SE 2019 - Aula 21 - Casa

Prévia do material em texto

Curso Sala de Ensino 
Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
Telefone: 3587-8376 
 
 
 
 1 
 
 
 
Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
Profº. Carlos Henrique(Bochecha) – Aula 21 – Casa(Matrizes) 
 
1. (Ueg 2019) Em um torneio de vôlei, as equipes A, B, C e D obtiveram os 
resultados registrados na tabela a seguir. 
 
Equipe 
Vitórias 
por 3 0 
Vitórias por 
3 2 ou 
3 1 
Derrotas por 
3 2 ou 
3 1 
Derrotas 
por 3 0 
A 7 4 2 0 
B 3 5 3 2 
C 1 2 6 4 
D 0 4 4 5 
 
Sabendo-se que cada resultado, pelo regulamento do torneio, tem a 
pontuação correspondente segundo a tabela a seguir, a matriz que 
corresponde à pontuação total no torneio de cada equipe é 
 
Resultado 
Número de 
pontos 
Vitórias por 3 0 3 
Vitórias por 3 2 ou 3 1 2 
Derrotas por 3 2 ou 3 1 1 
Derrotas por 3 0 0 
 
a) 
31
22
13
17
 
 
 
 
 
 
 b) 
31
19
13
17
 
 
 
 
 
 
 c) 
31
22
13
12
 
 
 
 
 
 
 d) 
31
19
13
12
 
 
 
 
 
 
 e) 
31
22
20
17
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (Ueg 2019) A matriz triangular de ordem 3, na qual ija 0= para i j e 
ija 4i 5j 2= − + para i j é representada pela matriz 
 
a) 
1 4 9
0 0 5
0 0 1
− − 
 
− 
 − 
 b) 
1 4 9
0 1 5
0 0 0
− − 
 
− 
 
 
 c) 
3 8 13
0 4 9
0 0 5
 
 
 
 
 
 
 
d) 
3 0 0
8 4 0
13 9 5
 
 
 
 
 
 e) 
1 0 0
4 0 0
9 5 1
 
 
− 
 − − − 
 
 
 
3. (Udesc 2018) Analise as proposições abaixo. 
 
I.O produto de uma matriz linha por uma matriz linha é uma matriz linha. 
II. Uma matriz identidade elevada ao quadrado é uma matriz identidade. 
III. O produto de uma matriz por sua transposta é a matriz identidade. 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
c) Somente a afirmativa II é verdadeira. 
d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
 
4. (Fgv 2018) Seja ij 22A (a )= uma matriz tal que 
 
 
i
ij j
j , se i j
a .
( i) , se i j
− =
= 
− 
 
 
A inversa da matriz A, denotada por 1A ,− é a matriz 
 
a) 
1
2
2
1
1
2
 
− 
 
 −
  
 
b) 
1
2
2
1
1
2
 
− 
 
 −
  
 
c) 
1 2
6 3
1 2
6 3
 
− − 
 
 −
  
 
 
d) 
1 2
6 3
1 2
6 3
 
− − 
 
 
  
 
e) 
2 1
3 6
1 1
3 6
 
− − 
 
 −
  
 
 
 
5. (Unicamp 2018) Sejam a e b números reais tais que a matriz 
1 2
A
0 1
 
=  
 
 satisfaz a equação 
2A aA bI,= + em que I é a matriz 
identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a 
a) 2.− 
b) 1.− 
c) 1. 
d) 2. 
 
6. (Imed 2018) Em uma grande cidade, para estudar o nível de ruído a que 
estavam expostos os habitantes, a prefeitura realizou quatro medições diárias 
durante cinco dias em um cruzamento de grande movimento. Cada elemento 
ija da matriz a seguir representa o nível de ruído, em decibéis (dB), 
registrado na medição i do dia j. 
 
45 62 68 44 63
51 49 72 48 68
39 52 71 52 62
51 45 63 40 69
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a Organização Mundial de Saúde (OMS), 50 dB é o nível 
máximo recomendável à exposição do ouvido humano. 
 
Com as informações apresentadas, determine o nível médio de ruídos 
registrados no quarto dia e assinale a alternativa correta: 
a) 46 dB 
b) 46,5 dB 
c) 52 dB 
d) 65,5 dB 
e) 68,5 dB 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
7. (Enem 2018) A Transferência Eletrônica Disponível (TED) é uma transação 
financeira de valores entre diferentes bancos. Um economista decide analisar 
os valores enviados por meio de TEDs entre cinco bancos (1, 2, 3, 4 e 5) 
durante um mês. Para isso, ele dispõe esses valores em uma matriz 
ijA [a ],= em que 1 i 5  e 1 j 5,  e o elemento ija corresponde 
ao total proveniente das operações feitas 
via TED, em milhão de real, transferidos do banco i para o banco j durante 
o mês. Observe que os elementos iia 0,= uma vez que TED é uma 
transferência entre bancos distintos. Esta é a matriz obtida para essa análise: 
 
0 2 0 2 2
0 0 2 1 0
A 1 2 0 1 1
0 2 2 0 0
3 0 1 1 0
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
 
Com base nessas informações, o banco que transferiu a maior quantia via 
TED é o banco 
 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
 
8. (G1 - ifsul 2017) A temperatura da cidade de Porto Alegre – RS foi medida, 
em graus Celsius, três vezes ao dia, durante 6 dias. Cada elemento ija da 
matriz 
 
9,4 8,1 12,4 15,7 13 11,7
A 12,2 10,5 15 18,2 14,2 13,1
15,7 13,2 17,5 21 16,3 18,5
 
 
=
 
  
 
 
corresponde à temperatura observada no tempo i do dia j. Com base nos 
dados da matriz A, analise as seguintes proposições: 
 
I. A temperatura mínima registrada está na posição 12a 
II. A maior variação de temperatura registrada entre os tempos 1 e 2 
aconteceu no primeiro dia. 
III. A temperatura máxima registrada está na posição 34a 
 
Estão corretas as afirmativas 
a) I e III apenas. 
b) I e II apenas. 
c) II e III apenas. 
d) I, II e III. 
 
 
9. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) Uma matriz quadrada de ordem n é 
chamada triangular superior se ija 0= para i j. Os elementos de uma 
matriz triangular superior T, de ordem 3, onde i j, são obtidos a partir 
da lei de formação 
2
ijt 2i j.= − Sendo A [ 1 1 1]= − uma matriz de 
ordem 1 3 e tA sua transposta, o produto tA T A  é a matriz 1 1 
cujo único elemento vale 
 
a) 0. 
b) 4. 
c) 7. 
d) 28. 
 
 
 
 
 
 
 
10. (Unicamp 2017) Sendo a um número real, considere a matriz 
1 a
.
0 1
 
 
− 
 Então, 
2017A é igual a 
 
a) 
1 0
.
0 1
 
 
 
 
 
b) 
1 a
.
0 1
 
 
− 
 
 
c) 
1 1
.
1 1
 
 
 
 
 
d) 
20171 a
.
0 1
 
  − 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [C] 
 
A primeira tabela poderá ser representada pela matriz 
7 4 2 0
3 5 3 2
1 2 6 4
0 4 4 5
 
 
 
 
 
 
 
 
A segunda tabela poderá ser representada pela matriz 
3
2
1
0
 
 
 
 
 
 
 
 
O resultado do torneio será dado pelo produto destas matrizes. 
 
7 4 2 0
3 5 3 2
1 2 6 4
0 4 4 5
 
 
 
 
 
 

3
2
1
0
 
 
 
 
 
 
 = 
7 3 4 2 2 1 0 0 31
3 3 5 2 3 1 2 0 22
1 3 2 2 6 1 4 0 13
0 3 4 2 4 1 5 0 12
      
   
      =
      
   
      
 
 
Resposta da questão 2: [A] 
 
Tem-se que 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a 4 1 5 1 2 4 1 5 2 2 4 1 5 3 2
a a a 0 4 2 5 2 2 4 2 5 3 2
a a a 0 0 4 3 5 3 2
1 4 9
0 0 5 .
0 0 1
 −  +  −  +  −  +   
   
=  −  +  −  +   
    −  +  
− − 
 
= − 
 − 
 
 
 
Resposta da questão 3: [C] 
 
[I] Falsa. Sejam A [1 1]= − e B [1 0 1]= duas matrizes linha. Como 
as ordens de A e de B são, respectivamente, iguais a 1 2 e 1 3, 
podemos concluir que a matriz produto A B não existe, uma vez que o 
número de colunas da matriz A é diferente do número de linhas da matriz 
B. 
 
[II] Verdadeira. Sabendo que nI é matriz identidade de ordem n, e sendo 
A uma matriz quadrada de ordem n, temos n nA I I A A. =  = 
Portanto, se nA I ,= então 
2
n n n nI I I I .=  = 
 
[III] Falsa. Considere a matriz 
1 0
A
0 0
 
=  
 
 e a sua transposta 
t 1 0A .
0 0
 
=  
 
 Desse modo, temos 
t 1 0 1 0 1 0A A .
0 0 0 0 0 0
     
 =  =     
     
 
 
Mas 
t
2A A I .  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 4: [E]Calculando: 
( )
( )
( )
21
1 2
t
1
1 1 1 1
A det A 6
2 42 2
4 2
A '
1 1
4 1
A A '
2 1
2 1
4 11 3 6
A
2 1 1 16
3 6
−
 − − − 
 = =  = 
  − − − − 
− 
=  
− − 
− − 
= =  
− 
 
− − − − 
=  =   
−    −
  
 
 
Resposta da questão 5: [A] 
 
Tem-se que 
2 1 2 1 2 1 2 1 0A aA bI a b
0 1 0 1 0 1 0 1
1 4 a b 2a
0 1 0 a b
a b 1
2a 4
a 2
b 1
       
= +   = +       
       
+   
 =   
+   
+ =
 
=
=
 
= −
 
 
Por conseguinte, vem a b 2 ( 1) 2. =  − = − 
 
Resposta da questão 6: [A] 
 
O dia é representado pelas colunas ( j), assim as medições do dia 4 estão na 
quarta coluna. Calculando: 
44 48 52 40
Média 46 dB
4
+ + +
= = 
 
Resposta da questão 7: [A] 
 
Tem-se que os totais transferidos, em milhões, por cada um dos bancos foram 
5
1j
j 1
5
2j
j 1
5
3j
j 1
5
4j
j 1
a 0 2 0 2 2 6,
a 0 0 2 1 0 3,
a 1 2 0 1 1 5,
a 0 2 2 0 0 4
=
=
=
=
= + + + + =
= + + + + =
= + + + + =
= + + + + =




 
e 
5
5j
j 1
a 3 0 1 1 0 5.
=
= + + + + = 
 
Portanto, é fácil ver que a resposta é o banco 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
Resposta da questão 8: [D] 
 
[I] Correta, pois, a temperatura registrada na posição 12a é o menor valor 
dentre todos os valores presentes na matriz. Ou seja, 
12 ij8,1 a a , i 1 e j 2.=    
[II] Correta, pois, a maior variação entre os tempos 1 e 2 está registrada no 
primeiro dia. Observe que as variações do primeiro ao sexto dia, 
respectivamente são: 2,8; 2,4; 2,6; 2,5;1,2;1,4. Logo, a maior 
variação é 2,8 respectivo ao primeiro dia. 
[III] Correta, pois a temperatura registrada na posição 34a é o maior valor 
dentre todos os valores presentes na matriz. Ou seja, 
34 ij21 a a , i 3 e j 4.=    
 
Resposta da questão 9: [D] 
 
Tem-se que 
1 0 1
T 0 6 5 .
0 0 15
− 
 
=  
  
 
 
Logo, vem 
 
 
t
1 0 1 1
A T A [ 1 1 1] 0 6 5 1
0 0 15 1
1
1 6 21 1
1
28 .
− −   
   
  = −     
      
− 
 
= −   
  
=
 
 
Resposta da questão 10: [B] 
 
Calculando: 
2
2
4 2 2
6 4 2
2016 2014 2
2017 2016 2017
1 a 1 a 1 0
A
0 1 0 1 0 1
A I
A A A I I I
A A A I I I
A A A I I I
1 a
A A A I A A A
0 1
     
=  =     
− −     
=
=  =  =
=  =  =
=  =  =
 
=  =  = → =  
− 