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Cálculo diferencial e integral II - Prof a Míriam Rosa
Limite - II
Limites laterais
De�nição:
Seja f uma função de�nida em um intervalo aberto ]p, b[. Dizemos, que um número L é o limite
à direita de f quando x tende para p, e escrevemos:
lim
x→ p+
f(x) = L,
se para todo ε > 0 existe um δ > 0, tal que
|f(x)− L| < ε sempre que p < x < p+ δ.
Neste caso, diremos que f tende para L quando x tende para p pela direita, e para indicar que os
valores são sempre maiores do que p, usamos a notação: x→ p+.
De�nição:
Seja f uma função de�nida em um intervalo aberto ]a, p[. Dizemos, que um número L é o
limite à esquerda de f quando x tende para p, e escrevemos
lim
x→ p−
f(x) = L,
se para todo ε > 0 existe um δ > 0, tal que
|f(x)− L| < ε sempre que p− δ < x < p.
Neste caso, diremos que f tende para L quando x tende para p pela direita, e para indicar que os
valores são sempre maiores do que p, usamos a notação: x→ p−.
Obs 1: As propriedades de limites continuam válidas quando substituímos x→ p por x→ p+
ou x→ p−.
Teorema:
Sejam f uma função, p um número real e suponhamos que existam a e b, tais que ]a, p[ e ]p, b[
estejam contidos no domínio de f . Então,
lim
x→ p
f(x) = L ⇐⇒ f admite limites à esquerda e à direita em p e lim
x→ p+
f(x) = lim
x→ p−
f(x).
Obs 2: Se existirem a e b tais que ]a, p[ e ]p, b[ estão contidos no domínio de f , e se, em p, um
dos limites lateriais não existir, então limx→ p f(x) não existirá.
Obs 3: Se existirem δ > 0 e b tais que ]p, b[⊂ D(f) e ]p− δ, p[∩D(f) = ∅, então
lim
x→ p
f(x) = lim
x→ p+
f(x),
desde que o limite à direita exista.
Obs 4: Se ocorrer ]b, p[⊂ D(f) e ]p, p+ δ[∩D(f) = ∅, então
lim
x→ p
f(x) = lim
x→ p−
f(x),
desde que o limite à esquerda exista.
Bibliogra�a
1. Guidorizzi, Hamilton Luiz Um curso de cálculo, vol. 1. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
2. Flemming, Diva Marília; Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação e
integração. 6 ed. São Paulo: Makron Books, 2000.
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