão 
de energia, expressa, por exemplo, em joules), para uma dimensão mais sim-
ples de comprimento (em metros, em geral).
É igualmente importante perceber que, nessa nova dimensão, cada parcela pre-
serva uma equivalência com a dimensão original de energia, a partir do concei-
to de carga hidráulica.
Exemplo
Temos então:
h: oriundo da energia (carga estática) potencial gravitacional.
v²/2g: oriundo da energia (carga dinâmica) cinética.
77
Por fim, para chegarmos à forma final da equação de Bernoulli, a carga estática potencial 
(h) é subdividida em duas parcelas:
Assim temos a equação de Bernoulli para fluidos perfeitos aplicada entre duas seções do 
escoamento em sua forma mais usual:
As novas parcelas são:
z: carga/altura (energia potencial) de posição. Expressa o potencial para adquirir escoa-
mento devido à declividade existente entre as seções. É marcado a partir de um referen-
cial horizontal (figura abaixo) cuja posição não importa, dado que a diferença de alturas 
de posição (z1–z2) não depende da posição do referencial, desde que horizontal. É mais 
relevante no escoamento de condutos livres (rios e canais).
p/ɣ = p/ρg: carga/altura (energia potencial) de pressão (estática) ou piezométrica. É a 
altura de pressão ou piezométrica, isto é, a altura que o fluido alcança em um piezômetro 
(ver Unidade 2/Tópico 2), conforme ilustrado na figura abaixo.
ℎ = 𝑧 +
𝑝
ˠ
𝑧1 +
𝑝1
ˠ +
𝑣12
2𝑔� = 𝑧2 +
𝑝2
ˠ +
𝑣22
2𝑔�
Figura 12: Alturas (cargas) de posição z.
Fonte: Elaborada pelo autor (2019).
z1
z2
78
Figura 13: Altura (carga) de pressão ou piezométrica.
Figura 14: Alturas (cargas) de posição (z) e de pressão (p/ɣ).
Fonte: Elaborada pelo autor (2019).
Fonte: Elaborada pelo autor (2019).
Expressa o potencial para adquirir escoamento devido à diferença de pressões existente 
entre as seções. O escoamento se dá do ponto de maior para o de menor pressão. É 
mais relevante no escoamento de condutos forçados (tubulações sob pressão).
A figura abaixo representa graficamente as alturas (cargas) de posição (z) e de pressão 
(p/ɣ). A linha LP da figura é chamada de linha de pressões ou linha piezométrica.
ɣ
ɣ
P1
Z1
LP
P2
Z2
Piezômetro
p/ɣ
79
Por fim podemos também expressar graficamente o termo cinético da equação de Ber-
noulli (v²/2g), pois trata-se também de uma altura, a chamada carga/altura (energia ciné-
tica) de movimento/dinâmica. A linha LEt ou LCt é chamada de linha de energia total ou 
linha de carga total, isto é, a soma das energias ou cargas potenciais mais cinética, tal 
como apresentado na equação de Bernoulli.
Figura 15: Representação gráfica da equação de Bernoulli para fluidos perfeitos.
Fonte: Elaborada pelo autor (2019).
Figura 16: Daniel Bernoulli (1700/1782), cientista holandês. Lembrado por suas 
aplicações da matemática à mecânica, especialmente à mecânica de fluidos.
ɣ
2g
2g
ɣ
P1
V12
V22
P2
Z1
LP
LEt ou LCt
Plano de Referência
Z2
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Daniel_Bernoulli_001.jpg
80
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 3 e veja o conteúdo sobre a equação de Bernoulli 
indicado como material complementar pelo professor.
As perdas de carga total, contínua e localizadas
No escoamento de fluidos reais vai ocorrer uma dissipação de parte da energia mecâni-
ca cinética do escoamento na forma de calor e turbulência do escoamento.
O atrito entre o fluido que escoa e as paredes internas do conduto provoca a chamada 
perda de carga contínua (ocorre ao longo do escoamento) por calor.
Obstáculos que perturbem as linhas de corrente do escoamento provocando turbulência 
constituem a chamada perda de carga localizada. Tais obstáculos podem ser conexões 
como curvas, joelhos, reduções, tês... em tubulações e curvas e degraus em canais, por 
exemplo.
A soma das perdas de energia (carga) contínua mais as localizadas é a perda de energia 
(carga) total. Em nosso curso não faremos distinção entre perdas de energia (carga) con-
tínua e localizadas. Vamos trabalhar apenas com a perda de energia (carga) total.
Essa dissipação é entendida como perda de carga no sistema mecânico de escoamento, 
representado pela equação de Bernoulli. Assim faz-se necessário acrescentar o termo de 
perda de carga à seção de jusante (seção final) do escoamento (cuja energia total será 
menor) na equação de Bernoulli, equilibrando assim as cargas totais das seções.
A equação de Bernoulli para fluidos reais assume então a forma:
𝑧1 +
𝑝1
ˠ +
𝑣12
2𝑔� = 𝑧2 +
𝑝2
ˠ +
𝑣22
2𝑔� + 𝐻𝑝
81
Em que:
Hp: perda de carga total em unidades de comprimento, isto é, perda de carga contínua 
mais localizada.
Figura 17: Representação gráfica da equação de Bernoulli para fluidos reais.
Fonte: Elaborada pelo autor (2019).
ɣ
2g
2g
ɣ
P1
V12
V22
P2
Z1
Energia Total
Plano de Referência
Z2
Hp
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O tubo de Pitot e o medidor de Venturi 
O tubo de Pitot
O tubo de Pitot é um dispositivo para medir velocidades pontuais na corrente fluida, cria-
do em 1732 pelo engenheiro francês Henri Pitot (1695/1771) para medir velocidades do 
rio Sena.
Um tubo de Pitot ou pitômetro, em sua configuração mais simples (tubo de Pitot está-
tico), consiste em um tubo de pequeno diâmetro com dois ramos abertos em ângulo 
reto, colocado com a menor extremidade voltada no sentido do escoamento, conforme 
mostra a figura abaixo.
Figura 18: Tubo de Pitot.
Fonte: mecanicadosfluidos1.blogspot.com (modificado).
Vamos aplicar a equação de Bernoulli com objetivo de medir a velocidade no ponto 1 da 
corrente fluida por meio da leitura do tubo de Pitot.
𝑧1 +
𝑝1
ˠ +
𝑣12
2𝑔� = 𝑧2 +
𝑝2
ˠ +
𝑣22
2𝑔� + 𝐻𝑝
H
h
V
(1) (2)
Tubo 
de
Pilot
piezômetro
http://mecanicadosfluidos1.blogspot.com/2015/03/pressao-estatica-pressao-dinamica.html
83
Como os pontos 1 e 2 estão situados em uma mesma horizontal, temos que z1 = z2, in-
dependentemente da posição do referencial horizontal traçado.
No ponto 1, a altura piezométrica (de pressão) pode ser medida no piezômetro acoplado 
nesse ponto, conforme a figura; assim, p1/ˠ = h. Já a velocidade no ponto 1 (v1) é o que 
queremos calcular.
O ponto 2 se encontra dentro do tubo de Pitot, logo na entrada. Sua altura piezométrica 
(de pressão), da mesma forma que no ponto 1, é expressa por p2/ˠ = H, medida no tubo 
de Pitot. A velocidade nesse ponto, chamado de ponto de estagnação, é nula, v2 = 0, pois 
dentro do tubo não há escoamento e, portanto, não há velocidade.Caso contrário o tubo 
estaria jorrando fluido na extremidade vertical.
Por fim podemos desprezar as perdas de carga entre os pontos 1 e 2, pois são pontos 
muito próximos sem oportunidade de atrito relevante do fluido com o conduto entre eles.
Substituindo as condições acima na equação de Bernoulli, temos então:
e
De forma experimental costuma-se aferir um coeficiente de correção C para aumentar 
a precisão da medição. O valor de C para tubos de Pitot estáticos é da ordem de 0,85. 
Assim:
Medindo as alturas h e H no piezômetro e no tubo de Pitot respectivamente, podemos 
calcular a velocidade do ponto 1 da corrente fluida.
Considerando que a velocidade pontual medida é representativa da velocidade média na 
seção transversal do escoamento, poderíamos calcular a vazão, pois:
𝑧1 + ℎ +
𝑣12
2𝑔�