Apostila 1º ano - Almindo 123

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 Disciplina Matemática carga horária ____ mensal 
Códigos das habilidades Objetos de conhecimentos 
 
EM13MAT302 
 
 Construir modelos empregando as funções 
polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver 
problemas em contextos diversos, com ou sem 
apoio de tecnologias digitais. Função polinomial 
do 1° grau. Função polinomial do 2° grau. 
Variação entre grandezas (proporcionalidade e 
não proporcionalidade). 
 
Escola: Estadual João Matheus Barbosa 
Professor(a): Almindo de Oliveira Rodrigues 
Nome do estudante: 
 Período: ( x ) Matutino ( ) Vespertino Turma: 1º ano ”A” 
 
1. A noção de conjunto 
A noção de conjunto é simples e fundamental na Matemática, pois a partir dela podem ser expressos todos os 
conceitos matemáticos. Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos, chamados elementos. Podemos 
representar um conjunto colocando seus elementos entre chaves, separados por vírgula. 
Por exemplo: 
As turmas de ensino médio da Escola Estadual João Matheus Barbosa: 
 
{1ºA, 1ªB, 1ºC, 2ºA, 2ºB, 2ºC, 3ºA, 3ºB} 
 
Outra maneira de representar um conjunto é por meio de uma propriedade ou condição. 
Por exemplo, consideremos a propriedade: p: x é um número natural ímpar. 
 
Essa propriedade pode ser expressa pelo conjunto /= {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}. Assim, é indiferente dizer que x 
possui a propriedade p ou que x pertence a I (x ∈ /). 
 
 
 
2 
 
 
Consideremos agora a condição c: 
c: x é um número natural que satisfaz a condição x > 5. 
Essa condição pode ser expressa pelo conjunto A= {6, 7, 8, 9, 10, ...}. Nesse caso, também é indiferente dizer 
que x satisfaz a condição c ou que x ∈ A. 
 
Agora, consideremos dois conjuntos, E e F. Se todos os elementos de E forem também elementos de F, dizemos 
que E é um subconjunto de F ou que E está contido em F ou, ainda, que E é parte de F. Indicamos esse fato 
por E ⊂ F, que pode ser lido das seguintes maneiras: 
E é subconjunto de F; E está contido em F; E é parte de F. 
Podemos representar esse subconjunto em um diagrama: 
 
 
 
Se E não for subconjunto de F, escrevemos E F. Nesse caso, existe pelo menos um elemento de E que não 
pertence a F. 
 
Conjunto dos números naturais (N) 
 
O conjunto dos números naturais é representado por: 
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} 
 
O primeiro elemento desse conjunto é o zero. O sucessor do zero é o 1, o sucessor do 1 é o 2, e assim por 
diante. 
 
Conjunto dos números inteiros (Z) 
Reunindo os números naturais e os números inteiros negativos, obtemos o conjunto dos números inteiros, que 
é representado por: 
 
Z= {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
As medidas de algumas grandezas, como a temperatura, são indicadas por números inteiros. 
 
E 
F 
 
 
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Conjunto dos números racionais (Q) 
Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e negativas ao conjunto Z, obtemos o conjunto dos 
números racionais (Q). Assim, por exemplo, 
 
 
 
O conjunto Q dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos 
na forma de fração com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero. 
 
Representação decimal dos números racionais 
 
Dado um número racional 𝑎 , b ≠ 0, sua representação decimal é obtida dividindo-se a por b, podendo 
𝑏 
resultar em: 
• decimais exatos, finitos, quando o denominador contiver apenas os fatores primos de 10 (2 e/ou 5). 
Exemplos: 
a) 1 = 1𝑥5 = 5 = 0,5 
 2 2𝑥5 10 
• decimais periódicos ou dízimas periódicas, infinitas, quando o denominador da fração na forma 
irredutível contiver algum fator primo diferente de 2 e 5. Exemplos: 
a) Dízimas periódicas simples: o período apresenta-se logo após a vírgula. Exemplos: 
 
a) 5 = 5 = 0,5555... 
 9 3.3 
Obtenção da fração geratriz de um decimal exato 
 
2,12 = 212 = 53 fração geratriz 
 100 25 
Obtenção da fração geratriz de um decimal periódico 
Dízima periódica simples 
 
 
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Números racionais e medidas de grandezas 
Historicamente, os números racionais estão associados a resultados de medições empíricas de grandezas. Por 
exemplo, ao medir o comprimento de um segmento de reta com uma unidade de medida u, podem ocorrer duas 
possibilidades: 
1) A unidade u cabe um número inteiro de vezes em ̅𝐴�̅̅̅�̅̅̅.: 
 
 
Vamos supor que u caiba exatamente p vezes em ̅𝐴�̅̅̅�̅̅̅. Então ̅𝐴�̅̅̅�̅̅̅ = p unidades, em que p é um número natural. 
Na representação acima, a medida de ̅𝐴�̅̅̅�̅̅̅é 5u. 
 
 
 
Números irracionais 
 
Por muito tempo, acreditou-se que os números racionais eram suficientes para medir todos os segmentos de 
reta, ou seja, que todos os segmentos de reta eram comensuráveis. Os discípulos de Pitágoras também 
acreditavam nisso, mas foram eles próprios que descobriram que o lado e a diagonal de um quadrado são 
segmentos de reta incomensuráveis (veja a página 22). 
 
Ao medir a diagonal de um quadrado, que é um polígono convexo, cujo lado mede uma unidade de 
comprimento, chegamos a um número que não é racional. Acompanhe: Usando a 
relação de Pitágoras: 
 
𝑑2 = 12 + 12 
𝑑2= 2 
𝑑2 = √2 
 
A pergunta é: que número, elevado ao quadrado, resulta em 2? Com o uso de uma calculadora, podemos obter 
parte da representação decimal do número fazendo aproximações sucessivas. 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
Conjunto dos números reais (R) 
 
Da reunião do conjunto dos números racionais com os números irracionais obtemos o conjunto dos números 
reais (R). Veja o diagrama. 
 
Como constatamos, os números racionais não são suficientes para preencher todos os pontos da reta numerada. 
O conjunto R pode ser visto como modelo aritmético de uma reta, enquanto esta, por sua vez, é o modelo 
geométrico de IR. Por exemplo, os pontos da reta correspondentes aos números −√3 , √2 etc. não são 
alcançados com os números racionais. Já os números reais esgotam todos os pontos da reta, ou seja, a cada 
ponto da reta corresponde um único número real e, reciprocamente, a cada número real corresponde um único 
ponto da reta. 
Por isso, dizemos que existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos da reta. Temos 
assim a reta real orientada, que é construída desta forma: em uma reta, escolhemos uma origem (e associamos 
a ela o zero), um sentido de percurso e uma unidade de comprimento, por exemplo: 
 
 
 
0 (unidade de comprimento) 1 
 
Observe alguns números reais colocados na reta real: 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
O diagrama abaixo relaciona os conjuntos numéricos estudados até aqui. 
 
 
Desigualdades entre números reais 
Dados dois números reais quaisquer, a e b, ocorre uma e somente uma das seguintes possibilidades: 
 
a<b ou a=b ou a> 𝒃 
Módulo ou valor absoluto de um número real 
O módulo ou valor absoluto de um número real r, que representamos por |r|, é considerado igual a r. 
se r ≥ 0 e igual a -r se r < 0. Por exemplo: a) |2| = 2, porque, neste caso, r = 2 e 2 >0 
b) |0| = 0, porque, neste caso, r = 0 
c) |-2| = -(-2) 5 2, porque r = -2 e -2 < 0 Resumindo, podemos escrever: 
 
 |r| = r, se r ≥ 0 e |r| = -r, se r < 0 
 
 
Geometricamente, o módulo de um número indica, na reta real orientada, a 
distância desse número ao zero. 
• distância do 2 ao 0: 2 unidades |2| = 2 
• distância do -3 ao 0: 3 unidades |-3| = 3 
 
Distância entre dois pontos na reta real orientada Considerando 
a reta real orientada representada por: 
 
 
7 
 
 
 
podemos determinar, pelo módulo, a distância entre dois pontos dessa reta orientada fazendo a 
correspondência entre os pontos da reta e números reais: 
• a distância entre A e B é AB = |5 - 2| = |3| = 3 
• a distância entre C e D é CD = |(-4) - (-5)| = |1| = 1 
• a distância entre D e A é DA = |2 - (-4)|= |6| = 6 
• a distância entre B e C é BC = |(-5) - 5| = |-10| = 10 
Na reta real orientada, se a é a coordenada do ponto A e b é a coordenada do ponto B, então 
a distância entre A e B pode ser escrita por |a - b| ou |b - a|, que são iguais. 
 
Exercícios 
 
1.Escreva no caderno, usando chaves, os seguintes subconjuntos de IN. 
a) M(6): conjunto dos múltiplos de 6. 
b) D(6): conjunto dos divisores de 6. 
c) A: conjunto dos números primos menores do que 20. 
d) C: conjunto dos números naturais quadrados perfeitos. 
 
2.Represente no caderno o conjunto formado pelos possíveis valores de x em cada item. 
a) x ∈ IN e x < 3 d) x ∈ Z e -2 < x ≤3 
b) x ∈ Z e x ≥ -2 e) x ∈ IN e x < 0 
c) x ∈ IN e x ≤ +1 f) x ∈ Z e x < 0 
 
3.Dê a representação decimal dos seguintes números racionais: 
a) b) c) d) 1 
4. Determine a geratriz 𝑎 das seguintes dízimas periódicas: 
𝑏 
 
a) 0,333... c) 0,242424... 
 
b) 0,1666... d) 0,125777... 
 
FUNÇÕES 
 
 
 
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Um pouco da história das funções 
 
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar de destaque em vários de seus 
campos, bem como em outras áreas do conhecimento. É muito comum e conveniente expressar fenômenos 
físicos, biológicos, sociais, etc. por meio de funções. Os números naturais (inteiros positivos) e as razões entre 
eles (racionais) eram os únicos tipos de números trabalhados pelos gregos até o século V a.C. Eles acreditavam 
que esses números fossem suficientes para comparar duas grandezas quaisquer de mesma espécie – 
comprimentos, áreas, volumes, etc. 
 
Explorando intuitivamente a noção de função 
 
A ideia de função está presente quando relacionamos duas grandezas variáveis. Acompanhe alguns exemplos. 
a) Número de litros de gasolina e preço a pagar 
A tabela abaixo relaciona o número de litros de gasolina comprados e o preço a pagar por eles. 
 
 
Observe que 
o preço a pagar é dado em função do número de litros comprados, ou seja, o preço a pagar depende do 
número de litros comprados. 
preço a pagar (p) = R$ 3,00 vezes o número de litros (x) comprados ou 
p = 3,00x lei da função, ou fórmula matemática da função, ou regra da função, ou, ainda, representação 
analítica da função 
b) Lado do quadrado e perímetro 
A tabela a seguir relaciona a medida do lado de um quadrado (,), em centímetros, e o seu perímetro (P), também 
em centímetros. 
Relação entre a medida do lado de um quadrado e o seu perímetro 
 
 
9 
 
 
 
 
Observe que o perímetro do quadrado é dado em função da medida do seu lado, isto é, o perímetro depende da 
medida do lado. A cada valor dado para a medida do lado corresponde um único valor para o perímetro. 
 
perímetro (P) = 4 vezes a medida do lado (,) ou P = 4< lei da função. 
 
Como o perímetro depende da medida do lado, ele é a variável dependente, e a medida do lado é a chamada 
variável independente. 
 
A noção de função por meio de conjuntos 
 
Vamos, agora, estudar essa mesma noção de função usando a nomenclatura de conjuntos. Considere 
os exemplos a seguir. 
 
a) Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A estão alguns números inteiros e em B, 
outros. 
Podemos associar cada elemento de A ao seu triplo em B. 
 
 
Note que: 
• todos os elementos de A têm correspondente em B; 
• a cada elemento de A corresponde um único elemento de B. 
Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula y = 3x. 
 
 
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b) Dados A= {0, 4} e B = {2, 3, 5} relacionamos A e B da seguinte forma: cada elemento de A é menor 
do que um elemento de B. Nesse caso, não temos uma função de A em B, pois ao elemento 0 de A 
correspondem três elementos de B (2, 3 e 5, pois 0 < 2, 0 < 3 e 0 < 5) e não apenas um único elemento de B. 
 
 
c) Dados A = {-4, -2, 0, 2, 4} e B= {0, 2, 4, 6, 8} associamos os elementos de A aos elementos de igual 
valor em B. Observe que há elementos em A (os números 24 e 22) que não têm correspondente em B. Nesse 
caso, não temos uma função de A em B. 
 
 
d) Dados A = {22, 21, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 4, 8, 16} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula y 
= x4 com x ∈ A e y ∈ B, temos: 
• todos os elementos de A têm correspondente em B; 
• a cada elemento de A corresponde um único elemento de B. 
Assim, a correspondência expressa pela fórmula y = x4 é uma função de A em B. 
 
 
e) Sejam P o conjunto das regiões poligonais do plano e R o conjunto dos números reais. A cada região 
poligonal do plano fazemos corresponder a sua área em R. Essa correspondência é uma função de P em IR. 
 
 
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Definição e notação 
Dados dois conjuntos não vazios, A e B, uma função de A em B é uma regra que indica como 
associar cada elemento x ∈ A a um único elemento y ∈ B. 
Usamos a seguinte notação: 
∫: 𝐴 A → B ou A B (lê-se: ∫ é uma função de A em B) 
A função f transforma x de A em y de B, ou seja, ∫(𝑥): → y. Escrevemos isso assim: 
 
 
 
∫(𝑥): A → B 
 x → y 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
ÊNIO, Silveira. Matemática: compreensão e prática. Obra em 4 vol. para alunos do 6º ao 9º ano. 3ª ed. São 
Paulo: Moderna, 2015. 
 
MATO GROSSO. Documento para referência curricular para Mato Grosso – ensino fundamental anos 
finais. Mato Grosso, 2018. Disponível em: <https://drive.google.com/file/d/1pSppruO-tS9-
puiUIL01llcavKCJye5/view >. Acessado em: 19 de agosto de 2020. 
 
Exercícios 
Observe a tabela ao lado. 
a) Verifique se a correspondência de A em B pode ser 
uma função. Em caso afirmativo, determine a fórmula 
matemática dessa função. 
b) Verifique se a correspondência de B em A pode ser 
uma função. Em caso afirmativo, determine a fórmula 
matemática dessa função. 
 
 
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MATO GROSSO. Apostilas da Aprendizagem Conectada - SEDUC/MT. Mato Grosso, 2020. Disponível 
em: 
<http://www.aprendizagemconectada.mt.gov.br/documents/14069491/14986687/Agosto_9_Ano_EF.pdf/a63 
1c8e7-037e-497f-9650-9500ec0fb53c> Acessado em: 20 de agosto de 2020. 
 
PORTAL, Leonardo. Apostilas de matemática. Prof. Leonardo Portal. 2020. Disponível em 
<https://www.leonardoportal.com/p/apostilas.html> Acessado em: 19 de agosto de 2020. 
 
Dante, Luiz Roberto Matemática : contexto & aplicações : ensino médio / Luiz Roberto Dante. -- 3. ed. -- São 
Paulo : Ática, 2016. Obra em 3 v. 1. Matemática (Ensino médio) I. Título.