Aula 01 - Preliminares

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PRÉ-CÁLCULO
REVISÃO DOS FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Aula 01 - Preliminares
Autor: EXATAS para Engenheiros Data: 26 de dezembro de 2020.
Vamos, nesta aula introdutória, estudar alguns conceitos que servirão como base para o
entendimento da matemática e das demais aulas deste curso de Fundamentos de Matemática.
1 Proposições simples
Proposições (sentenças, frases) são certas asserções feitas através de símbolos (lembremos
que palavras também são símbolos).
Uma proposição deve:
• Apresentar-se na forma estruturada, com sujeito e predicado (como uma oração);
• Ser declarativa afirmativa;
• Obedecer aos dois princípios seguintes:
– 1ª Princípio do terceiro excluído: "Uma proposição deve ser uma asserção verda-
deira ou falsa não havendo outra alternativa".
– 2ª Princípio de não contradição: "Uma proposição não pode ser ao mesmo tempo
verdadeira e falsa".
Exemplos e contra-exemplos:
1. 3 + 4 = 7 (três mais quatro é igual a sete);
2. 3 x 4 6= 15 (três multiplicado por quatro é diferente de quinze);
3. O triângulo tem diagonal;
4. 5 > 8 (cinco é maior do que oito);
5. Brasília é a capital do Brasil;
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6. 45 é divisível por 3;
As sentenças acima são exemplos de proposições simples das quais só a 3ª e a 4ª são falsas.
Não podem ser consideradas preposições:
1. 2 + 5 (falta predicado);
2. Pedro estuda Matemática? (oração interrogativa);
3. x + 4 = 7 (não pode ser classificada em falsa ou verdadeira).
2 Proposição composta - conectivos
A partir de proposições simples podemos formar outras com o emprêgo de símbolos lógicos
tais como o conectivo e e o conectivo ou.
2.1 Conectivo e
Colocando-se a palavra e (representada pelo símbolo ∧) entre duas proposições simples p e
q, obtemos uma proposição composta p ∧ q.
Com o conectivo e realiza-se a conjunção das sentenças p e q, isto é, p ∧ q é a asserção pela
qual se declara ao mesmo tempo p e q.
Assim, por exemplo, indicando por p a proposição "três é menor que quatro"e por q a pro-
posição "quatro é menor que cinco", a proposição p ∧ q será "três é menor que quatro e quatro
é menor que cinco". Em resumo:
p: 3 < 4
q: 4 < 5
p ∧ q: 3 < 4 e 4 < 5
Eis outros exemplos:
1. (a) p: O quadrilátero ABCD é retângulo.
(b) q: O quadrilátero ABCD tem os lados congruentes.
(c) p ∧ q: O quadrilátero ABCD é retângulo e tem os lados congruentes.
2. (a) p: Carlos estuda matemática.
(b) q: Carlos joga xadrez.
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(c) p ∧ q: Carlos estuda matemática e joga xadrez.
3. (a) p: A seleção brasileira disputou a copa.
(b) q: A seleção argentina não disputou a copa.
(c) p ∧ q: A seleção brasileira disputou a copa e a argentina não.
Para estabelecer se a proposição composta p ∧ q é verdadeira, devemos utilizar o seguinte
critério:
A conjunção p ∧ q é verdadeira quando p e q
são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa então p ∧ q é falsa.
Exemplos:
1. (a) p: 3 < 4 (verdadeira)
(b) q: 4 < 5 (verdadeira)
(c) p ∧ q: 3 < 4 e 4 < 5 (verdadeira)
2. (a) p: A seleção brasileira disputou a copa (verdadeira)
(b) q: A seleção brasileira não sofreu gols (falsa)
(c) p ∧ q: A seleção brasileira disputou a copa e não sofreu gols (falsa)
3. (a) p: 12 é divisível por 5 (falsa)
(b) q: 52 = 12 (falsa)
(c) p ∧ q: 12 é divisível por 5 e 5 2 = 12 (falsa)
4. A proposição composta:
(a) p ∧ q: "ABCD é quadrado"significa que
(b) p ∧ q: "ABCD tem os lados congruentes e ABCD tem os ângulos retos". Ou ainda
significa que
(c) p ∧ q: "ABCD é losango e ABCD é retângulo". Então
(d) p: "ABCD é losango".
(e) q: "ABCD é retângulo".
(f) Do critério estabelecido, resulta que "ABCD é quadrado"é verdadeira quando "ABCD
é losango"e "ABCD é retângulo"são ambas verdadeiras.
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5. Se a é um número dado, a sentença composta:
(a) p ∧ q: "a é positivo e diferente de 2"é verdadeira quando:
(b) p: "a é positivo"é verdadeira e também
(c) q: "a é diferente de 2"é verdadeira.
2.2 Conectivo ou
Colocando-se a palavra ou (representada pelo símbolo v) entre duas proposições simples p
e q, obtemos uma proposição composta p v q.
Com o conectivo ou realiza-se a disjunção das sentenças p e q, isto é, p v q é a asserção pela
qual se declara pelo menos uma das asserções p e q.
Assim, por exemplo, indicando por p a proposição "três é menor que quatro"e por q a pro-
posição "oito é divisível por dois", a proposição p v q será "três é menor que quatro ou oito é
divisível por dois". Em resumo:
p: 3 < 4
q: 8 é divisível por 2
p v q: 3 < 4 ou 8 é divisível por 2
Eis outros exemplos:
1. (a) p: O triângulo ABC é triângulo retângulo.
(b) q: O triângulo ABC é triângulo isósceles.
(c) p v q: O triângulo ABC é triângulo ou isósceles.
2. (a) p: Pedro presta atenção à aula.
(b) q: Pedro conversa com o colega.
(c) p v q: Pedro presta atenção À aula ou conversa com o colega.
3. (a) p: O Palmeiras vence o Corinthians.
(b) q: O Palmeiras empara com o Santos.
(c) p v q: O Palmeiras vence o Corinthians ou empata com o Santos.
Para estabelecer se a proposição composta p v q é verdadeira, devemos utilizar o seguinte
critério:
A disjunção p v q é verdadeira quando pelo menos uma das proposições
p, q é verdadeira; se ambas forem falsas então p v q é falsa.
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Exemplos:
1. (a) p: 2 > 0 (verdadeira)
(b) q: 2 6= 1 (verdadeira)
(c) p v q: 2 > 0 ou 2 6= 1 (verdadeira)
2. (a) p: 5 > 3 (verdadeira)
(b) q: 3 > 5 (falsa)
(c) p v q: 5 > 3 ou 3 > 5 (verdadeira)
3. A proposição composta
(a) p v q: "Pedro estudou a lição ou fez os problemas"é falsa quando:
(b) p: "Pedro estudou a lição"é falsa e também
(c) q: "Pedro fez os problemas"é falsa.
4. A proposição composta
(a) p v q: "O triângulo ABC é triângulo isósceles ou retângulo"é verdadeira quando ao
menos uma das sentenças
(b) p: "O triângulo ABC é triângulo isósceles".
(c) q: "O triângulo ABC é triângulo retângulo"é verdadeira.
5. (a) p: a = 0
(b) q: b = 0
(c) p v q: a = 0 ou b = 0
Observemos a sentença "a = 0 ou b = 0"é o mesmo que "a.b = 0"e só é falsa se a 6= 0 e
também b 6= 0.
3 Implicação
As palavras se e então com as proposições p e q na forma "se p, então q" determinam uma
nova proposição que é o condicional de p e q.
Implicação é a asserção indicada por
p⇒ q
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pela qual se declara que "p tem por consequência q", "p acarreta q", "p implica q", "p obriga
q"ou "se p, então q".
Exemplos:
1. (a) p: Pedro foi ao Ceará.
(b) q: Pedro foi ao Nordeste.
(c) p⇒ q: Pedro foi ao Ceará⇒ Pedro foi ao Nordeste.
O condicional neste caso, declara:
"Pedro foi ao Ceará"implica "Pedro foi ao Nordeste".
"Pedro foi ao Ceará"acarreta "Pedro foi ao Nordeste".
"Se Pedro foi ao Ceará", então Pedro foi ao Nordeste".
2. (a) p: 3 > 2
(b) q: 32 > 22
(c) p⇒ q: 3 > 2⇒ 32 > 22
O condicional neste caso, declara:
"Se três é maior que dois, então o quadrado de três é maior que o quadrado de dois".
3. (a) p: O triângulo ABC é isósceles
(b) q: Os ângulos da base do triângulo ABC são congruentes
(c) p⇒ q: O triângulo ABC é isósceles⇒ os ângulos da base do triângulo ABC são
congruentes.
O condicional neste caso, declara:
"Se o triângulo ABC é isósceles então os ângulos da base do triângulo ABC são congru-
entes".
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Outras maneiras de ler o condicional p⇒ q são:
p é condição suficiente para q
q é condição necessária proveniente de p.
Assim, por exemplo, no condicional:
"Se Pedro foi ao Ceará, então Pedro foi ao Nordeste", temos:
1. "Pedro foi ao Ceará"é condição suficiente para "Pedro foi ao Nordeste".
2. "Pedro foi ao Nordeste"é condição necessária proveniente de "Pedro foi ao Ceará".
Outros exemplos:
1. "Se p (a.b = 0), então q (a = 0 ou b = 0).
(a) "a.b = 0"é condição suficiente para "a = 0 ou b = 0".
(b) "a = 0 ou b = 0"é condição necessária proveniente de "a.b = 0".
2. "Se p (dois triângulos são congruentes), então os q (dois triângulos são semelhantes)".
(a) "Dois triângulos são congruentes"é condição suficiente para "os dois triângulos são
semelhantes".
(b) "Dois triângulos são semelhantes"é condição necessária proveniente de "dois triân-
gulos são congruentes".
Para estabelecer se o condicionalp⇒ q é verdadeiro, devemos utilizar o seguinte critério:
O condicional p⇒ q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa;
caso contrário, p⇒ q é verdadeiro.
Exemplos:
1. (a) p: 3 > 2 (verdadeira)
(b) q: 32 > 22 (verdadeira)
(c) p⇒ q: 3 > 2⇒ 32 > 22 (verdadeira)
2. (a) p: 52 = 2 (verdadeira)
(b) q: 5 = -5 (falsa)
(c) p⇒ q: 52 = 52⇒ 5 = -5 (falsa)
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3. O condicional "se Pedro foi ao interior, então Pedro foi a Campinas"é falso desde que
"Pedro foi ao interior"seja verdadeira e "Pedro foi a Campinas"seja falsa, isto é, Pedro
tenha ido a outra cidade do interior.
Observemos que a proposição p ⇒ q (p implica q), onde p e q são proposições, deve ser
entendida de modo que, se p for uma proposição falsa, a implicação p⇒ q é uma proposição
sempre verdadeira, quer a proposição q seja verdadeira ou falsa.
Exemplos:
1. 5 é múltiplo de 3⇒ 5 > 3 (verdadeira)
2. 3 = 2⇒ 9 = 4 verdadeira)
4 Equivalência
Equivalência das proposições p e q é a asserção indicada por:
p⇔ q
pela qual se declara que "se p, então q"e "se q, então p". A proposição p ⇔ q, também
chamada dupla-implicação ou bi-implicação, pode ser lida "p equivale a q", ou ainda "p se, e
somente se, q".
Notemos que: (considere as expressões com acento)
p⇔ q quando =

p⇔ q =

se p, entao q
p e condicao su f iciente para q
q e condicao necessaria proveniente de p
e
q⇔ p =

se q, entao p
q e condicao su f iciente para p
p e condicao necessaria proveniente de q
Logo, a equivalência p⇔ q pode ser lida: "p é condição necessária e suficiente para q"ou
ainda "q é condição necessária suficiente para p".
Exemplos:
1. Um campeonato encerrou-se com um único campeão, então:
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(a) p: O clube A é campeão
(b) q: O clube A somou mais pontos
(c) p⇒ q: O clube A é campeão⇒ o clube A somou mais pontos
(d) q⇒ p: O clube A somou mais pontos⇒ o clube A é campeão.
O clube A é campeão⇔ o clube A somou mais pontos. "O clube A é campeão"é condição
necessária e suficiente para "o clube A somou mais pontos"e vice versa.
2. Num triângulo ABC temos:
(a) p: Dois lados são congruentes (é isósceles)
(b) q: Dois ângulos são congruentes (é isoângulo)
(c) p⇔ q: dois lados são congruentes⇒ dois ângulos são congruentes
(d) q⇔ p: dois ângulos são congruentes⇒ dois lados são congruentes
Dois lados são congruentes⇔ dois ângulos são congruentes. "Ser isósceles"é condição
necessária e suficiente para o triângulo ABC "ser isoângulo". "Ser isoângulo"é condição
necessária e suficiente para o triângulo ABC "ser isósceles".
Para estabelecer se uma equivalência p⇔ q é verdadeira, devemos utilizar o seguinte crité-
rio:
A equivalência p⇔ q é verdadeira quando o condicional "se p, então q"é verdadeiro
e o condicional "se q, então p"também é verdadeiro; caso contrário a equivalência é falsa.
5 Quantificadores
Existem expressões como:
1. x + 2 = 5
2. x + 3 > 8
3. x2 = x
que contêm variáveis (no caso, x) e se tornam verdadeiras ou falsas conforme o valor que se
atribui a x.
Assim, nos exemplos dados, temos:
1. x + 2 = 5
(a) É verdadeira para x = 3. É falsa para x 6= 3.
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2. x + 3 > 8
(a) É verdadeira para x = 10. É falsa para x = 2.
3. x2 = x
(a) É verdadeira para x = 1. É falsa para x = 2.
As sentenças que contém variáveis são chamadas sentenças abertas. Elas não são proposi-
ções com as características exigidas.
Há duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições:
1. Atribuir valor á variável (como já vimos acima);
2. Utilizar quantificadores.
5.1 Quantificador universal
O quantificador universal, usado para formar proposições, é indicado pelo símbolo ∀ e sig-
nifica: "qualquer que seja", "para todo", "para cada".
Exemplos:
1. Se x é número real, temos as proposições:
(a) ∀ x, x2 ≥ 0 (significa "para todo x, x2 ≥ 0")
(b) ∀ x, 0 . x = 0
(c) ∀ x, x - x = 0
(d) ∀ x, (x + 1) . (x - 1) = x2 - 1
2. Se x é um estudante, podemos construir a proposição: "∀ x, x é inteligente".
5.2 Quantificador existencial
O quantificador existencial, usado para formar proposições, é indicado pelo símbolo ∃ e
significa "existe", "existe pelo menos um", "existe um".
Exemplos:
1. ∃ x | x + 2 = 5 (significa "existe x tal que x + 2 = 5")
2. ∃ x | x + 3 > 8
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3. ∃ x | x2 = x
4. Se x é um estudante, podemos construir a proposição: "∃ x | x é inteligente"; que significa
"existe ao menos um estudante inteligente".
5.3 Quantificados existencial particular
Indicado pelo símbolo ∃| que significa "existe um único", "existe um e um só", "existe só
um".
Exemplos:
1. ∃| x | x + 1 = 2
(a) Significa "existe um único x tal que x + 1 = 2".
2. ∃| x | x2 = 0
(a) Significa "existe um único x tal que x2 = 0".
6 Negação
6.1 Negação de proposições simples
A negação de uma proposição "p"é "não p"ou "não é verdade que p".
Exemplos:
1. (a) p: 4 é maior que 5.
(b) negação: 4 não é maior que 5.
2. (a) p: Pedro foi viajar.
(b) negação: Pedro não foi viajar.
6.2 Negação de proposições compostas
A negação da conjunção "p ∧ q"(p e q) é a disjunção "não p ou não q".
Exemplos:
1. (a) p: a 6= 0
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(b) q: b 6= 0
(c) p ∧ q: a 6= 0 e b 6= 0
(d) negação: a = 0 ou b = 0
2. (a) p: Pedro estuda a teoria.
(b) q: Pedro resolve os exercícios.
(c) p ∧ q: Pedro estuda a teoria e resolve os exercícios.
(d) negação: Pedro não estuda a teoria ou não resolve os exercícios.
A negação da disjunção "p v q"é a conjunção "não p e não q".
Exemplos:
1. (a) p: Rubens estuda.
(b) q: Rubens joga futebol.
(c) p v q: Rubens estuda ou joga futebol.
(d) negação: Rubens não estuda e não joga futebol.
2. (a) p: a = 5
(b) q: b = 2
(c) p v q: a = 5 ou b = 2
(d) negação: a 6= 5 e b 6= 2
6.3 Negação de proposições quantificadas
• Com o quantificador universal.
A negação da proposição "qualquer que seja, p"é "existe, não p".
Exemplos:
1. Todo aluno é inteligente.
(a) Negação: Existe aluno que não é inteligente.
2. ∀ x, x + 2 = 5
(a) Negação: ∃ x | x + 2 6= 5
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• Com o quantificador existencial.
A negação da proposição "existe, p"é "qualquer que seja, não p".
Exemplos:
1. ∃ x | x + 3 = 7
(a) Negação: ∀ x, x + 3 6= 7
2. Existe professor inteligente.
(a) Negação: Todo professor não é inteligente.
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