Estatística Aplicada à Hidrologia

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Sarah Valente Tavares Ceatec – Engenharia Civil 
 
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Estatística Aplicada A 
Hidrologia 
CONSIDERAÇÕES GERAIS 
 As séries de variáveis hidrológicas como precipitações 
e vazões apresentam variações sazonais ao longo do 
tempo (variações regulares) 
 Essas variáveis estarão sempre associadas a uma 
probabilidade de ocorrência 
 Em consequência disso, as obras hidráulicas devem ser 
dimensionadas para um determinado “risco” de falha 
 Ao observarmos longas séries notaremos valores 
máximos e mínimos 
 Entretanto, não conseguimos saber a evolução da 
precipitação em determinada bacia, isso representa 
uma dificuldade básica no planejamento das atividades 
humanas 
OBJETIVO DA ESTATÍSTICA 
 Encontrar informações significativas em uma dada 
massa de dados, e principalmente estimar a ocorrência 
de um fenômeno extremo 
 Uso da teoria de probabilidades (ESTATÍSTICA) 
 Necessário que se tenha: 
 Amostra: conjunto de dados reunidos que representam 
uma população 
 
 
 
 
 
CONCEITO DE PERÍODO DE RETORNO 
 Período de Retorno, conhecido também como 
Tempo de Recorrência 
 É definido como o intervalo médio de tempo em 
que um dado evento é igualado ou ultrapassado 
 
 Numericamente é igual ao inverso da 
probabilidade 
 Quando a ocorrência de um determinado evento 
está associada a um período de retorno igual a 
50 anos: tal evento deve ocorrer ou ser 
superado num tempo médio de 50 anos 
 Fica intrínseco que sua probabilidade de 
ocorrência é igual a 2% (em um ano 
QUALQUER) 
 É um conceito probabilístico (não significa 
periodicidade!!!) 
CONCEITO DE RISCO ASSOCIADO A UM 
PERÍODO DE RETORNO 
 Período de retorno igual ao inverso da 
probabilidade de ocorrência 
 
 Probabilidade de não-ocorrência num ano 
 Probabilidade de não-ocorrência em um período 
“n” (“n” anos) 
 Risco de ocorrência (uma ou mais vezes) de um 
determinado evento em um determinado 
período “n” chamado de horizonte de 
planejamento 
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PERÍODO DE RETORNO EM FUNÇÃO DO RISCO 
 
 
VIDA ESPERADA DA OBRA EM FUNÇÃO DO RISCO 
E DO TEMPO DE RETORNO (TR) 
 
 A probabilidade de um evento (chuva) ocorrer 
em média é de 1 vez em 5 anos assim tem – se: 
 
 P: probabilidade de ocorrência do evento (chuva) 
 q: probabilidade de não ocorrência do evento 
(chuva) 
P + q = 1  P = 1 /5 = 0,2  q = 1 – 0,2 = 0,8 
q (probabilidade de não ocorrência) = 0,8 
 Qual a probabilidade de que o evento ocorra pelo 
menos uma vez em 3 anos? 
P = 1 - 𝑞𝑛 
P = 1 - 0,83 
P = 0,488 
ESCOLHA DO PERÍODO DE RETORNO 
 É um dos problemas mais comuns (e 
importantes) em hidrologia, uma vez que 
envolve diretamente as dimensões da obra 
(e portanto, seu custo) e o risco que esta 
obra tem de falhar durante sua vida útil 
 
CURVA DE PERMANÊNCIA 
 Curva de permanência de vazão também é 
conhecida como curva de duração 
 É um traçado gráfico que informa com que 
frequência a vazão de cada magnitude é 
igualada ou excedida durante o período de 
registro das vazões 
 O traçado da curva é feito, normalmente, 
com a vazão lançada em ordenada, contra a 
porcentagem do tempo em que essa vazão 
é igualada ou excedida em abscissa 
 
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 Para preparar uma curva de permanência de vazões: 
 1 – A faixa total das vazões utilizadas na análise é dividida 
em classes 
 2 – O registro completo de dados é, em seguida, 
“esquadrinhado”, contando – se o número de 
observações dentro de cada classe 
 3 – O número de observações em cada classe é 
acumulado, a partir do intervalo que contém a vazão 
máxima (a classificação é decrescente) 
 4 – A contagem das observações acumuladas é, então, 
transformada em porcentagem 
 5 – Lançam – se em um gráfico os valores das vazões 
(limite inferior de cada classe), em ordenada, versus as 
contagens percentuais acumuladas correspondentes, 
em abscissa, e traça – se uma linha suave através dos 
pontos plotados 
 A (Amplitude) = maior número – menor número 
 n = número total de dados 
 N = intervalos  𝑁 = √𝑛 
 K = amplitude dos intervalos  𝐾 = 𝐴 / 𝑁 
 
 
 
MÉDIA DE AMOSTRAS 
 Mede a tendência central de uma distribuição 
 
DESVIO PADRÃO 
 Mede o grau de dispersão em relação à média 
 
RELACIONAMENTO ENTRE DUAS VARIÁVEIS 
 Quando o relacionamento entre duas variáveis 
quantitativas for do tipo linear, ele pode ser 
medido através do: coeficiente de correlação 
 Para determinar o coeficiente de correlação 
(grau de relacionamento linear entre duas 
variáveis) vamos determinar inicialmente a 
variação conjunta entre elas, isto é, a covariância 
 
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 Covariância: 
 Utilizada para medir o grau e o sinal do relacionamento 
entre as duas variáveis 
 
 Difícil de interpretar por variar de – infinito a + infinito 
 Vamos utilizar o coeficiente de correlação linear de 
Pearson 
 
 
 
 Se r = - 1 (relacionamento linear negativo perfeito): 
os pontos estão todos alinhados e quando X 
aumenta Y decresce e vice – versa 
 Se r = + 1 (relacionamento linear positivo perfeito): 
os pontos estão todos alinhados e quando X 
aumenta Y também aumenta 
 Se r = 0 (ausência de relacionamento linear): os 
pontos não mostram “alinhamento” 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 
 Apresentam – se aqui, as distribuições de probabilidades 
mais utilizadas em Hidrologia: 
 Distribuição Normal: é mais empregada para o cálculo 
de vazões e precipitações médias mensais e 
precipitação total anual 
 Distribuição de Gumbel: utilizada também para o cálculo 
de vazões e chuvas máximas 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 A distribuição Normal ou Curva de Gauss é uma das 
mais utilizadas pelos estatísticos, principalmente pela 
facilidade de seu emprego 
 A função Densidade de Probabilidade (FDP) 
teórica é dada por: 
 
DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL 
 Outra distribuição utilizada com bons resultados 
para análise de máximos é a chamada 
Distribuição de Gumbel, expressa pela seguinte 
fórmula: 
 
 
 
Uma medida quantitativa do grau de 
associação linear entre Y e X 
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 Onde: 
 P – probabilidade de um valor extremo X ser maior ou 
igual a um dado valor x 
 T – período de retorno 
 Y – variável reduzida Gumbel 
 Como y depende de período de retorno T, pode – se 
escrever: 
 
 A relação entre yt e Qt é dado por: 
 
 Onde: 
 Xt – vazão (ou chuva) para um determinado período 
de retorno T 
 X média - média da amostra 
 Sx – desvio padrão da amostra 
 Yt – variável reduzida Gumbel para período de retorno 
T