Lei de Stevin

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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Lei de Stevin: aplicação em 
manômetros
Prof. Isaías Soares
LEI DE STEVIN
• Essa lei afirma que a diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é igual ao produto de
seu peso específico (γ) pela diferença de cota (altura) desses dois pontos. Matematicamente:
Como o peso específico é o produto da massa específica (ρ )pela aceleração gravitacional, g, podemos
escrever a equação também por:
PA – P0 = γ.h
PA – P0 = ρ.g.h
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
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LEI DE STEVIN
• Como a pressão aumenta com a profundidade, a diferença PA-P0 é positiva. No caso de haver mais de um
tipo de líquido no manômetro, as pressões precisam ser referenciadas sempre no mesmo líquido. Assim, para
o manômetro abaixo, teremos:
P1 – P0 = ρ1.g.h2
Líquido 1
Líquido 2
P2 – P1 = - ρ2.g.h1
Ou
P2 – P0 = ρ1.g.h2 - ρ2.g.h1
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE!
• Nessa figura abaixo, observa-se que A e B estão distantes pela mesma cota. Dessa forma, haverá a mesma
diferença de pressão entre esses dois pontos, independentemente do formato do recipiente e da distância
horizontal entre eles. Isto é, a pressão dos pontos num mesmo plano horizontal é a mesma. A única exigência
é que o fluido seja o mesmo em todos os pontos.
Mesma pressão em todos os pontos dessa cota
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
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EXERCÍCIO 1
• Na Figura abaixo, determine a pressão no ponto P2. O líquido 1 é óleo com massa específica de 850 kg/m
3 e
o líquido 2 é água com massa específica de 1000 kg/m3.
Dados: h1 = 30 cm; h2 = 50 cm.
Líquido 1
Líquido 2
Solução: o tubo do lado direito está aberto para a atmosfera, logo, P0 = 101325 Pa
Aplicando a Lei de Stevin para os pontos, temos: 
P1 – P0 = ρ1.g.h2
P2 – P1 = - ρ2.g.h1
P2 – P0 = ρ1.g.h2 - ρ2.g.h1 →
P2= P0 + ρ1.g.h2 - ρ2.g.h1 ;
P2= 101325 Pa + 850 kg/m
3 x 9,81 m/s2 x 0,5 m -1000kg/m3 x 9,81 m/s2 x 0,3 m
P2 = 102551 Pa
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
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EXERCÍCIO 2
• Na Figura abaixo, determine a diferença de pressão PA - PB. O líquido A, à esquerda, tem peso específico γA,
de 10000 N/m3, o líquido escuro tem peso específico γM igual a 8300 N/m
3 e o líquido B, à direita, tem peso
específico γB igual a 6800 N/m
3.
Dados: h1 = 60 cm; h2 = 15 cm; h3 = 40 cm; h4 = 50 cm.
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
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EXERCÍCIO 2 (SOLUÇÃO)
Podemos escrever:
PA-P1 = - γA.(h1-h2)
P1-P2 = γM.(h3 - h2)
P2-PB = γB.(h4-h3)
-----------------------------------------
PA-PB = - γA.(h1-h2) + γM.(h3 - h2) + γB.(h4-h3)
= - 10000 N/m3 x (0,6 – 0,15)m + 8300 N/m3 x (0,4 – 0,15)m
+ 6800 N/m3 x (0,5 - 0,4)m = - 1745 Pa
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
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EXERCÍCIO 3
• A figura abaixo é um esquema experimental realizado pelo físico italiano Evangelista Torricelli (1608 – 1647)
para a determinação da pressão atmosférica. Torricelli encheu um recipiente com mercúrio e o manteve
aberto para a atmosfera. Em seguida, colocou verticalmente no recipiente um tubo de vidro previamente
evacuado de cabeça para baixo. O nível de mercúrio subiu gradativamente no tubo até atingir a marca de 76
cm, ou 760 mm. Dessa forma, estabeleceu-se que a pressão atmosférica é de 760 mm de mercúrio (760
mmHg).
Se no lugar do mercúrio, Torricelli tivesse colocado água,
Qual seria a altura que ela alcançaria no tubo?
Dado: Peso específico do mercúrio: 136000 N/m3.
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
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EXERCÍCIO 3 (SOLUÇÃO)
• Pela lei de Stevin, a diferença de pressão entre dois pontos é o produto do peso específico do fluido (ou o
produto ρ.g) pela altura entre esses pontos. Podemos escrever:
∆p = γ.h
Para uma mesma diferença de pressão, quanto maior o valor do peso específico do fluido, menor será a altura
que ele alcançará, e vice-versa. Então podemos escrever para o problema:
γHg.hHg = γágua.hágua
Logo: hágua = γHg.hHg / γágua = 136000 x 760 mm /10000 = 10336 mm ou 10,336 m
Então, podemos dizer que a pressão atmosférica equivale a uma pressão que enche um tubo evacuado de
água por uma altura de 10,336 m. Alguns trabalhos de engenharia usam essa unidade, denominada metro de
coluna d’água ou m.c.a. Dessa forma:
1 atm = 10,336 m.c.a
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EXERCÍCIO 4
• Na figura abaixo, no ramo esquerdo, temos ar atmosférico e o fluido escuro é mercúrio. Entre o nível superior
de mercúrio do lado direito e o ponto B existe vácuo. Se h1 = 70 cm e h2 = 50 cm, determine:
a) a diferença PB-PA;
b) A pressão no ponto de separação entre ar e mercúrio.
Dado: γHg = 136000 N/m
3 e γar << γHg
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
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EXERCÍCIO 4 (SOLUÇÃO)
• a) Podemos escrever as equações:
PB-P1 = - γHg.h2
P1-PA = γAr.h1
----------------------------------
PB-PA = γAr.h1 - γHg.h2
Porém, como γar << γHg o primeiro termo é praticamente desprezível
se comparado ao segundo, de forma que temos:
PB-PA ≈ - γHg.h2
• PB-PA ≈ - 136000 N/m3 x 0,5 m = - 68000 Pa
b) Como PB = 0 (vácuo), temos da primeira equação: 0 – P1 = - γHg.h2 → P1 = 68000 Pa
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
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EXERCÍCIO 5
• Na figura abaixo, o fluido A é desconhecido e o fluido B é mercúrio. Se a pressão P1 é 114675 Pa, determine
o peso específico do fluido A.
Dado: γHg = 136000 N/m
3
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
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EXERCÍCIO 5 (SOLUÇÃO)
Podemos escrever as equações:
PB-P0 = γHg.(0,15 – 0,05)m
P1-PB = - γ.(0,075 - 0,05)m
----------------------------------
P1-P0 = γHg.0,1 m – γ (0,025 m)
Porém, como P0 = 101325 Pa (aberto pra atmosfera), temos:
(114675 – 101325) Pa = 136000 N/m3.0,1 m – γ (0,025 m)
γ = -250 N/m2/-0,025 m = 10000 N/m3
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição -
Pearson
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EXERCÍCIO 6
• Na figura abaixo, Determine a pressão manométrica medida pelo manômetro A.
Dado: γHg = 136000 N/m
3
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
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EXERCÍCIO 6 (SOLUÇÃO)
• Da figura, temos:
P1- P0 = γHg . h
P1 = γHg . h (pois P0 = 0, uma vez que queremos a pressão manométrica).
P1 = 136000 N/m
3 x 0,15 m = 20400 Pa.
Porém, observa-se que a pressão em P1 somada ao do ar lida no manômetro A deve ser igual ao medido no
manômetro esquerdo, logo:
P1 + PA = 100 kPa
20,4 kPa + PA = 100 kPa
PA = 79,6 kPa
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
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EXERCÍCIO 7
• Na figura abaixo, determine, em que L = 60 cm:
a) A pressão manométrica medida pelo manômetro no topo.
b) A força que age sobre o topo do reservatório
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EXERCÍCIO 7 (SOLUÇÃO)
a) Desprezando o efeito da coluna de ar, podemos escrever as equações:
PM - Poleo = - γoleo.0,1 m
Poleo-Pagua= - γagua .0,2 m
Págua – Patm = γagua . L.sen 30°
----------------------------------
PM -Patm = γagua . L.sen 30° - γoleo.0,1 m - γagua .0,2 m
Porém, Patm = 0 (manométrico), e então:
PM = 10000N/m
3 . 0,6 m.sen 30° - 8000 N/m3 .0,1 m - 10000N/m3 .0,2 m = 200 Pa
b) Como a área no topo é de 10 m2, temos: F = P.A = 200 Pa x 10 m2 = 2000 N
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PRINCÍPIO DE PASCAL
• Esse princípio diz que, qualquer acréscimo de pressão aplicada em qualquer ponto de um fluido
(incompressível) em repouso tende a se distribuir de forma integral a todos os outros pontos do fluido. Seja o
sistema abaixo:
No início: P0 = Patm + γ.h
No fim: P = P0 + ∆Pext = Patm + γ.h + ∆Pext
Mas: P – P0 = ∆P (acréscimo da pressão no fundo)
Então: ∆P = P- P0 = Patm + γ.h + ∆Pext – (Patm + γ.h) = ∆Pext → ∆P = ∆Pext
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ALAVANCA HIDRÁULICA
• Baseado no princípio de Pascal, com uma alavanca hidráulica, podemos aplicar uma certa forçaao longo de
uma dada distância para poder ampliá-la, transformando-a numa força maior aplicada ao longo de uma
distância menor, conforme a figura abaixo
Ao ser aplicada uma força F1 no êmbolo direito de área A1, comunicamos uma diferença de pressão ∆P, que é
distribuída através de todo o fluido contido na alavanca. Como essa diferença de pressão é aplicada para o
êmbolo da esquerda que tem área A2 maior, a força F2 também será maior. Assim:
∆𝑃 =
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
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ALAVANCA HIDRÁULICA
• Também, ao aplicarmos a força, há o deslocamento de mesmo volume através da distância h1, de forma que:
• V = A1h1 = A2h2
• Como A1 < A2 → h2 < h1 e o pistão na saída se desloca de uma altura menor
Nos macacos hidráulicos, quando deslocamos a alavanca de uma distância razoável, o objeto a ser levantado
(um automóvel, por exemplo) se eleva de poucos centímetros. Então, para levantar o carro são necessários
várias repetições do movimento.
Fonte: https://www.youtube.com/watch?v=7XoYV7RYOVU
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EXERCÍCIO 8
• Mostre que o trabalho realizado pelo pistão na entrada da alavanca hidráulica é o mesmo na saída.
• Solução: o trabalho é dado pelo produto da força pelo deslocamento do pistão:
• W1 = F1h1
• Porém, h1 = (A2/A1).h2 (equação do deslocamento de volume) e temos:
• W1 = F1h1 = 𝐹1
𝐴2
𝐴1
. ℎ2
• Mas F1 = (A1/A2). F2 (equação da alavanca), o que dá:
• W1 = F1h1 = 𝐹1
𝐴2
𝐴1
. ℎ2 =
𝐴1
𝐴2
. 𝐹2.
𝐴2
𝐴1
. ℎ2 = F2.h2 = W2
• Logo: W1 = W2
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EXERCÍCIO 9
• Deseja-se levantar um carro de 750 kg utilizando-se uma alavanca hidráulica. O êmbolo onde o carro se
encontra possui 5 m de diâmetro e precisa ser elevado por uma altura de 2m. O êmbolo onde a força deve
ser aplicada possui 20 cm de diâmetro. Calcule:
• a) a força a ser aplicada no êmbolo menor para levantar o carro;
• b) o deslocamento do êmbolo menor;
•
• Solução: a) O peso do carro é: F1 = m.g = 750 kg x 9,81 m/s
2 = 7357,5 N. Então, pela equação da alavanca:
•
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
→
7357,5𝑁
𝜋(5𝑚)2
4
=
𝐹2
𝜋(0,2𝑚)2
4
→ F2 = 11,77 N
• b) Sabe-se também que:
• A1h1 = A2h2 → Logo: h2 = (A1/A2).h1 = (5
2/0,22).2m = 1250 m.
Para um macaco hidráulico manual, por exemplo, que permitisse o deslocamento de 25 cm do êmbolo a cada
movimento, seriam necessários 1250 m/ 0,25m = 5000 repetições para levantar o carro.
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EXERCÍCIO 10
• Determine a razão entre os diâmetros de dois êmbolos de uma alavanca hidráulica para provocar uma
ampliação de força de 6000 vezes.
• Solução:
•
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
→
𝐴2
𝐴1
=
𝐹2
𝐹1
→
𝜋𝐷2
2
4
𝜋𝐷1
2
4
=
𝐹2
𝐹1
→
𝐷2
𝐷1
2
= 6000 →
𝐷2
𝐷1
= 77,5
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