Fundamentos de Teoria da Relatividade e Física Quântica

Prévia do material em texto

Indaial – 2020
Fundamentos de teoria 
da relatividade e Física 
Quântica
Prof. Sandro Elias Braun
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2020
Elaboração:
Prof. Sandro Elias Braun
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
B825f
 Braun, Sandro Elias
 Fundamentos de teoria da relatividade e física quântica. / 
Sandro Elias Braun. – Indaial: UNIASSELVI, 2020.
 316 p.; il.
 ISBN 978-85-515-0449-9
1. Teoria da relatividade. - Brasil. 2. Física quântica. – Brasil. Centro 
Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 530
III
apresentação
Caro acadêmico! Neste Livro Didático, desenvolveremos e explora-
remos as relevantes conquistas dos séculos XIX e XX conforme os elementos 
da física moderna sob a perspectiva da teoria da relatividade e da mecânica 
quântica, enfatizando conceitos e aplicações. Acreditamos que ao final do 
livro você entenderá os fundamentos que constituem a física moderna que, 
apesar de invisíveis, estão na nossa vida cotidiana.
Este trabalho foi criado considerando você, estudante a distância, que 
está cursando a disciplina e deseja se suplementar dos conceitos e aplicações 
deste tema. Com o objetivo de permitir uma visão geral do tema, ao longo 
do texto serão desenvolvidos: os conceitos compreendidos, os padrões de 
análise e a descrição dos cálculos. Não deixe de estudá-los anteriormente ao 
entrar para o tópico posterior!
Vídeos, textos complementares, dicas e destaques foram apresenta-
dos de forma a integrar os fundamentos fornecidos no texto, e precisam ser 
avaliados na sequência em que se apresentam, então preste atenção! E não 
deixe de avaliar minuciosamente as figuras apresentadas, estas são impor-
tantes para o entendimento e a compreensão dos discursos de exploração.
Ao final da unidade há uma lista de exercícios — autoatividades — 
para a fixação do conteúdo. A proposta é de que você os resolva primeira-
mente fazendo um estudo e em seguida tente resolver os mesmos exercícios 
novamente, mas sem olhar as respostas, e, por fim, compare os acertos e os 
erros. Não deixe de resolvê-los!
Bons estudos!
Prof. Sandro Elias Braun
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
que permite que você acesse um conteúdo interativo 
relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar 
mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
V
VI
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você terá 
contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementares, 
entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
VII
UNIDADE 1 – MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS .................................................1
TÓPICO 1 – A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA ...............................................................3
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3
2 O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE ..................................................................................................5
3 O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY .............................................................................8
4 O POSTULADO DE EINSTEIN.........................................................................................................14
5 ESPAÇO-TEMPO ..................................................................................................................................17
5.1 LINHAS DO UNIVERSO NO ESPAÇO-TEMPO ........................................................................19
6 A TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ ............................................................................................20
7 SIMULTANEIDADE ............................................................................................................................23
8 TRANSFORMAÇÃO DE VELOCIDADES .....................................................................................28
9 O EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO ..........................................................................................29
9.1 ALGUMAS APROXIMAÇÕES ÚTEIS ..........................................................................................32
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................35
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................38
TÓPICO 2 – DINÂMICA RELATIVÍSTICA ......................................................................................45
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................45
2 MOMENTO RELATIVÍSTICO ..........................................................................................................46
3 ENERGIA RELATIVÍSTICA ..............................................................................................................51
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................55
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................57
TÓPICO 3 – INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL .............................................................59
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................59
2 GEOMETRIA DIFERENCIAL ............................................................................................................59
3 O PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA................................................................................................63
4 AS EQUAÇÕES DE CAMPO DE EINSTEIN ..................................................................................66
4.1 APROXIMAÇÃO PARA CAMPOS FRACOS ..............................................................................66
5 A SOLUÇÃO DE SCHWARZSCHILD .............................................................................................69
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................76
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................78
UNIDADE 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA 
 E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS ...........................................................................79
TÓPICO 1 – ORIGENS DA TEORIA QUÂNTICA E OS FÓTONS ..............................................81
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................81
2 HISTÓRICO DA TEORIA QUÂNTICA ..........................................................................................81
2.1 A HIPÓTESE DE PLANCK ............................................................................................................82
2.2 O EFEITO FOTOELÉTRICO ..........................................................................................................84
2.2.1 A teoria quântica de Einstein sobre o efeito fotoelétrico ...................................................88
2.3 O EFEITO COMPTON ....................................................................................................................94
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................105
sumário
VIII
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................106
TÓPICO 2 – MODELOS ATÔMICOS ...............................................................................................107
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................107
2 ESPECTROS ATÔMICOS .................................................................................................................107
3 O MODELO DE RUTHERFORD .....................................................................................................112
4 O MODELO DE BOHR .....................................................................................................................119
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................140
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................141
TÓPICO 3 – PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS ...................................143
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................143
2 A HIPÓTESE DE BROGLIE ..............................................................................................................144
3 A DUALIDADE PARTÍCULA-ONDA............................................................................................153
4 INTERPRETAÇÃO PROBABILÍSTICA DA FUNÇÃO DE ONDA ..........................................157
5 OPERADORES ....................................................................................................................................161
6 OBSERVÁVEIS E VALOR ESPERADO ................................................................................162
7 REPRESENTAÇÃO MATRICIAL E ÁLGEBRA DE OBSERVÁVEIS ......................................167
8 MOMENTO ANGULAR DO FÓTON ............................................................................................176
9 O PRINCÍPIO DA INCERTEZA ......................................................................................................181
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................188
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................191
UNIDADE 3 – A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER 
 E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS...................................................................193
TÓPICO 1 – A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER ............................................................................195
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................195
2 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER EM UMA DIMENSÃO ....................................................196
3 OPERADORES DE POSIÇÃO E DE MOMENTO .......................................................................201
4 AUTOFUNÇÕES DO MOMENTO .................................................................................................204
5 DENSIDADE DE CORRENTE E DE PROBABILIDADE ...........................................................205
6 RELAÇÕES DE INCERTEZA ...........................................................................................................208
7 ESTADOS ESTACIONÁRIOS .........................................................................................................211
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................216
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................218
TÓPICO 2 – A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO ..................219
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................219
2 O POTENCIAL NULO ......................................................................................................................220
3 O POTENCIAL DEGRAU .................................................................................................................230
3.1 ENERGIA MENOR DO QUE A ALTURA DO DEGRAU .......................................................231
3.2 ENERGIA MAIOR DO QUE A ALTURA DO DEGRAU .........................................................242
4 A BARREIRA DE POTENCIAL .......................................................................................................251
5 O POÇO DE POTENCIAL QUADRADO ......................................................................................262
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................273
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................274
TÓPICO 3 – ESTRUTURA ATÔMICA ..............................................................................................275
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................275
2 O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO .......................................................................................................276
2.1 QUANTIZAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR E DA ENERGIA 
 DO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO ................................................................................................276
IX
2.2 QUANTIZAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR .......................................................................279
2.3 QUANTIZAÇÃO DA ENERGIA ................................................................................................2832.4 RESUMO DOS NÚMEROS QUÂNTICOS .................................................................................286
2.5 AS FUNÇÕES DE ONDA DO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO ...................................................287
2.6 O ESTADO FUNDAMENTAL .....................................................................................................288
2.7 ESTADOS EXCITADOS ................................................................................................................292
3 O SPIN DO ELÉTRON .....................................................................................................................295
3.1 MOMENTO MAGNÉTICO ..........................................................................................................296
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................303
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................305
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................306
X
1
UNIDADE 1
MOVIMENTO PLANO DOS 
CORPOS RÍGIDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• entender o que estabelece o princípio da relatividade;
• entender a experiência de Michelson-Morley;
• entender a formulação do postulado de Einstein;
• entender a relação do espaço tempo com o estudo da relatividade restrita 
e relatividade geral;
• entender a transformação de Lorentz deduzida para um movimento rela-
tivo em qualquer direção;
• entender a imultaneidade de dois eventos poderem ser percebidos de for-
ma coincidente em um mesmo instante;
• entender a transformação de velocidades para um corpo se movendo em 
relação a um determinado referêncial;
• entender o efeito Doppler relativístico para objetos (fonte emissora ou 
detector) que se movem em velocidades relativísticas;
• entender o momento relativístico e energia relativística para uma partícula;
• entender a geometria diferencial como formulações matemáticas da me-
cânica quântica são os formalismos matemáticos que permitem uma des-
crição rigorosa da mecânica quântica;
• entender o princípio da equivalência de Einstein da aceleração de um 
dado referencial;
• entender as equações de campo de Einstein, que descreve como a maté-
ria gera gravidade e, inversamente, como a gravidade afeta a matéria;
• entender a solução de Schwarzschild que descreve o campo gravitacio-
nal externo a um corpo esférico, porém desprezando qualquer rotação de 
massa.
2
PLANO DE ESTUDOS
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer de cada tópico 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA 
TÓPICO 2 – DINÂMICA RELATIVÍSTICA
TÓPICO 3 – INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
1 INTRODUÇÃO
A propriedade relativística das leis da física começou a ser observada muito 
cedo na história da física clássica. Nicolau Copérnico já havia apresentado que o cál-
culo dos movimentos dos planetas se voltaria muito mais claro e preciso se o antigo 
modelo aristotélico, entendido na ideia de que a Terra era o centro do universo, ficas-
se alterado por um padrão no qual os planetas se voltassem em tomo do Sol e não da 
Terra. Copérnico se tornou largamente conhecido graças a sua correspondência com 
os contemporâneos. Além disso, ajudou a preparar o caminho para a aceitação geral, 
um século mais tarde, da teoria heliocêntrica do movimento dos planetas. Embora a 
teoria de Copérnico tenha gerado uma verdadeira revolução do pensamento huma-
no, o aspecto que nos interessa é que a teoria não considerava a localização da Terra 
como especial ou privilegiada. Logo, as mesmas equações ficariam obtidas, com in-
dependência da origem do sistema de coordenadas. Essa invariância das equações 
que apresentam as leis da física é vista como princípio da relatividade.
A teoria restrita, desenvolvida por Einstein e outros em 1905, apresentam o 
confronto entre os movimentos observados em diferentes referenciais que se encon-
tram movendo-se com velocidade constante, uns em relação aos outros. 
A teoria geral, também formulada por Einstein, aborda os referenciais acele-
rados e os efeitos da gravidade. Apesar de que a teoria geral queira conhecimentos 
mais agudos de matemática (como análise tensorial, por exemplo) para ficarem bem 
compreendidas, umas de suas ideias básicas e hipóteses importantes dessa teoria po-
dem ser discutidas no nível deste Livro Didático. A teoria geral é fundamental para 
a cosmologia e para o estudo dos fatos que surgem nas vizinhanças de massas muito 
grandes (como as estrelas, por exemplo). Graças a melhorias com nossa prática de fa-
zer medidas claras, a teoria geral está sendo utilizada cada vez mais com outras áreas 
da física e da engenharia e até na vida diária, como nos aparelhos de GPS. 
Vamos dedicar os Tópicos 1 e 2 à teoria restrita — também conhecida como 
relatividade restrita — e deixaremos para discutir a teoria geral no Tópico 3 desta 
unidade.
Como abertura a este tópico, suponhamos um vagão de trem que está em 
um movimento uniforme. Referimos que seu movimento é uma translação unifor-
me (uniforme, porque são de velocidade e direção constantes; translação, porque, 
mesmo que a posição do vagão mude com relação à via, não realiza nenhum giro).
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
4
Suponhamos que pelos ares voa um corvo em linha reta e uniformemente 
(com respeito à via). Não há dúvida de que o movimento do corvo é — com 
respeito ao vagão em marcha — um movimento de diferente velocidade e diferente 
direção, mas segue sendo retilíneo e uniforme. Expresso de modo abstrato: se 
uma massa m se move em linha reta e uniformemente com respeito a um sistema 
de coordenadas K, então também se move em linha reta e uniformemente com 
respeito a um segundo sistema de coordenadas K', sempre que este execute com 
respeito a K um movimento de translação uniforme. Tendo em conta o afirmado 
no parágrafo anterior, depreende-se daqui o seguinte: 
Se K é um sistema de coordenadas de Galileu, então também é qualquer 
outro sistema de coordenadas K' que, com respeito a K, se ache num estado de 
translação uniforme. As leis da Mecânica de Galileu-Newton valem tanto com 
respeito a K' como com respeito a K. Demos um passo a mais na generalização e 
enunciemos o seguinte princípio: 
Enquanto se manteve a crença de que todos os fenômenos naturais po-
diam ser representados com ajuda da Mecânica Clássica, não se podia acreditar 
na validade do Princípio da Relatividade. No entanto, os recentes progressos da 
Eletrodinâmica e da Ótica fizeram ver cada vez mais claramente que a Mecânica 
Clássica, como base de toda descrição física da natureza, não era suficiente. A 
questão da validade do Princípio de Relatividade se tornou assim, perfeitamente 
discutível, sem excluir a possibilidade de que a solução fosse em sentido negati-
vo. Existem, contudo, dois fatos gerais que primeiramente falam muito a favor 
da validade do Princípio da Relatividade. 
Efetivamente, ainda que a Mecânica Clássica não proporcione uma base 
suficientemente ampla para representar teoricamente todos os fenômenos físicos, 
possui um conteúdo de valor muito importante, pois fornece com admirável pre-
cisão os movimentos reais dos corpos celestes. 
O segundo argumento, sobre o qual voltaremos mais adiante, é o seguin-
te: se o Princípio da Relatividade (em sentido restrito) não é válido, então os siste-
mas de coordenadas de Galileu K, K’, K” etc., que se movem uniformemente uns 
com respeito aos outros, não serãoequivalentes para a descrição dos fenômenos 
naturais. Nesse caso não teríamos mais remédio senão pensar que as leis da natu-
Se K' é um sistema de coordenadas que se move uniformemente e sem 
rotação com respeito a K, então os fenômenos naturais decorrem com respeito a K' 
segundo idênticas leis gerais com respeito a K. Esta proposição é o que chamaremos o 
Princípio de Relatividade (no sentido restrito).
IMPORTANT
E
TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
5
reza só podem formular-se com especial singeleza e naturalidade se, dentre todos 
os sistemas de coordenadas de Galileu, elegêssemos como corpo de referência um 
(K0) que tivesse um estado de movimento determinado. A este o qualificaríamos, 
e com razão (por suas vantagens para a descrição da natureza), de absolutamente 
em repouso, enquanto dos demais sistemas galileanos K diríamos que são mó-
veis. Se a via fosse o sistema K0, então nosso vagão de transporte ferroviário seria 
um sistema K em relação ao qual regeriam leis menos singelas do que com res-
peito a K0. Esta menor simplicidade teria que atribuir que o vagão K se move com 
relação a K0 (isto é, realmente). 
Nestas leis gerais da natureza formuladas relacionadas a K teriam que 
desempenhar um papel o módulo e a direção da velocidade do vagão. 
Seria de esperar, por exemplo, que o tom de um tubo de órgão fosse di-
ferente quando seu eixo fosse paralelo à direção de marcha do que quando esti-
vesse perpendicular. Agora, a Terra, devido ao seu movimento orbital ao redor 
do Sol, é equiparável a um vagão que viaja a uns 30 km por segundo. Portanto, 
no caso de não ser válido o Princípio de Relatividade, seria de esperar que a di-
reção instantânea do movimento terrestre interviesse nas leis da natureza e que, 
portanto, o comportamento dos sistemas físicos dependesse de sua orientação es-
pacial com respeito à Terra; porque, como a velocidade do movimento de rotação 
terrestre varia de direção em decorrência do ano, a Terra não pode estar durante 
o intervalo de um ano inteiro em repouso com respeito ao hipotético sistema K0.
Pense o mesmo que se há posto em detectar tal anisotropia do espaço físico 
terrestre, isto é, uma não equivalência das diferentes direções, jamais pôde ser obser-
vada. O qual é um argumento de importância a favor do Princípio da Relatividade.
2 O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE
Você já estudou que, como consequência das equações de Maxwell, as 
ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo com velocidade 0 01/c ε µ= que 
é uma constante universal. Entretanto, é importante discutirmos uma questão 
básica: a que referencial se refere essa velocidade? 
A dependência das leis físicas com respeito ao referencial foi discutida 
na Mecânica Clássica, em que foi visto que as leis básicas da Mecânica assumem 
sua forma mais simples nos referenciais inerciais. Por definição, um referencial 
é inercial se nele vale a lei da inércia, ou seja, uma partícula não sujeita a forças 
(suficientemente afastada das demais) permanece em repouso ou em movimento 
retilíneo uniforme. Com boa aproximação, um referencial vinculado às estrelas 
fixas é inercial.
Sabemos também que qualquer referencial em movimento retilíneo uni-
forme em relação a um referencial inercial é também inercial, como demonstrado 
na Figura 1: Referenciais (S) e (S') a seguir:
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
6
FIGURA 1 – REFERENCIAIS (S) E (S')
z'
(S)
(S')
Vt
O
O' y'
x'
x
y
z
FONTE: Nussenzveig (2014, p. 175)
Se o referencial (S') (Figura 1) se move em relação à (S) com velocidade 
constante V e as origens O e O' dos dois referenciais coincidem no instante t = t' 
= 0, vimos que a relação entre as coordenadas [x ( ), ] e [ x' ( ), ' ]x, y,z t x', y',z' t nos 
dois referenciais é dada pela transformação de Galileu:
X = x - vt
 t' = t
′
(1.1)
Da qual decorre a lei de Galileu de composição de velocidades:
v'' v V− − (1.2)
Onde v e v' são velocidades relativas à (S) e (S'), respectivamente. Decorre 
também a igualdade das acelerações: 
'
'
dv dv= a = a =
dt dt
′ (1.3)
Como a transformação de Galileu não afeta as distâncias entre partículas 
nem a massa, também não afeta uma força F que só depende dessas distâncias 
(como a gravitação), de modo que:
TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
7
Vimos também na Mecânica que esse princípio deixa de valer para refe-
renciais não inerciais, ou seja, aparecem efeitos detectáveis sobre as leis da mecâ-
nica, através das forças de inércia (força centrífuga, força de Coriolis etc.). 
Entretanto, se procurarmos estender à Eletrodinâmica o princípio de re-
latividade, deparamo-nos imediatamente com um problema: decorre das leis da 
Eletrodinâmica (equações de Maxwell) que a luz se propaga, no vácuo, com ve-
locidade c. Admitindo que isso vale num dado referencial inercial, e que valem 
as leis da Mecânica Clássica, o resultado não poderia valer num outro referencial 
inercial em movimento retilíneo uniforme em relação ao primeiro com velocida-
de V. Com efeito, pela lei da Galileu de composição de velocidades, seria:
c' = c V− (1.5)
E, por conseguinte, seria c' c≠ (e c' variaria com a direção de propagação), 
contradizendo o princípio de relatividade no caso da Eletrodinâmica. 
A validade das equações de Maxwell estaria restrita, então, a um referencial 
inercial privilegiado, onde a velocidade da luz é c em todas as direções. Isso 
acontece, por exemplo, na acústica: as ondas de som se propagam através de um 
meio material, que é o suporte das oscilações, e a velocidade do som é isotrópica 
(a mesma em todas as direções) somente num referencial em que este meio está 
em repouso. Observada de outro referencial em movimento em relação a este, a 
velocidade do som é diferente e varia com a direção (Efeito Doppler).
 
Daí decorre o princípio de relatividade da Mecânica, devido a Galileu: é 
impossível detectar um movimento retilíneo uniforme de um referencial em relação a 
outro por qualquer efeito sobre as leis da dinâmica (Galileu deu o exemplo de experiências 
de mecânica feitas sob o convés de um navio, com as escotilhas fechadas, que seriam 
incapazes de distinguir se o navio estaria ancorado ou em movimento retilíneo uniforme).
ATENCAO
F = m.a F = m a (m' = m)′ ′→ ′ (1.4)
Isto é, a lei básica da dinâmica não se altera. 
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
8
A identificação do "vácuo” com um tal suporte material das ondas eletro-
magnéticas corresponde ao conceito do éter, meio hipotético cuja existência já ha-
via sido postulada por Descartes. O próprio Maxwell chegou a suas equações com 
base num modelo mecânico para o campo eletromagnético, um “éter celular”. 
Se o éter existisse como referencial privilegiado, deveria ser possível, por 
experiências de propagação da luz, detectar um movimento retilíneo uniforme em 
relação a ele, ou seja, o princípio de relatividade não seria válido na eletrodinâmica 
(da mesma forma que não é válido na propagação do som). 
Se quiséssemos, porém, manter o princípio de relatividade também na ele-
trodinâmica, isto não seria compatível com a validade simultânea das equações 
de Maxwell e das leis da mecânica newtoniana: uma das duas teorias teria de ser 
abandonada. 
Teria de ser válida, portanto, uma das seguintes opções: 
(i) A mecânica newtoniana e as equações de Maxwell são válidas, mas o 
princípio de relatividade não se aplica a todas as leis físicas: existe um referencial 
absoluto (o éter), onde a velocidade da luz é c em todas as direções, e deve ser pos-
sível, por meio de experiências eletromagnéticas, detectar um movimento retilíneo 
e uniforme em relação ao referencial absoluto do éter. 
(ii) O princípio de relatividade aplica-se a todas as leis físicas e a mecânica 
newtoniana é correta. Nesse caso, as equações de Maxwell teriam de ser modifica-
das e para ser possível observar desvios das leis eletrodinâmicas clássicas.
A única opção compatível com os fatos experimentais, conforme vamos ver, 
é a (iii).
(iii) O princípiode relatividade aplica-se a todas as leis físicas, e as equações de Maxwell são 
corretas. Nesse caso, a mecânica newtoniana e a transformação de Galileu não podem ser 
corretas: deve ser possível observar desvios das leis da mecânica newtoniana.
IMPORTANT
E
3 O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY 
No século XIX, os cientistas acreditavam que todas as ondas conhecidas 
necessitavam de um meio para se propagarem. As ondas do mar obviamente não 
existem no vácuo. O mesmo se pode dizer das vibrações de uma corda de violão, 
das ondulações da superfície de um tambor, das oscilações que atravessam a Terra 
durante um terremoto e, de forma geral, das ondas que atravessam qualquer 
TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
9
material quando este é submetido a forças variáveis. A velocidade dessas ondas 
depende das propriedades do meio em que se propagam e assume uma forma 
particularmente simples quando é expressa em relação ao meio. Por exemplo, a 
velocidade das ondas sonoras no ar, isto é, a velocidade com a qual se propagam 
em relação ao ar parado, pode ser calculada e medida com relativa facilidade. O 
efeito Doppler para o som no ar depende não só do movimento relativo entre a 
fonte e o observador, mas também do movimento da fonte e do observador em 
relação ao ar. Era natural, portanto, que os cientistas postulassem a existência 
de um meio como o éter para permitir a propagação da luz e outras ondas 
eletromagnéticas, e esperassem que o movimento absoluto da Terra em relação 
ao éter pudesse ser medido, a despeito do fato de o éter jamais ter sido observado.
FIGURA 2 – ALBERT A MICHELSON JOGANDO BILHAR
FONTE: <http://bit.ly/2pG60or>. Acesso em: 18 nov. 2019.
Albert A Michelson, que aparece na foto jogando bilhar na maturidade 
(Figura 2), fez a primeira medição precisa da velocidade da luz quando era 
professor da Ll. S. Naval Academy, em que serviu como cadete na juventude. 
Michelson foi o primeiro a perceber que, embora o efeito do movimento 
da Terra sobre qualquer medida da velocidade da luz baseada em um percurso 
de “ida e volta” — como o indicado esquematicamente na Figura 3 — fosse pe-
queno demais para ser medido diretamente, seria possível medir a razão 
por um processo indireto, usando a interferência de ondas luminosas como um 
“relógio” muito preciso. 
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
10
De acordo com a teoria clássica, a velocidade da luz seria igual a c em 
relação ao éter, c – v em relação ao observador para o raio emitido pela fonte 
luminosa em direção ao espelho e c + v em relação ao observador para o raio 
refletido pelo espelho em direção ao observador (Figura 3).
FIGURA 3 – UMA FONTE LUMINOSA, UM ESPELHO E UM OBSERVADOR SE MOVEM COM 
VELOCIDADE EM RELAÇÃO AO ÉTER
FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 6)
O aparelho que ele projetou para executar esse tipo de medida recebeu o 
nome de interferômetro de Michelson. O objetivo do experimento de Michelson-
Morley era medir a velocidade da luz em relação ao interferômetro, ou seja, em 
relação à Terra, o que equivaleria a demonstrar que a Terra estava em movimento 
em relação ao éter, representando, portanto, uma prova da existência do último. 
Antes de discutirmos o funcionamento do interferômetro, vamos descrever uma 
situação análoga em um contexto familiar.
Os dispositivos óticos foram montados em um bloco quadrado de arenito, 
com cinco pés de lado que flutuavam em mercúrio, para reduzir as tensões e 
vibrações que haviam prejudicado os experimentos anteriores (Figura 4). Para 
fazer observações em qualquer direção, bastava girar o bloco no plano horizontal.
TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
11
FIGURA 4 – EQUIPAMENTO USADO POR MICHELSON E MORLEY NO EXPERIMENTO DE 1887
FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 7)
 À distância L no novo interferômetro (Figura 4) era, aproximadamente, 11 
m, graças a reflexões múltiplas. A Figura 5 mostra como funcionava o instrumento. 
A luz amarela produzida por uma lâmpada de sódio é dividida em dois 
feixes por um espelho semitransparente instalado no ponto.
• Figura 5a: os feixes se propagam ao longo de dois trajetos mutuamente 
perpendiculares 1 e 2, são refletidos pelos espelhos M1 e M2 e voltam a a, 
onde se recombinam e são observados. A presença do compensador tem por 
objetivo igualar os comprimentos óticos dos dois percursos, fazendo com que 
as distâncias L contenham o mesmo número de ciclos da onda luminosa. Se 
o espelho M2 é inclinado ligeiramente, deixando de ser perpendicular a M1, 
o observador passa a ver M1 e M2, a imagem de M: formando uma cunha. A 
interferência dos feixes refletidos pelos dois espelhos depende do número de 
ciclos de onda em cada trajeto, que, por sua vez, depende:
ᵒ do comprimento de cada trajeto; e 
ᵒ da velocidade da luz em relação ao instrumento em cada trajeto. 
Fonte luminosa
Telescópio
Espelhos
Espelhos Espelhos
Espelhos
Ajustáveis
Espelho
Semitransparente
Placa
de vidro
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
12
Qualquer que seja o valor dessas velocidades, o fato de que as imagens 
M1 e M2 formam uma cunha significa que a diferença entre a distância percorrida 
pelo feixe 2 e a distância percorrida pelo feixe 1 varia gradualmente ao longo da 
imagem vista pelo observador. Isso faz com que o observador veja uma série de 
franjas claras e escuras, como em (h), que resultam da interferência construtiva e 
destrutiva, respectivamente, dos dois feixes.
FIGURA 5 – PRINCIPIO DE FUNCIONAMENTO DO INTERFERÔMETRO DE MICHELSON
FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 8)
• Figura 5b: a imagem vista pelo observador consistia em uma série de faixas 
claras e escuras denominadas franjas de interferência (Figura 5b). Os dois raios 
luminosos presentes no interferômetro são análogos aos dois barcos a remo, 
era de se esperar que o movimento da Terra em relação ao éter introduzisse 
uma diferença de tempo e de fase dada pela Equação:
3(1 )
2 2 2
2 1 2 2
2L v 2L 1v Lvt = t t 1+
c c c 2c c
 
D ≈ − − + ≈ 

−

 Uma rotação de 90° do interferômetro multiplicaria por dois a diferença 
de tempo e mudaria a fase fazendo com que a figura de interferência se deslocas-
se de uma distância AN. Para fazer girar o aparelho, foi usado um sistema espe-
cial no qual o bloco de pedra em que estava montado o interferômetro flutuava 
TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
13
em um banho de mercúrio. Esse arranjo atenuava as vibrações e permitia que os 
cientistas girassem o aparelho sem introduzir deformações mecânicas capazes de 
provocar variações de L e, portanto, da posição das franjas. Usando uma lâmpa-
da de sódio com l = 590 nm e supondo que v = 30 km/s (ou seja, uma velocidade da 
Terra em relação ao éter igual a velocidade orbital do planeta), os pesquisadores 
esperavam que o deslocamento AN fosse da ordem de 40% da largura de uma 
franja, ou seja, um valor 40 vezes maior do que o deslocamento mínimo (1% da 
largura de uma franja) que o equipamento era capaz de medir.
Para grande decepção de Michelson e da maioria dos cientistas da época, 
o deslocamento previsto não foi observado. Em vez disso, as franjas se desloca-
ram de apenas 1% da largura de uma franja, um valor da mesma ordem que a 
precisão do instrumento. Com a circunspeção que era sua característica Michel-
son descreveu os resultados da seguinte forma: 
O experimento foi repetido por outros cientistas mais de uma dúzia de 
vezes, em diferentes condições e com maior precisão, mas nenhum deslocamento 
jamais foi observado. No mais preciso desses experimentos, o limite superior da 
velocidade relativa foi reduzido para 1.5 km/s por Georg Joos, em 1930, usando 
um interferômetro no qual o percurso dos raios luminosos era muito maior do 
que no interferômetro de Michelson. Recentemente, versões modernas do expe-
rimento, usando lasers, reduziram esse limite para 15 m/s.
O deslocamento observado foi certamente menor que um vinte avos de 40% 
da largura de uma franja e, provavelmente, menor que um quarenta avos.Como, porém, 
o deslocamento é proporcional ao quadrado da velocidade, a velocidade relativa entre 
a Terra e o éter é provavelmente menor que um sexto da velocidade orbital da Terra e 
certamente menor que um quarto.
IMPORTANT
E
Michelson e Morley haviam acabado de mostrar que a velocidade da Terra em 
relação ao éter não podia ser maior que 5 km/s. Do nosso ponto de vista, é difícil apreciar o 
efeito devastador desse resultado. A teoria da propagação da luz aceita na época não podia 
estar correta: a ideia de que o éter se comportava como um referencial privilegiado para as 
equações de Maxwell teria que ser descartada.
ATENCAO
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
14
4 O POSTULADO DE EINSTEIN
Em 1905, com 26 anos, Albert Einstein publicou vários artigos, entre os quais 
um sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento. Neste, Einstein propôs um 
princípio de relatividade mais abrangente, que se aplicava tanto às leis da mecânica 
quanto às leis da eletrodinâmica. Uma das consequências desse princípio é que 
não existe nenhum experimento capaz de detectar o movimento absoluto. Sendo 
esse o caso, nada nos impede de supor que a Terra e o interferômetro de Michelson 
estão em repouso, caso em que nenhum deslocamento das franjas é esperado quan-
do o interferômetro gira 90° já que todas as direções são equivalentes. O resultado 
nulo do experimento de Michelson-Morley se torna, portanto, uma consequência 
natural do princípio da relatividade de Einstein. É preciso ressaltar que Einstein 
não formulou essa teoria com o intuito de explicar o experimento de Michelson-
-Morley, mas foi levado a ela por considerações a respeito da teoria da eletricida-
de e do magnetismo e das propriedades incomuns das ondas eletromagnéticas no 
espaço livre. O primeiro artigo contém a teoria completa da relatividade restrita. 
Einstein se refere, apenas de passagem, às tentativas experimentais de detectar o 
movimento da Terra em relação ao éter. Mais tarde, afirmou não lembrar se estava 
a par dos detalhes do experimento de Michelson-Morley quando propôs a teoria.
Em um contexto mais amplo, com base neste e em outros experimentos, de-
vemos concluir que as equações de Maxwell estão corretas e que a velocidade das ondas 
eletromagnéticas é a mesma em todos os referenciais inerciais, independentemente do mo-
vimento da fonte em relação ao observador. Essa invariância da velocidade da luz para os 
referenciais inerciais significa que deve haver algum princípio de relatividade que se aplique 
tanto à mecânica quanto ao eletromagnetismo. Tal princípio não pode ser o da relatividade 
newtoniana que leva a uma variação da velocidade da luz com a velocidade relativa entre a 
fonte e o observador. Isso significa que a transformação de Galileu não está correta e deve 
ser substituída por uma nova transformação de coordenadas que assegure a invariância das 
leis do eletromagnetismo. As leis fundamentais da mecânica, que eram compatíveis com a 
transformação de Galileu, devem ser modificadas para que permaneçam invariantes ao se-
rem submetidas à nova transformação. A dedução teórica dessa nova transformação foi uma 
das pedras fundamentais da teoria da relatividade especial de Einstein.
NOTA
TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
15
A teoria da relatividade restrita se baseia em dois postulados que Einstein 
menciona explicitamente no artigo de 1905: 
• Postulado 1 – As leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais. 
• Postulado 2 – A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor em qualquer que seja 
o movi mento da fonte.
NOTA
O Postulado 1 é uma extensão do princípio da relatividade newtoniana 
para incluir todos os fenômenos físicos, não só os mecânicos, mas também os 
eletromagnéticos. Uma consequência direta dele é que não existe nenhum refe-
rencial inercial privilegiado e, portanto, o movimento absoluto é impossível de 
se detectar. 
O Postulado 2 descreve uma propriedade comum a todas as ondas. As-
sim, por exemplo, a velocidade das ondas sonoras não depende do movimento 
da fonte. Quando um carro buzina ao se aproximar de uma pessoa, o som ouvido 
é mais agudo que se o carro estivesse parado (o chamado efeito Doppler, mas a 
velocidade das ondas não depende da velocidade do carro). Por outro lado, a ve-
locidade das ondas sonoras depende das propriedades do ar, como a densidade 
do ar e a velocidade com a qual o ar está se movendo. A importância deste postu-
lado está no fato de que coloca as ondas luminosas, que se propagam no vácuo, 
na mesma categoria que os outros tipos de ondas, que necessitam de um meio 
para se propagar. Uma análise recente do espectro dos raios gama emitidos por 
fontes situadas perto do limite do universo observável revela que a velocidade da 
luz não depende da velocidade da fonte com uma precisão de uma parte em 10.
Na Figura 6a temos uma fonte luminosa estacionária S e um observador 
estacionário R1 com um segundo observador R2 se aproximando da fonte com 
velocidade v. A Figura 6b, no referencial em que o observador R2 está em repou-
so, a fonte luminosa S e o observador R se movem para a direita com velocidade 
v. Se o movimento absoluto não pode ser detectado os dois pontos de vista são 
equivalentes. Como a velocidade da luz não depende do movimento da fonte, o 
observador R2 mede o mesmo valor para a velocidade da luz que o observador R1.
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
16
FIGURA 6 – FONTE LUMINOSA E UM OBSERVADOR
FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 9)
Embora os dois postulados separadamente pareçam bastante razoáveis, 
muitos dos resultados obtidos quando são aplicados simultaneamente parecem 
contrariar o senso comum. Uma importante consequência desses postulados é 
que a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores, independente-
mente da velocidade relativa entre a fonte e o observador. 
Considere uma fonte luminosa S e dois observadores: R
1
, em repouso em re-
lação a S, e R
2
, viajando na direção de S com velocidade v (Figura 6a). A velocidade da luz 
medida por R
1
 é c = 3 x 108 m/s. Qual é a velocidade medida por R
2
? A resposta não é c+v , 
o resultado que obteríamos aplicando ao problema a transformação de Galileu. 
ATENCAO
De acordo com o Postulado 1, a situação da Figura 6a equivale à da Figura 
6b, na qual R2 está em repouso e as fontes S e R1 estão se movendo com velocidade 
v. Em outras palavras, como o movimento absoluto é impossível de ser detectado, 
não sabemos quem está se movendo e quem está em repouso. De acordo com o 
Postulado 2, a velocidade da luz não depende do movimento da fonte. Assim, 
olhando para a Figura 6b vemos que a velocidade medida por R2 é c, a mesma 
medida por R1. O fato de que a velocidade medida para a luz não depende da 
velocidade do observador é uma forma alternativa de enunciar o segundo postu-
lado de Einstein.
TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
17
Este resultado está em desacordo com nossa intuição. O que acontece é que 
ideias intuitivas a respeito de velocidades relativas são válidas, para todos os efeitos práticos, 
quando as velocidades são pequenas em comparação com a velocidade da luz. Mesmo 
em um avião que esteja se movendo com a velocidade do som não é possível medir a 
velocidade da luz com precisão suficiente para observar a diferença entre as velocidades c 
+ v na qual v é a velocidade do avião. Para perceber essa diferença, devemos examinar um 
corpo que esteja se movendo com grande velocidade (muito maior do que a velocidade 
do som) ou realizar medidas extremamente precisas, como no experimento de Michelson-
-Morley. Quando fazemos isso, descobrimos como Einstein comentou no primeiro artigo 
a respeito da relatividade, que as contradições são “apenas aparentemente irreconciliáveis”.
NOTA
5 ESPAÇO-TEMPO
A descoberta da física relativística de que os intervalos de tempo entre even-
tos não são iguais para observadores em diferentes referenciais inerciais ressalta o 
caráter quadridimensionaldo espaço-tempo. Com os diagramas que usamos até 
agora, é difícil representar em duas dimensões eventos que ocorrem em instantes 
diferentes, já que cada diagrama equivale a uma “fotografia” do espaço-tempo em 
um determinado instante. Para mostrar eventos que variam com o tempo, torna-se 
necessário recorrer a uma série de diagramas, como os que aparecerão nas Figuras 
10, 11 e 12. Mesmo assim, a atenção do leitor tende a ser atraída para os sistemas de 
coordenadas espaciais e não para os eventos, que são o que realmente importam. 
Esse problema é resolvido na relatividade restrita com o uso de um tipo especial de 
representação denominado diagrama espaço-tempo. Nos diagramas espaço-tem-
po, podemos representar as coordenadas especiais e temporais de muitos eventos 
em um ou mais referenciais inerciais, embora com uma limitação. Como é possível 
representar apenas duas dimensões no papel, temos que ignorar duas dimensões 
espaciais, normalmente as dimensões v e c. Na verdade, da forma como será defini-
do o movimento relativo entre S e S' (Figura 9), y' = y e z'=z, de modo que todas as 
mudanças importantes ocorrem ao longo do eixo dos x (esta é uma das razões para 
nossa escolha, a outra é a simplicidade matemática). Isso significa que, no momen-
to, vamos limitar nossa atenção ao tempo e a uma das coordenadas espaciais, ou 
seja, os eventos que ocorrem em apenas uma dimensão do espaço. Caso seja neces-
sário considerar as outras duas dimensões, como acontece na transformação relati-
vística de velocidades, podemos recorrer às equações da transformação de Lorentz.
Nos diagramas espaço-tempo, as posições dos eventos são representadas 
em um eixo horizontal, denominado eixo x. E os instantes em que ocorrem os 
eventos são representados em um eixo vertical, denominado eixo ct. Em vez do ar-
ranjo tridimensional de réguas e relógios, usaremos apenas os relógios localizados 
no eixo x (Figura 7). Como você, acadêmico, bem pode ver, as coisas já começam a 
ficar mais simples! Como os eventos que exibem efeitos relativísticos quase sempre 
ocorrem em altas velocidades, é conveniente multiplicar a escala de tempos pela 
velocidade da luz (uma constante), o que permite usar a mesma escala e as mesmas 
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
18
unidades nos eixos espacial e temporal (metros de distância e metros percorridos 
pela luz, por exemplo). É por isso que o eixo dos tempos é chamado de ct em que c 
normalmente é a velocidade de luz em metros por segundo e t é o tempo em segun-
dos. Como veremos, essa forma de representar os eventos distribui melhor os pon-
tos sobre o gráfico e facilita a introdução de outros referenciais inerciais na figura.
Observe na Figura 7 que, com o passar do tempo, os relógios se movem 
verticalmente para cima ao longo das linhas tracejadas.
 
Duas das dimensões espaciais y e z foram suprimidas (Figura 7). A mesma 
unidade (o metro) é usada para o eixo espacial e o eixo temporal. Um metro de 
tempo corresponde ao tempo necessário para que a luz percorra um metro, ou seja. 
3.3 x IO-9.
FIGURA 7 – DIAGRAMA ESPAÇO-TEMPO PARA UM REFERENCIAL INERCIAL S
FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 16)
Assim, quando os eventos A, B, C e D ocorrem no espaço-tempo, existe 
sempre um relógio nas proximidades do evento. Como os relógios do referen-
cial estão sincronizados, a diferença entre as leituras dos relógios localizados nas 
proximidades dos eventos corresponde ao intervalo de tempo próprio entre os 
eventos. Na Figura 7, os eventos A e D ocorrem no mesmo local (x = 2 m), embora 
em instantes diferentes. O intervalo de tempo entre esses eventos, medido pelo 
relógio 2, é um intervalo de tempo próprio, já que o relógio 2 está situado nas pro-
ximidades dos dois eventos. Os eventos A e B ocorrem em locais diferentes, mas 
ao mesmo tempo (isto é, simultaneamente) nesse referencial. O evento C ocorreu 
no passado, já que ct = -1 para este evento (Nesta discussão, estamos consideran-
do o instante em que as origens dos sistemas de coordenadas coincidem, ct= ct' = 
0, como o instante presente.)
TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
19
5.1 LINHAS DO UNIVERSO NO ESPAÇO-TEMPO
O lugar geométrico das posições ocupadas por uma partícula no diagrama 
espaço-tempo é denominado linha do universo da partícula. A linha do universo é 
a "trajetória" da partícula no gráfico de ct em função de x, considere, por exemplo, 
quatro partículas em movimento. 
• Figura 8 (a): mostra as trajetórias no espaço de quatro partículas com diferentes 
velocidades constantes. Observe que a velocidade da partícula 1 é zero e que a 
partícula 2 está se movendo no sentido negativo do eixo. As linhas do universo 
das partículas são linhas retas. 
• Figura 8 (b): a linha do universo da partícula 1 coincide com o eixo ct, já que a 
partícula permanece em x=0. As inclinações constantes são uma consequência 
do fato de que as velocidades são constantes.
• Figura 8 (c): no caso das partículas aceleradas 5 e 6 que não aparecem em (a) 
as linhas do universo não são linhas retas: a velocidade instantânea pode ser 
calculada a partir da tangente em cada ponto.
FIGURA 8 – (A) CONJUNTO DE RELÓGIOS SINCRONIZADOS (B) E(C) AS LINHAS DO 
UNIVERSO DE PARTÍCULAS
FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 16)
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
20
• A Figura 8 (a) mostra o conjunto de relógios sincronizados associados aos di-
ferentes pontos do eixo dos x e as trajetórias no espaço (não no espaço-tempo) 
das quatro partículas, todas partindo do ponto x = 0 e se movendo com veloci-
dade constante durante um tempo ct = 3 m. 
• A Figura 8 (b) mostra as linhas do universo das mesmas partículas no espaço-
-tempo. Como a velocidade das partículas é constante, as linhas do universo 
têm inclinação constante (são linhas retas), já que a inclinação de uma curva no 
diagrama espaço-tempo é proporcional ao inverso da velocidade (inclinação = 
Dt//Dx = 1/ (Dx /Dt) = 1/velocidade). A mesma coisa acontece nas curvas de t em 
função de x dos cursos de física básica. Já, naquela época, o leitor, sem saber, 
estava plotando trajetórias no espaço-tempo e desenhando linhas do univer-
so! Quando a velocidade da partícula está aumentando ou diminuindo, como 
acontece com as partículas 5 e 6 respectivamente, da Figura 8 (c), as linhas do 
universo não são retas. 
6 A TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ
Vamos agora discutir uma importante consequência dos postulados de 
Einstein: a relação geral entre as coordenadas do espaço-tempo t, y, z e t de um 
evento em um referencial S e as coordenadas x', y', z' e t' do mesmo evento em 
um referencial S' que esteja se movendo com velocidade uniforme cm relação a S. 
Para simplificar os cálculos vamos considerar apenas o caso especial no 
qual as origens dos dois sistemas de coordenadas coincidem no instante t = t’ = 0 e 
S' está se movendo em relação a S com velocidade v ao longo do eixo x (ou x') e com 
os eixos y' e z' paralelos, respectivamente, aos eixos y e z (Figura 9). Como vimos, a 
transformação clássica, ou transformação de Galileu, é a equação 1.6 a seguir:
= x - vt y' = y z' = z t' = tx' (1.6)
A qual expressa os valores das coordenadas medidos por um observador 
em S' em termos dos valores medidos por um observador em S. A transformação 
inversa é:
A linha do universo é o registro do percurso da partícula no espaço-tempo, 
pois fornece a velocidade (1/inclinação) e a aceleração (1/taxa de variação da inclinação) da 
partícula a cada instante.
ATENCAO
TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
21
= x' - vt y = y' z = z' t = t'x (1.7)
Que simplesmente reflete o fato de que o sinal da velocidade relativa dos 
referenciais é diferente para os dois observadores. A transformação clássica de 
velocidades é a equação 1.6 e a transformação de acelerações, como vimos, é inva-
riante para uma transformação de Galileu. Deste ponto em diante, vamos ignorar 
as equações para os eixos y e z, que são y' = y e z' = z. 
A essa altura,deve ser evidente para você, acadêmico, que a transforma-
ção clássica de velocidades não é compatível com os postulados de Einstein da 
relatividade restrita. Se a luz se propaga ao longo do eixo x com velocidade c no 
referencial S, a velocidade no referencial S' de acordo com a Equação u'x = ux - v, 
u'y = uy, u'z = uz deveria ser u'k= c - v, e não u'k = c. 
Suponhamos que a equação correta para x seja da forma:
x' = g(x - vt) (1.8)
Em que g é uma constante que pode depender de v e c, mas não das 
coordenadas. Para que a Equação 1.8 se reduza às equações clássicas é preciso 
que g →1 quando v/c → 0. A transformação inversa deve ser semelhante, a não ser 
pelo sinal da velocidade:
x = g(x' + vt') (1.9)
Os sistemas de eixos (Figura 9) podem ser considerados como os eixos co-
ordenados de duas redes com um relógio em cada vértice. Pouco antes do instan-
te representado na figura, as origens O e O’ coincidiam e as duas redes estavam 
superpostas.
As equações da transformação de Galileu devem, portanto, ser modificadas 
para se tomarem compatíveis com os postulados de Einstein, mas de tal forma que se 
reduzam às equações clássicas para v « c. Vamos mostrar em seguida uma das formas 
de obter a transformação correta, que recebe o nome de transformação de Lorentz em 
homenagem ao descobridor H A. Lorentz.
IMPORTANT
E
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
22
FIGURA 9 – DOIS REFERENCIAIS INICIAIS. S E S' COM O SEGUNDO SE MOVENDO COM UMA 
VELOCIDADE V NO SENTIDO POSITIVO DO EIXO X DO SISTEMA S
FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 13)
Se os eixos estiverem dispostos como na Figura 9, não haverá movimento 
relativo entre os referenciais nas direções y e z, portanto, y'=y e z'=z Por outro lado, 
a introdução do multiplicador y de valor ainda desconhecido, modifica a transfor-
mação clássica dos tempos, t'=t. Para mostrar que isso é verdade, basta substituir x' 
dado pela Equação 1.8 na Equação 1.9 e explicitar t' o resultado o seguinte:
( )2
2
1- xt' = t +
v
g
g
g
 
 
  
(1.10)
Suponha que uma lâmpada seja acesa na origem de S em t= 0. Como es-
tamos supondo que as origens coincidem em t = t' = 0, a lâmpada também é acesa 
na origem de S' em t' = 0. A luz se expande a partir das duas origens na forma 
de uma onda esférica. Do ponto de vista de um observador em S a equação da 
frente da onda é:
x2 + y2 + z2 = c2 t2 (1.11)
Enquanto, do ponto de vista de um observador em S' é:
x'2 + y'2 + z'2 = c2 t'2 (1.12)
Observe que as duas equações são compatíveis com o segundo postulado. 
Para que sejam também compatíveis com o primeiro, é preciso que a transforma-
ção relativística que estamos buscando transforme a Equação 1.11 na Equação 
1.12 e vice-versa. Assim, por exemplo, substituindo as Equações 1.8 e 1.9 na Equa-
ção 1.12, devemos obter a Equação 1.11.
y y'S S'
z z'
x x'
(xa' ta )
(xb' tb )
O O'
v
TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
23
7 SIMULTANEIDADE
Os postulados de Einstein levam a algumas previsões a respeito dos re-
sultados de medidas feitas por observadores situados em diferentes referenciais 
inerciais que, a princípio, parecem estranhas ou mesmo absurdas, mas foram com-
provadas experimentalmente. Na verdade, quase todos os supostos paradoxos po-
dem ser explicados se reconhecermos que os postulados da relatividade restrita são 
compatíveis com a relatividade da simultaneidade, segundo a qual dois eventos 
que são simultâneos em um referencial não são simultâneos em outro referencial 
inercial que esteja se movendo em relação ao primeiro. 
Para isso é necessário que:
2 2
2
1 1= =
v 1-1-
c
g
b (1.13)
 
Na qual b = v/c. Note que g = 1 para v = 0 e g → ∞ para v = c.
NOTA
Embora seja possível estudar a relatividade restrita sem usar a transformação 
de Lorentz, esta transformação tem uma aplicação muito importante: permite que as co-
ordenadas no espaço- tempo de eventos medidos com réguas e relógios no referencial 
de um observador sejam convertidas em coordenadas medidas com réguas e relógios 
no referencial de outro observador que esteja se movendo com velocidade constante em 
relação ao primeiro. 
ATENCAO
A partir da afirmação anterior pode-se deduzir o seguinte: dois relógios que 
estão sincronizados em um referencial não estão sincronizados em outro referencial iner-
cial que esteja se movendo em relação ao primeiro.
IMPORTANT
E
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
24
Podemos perguntar: o que são eventos simultâneos? Suponha que dois ob-
servadores, ambos situados no referencial S, um no ponto A e outro no ponto B, 
tenham combinado fazer explodir bomba no instante t (lembre-se de que os relógios 
de S estão sincronizados). O relógio que se encontra no ponto C, equidistante de A e 
de B, registrará a chegada da luz proveniente das duas explosões no mesmo instante. 
Outros relógios de S registrarão primeiro a chegada da luz emitida pela bomba que 
explodiu em A ou em B, dependendo da localização, mas depois de corrigidos para 
levar em conta o tempo de percurso da luz os dados registrados por todos os relógios 
indicarão que as duas explosões foram simultâneas. Vamos, portanto definir dois 
eventos como simultâneos em um referencial inercial se os sinais luminosos associa-
dos a eles forem vistos simultaneamente por um observador, situado em um ponto 
equidistante dos dois eventos de acordo com a indicação de um relógio situado na 
posição desse observador, que recebe o nome de relógio local.
Para mostrar que dois eventos simultâneos no referencial S não são simul-
tâneos em um referencial S' que esteja se movendo em relação a S, vamos usar um 
exemplo proposto por Einstein. Um trem está passando pela plataforma de uma 
estação, com velocidade v. Três observadores A' B' e C' estão situados no primeiro 
vagão, no vagão central e no último vagão do trem. Vamos associar o referencial S' 
ao trem e o referencial S a plataforma da estação. Suponhamos que o trem e a plata-
forma sejam atingidos por dois relâmpagos, um no primeiro vagão e outro no último, 
e que os relâmpagos sejam simultâneos no referencial da plataforma S (Figura 10a). 
Em outras palavras, um observador situado em C, um meio caminho entre A e B, 
observa os dois raios simultaneamente. É conveniente supor que o raio deixa o trem 
e a plataforma chamuscados, pois, nesse caso, os eventos podem ser localizados com 
facilidade nos dois referenciais. Como o observador C está no centro do trem a meio 
caminho entre os pontos que foram chamuscados pelo raio, os dois eventos seriam 
simultâneos em S apenas se fossem observados ao mesmo tempo por C'. Entretanto, 
C observa o raio que atingiu o primeiro vagão antes de observar o raio que atingiu o 
último. No referencial S, quando a luz proveniente do raio que atingiu os pontos A 
e A' chega ao ponto C' o trem se deslocou de uma certa distância em direção a A e 
por isso, a luz proveniente do raio que atingiu os pontos B e B' ainda não chegou a C' 
como mostra a Figura 10b. O observador em C chega, portanto, a conclusão de que 
os eventos não foram simultâneos, mas o raio que atingiu a parte da frente do trem 
aconteceu primeiro.
• Figura 10a: dois relâmpagos atingem as extremidades de um trem chamuscan-
do tanto o trem quanto a plataforma no momento em que o trem (referencial 
S') está passando pela plataforma (referencial S) com velocidade v.
• Figura 10c: os relâmpagos ocorrem simultaneamente em S e são vistos simultane-
amente pelo observador C, localizado na plataforma, a meio caminho entre A e B.
• Figura 10b e 10d: em S' o relâmpago que atingiu o primeiro vagão é visto antes 
do relâmpago que atingiu o último vagão pelo observador C‘ localizado no 
trem a meio caminho entre os pontos que foram chamuscados pelos raios (b) 
e (d), respectivamente. Assim, o observador em C' conclui que os relâmpagos 
não foram simultâneos.
TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
25
FIGURA 10 – RELÂMPAGOS ATINGEM AS EXTREMIDADES DE UM TREM
FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p 11) 
• As Figuras 10c e10d ilustram, respectivamente, a chegada simultânea dos dois 
clarões ao ponto C e a chegada posterior ao ponto C' do clarão proveniente do 
raio que atingiu o último vagão. Na verdade, todos os observadores estacioná-
rios em relação ao referencial S' obtêm o mesmo resultado que o observador 
em C' depois de levarem em conta o tempo de percurso da luz.
Considere novamente um trem em repouso no referencial S' que esteja pas-
sando com velocidade v por uma plataforma em repouso no referencial S. A Figura 
11 mostra três relógios do referencial S e três do referencial S'. Os relógios dos dois 
referendais foram sincronizados da forma descrita anteriormente, mas os relógios 
de S não estão sincronizados com os de S'. Um observador que esteja no ponto C da 
plataforma, a meio caminho entre A e B, anuncia que duas lâmpadas localizadas em 
A e B acenderão quando os relógios desses dois pontos marcarem t0 (Figura 11a).
• Figura 11a: duas lâmpadas são acesas simultaneamente nos pontos A e B onde 
existem relógios sincronizados em S. 
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
26
• Figura 11b: o observador situado em C' a meio caminho entre A' e B', no trem 
em movimento, registra a chegada do raio luminoso proveniente de A antes 
da chegada do raio proveniente de B, mostrada em (d). Como o observador 
em S anunciou que as lâmpadas seriam acesas no instante t0 de acordo com os 
relógios locais, o observador em C conclui que os relógios locais A e B não in-
dicaram simultaneamente o instante t0, isto é, que não estavam sincronizados. 
• Figura 11c: os dois raios são vistos simultaneamente por um observador situa-
do em C.
FIGURA 11 – LÂMPADAS ACESSAS E VISÃO DO OBSERVADOR
FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 12)
Um observador que esteja em C' a meio caminho entre A' e B' verá a luz 
produzida pela lâmpada que foi acesa em A (Figura 11) antes de ver a luz produ-
zida pela lâmpada que foi acesa em B (Figura 11d). 
TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
27
FIGURA 12 – RELATIVIDADE DA SIMULTANEIDADE DE UM PONTO DE VISTA DIFERENTE 
O observador concluirá que se as lâmpadas foram acesas no momento em 
que os relógios em A e B marcavam t
0
, conforme anunciado, os relógios em A e B não po-
dem estar sincronizados. Depois de levarem em conta o tempo de percurso da luz todos os 
observadores situados no referencial S' concordarão com essa conclusão. Por outro lado, 
o observador em C observará as duas luzes simultaneamente, já que todos os relógios de S 
estão sincronizados (Figura 11c). Observe ainda, na Figura 11 que o observador em C tam-
bém conclui que o relógio de A está adiantado em relação ao relógio de B.
IMPORTANT
E
FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 12)
A Figura 12 mostra um clarão que é produzido na Terra no ponto médio 
entre dois relógios situados da Terra. No instante em que a luz é emitida, o ponto 
médio de uma espaçonave em movimento coincide com a fonte luminosa. 
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
28
• Figura 12a: os relógios da Terra registram a chegada simultânea dos raios lumi-
nosos, o que significa que os relógios estão sincronizados.
• Figura 12b: os relógios situados nas extremidades da espaçonave também regis-
tram a chegada simultânea dos raios luminosos segundo postulado de Einstein, 
o que significa que os relógios da espaçonave também estão sincronizados. 
• Figura 12c: entretanto, o observador da Terra vê a luz chegar ao relógio que está 
em B' antes de chegar ao relógio que está em A'. Como os relógios da espaçona-
ve mostram a mesma hora no instante em que é atingido pelos raios luminosos, 
o observador da Terra conclui que os relógios da espaçonave A' e B' não estão 
sincronizados.
• Figura 12d: um observador a bordo da espaçonave conclui que os relógios da 
Terra, A e H não estão sincronizados.
8 TRANSFORMAÇÃO DE VELOCIDADES
A transformação de velocidades na relatividade restrita pode ser obtida 
derivando a transformação de Lorentz. Em física, as transformações de Lorentz, 
em homenagem ao físico neerlandês Hendrik Lorentz, descrevem como, de acordo 
com a relatividade especial, as medidas de espaço e tempo de dois observadores 
se alteram em cada sistema de referência. Elas refletem o fato de que observadores 
se movendo com velocidades diferentes medem diferentes valores de distância, 
tempo e, em alguns casos, ordenação de eventos. Suponha que uma partícula 
esteja se movendo em S com uma velocidade u de componentes:
ux= dx / dt uy= dy / dt e uz= dz / dt
Um observador em S' medirá as componentes:
u'x = dx' / dt' 
u'z = dz' / dt' 
u'y = dy' / dt' 
Usando as equações da transformação de Lorentz. temos:
( )' '
' '
2
dx = dx - vdt dy = dy
vdxdt = dt - dz = dz
c
g
g   
 
(1.14)
 
Portanto:
( )''
x = '
22
dx - vdx - vdtdx dtu = = v dxvdxdt 1-dt -
c dtc
g
g
 
 
 
 
 
 
(1.15)
TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
29
Ou:
' x
x
x
2
u - vu = vu1-
c
(1.16)
Se a velocidade da partícula tem componentes nas direções y e z, não é 
difícil mostrar que
y' ' z
y z
y z
22
u uu = u =
vu vu1-1- cc
gg
   
      
(1.17)
É importante notar que esta forma da transformação de velocidades é 
válida apenas para o caso especial em que os dois referenciais estão relacionados 
como na Figura 9. Observe também que para v « c ou seja, para = v / c = 0b 
a transformação relativística de velocidades se reduz à transformação clássica: 
Equação x x y y z zu' = u - v u' = u u' = u . A transformação de velocidades inversa é 
a seguinte:
yx
x x y y2 2
z
z z 2
vu'vu'u = u' +v / 1+ u = u' +v / 1+
c c
vu' u = u' +v / 1+
c
g
g
  
       
 
 
  
(1.18)
9 O EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO
O efeito Doppler relativístico é a mudança aparente da frequência da luz, 
para objetos (fonte emissora ou detector) que se movem em velocidades relativís-
ticas. No efeito Doppler clássico, como o caso de ondas sonoras, a velocidade da 
fonte em relação ao detector tem influência na frequência aparente da onda (pode 
ser um acréscimo ou decréscimo), tomando como referencial o ar. Como a luz é 
uma onda eletromagnética, e não depende de um meio para propagação, a fre-
quência observada irá apenas depender da velocidade relativa de ambos. Nesses 
casos relativísticos, uma distinção entre o movimento da fonte e do receptor não 
pode ser feita, portanto o efeito Doppler clássico não será utilizado. A razão é que 
o intervalo de tempo medido no referencial da fonte e do receptor são diferentes.
No caso das ondas sonoras, a variação de frequência com a velocidade 
(efeito Doppler) depende se é a fonte ou o observador que está se movendo com 
essa velocidade. Tal distinção é possível porque existe um meio (o ar) em relação 
ao qual podemos medir os movimentos da fonte e do observador. No caso da 
luz e outras ondas eletromagnéticas, porém, que podem se propagar no espaço 
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
30
vazio, essa distinção não existe. Isso significa que a expressão clássica usada para 
calcular o efeito Doppler não pode estar correta no caso da luz. Vamos agora 
determinar a expressão correta do efeito Doppler para a luz. 
Considere uma fonte luminosa que esteja se movendo em direção a um 
observador A com velocidade v (Figura 13a). 
FIGURA 13 – FONTE LUMINOSA, OBSERVADOR E DIREÇÃO DE PROPAGAÇÃO
FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 26)
V CC
B
(a)
A
(b)
Ct
B AC∆t C∆t
C∆t C∆t’
V∆t x0
Ct’
Linha do
universo da
luz que se
propaga em
direção a B
Linha do
universo da
luz que se
propaga em
direção a A
(c)
y
x
y’
x’
S S’
Vω
Observador
x (em S)
Fonte
Receptor
Raios
gama
Experimento
de Kündig
(d)
0 (medido
 em S)
TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
31
A Figura 13 apresenta, no caso da luz e do som, o efeito Doppler causado 
pelo movimento relativo entre a fonte e o receptor, entretanto, o fato de que a ve-
locidade da luz nãodepende do movimento faz com que as expressões do desvio 
de frequência sejam diferentes nos dois casos. 
• A Figura 13a mostra urna fonte que se aproxima do observador A e se afasta do 
observador B. O diagrama espaço-tempo para o referencial S, no qual A e B estão 
em repouso e a fonte se move com velocidade v ilustra as duas situações. 
• A Figura 13b mostra a fonte situada em x'= 0 (o eixo x' foi omitido) se move ao 
longo de sua linha do universo, o eixo ct'. As N ondas emitidas em direção a A 
no intervalo de tempo Dt ocupam a região Dx = cDt - vDt enquanto as que se diri-
gem a B ocupam a região Dx = cDt + vDt. Em três dimensões, o observador em S 
pode ver a luz emitida fazendo um ângulo θ em relação ao eixo x(c). Nesse caso, 
é observado o chamado efeito Doppler transversal.
• A Figura 13 d: método usado por Kündig para medir o efeito Doppler transversal.
A fonte está emitindo uma série de ondas em direção aos observadores A 
e B enquanto se aproxima de A e se afasta de B. A Figura 13b mostra o diagrama 
espaço-tempo do sistema em S, o referencial no qual A e B estão em repouso. A 
fonte está localizada em V =0 (o eixo x não aparece na figura e naturalmente, sua 
linha do universo é o eixo ct'. Suponha que a fonte emite uma série de N ondas 
eletromagnéticas nas duas direções a partir do instante em que as origens de S e 
S' coincidem. Considere: primeiro a série de ondas emitidas em direção a A. Du-
rante o intervalo de tempo Dt no qual a fonte emite N ondas, a primeira onda a ser 
emitida percorre uma distância cDt e a fonte percorre uma distância vDt em S. Do 
ponto de vista do observador em A, as N ondas ocupam uma extensão cDt - vDt e 
portanto o comprimento de onda X é dado por:
( )c t v tl = D − D Ν (1.19)
A frequência /f c l= é dada por:
1
( - ) 1-
f
v
χ χ
l χ τ b τ
Ν Ν
= = =
D D
 (1.20)
 
A frequência da fonte em S' denominada frequência própria é dada por 
/ / 'uf c N N t= = D , na qual Dt' é medido em S' o referencial inercial no qual a fonte 
se encontra em repouso. O intervalo de tempo Dt’ é o tempo próprio, já que as 
ondas luminosas, em particular a primeira e a enésima, vão todas emitidas em 
x' = 0 assim, Dx' = 0 entre a primeira e a enésima onda em S'. A relação entre Dt 
e Dt' é dada pela equação de dilatação dos tempos, equação Dt = yDt'. Assim, a 
frequência medida pelo observador A em S é dada por
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
32
'
0 01 1 
1- 1-
f t ff
tb b g
D
= =
D
(1.21)
ou
2
0 0 
1- 1
1- 1-
f f fb b
b b
+
= = (1.22)
A única diferença entre a Equação 1.21 e a equação clássica é da presença 
do fator de dilatação dos tempos, y. 
Suponha que a distância entre a fonte e o observador esteja aumentando. 
Para o observador B também estacionário em relação a S as V ondas ocupam uma 
extensão cDt + vDt e uma análise semelhante a anterior mostra que a frequência 
medida pelo observador B é dada por:
2
0 0 
1- 1-
1 1
 f f fb b
b b
=
+ +
= (1.23)
Note que se a distância entre a fonte e o observador estiver diminuindo f>f
0, 
como no caso da luz visível, isto corresponde a um desvio em direção à parte azul do 
espectro: o fenômeno é conhecido como desvio para o azul. Observe que se a distância 
entre a fonte e o observador está aumentando f <f
0
. Como no caso da luz visível, isto cor-
responde a um desvio em direção à parte vermelha do espectro. O fenômeno é conhecido 
como desvio para o vermelho. 
IMPORTANT
E
Fica a cargo do acadêmico mostrar que os mesmos resultados são obtidos 
quando a análise é executada no referencial em que a fonte está em repouso.
9.1 ALGUMAS APROXIMAÇÕES ÚTEIS
Se v « c (ou seja, b « 1) uma situação muito comum na prática, as Equações 
1.22 e 1.23 podem ser substituídas por aproximações bem mais fáceis de memori-
zar. A Equação 1.22, por exemplo, pode ser escrita na forma:
TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
33
1
-1/22
0 ) -(1 (1 )f f b b+= (1.24)
Substituindo os fatores entre parênteses por suas expansões binomiais, 
temos:
2 2
0
1 1 1 31 - 1
2 8 2 8
f f b b b b  = + +… + + +…  
  
(1.25)
Multiplicando termo a termo e desprezando os termos de ordem mais ele-
vada que b temos:
1
o
f
f
b≈ + (1.26)
No caso da Equação 1.23 um cálculo semelhante leva a seguinte expressão:
1
o
f
f
b≈ + (1.27)
Em ambos os casos | / |of f bD ≈ sendo | .of f fD = −
A teoria da relatividade especial de Einstein é considerada por muitos cientistas 
uma das mais belas criações humanas. Veja uma nova percepção da realidade: a Teoria da 
Relatividade Especial ou Restrita, acessando: http://bit.ly/2GbPhhr.
NOTA
Teoria da Relatividade é a denominação dada ao conjunto de duas teorias 
científicas: a Relatividade Restrita (ou Especial) e a Relatividade Geral. Aprenda mais sobre a 
Teoria da Relatividade de Albert Einstein. Assistindo o seguinte vídeo: https://www.youtube.
com/watch?v=nf32ejhzTNQ. 
DICAS
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
34
O conteúdo que será abordado no decorrer do Livro Didático no próximo 
tópico será sobre a Dinâmica Relativística. Para construir uma dinâmica devemos definir 
massa e momento sobre esta teoria. Na teoria Newtoniana massa é uma constante de 
proporcionalidade entre a aceleração e a força. Fique agora com uma leitura complementar 
sobre o assunto do Tópico 1.
ESTUDOS FU
TUROS
FONTE: <http://www.ghtc.usp.br/server/pdf/RAM-Relatividade-livro.pdf>. Acesso em: 23 out. 2019.
O surgimento da teoria da relatividade restrita
A teoria da relatividade restrita (ou relatividade especial) foi de-
senvolvida no final do século XIX e início do século XX. Albert Einstein 
formulou sua versão dessa teoria em 1905, embora uma grande parte da 
teoria já tivesse sido desenvolvida por outros autores, antes disso. Este ca-
pítulo irá mostrar como essa teoria surgiu, discutindo desde suas origens 
mais remotas até o trabalho de Einstein. No entanto, antes de apresentar 
essa história, é importante proporcionar uma visão geral da própria teoria 
da relatividade especial. A teoria da relatividade estuda, basicamente, as 
diferenças que existem entre as medidas físicas realizadas em dois referen-
ciais em movimento relativo. Um referencial é um sistema físico dotado de 
instrumentos de medida, em relação ao qual é possível fazer medições e 
experimentos. Podemos imaginar, por exemplo, um referencial parado em 
relação ao solo, e um outro referencial parado em relação a um avião que 
passa pelo céu. Na teoria da relatividade geral, os referenciais podem estar 
se movendo de qualquer modo (podem estar acelerados ou girando uns em 
relação aos outros). A teoria da relatividade restrita, que foi desenvolvida 
antes – e que será tratada aqui – estuda apenas referenciais inerciais, com 
movimentos relativos retilíneos e uniformes. Um referencial inercial é, ba-
sicamente, aquele em relação ao qual vale a lei da inércia – ou seja, se um 
corpo não está submetido a forças externas, então, quando ele é observado 
a partir de um referencial inercial, ele fica parado ou se move em linha reta, 
com velocidade constante. No entanto, o mesmo objeto, quando observado 
a partir de um outro referencial (não inercial), pode estar se movendo em 
uma trajetória curva, ou estar acelerado. Do modo como Einstein apresen-
tou a teoria da relatividade especial, ela se baseia em dois postulados – ou 
seja, em dois princípios que são tomados como ponto de partida e que não 
são provados pela própria teoria.
35
Neste tópico, você aprendeu que:
• O Princípio da relatividade é um princípio geral sobre a forma que deve tomar 
uma teoria física.
• Frequentemente os princípios de relatividade estabelecem equivalências en-
tre observadores, de acordo com princípios de simetria ou invariância entre 
situações fisicamente equivalentes. 
• De acordo com estes princípios, uma determinada descrição de um fenôme-
no poderia ser incorreta se não respeita o princípio de relatividade básico que 
define a teoria (assim a teoria da gravitação de Newton era incompatível