limite

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Cálculo diferencial e integral II - Prof a Míriam Rosa
Limite
Limite
Intuitivamente, dizer que o limite de f(x), quando x tende a p, é igual a L, signi�ca que quando x
tende a p, f(x) tende a L. Escrevemos:
lim
x→ p
f(x) = L.
Quando x tende a p, f(x) tende a f(p): lim
x→ p
f(x) = f(p).
Quando x tende a p, g(x) tende a L. Indicamos: lim
x→ p
f(x) = L.
Quando x tende a p, k(x) tende a L. Indicamos: lim
x→ p
k(x) = L.
Quando x tende a p, e x < p, h(x) tende a M . Indicamos: lim
x−→ p
h(x) =M , e
quando x tende a p, e x > p, h(x) tende a N . Indicamos: lim
x+→ p
h(x) = N . Neste caso, o limite
lim
x→ p
h(x) não existe.
De�nição. Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio ou uma extremidade dos intervalos
que compõem o seu domínio. Diremos que f tem limite L em p, se para todo ε > 0 dado, existe
um δ > 0 (dependendo de ε), tal que para todo x pertencente ao domínio de f ,
p− δ < x < p+ δ =⇒ L− ε < f(x) < L+ ε.
Tal número L, quando existe é único e será indicado por: lim
x→ p
f(x).
Isto quer dizer, que para todo ε > 0 dado, existe um δ > 0 (dependendo de ε), tal que f(x) per-
manece entre f(p)−ε e f(p)+ε quando x percorre o intervalo (p−δ, p+δ), com x no domínio de f .
OBS:
1. Suponhamos que f seja de�nida em p. Resulta que:
f é contínua em p⇐⇒ lim
x→ p
f(x) = f(p).
2. O limite de f em p não depende do valor que f assume em p (caso f esteja de�nida em p),
mas sim dos valores que f assume nos valores próximos de p. Quando estivermos interessados
no limite de f em p, basta olharmos para os valores que f assume em um pequeno intervalo
aberto contendo p. O conceito de limite é um conceito local.
3. Sejam f e g duas funções. Se existir r > 0 tal que f(x) = g(x) para p− r < x < p+ r, x 6= p,
e se lim
x→ p
g(x) existir, então limx→ p f(x) também existirá e
lim
x→ p
f(x) = lim
x→ p
g(x).
Propriedades:
Se lim
x→ p
f(x) = L1 e lim
x→ p
g(x)− L2, então
a) lim
x→ p
[f(x) + g(x)] = L1 + L2 = lim
x→ p
f(x) + lim
x→ p
g(x).
b) lim
x→ p
kf(x) = k lim
x→ p
f(x), k constante.
c) lim
x→ p
[f(x) · g(x)] = L1 · L2 = lim
x→ p
f(x) · lim
x→ p
g(x).
d) lim
x→ p
f(x)
g(x)
=
L1
L2
, desde que L2 6= 0.
Bibliogra�a
1. Guidorizzi, Hamilton Luiz Um curso de cálculo, vol. 1. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
2. Flemming, Diva Marília; Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação e
integração. 6 ed. São Paulo: Makron Books, 2000.
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