CURSO MAT PASSO A PASSO - EQUAÇÕES DE 2o GRAU - EXERCÍCIOS

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1. (Fgv 2018) A equação quadrática 2x 2x c 0,− + = em 
que c é uma constante real, tem como raízes 1x e 2x . 
Se 1
2
x
2,
x
= − então 3 c será 
a) um múltiplo de 3. 
b) racional não inteiro. 
c) irracional. 
d) 2.− 
e) 2. 
 
2. (G1 1996) (Fuvest 84) 
A equação x/(1 - x) + (x - 2)/(x -1) = 0 tem duas raízes. 
A soma e o produto dessas raízes são iguais a: 
a) -2 
b) 0 
c) 3 
d) -4 
e) 1 
 
3. (Uece 2015) Se x e y são números reais tais que 
2x y 16,+ = então o maior valor que o produto xy pode 
assumir é 
a) 32. 
b) 48. 
c) 64. 
d) 80. 
 
4. (Puccamp 2001) Em agosto de 2000, Zuza gastou 
R$ 192,00 na compra de algumas peças de certo artigo. 
No mês seguinte, o preço unitário desse artigo aumen-
tou R$ 8,00 e, com a mesma quantia que gastou em 
agosto, ele pode comprar duas peças a menos. Em se-
tembro, o preço de cada peça de tal artigo era 
a) R$ 24,00 
b) R$ 25,00 
c) R$ 28,00 
d) R$ 30,00 
e) R$ 32,00 
 
5. (G1 - cftpr 2006) A soma dos quadrados dos algaris-
mos que constituem o único número que é raiz da equa-
ção x 5+ - x 2− = 1 resulta: 
a) 2. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 10. 
e) 16. 
 
6. (G1 - cftce 2007) Se 
x
5
= 
y
2
 e xy = 10, então 2(x y)− 
vale: 
a) 3 
b) - 3 
c) 7 
d) 4 
e) 6 
 
7. (G1 - col. naval 2017) Seja "x" real tal que 
3 4 1
.
x 1 1 x x
+ =
+ −
 Sendo assim, o valor de 
2
1 7
xx
 
− 
 
 é igual a 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
e) 1− 
 
8. (Uespi 2012) Para qual valor real e positivo 
de a, a soma dos quadrados das raízes da 
equação 2x ax 12+ + é igual a 25? 
a) 7 
b) 6 
c) 5 
d) 4 
e) 3 
 
9. (Unesp 2008) Um grupo de x estudantes se 
juntou para comprar um computador portátil 
(notebook) que custa R$ 3.250,00. Alguns dias 
depois, mais três pessoas se juntaram ao 
grupo, formando um novo grupo com x + 3 pes-
soas. Ao fazer a divisão do valor do computador 
pelo número de pessoas que estão compondo 
o novo grupo, verificou-se que cada pessoa pa-
garia R$ 75,00 a menos do que o inicialmente 
programado para cada um no primeiro grupo. 
O número x de pessoas que formavam o pri-
meiro grupo é: 
a) 9. 
b) 10. 
c) 11. 
d) 12. 
e) 13. 
 
10. (Epcar (Afa) 2016) Uma fábrica produz ca-
sacos de determinado modelo. O preço de 
venda de um desses casacos é de R$ 200,00, 
quando são vendidos 200 casacos. O gerente 
da fábrica, a partir de uma pesquisa, verificou 
que, para cada desconto de R$ 2,00 no preço 
de cada casaco, o número de casacos vendidos 
aumenta de 5. 
A maior arrecadação possível com a venda dos 
casacos acontecerá se a fábrica vender cada 
casaco por um valor, em reais, pertencente ao 
intervalo 
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 a) [105 ,125[ 
b) [125 ,145[ 
c) [145 ,165[ 
d) [165 ,185[ 
 
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 Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Calculando: 
1
1 2
2
x
2 x 2x
x
= −  = − 
 
Por Girard: 
1 2
2 2 2 1
x x 2
2x x 2 x 2 x 4
+ =
− + =  = −  =
 
 
Assim: 
( ) ( )
2
3 3
2 2 2 c 0 4 4 c 0 c 8
c 8 2
− −  − + =  + + =  = −
= − = −
 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Duas formas de resolução: 
 
1ª) Se 2x y 16+ = então, podemos dizer que 
y 16 2x.= − Assim, pode-se admitir uma função 
( ) 2f x xy x(16 2x) 2x 16x.= = − = − + Como o coeficiente 
de 2x é negativo, tal função representa uma pará-
bola com concavidade voltada para baixo e seu 
ponto máximo (máximo da função) será também o 
vértice da parábola v(y ). Assim, pela fórmula: 
2 2
v
b 4ac 16 4 ( 2) 0 256
y 32
4a 4a 4 ( 2) 8
Δ − −  − 
= − = = = =
 − −
 
 
que é o valor máximo da função ( )f x xy.= 
 
2ª) Por eliminação, x deve estar compreendido entre 0 
e 9, ou seja,  x 0; 9 .= Como procuramos maximizar 
o produto de xy, podemos eliminar alguns valores: 
x 0 pois qualquer número multiplicado por 0 é 
igual a 0. 
x 8 pois nesse caso y 0,= e novamente o produto 
xy resultaria em 0. 
x 9 pois 2 x y 2 9 y 18 y 16, + =  + = + = obrigando 
assim y 2,= − o que resultaria num valor negativo de 
produto xy. 
 
Restam assim para testes o intervalo  1; 7 , como 
segue: 
2 1 y 16 y 14 xy 1 14 14
2 2 y 16 y 12 xy 2 12 24
2 3 y 16 y 10 xy 3 10 30
2 4 y 16 y 8 xy 4 8 32
2 5 y 16 y 6 xy 5 6 30
2 6 y 16 y 4 xy 6 4 24
2 7 y 16 y 2 xy 7 2 14
 + = → = → =  =
 + = → = → =  =
 + = → = → =  =
 + = → = → =  =
 + = → = → =  =
 + = → = → =  =
 + = → = → =  =
 
 
Assim, o valor máximo do produto xy é 
xy 32.= 
 
Resposta da questão 4: 
 [E] 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
2 2 2 2
3 4 1 3 (1 x) x 4 (x 1) x 1 (x 1) (1 x)
x 1 1 x x x (x 1) (1 x) x (x 1) (1 x)
3x 3x 4x 4x 1 x 2x 7x 1 0
 −  +  +   +  −
+ =  = 
+ −  +  −  +  −
− + + = −  + − =
 
 
Isolando 22x , temos: 
2 2
2
2
1 7x
2x 7x 1 0 2x 1 7x 2
x
1 7
2
xx
−
+ − =  = −  = 
 
− = 
 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
Suponhamos que a equação seja 
2x ax 12 0.+ + = 
Se  e  são as raízes da equação, então 
queremos calcular o valor real positivo de a 
para o qual 2 2 25.α β+ = 
 
Das relações entre coeficientes e raízes, se-
gue que aα β+ = − e 12.  = 
Portanto, como 2 2 2( ) 2 ,α β α β α β+ = + −   vem 
 
 
2 2 2
2
2
25 ( ) 2 25
( a) 2 12 25
a 49
a 7.
α β α β α β+ =  + −   =
 − −  =
 =
 =
 
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Observação: 2x ax 12+ + é uma expressão. 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Pode-se deduzir duas funções em x : 
- Função do preço 1f (x) 200 2x,= − sendo x o número 
de vezes que o desconto será dado. 
- Função do quantidade 2f (x) 200 5x,= + sendo x o nú-
mero de vezes que o desconto será dado. 
 
A função da arrecadação será dada pela multiplicação 
do preço pela quantidade de casacos vendidos. Assim: 
( ) ( )3
2
3
2
3
f (x) 200 2x 200 5x
f (x) 40.000 1.000x 400x 10x
f (x) x 60x 4.000
= −  +
= + − −
= − + +
 
 
Logo, percebe-se que a função de arrecadação é uma 
função do 2º grau, representada graficamente por uma 
parábola com concavidade para baixo. Ovértice da pa-
rábola representa a arrecadação máxima. A coorde-
nada x do vértice da parábola será igual ao número 
máximo de vezes que o desconto poderá ser conce-
dido para conseguir a arrecadação máxima. 
 
Da fórmula para encontrar a coordenada x do vértice, 
tem-se: 
vértice
vértice
b 60
x
2a 2 ( 1)
x 30
= − = −
 −
=
 
 
Para se descobrir por qual valor será vendido cada ca-
saco na arrecadação máxima, basta substituir o valor 
de x na função do preço: 
1f (x) 200 2 30 140,= −  = que pertence ao intervalo 
[145 ,165[. 
 
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