2º Capítulo - Mecânica dos fluidos

Prévia do material em texto

MECÂNICA DOS FLUIDOS
2º Capítulo
FACULDADE DE ENGENHARIA NAVAL
FENAV-ITEC-UFPA 
Professor Dr. MOUNSIF SAID
2º Capítulo de Mecânica dos Fluidos 
ESCOAMENTO VISCOSO INDUZIDO PELO MOVIMENTO 
RELATIVO ENTRE DUAS PLACAS PARALELAS
TENSÃO SUPERFICIAL 
TUBO CAPILAR 
PRESSÃO DE VAPOR - CAVITAÇÃO 
1º EXEMPLO DE APLICAÇÃO
LINHA DE CORRENTE, LINHA DE TRAJETÓRIA, LINHA DE EMISSÃO E
LINHA DE FILETE
LINHA DE CORRENTE / ESCOAMENTO PERMANENTE
LINHA DE CORRENTE / VETOR VELOCIDADE
2º EXEMPLO DE APLICAÇÃO
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
ESCOAMENTO VISCOSO INDUZIDO PELO MOVIMENTO RELATIVO ENTRE 
DUAS PLACAS PARALELAS
O escoamento é induzido entre uma placa 
inferior fixa e uma placa superior, que se 
move uniformemente à velocidade V. 
O espaçamento entre as placas é h, e o fluido é 
newtoniano e não apresenta escorregamento 
com relação às placas.
u(y) representa a distribuição de velocidades, 
com ν = w = 0. 
A aceleração do fluido é zero em todo o 
escoamento.
ESCOAMENTO VISCOSO INDUZIDO PELO MOVIMENTO RELATIVO ENTRE 
DUAS PLACAS PARALELAS
O perfil de velocidade entre as placas é dado 
por:
u(y) = V.y / h 
Se o fluido viscoso cisalhado é óleo SAE 30 
a 20 °C, vamos calcular a tensão de 
cisalhamento no óleo se V= 3 m/s e h= 2 cm.
Resposta: τ = 43,5 N/m2 = 43,5 Pa
TENSÃO SUPERFICIAL 
Um líquido, não tendo a capacidade de se expandir livremente, formará uma interface com 
um segundo líquido ou um gás (ex. interface água-ar).
As moléculas na superfície são menos densas e se atraem umas às outras. Como metade de 
sua vizinhança está ausente, o efeito mecânico é que a superfície está sob tensão. 
Podemos tratar adequadamente os efeitos superficiais em mecânica dos fluidos com o 
conceito de Tensão Superficial.
TENSÃO SUPERFICIAL 
Se for feito um corte de comprimento dL em uma superfície interfacial, forças iguais e 
opostas de intensidade ϒdL estarão presentes normais ao corte e paralelas à superfície, em 
que ϒ é chamado de Coeficiente de Tensão Superficial.
As dimensões de ϒ são {F/L}, com unidades no SI de newtons por metro (N/m).
As duas interfaces mais comuns são água-ar e mercúrio-ar. 
Para uma superfície pura a 20 °C, a tensão superficial medida é: 
TENSÃO SUPERFICIAL 
Se a interface é curva, um balanço mecânico mostra que há uma diferença de pressão 
através da interface, sendo a pressão mais alta no lado côncavo.
O aumento de pressão no interior de um cilindro líquido é equilibrado por duas forças devido 
à tensão superficial:
TENSÃO SUPERFICIAL 
Um segundo efeito de superfície importante é o ângulo de contato θ, que aparece quando 
uma interface líquida tem contato com uma superfície sólida,
Efeitos do ângulo de contato na interface líquido-gás-sólido. Se θ < 90°, o líquido “molha” o 
sólido; se θ > 90°, o líquido “não molha” o sólido.
Por exemplo:
A água molha o sabão, mas não molha a cera. 
A água molha bastante uma superfície limpa de vidro, com θ < 0°. 
TUBO CAPILAR 
Vamos encontrar a variação na altura h em um tubo circular de 
um líquido com tensão superficial ϒ e ângulo de contato θ.
Balanço das forças na direção normal (vertical): 
 
Para a interface: água-ar-vidro, temos:
Para a interface: mercúrio-ar-vidro, temos:
PRESSÃO DE VAPOR - CAVITAÇÃO
A pressão de vapor é a pressão na qual um líquido vaporiza e está em equilíbrio com seu 
próprio vapor. 
A pressão de vapor da água a 20 oC é 2.346 Pa, enquanto a do mercúrio é somente 0,1676 Pa. 
Se a pressão do líquido é maior do que a pressão de vapor, a única troca entre líquido e vapor é 
a evaporação na interface. 
Se a pressão do líquido cai abaixo da pressão de vapor, começam a aparecer bolhas de vapor 
no líquido. 
Se a água é aquecida a 100 oC, sua pressão de vapor sobe para 101,3 kPa, e assim a água na 
pressão atmosférica normal vaporiza.
Quando a pressão do líquido cai abaixo da pressão de vapor devido a um fenômeno de 
escoamento, chamamos o processo de cavitação.
PRESSÃO DE VAPOR - CAVITAÇÃO
Se a água é acelerada do repouso até aproximadamente 15 m/s, sua pressão cai 
aproximadamente 1 atm. Isso pode causar cavitação.
O parâmetro adimensional que descreve a vaporização induzida pelo escoamento é o Número 
de Cavitação.
PRESSÃO DE VAPOR - CAVITAÇÃO
Dependendo da geometria, determinado escoamento tem um valor 
crítico de Ca abaixo do qual o escoamento começará a cavitar.
As bolhas de cavitação são formadas sobre as superfícies de baixas 
pressões de uma hélice marítima, e quando essas bolhas se movem 
para uma região de alta pressão, elas entram em colapso de forma 
implosiva. 
O colapso por cavitação pode rapidamente provocar erosão em 
superfícies metálicas e finalmente destruí-las.
PRESSÃO DE VAPOR - CAVITAÇÃO
Erosão da superfície de uma Hélice 
pelo colapso das bolhas 
Linhas espirais de bolhas formadas 
na superfície de uma Hélice marítima
1º EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Um filme de óleo de viscosidade μ e espessura h << R está entre uma parede sólida e 
um disco circular, como mostra a Figura. 
O disco gira com uma velocidade angular constante Ω. Observa-se que tanto a 
velocidade quanto a tensão de cisalhamento variam com o raio r; 
deduza:
1. A Tensão de cisalhamento τ;
2. Uma fórmula para o torque M necessário para girar o disco. 
Despreze o arrasto do ar.
1º EXEMPLO DE APLICAÇÃO - SOLUÇÃO
1. A Tensão de cisalhamento τ;
Vamos calcular a tensão de cisalhamento sobre 
uma faixa circular de largura dr e área dA= 2πrdr;
No raio r, a velocidade no óleo é tangencial, 
variando desde zero na parede fixa ( 
condição de não escorregamento) até u= Ωr 
na superfície do disco (condição de não 
escorregamento). 
A tensão de cisalhamento nessa posição é 
então: 
1º EXEMPLO DE APLICAÇÃO - SOLUÇÃO
2. Uma fórmula para o torque M necessário para 
girar o disco. 
I. Vamos encontrar o momento dM em relação à 
origem causado pela tensão de cisalhamento. 
II. Depois disso, vamos integrar sobre todo o 
disco e achar o momento total M.
O momento dM causado pelo cisalhamento dessa faixa circular, 
pode ser calculado assim:
 E integrando sobre todo o disco:
LINHA DE CORRENTE, LINHA DE TRAJETÓRIA, LINHA DE EMISSÃO E
LINHA DE FILETE
Quatro tipos básicos de linhas são usados para visualizar os escoamentos:
Linha de corrente é uma linha tangente em todos os pontos ao vetor velocidade em 
um dado instante;
Linha de trajetória é o caminho real percorrido por uma determinada partícula de 
fluido;
Linha de emissão é a linha formada por todas as partículas que passaram 
anteriormente por um ponto prescrito.
Linha de filete é um conjunto de partículas de fluido que formam uma linha em um 
dado instante.
LINHA DE CORRENTE, LINHA DE TRAJETÓRIA, LINHA DE EMISSÃO E
LINHA DE FILETE
Observações:
A linha de corrente é conveniente para calcular matematicamente;
Enquanto as outras três são mais fáceis de gerar experimentalmente;
Uma linha de corrente e Uma linha de filete são linhas instantâneas;
Enquanto a linha de trajetória e a linha de emissão são geradas no decorrer do 
tempo.
LINHA DE CORRENTE, LINHA DE TRAJETÓRIA, LINHA DE EMISSÃO E
LINHA DE FILETE
LINHAS DE CORRENTE SÃO SEMPRE TANGENTES AO VETOR VELOCIDADE LOCAL; 
UM TUBO DE CORRENTE É FORMADO POR UM CONJUNTO FECHADO DE LINHAS DE CORRENTE.
LINHA DE CORRENTE / ESCOAMENTO PERMANENTE
Linhas de corrente são difíceis de gerar 
experimentalmente em Escoamento não Permanente, 
a menos que se marque um grande número de 
partículas e se observe sua direção de movimento 
durante um intervalo de tempo muito curto. 
Em Escoamento Permanente, no qual a velocidade 
varia somente com a posição, a situação se simplifica 
bastante:
Linhas de corrente, linhas de trajetória e linhas de 
emissão são coincidentes em Escoamento 
Permanente.
LINHA DE CORRENTE / VETOR VELOCIDADE 
A Figura mostra um vetor velocidade arbitrário.Se um comprimento de arco elementar dr de uma 
linha de corrente deve ser paralelo a V, seus 
respectivos componentes devem ser proporcionais, de 
onde deduzimos: 
Relações geométricas para definir uma linha de 
corrente:
A linha de trajetória, ou deslocamento de uma 
partícula, é definida por integração 
dos componentes da velocidade:
2º EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Dada a distribuição permanente de velocidades bidimensional:
u = K x v= – K y w= 0 ; em que K é uma constante positiva. 
Calcule e desenhe as linhas de corrente do escoamento, incluindo as direções, dando 
algumas interpretações possíveis do campo.
1ª Observação: O tempo não aparece explicitamente na definição da velocidade, então o 
escoamento é permanente.
2ª Observação: Como w = 0 em todos os pontos, o escoamento é bidimensional, no plano 
xy.
3ª Observação: As linhas de corrente podem ser calculadas pelas equações: 
2º EXEMPLO DE APLICAÇÃO - SOLUÇÃO
As linhas de corrente podem ser calculadas 
pelas equações:
 ou 
Integrando: ln x = - ln y + ln C ; 
 ou x y = C ; ou y = C / x 
As linhas de corrente são hipérboles.
Atribuindo-se vários valores à constante C, 
obtemos o campo completo da velocidade. 
No quadrante superior direito (x>0, y> 0), u é 
positivo e v é negativo; portanto o escoamento 
se move para baixo e para a direita, 
estabelecendo as pontas das setas como 
mostra a figura.
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Exercício 1: 
Um fluido é pesado em um laboratório. Sabe-se que 5,7 litros do fluido pesa 37,9 N. 
(a) Qual é a densidade do fluido em kg/m3? 
(b) Que fluido poderia ser esse? 
‘’Suponha que a gravidade padrão seja g= 9,807 m/s2.
Exercício 2: 
A fórmula Stokes-Oseen relaciona a força de arrasto F sobre uma esfera de diâmetro D em 
uma corrente de fluido de baixa velocidade V, massa específica ρ e viscosidade μ; 
Essa fórmula é dimensionalmente homogênea?
Exercício 3: 
Em 1890, Robert Manning, um engenheiro irlandês,
propôs a seguinte fórmula empírica para a velocidade 
média V em escoamento uniforme devido 
à ação da gravidade em um canal aberto (unidades do BG):
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Exercício 3 - Continuação: 
em que:
R = raio hidráulico do canal;
S = declividade do canal (tangente do ângulo que o fundo do canal faz com a horizontal);
n = fator de rugosidade de Manning;
n é uma constante para uma dada condição da superfície das paredes e do fundo do canal. 
(a) A fórmula de Manning é dimensionalmente consistente? 
(b) A Equação de Manning, comumente é considerada válida em unidades BG com n 
considerado como adimensional. Reescreva-a na forma do SI.
Obs. Fórmulas com coeficientes numéricos com unidades podem ser desastrosas para engenheiros que 
trabalhem em um sistema diferente ou com outro fluido. A fórmula de Manning, embora popular, é 
inconsistente tanto dimensionalmente quanto fisicamente e é válida somente para escoamento de água com 
certa rugosidade nas paredes. Os efeitos de viscosidade e densidade da água estão ocultos no valor 
numérico 1,49.
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Exercício 4:
Um certo torpedo, movendo-se na água doce a 10 °C, 
tem um ponto de pressão mínima dado pela fórmula:
Em que p0 = 115 kPa, ρ é a massa específica da água e V é a velocidade do torpedo. 
Calcule a velocidade na qual bolhas de cavitação se formarão sobre o torpedo. 
A constante 0,35 é adimensional.
Dados: A 10 °C, ρ = 1.000 kg/m3 e pv = 1,227 kPa (Nas Tabelas de Propriedades de àgua).
Exercício 5:
Em 1851, Sir George Stokes formulou a teoria de que a força de arrasto F sobre uma partícula 
em um escoamento de alta viscosidade (número de Reynolds baixo), depende somente da 
viscosidade μ, da velocidade V da partícula e do tamanho D da partícula. 
Use o conceito de homogeneidade dimensional para deduzir uma fórmula possível para a 
força F.
 
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Exercício 6:
Para o escoamento permanente a baixa velocidade (laminar) através de um tubo circular, 
como representa a Figura, a velocidade u varia com o raio e assume a forma abaixo; em que μ 
é a viscosidade do fluido e Δp é a queda de pressão da entrada até a saída. 
Quais são as dimensões da constante B?
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Exercício 7:
Para determinar a vazão da água a 20 °C por uma mangueira, um estudante constata que uma 
mangueira para encher um tambor de 208 litros precisa de 2 minutos e 37 segundos.
Calcule:
 (a) a vazão em volume em m3/s e 
 (b) a vazão em peso em N/s.
Exercício 8:
A eficiência de uma bomba é definida como a relação (adimensional) entre a potência 
desenvolvida pelo escoamento e a potência requerida para acionar a bomba:
em que Q é a vazão em volume do escoamento e Δp é a
elevação de pressão produzida pela bomba. 
Suponha que uma certa bomba desenvolva uma elevação de pressão de 241,3 kPa quando a 
vazão do escoamento é 40 L/s. 
Se a potência de entrada for 16 Hp, qual é a eficiência? (1 Hp = 0.745 kW)
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Exercício 8:
A Figura mostra o escoamento da água sobre uma 
barragem. 
Sabe-se que a vazão em volume Q depende somente da 
largura da soleira B, da aceleração da gravidade g e da 
altura da lâmina d’água a montante H, acima da soleira 
da barragem. 
Sabe-se também que Q é proporcional a B. 
Qual é a forma da única relação dimensionalmente 
homogênea possível para essa vazão?
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Exercício 9:
Equações algébricas como a relação de Bernoulli (Capítulo 1), são dimensionalmente
consistentes, mas e as equações diferenciais? 
Considere, por exemplo, a equação da quantidade de movimento em x para a camada-limite, 
deduzida pela primeira vez por Ludwig Prandtl em 1904:
na qual τ é a tensão de cisalhamento da camada-limite e gx é a componente da gravidade na 
direção x. 
Essa equação é dimensionalmente consistente? 
 
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Exercício 10:
Em 1908, um estudante de Prandtl, Heinrich Blasius, propôs a seguinte fórmula para a tensão 
de cisalhamento na parede τp em uma posição x no escoamento viscoso à velocidade V sobre 
uma superfície plana:
Determine as dimensões da constante 0,332.
Exercício 11:
No Brasil, quando dizemos que o pneu de um automóvel “está com 32 lb”, nós queremos dizer 
que a pressão interna do pneu é de 32 lbf/in2 acima da pressão atmosférica local. Esse valor 
equivale a 220.632 N/m2 em unidades do SI. 
Considerando que o pneu está ao nível do mar, tem um volume de 85 litros e está à 
temperatura de 24 °C, calcule o peso total de ar, em N, no interior do pneu.
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Exercício 12:
Uma placa fina está separada de duas placas fixas por líquidos muito viscosos com μ1 e μ2, 
respectivamente, como mostra a Figura. Os espaçamentos h1 e h2 entre as placas não são 
iguais, como mostra a figura. A área de contato é A entre a placa central e cada fluido.
(a) Considerando uma distribuição linear de velocidade em cada fluido, deduza a força F 
necessária para puxar a placa à velocidade V. 
(b) Existe necessariamente uma relação entre as duas viscosidades, μ1 e μ2?
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Exercício 13:
A viscosidade absoluta m de um fluido é principalmente uma função da:
(a) Massa específica; (b) Temperatura; (c) Pressão; (d) Velocidade; (e) Tensão superficial.
Exercício 14:
Se um corpo sólido uniforme pesa 50 N no ar e 30 N na água, sua densidade é:
(a) 1,5; (b) 1,67; (c) 2,5; (d) 3,0; (e) 5,0.
Exercício 15:
Um certo escoamento de água a 20°C tem um número crítico de cavitação, onde se formam as 
bolhas, Ca≃ 0,25, onde: 
Se pa = 1 atm e a pressão de vapor é 0,34 libras por polegadaquadrada absoluta (psia), para 
qual velocidade da água as bolhas se formarão? [1 mi/h = 0,44704 m/s] [1 metro por segundo 
equivale a 2.237 millas por hora]
(a) 12 mi/h; (b) 28 mi/h; (c) 36 mi/h; (d) 55 mi/h; (e) 63 mi/h