Meu resumo de Relatividade Restrita

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Relatividade Restrita 
Introdução 
 Formalmente, a teoria da relatividade restrita 
nasce da assimetria aparente dos fenômenos 
eletromagnéticos e da incompatibilidade entre 
a teoria eletromagnética de Maxwell e as 
transformações de Galileu. 
I. As equações de Maxwell descreviam 
uma onda eletromagnética cuja 
propagação se dava no vácuo. 
A luz, uma onda eletromagnética, 
segundo a visão clássica, era uma 
onda, ou seja, precisam de um meio 
para se propagar. 
II. Na relatividade galileana, as leis da 
Física deveriam ser iguais em qualquer 
referencial 
Ao passarmos de um referencial 
inercial para outro, utilizando as 
transformações galileanas, as 
Equações de Maxwell forneciam 
resultados diferentes para um mesmo 
fenômeno. 
 O adjetivo restrita é usado para indicar que a 
teoria se aplica apenas a referenciais inerciais, 
isto é, a referenciais em que as leia de Newton 
são válidas. 
 Espaço e tempo estão interligados, isto é, o 
intervalo de tempo entre dois eventos 
depende da distância que os separa e vice-
versa. 
 Relação entre espaço e tempo é diferente 
para observadores que estão em movimento 
um em relação ao outro. 
 O tempo não transcorre em uma taxa fixa. 
 
Os postulados da Relatividade 
Primeiro postulado: 
 As leis da física são as mesmas para todos os 
observadores situados em referências inerciais. 
Não existe um referencial absoluto. 
Esse postulado não afirma que s valores experimentais 
das grandezas físicas são os mesmos para todos os 
observadores inerciais; na maioria dos casos, os valores 
são diferentes. As leis da física, que expressam as 
relações entre os valores experimentais de duas ou 
mais grandezas físicas, é que são as mesmas. 
Segundo postulado: 
 A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo 
valor c em todos as direções e em todos os 
referenciais inerciais. 
Isso quer dizer que existe na natureza uma velocidade 
limite c, que é a mesma em todas as direções e em 
todos os referenciais inerciais. A luz se propaga com 
essa velocidade limite, e nenhuma entidade que 
carregue massa, energia ou informação pode atingi-lo. 
Velocidade limite 
A velocidade limite é definida como exatamente a: 
c = 299 792 458 m/s 
Experimentos já foram realizados para tentar fazer um 
elétron alcançar a velocidade c, mas só conseguiu 
chegar a 0,999 999 999 95 vezes dessa velocidade. 
 
Registrando um Evento 
Um evento é algo que acontece; um observador deve 
atribuir quatro coordenadas a um evento, três espaciais 
e um temporal, as quatro caracterizam as coordenadas 
espaço-temporais. 
Diferentes observadores, em diferentes referenciais 
inerciais, atribuiriam diferentes coordenadas espaço-
temporais a um mesmo evento. 
Suponhamos que dois eventos aconteceram ao 
mesmo tempo, mas em posições diferentes em 
relação a um observador. A luz do evento que está 
mais perto chegará mais perto ao observador, logo ele 
achará que esse ocorreu primeiro. 
Para determinar a real coordenada de um evento 
teríamos que levar em conta o tempo que a luz levou 
para percorrer a distância que o separa dos dois 
eventos e subtrair esse tempo do tempo registrado no 
seu relógio. 
Felizmente existem formas mais fáceis de determinar 
as coordenadas espacias e a coordenada temporal, 
como veremos a seguir. 
 Coordenadas espaciais: é como um plano 
cartesiano tridimensional. 
 Coordenada temporal: em cada ponto de 
interseção é instalado em relógio. Imagine 
como uma malha tridimensional. Esses relógios 
devem ser sincronizados. 
 Coordenadas espaço-temporais: Para um 
evento, seria o tempo indicado pelo relógio 
mais próximo e a posição (coordenada espacial 
e a temporal). Para dois eventos, a distância no 
tempo como a diferença entre os tempos 
indicadas pelos relógios mais próximos dois 
eventos e a distância no espaço entre a 
diferença entre as coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Relatividade da 
Simultaneidade 
 Dois observadores em movimento relativo não 
concordam, em geral, quanto à simultaneidade 
de dois eventos. Um considera simultâneos, o 
outro em geral conclui que não são. 
As observações de ambos são igualmente válidas e não 
há motivo para dar razão a um deles. 
 A simultaneidade não é um conceito absoluto 
e sim um conceito relativo, que depende do 
movimento do observador. 
 
A Relatividade do Tempo 
 O intervalo de tempo entre dois eventos 
depende da distância entre os eventos tanto 
no espaço como no tempo, ou seja, as 
separações espacial e temporal são 
interdependentes. 
Imaginemos então um observador dentro de um trem, 
um feixe de luz sai do ponto B, localizado no chão do 
trem, verticalmente em direção ao ponto A, onde 
encontra um espelho, e é refletido novamente até 
voltar ao ponto B. Esse observador, que chamaremos 
de Maria, mede a altura entre o chão e o teto, e nos 
diz que é D, e o tempo gasto entre os dois eventos é 
de Δt0, 
logo 
temos 
que 
Δt0 = 
2𝐷
𝑐
 
 
 
 
Para um segundo observador fora do trem, o percurso 
da luz dentro do trem, os dois eventos ocorrem em 
pontos diferentes. 
 
Aqui, a luz viaja uma distância de 2L entre os eventos 
1 e 2. Então temos: 
Δt = 
2𝐿
𝑐
 
 
De acordo com o postulado da velocidade da luz de 
Einstein a luz se propaga com a mesma velocidade para 
os dois observadores. 
Usando o teorema de Pitágoras, temos 
𝐿 = √(
1
2
𝑣 . ∆𝑡)2 + 𝐷2 
𝐿 = √(
1
2
𝑣 . ∆𝑡)2 + (
1
2
𝑐 . ∆𝑡0)2 
∆𝑡 =
∆𝑡0
√1 − (𝑣 𝑐⁄ )2
 
Essa formula relaciona a relação entre o intervalo de 
tempo medido pelo segundo observador Δt e o 
primeiro Δt0. Como sempre v é menor que c, Δt é 
menor que Δt0, mesmo que esteja se tratando de um 
mesmo evento o movimento relativo muda a rapidez 
com que o tempo passa. 
 Quando dois eventos ocorrem no mesmo 
ponto de um referencial inercial o intervalo de 
tempo entre os eventos, medido nesse 
referencial, é chamado de intervalo de tempo 
próprio ou tempo próprio. Quando esse 
intervalo de tempo é medido em outro 
referencial o resultado é sempre maior que o 
intervalo de tempo próprio. 
Para limpar a equação, frequentemente fazemos 
∆𝑡
∆𝑡0
=
1
√1 − (𝑣 𝑐⁄ )2
 
 𝛾 = 
∆𝑡
∆𝑡0
 
 𝛽 =
𝑣
𝑐
 
Substituindo, teremos: 
𝛾 =
1
√1 − 𝛽2
 
Logo, 
 ∆𝑡0 . 𝛾 = ∆𝑡 
Isso é conhecido como dilatação dos tempos. 
Exemplo, temos que que para v < 0,1 c, a relatividade 
é passa quase despercebida, o que explica as leis de 
Newton ficarem tantos anos sendo aceitas. 
𝛽 =
10 100 . 𝑐⁄
𝑐
=
1
10
 
𝛾 =
1
√1 − 1/100
=
1
√99/100
= 1,005037875 
Logo, ∆𝑡0 ≈ ∆𝑡 
 
A Relatividade das Distâncias 
Para medir o comprimento de um corpo que se 
encontra em repouso em nosso referencial, podemos 
medir as coordenadas das suas extremidades e subtrair 
uma leitura da outra. Porém, para medir um corpo em 
movimento, precisa-se medir simultaneamente (no 
nosso referencial) as coordenadas das extremidades 
para que o valor seja válido, como mostra a figura. 
 
A contração das distâncias é uma consequência direta 
da dilatação dos tempos. 
 O comprimento L0 de um corpo medido no 
referencial em que o corpo se encontra 
estacionário é chamado de comprimento 
próprio ou comprimento de repouso. O 
comprimento medido em nosso referencial em 
relação ao qual o corpo está se movendo é 
sempre menos que o comprimento próprio. 
 
 
Pensemos novamente nos dois observadores na 
estação de trem. O segundo observador, João, fora do 
trem, mede a plataforma, em repouso de acordo com 
seu referencial, como sendo L0. João observa Maria, a 
bordo do trem, percorrem essa distância em um 
intervalo de tempo Δt = L0 / v, onde v é a velocidade 
do trem. Logo, 𝐿0 = 𝑣 . ∆𝑡 
 De forma geral podemos lembrar que para o 
referencial que mede o tempo próprio, o 
espaço sempre será contraído. 
Para João os dois eventos, a passagem d Maria pelo 
início da plataforma e a passagem de Maria pelo fim da 
plataforma) ocorremem dois lugares diferentes, e para 
Maria acontecem no mesmo lugar. Logo, para Maria a 
passagem de tempo será de Δt0, e para João será Δt. 
Para Maria, 𝐿 = 𝑣 . ∆𝑡0 
𝐿
𝐿𝑜
= 
𝑣 . ∆𝑡
𝑣 . ∆𝑡0
=
∆𝑡
∆𝑡0
=
1
𝛾
 
Logo, 
 𝐿 =
𝐿𝑜
𝛾
 
Isso é conhecido como a contração das distâncias. 
A Transformação de Lorentz 
Imaginemos um referencial inercial S’ (coordenadas x’, 
y’, z’, t’) se movendo com velocidade v em relação ao 
referencial S (x, y, z, t). 
Para as Transformações de Galileu teríamos 
 𝑥′ = 𝑥 − 𝑣𝑡 
 𝑡′ = 𝑡 
Para as Transformações de Lorentz temos 
 𝑥′ = 𝛾(𝑥 − 𝑣𝑡) 
 𝑦′ = 𝑦 
 𝑧′ = 𝑧 
 𝑡′ = 𝛾(𝑡 −
𝑣𝑥
𝑐2
) 
Na primeira e na quarta equação, as variáveis x e t 
aparecem juntas, essa foi uma inovação da teoria de 
Einstein. 
Se tivermos uma velocidade da luz infinita, qualquer v 
seria finito e pequeno, logo   1, e as equações de 
Lorentz cairiam nas de Galileu. 
As equações são escritas de forma a serem fáceis de 
serem resolvidas se soubermos os valores x e t, e 
queremos os valores x’ e t’. Mas se estivermos 
interessados na transformação inversa podemos usar 
essas equações: 
 𝑥 = 𝛾(𝑥′ + 𝑣𝑡′) 
 𝑡 = 𝛾(𝑡′ +
𝑣𝑥′
𝑐2
) 
Essas equações relacionam as coordenadas de um 
único evento visto por dois observadores. Para a 
diferença entre coordenadas de um par de eventos 
temos 
 ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 = 𝛾(∆𝑥
′ + 𝑣∆𝑡′) 
 ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 = 𝛾(∆𝑡
′ +
𝑣∆𝑥′
𝑐2
) 
 ∆𝑥′ = 𝑥′2 − 𝑥
′
1 = 𝛾(∆𝑥 − 𝑣∆𝑡) 
 ∆𝑡′ = 𝑡′2 − 𝑡
′
1 = 𝛾(∆𝑡 −
𝑣∆𝑥
𝑐2
) 
 
Algumas Consequências das 
Equações de Lorentz 
Simultaneidade 
Considerando a equação 
∆𝑡 = 𝛾(∆𝑡′ +
𝑣∆𝑥′
𝑐2
) 
Se dois eventos ocorrem em locais diferentes no 
referencial S’, Δx’  0. Assim, dois eventos simultâneos 
em S’ (Δt’ = 0) não são simultâneos em S, a equação 
se reduz a: 
∆𝑡 = 𝛾
𝑣∆𝑥′
𝑐2
 
 
Dilatação dos Tempos 
Dois eventos ocorrem no mesmo local S’ (Δx’ = 0), 
mas não são simultâneos (Δt’  0). A equação se reduz 
a: 
S 
S’ 
∆𝑡 = 𝛾∆𝑡′ 
Como são simultâneos, o tempo medido é o tempo 
próprio 
∆𝑡 = 𝛾∆𝑡0 
Que é idêntica a equação da dilatação dos tempos, 
demonstrada anteriormente. 
 
Contração das Distâncias 
Considerando a equação 
∆𝑥′ = 𝛾(∆𝑥′ − 𝑣∆𝑡) 
Medindo uma régua em repouso sobre o referencial 
S’, o valor Δx’ é o comprimento próprio da régua L0., 
e Δt = 0. Essa régua está se movendo no referencial 
S, o que significa que Δx = L, comprimento em um 
referencial se movendo. Temos então, substituindo 
𝐿0 = 𝛾𝐿0 
𝐿 =
𝐿0
𝛾
 
Que é idêntica a equação da contração das distâncias. 
 
A Relatividade das 
Velocidades 
Agora vamos usar as equações da transformação de 
Lorentz para comparar as velocidades medidas por 
observadores nos referenciais S e S’. 
 ∆𝑥 = 𝛾(∆𝑥′ + 𝑣∆𝑡′) 
 ∆𝑡 = 𝛾(∆𝑡′ +
𝑣∆𝑥′
𝑐2
) 
Dividindo a primeira pela segunda e dividindo o 
numerador e o denominar do lado direito por Δt’, 
temos 
∆𝑥
∆𝑡
=
∆𝑥′/∆𝑡′ + 𝑣
1 +
𝑣∆𝑥′/∆𝑡′
𝑐2
 
Definiremos que a velocidade medida pelo referencial S 
chamasse u, e acontece quando ∆𝑡  0, logo 
Δx/Δtu. 
A velocidade medida pelo referencial S’ chamada u’, e 
acontece quando Δt’0, logo Δx’/Δt’u’. 
Assim temos para a transformação relativística de 
velocidades 
 u = 
𝑢′+𝑣
1+
𝑣𝑢′
𝑐2
 
 
O Efeito Doppler para a Luz 
O efeito Doppler para as ondas luminosas depende de 
apenas uma velocidade, a velocidade relativa entre a 
fonte e o detector. A frequência própria da fonte é f0, 
isto é, a frequência medida por um observador ao qual 
a fonte se encontra em repouso, e f a frequência 
medida por um observador que está se movendo com 
velocidade v em relação a fonte. No caso do 
observador estar se afastando da fonte temos 
𝑓 = 𝑓0√
1 − 𝛽
1 + 𝛽
 
onde  = v/c 
 
O Efeito Doppler em Baixas Velocidades 
Para baixas velocidades  << 1 a equação cai na 
correspondente para o efeito Doppler em baixas 
velocidades no caso de ondas sonoras 
𝑓 = 𝑓0 (1 − 𝛽 +
1
2
𝛽2) 
Assim, para baixas velocidades o efeito relativístico se 
manifesta apenas no termo proporcional a 2. 
 
O Efeito Doppler na Astronomia 
Se uma estrela está em repouso em relação a nós 
detectamos a luz emitida pela estrela com frequência 
f0. Quando a estrela está se aproximando ou se 
afastando, a frequência detectada aumenta ou diminui 
por causa do efeito Doppler, esse deslocamento se 
deve ao movimento radial v da estrela (movimento ao 
longo da retaque liga a estrela ao observador), e a 
velocidade que podemos determinar é apenas a 
componente da velocidade radial v da estrela. 
A velocidade radial é suficientemente pequena para que 
o termo  da equação para baixas velocidades seja 
desprezado. Nesse caso temos: 
𝑓 = 𝑓0(1 − 𝛽) 
Medições astronômicas são feitas em termos de 
comprimentos de onda, então: 
𝑓 = 𝑐/ 
𝑓0 = 𝑐/0 
Substituindo 
𝑐

=
𝑐
0 
(1 + ) 
Como  é pequeno, fazemos uma expansão em série 
de potências, e teremos 
 = 0(1 + 𝛽) 
ou 
𝛽 =
−0
0
 
Substituindo  por v/c 
𝑣 =
|𝛥|
0
𝑐 
Que é a velocidade radial da fonte luminosa para v<<c 
𝛥 é o deslocamento Doppler em comprimentos de 
onda da fonte luminosa. 
 
Efeito Doppler Transversal 
 
Quando S chegar no ponto P, a velocidade será 
perpendicular à reta PD. Se essa fonte emitir ondas 
luminosas existe um efeito Doppler, conhecido como 
efeito Doppler transversal. A frequência detectada 
quando S passa por P, é dada por 
𝑓 = 𝑓0√1 − 𝛽2 
Para baixas velocidades, feita a expansão temos 
𝑓 = 𝑓0(1 −
1
2
𝛽2) 
 
Uma Nova Interpretação do Momento 
Para encontrara uma expressão relativística para o 
momento, começaremos com a nova definição 
𝑝 = 𝑚
∆𝑥
∆𝑡0
 
onde ∆𝑥 é a distância percorrida por uma partícula e 
∆𝑡0é o intervalo de tempo necessário para percorrer 
essa distância, do ponto de vista de um observador que 
esteja se movendo junto com ela. Como ela estará em 
repouso em relação a esse observador, se trata de um 
intervalo de tempo próprio. 
Usando a expressão da dilatação dos tempos 
∆𝑡 = 𝛾∆𝑡0 
E substituindo o Δt0 
𝑝 = 𝑚
∆𝑥
∆𝑡
𝛾 
como 
𝑣 =
∆𝑥
∆𝑡
 
então, já de forma vetorial, temos 
�⃗� = 𝑚𝛾�⃗� 
Essa equação fornece o valor correto do momento 
para qualquer velocidade. 
 
Uma Nova Interpretação da 
Energia 
Energia de Repouso 
Einstein mostrou em 1905 que a massa pode ser 
considerada uma forma de energia. Assim, a lei da 
conservação de energia e a lei da conservação da 
massa seriam na verdade dois aspectos da mesma lei, 
a lei de conservação da massa-energia. 
Em reações químicas, a massa que se transforma em 
energia não pode ser medida, devido ao fato de ser 
uma fração muito pequena, mas em reações nucleares 
isso pode ser facilmente medido. 
A massa m de um corpo e a energia equivalente E0 
estão relacionadas através da equação 
𝐸0 = 𝑚𝑐
2 
A energia associada à massa de um corpo é chamada 
energia de repouso, ou seja, E0 é a energia que um 
objeto possui quando está em repouso simplesmente 
porque tem massa. 
 
Energia Total 
Se um corpo está em movimento possui uma energia 
adicional na forma de energia cinética K. Supondo que 
a energia potencial é nula, a energia total E é a soma 
da energia de repouso com a K. 
𝐸 = 𝐸0 + 𝐾 = 𝑚𝑐
2 + 𝐾 
A energia total E também pode ser escrita na forma 
𝐸 = 𝛾𝑚𝑐2 
onde  é o fator Lorentz do corpo em movimento. 
A lei da conservação da energia continua a se aplicar 
mesmo nos casos em que a variação da energia de 
repouso é significativa. 
 A energia total de um sistema isolado não pode 
mudar. 
A variação da energia de repouso do sistema devido à 
reações é muitas vezes expressa através do chamado 
valor de Q. 
(
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑒
 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑢𝑠𝑜 
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) = (
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑒
 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑢𝑠𝑜 
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
) + 𝑄 
𝑀𝑖𝑐
2 = 𝑀𝑓𝑐
2 + 𝑄 
𝑄 = 𝑀𝑖𝑐
2 − 𝑀𝑓𝑐
2 = −𝛥𝑀𝑐2 
onde a variação de massa devido à reação é 
𝛥𝑀 = 𝑀𝑓 − 𝑀𝑖 
 
Energia Cinética 
Uma energia cinética correta para qualquer velocidade 
fisicamente possível é dada pelas equações escritas 
anteriormente 
 𝐸 = 𝐸0 + 𝐾 = 𝑚𝑐
2 + 𝐾 
 𝐸 = 𝛾𝑚𝑐2 
𝐾 = 𝐸 − 𝑚𝑐2 
𝐾 = 𝛾𝑚𝑐2 − 𝑚𝑐2 
𝐾 = 𝑚𝑐2( − 1) 
onde 𝛾 é o fator de Lorentz definido anteriormente na 
dilatação dos tempos. 
 
Momento e Energia Cinética 
Utilizando as duas equações 
 𝑝 = 𝛾𝑚𝑣 
𝐾 = 𝑚𝑐2( − 1) 
Fizemos 
𝐾2 = (𝑚𝑐2)2(2 − 2 + 1) 
𝐾2 = (𝑚𝑐2)2 + 2(𝑚𝑐2)2 − 2(𝑚𝑐2)2
− (𝑚𝑐2)2 
𝐾2 = (𝑚𝑐2)2 − (𝑚𝑐2)2 − 2𝐾𝑚𝑐2 
𝐾2 + 2𝐾𝑚𝑐2 = (𝑚𝑐2)2(2 − 1) 
𝐾2 + 2𝐾𝑚𝑐2 = (𝑚𝑐2)2 (
1
1 −
𝑣2
𝑐2
− 1) 
𝐾2 + 2𝐾𝑚𝑐2 = (𝑚𝑐2)2 (
𝑣2
𝑐2
1 −
𝑣2
𝑐2
) 
𝐾2 + 2𝐾𝑚𝑐2 = 𝑚2𝑣2𝑐2 (
1
1 −
𝑣2
𝑐2
) 
𝐾2 + 2𝐾𝑚𝑐2 = (𝑚2𝑣22)𝑐2 
𝐾2 + 2𝐾𝑚𝑐2 = 𝑝2𝑐2 
(𝑝𝑐)2 = 𝐾2 + 2𝐾𝑚𝑐2 
Utilizando essas duas equações, podemos chegar numa 
relação de apenas momento e energia 
 (𝑝𝑐)2 = 𝐾2 + 2𝐾𝑚𝑐2 
 𝐸 = 𝐸0 + 𝐾 = 𝑚𝑐
2 + 𝐾 
(𝑝𝑐)2 = (𝐸 − 𝑚𝑐2)2 + 2(𝐸 − 𝑚𝑐2)𝑚𝑐2 
(𝑝𝑐)2 = 𝐸2 − 2𝐸𝑚𝑐2 + (𝑚𝑐2)2 + 2𝐸𝑚𝑐2
− 2𝑚𝑐2𝑚𝑐2 
(𝑝𝑐)2 = 𝐸2 + (𝑚𝑐2)2 − 2(𝑚𝑐2)2 
(𝑝𝑐)2 = 𝐸2 − (𝑚𝑐2)2 
𝐸2 = (𝑝𝑐)2 + (𝑚𝑐2)2 
Através dessa equação podemos ver sua semelhança 
ao teorema de Pitágoras 
 
onde a hipotenusa é E, energia total, também expressa 
como a soma da energia de repouso e a energia 
cinética, e um cateto é o produto do momento com a 
velocidade da luz, e o outro cateto é a própria energia 
de repouso 
 𝑎 = 𝐸 = 𝐸0 + 𝐾 
 𝑏 = 𝑝𝑐 
 𝑐 = 𝐸0 
Pela equação também podemos ver que se a partícula 
que analisamos não está em movimento, seu momento 
é zero, e a equação cai na de 
𝐸 = 𝑚𝑐2 
E se a partícula não tem massa, 
𝐸 = (𝑝𝑐)2