Aulas Compiladas fisica 3

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Aula 01
A carga elétrica e a lei de 
Coulomb 
F328: Física Geral III 
1º semestre, 2020
Eletricidade (eletrostática)
Fenômeno já conhecido na Grécia antiga. Ao serem atritados, 
determinados materiais (âmbar, em particular), adquiriam a 
propriedade de atrair pequenos objetos (ação de uma força elétrica). 
Magnetismo (magnetostática)
Os gregos também sabiam que determinadas pedras (chamadas de 
magnetita) atraíam limalhas de ferro (ação de uma força magnética).
Eletromagnetismo
No século XIX, após os trabalhos de Oersted e Faraday,
Maxwell escreveu as equações que unificaram a eletricidade e o
magnetismo, mostrando assim que ambos eram manifestações de
um mesmo fenômeno, o eletromagnetismo.
O eletromagnetismo
2F328
Eletricidade (eletrostática)
Fenômeno já conhecido na Grécia antiga. Ao serem atritados, 
determinados materiais (âmbar, em particular), adquiriam a 
propriedade de atrair pequenos objetos (ação de uma força elétrica). 
Magnetismo (magnetostática)
Os gregos também sabiam que determinadas pedras (chamadas de 
magnetita) atraíam limalhas de ferro (ação de uma força magnética).
Eletromagnetismo
No século XIX, após os trabalhos de Oersted e Faraday,
Maxwell escreveu as equações que unificaram a eletricidade e o
magnetismo, mostrando assim que ambos eram manifestações de
um mesmo fenômeno, o eletromagnetismo.
O eletromagnetismo
3
NOTAÇÃO 
VETORIAL!?
Equações 
Integrais
F328
Objetos em geral contêm quantidades iguais de dois tipos de carga: positiva e 
negativa. Tais objetos são eletricamente neutros.
Vidro atritado com seda ou 
plástico atritado com lã apresentam 
efeitos distintos.
Contudo, se por exemplo atritarmos um pente 
num tecido qualquer, há transferência de carga de 
um para o outro e o pente fica carregado com um 
dos tipos de carga em excesso. Ele então passa a 
atrair pequenos objetos.
A escolha dos nomes e dos 
sinais das cargas é mera convenção.
A carga elétrica é uma propriedade intrínseca das partículas que 
constituem a matéria e está presente em todos os objetos.
A carga elétrica
4F328
Repetindo a experiência anterior com
um bastão de metal neutro, ao invés de
vidro, observa-se que há cargas com grande
mobilidade: elétrons, “fluido” (assim se
pensava) de carga negativa.
Materiais como o cobre (metais) são chamados condutores, onde
o excesso de carga concentra-se apenas numa determinada região, ao
contrário dos isolantes, onde as cargas têm baixa mobilidade. Metais,
soluções e corpo humano são exemplos de condutores. Vidro, papel,
borracha, plásticos e água destilada são exemplos de isolantes.
A estrutura e a natureza elétrica dos átomos 
são responsáveis pelas propriedades dos 
condutores e isolantes. 
Condutores e isolantes
http://www.youtube.com/watch?v=r63e5y3Z3R8
cobre neutro
plástico carregado
5F328
http://www.youtube.com/watch?v=r63e5y3Z3R8
Antecipando a visão moderna da estrutura desses materiais
isolantes condutores semicondutores
Há ainda os chamados supercondutores, onde o fluido 
eletrônico ocorre sem resistência elétrica.
Condutores e isolantes
6F328
Se a distância entre duas
cargas q1 e q2 for r, o módulo da
força eletrostática entre elas será
dado por:
Observa-se que cargas de
mesmo sinal se repelem e de
sinais opostos se atraem. As
forças formam um par de ação e
reação ao longo da linha que une
as cargas.
2
21
||||
r
qq
kF = (Lei de Coulomb)
A lei de Coulomb - 1785
7F328
A lei de Coulomb: determinação
8
Balança de torção
Fonte: Wikipedia
𝛳
Para pequenos ângulos
 
F
q
=
Kq
a
Para pequenos ângulos
a
Esquemático
F328
x
1
2
y
z
balança de torção
Vetorialmente:
(forma geral da Lei de 
Coulomb)
A lei de Coulomb
9F328
Ƹ𝑟21
Antecipando o conceito de corrente elétrica, a unidade de carga é
o Coulomb, que não é uma unidade fundamental. O Coulomb é
definido no SI como sendo a carga transportada por uma corrente de
1 A que atravessa a seção reta de um fio durante 1 segundo.
dtidq =
No SI a constante eletrostática k é dada por 
2
2
9
0 C
N.m
1099,8
4
1


k
A permissividade do vácuo, , é dada por 0
2
2
12
0
N.m
C
1085,8 −
A lei de Coulomb
10F328
Lei de Coulomb:
Átomo de Hidrogênio:
|qe|=|qp|=1,6×10
-19 C ;
r12 = 5,3×10-11 m (distância média entre o próton e o elétron);
me = 9,1×10
-31 kg, mp = 1,67×10
-27 kg e 
G = 6,67×10-11 N.m2/kg2 (constante universal gravitacional)
Fe = 8,2×10
-8 N Fg = 3,6×10
-47 N
Relação entre Fe / Fg 2 × 10
39 
Lei da Gravitação:
2
12
21
0
||||
4
1
r
qq
Fe

=
Substituindo estes valores nas equações acima:

Força Eletrostática vs. Gravitacional
2
12
21
r
mm
GFg =
;
11
2
2
12
0
N.m
C
1085,8 −
F328
Imaginemos 2 prótons dentro de um núcleo atômico, separados por
uma distância . Qual é a aceleração que um próton adquire
sob a ação da força elétrica entre eles? 
1410 md −
2 19 2
9 1
2 14 2
(1,6 10 )
9,0 10 23 10 N
(10 )
el
e
F k
d
−
−
−

=    
1
26 26
27 2
23 10 m
13 10 10 g
1,67 10 s
el
p
F
a
m
−
−

= = =  

Se esta fosse a única força agindo sobre os prótons, o núcleo não
poderia ser estável. Quem mantém o núcleo estável são as forças 
nucleares fortes.
Exemplo
Estabilidade dos Materiais: interação entre cargas (forças nucleares).
12F328
acel. da
gravidade
As forças fundamentais da natureza
• Gravitacional (1/r2)
o Matéria
• Eletromagnética (1/r2)
o Cargas elétricas, átomos, sólidos
• Nuclear Fraca
o Decaimento radioativo beta
• Nuclear Forte
o Mantém o núcleo ligado (curto alcance)
• Maxwell tentou unificar as forças elétrica e gravitacional
• Depois de 1915 (teoria da relatividade geral), Einstein tentou a unificação
• Fim dos 60, A.Salam (1926-96) e S.Weinberg (1933-) e S.Glashow (1932-) formularam a teoria Eletro-Fraca (Nobel 1979)
∝10-38
∝ 10-2
∝ 10-7
∝ 1
13F328
A força Ԧ𝐹1 sobre a carga q1 devida às outras (n–1) cargas é:
Lei de Coulomb: 1 212 212
0 12
1 | | | |
4
q q
F F
r
= =
Num sistema de n cargas: vale o princípio da superposição:
jiij
FF

−=
Observa-se que:
(soma vetorial)
31
F

21
F

1nF

12
F

13
F
 nF1

nq
3q
2q
1q

Princípio da superposição
14
Ԧ𝐹1 = Ԧ𝐹12 + Ԧ𝐹13 +⋯+ Ԧ𝐹1𝑛
F328
+Q -Q +Q+
+
+
+
-
-
-
-
-
+
Exemplo (indução de cargas)
Movimento de cargas em um sistema de condutores: Indução
Duas esferas condutoras idênticas, eletricamente isoladas e muito 
afastadas. Qual é a força entre as esferas nas situações (c) e (e)?
A lei de Coulomb
15F328
A quantização da carga
A conservação da carga
Millikan determinou a carga elementar (eletrônica) como sendo e = 1,6×10-19 C 
e portanto q = ne, onde n = ±1, ±2, ...
Mas a teoria do Modelo Padrão das partículas elementares prevê a existência 
dos quarks, que são partículas constituintes de prótons e nêutrons, de carga 2e/3 
ou e/3, porém de difícil detecção individual. 
O “quantum” de carga é muito pequeno.
Em todos os processos que ocorrem na natureza, desde a transferência de carga
por atrito até as reações entre partículas elementares, a carga total (soma das cargas
positivas e negativas) de um sistema isolado sempre se conserva. Ex: decaimento
radioativo, aniquilação, produção de pares, etc.
238U → 234Th + 4He
Z=92 Z= 90 Z=2
Propriedades das carga elétricas
(decaimento radioativo: conservação de 
carga a nível nuclear).


16F328
Teorema das Cascas
17
Assim como no caso da força gravitacional (ou qualquer outra força ∝ 1/𝑟2), a 
força exercida por uma casca esférica uniformemente carregada com carga Q
equivale à força gerada por uma carga puntiforme de carga Q, quando a carga de 
prova está fora da casca, e zero quando carga de prova está dentro da casca.
A força exercida por um anel de carga dq vale: 
𝑑 Ԧ𝐹 = 𝑘𝑄0
𝑑𝑞
𝐷2
cos𝜙 ො𝑥
x
𝑟 cos 𝜃 𝑥 − 𝑟 cos 𝜃
𝑟
𝜃 𝜙
𝑑𝑞
𝑄
𝑄0
D
𝐷2 = 𝑥 − 𝑟 cos𝜃 2 + 𝑟 sin 𝜃 2
Onde:
𝑐𝑜𝑠𝜙 =
𝑥 − 𝑟 cos 𝜃
𝐷
𝑑𝑞 =
𝑄
4𝜋𝑟2
2𝜋 𝑟 sin 𝜃 𝑟 𝑑𝜃
A força total será então:
Ԧ𝐹 =
𝑘𝑄𝑄0
2
ො𝑥න
0
𝜋 𝑥 − 𝑟 cos𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃
𝑟2 + 𝑥2 − 2 𝑟 𝑥 cos 𝜃 3/2
= 𝑘
𝑄 𝑄0
2𝑥2
𝑥 − 𝑟
𝑥 − 𝑟
+
𝑥 + 𝑟
𝑥 + 𝑟
ො𝑥 = ቐ
𝑘
𝑄 𝑄0
𝑥2
ො𝑥 (𝑥 > 𝑟)
0 (𝑥 < 𝑟)
F328
Questão 1
18F328
Questão 2
19
Quatro cargas estão dispostas nos vértices de um quadrado, como mostra a figura. Qual é a 
orientação da força resultante que age sobre a carga do vértice inferior direito?
F328
Informações Complementares
Aulas gravadas:
JA Roversi Youtube (Prof. Roversi) 
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
20F328
Aula 02
O campo elétrico
F328: Física Geral III 
1º semestre, 2020
n
FFFF
002010
...

+++=
Pelo princípio da superposição, vimos que a força que um
conjunto de cargas puntiformes q1, q2,...., qn exerce sobre uma carga
de prova q0 é dada por:
 
r̂
0 i
=
r
0 i
| r
0 i
|
º
r
0
- r
i
| r
0
- r
i
|
que pela lei de Coulomb se escreve como ,
onde
Assim, podemos definir um grandeza , 
que só depende da distribuição das cargas q1, q2,...., qn e das suas 
distâncias ao ponto onde q0 se encontra.
,
•
O
0r

irr

−0
ir

•
iq
0q
O Campo Elétrico
F328 1
O Campo Elétrico devido a uma distribuição discreta de cargas
q1, q2,..., qn em um dado ponto é dado por:0r

Para determinar o campo devido à distribuição
de cargas, devemos medir a força exercida por esse
conjunto de cargas sobre uma carga de prova q0 e
dividir pelo próprio valor de q0. Para que não haja
influência da carga de prova sobre a distribuição de
cargas, a carga q0 deve ser a menor possível.
Ou seja:
O Campo Elétrico
F328 2
 
E º lim
q0®0
F0
q0
Campo Elétrico vs Campo Gravitacional
F328 3
Podemos fazer uma analogia entre o campo gravitacional e o
campo elétrico.
No caso da Terra, ou seja
uma distribuição fixa de
massa, teremos:
Força Gravitacional
 
FE = k
Qq
r 2
r̂
Numa distribuição fixa de 
cargas (veja figura abaixo)
Força Eletrostática
 F1
 F2
 Fn
 qn
 q2
 q1
 q
 g
Campo 
Gravitacional
 E
Campo 
Elétrico
		
mand M
terra
>0«q(+ or -)and q
i
(+ or -).
As linhas de força são linhas a partir das quais pode-se visualizar a
configuração do campo elétrico de uma dada distribuição de cargas no
espaço. Elas são traçadas de forma que:
a) A tangente a cada ponto da linha é a direção do campo elétrico;
b) O número de linhas por
unidade de área de uma superfície
perpendicular à direção das linhas
é proporcional ao módulo do
campo;
c) As linhas saem das cargas
positivas e chegam nas cargas
negativas.
Duas linhas de campo nunca
se cruzam.
Linhas de Força
4http://www.youtube.com/watch?v=7vnmL853784F328
http://www.youtube.com/watch?v=7vnmL853784
Um dipolo elétrico
,...21 nEEEE

+++=
Dada uma distribuição de cargas, o campo 
elétrico criado pela distribuição em qualquer 
ponto do espaço é dado pelo princípio da
superposição :
Duas cargas iguais
Cargas +2q e –q
onde é o campo criado por cada 
parte individual da distribuição.
iE

Linhas de Força
F328 5
http://www.falstad.com/emstatic/index.html
https://phet.colorado.edu/sims/html/charges-and-fields/latest/charges-and-fields_pt_BR.html
http://www.falstad.com/emstatic/index.html
https://phet.colorado.edu/sims/html/charges-and-fields/latest/charges-and-fields_pt_BR.html
Questão 1
6
Um estudante escreve as seguintes afirmações sobre campos 
elétricos: 
I) Há uma força sobre uma carga colocada em um campo elétrico. 
II) Quando um campo elétrico é aplicado a um condutor, as cargas 
elétricas livres do condutor se movem. 
III) Realiza-se um trabalho sempre que uma carga se move em um 
campo elétrico. 
Qual(is) das afirmações é(são) correta(s)?
a) somente I;
b) somente II;
c) I, II e III;
d) somente I e II;
e) somente I e III;
F328
r
r
q
E ˆ
4
1
2
0

=

2- Dipolo elétrico
1 -Carga puntiforme
Ao longo da linha que une as 
cargas e para z >> d :
3
0
)()(
2
1
z
p
EEE

−=
−+
onde p é o módulo do momento
de dipolo elétrico dado por:
dqp


,
Alguns Campos Elétricos Importantes
F328 7
Questão 2
8F328 
Dipolo elétrico
Distribuições de cargas
dqp


Exemplos: Dipolos Elétricos Importantes
F328 9
 −

=
)ou,(
2
0
),(ˆ
||
)(
4
1
)(
LSV
rru
rr
rdq
rE





||
),(ˆonde
rr
rr
rru
−
−
 


r 

ŷ
x̂
ẑ
rr −

r

P
),( rrEd 

)(rdq 

),( rrEd 

Distribuição Contínua de Cargas
F328 10
dA
dq
=:erficialsupdensidade
dV
dq
=:ca volumétridensidade
dldq =:ou
dq
dl
dq
=:linear densidade
dAdq =:ou
dVdq =:ou
dq
dq
Distribuição Contínua de Cargas
F328 11
Campo devido a um anel uniformemente carregado com
carga q:
Ao longo do eixo perpendicular ao plano 
do anel e que passa pelo seu centro o campo 
é dado por:
Note que em pontos bem longe do anel (x >> a):
x
x
q
E ˆ
4 20


(campo semelhante ao de uma carga puntiforme)
Ed

Distribuição Contínua de Cargas
F328 12
Campo devido a uma haste isolante em
forma de arco circular uniformemente
carregada com carga –Q
x
r
Q
E ˆ
4
83,0
2
0



No centro do arco circular de raio r o campo é 
dado por:
Distribuição Contínua de Cargas
F328 13
Campo devido a um disco de raio R uniformemente
carregado com densidade superficial de carga σ.
Ao longo do eixo perpendicular ao plano 
do disco e que passa pelo seu centro o campo 
é dado por:
x
Rx
x
x
x
E ˆ
)(||2 2/1220






+
−=


Note que se R >> x (ou plano infinito) :
x
x
x
E ˆ
||2 0



Ed

Distribuição Contínua de Cargas
F328 14
Distribuição Contínua de Cargas
15F328
Campo no interior de uma casca esférica com distribuição uniforme de
carga: Em qualquer ponto no interior de uma distribuição esférica
uniforme de carga, o campo elétrico é nulo.
Considere o campo elétrico produzido no ponto P por uma 
superfície esférica de raio R carregada com carga +Q (densidade 
superficial uniforme σ). Usando a relação entre o ângulo sólido 
e as áreas infinitesimais dA1 e dA2 podemos concluir que:
Sendo assim o módulo dos campos infinitesimais dE1 e dE2 serão:
Como os campos têm a mesma direção e sentido opostos a soma deles no 
ponto P é zero. Podemos estender esse argumento para toda a área da 
esfera o que resulta num campo nulo dentro da superfície esférica.
𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑 ⇒ 𝑑𝐴1 = 𝑟1
2𝑑Ω, 𝑑𝐴2 = 𝑟2
2𝑑Ω
𝑑𝐸1 =
1
4𝜋𝜀0
𝜎𝑑𝐴1
𝑟1
2 =
1
4𝜋𝜀0
𝜎𝑑Ω =
1
4𝜋𝜀0
𝜎𝑑𝐴2
𝑟2
2 = 𝑑𝐸2
x
As componentes 𝑑𝐸𝑧 cancelam-se por simetria e
Fio infinito com densidade de carga linear
Ed

xdE
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
dz
𝑑𝐸𝑥 = 𝑑𝐸 cos𝜃
𝐸𝑥 = න𝑑𝐸𝑥 = න
−∞
+∞
𝑑𝐸 cos𝜃 =
= 2න
0
∞
𝑑𝐸 cos 𝜃 =
𝜆
2𝜋𝜀0
න
0
∞
𝑑𝑧
𝑧2 + 𝑥2
cos 𝜃
Substituindo estas duas relações no integrando acima, tem-se:
Contribuição 𝑑𝐸 devida ao elemento de carga 𝑑𝑞 (= 𝜆𝑑𝑧):
Faz-se: 𝑡𝑔𝜃 =
𝑧
𝑥
∴ ቊ
𝑑𝑧 = 𝑥 sec2 𝜃 𝑑𝜃
𝑥2 + 𝑧2 = 𝑥2(1 + 𝑡𝑔2𝜃) = 𝑥2 sec2 𝜃
zdE

r
P
x
z
z
F328 16
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟2
=
1
4𝜋𝜀0
𝜆𝑑𝑧
(𝑧2 + 𝑥2)
Ԧ𝐹 = 𝑚
𝑑2 Ԧ𝑟
𝑑𝑡2
= 𝑞𝐸
Experiência de Millikan --- resultados de agosto de 1913:
O peso de uma gotícula carregada
pode ser equilibrado pela ação de
um campo elétrico. A condição de
equilíbrio é:
𝑒 = 1,6 × 10−19C𝑞 = 𝑛𝑒, onde 𝑛 = ±1,±2, . . .
Movimento de uma carga num campo elétrico
F328 17
http://www.youtube.com/watch?v=UFiPWv03f6g
𝐹 = 𝑚𝑔 =
4
3
𝜋𝑅3𝜌 𝑔 = 𝑞𝐸
http://www.youtube.com/watch?v=UFiPWv03f6g
Impressora de jato de tinta
Mantém-se o campo elétrico 
fixo e varia-se a carga da gota 
de tinta.
𝑦 − 𝑦0 =
𝑄𝐸𝐿2
2𝑚𝑣0
2
𝑦 − 𝑦0 =
1
2
𝑎𝑡2 =
1
2
𝑄𝐸
𝑚
𝑡2
𝐿 = 𝑣0𝑡
Eliminando-se t nas duas 
equações, obtém-se a deflexão
vertical da gota em x=L:
Movimento de uma carga num campo elétrico
F328 18
Torque
𝜏 = 𝐹𝑑 sin 𝜃 = 𝑞𝐸𝑑 sin 𝜃 = 𝑝𝐸sin 𝜃
Ԧ𝜏 = Ԧ𝑝 × 𝐸
Energia potencial
𝑈 = − Ԧ𝑝 ⋅ 𝐸
Se escolhermos 𝜃0 =
𝜋
2
:
Dipolo num campo elétrico uniforme
F328 19
𝑈 𝜃 − 𝑈 𝜃0 = 𝑊𝑒𝑥𝑡 = න
𝜃0
𝜃
𝜏 𝑑𝜃 = −𝑝𝐸 cos 𝜃 − cos 𝜃0
𝑊𝑒𝑥𝑡 = −𝑊𝐸
Questão 3
20F328
Forno de micro-ondas
Dipolo num campo elétrico
21
Se a molécula de água não fosse polar, o forno de micro-ondas 
não funcionaria para aquecer alimentos que contêm essa substância...
F328 
Informações Complementares
Aulas gravadas:
JA Roversi Youtube (Prof. Roversi) 
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
22F328 
Aula 03
A lei de Gauss 
F328: Física Geral III 
1º semestre, 2020
Ponto essencial
O fluxo de água ( ) que atravessa uma superfície fechada
depende somente das torneiras no interior dela. 
O fluxo de campo elétrico que atravessa uma superfície 
fechada depende somente das cargas elétricas contidas no 
interior da superfície. 
= 01
3
4
2
F328 
f
f
f
f
f
2
Fluxo de um campo vetorial
Quais afirmações podemos fazer sobre a distribuição de carga elétrica 
no interior da esfera da figura abaixo ?
Positiva, com simetria esférica.
F328 3
Fluxo de um campo vetorial
Definições:
• Quantidade de campo vetorial que 
atravessa uma superfície
• Número de linhas de campo
• Campo elétrico, magnético, etc.
• Superfície aberta ou fechada:
4
Superfície aberta Superfície fechada
A mesma quantidade de linhas de 
campo atravessa ambas as superfícies, 
(componente perpendicular) e A
F328 
A^
4
Fluxo campo elétrico - superfície aberta
cosEAAEE ==

Campo uniforme, superfície plana:
magnitude: área da superfície
direção: normal à superfície
A

elemento de superfície
direção: normal à superfície
Ad

E

A


Ad

E

Caso geral:
F328 5
6
Fluxo:
Quantidade de campo vetorial que atravessa 
perpendicularmente uma superfície
Fluxo campo elétrico - superfície aberta
AE
E
= FE = 0cosAEE =
F328 
Fluxo campo elétrico - superfície fechada 
7
Convenção: 
• : sempre saindo da superfície 
• Fluxo saindo: positivo 
• Fluxo entrando: negativo
Ad

Ad

Ad

Caso geral: (superfície fechada)
Ad

Informação importante: é o fluxo total
E

F328 7
Fluxo campo elétrico - superfície gaussiana
0
superfície gaussiana = superfície imaginária fechada
0=
0
Campo saindoCampo entrando
Campo tangente
F328 8
Fluxo campo elétrico - superfície gaussiana
Qual é o fluxo de um campo elétrico uniforme através de uma 
superfície gaussiana cilíndrica cujo eixo é paralelo ao campo elétrico?
9
Fluxo nulo
E se você inclinar a superfície gaussiana?
00321 =++−=++= EAEAE
E
F328 9
Lei de Gauss
10
Fluxo do campo elétrico devido a uma carga 
pontual q através de uma superfície fechada 
esférica de raio r: 
( )AdE

||
(E é uniforme sobre toda a superfície)
		
A
esfera
=4p r2( )








=
2
04 r
q
Eq

Resultado válido para qualquer
superfície fechada
F328 10
Número de linhas do
campo elétrico entrando
na superfície é igual ao
número de linhas saindo
dela.
Lei de Gauss
Carga puntiforme fora de
uma superfície fechada
Fluxo total é nulo ⇒ Φ𝐸 = 0
F328 
0=E
𝑑𝐴2
𝑑𝐴1
𝑑Ω
e
11
𝑑𝐴1cos 𝜃1 = 𝑟1
2𝑑Ω 𝑑𝐴2cos 𝜃2 = 𝑟2
2𝑑Ω
Φ𝐸 = ර
𝑆
𝐸 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴
Φ𝐸 =෍
𝑖
ΔΦ𝑝𝑎𝑟,𝑖 = ෍
𝑖,lim 𝑑𝐴→0
𝛿Φ𝑝𝑎𝑟,𝑖
𝛿Φ𝑝𝑎𝑟,𝑖 =
= 𝐸𝑞 𝑟2,𝑖 𝛿𝐴2,𝑖 cos(𝜃2,𝑖) − 𝐸𝑞 𝑟1,𝑖 𝛿𝐴1,𝑖 cos 𝜃1,𝑖
=
𝑞
4𝜋𝜀0
𝛿𝐴2,𝑖 cos(𝜃2,𝑖)
𝑟2
2 −
𝛿𝐴1,𝑖 cos 𝜃1,𝑖
𝑟1
2
=
𝑞
4𝜋𝜀0
𝑟1
2𝑑Ω
𝑟2
2 −
𝑟1
2𝑑Ω
𝑟1
2 ⇒ 𝛿Φ𝑝𝑎𝑟,𝑖 = 0
Lei de Gauss
0=E
Número de linhas do campo elétrico
entrando na superfície é igual ao
número de linhas saindo dela.
Carga puntiforme fora de 
uma superfície fechada
Fluxo total é nulo
0
q
E =
Número de linhas do campo elétrico
saindo é igual para todas as superfícies
Carga puntiforme dentro de superfícies 
fechadas de vários formatos
Fluxo através de todas as 
superfícies é o mesmo
F328 12
Lei de Gauss
Lei de Gauss:
• Relaciona o campo elétrico nos pontos de 
uma superfície gaussiana à carga elétrica
contida no seu interior.
• Independe da forma da superfície
gaussiana
qenv : carga total dentro da superfície gaussiana 
E

: campo elétrico na superfície gaussiana 
: direção = para fora da superfície gaussiana
F328 13
Questão 1
Classifique em ordem crescente a intensidade do fluxo do campo 
elétrico que atravessa as superfícies 1, 2, 3 e 4. 
a) 1 = 2 = 3 = 4
b) 1 > 2 > 3 > 4
c) 1 < 2 < 3 < 4
d) 1 = 2 = 3 > 4
e) 1 = 2 = 3 < 41
3
4
2
F328 14
Questão 2
Três superfícies fechadas estão ao redor de uma carga puntiforme. 
As três superfícies são: um pequeno cubo, uma pequena esfera, e 
uma esfera maior - todas centradas na carga. 
Qual superfície tem o maior fluxo através dela?
a) pequeno cubo
b) pequena esfera
c) as três têm o mesmo fluxo
d) esfera maior
e) impossível determinar sem mais
informações
F328 15
Campo elétrico: simetria esférica
Carga puntiforme
Nos pontos de S:
uniforme
aparalelo
E
AdE


16
superfície
gaussiana
esférica S
r
r
q
rE ˆ
4
1
)(
2
0
=

0
24)(


q
rrE
E
E
=
=
F328 16
Condutores
O campo elétrico no interior de um condutor em equilíbrio 
eletrostático é sempre nulo. 
Qual a localização do excesso de carga em um condutor?
17
A carga elétrica líquida está na superfície externa do condutor!
0=envq
0

=E
0

=E
Considerar o condutor com uma cavidade. 
Lei de Gauss: excesso de carga na superfície externa do condutor !
F328 17
Condutores - carga induzida 
Determinar as cargas induzidas nas superfícies interna e externa de 
uma camada condutora neutra.
18
		
q
int
= +q qq
ext
−=e (Mesma magnitude que a carga na cavidade)
q
qint
qext
Sup. gaussiana no interior 
da camada condutora:
( é nulo num condutor)
Note que não é uniforme. E ?s int ext
	
s =
q
i
Area
onde:
F328 18
Questão 3
F328 19
Questão 4
F328 20
Questão 5
Um condutor esférico descarregado, centrado na origem, contém 
uma cavidade de formato arbitrário. Em algum ponto no interior da 
cavidade há uma carga q. Qual é o campo elétrico fora da esfera?
q
a)
b)
c)
d) Não podemos determinar o campo
elétrico sem saber o formato da 
cavidade
e) Nenhuma das opções acima
r
r
q
ˆ
4 20
=E
r
r
q
ˆ
4 20
−=E
0=E
F328 21
Lei de Gauss - aplicações
A lei de Gauss é sempre válida, mas nem sempre útil... 
Quando utilizar a lei de Gauss para calcular o campo elétrico?
Somente nos casos de simetria adequada.
Nestas situações:
• A magnitude do campo elétrico sobre a superfície é uniforme 
• e são paralelosAd

E

F328 22
Lei de Gauss - aplicações
Plana
(plano infinito)
gaussiana
cilíndrica
gaussiana
esférica
gaussiana
esférica
Esférica
(carga puntiforme, 
casca e esfera)
24 rAesfera =
Cilíndrica
(barra e 
cilindro infinitos)
gaussiana
cilíndrica
F328 23
Elementos de Área e de Volume
Coordenadas esféricas
F328
Elemento de Área 
2 sindA r d d  =
Elemento de Volume 
2 sindV r d d dr  =
24
Elementos de Área e de Volume 
Coordenadas cilíndricas:
F328
Elemento de Área Elemento de 
Volume dA d dz = dV d d dz  =
25
Campo elétrico: simetria esférica
Esfera condutora carregada (ou casca esférica carregada)
26
2S
1S
0
24)(

 env
E
q
rrEdE ===  A

( )
( )





=
Rr
Rrr
r
q
rE
0
ˆ
4)(
2
0

(Teorema das camadas)
Como a carga total é diferente dentro e 
fora da esfera:
Nos pontos de Si:
uniforme
aparalelo
E
AdE


E

Ad

F328 26
Campo elétrico: simetria esférica
Esfera não condutora uniformemente carregada 
27
gaussiana
esférica
gaussiana
esférica
( )
( )









=
Rrr
R
qr
Rrr
r
q
rE
ˆ
4
ˆ
4
)(
3
0
2
0


Como a carga é 
diferente dentro e 
fora da esfera
; (r > R)
; (r < R)
qenv = q













= 3
3 3
4
3
4
r
R
q
q
env


F32827
Campo elétrico: simetria cilíndrica
Fio infinito uniformemente carregado
28
Nos pontos de S:
uniforme
(contorno)aparalelo
E
AdE


r
r
rE ˆ
2
)(
0

=

0
0
2Φ
ε
λh
rhE(r)
q
dE
E
env
E
==
== 


A

E

Ad

Superfície 
gausseana
Superfície
gaussiana S
E

h

E

Vista de topo
E

Ad

S
		
A
cilindro
=2prh( )
F328 28
Campo elétrico: simetria plana
29
Plano não condutor
Nos pontos de S:
uniforme
des)(extremidaaparalelo
E
AdE


0
2

A
AE
E
== (Duas extremidades)
nrE ˆ
2
)(
0

=

• Uniforme 
• Independente de r
F328 29
Campo elétrico: simetria plana
Camada condutora
30
Nos pontos de S:
0

A
AE
E
== (Uma extremidade)
nrE ˆ)(
0

=

• Uniforme 
• Independente de r
• Dobro do campo de 
uma camada isolante
F328 30
(densidades superficiais
uniformes: e )
Campo elétrico: simetria plana
1
 1−
31
Duas placas condutoras
placas bem afastadas
0
1)(


=rE

0)( =rE

(densidades superficiais apenas
nas superf. internas: e )
1
2
1
2−
placas bem próximas (indução!)
0
1
2
)(


=rE

dentro:
fora:
F328 31
Resumo
• Fluxo de campo elétrico:
• Quantidade de campo que atravessa perpendicularmente uma superfície.
• Lei de Gauss:
• O fluxo de campo elétrico que atravessa uma superfície fechada 
(gaussiana) depende somente das cargas contidas no interior da superfície.
• Condutores (equilíbrio eletrostático)
• Movimento livre das cargas
• Cargas em excesso localizadas na superfície externa
• Campo elétrico nulo no interior
• Campo elétrico perpendicular à superfície
F328 32
Informações Complementares
Aulas gravadas:
JA Roversi Youtube (Prof. Roversi) 
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
33F328
Campo elétrico: simetria plana
(densidades superficiais e ))(+ )(−−







−
=
+
+
+
placadaesquerdaà
2
placadadireitaà
2
0
)(
0
)(
)(




E







−
=
−
−
−
placadaesquerdaà
2
placadadireitaà
2
0
)(
0
)(
)(




E
0
)()(
2

−+
−
=
R
E
0
)()(
2

+−
−
=
L
E
0
)()(
2

−+
+
=
B
E
34
Duas placas não condutoras
F328 34
Aula 04
O Potencial Elétrico
F328: Física Geral III 
1º semestre, 2020
Pontos essenciais
F328 2
• Diferença de potencial 
• Energia potencial elétrica U
Sistema de cargas
Pontos no espaço
2
dependem de
		
DV =V(r
f
)-V(r
i
)
DV e U
• 2 Quantidade Escalares 	DV eU
Potencial elétrico
F328 3
Relacionamos a noção de 
força elétrica e campo elétrico
3
aos conceitos de energia potencial elétrica, 
trabalho de uma força elétrica e 
Potencial Elétrico
através do conceito de 
Energia 
(Força elétrica conservativa)
Energia potencial: Campo Uniforme
F328 4
Gravitacional vs Eletrostático
4
Energia potencial: Δ𝑈 = −𝑞0𝐸ℎ
Trabalho realizado por Ԧ𝐹𝐸:
ih
fh
Campo: E
Força: Ԧ𝐹𝐸 = 𝑞0𝐸
𝑊 = න
ℎ𝑖
ℎ𝑓
𝑞0𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝑠 = 𝑞0𝐸ℎ = −Δ𝑈
ih
fh
Campo: g
Energia potencial: Δ𝑈 = −𝑚𝑔ℎ
Trabalho realizado por Ԧ𝐹𝑔:
Força: Ԧ𝐹𝑔 = 𝑚 Ԧ𝑔
𝑊 = න
ℎ𝑖
ℎ𝑓
𝑚 Ԧ𝑔 ⋅ 𝑑 Ԧ𝑠 = 𝑚𝑔ℎ = −Δ𝑈
ℎ = ℎ𝑓 − ℎ𝑖
Energia potencial (U)
F328 5
Gravitacional vs Eletrostático
ih
(Campos uniformes)
if hhh −=
fh
5
No caso de forças conservativas (como o nosso), o resultado 
desta integral não depende do caminho de integração, mas 
apenas dos pontos inicial e final.
)(00 if
h
h
if hhEqsdEqWUU
f
i
−−=−=−=− 

Energia potencial elétrica (U)
F328 6


−=
r
sdEqrU


0)(
Sendo a força elétrica devida a uma 
distribuição finita de cargas, 
convém tomar como a
configuração de referência, tal que 
→||
i
r

0=
i
U
Com isto, podemos definir a
função energia potencial :)(rU

Ou seja, é o negativo do trabalho realizado pela força 
do campo elétrico sobre a partícula com carga para trazê-
la desde o infinito até . (Unidade SI: J = N.m)
)(rU

r
 0
q
6
)(rF

C
i
r

f
r

Q
sd

i
f
y
z
x
Potencial elétrico (V)
F328 7
Definição: Energia Potencial por unidade de carga
0q
U
V 
0q
U
V


• Definição válida em todos os pontos do espaço, havendo carga 
ou não neste ponto 
• V não depende de q0
• Unidade SI: joule/coulomb = J/C = volt (V)
• Aumenta no sentido oposto das linhas de campo elétrico
• Analogia: linhas de campo indicam a corrente numa 
cachoeira. Quanto mais alto estamos, mais potencial temos.
VA VB
E

VA > VB
7
Potencial (V) e diferença de potencial (V)
F328 8
 −=−=
f
i
r
r
if sdrEVVV



)(
8
Em função do campo elétrico (conservativo)
Diferença de potencial
• Entre dois pontos do espaço
• vai de i a f
• Depende unicamente dos pontos 
i e f, não do caminho seguido
• Força elétrica conservativa


−=
r
sdrErV


)()(Potencial
• Definido para cada ponto do espaço
• O infinito é escolhido como referência
s

Questão 1
F328 9
Campo elétrico uniforme
F328 10
 −=−
f
i
r
r
if sdrEVV



)(
• Resultado não depende do caminho efetuado 
• Portanto, para se calcular , pode-se sempre
escolher o caminho mais simples
i
f
E

EdVV
if
−=−
EdVV
if
−=−
(Vf < Vi)
a)
b)
E

E

sd

sd

sd

E

E

Vf
Vi
)a )b
10
	DV
	DV
Superfícies equipotenciais
F328 11
São superfícies em que todos os pontos têm o mesmo 
potencial
?e,,
IVIIIIII
=WWWW
E

11
Superfícies equipotenciais
F328 12
As linhas de são perpendiculares às superfícies equipotenciais. 
Por quê?
E

E

12
Campo uniforme Carga positiva Dipolo elétrico
Deslocamento ao longo de uma 
equipotencial não requer trabalho
( )0= sdE 

E
 E

Questão 2
F328 13
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − න
Ԧ𝑟𝑖
Ԧ𝑟𝑓
𝐸(റ𝑟) ⋅ 𝑑Ԧ𝑙
𝐸 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑟2
Ƹ𝑟
Escolhendo 𝑉𝑖 = 0 para 𝑟 → ∞ :
Ou:
𝑉 𝑟 =
𝑞
4𝜋𝜀0𝑟
)(rV
Carga + Carga -
V de uma carga puntiforme
F328 14
Edldr
P
r
q
V Ԧ𝑟 = − න
∞
𝑟
𝐸 Ԧ𝑟 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = න
𝑟
∞
𝐸 𝑟′ 𝑑𝑟′
=
𝑞
4𝜋𝜀0
න
𝑟
∞
1
𝑟′2
𝑑𝑟′
Sistema de cargas puntiformes (V)
F328 15

−
==
i i
i
i
i
rr
q
rVrV
||4
)()(
0



||4
)(
0 i
i
i
rr
q
rV 

−
=

Potencial no ponto P devido 
a cada carga qi:
Princípio de superposição:
15
-
- -
-
-
+
+
+
+
x
y
z
r

i
r

i
rr

− P
iq
(soma escalar!)
Dipolo elétrico (r >> d) (V)
F328 16
)(0)(0
0
44
||4
)()(
−+
−=
−
=
=


r
q
r
q
rr
q
rVrV
i i
i
i
i




3
0
2
0 44
cos
)(
r
rp
r
p
rV



 
==
cos
)()(
drr −
+−
2
)()(
rrr 
+−
 dr
dqp

=
p

Momento de dipolo elétrico
16
Exemplos
 nC12
1
=q
 nC24
2
−=q
 nC31
3
=q
 nC17
4
=q
?=
P
V
Sistema de cargas puntiformes (V)
F328 17
 12 eq −=
R
e
VC
04
12

−
=
0

=CE
m3,1=d
17
Distribuição contínua finita de cargas 
F328 18
• V = 0 no infinito 
• Válido somente para distribuição finita de cargas
18
z
x
𝑉(Ԧ𝑟) = න
(𝑉,𝑆 ou 𝐿)
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞(Ԧ𝑟′)
| Ԧ𝑟 − Ԧ𝑟′|
),( rrdV 

r 

rr −

r

P)(rdq 

y
Potencial de uma linha finita de carga )( dxdq =
 +
=
L
dx
dx
V
0
22
0
4
1 

=
)ou,( 0
4
1
)(
LSV
r
dq
rV









 ++
=
d
dLL
V
22
0
ln
4

L
d
Distribuição contínua de carga
F328 19
b) disco (raio a e densidade )
Potencial de um anel e de um disco carregados

𝑑𝑉(𝑃) =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑎2 + 𝑥2
⇒ 𝑉(𝑥) =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑎2 + 𝑥2
a) anel (raio a e carga q)
Distribuição contínua de carga
F328 20
𝑑𝑉 𝑃 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟2 + 𝑥2
; 𝑑𝑞 = 𝜎 2𝜋𝑟𝑑𝑟
𝑉(𝑥) =
1
4𝜋𝜀0
න
0
𝑎
2𝜋𝜎𝑟𝑑𝑟
𝑟2 + 𝑥2
⇒ 𝑉(𝑥) =
𝜎
2𝜀0
( 𝑥2 + 𝑎2 − |𝑥|)
Resumo: Potencial elétrico de 3 distribuições 
finitas e contínuas de cargas (V)
F328 21
 +
=
L
dx
dx
V
0
22
0
4
1 








 ++
=
d
dLL
dV
22
0
ln
4
)(


L
d
Linha 
𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑥
22
04
1
)(
xa
dq
PdV
+
=

22
04
1
)(
xa
q
xV
+
=

Anel 
|)|(
2
)( 22
0xaxxV −+=


22
04
1
)(
xr
dq
PdV
+
=


+
=
a
xr
rdr
xV
0
22
0
2
4
1
)(


Disco 
21
𝑑𝑞 = 𝜎2𝜋𝑟𝑑𝑟
Carga puntiforme (U)
F328 22
Equivalente ao trabalho executado 
por um agente externo para trazer as 
duas cargas do infinito até uma 
distância r.
E

sd

r
qq
VqU 0
0
0
4
1

==
Energia potencial de uma carga q0 ao redor de q
22
?
0
=qU
U é o trabalho executado por um agente 
externo para trazer todas as cargas do infinito até a 
configuração desejada. Dada a energia potencial 
elétrica entre cada par de cargas 
||4
0 ji
ji
ij
rr
qq
U 
−
=

temos que: 
qq =
1
qq 4
2
−=
qq 2
3
=
d
q
W
0
2
4
10

−
=
,


=
ji
ji ij
ji
r
qq
U
, 042
1

Se U > 0: cargas livres (trabalho para uní-las);
Se U < 0: cargas ligadas (trabalho para separá-las)
Fator : Contar só uma vez cada par de carga, 
isto é: Uij = Uji
2
1
Sistema de cargas puntiformes (U)
F328 23
Dado que a energia potencial elétrica entre cada par de cargas 
é dada por: 
||4
0 ji
ji
ij
rr
qq
U 
−
=

temos que a energia do sistema de cargas é: 
,
A generalização para uma distribuição contínua de cargas com
densidade é:
( ) ( )
1
2
U r V r dv   = 
( )r 
,
onde é o potencial na posição da carga i.)( irV

)(
2
1
4
1
2
1
42
1
0, 0
i
i
i
i ij ij
j
i
ji
ji ij
ji
rVq
r
q
q
r
qq
U

  =








==



ijU
Sistema de cargas puntiformes (U)
F328 24
Obtenção do campo a partir do potencial
F328 25
𝐸 cos 𝜃 = −
𝑑𝑉
𝑑𝑠
Isto é, a componente de em qualquer
direção é o negativo da taxa de variação do 
potencial com a distância naquela direção
(derivada direcional).
E

Generalizando:
Como 𝐸 cos 𝜃 é a componente de 𝐸
na direção de 𝑑Ԧ𝑠:
𝐸𝑠 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑠
= −∇𝑉 ⋅ Ƹ𝑠
Trabalho do campo elétrico sobre ao se deslocar entre 
duas equipotenciais (𝑑𝑉 = −𝐸 ∙ 𝑑 Ԧ𝑠):
0q
duas superfícies
equipotenciais
E

sd

25
𝑑𝑊𝐸 = −𝑞0𝑑𝑉 = −𝑞0𝐸 ∙ 𝑑 Ԧ𝑠 = 𝑞0𝐸 cos 𝜃 𝑑𝑠
𝐸 = −∇𝑉
Obtenção do campo a partir do potencial
F328 26
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − න
Ԧ𝑟𝑖
Ԧ𝑟𝑓
𝐸(റ𝑟) ⋅ 𝑑 Ԧ𝑠 ⇒ 𝑑𝑉 = −𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝑠 (1)
Sejam, em coordenadas cartesianas:
Então:
dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dV
dzEdyEdxEsdE zyx


+


+


=
++=

Por (1):
z
V
E
y
V
E
x
V
E zyx


−=


−=


−= ;;
Como 
𝐸 = 𝐸𝑥 Ƹ𝑖 + 𝐸𝑦 Ƹ𝑗 + 𝐸𝑧 ෠𝑘
𝑉 = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)
k
z
V
j
y
V
i
x
V
V ˆˆˆ


+


+


=

Dedução alternativa
VE −=

26
Questão 3
F328 27
Campo de um disco uniformemente carregado
F328 28
dx
dV
EVE x −=−=

x
Rx
x
x
x
xE ˆ
||2
)(
22
0








+
−=


Então:
Derivando V, obtemos:
Vamos ver que neste caso:
(resultado já conhecido!)
|)|(
2
)( 22
0
xRxxVV −+==


E

28
Sim, pois dentro do condutor0

=E
Potencial de um condutor isolado
F328 29
Os pontos dentro e na superfície de um condutor qualquer estão 
ao mesmo potencial?
Consequências para um condutor isolado, carregado ou não :
• O volume é equipotencial
•A superfície é uma equipotencial
0

=E
29
 −=−
f
i
r
r
if
rdrEVV



)(
VE −=

Condutor esférico (carga Q, raio R)
, r > R (fora)
, r < R (dentro)
Sendo i e f dois pontos dentro de um condutor qualquer:
 =−=−
f
i
if rdrEVV 0)(

0

=E







=
R
Q
r
Q
rV
0
0
4
4
)(


Note que: (ou ) 
r
V
Er


−=
, pois dentro do condutor.
E

0

=E
Um condutor carregado isolado
F328 30
Excluindo-se os condutores esféricos, a carga de um condutor não se 
distribui uniformemente sobre sua superfície, mas vai depender do raio de 
curvatura local.
Sejam duas esferas condutoras carregadas (muito afastadas entre si), ligadas 
por um fio condutor muito longo. Como estão ao mesmo potencial V:
2
1
2
1
20
2
10
1
44 R
R
q
q
R
q
R
q
V ===

Agora: 
𝜎1
𝜎2
=
𝑞1/4𝜋𝑅1
2
𝑞2/4𝜋𝑅2
2 =
𝑞1
𝑞2
𝑅2
2
𝑅1
2 =
𝑅1
𝑅2
𝑅2
2
𝑅1
2 =
𝑅2
𝑅1
(1)
fio longo
Distribuição das cargas num condutor
F328 31
		qi =4p ri
2s
i
Em pontos onde o condutor
é mais “pontiagudo”,  (e,
portanto, E) é maior.
𝜎1
𝜎2
=
𝑅2
𝑅1
⇒ 𝜎 ∝
1
𝑟
Distribuição das cargas num condutor
F328 32
Em pontos onde o condutor é mais 
“pontiagudo”, a densidade de cargas (e, portanto, 
o campo elétrico) é maior. Este campo pode ser 
suficiente para ionizar o ar em volta da ponta, 
tornando-o condutor e permitindo uma descarga 
(descarga corona).
Então, σ é inversamente proporcional
ao raio de curvatura local. 
𝜎1
𝜎2
=
𝑅2
𝑅1
Descarga corona
F328 33
Este campo pode ser suficiente intenso para ionizar o ar em volta 
da ponta, tornando-o condutor e permitindo uma descarga.
Bobina de alta tensão Roda de Wartenberg
33
Resumo
F328 34
• Potencial elétrico em um ponto:
• Diferença de potencial entre dois pontos:
• As linhas de campo elétrico são perpendiculares às superfícies 
equipotenciais e no sentido dos potenciais decrescentes 
• Cálculo do campo elétrico a partir do potencial:
VE −=

 −=−=
f
i
r
r
if sdrEVVV



)(
0q
U
V 
34
Informações Complementares
Aulas gravadas:
JA Roversi Youtube (Prof. Roversi) 
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
35F328
Aula 05
Capacitância, corrente e resistência
F328: Física Geral III 
1º semestre, 2020
Energia contida no campo elétrico
Vimos que a energia potencial de um sistema de cargas está
relacionada com o potencial elétrico associado a esse sistema. Esse
potencial, por sua vez, está diretamente relacionado com o campo
elétrico gerado pela distribuição de cargas.
→ Mostraremos que é possível conectar o potencial elétrico de
uma distribuição com a carga elétrica que o gerou através da
capacitância.
2
A capacitância, C, depende apenas da geometria da 
distribuição de cargas. 
F328 – 1S2020
Capacitores
Dois condutores isolados, de formatos arbitrários, formam o que 
chamamos de um capacitor .
Este sistema pode armazenar energia potencial no 
campo elétrico existente.
Capacitância
3
Dois condutores isolados e carregados 
com cargas +Q e –Q
E

F328 – 1S2020
O capacitor mais convencional é o de placas paralelas. Em 
geral, dá-se o nome de placas do capacitor (ou armaduras) aos 
condutores que o compõem, independentemente das suas formas.
Outros capacitores
Capacitor de placas paralelas
Capacitores
4F328 – 1S2020
Como as placas do capacitor são condutoras, elas formam 
superfícies equipotenciais. A carga nas placas é proporcional à 
diferença de potencial entre elas, ou seja: 
CVQ =
No SI a capacitância é medida em farad (F).
1farad = 1F = 1 Coulomb/Volt = 1C/V ; 1 F =  F10 6−
Capacitância
5
,
onde C é a chamada capacitância do capacitor. Então:
A constante depende apenas da geometria do capacitor 
e do meio físico.
V
Q
C =
C
F328 – 1S2020
Carregando um capacitor
Podemos carregar um capacitor ligando as suas placas a 
uma bateria que estabelece uma diferença de potencial fixa, V , 
sobre o capacitor. Assim, em função de V :
Cargas +Q e –Q irão se acumular nas 
placas do capacitor, estabelecendo entre elas 
uma diferença de potencial –V que se opõe à 
diferença de potencial da bateria, fazendo 
cessar o movimento de cargas no circuito. 
CVQ =
Capacitância
6
+ -
+-
F328 – 1S2020
Em geral, os capacitores que usamos possuem alguma simetria, o que 
nos permite calcular o campo elétrico gerado em seu interior através 
da lei de Gauss:
Em seguida, podemos calcular a diferença de 
potencial entre as duas placas como:
𝑉 = Δ𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − න
Ԧ𝑟𝑖
Ԧ𝑟𝑓
𝐸(Ԧ𝑟) ⋅ 𝑑Ԧ𝑙
Cálculo da Capacitância
7
𝜙 = ර
𝑆
𝐸(Ԧ𝑟) ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 =
𝑞int
𝜀0
Usando a definição: 𝐶 =
𝑄
𝑉
, podemos obter 𝐶.
+Q –Q
Área = A
𝑬
𝒅ℓ
V
d
F328 – 1S2020
Capacitor de placas paralelas:
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − න
Ԧ𝑟𝑖
Ԧ𝑟𝑓
𝐸 Ԧ𝑟 ⋅ 𝑑Ԧ𝑙 ⇒ 𝑉= 𝐸𝑑
Nota-se que a capacitância é proporcional a um comprimento e só 
depende de fatores geométricos do capacitor.
𝑞 = 𝐶𝑉 ⇒ 𝐶 =
𝜀0𝐴
𝑑
Capacitância: Exemplos
8
Importante:
𝜀0 = 8,85 pF/m
1)
2)
3)
d
+q
–q
+ + + +
– – – –
𝒅ℓ Área = A
F328 – 1S2020
𝜙 = ර
𝑆
𝐸(Ԧ𝑟) ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 =
𝑞int
𝜀0
⇒ 𝐸 =
𝑞
𝜀0𝐴
Capacitor cilíndrico:
(L >> b)
L
L
superfície
gaussiana
Capacitância: Exemplos 
9F328 – 1S2020
𝜙 = ර
𝑆
𝐸(Ԧ𝑟) ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 =
𝑞int
𝜀0
⇒ 𝐸 =
𝑄
2𝜋𝜀0𝐿𝑟
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − න
Ԧ𝑟𝑖
Ԧ𝑟𝑓
𝐸 Ԧ𝑟 ⋅ 𝑑Ԧ𝑙 ⇒ 𝑉 =
𝑄
2𝜋𝜀0𝐿
ln
𝑏
𝑎
𝑄 = 𝐶𝑉 = 𝐶
𝑄
2𝜋𝜀0𝐿
ln
𝑏
𝑎
⇒ 𝐶 =
2𝜋𝜀0𝐿
ln
𝑏
𝑎
Capacitor esférico: S
Capacitância: Exemplos 
10F328 – 1S2020
𝜙 = ර
𝑆
𝐸(Ԧ𝑟) ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 =
𝑞int
𝜀0
⇒ 𝐸 =
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟
2
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − න
Ԧ𝑟𝑖
Ԧ𝑟𝑓
𝐸 Ԧ𝑟 ⋅ 𝑑Ԧ𝑙 ⇒ 𝑉 =
𝑄
4𝜋𝜀0
(𝑏 − 𝑎)
𝑎𝑏
𝑄 = 𝐶𝑉 ⇒ 𝐶 = 4𝜋𝜀0
𝑎𝑏
(𝑏 − 𝑎)
Esfera isolada






−
=
−
=
b
a
a
ab
ab
C
1
44
00

→b
aC 04=
)( aR =
+
E

+
++
+
+
+ +
+
+
+
→b
a
Exemplo numérico:
pF/m85,8
0
= F101,1 10−C,mR 1=
Capacitância: Exemplos 
11F328 – 1S2020
Associação de capacitores em paralelo:
VCqVCqVCq
332211
,, ===
=
i
ieq
CC
ou:
VCCCqqqqq )( 321321 ++=++=
321 CCCCeq ++=
Como: VCq eq=
Associação de capacitores
12F328 – 1S2020
Associação de capacitores em série:
332211
e, VCqVCqVCq ===






++=++=
321
321
111
CCC
qVVVV
=
i ieq
CC
11
ou:
321
1111
CCCCeq
++=
Como: 
eqC
q
V=
Associação de capacitores
13F328 – 1S2020
Um agente externo deve realizar 
trabalho para carregar um capacitor. 
Este trabalho fica armazenado sob a 
forma de energia potencial na região 
do campo elétrico entre as placas.
𝑈 = 𝑊𝑒𝑥 =
𝑞2
2𝐶
=
1
2
𝐶𝑉2 =
1
2
𝑞𝑉
qd
C
q
qdVdWex 

==
C
q
qd
C
q
dWW
q
exex
2
2
0
=

== 
Suponha que haja e – armazenadas nas placas de um 
capacitor. O trabalho para se adicionar mais um elemento de carga
às placas deste capacitor será então: qd 
q q
Energia armazenada no campo elétrico
F328 – 1S2020 14
E

ld

dq’
- - - - - - - - - -
V’
Bateria+
-
	q = CV
Densidade de energia:
2202
2
1
2
1
dE
d
A
CVU

==
Em um capacitor de placas paralelas temos:
d
A
C 0

= EdV =e
2
0
2
1
E
Ad
U
u =
(Apesar de a demonstração ter 
sido feita para o capacitor de 
placas paralelas, esta expressão 
é sempre válida!)
volume
potencialenergia 
=u
Energia no capacitor
15
+Q –Q
Área = A
𝑬
𝒅ℓ
V
d
F328 – 1S2020
Ao colocarmos um material dielétrico entre as placas de um 
capacitor, se V é mantido constante, a carga das placas aumenta.
Se Q é mantida constante, V diminui. Como Q = CV, ambas as 
situações são compatíveis com o fato de que o dielétrico entre as 
placas do capacitor faz a sua capacitância aumentar.
Vimos: C0 =ε0L, onde L é uma função que 
depende apenas da geometria e tem 
dimensão de comprimento.
Então, na presença de um 
dielétrico preenchendo totalmente o 
capacitor: Cd = κε0L = κC0, onde a 
constante dielétrica κ > 1.
No vácuo: κ =1
Capacitores com Dielétricos
16F328 – 1S2020
Visão atômica:
Dielétricos são materiais isolantes
que podem ser polares ou não-polares.
Um dielétrico polar: ex.: molécula de água
E 

 +
0E

0E

 −
Dielétricos
F328 – 2S2019
17
Dielétrico não-polar
E

p

+- +- +- +-
+- +- +- +-
+- +- +- +-
E0= E0 E0
E
´
E
-
-
-
+
+
+
E

E 

0E

0E

'
0
EEE

−=
0
0

=E
Material Constante 
dielétrica (κ)
Rigidez 
Dielétrica (kV/mm)
Ar (1 atm) 1,00054 3
Poliestireno 2,6 24
Papel 3,5 16
Pirex 4,7 14
Porcelana 6,5 5,7
Silício 12
Etanol 25
Água (20º) 80,4
Água (25º) 78,5
Dielétricos
18F328 – 1S2020
0
ˆ)(

qq
dAnrE
S
−
=

A
q
E
0
0

=
A
qq
E
0

−
=
A
qE
0
0

=

q
qq =−
é o vetor deslocamento elétrico.
Então, na lei de Gauss expressa com o vetor , 
aparecem apenas as cargas livres (das placas).
D

)()( 0 rErD

Onde:

0
0
ˆ)(

q
dAnrE
S
=
(a): 
(b):
=E
Em (b):
0
ˆ)(

q
dAnrE
S
=

qdAnrD
A
= ˆ)(

,Ou:
A
qq
0
−
=
q−
q+
(a)
superfície
gaussiana
0E

Lei de Gauss com dielétricos
19

q+
q−
q+
q−
(b)
superfície
gaussiana
E

Supondo mesma carga nas
placas em (a) e (b)
F328 – 1S2020
• Uma corrente elétrica é um movimento ordenado de cargas 
elétricas.
• Um circuito condutor isolado (Fig. 1a) está todo a um mesmo 
potencial e E = 0 no seu interior. Nenhuma força elétrica 
resultante atua sobre os elétrons de condução disponíveis, logo 
não há nenhuma corrente elétrica.
• A inserção de uma bateria ou algo que crie uma diferença de 
potencial no circuito (Fig. 1b) gera um campo elétrico dentro do 
condutor. Este campo faz com que as cargas elétricas se movam 
ordenadamente, constituindo assim uma corrente elétrica.
Corrente elétrica
20
Fig. 1a Fig. 1b
F328 – 1S2020
Definição de corrente: 
A carga Δq que atravessa um plano em um intervalo de tempo Δt
pode ser determinada através de:
Unidade de corrente:
1 ampère (A) = 1 C/s

+
==
tt
t
dtidqq
Uma corrente i estacionária tem a mesma intensidade através das 
seções aa’, bb’ e cc’.
Corrente elétrica
21
i
a'
b
b'
c
c'
i
a
F328 – 1S2020
a) Correntes, apesar de serem representadas
por setas, são escalares. A seta indica a
direção do vetor E no interior do condutor.
b) O sentido convencional da corrente é o 
sentido no qual se moveriam os portadores de 
carga positiva, mesmo que, em alguns casos, 
os verdadeiros portadores tenham carga
negativa.
c) Em consequência da conservação da 
carga, temos:
i0=i1+i2
Corrente elétrica e conservação de carga 
22F328 – 1S2020
• A densidade de corrente Ԧ𝐽 é usada quando queremos estudar o 
fluxo de cargas através de uma seção transversal do condutor
𝑖 = න Ԧ𝐽 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴
• Se a densidade de corrente Ԧ𝐽 for uniforme através da 
superfície e paralela a 𝑑 Ԧ𝐴:
න𝐽𝑑𝐴 = 𝐽න𝑑𝐴 ⇒ 𝐽 =
𝑖
𝐴
(A/m2)
Densidade de corrente
23
F328 – 1S2020
Unidade no SI: ohm (Ω). 
1 ohm = 1 volt/ampère
Um material cuja função é oferecer uma 
resistência específica em um circuito é 
chamado de resistor e seu símbolo em um 
circuito elétrico é:
Definição de resistência: 𝑅 =
𝑉
𝑖
R
A principal função do resistor em um circuito elétrico é controlar a 
corrente elétrica.
Resistividade e resistência
24F328 – 1S2020
Microscopicamente, é conveniente utilizar o campo elétrico e a 
densidade de corrente no lugar da diferença de potencial V e da 
corrente elétrica i. Daí, o equivalente microscópico da resistência R é 
a resistividade ρ, definida por:
Em alguns casos, é conveniente usar a condutividade σ, definida por: 
J
 E







== m.
A/m
V/m
2J
E

Vetorialmente:
EJ



 =






=
m.
11
Resistividade e resistência 
25F328 – 1S2020
Relação entre a resistividade ρ e a resistência R:
Como , 𝐸 aponta para a direita:
A
i
J =
J
E
=
A
L
R =
L
i
em temos que: 
Resistividade e resistência 
26
	
E =
V
b
-V
a
L
	
V
b
>V
a
F328 – 1S2020
Constante : coeficiente de temperatura da resistividade.
)( 000 TT −=− 
a
Para os metais, em geral, a variação da resistividade com a 
temperatura é linear numa ampla faixa de temperaturas:
A resistividade do cobre em função de T
Variação da resistividade com a temperatura
27
Nesta equação, T0 é uma 
temperatura de referência 
selecionada e ρ0 é a resistividade 
nesta temperatura. 
Normalmente, T0 = 293 K para a 
qual ρ0 = 1,69×10
-8 Ω.cm, no caso 
do cobre.
F328 – 1S2020
Material ( a 20o C) Resistividade ρ (Ω.m) Coef. de resistividade (K-1)
Prata 1,62×10-8 4,1×10-3
Cobre 1,69×10-8 4,3×10-3
Alumínio 2,75×10-8 4,4×10-3
Tungstênio 5,25×10-8 4,5×10-3
Ferro 9,68×10-8 6,5×10-3
Platina 10,6×10-8 3,9×10-3
Manganina 4,82×10-8 2,0×10-6
Silício puro 2,5×10-3 -7,0×10-2
Silíciotipo n 8,7×10-4
Silício tipo p 2,8×10-3
Vidro 1010 - 1014
Quartzo fundido ~1016
Condutores, semicondutores e isolantes 
Resistividade de alguns materiais
28
24( ) / ( ) 10quartzo prata  
F328 – 1S2020
A lei de Ohm estabelece que a corrente através de um “dispositivo”
em função da diferença de potencial é linear, ou seja, R independe do 
valor e da polaridade de V (Fig. A). Quando isto acontece, diz-se 
que o “dispositivo” é um condutor ôhmico. Caso contrário, o 
condutor não segue a lei de Ohm (Fig. B).
i
V
R =
Pela definição de resistência:
A lei de Ohm implica que 
)(VRR 
e que o gráfico i×V é 
linear
i
condutor ôhmico condutor não-ôhmico
Fig. A Fig. B
V V
i
R
arctg
1
=
Lei de Ohm
29F328 – 1S2020
R
V
RiP
iVPiV
dt
dU
dtViVdqdU
2
2
)W(
==
==
==
#
**
# Aplica-se à transformação de energia 
elétrica em todos os outros tipos de energia.
** aplica-se à transformação de energia potencial elétrica em 
energia térmica num dispositivo com resistência.
i
Energia potencial transformada no trecho cd :
V
Potência em circuitos elétricos
30F328 – 1S2020
Informações Complementares
Aulas gravadas:
JA Roversi Youtube (Prof. Roversi) 
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
F328 – 1S2020 31
Exercício: Energia de uma esfera isolada
Considere um condutor esférico de raio R=a carregado com uma carga q. 
Qual a energia elétrica total armazenada neste condutor? 
Duas interpretações: 
a) Energia potencial de 
uma esfera isolada de 
raio a = R:
C
q
U
2
2
1
=
RC 04=
R
q
U
0
2
8
=
c) Qual o raio R0 que contém metade da energia total?
RR
RRRr
dr
r
dr
URU
R
R
R
2
1
2
111
(...)
2
1
(...)
2
1
)( 0
0
220
0
==−== 

32
+
E

+
++
+
+
+ +
+
+
+
→b
a
+q
b) Integração da densidade de energia u:
2
04
)(
r
q
rE

=
2
0
2
1
Eu =
 
U =
1
2
e
0
E2(r )4p r 2 dr
R
¥
ò =
q2
8pe
0
R
oldV
dU
=
F328 – 1S2020
Capacitor de placas paralelas com A=115 cm2, d=1,24 cm,
V0=85,5 V, b=0,78 cm, (𝜀0 = 8.85 × 10
−12 F/m)
a) C0 sem o dielétrico;
b) a carga livre nas placas;
c) o campo E0 entre as placas 
e o dielétrico;
d) o campo Ed no dielétrico;
e) a ddp V entre as placas na 
presença do dielétrico;
f) A capacitância C com o
dielétrico.
Calcule:
2.61 =
superfície
gaussiana II
superfície
gaussiana I
Dielétricos: Exemplo
33F328 – 1S2020
Questão
34
Considere as quatro situações seguintes: 
1. um íon com carga +Q move-se para a direita;
2. um átomo de hidrogênio neutro, consistindo de um próton pesado (+e) 
e um elétron leve (−e) move-se para a direita;
3. um feixe de elétrons na sua TV desvia-se para a direita;
4. numa solução iônica, íons positivos pesados fluem para a direita e 
elétrons negativos leves fluem com a mesma velocidade para a 
esquerda. 
Em qual(is) das situações a corrente líquida é para a direita?
a) somente 1; 
b) somente 4; 
c) somente 3;
d) somente 1 e 4; 
e) em nenhuma delas.
F328 – 1S2020
Aula 06
Circuitos
F328: Física Geral III 
1º semestre, 2020
Fonte de força eletromotriz
Resolver um circuito de corrente contínua (DC) é 
calcular o valor e o sentido das correntes. Para que se 
estabeleça uma corrente duradoura num condutor, é 
necessário manter uma diferença de potencial entre suas 
extremidades. Na prática, isto é feito por um dispositivo 
chamado fonte de força eletromotriz (fem), cujo símbolo é:
-

+
Fonte de energia em um circuito DC
Dentro da fonte, um elemento de carga positiva dq deve se mover de um ponto 
de potencial mais baixo (–) para outro de potencial mais alto (+), necessitando de 
uma energia para isso. Então a fonte deve realizar um trabalho dW sobre um elemento 
de carga dq a fim de transferi-lo do terminal (–) para o terminal (+).






= volt
C
J
dq
dW
=
Trabalho da fonte
F328 – 1S2020 2
Tipos de fem
Fonte de tensão ideal:
• É um modelo idealizado de bateria
• As cargas circulam sem nenhuma
resistência
• Não há energia dissipada na fonte

-+
-

+
r
Fonte de tensão real:
• Qualquer bateria na prática
• Movimento das cargas afetado pela 
resistência interna r da bateria
• Há energia dissipada na fonte
irVVV ab −=−= 
(para o sentido de i como na figura)
=−= ab VVV
3F328 – 1S2020
Ponto essencial
Para resolver um circuito de corrente contínua, é preciso entender se 
as cargas estão ganhando ou perdendo energia potencial elétrica 
quando passam através dos elementos do circuito.
~ 
4F328 – 1S2020
Circuito de malha única
Em um intervalo de tempo dt:
• A equação de potência (P = Ri2) estabelece que uma energia térmica aparece no 
resistor do circuito:
• Uma carga dq=idt se move através da bateria B, e o trabalho realizado sobre a 
carga é:
Através da energia
,
potencial
mais alto
potencial 
mais baixo
dtRiPdtdU 2==
dtidqdW  ==
R
i

=
cuja unidade é o ampère (A).
RidtiRdti ==  2
Do princípio de conservação da energia temos:
5F328 – 1S2020
Leis de Kirchhoff - Malha
• Malha: Percurso fechado em um circuito 
• Lei das malhas: A soma algébrica das diferenças de potencial é 
nula em uma malha 
• Não há acúmulo ou destruição de 
energia potencial em uma malha
• Convenção: 
• Ganho de energia: positivo
• Perda de energia: negativo
0= V
0=−+ Ri
Iniciando no ponto a:
Lei das Malhas  Conservação de Energia
6F328 – 1S2020
Circuito de malha única
potencial
mais alto
potencial 
mais baixo
Regra das malhas de Kirchhoff:
A soma algébrica das variações de potencial encontradas ao longo de um caminho 
fechado qualquer de um circuito deve ser nula.
Através do potencial
0=−=−+ iRViRV aa 
Partindo do ponto a no sentido da corrente:
R
i

=
No caso de uma fonte real (com resistência interna r):
Rr
i
+
=

0=−− iRir
ii
7F328 – 1S2020
Associação de resistores em série
( ) iRVRRiiRiRV eq=+=+= 2121
Comparando:
21 RRReq +=
i i
V
i
V
Associação em série:
• A mesma corrente passa através dos resistores
• A soma das diferenças de potencial entre as extremidades de cada 
resistor é igual à diferença total de potencial aplicado
=+++=
i
ieq RRRRR ...321
Para três ou mais resistores em série:
8F328 – 1S2020
Lei dos Nós  Conservação de Carga
Leis de Kirchhoff : Nós
• Nó: Ponto do circuito onde três fios ou mais se encontram
• Lei dos nós: A soma algébrica das correntes é nula em um nó
• Não há acúmulo ou destruição de carga em um nó
• Convenção: 
• Corrente entrando: positivo
• Corrente saindo: negativo
0= i i2
i1
i
V
021 =−−+ iiiNó a: 
9F328 – 1S2020
Associação de resistores em paralelo
i
V
2
2
1
1 ,
R
V
i
R
V
i ==
Comparando:
21
111
RRReq
+=
eqR
V
i
RR
Viii =





+=+=
21
21
11
i2
i1
i
V
Associação em paralelo:
• Mesma diferença de potencial para cada resistor
• A soma das correntes passando através de cada resistor é igual à 
corrente total
=+++=
i ieq RRRRR
1
...
1111
321
Para três ou mais resistores em paralelo:
10F328 – 1S2020
Estratégia de resolução: resistores 
Etapas:
• Desenhar o circuito colocando em 
evidência as associações
• Série: R uma depois da outra
• Paralelo: Separação da corrente
• Pode deslocar uma junção de 
fios ao longo de um fio
• Calcular a Req da associação menor
• Desenhar o novo circuito
• Calcular a Req da associação menor
… até obter somente uma Req
11F328 – 1S2020
Aplicação das Leis de Kirchhoff
Fonte

A B
• de A a B: ΔV = –ε (perda)
• de B a A: ΔV = +ε (ganho)
Capacitor
A B
C
+ -
• de A a B: ΔV = -q/C (perda)
• de B a A: ΔV = +q/C (ganho)
Resistor
A B
R
i
• de A a B: ΔV = -Ri (perda)
• de B a A: ΔV = +Ri (ganho)
12F328 – 1S2020
Estratégia de resolução: várias malhas
Etapas:
• Identificar os nós 
• Identificar cada malha
• Atribuir uma corrente ii em um sentido
hipotético
• Escrever a lei dos nós para n-1 nós
• Escrever a lei das malhas passando ao menos uma vez por 
ramo (em sentido arbitrário)
• Resolver o sistemade equações
• Se uma corrente é negativa, seu sentido no circuito é
oposto ao suposto
Verificação:
• A soma das potências fornecidas pelas fontes deve ser igual à 
soma das potências dissipadas nos resistores
 = 2Rii
13F328 – 1S2020
• Duas malhas: (I) e (II)
• Dois nós: a e b
• Queremos encontrar 𝑖1, 𝑖2, 𝑖3
• Nó a: 
⟹ 𝑖1 + 𝑖2 = 𝑖3 (1)
• Malha (I): sentido anti-horário a partir de a
⟹+𝑅1𝑖1 − 𝜀1 + 𝑅1𝑖1 + 𝜀2 + 𝑅2𝑖3 = 0 (2)
• Malha (II): sentido horário a partir de a
⟹+𝑅1𝑖2 − 𝜀3 + 𝑅1𝑖2 + 𝜀2 + 𝑅2𝑖3 = 0 (3)
Exemplo: Circuito de várias malhas - Geral
14F328 – 1S2020
Solução – Caso particular
Sinal negativo de i1 e i3 : 
Sentido real dessas correntes é 
contrário ao indicado na figura
𝜀1 = 3 V, 𝜀2 = 𝜀3 = 6 V
𝑅1 = 2 Ω, 𝑅2 = 4 Ω
321 ,,Calcular iii
Sejam:
Resolvendo (1), (2) e (3) teremos:
𝑖1 = −0,5 A
𝑖2 = 0,25 A
𝑖3 = −0,25 A
Nó a: ⟹ 𝑖1 + 𝑖2 = 𝑖3 (1)
Malha (I): sentido anti-horário a partir de a
⟹+𝑅1𝑖1 − 𝜀1 + 𝑅1𝑖1 + 𝜀2 + 𝑅2𝑖3 = 0
⟹ 2𝑅1𝑖1 + 𝑅2𝑖3 = 𝜀1 − 𝜀2
⟹ 4𝑖1 + 4𝑖3 = −3 (2)
Malha (II): sentido horário a partir de a
⟹+𝑅1𝑖2 − 𝜀3 + 𝑅1𝑖2 + 𝜀2 + 𝑅2𝑖3 = 0
⟹ 2𝑅1𝑖2 + 𝑅2𝑖3 = 𝜀3 − 𝜀2
⟹ 4𝑖2 + 4𝑖3 = 0 (3)
15F328 – 1S2020
Amperímetros e voltímetros
)( 21 RRrRA ++
Na prática, um único instrumento (multímetro) realiza as 
duas medidas anteriores, além de medida das resistências.
Amperímetro:
• Instrumento usado para medir corrente elétrica
• Sempre colocado em série no circuito onde se quer 
medir a corrente
• Para que a resistência do amperímetro (RA) não altere
o valor da corrente a ser medida:
1
RR
V

Voltímetro:
• Instrumento usado para medir diferença de potencial
• Sempre colocado em paralelo com o trecho onde se quer medir a diferença de 
potencial
• Para que a resistência do voltímetro (RV) não altere o valor da diferença de 
potencial a ser medida:
16F328 – 1S2020
Questão 1
17F328 – 1S2020
Circuito RC
Estes efeitos são úteis para controle do 
funcionamento de máquinas e motores
i
Circuitos RC:
• São circuitos contendo resistores e capacitores
• Correntes e potenciais variam com o tempo
• Apesar das fontes (fem) que alimentam
estes circuitos serem independentes do 
tempo, ocorrem efeitos dependentes do
tempo com a introdução de capacitores
18F328 – 1S2020
Carga de um capacitor
Chave S fechada em t = 0:
• A carga inicial do capacitor é nula
• Assim que S se fecha, surge uma corrente dependente do tempo
no circuito
• Essa corrente realiza o processo de carga do capacitor
i(t)
t ¹ 0 Þ q (t)
t = 0 Þ q (0) = 0
19F328 – 1S2020
Carga de um capacitor
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
𝜀
𝑅
−
𝑞
𝑅𝐶
⇒
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
𝐶𝜀
𝑅𝐶
−
𝑞
𝑅𝐶
= −
𝑞 − 𝐶𝜀
𝑅𝐶
𝑞(𝑡) = 𝐶𝜀(1 − 𝑒−𝑡/𝑅𝐶)
𝑞(𝑡) = 𝑄𝑓(1 − 𝑒
−𝑡/𝑅𝐶)
onde: 𝑄𝑓 ≡ 𝐶𝜀 é a carga final do capacitor
න
0
𝑞
𝑑𝑞
𝑞 − 𝐶𝜀
= −
1
𝑅𝐶
න
0
𝑡
𝑑𝑡 ⇔ ln
𝑞 − 𝐶𝜀
−𝐶𝜀
= −
𝑡
𝑅𝐶
⇒ 𝑞 − 𝐶𝜀 = −𝐶𝜀𝑒−𝑡/𝑅𝐶
(faz-se 𝑢 = 𝑞 − 𝐶𝜀 ∴ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑞)
Resolver este circuito é encontrar a expressão da 
corrente i(t) que satisfaça à equação da malha:
𝜀 −
𝑞
𝐶
− 𝑖𝑅 = 0 onde 𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
i
20F328 – 1S2020
Carga de um capacitor - Corrente
RCtRCtRCt eie
R
e
RC
Cti /
0
//1)( −−− ==





=


Observe que a corrente tem valor inicial igual a /R e decresce até zero, quando o 
capacitor se torna completamente carregado.
Um capacitor em processo de carga, inicialmente (em t = 0) funciona como um 
fio de ligação comum em relação à corrente de carga.
Decorrido um longo tempo, ele funciona como um fio rompido.
e
dt
dq
i =;)1()( / RCteCtq −−= 
é a corrente inicialonde:
R
i

=
0
0)(,)(
)0(,0)0(0
===
===
iCqt
R
iqt


21F328 – 1S2020
Circuito RC - Constante de tempo
RC=
O produto RC que aparece nas expressões de q(t) e i(t) tem 
dimensão de tempo e é a chamada constante de tempo capacitiva
do circuito RC:
R
tiCtqRCt

 37,0)(e63,0)( ===Se:
i q )1()( / RCteCtq −−= RCte
R
ti /)( −=

22F328 – 1S2020
Questão 2
23F328 – 1S2020
Carregar um capacitor - Exemplo
http://ngsir.netfirms.com/englishhtm/RC_dc.htm
(carga de um capacitor)
24F328 – 1S2020
http://ngsir.netfirms.com/englishhtm/RC_dc.htm
Descarga de um capacitor
. 
i
Chave S fechada em t = 0
• A carga inicial do capacitor é Q
• O capacitor vai se descarregar através de R
• Como variam agora q(t) e i(t) no circuito?
)(0 tqt 
Qqt == )0(0
25F328 – 1S2020
0=+−
C
q
Ri
Lei das malhas: 
Cujas soluções são:
RC
Q
iei
dt
dq
ti
Qetq
RC
t
RC
t
=−=
=
−
−
00 ;)(
)(
Na descarga, tanto a carga como a corrente diminuem exponencialmente 
com o tempo.
0)(;0)(
)0(;)0(0 0
===
===
iqt
iiQqt
i
dt
dq
i −= 0=+
C
q
dt
dq
RComo: 
0=+−
C
q
Ri
Descarga de um capacitor
26F328 – 1S2020
R: 𝑈 =
𝑞0
2
2𝐶
Por quê? Reobtenha esta resposta integrando 𝑑𝑈 = 𝑅𝑖2𝑑𝑡
Exemplo
Um capacitor de capacitância C está descarregando através de uma resistência R. 
a) Após 4 constantes de tempo (𝑡 = 4𝑅𝐶), qual a porcentagem de carga que ainda 
resta no capacitor em relação ao seu valor de carga inicial ?
b) Em que instante a energia armazenada no capacitor será igual a ¼ do seu 
valor inicial ?
c) Qual é a energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor?
i
27
𝑞 𝑡 = 𝑞0𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶 ⇒ 𝑞 4𝑅𝐶 = 𝑞0𝑒
−4 = 0,018𝑞0
Ou seja, após 4𝑅𝐶, resta 1,8% da carga original.
𝑈(𝑡) =
𝑞(𝑡)2
2𝐶
=
(𝑞0𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶)2
2𝐶
=
𝑞0
2𝑒
−
2𝑡
𝑅𝐶
2𝐶
, mas 𝑈(0) =
𝑞0
2
2𝐶
𝑈(𝑡) =
1
4
𝑈(0) ⇒
𝑞0
2𝑒
−
2𝑡
𝑅𝐶
2𝐶
=
1
4
𝑞0
2
2𝐶
⇒ 𝑒−
2𝑡
𝑅𝐶= 
1
4
⇒ 𝑒
𝑡
𝑅𝐶 = 2 ⇒ 𝑡 = 𝑅𝐶 ln 2
F328 – 1S2020
Desafio: Resolver o circuito abaixo
28F328 – 1S2020
Resumo
• Fonte
• Mantém uma diferença de potencial
• Associação de resistores
• Em série
• Leis de Kirchhoff
• Lei dos nós
• Circuitos RC
• Carga
=
i
ieq RR =
i ieq RR
11
• Em paralelo
0= V0= i
• Lei das malhas
-

+r

-+
Ideal Real
)1()( / RCteCtq −−=  RC
t
Qetq
−
=)(
• Descarga
29F328 – 1S2020
Informações Complementares
Aulas gravadas:
JA Roversi Youtube (Prof. Roversi) 
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
F328 – 1S2020 30
Aula 07
O campo magnético
F328: Física Geral III 
1º semestre, 2020
Diferenças campos magnéticos e elétricos
Campo elétrico E → Eletrostático
• Devido a cargas elétricas*
• Carga isolada
• Linhas de campo da carga + para a carga –
Campo magnético B → Magnetostático
• Devido a correntes elétricas*
• Pares de polos (norte e sul)
• Linhas de campo do norte até o sul (fechadas)
Nunca foram observados
monopolos magnéticos! 
Quando se quebra um imã, cada 
uma das partes sempre tem 
dois novos polos
2
* Obs: Campos elétricos 
(magnéticos) também podem ser 
produzidos por campos magnéticos 
(elétricos) variáveis no tempo.
F328 – 1S2020
Século V AC ( - China) e há mais de 2200 anos na Grécia:
• Existência de um certo tipo de pedra (hoje chamada de magnetita) que 
atraía pedaços de ferro (limalhas).
Século I AC, primeiros usos do imã como precursor da Bússola:
1269 (Pierre de Maricourt):
• Descoberta que uma agulha liberada em vários pontos sobre um imã 
natural esférico orientava-se ao longo de linhas que passavam através 
de pontos nas extremidades diametralmente opostas da esfera 
• Ele chamou esses pontos de polos do ímã .
Atração - Repulsão
Verificações experimentais que todos os ímãs de qualquer formato 
possuíam dois polos, chamados de polos norte e sul.
• Polos iguais de dois ímãs se repelem e polos diferentes se atraem 
mutuamente
Desenvolvimento histórico
F328 – 1S2020 3
1600 (William Gilbert):
• Descoberta que a Terra era um ímã natural com polos magnéticos 
próximos aos polos norte e sul geográficos.
• Uma vez que o polo norte de uma agulha imantada de uma bússola 
aponta na direção do polo sul de um ímã, o que é denominado polo 
norte da Terra, é na realidade, um polo sul magnético.
Desenvolvimento histórico
4F328 – 1S2020
Campo magnético
5
(Naverdade, 𝐵 se chama vetor indução magnética)
Linhas de campo Magnético (similar ao elétrico) 
• Não são reais
• Direção do campo tangente à linha
• Intensidade do campo ≈ densidade de linhas 
• Não podem se cruzar
Linhas de campo Magnético (diferente do elétrico) 
• Sempre formam ciclos fechados entre os polos:
• No exterior: vão do polo norte ao polo sul
• No material magnético: vão do sul ao norte
Unidades 
• SI: Tesla (T) 
• Outra unidade usual (não SI): Gauss (G)
T º
Ns
Cm
=
N
A.m
1 T = 10000 G
F328 – 1S2020
Força magnética
6
A existência de um campo magnético em uma dada região pode ser 
demonstrada com uma agulha de bússola. Quando uma partícula 
carregada com carga q e velocidade Ԧ𝑣 entra em uma região onde 
existe um campo magnético 𝐵:
na direção indicada pela agulha da bússola 
(direção do campo magnético)
ela não sofre desvio em sua trajetória;
quando a sua trajetória faz um ângulo 𝜃
qualquer com a orientação da agulha da 
bússola
ela é desviada transversalmente sob ação de 
uma força magnética que é proporcional à 
carga da partícula, à sua velocidade.
F328 – 1S2020
Experimentalmente o desvio transversal da trajetória sob ação 
de uma força magnética é proporcional à carga q da partícula, à 
sua velocidade v , à intensidade do campo magnético B e ao seno 
do ângulo entre a direção da velocidade da partícula e a direção do 
campo é dado por:
Força magnética
7
Surpreendente ainda é o fato de que esta força é perpendicular
tanto à velocidade quanto ao campo magnético.
Ԧ𝐹𝐵 = 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵Vetorialmente:
Definição do vetor indução magnética 𝐵:
𝐹𝐵 = 𝑞𝑣𝐵 sin 𝜃
F328 – 1S2020
v

BF

B

v

B

BF

BF

BF

B

v

v

Regra da mão direita
BF

B

v

Força magnética
8
Módulo de FB: 𝐹𝐵 = 𝑞 𝑣𝐵 sin 𝜃
Módulo do vetor indução magnética:
𝐵 =
𝐹𝐵
𝑞 𝑣 sin 𝜃
F328 – 1S2020
Trabalho feito pela força magnética
9
Trabalho feito por Ԧ𝐹𝐵:
Trabalho feito por Ԧ𝐹𝐵 é nulo 
Não há variação do módulo de Ԧ𝑣
Ԧ𝐹𝐵 altera somente a direção de propagação da partícula
Força sobre a partícula de carga q: Ԧ𝐹𝐵 = 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵
F328 – 1S2020
( )Bv

⊥
Movimento de uma partícula carregada em um 
campo magnético uniforme
10
BF

BF

BF

B

v

v

v

Se 𝐵 =constanteComo Ԧ𝐹𝐵 ⊥ Ԧ𝑣 MCU 
O período T do movimento circular é o 
tempo para se percorrer uma volta:
𝑇 =
2𝜋𝑟
𝑣
=
2𝜋
𝑣
𝑚𝑣
𝑞𝐵
=
2𝜋𝑚
𝑞𝐵
𝑇 e 𝑓 são independentes de 𝑣.Elétrons num campo magnético
Frequência de cíclotron:
𝑓 =
1
𝑇
=
𝑞𝐵
2𝜋𝑚
𝜔 = 2𝜋𝑓 =
𝑞𝐵
𝑚
Movimento circular de raio r:
𝐹𝐵 = 𝑚𝑎𝑐 𝑟 =
𝑚𝑣
𝑞𝐵
𝑞𝑣𝐵 = 𝑚
𝑣2
𝑟
F328 – 1S2020
Movimento de uma partícula carregada em um 
cíclotron: Variação da Energia Cinética
11
Mudança de velocidade/energia:
𝑞𝑉 = ∆𝐸𝑐 =
𝑚
2
𝑣𝑁
2 − 𝑣𝑁−1
2 ⇒
𝑣𝑁 = 𝑣𝑁−1
2 +
2𝑞𝑉
𝑚
= 𝑣0
2 + 𝑁
2𝑞𝑉
𝑚
Movimentos semicirculares de raios 𝑟𝑁.
Tensão alternada de alta frequência: A
sincronização permite alteração da energia 
de uma partícula carregada no interior de B.
Mas 𝑟 =
𝑚𝑣
𝑞𝐵
portanto 
(para 𝑣0 = 0):
𝑟𝑁 = 𝑁
2𝑚𝑉
𝑞𝐵2
T e f são independentes de v.
𝑓 =
1
𝑇
=
𝑞𝐵
2𝜋𝑚
⇒ 𝜔 = 2𝜋𝑓 =
𝑞𝐵
𝑚
F328 – 1S2020
B

( )Bv

⊥
(em relação a 𝐵)⊥+= vvv

||Velocidade:
⊥v

Movimento circular
||v

Constante (força magnética nula) 
Resultado: Trajetória helicoidal da partícula
Passo:
Bq
m
vTvd
2
|||| ==
Movimento de uma partícula carregada em um 
campo magnético uniforme
12F328 – 1S2020
Garrafa Magnética:
Quando uma partícula carregada se
move em espiral em um campo
magnético não uniforme, que é
mais forte em ambas as
extremidades e mais fraco no meio,
ela fica aprisionada e se desloca
para frente e para trás em uma
trajetória espiral em torno das
linhas de campo.
Desta maneira, elétrons e prótons ficam 
aprisionados pelo campo magnético terrestre não-
uniforme, formando os cinturões de radiação de
Van Allen. Cinturões de radiação 
de Van Allen
Movimento de uma partícula carregada em um 
campo magnético não uniforme
13
https://i.stack.imgur.com/y45wc.jpg
F328 – 1S2020
Que força age sobre uma carga que está numa região onde 
existem um campo elétrico e um campo magnético?
Força total = soma das forças elétrica e magnética
Ԧ𝐹 = 𝑞𝐸 + 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵Força de Lorentz:
• Filtro de velocidades
• Espectrômetro de massa
• Efeito Hall
Aplicações
Força de Lorentz
14F328 – 1S2020
qvBqE =
Filtro de velocidades
• Região do espaço com
• Equilíbrio entre as duas forças
(a partícula não sofre desvio) se: 
EB

⊥
B
E
v =Velocidade das partículas saindo
• Filtro de velocidades (E, B1) seguido de apenas 
um campo magnético B2
• Separa as partículas carregadas segundo m/|q|
Espectrômetro de massa
r
E
BB
q
m 21
||
=
1B

2B

(separação de isótopos)
Combinação de campos elétricos e magnéticos
15F328 – 1S2020
Um condutor achatado que é:
• Atravessado por uma corrente i na direção x
• Sob a ação de um campo magnético na direção y
Efeito Hall
16
i
dv

dv

B

B

BF

BF

l
i
Acúmulo 
de cargas
acima
Medida da 
diferença de potencial VH
criada (direção z)
Informação sobre i
(sinal e densidade volumétrica 
dos portadores de i) 
VH
F328 – 1S2020
Efeito Hall
17
Portadores negativos:
movendo-se para a esquerda
acumulando-se acima
VH negativa
A corrente i pode ser devida tanto a: 
B

i i
B

i i
Portadores positivos:
movendo-se para direita
acumulando-se acima
VH positiva
HEdB qEFBqvF === Hd EBv =
Os portadores são desviados para cima ( Ԧ𝐹𝐵), criando um campo elétrico. Depois de 
um momento, há equilíbrio das forças magnéticas e elétricas: 
F328 – 1S2020
Efeito Hall
18
Medindo-se a ddp de Hall (VH), pode-se determinar o sinal e a 
densidade volumétrica dos portadores da corrente.
Hd EBv =dnqvJ =• Densidade de corrente: • Equilíbrio das forças:
qldE
iB
qAE
iB
qE
JB
n
H
H
H
=
=
=
(A= ld) 
qlV
iB
n
H
=
Densidade volumétrica n:
F328 – 1S2020
Por uma placa de prata com espessura de 1 mm passa uma corrente de 2,5 A em 
uma região na qual existe campo magnético uniforme de módulo 1,25 T 
perpendicular à mesma. A tensão Hall é medida como 0,334 μV. Calcule:
a) a densidade de portadores;
b) compare a resposta anterior com a densidade de átomos na prata, que possui 
uma massa específica ρ = 10,5 g/cm3 e massa molar M = 107,9 g/mol.
Solução:
a)
328
719
elétrons/m1085,5
)m001,0)(V1034,3)(C106,1(
)T25,1)(A5,2(
=

==
−−lqV
iB
n
H
b)
na = r
NA
M
= (10,5g/cm3)
6,02 ´1023átomos/mol
107,9 g/mol
= 5,86 ´1028átomos/m3
na = (5,85 + 0,01)´10
28átomos/m3
Esses resultados indicam que o número de portadores de carga na 
prata é muito próximo de um por átomo.
Exemplo
19F328 – 1S2020
BlidFdB
dt
ld
idtBvdqFd



=







==
Corrente = fluxo de cargas, então:
A força sobre o fio é:
Ԧ𝐹 = න
𝑓𝑖𝑜
𝑑 Ԧ𝐹 = න
𝑓𝑖𝑜
𝑖𝑑Ԧ𝑙 × 𝐵
senBdlidF =A força infinitesimal pode ser escrita como:
onde θ é o ângulo entre a direção do segmento do fio
(direção da corrente) e a direção do campo magnético B
l



d
B



d
dq
i v

Força magnética sobre um fio com corrente
Para fios finitos e 𝐵 uniforme: BLiF

=
Num caminho fechado:
se 𝐵 é uniforme Ԧ𝐹 = 0
20F328 – 1S2020
R
Um fio curvo na forma de uma espira semicircular 
de raio R está em repouso no plano xy. Por ele 
passa uma corrente i de um ponto a até um ponto 
b, como mostra a figura. Existe um campo 
magnético uniforme 𝐵 = 𝐵෠𝑘 , perpendicular ao 
plano da espira. Encontre a força que atua sobre a 
parte do fio na forma de espira semicircular.
y
x
z
B

i
a
b
BlidFd

=
As componentes de 𝑑 Ԧ𝐹 paralelas ao eixo x
cancelam-se. Então:
𝐹 = 𝐹𝑦 = න
0
𝜋
𝑖 𝑑𝑙𝐵sen𝛼 = න
0
𝜋
𝑖𝐵𝑅sen𝛼𝑑𝛼 = 2𝑖𝐵𝑅
yiBRF ˆ2=

Vetorialmente:
x
y
iBRdiBRBdliFF y 2sensen
00
==== 


B

b a
Exemplo 2
21
𝛼
F328 – 1S2020
• Uma espira transportandouma corrente 
em um campo magnético uniforme sofre 
a ação de um torque que tende a girá-la. 
• As forças Ԧ𝐹1 e Ԧ𝐹3 formam um binário, de 
tal modo que o torque é o mesmo em 
torno de qualquer ponto. 
Temos:
A força líquida sobre a espira é nula
Torque em espira com corrente
22
4F

B
i
1F

2F

3F

A

B



3F

1F

A

Ԧ𝐹1 = − Ԧ𝐹3
Ԧ𝐹2 = − Ԧ𝐹4
F328 – 1S2020



sen
sen
sen
2
2 1
NiAB
iaBb
a
F
=
=
=
A ab
N
=


Torque em relação ao ponto O
voltas
Momento de dipolo magnético da espira
nNiAμ ˆ=

Bμτ

=
Torque em espira com corrente
23
4F

B
i
1F

2F

3F

A

B



3F

1F

A

F328 – 1S2020
Quando um dipolo magnético gira de um ângulo 𝑑𝜃 a partir de 
uma dada orientação num campo magnético, um trabalho dW é 
realizado sobre o dipolo pelo campo magnético:
Energia potencial de um dipolo magnético em 
um campo magnético
Tomando 𝜃0 = 𝜋/2 , 
teremos que 𝑈0 = 𝜇𝐵 cos 𝜃0 = 0, 
portanto:
24
𝑑𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝜏𝑑𝜃 = 𝜇𝐵 sin 𝜃 𝑑𝜃
𝑑𝑈 = 𝑑𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝜇𝐵 sin 𝜃 𝑑𝜃
∴ 𝑈 − 𝑈0 = −𝜇𝐵(cos 𝜃 − cos 𝜃0)
𝑈 = −𝜇𝐵 cos 𝜃 = − Ԧ𝜇 ∙ 𝐵
F328 – 1S2020
Em um enrolamento quadrado de 12 
voltas, de lado igual a 40 cm, passa uma 
corrente de 3 A. Ele repousa no plano xy
na presença de um campo magnético 
uniforme . 
Encontre:
a) O momento dipolo magnético do 
enrolamento;
b) O torque exercido sobre o enrolamento;
c) A energia potencial do enrolamento. 
kiB ˆT4,0ˆT3,0 +=

a) kkkNiA ˆA.m76,5ˆ)m4,0)(A3)(12(ˆ 222 ===

b) jkikB ˆN.m73,1)ˆT4,0ˆ T3,0()ˆA.m76,5( 2 =+==


c) J30,2)ˆT4,0ˆT3,0).(ˆA.m76,5(. 2 −=+−=−= kikBU


Exemplo 3
25F328 – 1S2020
Resumo
• Força magnética:
• Movimento das partículas carregadas num campo magnético 
uniforme
• Espira com corrente:
BvqFB

=
BLiFB

=
)( BvEqF

+=
Sobre uma carga
Sobre um fio com corrente
Força de Lorentz
( )Bv

⊥( )Bv

⊥ Circular Helicoidal
Bμτ

=Torque nNiAμ ˆ=
Momento 
de dipolo
26F328 – 1S2020
Informações Complementares
Aulas gravadas:
JA Roversi Youtube (Prof. Roversi) 
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
F328 – 1S2020 27
Aula 08
Campos magnéticos produzidos por 
correntes
F328: Física Geral III 
1º semestre, 2020
Bússolas: fio retilíneo longo com corrente i
2
No entorno de um fio longo, transportando uma corrente i, 
observa-se orientação muito particular das bússolas:
As orientações das bússolas formam círculos fechados centrados 
em i.
Corrente i
“entrando” no papel
iB

i
i=0
bússolas
TerraB

Terrai BB


F328 – 1S2020
Para uma carga q, com velocidade Ԧ𝑣, verifica-se (exp.) que o campo 
magnético:
Campo magnético: carga em movimento
3
𝐵 é perpendicular ao plano S
definido pelo vetor Ԧ𝑣 × Ԧ𝑟
Vetorialmente:
onde:
Define-se: (permeabilidade do vácuo)𝜇0 = 4𝜋 × 10
−7
T ⋅ m
A
q
S
𝐵 ∝ 𝑞, 𝑣,
1
𝑟2
, sen(Ԧ𝑟∠ Ԧ𝑣)
𝐵 = 𝑘𝑚
𝑞 Ԧ𝑣 × Ƹ𝑟
𝑟2
, 𝑘𝑚 =
𝜇0
4𝜋
= 10−7 T.m/A
F328 – 1S2020
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑Ԧ𝑙 × Ƹ𝑟
𝑟2
=
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑Ԧ𝑙 × Ԧ𝑟
𝑟3
,
𝑑Ԧ𝑙: elemento de comprimento sobre a linha de corrente
Ԧ𝑟 : vetor que vai de 𝑑Ԧ𝑙 até o ponto P ; 𝜇0 = 4𝜋 × 10
−7 T ⋅ m/A
Campo magnético: corrente elétrica 
4
P
Para um fio percorrido por uma corrente estacionária i, verifica-se 
que o campo magnético em um ponto P é dado por:
Lei de Biot-Savart
𝑖𝑑Ԧ𝑙 =
𝑑𝑞𝑑Ԧ𝑙
𝑑𝑡
= 𝑑𝑞 Ԧ𝑣 ⇒ 𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑑𝑞 Ԧ𝑣 × Ƹ𝑟
𝑟2
Note que:
#
Note que:
#
#
F328 – 1S2020
Lei de Biot-Savart 𝑑𝐵 =
𝜇𝑜
4𝜋
𝑖𝑑Ԧ𝑙 × Ԧ𝑟
𝑟3
sen𝛽 =
𝑅
𝑟
⇒ 𝑟2 = 𝑅2cosec2𝛽
cotg𝛽 =
𝑧
𝑅
⇒ 𝑑𝑧 = −𝑅cosec2𝛽𝑑𝛽
mas:
𝑑𝐵 =
𝜇𝑜
4𝜋
𝑖 𝑑𝑧sen𝜃
𝑟2
=
𝜇𝑜𝑖
4𝜋
𝑑𝑧sen𝛽
𝑟2
( )  sensen- ==
r

ld

Bd

z
i
𝐵 =
𝜇0𝑖
4𝜋𝑅
cos 𝛽 𝜋
0 =
𝜇0𝑖
2𝜋𝑅
Campo magnético: fio retilíneo longo 
Sentido do campo : regra da mão direita (ver figura)B

i
B



sen
1
cosec =
𝐵 =
−𝜇0𝑖
4𝜋𝑅
න
𝜋
0
sen𝛽𝑑𝛽
5F328 – 1S2020
Questão 1
66F328 – 1S2020
i
B

Campo magnético: fio retilíneo longo 
7
As linhas de campo magnético permitem visualizar a 
configuração do campo magnético de uma dada distribuição 
de correntes no espaço. 
No entorno de um fio longo, transportando uma corrente i, 
elas são circulares:
Observe que as linhas de são fechadas.iB

i
ld

i=0
iB

bússolas
TerraB

Terrai BB


iB

Corrente i
“entrando” no papel
F328 – 1S2020
Força entre dois fios condutores paralelos 
8
𝑑 Ԧ𝐹𝑏𝑎 = 𝑖𝑏𝑑Ԧ𝑙𝑏 × 𝐵𝑎 =
𝜇0𝑖𝑎𝑖𝑏
2𝜋𝑑
𝑑Ԧ𝑙𝑏 × Ƹ𝑒𝜙 =
𝜇0𝑖𝑎𝑖𝑏
2𝜋𝑑
𝑑𝑙𝑏(− Ƹ𝑟)
O fio b, na presença de 𝐵𝑎, fica sujeito a uma força dada por:
Esta expressão possibilita a definição do ampère:
(de atração)
A força sobre um comprimento Lb do fio b vale:
𝐹𝑏𝑎
𝐿𝑏
=
𝜇0𝑖𝑎𝑖𝑏
2𝜋𝑑
Ԧ𝐹𝑏𝑎 =
𝜇0𝑖𝑎𝑖𝑏𝐿𝑏
2𝜋𝑑
(− Ƹ𝑟) ou:
(módulo da força por unidade de comprimento)
A corrente do fio a gera um campo 𝐵𝑎 na posição do fio b:
𝐵𝑎 =
𝜇0𝑖𝑎
2𝜋𝑑
Ƹ𝑒𝜙𝐵𝑎 = න
𝑓𝑖𝑜𝑎
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑎𝑑Ԧ𝑙𝑎 × Ƹ𝑟
𝑟2
F328 – 1S2020
1A = corrente constante que produz uma força atrativa de 2×10−7 N 
por metro entre dois fios longos, paralelos, retilíneos, separados pela 
distância de um metro, no vácuo.
x
z
y
Questão 2
9F328 – 1S2020
Campo magnético: arco circular 
10
1) Calcular o campo magnético no ponto O.
2) Para os segmentos AA’ e CC’ da figura, 𝑑Ԧ𝑙 × Ԧ𝑟
é nulo (vetores paralelos e antiparalelos).
3) No arco AC, 𝑑Ԧ𝑙 e Ԧ𝑟 são perpendiculares.
𝐵 =
𝜇0𝑖𝜙
4𝜋𝑅
i
i
ld
r̂
𝜙
𝜙: ângulo central definido pelo arco
Se: 𝜙 = 2𝜋 𝐵 =
𝜇0𝑖
2𝑅
; campo no centro de uma espira
𝐵 =
𝜇0𝑖
4𝜋
න
𝐴
𝐶
𝑑𝑙
𝑅2
=
𝜇0𝑖
4𝜋𝑅
න
0
𝜙
𝑑𝜙 =
𝜇0𝑖𝜙
4𝜋𝑅
; 𝑑𝑙 = 𝑅𝑑𝜙

B

34 r
rlid
Bd o
 
=


F328 – 1S2020
Campo magnético: espira
11
⊥Bd

⊥+= BdBdzBd

||)(
)90(sen
4
0
2
0
r
dli
dB


=
22
222 cose
zR
R
r
R
zRr
+
==+= 
Como a soma vetorial dos se anula:
Usaremos a lei de Biot-Savart para calcular
em pontos do eixo central da espira.
B

Substituindo essas três relações na integral de B(z) tem-se:
2/322
2
0
)(2
)(
zR
Ri
zB
+
=

 ++
==
espira
dl
zRzR
iR
dBzB
2/12222
0
||
))((4
)(


 == cos)( || dBBdzB
𝑑𝐵 =
𝜇𝑜
4𝜋
𝑖𝑑Ԧ𝑙 × Ԧ𝑟
𝑟3
F328 – 1S2020
Campo magnético: espira
12
𝐵(𝑧) =
𝜇0𝑖𝑅
2
2(𝑅2 + 𝑧2)3/2
𝐵(𝑧) ≈
𝜇0𝑖𝑅
2
2𝑧3
Rz Para pontos afastados :
Como 𝐴 = 𝜋𝑅2 : área da espira 
Ԧ𝜇 = 𝑖𝐴ො𝑛 : momento de dipolo magnético
𝐵 𝑧 =
𝜇0
2𝜋
𝑖𝐴
𝑧3
⟹ 𝐵 𝑧 =
𝜇0
2𝜋
Ԧ𝜇
𝑧3
Vimos que:
i
(a espira se comporta como um ímã – ver semelhança das linhas) *

B

*
R
z
F328 – 1S2020
Campo magnético: integral de linha
13
Vamos calcular a integral de linha 
ao longo da curva C (veja a 
figura) do campo magnético 
𝐵 produzido por um fio retilíneo 
longo (saindo da página) 
percorrido por uma corrente i :
𝐼𝐶 = ර
𝐶
𝐵 ⋅ 𝑑Ԧ𝑙
ර
𝐶
𝐵𝑑𝑙 cos 𝜃 = ර𝐵 𝑟 𝑑𝜑 = ර
𝜇0𝑖
2𝜋𝑟
𝑟𝑑𝜑 =
𝜇0𝑖
2𝜋
ර𝑑𝜑 = 𝜇0𝑖
13
Como: ቐ
𝐵 ⋅ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝐵𝑑𝑙 cos 𝜃 onde 𝑑𝑙 cos 𝜃 = 𝑟𝑑𝜑
𝐵 =
𝜇0𝑖
2𝜋𝑟
F328 – 1S2020
Campo magnético: integral de linha 
14
Vamos calcular agora a integral 
de linha ao longo da curva C
(veja a figura) do campo 
magnético 𝐵 produzido pela 
corrente i fora da curva C:
14
൞
𝐵 ⋅ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝐵𝑑𝑙 cos 𝜃
𝐵 =
𝜇0𝑖
2𝜋𝑟
൝
𝑑𝑙𝑖,1 cos 𝜃𝑖,1 = 𝑟𝑖,1𝑑𝜑𝑖
𝑑𝑙𝑖,2 cos 𝜃𝑖,2 = −𝑟𝑖,2𝑑𝜑𝑖
ර
𝐶
𝐵𝑑𝑙 cos 𝜃 =෍
𝑖
(𝐵𝑖,2 𝑑𝑙𝑖,2 cos 𝜃𝑖,2 + 𝐵𝑖,1𝑑𝑙𝑖,1 cos 𝜃𝑖,1)
=෍
𝑖
(𝐵𝑖,1 𝑟𝑖,1𝑑𝜑𝑖 − 𝐵𝑖,2𝑟𝑖,2𝑑𝜑𝑖) =෍
𝑖
(
𝜇0𝑖
2𝜋𝑟𝑖,1
𝑟𝑖,1 −
𝜇0𝑖
2𝜋𝑟𝑖,2
𝑟𝑖,2)𝑑𝜑𝑖 = 0
F328 – 1S2020
Lei de Ampère
15
A lei de Ampère é geral, mas sua utilidade no cálculo 
do campo magnético, devido a uma distribuição de 
correntes, depende da simetria do sistema.
Da figura ao lado, temos que:
ld
 B

C
amperiana
sentido de 
integração
ld

Apesar da demonstração anterior