Trabalho_de_Controle_COF

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ - UNIFEI
Controlabilidade, Observabilidade e Fórmula
de Ackermann
Helbert Ribeiro Caroba - 33644
Itabira, 30 de junho de 2020
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ - UNIFEI
Helbert Ribeiro Caroba - 33644
Controlabilidade, Observabilidade e Fórmula
de Ackermann
Trabalho apresentado a disciplina ECAI04 - Introdução aos
Sistemas de Controle, como nota do segundo bimestre, a fim
de obter aprovação na disciplina.
Docente: Prof. Dr. Matheus Henrique Marcolino
Disciplina: Introdução aos Sistemas de Controle
Itabira, 30 de junho de 2020
Lista de ilustrações
Figura 1 – Circuito RLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Figura 2 – Script Exemplo de controlabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Figura 3 – Resultado Exemplo de controlabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Figura 4 – Script Exemplo de observabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Figura 5 – Resultado Exemplo de observabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Figura 6 – Script Exemplo fórmula de Ackermann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Figura 7 – Resultado Exemplo de utilizando fórmula de Ackermann. . . . . . . . . 12
Sumário
1 MOTIVAÇÃO DO TRABALHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 CONTROLABILIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Exemplo através de simulação computacional (Scilab) . . . . . . . . 6
2.1.1 Modelagem do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Simulação do exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 OBSERVABILIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Exemplo através de simulação computacional (Scilab) . . . . . . . . 9
3.2 Interface Gráfica e utilização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 FÓRMULA DE ACKERMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1 Exemplo através de simulação computacional (Scilab) . . . . . . . . 11
4.2 Interface Gráfica e utilização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5
1 Motivação do trabalho
A motivação para este trabalho é, principalmente, o conhecimento de Controlabi-
lidade observabilidade e Fórmula de Arckman e utilização de programas gratuitos para
aplicações matemáticas, simulação e análise.
1.1 Objetivos
O objetivo do projeto é fazer um estudo simples sobre Controlabilidade observa-
bilidade e Fórmula de Arckmann e apresentar uma simulação no software Scilab e sobre
um assunto da disciplina de Introdução aos Sistemas de Controle explicando os passos
necessário para tal simulação, e empregando um dos Softwares para análise de um sistema
.
6
2 Controlabilidade
O resumo sobre controlabilidade e um exemplo resolvido foi anexado na pasta
"Controlabilidade". Sendo adotada essa medida para preservar a qualidade do material
manuscrito, que seria prejudicado se fosse anexado neste PDF.
2.1 Exemplo através de simulação computacional (Scilab)
O sistema proposto foi um circuito RLC com carga resistiva, sistema de segunda
ordem, devido a equação diferencial que o define. O circuito pode ser vista na figura 1.
Figura 1 – Circuito RLC.
2.1.1 Modelagem do sistema
Com o intuito de obter uma boa representação da dinâmica do sistema e pratici-
dade de implementação computacional, utiliza-se a representação por espaço de estados,
que é um modelo composto de um conjunto de variáveis de entrada, de saída e de es-
tados relacionados entre si por meio de equações diferenciais de primeira ordem, onde,
nesta modelagem, duas variáveis de estado são suficientes para descrever completamente
o comportamento do sistema.
As variáveis de estado utilizadas foram a corrente que passa no indutor L1 e a
tensão do capacitor C1 por terem o valor de suas derivadas no tempo conhecidas pelas
equações 2.1 e 2.2.
𝐶
𝑑𝑉 c
𝑑𝑡
= 𝑖𝑐 (2.1)
𝐿
𝑑𝑖L
𝑑𝑡
= 𝑉 L (2.2)
Analizando o sistema e utilizando o método dos podemos obter as equações 2.3 e 4.2.
𝑖c = 𝑖L − 𝑖𝑅2 = 𝑖L −
𝑉 C
𝑅1
(2.3)
𝑉 L = 𝑖L − 𝑖𝑅2 = 𝑖L −
𝑉 c
𝑅1
(2.4)
Capítulo 2. Controlabilidade 7
Apartir dessas equações 2.3 e 4.2 e substituindo VL e ic das equações 2.1 e 2.2 obtemos
os valores para gerar as matrizes A, B, C e D. Da equação de estado e de saída
𝑥′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝐵(𝑡)𝑢(𝑡) (2.5)
𝑦(𝑡) = 𝐶(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝐷(𝑡)𝑢(𝑡) (2.6)
A=
⎡⎣ −𝑅1𝐿1 − 1𝐿1
1
𝐶1
− 1
𝑅2𝐶1
⎤⎦
B =
⎡⎣ 1𝐿1
0
⎤⎦
C=
[︁
0 1
]︁
D=
[︁
0 0
]︁
Utilizando o método das malhas e o conceito de impedância obtemos as a fução
de trânsferência.2.7.
𝐼2(𝑠)
𝑉 2(𝑠)
= −𝑅2𝐶s
𝑅2𝐶𝐿𝑠2 + (𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1 + 𝑅2
(2.7)
2.2 Simulação do exemplo
Para realizar a simulação foi escolhido o software Scilab.A resolução manuscrita foi
anexada na pasta "RLC". O arquivo da simulação foi enviado com o nome ’Control_Obser’.
O primeiro passo para realizar a simulação foi criar um novo script onde foi escrito o
código. Onde inicialmente inserir os valores para as resistências R1 e R2, do indutor e do
capacitor. Após isso inserir as matrizes A, B, C e D e utilizei uma função Mc que obtém a
matiz de controlabilidade e a função postoMc, como o comando rank para obter o posto
da matriz apresentado na figura 2.
Capítulo 2. Controlabilidade 8
Figura 2 – Script Exemplo de controlabilidade.
A Figura 3 apresenta o os valores nas matrizes e resultado obtido através da
simulação. O posto o posto de Mc que são o número linhas linearmente independentes
obteve o valor 2, comparndo ao valor do número de linhas da matriz de estados que é 2,
concluiu que o sistema é completamente controlável.
Figura 3 – Resultado Exemplo de controlabilidade.
9
3 Observabilidade
O resumo sobre observabilidade com exemplo resolvido foi anexado na pasta "ob-
servabilidade". Sendo adotada essa medida para preservar a qualidade do material ma-
nuscrito, que seria prejudicado se fosse anexado neste PDF.
3.1 Exemplo através de simulação computacional (Scilab)
O sistema proposto foi o mesmo circuito RLC utilizado para exemplo de contro-
labilidades. O circuito pode ser vista na figura 1.
3.2 Interface Gráfica e utilização
Para realizar a simulação foi feita também no software Scilab.A resolução ma-
nuscrita foi anexada na pasta "RLC". O arquivo da simulação foi enviado com o nome
’Control_Obser’. Utilizando do script escrito o código para controlabilidade, onde inici-
almente inserir os valores para as resistências R1 e R2, do indutor e do capacitor. Após
isso inserir as matrizes A, B, C e D e utilizei uma função Mo que obtém a matiz de
observabilidade e a função postoMo, como o comando rank para obter o posto da matriz
apresentado na figura 4.
Figura 4 – Script Exemplo de observabilidade.
Capítulo 3. Observabilidade 10
A Figura 5 apresenta o os valores nas matrizes e resultado obtido através da
simulação. O posto o posto de Mo que são o número linhas linearmente independentes
obteve o valor 2, comparndo ao valor do número de linhas da matriz de estados que é 2,
concluiu que o sistema é observável.
Figura 5 – Resultado Exemplo de observabilidade.
11
4 Fórmula de Ackermann
O resumo sobre fórmula de Ackermann com um exemplo resolvido foi anexado na
pasta "Fórmula de Ackermann". Sendo adotada essa medida para preservar a qualidade
do material manuscrito, que seria prejudicado se fosse anexado neste PDF.
4.1 Exemplo através de simulação computacional (Scilab)
O sistema proposto foi o Problema de controle regulatório para exemplo de fórmula
de Ackermann. Dadas a Matriz A e B do sistema.
A=
⎡⎢⎢⎢⎣
0 1 0
0 0 1
−1 −5 −6
⎤⎥⎥⎥⎦
B =
⎡⎢⎢⎢⎣
0
0
1
⎤⎥⎥⎥⎦ E com os polos desejados para o sistema em malha fechada sendo:
𝑆1,2 = −2 ± 𝑗 * 4 (4.1)
𝑆3 = −10 (4.2)
4.2 Interface Gráfica e utilização
Para realizar a simulação foi feita também no software Scilab.A resolução manus-
crita foi anexada na pasta "Formula de Ackermann". O arquivo da simulação foi enviado
como nome ’Ackerm’.Utilizando do script escrito o código, onde inicialmente inserir os
valores para das matrizes A, B e utilizei uma função Mc que obtém a matiz de controla-
bilidade , usei uma matriz Wc representda pelo polinomio encontrado atráves de cálculo
e a matriz K para obter os ganhos da alocação de pólos apresentado na figura 6
Capítulo 4. Fórmula de Ackermann 12
Figura 6 – Script Exemplo fórmula de Ackermann.
A Figura 7 apresenta o os valores nas matrizes e resultado obtido através da
simulação. Obtendo a matriz K com ganhos. K =
[︁
199 55 8
]︁
Figura 7 – Resultado Exemplo de utilizando fórmula de Ackermann.
13
Referências
Scilab. Disponível em: <https://www.scilab.org/download/6.1.0>. Acesso em: 15
de junho de 2020.
DORF, R.C.; BISHOP, R.H. Sistemas de controle modernos. [Modern control sys-
tems, 11th ed. (Inglês)]. Tradução e revisão técnica de Jackson Paul Marsuura. 12 ed. Rio
de Janeiro: LTC, 2013.
OGATA, Katsuhiko; SEVERO, Bernardo. Engenharia de controle moderno. Pren-
tice Hall do Brasil, 1998.
	Lista de ilustrações
	Sumário
	Motivação do trabalho
	Objetivos
	Controlabilidade
	Exemplo através de simulação computacional (Scilab)
	Modelagem do sistema
	Simulação do exemplo
	Observabilidade
	Exemplo através de simulação computacional (Scilab)
	Interface Gráfica e utilização
	Fórmula de Ackermann
	Exemplo através de simulação computacional (Scilab)
	Interface Gráfica e utilização
	Referências