Fasciculo de Física da 12ª Classe

Prévia do material em texto

Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
TEMA A- FORÇAS E MOVIMENTOS. 
 
Subtema A.1 – Dinâmica de uma partícula em movimento. 
 
1.1 – Descrição do movimento de uma partícula. Lei do movimento 
 Como é sabido, o movimento de uma partícula material se representa 
através da mudança da posição da partícula ao longo do tempo. No 
entanto, para determinar a posição de uma partícula material no espaço 
é necessário definir um referencial. O referencial que vamos usar é o 
sistema cartesiano de coordenadas, que pode ser: um sistema 
unidimensional (figura 1.1), um sistema bidimensional (figura 1.2) e, um 
sistema tridimensional (figura 1.3). 
 
 
 
 
• Lei do movimento (ou lei das posições) 
 Para localizar uma partícula (ou um objecto representado por uma 
partícula) usa-se geralmente o vector posição �⃗� , o qual é um vector com 
início na origem do referencial e fim no ponto onde se encontra a 
partícula. Com notação vectorial o vector �⃗� e as coordenadas de 
posição, pode ser escrito: 
 
 �⃗� = 𝒙. �⃗� 𝒙 + 𝒚. �⃗� 𝒚 + 𝒛. �⃗� 𝒛 - Equação do vector posição. (1) 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 Onde 𝒙�⃗� 𝒙, 𝒚�⃗� 𝒚, 𝒛�⃗� 𝒛 são os vectores componentes de vector posição �⃗� , 
𝒙, 𝒚 𝑒 𝒛 são as componentes escalares e �⃗� 𝒙, �⃗� 𝒚 e �⃗� 𝒛 são os versores unitários 
do eixo coordenado x, y e z. 
 
 
Fig. 1.4 
 
 
 
 
Por exemplo, na figura ao lado 
(fig. 1.4), a partícula aí 
representada tem coordenadas 
(-3, 2, 5) com vector posição: 
�⃗� = −𝟑�⃗� 𝒙 + 𝟐�⃗� 𝒚 + 𝟓�⃗� 𝒛 
 
 
 
Seu modulo (ou norma) |�⃗� | é dado pela expressão: |�⃗� | = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 
 
 Considerando que a partícula material se movimenta, em relação ao 
referencial 0xyz, sua posição irá variar com o tempo e, obtemos a equação 
da lei do movimento ou lei das posições: 
�⃗� = �⃗� (𝒕), ou 
 �⃗� (𝒕) = 𝒙(𝒕). �⃗� 𝒙 + 𝒚(𝒕). �⃗� 𝒚 + 𝒛(𝒕). �⃗� 𝒛 (2) 
 
 Comparando (1) e (2), obtemos as equações paramétricas ou escalares 
do movimento. Tais equações caracterizam a variação das coordenadas de 
posição da partícula em função do tempo. E designam.se por paramétricas 
porque são toas expressas em função de um mesmo parâmetro: o tempo. 
 
𝒙 = 𝒙(𝒕), 𝒚 = 𝒚(𝒕), 𝒛 = 𝒛(𝒕) 
 
1.2 – Equação cartesiana da trajectória. Vector deslocamento. 
 A partir das equações paramétricas, é possível conhecer as características 
da trajectória de uma partícula por determinação da equação cartesiana da 
trajectória. Tal equação obtem.se por eliminação do parâmetro tempo, t, no 
sistema constituído pelas equações paramétricas do movimento da partícula. 
 
 
 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
• Vector deslocamento 
 Se for conhecida a forma como varia o vector posição com o tempo, pode 
determinar-se o vector deslocamento ∆�⃗� . Ele é a diferença entre os vectores 
posição final e inicial da partícula, respectivamente �⃗� 𝒇 e �⃗� 𝒊. Isto é: 
 ∆�⃗� = �⃗� 𝒇 − �⃗� 𝒊 (3) 
 
 
 
 
 Como: 
�⃗� 𝒇 = 𝒙𝒇�⃗� 𝒙 + 𝒚𝒇�⃗� 𝒚 + 𝒛𝒇�⃗� 𝒛 
 e 
�⃗� 𝒊 = 𝒙𝒊�⃗� 𝒙 + 𝒚𝒊�⃗� 𝒚 + 𝒛𝒊�⃗� 𝒛 
 Pode escrever-se: 
 ∆�⃗� = (𝒙𝒇 − 𝒙𝒊)�⃗� 𝒙 + (𝒚𝒇 − 𝒚𝒊)�⃗� 𝒚 + (𝒛𝒇 − 𝒛𝒊)�⃗� 𝒛 (4) 
 
 Substituindo (𝒙𝒇 − 𝒙𝒊) por ∆𝒙, (𝒚𝒇 − 𝒚𝒊) por ∆𝒚 e (𝒛𝒇 − 𝒛𝒊) por ∆𝒛, obtemos: 
 
 ∆�⃗� = ∆𝒙�⃗� 𝒙 + ∆𝒚�⃗� 𝒚 + ∆𝒛�⃗� 𝒛 - Equação do vector posição (5) 
 
Problemas resolvidos 
 
1- Uma bola foi chutada por uma criança, tendo efectuado um percurso 
cujas coordenadas em função do tempo são dadas pelas equações 
paramétricas seguintes: 
{
𝑥 = −0.31𝑡2 + 7,2𝑡 + 28
𝑦 = 0,22𝑡2 − 9,1𝑡 + 30
 
 Com t em segundos e x e y em metros. 
 
Quando t = 15 s, qual o vector posição da bola, �⃗� , qual a sua norma e qual o 
valor do ângulo que o vector faz com o eixo dos xx? 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
Resolução: 
Quando t = 15 s, as componentes escalares calculam-se do seguinte modo: 
{
𝒙 = −𝟎. 𝟑𝟏. (𝟏𝟓)𝟐 + 𝟕, 𝟐. 𝟏𝟓 + 𝟐𝟖
𝒚 = 𝟎, 𝟐𝟐. (𝟏𝟓)𝟐 − 𝟗, 𝟏. 𝟏𝟓 + 𝟑𝟎
 ↔ {
𝒙 = 𝟔𝟔, 𝟐𝟓𝒎
𝒚 = −𝟓𝟕𝒎
 
 Logo o vector posição quando t = 15 s, será: 
�⃗� = 𝟔𝟔, 𝟐𝟓�⃗� 𝒙 − 𝟓𝟕�⃗� 𝒚 (𝒎) 
 
• A sua norma será: |�⃗� | = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 → |�⃗� | = √(𝟔𝟔, 𝟐𝟓)𝟐 + (−𝟓𝟕)𝟐 
 |�⃗� | = 𝟖𝟕, 𝟒𝒎 
 
• Para calcular o valor do ângulo que o vector posição faz com o eixo do 
xx, faz-se: 
𝐭𝐚𝐧 𝛉 =
𝒚
𝒙
↔ 𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 
𝒚
𝒙
 
 
𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 
(−𝟓𝟕)
𝟔𝟔, 𝟐𝟓
 
𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (−𝟎, 𝟖𝟔) 
 
𝜽 = −𝟒𝟏𝒐 
 
2- O vector posição inicial de uma partícula é: �⃗� 𝟏 = −𝟑�⃗� 𝒙 + 𝟐�⃗� 𝒚 + 𝟓�⃗� 𝒛 (m) e, 
ao fim de algum tempo o seu vector posição é dado por: �⃗� 𝟐 = 𝟗�⃗� 𝒙 + 𝟐�⃗� 𝒚 +
𝟖�⃗� 𝒛 (m). qual é o vector deslocamento desta partícula neste intervalo de 
tempo? 
 
Resolução: 
Para calcular o vector deslocamento é necessário subtrair o vector posição 
final pelo vector posição inicial: 
∆�⃗� = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)�⃗� 𝒙 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)�⃗� 𝒚 + (𝒛𝟐 − 𝒛𝟏)�⃗� 𝒛 
∆�⃗� = [𝟗 − (−𝟑)]�⃗� 𝒙 + (𝟐 − 𝟐)�⃗� 𝒚 + (𝟖 − 𝟓)�⃗� 𝒛 
 ∆�⃗� = 𝟏𝟐�⃗� 𝒙 + 𝟑�⃗� 𝒛 
 
 
1.3- Vector velocidade média e vector velocidade instantânea 
 A velocidade média de uma partícula que se desloca de uma posição 
para outra durante um certo intervalo de tempo, pode determinar-se 
fazendo o quociente entre o vector deslocamento ∆�⃗� e o intervalo de tempo 
∆𝒕. 
 �⃗⃗� 𝒎 =
∆�⃗� 
∆𝒕
 (6) 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 Utilizando a equação (5), pode-se escrever o vector velocidade média 
usando as componentes do vector deslocamento. Assim: 
�⃗⃗� 𝒎 =
∆𝒙�⃗� 𝒙 + ∆𝒚�⃗� 𝒚 + ∆𝒛�⃗� 𝒛
∆𝒕
 
 
 �⃗⃗� 𝒎 =
∆𝒙
∆𝒕
�⃗� 𝒙 +
∆𝒚
∆𝒕
�⃗� 𝒚 +
∆𝒛
∆𝒕
�⃗� 𝒛 (7) 
 
 Através da equação (6) pode concluir-se que a direcção e o sentido do 
vector velocidade média são os mesmos que os do vector deslocamento. 
 A norma do vector velocidade média será: |�⃗� 𝒎| =
|∆𝒓 |
∆𝒕
 
 Por exemplo recorrendo ao problema resolvido 2, se a partícula se 
movesse desde a posição inicial até à final gastando 2 s, a sua velocidade 
média deste movimento seria: 
�⃗⃗� 𝒎 =
∆�⃗� 
∆𝒕
=
𝟏𝟐�⃗� 𝒙 + 𝟑�⃗� 𝒛
𝟐
= 𝟔�⃗� 𝒙 + 𝟏, 𝟓�⃗� 𝒛 (𝒎/𝒔) 
 
 
• Vector velocidade instantânea 
 O vector velocidade instantânea é o que caracteriza a velocidade de 
uma partícula num dado instante. Este vector velocidade instantânea é o 
limite para que tende o vector velocidade média quando o tempo tende 
para zero. Em termos matemáticos, o vector velocidade instantânea é a 
derivada do vector deslocamento em ordem ao tempo. 
 𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆𝑟 
∆𝑡
 𝑜𝑢 �⃗⃗� =
𝒅�⃗� 
𝒅𝒕
 (8) 
 
 
 
 
 
 A direcção do vector velocidade 
instantanea de uma particula num 
dado instante é sempre tangente à 
sua trajectória nesse instante 
 
 Uzando a equação (1), obtemos: 
 
�⃗⃗� =
𝒅(𝒙. �⃗� 𝒙 + 𝒚. �⃗� 𝒚 + 𝒛. �⃗� 𝒛)
𝒅𝒕
 
�⃗⃗� =
𝒅𝒙
𝒅𝒕
�⃗� 𝒙 +
𝒅𝒚
𝒅𝒕
�⃗� 𝒚 +
𝒅𝒛
𝒅𝒕
�⃗� 𝒛 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 Sendo 𝒗𝒙 =
𝒅𝒙
𝒅𝒕, 𝒗𝒚 =
𝒅𝒚
𝒅𝒕
 e 𝒗𝒛 =
𝒅𝒛
𝒅𝒕
 as componentetes escalares do �⃗⃗� , 
obtemos a seguinte equação simplificada: 
 �⃗⃗� = 𝒗𝒙�⃗� 𝒙 + 𝒗𝒚�⃗� 𝒚 + 𝒗𝒛�⃗� 𝒛 (9) 
 
 A sua norma é dada pela expressão: |�⃗⃗� | = √𝒗𝒙𝟐 + 𝒗𝒚𝟐 + 𝒗𝒛𝟐 
 
 
Observação: antes dos exércicios de velocidades instantanea, rever as 
regras de derivadas de uma constante, uma potência, de uma função 
algebrica e de um radical. 
 
Problemas resolvidos 
 
 
3- Considerando as condições do problema 1, determine a velocidade 
instantanea �⃗⃗� da bola no instante t = 15 s e determina sua norma e o 
ângulo que o vector velocidade instantanea faz com o eixo do xx. 
 
Resolução: 
Dadas as componentes escalares do vector posição: 
{
𝑥 = −0.31𝑡2 + 7,2𝑡 + 28
𝑦 = 0,22𝑡2 − 9,1𝑡 + 30
 
 
• As componentes escalares do �⃗⃗� , serão: 
𝒗𝒙 =
𝒅𝒙
𝒅𝒕
=
𝒅(−𝟎. 𝟑𝟏𝒕𝟐 + 𝟕, 𝟐𝒕 + 𝟐𝟖)
𝒅𝒕
 → 𝒗𝒙 = −𝟎, 𝟔𝟐𝒕 + 𝟕, 𝟐 
 Para t = 15 s, 𝒗𝒙 = −𝟐, 𝟏 𝒎/𝒔 
 
𝒗𝒚 =
𝒅𝒚
𝒅𝒕
=
𝒅(𝟎, 𝟐𝟐𝒕𝟐 − 𝟗, 𝟏𝒕 + 𝟑𝟎)
𝒅𝒕
 → 𝒗𝒚 = 𝟎, 𝟒𝟒𝒕 − 𝟗, 𝟏 
Para t = 15 s, 𝒗𝒚 = −𝟐, 𝟓 𝒎/𝒔 
Logo a velocidade �⃗⃗� será: �⃗⃗� = 𝒗𝒙�⃗� 𝒙 + 𝒗𝒚�⃗� 𝒚 
�⃗⃗� = −𝟐, 𝟏�⃗� 𝒙 + (−𝟐, 𝟓)�⃗� 𝒚 → �⃗⃗� = −𝟐, 𝟏�⃗� 𝒙 − 𝟐, 𝟓�⃗� 𝒚 
 
• A sua norma será: |�⃗⃗� | = √𝒗𝒙𝟐 + 𝒗𝒚𝟐 → |�⃗⃗� | = √(−𝟐. 𝟏)𝟐 + (−𝟐, 𝟓)𝟐 
 |�⃗⃗� | = √𝟏𝟎, 𝟔𝟔 → |�⃗⃗� | = 𝟑, 𝟑𝒎/𝒔 
 
• O ângulo que velocidade �⃗⃗� faz com 0 dos xx será: 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
𝐭𝐚𝐧 𝛉 =
𝒗𝒚
𝒗𝒙
↔ 𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 
𝒗𝒚
𝒗𝒙
 
𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 
(−𝟐, 𝟓)
(−𝟐, 𝟏)
↔𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (𝟏, 𝟏𝟗) 
 
𝜽 = 𝟓𝟎𝒐 
1.4- Vector aceleração média e vector aceleração instantânea 
 
 Quando uma partícula muda sua velocidade de �⃗⃗� ⃗⃗ 𝟏 para �⃗⃗� ⃗⃗
 
𝟐 num 
determinado intervalo de tempo, a sua aceleração média �⃗⃗� 𝒎 durante ∆𝒕 é 
dada pelo quociente entre a variação da velocidade o intervalo de tempo 
considerado, ou seja: 
 �⃗⃗� 𝒎 =
�⃗⃗� 𝟐−�⃗⃗� 𝟏
∆𝒕
=
∆�⃗⃗� 
∆𝒕
 (10) 
 
 A aceleração é uma grandeza vectorial cuja direcção e o sentido são os 
mesmos que os do vector ∆�⃗⃗� . 
 A norma do vector aceleração média será: |�⃗⃗� 𝒎| =
|∆�⃗⃗� |
∆𝒕
 
 
 
• Vector aceleração instantânea 
 No limite, o vector aceleração média tende para o vector aceleração 
instantânea quando o intervalo de tempo tende para zero. 
Matematicamente a aceleração instantânea é a derivada do vector 
aceleração média em ordem ao tempo. Assim pode escrever.se: 
 
 𝑎 = lim
∆𝑡→0
∆�⃗� 
∆𝑡
 𝑜𝑢 �⃗⃗� =
𝒅�⃗⃗� 
𝒅𝒕
 (11) 
 
 
 
 
 
 
 
 Usando a equação (1), obtemos: 
 
�⃗⃗� =
𝒅(�⃗⃗� 𝒙 + �⃗⃗� 𝒚 + �⃗⃗� 𝒛)
𝒅𝒕
 
�⃗⃗� =
𝒅𝒗𝒙
𝒅𝒕
�⃗� 𝒙 +
𝒅𝒗𝒚
𝒅𝒕
�⃗� 𝒚 +
𝒅𝒗𝒛
𝒅𝒕
�⃗� 𝒛 
 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 Sendo 𝒂𝒙 =
𝒅𝒗𝒙
𝒅𝒕
, 𝒂𝒚 =
𝒅𝒗𝒚
𝒅𝒕
 e 𝒂𝒛 =
𝒅𝒗𝒛
𝒅𝒕
 as componentes escalares do �⃗⃗� , 
obtemos a seguinte equação simplificada: 
 �⃗⃗� = 𝒂𝒙�⃗� 𝒙 + 𝒂𝒚�⃗� 𝒚 + 𝒂𝒛�⃗� 𝒛 (12) 
 
 A sua norma é dada pela expressão: |�⃗⃗� | = √𝒂𝒙𝟐 + 𝒂𝒚𝟐 + 𝒂𝒛𝟐 
 
Problemas resolvidos 
 
4- Considerando as condições do problema 3, determine a aceleração 
instantânea �⃗⃗� da bola no instante t = 15 s e determina sua norma do vector 
aceleração instantânea, bem como ângulo que o vector faz com o eixo do 
xx. 
 
Resolução: 
Do problema 3, obtemos as componentes escalares do vector velocidade: 
{
𝑣𝑥 = −0.62𝑡 + 7,2
𝑣𝑦 = 0,44𝑡 − 9,1
 
 
• As componentes escalares do �⃗⃗� , serão: 
𝒂𝒙 =
𝒅𝒗𝒙
𝒅𝒕
=
𝒅(−𝟎. 𝟔𝟐𝒕 + 𝟕, 𝟐)
𝒅𝒕
 → 𝒂𝒙 = −𝟎, 𝟔𝟐 𝒎/𝒔
𝟐 
 Para t = 15 s, 𝒗𝒙 = −𝟐, 𝟏 𝒎/𝒔
𝟐 
 
𝒂𝒚 =
𝒅𝒗𝒚
𝒅𝒕
=
𝒅(𝟎, 𝟒𝟒𝒕 − 𝟗, 𝟏)
𝒅𝒕
 → 𝒂𝒚 = 𝟎, 𝟒𝟒 𝒎/𝒔
𝟐 
Para t = 15 s, 𝒂𝒚 = 𝟎, 𝟒𝟒 𝒎/𝒔
𝟐 
Logo a aceleração �⃗⃗� será: �⃗⃗� = 𝒂𝒙�⃗� 𝒙 + 𝒂𝒚�⃗� 𝒚 
�⃗⃗� = −𝟎, 𝟔𝟐�⃗� 𝒙 + 𝟎, 𝟒𝟒�⃗� 𝒚 
• A sua norma será: |�⃗⃗� | = √𝒂𝒙𝟐 + 𝒂𝒚𝟐 → |�⃗⃗� | = √(−𝟎, 𝟔𝟐)𝟐 + (𝟎, 𝟒𝟒)𝟐 
 |�⃗⃗� | = √𝟎, 𝟓𝟕𝟖 → |�⃗⃗� | = 𝟎, 𝟕𝟔 𝒎/𝒔𝟐 
 
• O ângulo que velocidade �⃗⃗� faz com 0 dos xx será: 
𝐭𝐚𝐧 𝛉 =
𝒂𝒚
𝒂𝒙
↔ 𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 
𝒂𝒚
𝒂𝒙
 
𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 
(𝟎, 𝟒𝟒)
(−𝟎, 𝟔𝟐)
↔𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (−𝟎, 𝟕𝟏) 
 
𝜽 = −𝟑𝟓𝒐 
 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 1.5- Componente normal e tangencial do vector aceleração 
 
 A figura abaixo mostra o movimento de uma partícula ao longo de uma 
trajectória curvilínea. Se considerarmos que o referencial escolhido (sistema 
formado por dois eixos coordenados ortonormados, tendo um deles direcção 
tangente à trajectória e o outro perpendicular) acompanhar o movimento da 
partícula, iremos notar que quando a partícula se desloca ao longo da 
trajectória curvilínea, o vector aceleração modifica-se de ponto para ponto, 
podendo ser decomposto em duas componentes, uma tangencial, que se 
obtém ao projectar este vector sobre o eixo tangencial, e uma normal, que se 
obtém projectando o mesmo vector no eixo normal. 
 
 Assim deduzimos que: �⃗⃗� = �⃗⃗� 𝒕 + �⃗⃗� 𝒏 ou �⃗⃗� = 𝒂𝒕�⃗� 𝒕 + 𝒂𝒏�⃗� 𝒏 
 
 O vector aceleração tangencial �⃗⃗� 𝒕, é responsável pela mudança da 
velocidade da partícula e por isso tem a mesma direcção que o vector 
velocidade. A norma do vector aceleração tangencial, calcula-se derivando 
a norma da velocidade em ordem ao tempo: 
|�⃗⃗� 𝒕| =
𝒅|�⃗⃗� |
𝒅𝒕
 
O vector aceleração normal ou centrípeta �⃗⃗� 𝒏, resulta da mudança de 
direcção do vector velocidade. Ele está sempre dirigido para o centro da 
trajectória, e por isso também é chamado de centrípeta. A norma do vector 
aceleração normal, calcula-se fazendo o quociente entre o quadrado da 
velocidade e o valor do raio: 
|�⃗⃗� 𝒏| =
𝒗
𝑹
𝟐
 
 
 Assim o vector aceleração e calculado pela expressão: 
|�⃗⃗� |𝟐 = |�⃗⃗� 𝒕|
𝟐 + |�⃗⃗� 𝒏|
𝟐 ou |�⃗⃗� | = √|�⃗⃗� 𝒕|
𝟐 + |�⃗⃗� 𝒏|
𝟐 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 
 OBSERVAÇÃO: Determinando a componente �⃗⃗� 𝒕, ficamos a saber se o 
movimento é uniforme ou variado; 
 Determinando a componente �⃗⃗� 𝒏, ficamos a saber se a trajectória é 
rectilínea ou curvilínea. 
 
 
Problemas resolvidos 
 
5- A lei do movimento de uma partícula material é dada pela expressão: 
�⃗� (𝒕) = (𝟐𝒕 − 𝟒)�⃗� 𝒙 + (𝒕
𝟐 − 𝟒)�⃗� 𝒚 (SI). 
 
a) Determine a equação da trajectória 
Resolução: 
Seja: �⃗� (𝒕) = 𝒙(𝒕)𝒆⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝒙 + 𝒚(𝒕)�⃗� 𝒚, comparando com a lei do movimento da 
partícula material, temos: 
{
𝑥 = 2𝑡 − 4
𝑦 = 𝑡2 − 4
↔ {
𝑡 =
𝑥 + 4
2
𝑦 = 𝑡2 − 4
→ 𝑦 = (
𝑥 + 4
2
)
2
− 4 → 𝒚 =
𝒙𝟐 + 𝟒
𝟒
 
 
b) Determine a velocidade da partícula para t=2 s. 
Sendo 𝑣 =
𝑑𝑟 
𝑑𝑡
, obtemos 𝑣 =
𝑑[(2𝑡−4)𝑒 𝑥+(𝑡
2−4)𝑒 𝑦]
𝑑𝑡
 → 𝑣 = 2𝑒 𝑥 + 2𝑡𝑒 𝑦 
Para t = 2 s, temos: �⃗� = 2𝑒 𝑥 + 2.2𝑒 𝑦 → �⃗� = 𝟐�⃗� 𝒙 + 𝟒�⃗� 𝒚 
 
c) A aceleração tangencial da partícula para o instante t = 2 s. 
Seja: 
|�⃗⃗� 𝒕| =
𝒅|�⃗⃗� |
𝒅𝒕
, 
onde |𝑣 | = √22 + (2𝑡)2 → |𝑎 𝑡| =
𝑑(√22+(2𝑡)2)
𝑑𝑡
 → |𝑎 𝑡| =
4𝑡
√22+(2𝑡)2
 → 
 |𝑎 𝑡| =
4𝑡
√4 + 4𝑡2
 
par t= 2 s, vem: |𝑎 𝑡| =
4.2
√4+4.22
 → |𝑎 𝑡| =
8
√20
 → |�⃗⃗� 𝒕| = 𝟏, 𝟖 𝒎/𝒔
𝟐 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
d) Seja:|�⃗⃗� 𝒏| =
𝒗
𝑹
𝟐
, dado que: |𝑣 | = √22 + (2𝑡)2 → para t = 2 s 
 |𝑣 | = √22 + (2.2)2 → |𝑣 | = 4,5 𝑚/𝑠 
e𝑎 =
𝑑�⃗� 
𝑑𝑡
 → 𝑎 =
𝑑(2𝑒 𝑥+2𝑡𝑒 𝑦)
𝑑𝑡
 → 𝑎 = 2𝑒 𝑦 → |𝑎 | = 2𝑚/𝑠
2 , 
 sendo |𝑎 |2 = |𝑎 𝑡|
2 + |𝑎 𝑛|
2 → |𝑎 𝑛| = √|𝑎 |2 − |𝑎 𝑡|2 → |𝑎 𝑛| = √(2)2 − (1,8)2 → 
 |𝑎 𝑛| = 0,87𝑚/𝑠
2 
 
Logo 𝑅 =
𝑣
|�⃗� 𝑛|
2
 → 𝑅 =
(4,5)
0,87
2
 → 𝑹 = 𝟐𝟑 𝒎 
 
 
 
1.6- Movimento de uma partícula actuada por uma força constante. 
 
 Segundo o princípio fundamental da Dinâmica, quando sobre uma 
partícula material em repouso actuar um sistema de forças cuja resultante seja 
constante (não nula), esta entrará em movimento rectilíneo uniformemente 
acelerado, na direcção e sentido da resultante das forças aplicadas: 𝐹 𝑅 = 𝑚. 𝑎 
 
 Quando um sistema de forças cuja resultante e constante (não nula) 𝐹 𝑅 
actuar na mesma direcção da velocidade inicial 𝑣 𝑜 ≠ 0 de uma partícula 
material, está ira adquirir movimento rectilíneo uniformemente variado que 
será: 
Acelerado - se 𝐹 𝑅 e 𝑣 𝑜 tiverem mesmo sentido; 
Retardado – se 𝐹 𝑅 e 𝑣 𝑜tiverem sentidos opostos. 
 
 Quando sobre uma partícula em movimento com velocidade inicial 𝑣 𝑜 
actuar um sistema de forças cuja resultante é constante (não nula) 𝐹 𝑅, mas de 
direcção diferente a da velocidade inicial, o movimento será, naturalmente, 
curvilíneo, como o caso do lançamento de um projéctil. 
 
 
1.7- Movimento de um projéctil. 
 
 Um caso típico de um movimento a duas dimensões ~e o movimento de 
um projéctil. Nele, a partícula move-se num plano vertical, com uma 
velocidade inicial𝑣 𝑜 mas está sujita ã aceleração de gravidade, que actua na 
direcção vertical do plano com sentido descendente. Tal partícula é 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
chamada projéctil, o que significa que é projectada ou lançada, e o seu 
movimento é chamado lançamento de projécteis. 
 No lançamento de projécteis, o movimento horizontal é independente do 
movimento vertical. Nenhum destes dois movimentos afecta o outro, 
obedecendo assim a lei da independência ou sobreposição dos movimentos 
simultâneos e, descrevendo sempre uma trajectória parabólica (figura 1.9). 
 
 Quando o vector velocidade inicial faz um ângulo com um dos eixos 
coordenados (eixo dos xx), o projéctil executa um lançamento obliquo. 
 
 
 
 Escolhendo um referêncial onde o eixo do yy seja vertical e positivo no 
sentido ascendente 𝑎 𝑦 = −|𝑔 | e 𝑎 𝑦 = 0 . Supondo que no instante t = 0 o 
projéctil parte da origem e ocupa o ponto cujas coordenadas são 𝑥 𝑜 =
0 𝑒 𝑦 𝑜 = 0, com velocidade inicial que faz um ângulo com o eixo dos xx, termos: 
sen 𝜃 =
𝑣𝑜𝑦
𝑣𝑜
 e cos 𝜃 =
𝑣𝑜𝑥
𝑣𝑜
 → 𝒗𝒐𝒚 = 𝒗𝟎. 𝐬𝐞𝐧𝜽 e 𝒗𝒐𝒙 = 𝒗𝟎. 𝐜𝐨𝐬 𝜽 
 
 Também obtemos as componentes da velocidade e as coordenadas de 
posição para o projéctil em qualquer instante do movimento: 
 
• Componente horizontal da velocidade: 𝒗𝒐𝒙 = 𝒗𝒐𝒙 = 𝒗𝟎. 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 
• Componente vertical da velocidade: 𝑣𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 − |𝑔 |𝑡 → 
𝒗𝒚 = 𝒗𝟎. 𝐬𝐞𝐧𝜽 − |�⃗⃗� |𝒕 
• Componente horizontal da posição: 𝑥 = 𝑥𝑜 − 𝑣𝑜𝑥𝑡 → 
𝒙 = 𝒗𝟎𝒕 𝐜𝐨𝐬𝜽 
• Componente vertical da posição: 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑣𝑜𝑦𝑡 −
1
2
|𝑔 |𝑡2 → 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 𝒚 = 𝒗𝟎𝒕 𝐬𝐞𝐧𝜽 −
𝟏
𝟐
|�⃗⃗� |𝒕𝟐 
• A expressão para a posição do projéctil em função do tempo será: 
�⃗� (𝒕) = (𝒗𝟎𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝜽). �⃗� 𝒙 + (𝒗𝟎𝒕 𝒔𝒆𝒏𝜽 −
𝟏
𝟐
|�⃗⃗� |𝒕𝟐) . �⃗� 𝒚 
• A expressão do vector velocidade do movimento do projéctil será: 
�⃗⃗� (𝒕) = (𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜽). �⃗� 𝒙 + (𝒗𝟎. 𝒔𝒆𝒏𝜽 − |�⃗⃗� |𝒕). �⃗� 𝒚 
• A expressão do vector aceleração será: �⃗⃗� = −|�⃗⃗� |�⃗� 𝒚 
 
• O tempo que o projéctil leva para atingir o solo, chama-se tempo de voo 
e a sua expressão é: 𝒕𝒗 =
𝟐𝒗𝟎.𝒔𝒆𝒏𝜽
|�⃗⃗� |
 
 
• O alcance total 𝑋𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙, é a distância horizontal percorrida pelo projéctil 
desde o ponto de lançamento até atingir o ponto de coordenadas (𝑋𝑚á𝑥, 0): 
𝑿𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 =
𝒗𝒐
𝟐. 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
|�⃗⃗� |
 
 
 Desta expressão conclui-se que o alcance é máximo quando 𝜃 = 45𝑜, isto 
acontece porque, ao introduzir este valor na equação obtém-se 90𝑜, que é 
igual ao valor máximo do seno no círculo trigonométrico. 
 
 
 A altura máxima 𝑦𝑚á𝑥 é atingido no ponto mais alto da trajectória e, o 
tempo gasto para atingir tal altura chama-se tempo de subida𝒕𝒔. 
 𝒗𝒚 = 𝟎 e 𝒕𝒔 =
𝒗𝟎.𝒔𝒆𝒏𝜽
|�⃗⃗� |
 
• A expressão da altura máxima é: 𝒚𝒎á𝒙 =
𝒗𝒐
𝟐.𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
𝟐|�⃗⃗� |
 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 Quando o vector velocidade inicial tem uma direcção horizontal, o 
projéctil executa um lançamento horizontal (figura 1.11). 
 
 
 
 Este lançamento é efectuado a uma altura inicial 𝑦𝑜 , 𝑣𝑜𝑦 = 0 e as 
componentes da velocidade e as coordenadas de posição para o projéctil 
em qualquer instante do movimento serão: 
• Componente horizontal da velocidade: 𝒗𝒐𝒙 = 𝒗𝒐𝒙 = 𝒗𝟎. 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 
• Componente vertical da velocidade: 𝑣𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 − |𝑔 |𝑡 → 
𝒗𝒚 = −|�⃗⃗� |𝒕 
• Componente horizontal da posição: 𝒙 = 𝒙𝒐 − 𝒗𝒐𝒙𝒕 
• Componente vertical da posição: 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑣𝑜𝑦𝑡 −
1
2
|𝑔 |𝑡2 → 
 𝒚 = 𝒚𝟎 −
𝟏
𝟐
|�⃗⃗� |𝒕𝟐 
• A expressão para a posição do projéctil em função do tempo será: 
�⃗� (𝒕) = (𝒗𝟎𝒕). �⃗� 𝒙 + (−
𝟏
𝟐
|�⃗⃗� |𝒕𝟐) . �⃗� 𝒚 
• A expressão do vector velocidade do movimento do projéctil será: 
�⃗⃗� (𝒕) = (𝒗𝟎). �⃗� 𝒙 + (−|�⃗⃗� |𝒕). �⃗� 𝒚 
• A expressão do tempo de voo será: 𝒕𝒗 = √
𝟐𝒚𝒐
|�⃗⃗� |
 
 
Problemas resolvidos 
 
6- Imagine um navio de piratas a 560 m da fortaleza de São Miguel que 
protege a ilha do Cabo de luanda e um canhão colocado na fortaleza e ao 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
nível das águas do mar que dispara balas com uma velocidade inicial |𝑣 𝑜| =
82𝑚/𝑠. 
a) Qual deve ser o ângulo com que as balas devem ser disparadas para 
atingir o navio? 
Sabendo que a bala do canhão é um projéctil lançado a partir do solo, 
temos: 
𝑋𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝑣𝑜
2. 𝑠𝑒𝑛2𝜃
|𝑔 |
 → 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 =
|�⃗⃗� |. 𝑿𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝒗𝒐
𝟐
 
𝑠𝑒𝑛2𝜃 =
9,8.560
(82)2
=
5488
6724
 → 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 0,816 
2𝜃 = 54,7 → 𝜽 = 𝟐𝟕, 𝟒𝒐 
 
b) Qual a distância a que deve estar o navio para não ser atingido, mesmo 
que o canhão dispare com o angulo tal que tenha o alcance máximo? 
 Para a bala atingir o seu alcance máximo o angulo deve ser igual a 45𝑜, 
assim temos: 𝑿𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 =
𝒗𝒐
𝟐.𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
|�⃗⃗� |
 → 𝑋𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
(82)2.𝑠𝑒𝑛2.45
9,8
 
𝑿𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟔𝟖𝟔, 𝟏 𝒎 
 Para estar em segurança, o navio devia estar a mais de 686,1 metros da 
fortaleza. 
 
 
Problemas propostos 
 
1- A lei do movimento de uma partícula material que se desloca no plano XY 
é: �⃗� (𝒕) = 𝟐𝒕�⃗� 𝒙 − 𝒕
𝟐�⃗� 𝒚 
a) Escreve as equações paramétricas do movimento da partícula. 
b) Determina a equação cartesiana da trajectória descrita pela partícula. 
c) Calcula o vector velocidade média da partícula durante o intervalo de 
tempo [1; 2] 𝑠. 
d) Determine a lei da velocidade da partícula. 
e) Determine o vector velocidade da partícula para t= 2 s. 
f) Determine a norma da velocidade da partícula. 
g) Determine a lei da aceleração da partícula. 
h) Exprime para t= 1 s a aceleração da partícula em função das suas 
componentes normal e tangencial. 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
2- Uma partícula descreve uma circunferência de raio 2m. a posição angular 
da partícula é dada por 𝝋 = 𝟒 − 𝟐𝒕 − 𝟐𝒕𝟐 (SI). Determine o valor da 
componente tangencial da aceleração. 
 
3- O movimento de um projéctil é descrito pelas equações: 
{
𝑥 = 10𝑡
𝑦 = 10 − 5𝑡2
 (𝑆𝐼) 
a) Determine a velocidade inicial da partícula e a posição da partícula no 
início do movimento. 
b) Escreva as equaçõesescalares das leis da velocidade do projéctil. 
 
4- Um tenista lança uma bola obliquamente a 1 metro do chão, com uma 
velocidade de 15 m/s e com um ângulo de 15o com a horizontal. 
Determine: 
a) As equações paramétricas do movimento. 
b) O instante e a posição, quando o outro tenista intercepta à distância de 
10 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
1.8- Movimento relativo. Princípio de relatividade de Galileu. 
 
 Consideremos um barco 
navegando em um rio, conforme 
ilustra a figura ao lado. Sejam 𝑣 𝑟𝑒𝑙 
a velocidade do barco em 
relação às águas e 𝑣 𝑎𝑟𝑟 a 
velocidade das águas em relação 
às margens. 
 
 
 
 O barco tem, portanto, dois 
movimentos parciais: o movimento 
relativo, provocado pelo motor 
em relação às águas, com 
velocidade 𝑣 𝑟𝑒𝑙, e o movimento de 
arrastamento, provocado pela 
correnteza, com velocidade 𝑣 𝑎𝑟𝑟. 
 Fazendo a composição desses 
movimentos, o barco apresentará 
em relação às margens um 
movimento resultante com 
velocidade 𝑣 𝑟𝑒𝑠, que é dada pela 
soma vectorial de 𝑣 𝑟𝑒𝑙 com 𝑣 𝑎𝑟𝑟. 
 Note que o movimento 
provocado pelo motor do barco 
(movimento relativo) é o que a 
embarcação teria em relação às 
margens se no rio não houvesse 
correnteza (águas estivessem em 
repouso). 
 
 
• Casos particulares notáveis 
 Simbolizando 𝑣𝑟𝑒𝑠, 𝑣𝑟𝑒𝑙 os módulos de 𝑣𝑎𝑟𝑟 𝑣 𝑟𝑒𝑠, 𝑣 𝑟𝑒𝑙 e 𝑣 𝑎𝑟𝑟, respectivamente, 
temos: 
 
 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
• Princípio de Galileu 
 Analisando a situação ilustrada na figura do item III, como faríamos para 
calcular o intervalo de tempo ∆𝑡 gasto pelo barco na travessia do rio, cuja 
largura admitiremos igual a L? 
 Consideramos no cálculo apenas o movimento relativo do barco, 
independentemente do movimento de arrastamento imposto pela água, pois 
a componente da velocidade associada à travessia é, nesse caso, 
exclusivamente 𝑣 𝑟𝑒𝑙. A componente 𝑣 𝑎𝑟𝑟 está relacionada com o 
deslocamento do barco rio abaixo, não tendo nenhuma relação com a 
travessia propriamente dita. 
 
O cálculo do intervalo de tempo ∆𝑡 é feito por: 
𝑣𝑟𝑒𝑙 =
𝐿
∆𝑡
 logo: ∆𝒕 =
𝑳
𝒗𝒓𝒆𝒍
 
𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑣𝑟𝑒𝑙 = 𝑣𝑐 − 𝑣𝑎 
 
 Estudando situações análogas a esta, o cientista italiano Galileu Galilei 
(1564-1642) enunciou que: 
“Se um corpo apresenta um movimento composto, cada um dos movimentos 
componentes se realiza como se os demais não existissem. 
Consequentemente, o intervalo de tempo de duração do movimento relativo 
é independente do movimento de arrastamento.” 
 
Problemas resolvidos 
 
1- A Um barco motorizado desce um rio deslocando-se de um porto A até um 
porto B, distante 36 km, em 0,90 h. Em seguida, esse mesmo barco sobe o 
rio deslocando-se do porto B até o porto A em 1,2 h. Sendo vB a intensidade 
da velocidade do barco em relação às águas e vC a intensidade da 
velocidade das águas em relação às margens, calcule vB e vC. 
 
Resolução: 
O barco desce o rio: 
 
𝑣𝐵 − 𝑣𝑐 =
𝐷
∆𝑡1
 → 𝑣𝐵 − 𝑣𝑐 = 
36 𝐾𝑚
0,9ℎ
 → 𝑣𝐵 − 𝑣𝑐 = 40 𝐾𝑚/ℎ (𝐼) 
 
O barco sobe o rio: 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 
𝑣𝐵 − 𝑣𝑐 =
𝐷
∆𝑡1
 → 𝑣𝐵 − (−𝑣𝑐) = 
36 𝐾𝑚
1,2ℎ
 → 𝑣𝐵 + 𝑣𝑐 = 30 𝐾𝑚/ℎ (𝐼𝐼) 
Fazendo (I) + (II), temos: 2𝑣𝐵 = 70 → 𝒗𝑩 = 𝟑𝟓 𝑲𝒎/𝒉 
De (I) ou (II), obtemos: 𝒗𝑪 = 𝟓 𝑲𝒎/𝒉 
 
2- Um rio de margens rectilíneas e largura constante igual a 5,0 km tem águas 
que correm paralelamente às margens, com velocidade de intensidade 30 
km/h. Um barco, cujo motor lhe imprime velocidade de intensidade 
sempre igual a 50 km/h em relação às águas, faz a travessia do rio. 
a) Qual é o mínimo intervalo de tempo possível para que o barco atravesse 
o rio? 
 Resolução: 
A travessia do rio é feita no menor intervalo de tempo possível quando a 
velocidade do barco em relação às águas é mantida perpendicular à 
velocidade da correnteza. (O movimento relativo é independente do 
movimento de arrastamento). 
 
O tempo mínimo de travessia será: 
𝑣𝑟𝑒𝑙 =
𝐿
∆𝑡
 → 50 =
5
∆𝑡
 → ∆𝒕 = 𝟎, 𝟏𝒉 = 𝟔𝒎𝒊𝒏 
b) Para atravessar o rio no intervalo de tempo mínimo, que distância o 
barco percorre paralelamente às margens? 
Resolução: 
A distância D que o barco percorre paralelamente às margens, arrastado 
pelas águas do rio, é calculada por: 
𝑣𝑎𝑟𝑟 =
𝐷
∆𝑡
 → 30 =
𝐷
01
 → 𝑫 = 𝟑 𝑲𝒎 
c) Qual é o intervalo de tempo necessário para que o barco atravesse o 
rio percorrendo a menor distância possível? 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
Resolução: 
A travessia do rio é feita com o barco percorrendo a menor distância 
possível entre as margens quando sua velocidade em relação ao solo 
(velocidade resultante) é mantida perpendicular à velocidade da 
correnteza. 
 
Travessia em distância mínima 
I. Pelo Teorema de Pitágoras: 
𝑣𝑟𝑒𝑙
2 = 𝑣𝑟𝑒𝑠
2 + 𝑣𝑎𝑟𝑟
2 → 𝑣𝑟𝑒𝑠 = √𝑣𝑟𝑒𝑙
2 − 𝑣𝑎𝑟𝑟2 → 𝑣𝑟𝑒𝑠 = √(50)
2 − (30)2 
𝒗𝒓𝒆𝒔 = 𝟒𝟎 𝑲𝒎/𝒉 
II. 𝑣𝑟𝑒𝑠 =
𝐿
∆𝑡
 → 40 =
5
∆𝑡
 → ∆𝒕 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 𝒉 = 𝟕, 𝟓 𝒎𝒊𝒏 
 
3- Um disco rola sobre uma 
superfície plana, sem deslizar. A 
velocidade do centro O é 𝑣 0. Em 
relação ao plano de rolagem, 
responda: 
a) qual é a velocidade 𝑣 𝐵 do 
ponto B? 
b) qual é a velocidade 𝑣 𝐴 do 
ponto A? 
 
Resolução: 
Os pontos A e B têm dois movimentos parciais: o relativo, provocado pela 
rotação do disco, e o de arrastamento, provocado pela translação. O 
movimento resultante, observado do plano de rolagem, é a composição 
desses movimentos parciais. 
Como não há deslizamento da roda, a velocidade do ponto B, em relação 
ao plano de rolagem, é nula. Por isso, as velocidades desse ponto, devidas 
aos movimentos relativo e de arrastamento, devem ter mesmo módulo, 
mesma direcção e sentidos opostos, como está representado nas figuras a 
seguir: 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 
a) Ponto B: 𝑣 𝐴 = 𝑣 𝑟𝑒𝑙 + 𝑣 𝑎𝑟𝑟 → 𝑣 𝐴 = −𝑣 0 + 𝑣 0 → �⃗⃗� 𝑨 = �⃗⃗� 
 
b) Ponto A: 𝑣 𝐵 = 𝑣 𝑟𝑒𝑙 + 𝑣 𝑎𝑟𝑟 → 𝑣 𝐵 = 𝑣 0 + 𝑣 0 → �⃗⃗� 𝑩 = 𝟐�⃗⃗� 𝟎 
Em situações como essa, podemos raciocinar também em termos do 
centro instantâneo de rotação (CIR), que, no caso, é o ponto B. Tudo se 
passa como se A e B pertencessem a uma “barra rígida”, de comprimento 
igual ao diâmetro do disco, articulada em B. Essa barra teria, no instante 
considerado, velocidade angular w, de modo que: 
 
Comparando-se as duas expressões conclui-se que: �⃗⃗� 𝑩 = 𝟐�⃗⃗� 𝟎 
 
 
 
Problemas propostos 
 
1- Um garoto vai da base de uma escada rolante até seu topo e volta do 
topo até sua base, gastando um intervalo de tempo total de 12 s. A 
velocidade dos degraus da escada rolante em relação ao solo é de 0,50 
m/s e a velocidade do garoto em relação aos degraus é de 1,5 m/s. 
Desprezando o intervalo de tempo gasto pelo garoto na inversão do 
sentido do seu movimento, calcule o comprimento da escada rolante. 
 
2- Um barco provido de um motor que lhe imprime velocidade de 40 km/h 
em relação às águas é posto a navegar em um rio de margens paralelas 
e largura igual a 10 km, cujas águas correm com velocidade de 10 km/h 
em relação às margens. 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
a) Qual é o menor intervalo de tempo para que o barco atravesse o rio? 
Esse intervalo de tempo depende da velocidade da correnteza? 
b) Supondo que o barco atravesse o rio no menor intervalo de tempo 
possível, qual é a distância percorrida por ele em relação às margens? 
 
3- Um carro trafega a 100 km/h 
sobre uma rodovia rectilínea e 
horizontal. Na figura, está 
representada uma das rodas 
do carro, na qual estão 
destacados três pontos:A, B e 
C. Desprezando derrapagens, 
calcule as intensidades das 
velocidades de A, B e C em 
relação à rodovia. Adopte nos 
cálculos 2 )1,4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
Subtema A.2 – Dinâmica de um sistema de partículas materiais. 
2.1- Resultante de um sistema de forças. 
 Considere um sistema de forças 𝐹 1, 𝐹 2, …, 𝐹 𝑛, de pontos de aplicação 𝑃1, 𝑃2, 
…, 𝑃𝑛, respectivamente. A soma vectorial de 𝐹 1, 𝐹 2, …, 𝐹 𝑛 é denominada 
resultante do sistema de forças. Se o sistema de forças estiver aplicado a um 
único ponto material, a resultante é a força que, aplicada ao ponto material, 
produz o mesmo efeito que o sistema de forças. Podemos escrever: 
𝐹 𝑅 = 𝐹 1 + 𝐹 2 + ⋯+ 𝐹 𝑛 
 
 
2.2- Determinação da resultante de um sistema de forças. 
 Considerando um sistema de n forças conhecidas, 𝐹 1, 𝐹 2, …, 𝐹 𝑛, que esteja 
aplicado a um ponto material P. a resultante é obtida da seguinte maneira: 
os segmentos orientados que representam as forças são dispostos de modo a 
tornarem-se consecutivos, isto é, a extremidade do primeiro coincide coma 
origem do segundo, e assim por diante. A figura obtida recebe o nome de 
linha poligonal das forças. A resultante é representada pelo segmento 
orientado, cuja origem é a origem do primeiro, e a extremidade é a 
extremidade do último. 
 
 A ordem de colocação dos segmentos orientados, que são representações 
das forças, não altera o resultado final. 
 Se a extremidade do último segmento orientado coincidir com a origem do 
primeiro (linha poligonal fechada), a resultante do sistema será nula. 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 Também podemos determinar analiticamente a resultante empregando o 
método das projecções: tomamos um sistema cartesiano no plano das forças 
e determinamos as projecções de 𝐹 1, 𝐹 2, …, 𝐹 𝑛 segundo os eixos x e y. Onde 
𝐹 1𝑥, 𝐹 2𝑥, …, 𝐹 𝑛𝑥 são as projecções em relação ao eixo x e 𝐹 1𝑦, 𝐹 2𝑦, …, 𝐹 𝑛𝑦 em 
relação ao eixo y. 
 
 Sendo 𝐹 𝑅𝑥 e 𝐹 𝑅𝑦 as projecções de 𝐹 𝑅 respectivamente em relação aos eixos 
x e y, sabendo-se que a projecção da resultante num eixo é a soma algébrica 
das projecções das forças componentes, resulta: 
𝐹 𝑅𝑥 = 𝐹 1𝑥 + 𝐹 2𝑥 + ⋯+ 𝐹 𝑛𝑥 
𝐹 𝑅𝑦 = 𝐹 1𝑦 + 𝐹 2𝑦 + ⋯+ 𝐹 𝑛𝑦 
Já a intensidade da força resultante é obtida aplicando-se o teorema de 
Pitágoras ao triangula rectângulo destacado. 
𝐹𝑅 = √𝐹𝑅𝑥
2 + 𝐹𝑅𝑦
2 
 A direcção que 𝐹 𝑅 forma com os eixos x e y, respectivamente, os ângulos 
𝜃𝑥 e 𝜃𝑦 obtêm-se das expressões: 
cos 𝜃𝑥 =
𝐹𝑅𝑥
𝐹𝑅
 e cos 𝜃𝑦 =
𝐹𝑅𝑦
𝐹𝑅
 
 
• Sistema de duas forças: casos particulares 
 
a) Forças colineares. 
 Se as forças 𝐹 1 e 𝐹 2 tiverem mesma direcção e mesmo sentido, a resultante 
𝐹 𝑅 terá a mesma direcção e o mesmo sentido das forças componentes, e 
intensidade igual a soma das intensidades: 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 
 
 Se as forças 𝐹 1 e 𝐹 2 tiverem mesma direcção e sentidos opostos, a resultante 
𝐹 𝑅 terá a mesma direcção e o sentido será o mesmo da componente de maior 
intensidade. Sua intensidade será igual a diferença entre as intensidades 
(intensidade maior menos a intensidade menor). Supondo que 𝐹1 < 𝐹2, resulta: 
 
 
b) Força não-colineares 
 Se considerarmos que um ponto material P esteja 
sob acção de duas forças 𝐹 1 e 𝐹 2 não-colineares, a 
resultante 𝐹 𝑅 pode ser obtida por meio da linha 
poligonal das forças ou simplesmente pela 
aplicação da regra do paralelogramo: a resultante 
𝐹 𝑅 é representada pela diagonal orientada do 
paralelogramo que passa por P e cujos lados 
orientados são representações de 𝐹 1 e 𝐹 2. 
 A intensidade da resultante é determinada pela aplicação da lei dos 
cossenos ao triângulo PBC. 
𝐹𝑅
2 = 𝐹1
2 + 𝐹2
2 − 2𝐹1. 𝐹2. cos(180 − 𝛼) Sendo cos(180 − 𝛼) = −𝑐𝑜𝑠 𝛼, resulta: 
 
𝐹𝑅
2 = 𝐹1
2 + 𝐹2
2 + 2𝐹1. 𝐹2. cos 𝛼 
 
Exercicios: 
1- Duas forças de intensidades 𝐹1 e 𝐹2, sendo 𝐹1 < 𝐹2, agem sobre um ponto 
material. Variando-se o ângulo entre as forças de 0º até 180º, qual será o 
correspondente intervalo de variação da intensidade 𝐹𝑅 da resultante? 
 
2- Duas forças de mesma intensidade F = 20 N actuam sobre um ponto 
material. Determine a intensidade da resultante sabendo que o ângulo 
entre as forças é de 120º. R = 20 N 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 
 
3- Duas forças 𝐹1 e 𝐹2 de intensidades 20 N e 30 N, 
respectivamente, actuam sobre um ponto 
material, conforme indica afigura. Determine 
graficamente a resultante pelo método da linha 
poligonal e pela regra do paralelogramo. Em 
seguida, determine a intensidade e a direcção 
da resultante pelo método das projecções. 
 
4- Um ponto material está sob a acção de três 
forças, conforme indica a figura. Determine a 
intensidade da resultante. Dados: 
 𝐹1 = 3𝑁 
 𝐹2 = 2 𝑁 
 𝛼 + 𝛽 = 90𝑜 
 sin 𝛼 = 0,6 
 cos 𝛼 = 0,8 
 
 
2.3- Equilíbrio de um ponto material. 
 
 Um ponto material está em equilíbrio, num dado referencial, quando sua 
velocidade vectorial permanece constante com o tempo, a aceleração é 
nula e do princípio fundamental da Dinâmica concluímos que: 
“Em um ponto material em equilíbrio, a resultante do sistema de forças 
aplicadas deve ser constantemente nula (𝐹 𝑅 = 0).” 
 
• Método da linha poligonal das 
forças 
 Neste método, sendo a resultante 
nula, a linha poligonal das forças é 
fechada. 
 
 
 
• Método das projecções 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 Neste método verificamos que: “se um ponto material sujeito à acção de 
um sistema de forças estiver em equilíbrio, as somas algébricas das projecções 
dessas forças sobre eixos perpendiculares e pertencentes ao plano das forças 
são nulas.” 
 Esse estudo do equilíbrio de um ponto material sob acção de um sistema 
de forças coplanares nos fornece duas equações escalares: 
𝐹 𝑅 = 0 → {
𝐹𝑅𝑥 = 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥 + ⋯+ 𝐹𝑛𝑥 = 0
𝐹𝑅𝑦 = 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 + ⋯+ 𝐹𝑛𝑦 = 0
 
 
 Exercícios 
1- Determine as tracções nos fios AB e BC, 
sabendo que o sistema está em equilíbrio na 
posição indicada. Dados P = 90 N, sin 𝛼 = 0,6 ; 
cos 𝛼 = 0,8. 
R: 120 N e 150 N 
 
2- Para o sistema da figura, em equilíbrio, 
qual é a relação entre os pesos PA e PB 
dos corpos A e B? os fios e as polias são 
ideais. 
R: √3 
 
 
3- O esquema ao lado representa um 
sistema em equilíbrio e na iminência de 
movimento. Determine o coeficiente de 
atrito 𝜇 entre o corpo A e o plano 
horizontal. Os fios são ideais. São dados: 
PA = 200 N, PB = 100 N, sin 𝛼 = 0,6 ; 
cos 𝛼 = 0,8. 
R: 3/8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
2.4- Momento de uma força em relação a um ponto. 
 
 Chama-se momento de uma força 𝐹 (torque) aplicada num ponto P, em 
relação a um ponto O, ao produto da intensidade F da força pela distância d 
do ponto O à linha de acção da força. 
𝑀𝑜 = ±𝐹. 𝑑 
 Por convenção, o memento pode ser positivo ou negativo, sendo (-) se a 
força 𝐹 tende a girar o segmento 𝑂𝑃 em torno de O no sentido horário, e (+) 
no sentido anti-horário. Quando a distância de O à linha de acção da força 
for nula, isto é 𝐹 ∥ 𝑂𝑃, o 𝐹 não tende a produzir rotação da barra OP em torno 
de O, o momento será nulo. 
 O ponto O é denominado pólo, e a distância d, braço de força. A unidade 
de momento no S.I de unidades é newton x metro (N.m). 
 
Exercícios: 
1- Uma barra AO situada num plano vertical pode girar em torno do ponto 
de suspensão O. Determine o memento da força 𝐹 de intensidade 10 N em 
relação ao ponto O nos casos indicados abaixo: 
 
2- Nas figuras abaixo determine osmomentos das forças dadas em relação 
ao ponto O. 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
2.5- Binário 
 
 Binário é um sistema constituído de duas forças de mesma 
intensidade, mesma direcção e sentidos opostos, cujas linhas 
de acção estão a uma certa distância d. Tal distância d 
chama-se braço do binário. 
 
 
2.5.1- Momento do binário 
 O momento do binário é a soma algébrica 
dos momentos das forças que o constituem. 
𝑀 = 𝐹. (𝑑2 − 𝑑1) 
 
 O binário da figura ao lado tem sentido anti-
horário e seu momento resultou positivo; se 
tivesse sentido horário, seu momento seria 
negativo. Deste modo podemos concluir que o 
momento de um binário independe do pólo O 
escolhido. 
 
 
2.5.2- Resultante do Binário. 
 A resultante do binário é nula, é nula pois as forças que o constituem têm 
mesma intensidade, mesma direcção e sentidos opostos. Assim, quando 
aplicamos um binário a um sólido, inicialmente em repouso, este não adquire 
movimento de translação (pois a resultante é nula), mas adquire movimento 
de rotação não-uniforme (pois o momento não é nulo). 
 
 
2.6- Equilíbrio dos corpos extensos 
 
 Dizer que um corpo extenso está em equilíbrio significa que é necessário 
considerar os equilíbrios de translação e de rotação. Nestas condições, 
concluímos que o sistema de forças que age sobre o corpo em equilíbrio deve 
ser tal que: 
a) a resultante do sistema de forças seja nula (equilíbrio de translação); 
b) a soma algébrica dos momentos das forças do sistema, em relação a 
qualquer ponto, seja nula (equilíbrio de rotação). 
 Assim, o equilíbrio de um corpo extenso sob acção de um sistema de forças 
coplanares nos possibilita obter três equações escalares: 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
𝐹𝑅𝑥 = 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥 + ⋯+ 𝐹𝑛𝑥 = 0
𝐹𝑅𝑦 = 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 + ⋯+ 𝐹𝑛𝑦 = 0
 
𝑀𝑜 = 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 + ⋯+ 𝑀𝐹𝑛 = 0 
 
Centro de gravidade e centro de massa 
 O ponto de aplicação do peso de um corpo é denominado centro de 
gravidade (CG) ou baricentro. Podemos imaginar que, nesse ponto, 
concentra-se todo o peso do corpo. 
 Para um corpo homogéneo que apresenta um elemento de simetria (um 
ponto, um eixo ou um plano), o centro de gravidade coincide com o centro 
geométrico. 
 
 O ponto no qual podemos considerar concentrada toda a massa de um 
corpo é denominado centro de massa (CM). 
A posição do centro de massa é, por definição, 
obtida a partir da seguinte expressão: 
�⃗� 𝑪𝑴 =
𝒎𝟏�⃗� 𝟏 + 𝒎𝟐�⃗� 𝟐 + ⋯+ 𝒎𝒏�⃗� 𝒏
𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 + ⋯+ 𝒎𝒏
 𝒐𝒖 �⃗� 𝑪𝑴 =
∑ 𝒎𝒊�⃗� 𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
∑ 𝒎𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
Fazendo 𝑀 = ∑ 𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1 , a massa total do sistema, vem: 
�⃗� 𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∑𝒎𝒊�⃗� 𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 
Se n partículas estiverem situadas numa recta com uma só dimensão, por 
exemplo no eixo dos x, a equação anterior fica: 
𝒙𝑪𝑴 =
𝒎𝟏𝒙𝟏 + 𝒎𝟐𝒙𝟐 + ⋯+ 𝒎𝒏𝒙𝒏
𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 + ⋯+ 𝒎𝒏
 → 𝒙𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∑𝒎𝒊𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 
Se as partículas não forem colineares nem coplanares, o centro de massa te 
ainda coordenadas 𝒚𝑪𝑴 e 𝒛𝑪𝑴: 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
𝒚𝑪𝑴 =
𝒎𝟏𝒚 + 𝒎𝟐𝒚𝟐 + ⋯+ 𝒎𝒏𝒚𝒏
𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 + ⋯+ 𝒎𝒏
 → 𝒚𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∑𝒎𝒊𝒚𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
𝒛𝑪𝑴 =
𝒎𝟏𝒛𝟏 + 𝒎𝟐𝒛𝟐 + ⋯+ 𝒎𝒏𝒛𝒏
𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 + ⋯+ 𝒎𝒏
 → 𝒛𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∑𝒎𝒊𝒛𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 
O vector posição do centro de massa pode então toma a forma; 
�⃗� 𝑪𝑴 =
∑ 𝒎𝒊𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
∑ 𝒎𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
�⃗� 𝒙 +
∑ 𝒎𝒊𝒚𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
∑ 𝒎𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
�⃗� 𝒚 +
∑ 𝒎𝒊𝒛𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
∑ 𝒎𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
�⃗� 𝒛 
 
�⃗� 𝑪𝑴 = 𝒙𝑪𝑴�⃗� 𝒙 + 𝒚𝑪𝑴�⃗� 𝒚 + 𝒛𝑪𝑴�⃗� 𝒛 
 A posição do centro de massa é uma média ponderada pelas massas, da 
posição de todas as partículas. Ponderada significa que as partículas com 
maior massa contribuem mais. 
Exemplo: Determina o vector posição do centro de massa do sistema discreto 
de partículas materiais P1, P2 e P3 de massas m1 = 3 kg, m2 = 4 kg e m3 = 5 kg, 
cujas posições no plano x0y são P1(4;3), P2(6;13) e P3(10;12). 
Resolução: 
𝑀 = 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 = 3 + 4 + 5 = 12𝑘𝑔 
𝑥𝐶𝑀 =
1
𝑀
∑𝑚𝑖𝑥𝑖 =
1
12
(3.4 + 4.6 + 5.10) = 7,2 𝑚
𝑛
𝑖=1
 
𝑦𝐶𝑀 =
1
𝑀
∑𝑚𝑖𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
=
1
12
(3.3 + 4.13 + 5.12) = 10,1 𝑚 
Logo: �⃗� 𝑪𝑴 = 𝒙𝑪𝑴�⃗� 𝒙 + 𝒚𝑪𝑴�⃗� 𝒚 = 𝟕, 𝟐�⃗� 𝒙 + 𝟏𝟎, 𝟏�⃗� 𝒚 
 
2.7- Teorema das três forças 
 Esse teorema enuncia que: “Se um corpo em equilíbrio sob acção exclusiva 
de três forças, estas deverão ser coplanares e suas linhas de acção serão, 
necessariamente, concorrentes num único ponto ou paralelas.” 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 
 Como exemplos de aplicação deste teorema considere o seguinte caso: 
Uma escada AB encontra-se em equilíbrio 
apoiada em uma parede lisa. Na figura, 
duas das três forças que actuam sobre a 
escada são o peso �⃗� e a força 
 𝐹 exercida pela parede. Podemos obter 
graficamente a direcção da força �⃗� , que 
o chão exerce na escada, na posição de 
equilíbrio. Basta determinar o ponto C 
(ponto de concorrência das linhas de 
acção de �⃗� e 𝐹 ) para concluir que a linha 
de acção de �⃗� é a recta determinada 
pelos pontos C e B. 
 
Exercicios: 
1- Uma menina, de peso PM = 400 N, 
caminha ao longo de uma prancha, 
de peso P = 300 N, apoiada por dois 
suportes, nos pontos A e B a uma 
distância de 4 m um do outro, como 
mostra a figura. As forças �⃗⃗� 𝐴 e �⃗⃗� 𝐵 
representam as reacções dos apoios 
sobre a prancha, e o seu centro de 
gravidade está situado no meio de 
AB. 
a) Estando a prancha em equilíbrio na posição horizontal e sendo x a 
distância da menina ao ponto B, determine o valor da reação �⃗⃗� 𝐴 em 
função de x. R: 150 – 100x 
b) Qual a máxima distância x que a menina pode se afastar de B sem que a 
prancha se desequilibre, girando em torno de B? R: 1,5 m 
 
2- Uma tabua de massa desprezível e 
comprimento L = 3 m é articulada em uma 
de suas extremidades por meio de uma 
dobradiça D. sua outra extremidade está 
presa (a uma altura y = 0,3 m acima da 
dobradiça) a uma mola ideal, de 
constante elástica k = 600 N/m. um menino 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
de peso P = 3 00 N, partindo da dobradiça, caminha um distancia x sobre 
a tabua, ate que ela adquira o equilíbrio, em posição horizontal. Suponha 
que a mola, ao se distender, manteve-se vertical. Determine o valor de x. 
 
2.8- Momento de Inércia (I) 
 O momento de inércia (I)de uma partícula, em relação a um eixo fixo de 
rotação, é a grandeza física escalar que mede a inércia de rotação do corpo, 
isto é, mede a maior ou menor resistência à alteração da sua velocidade 
angular, por acção dos momentos de forças exteriores aplicadas. 
 Duma forma discreta o momento de inércia é definido por: 
𝑰 =
𝟏
𝟐
𝒎. 𝒓𝟐 
 Onde m é a massa da partícula e r é a distância da partícula ao eixo de 
rotação. A unidade de momento de inércia no S.I, é o quilograma x metro 
quadrado, kg m2. 
 
 Para um sistema de partículas, o momento de inércia depende dos 
seguintes factores: 
 . massa do sistema; 
 . forma como a massa está distribuída; 
 . eixo em torno do qual o sistema roda. 
 Assim concluímos que para um sistema de partículas temos: 
𝐼 = ∑𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1
. 𝑟𝑖
2 
 
Teorema dos eixos paralelos 
 Este teorema enuncia que: o momento de inércia de um sólido em relação 
a um eixo de rotação que passa pelo seu centro de massa, 𝐼𝐶𝑀 e o seu 
momento de inércia relativamente a um eixo paralelo ao primeiro, 𝐼𝑝 estão 
relacionados por: 
𝑰𝒑 = 𝑰𝑪𝑴 + 𝒎𝒅
𝟐 
Onde d é a distância entre os eixos de rotação paralelos e m a massa total do 
sólido. 
 Para os sólidos indeformáveis, em relação a determinados eixos, temos as 
seguintes expressões que permitem determinar o momento de inércia:1º) Disco fino: 
 𝑰𝒛 =
𝒎𝒓𝟐
𝟐
 e 𝑰𝒙 = 𝑰𝒚 =
𝒎𝒓𝟐
𝟒
 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
2º) Barra fina de comprimento l: 
𝑰𝑪 =
𝒎.𝒍𝟐
𝟏𝟐
 
 
 
 
Se o eixo de rotação passar por uma das extremidades da barra, temos: 
 
 
 𝑰𝑪 =
𝒎.𝒍𝟐
𝟑
 
 
 
 
3º) Cilindro maciço: 
 
 𝑰𝒛 =
𝒎𝒓𝟐
𝟐
 e 𝑰𝒙 = 𝑰𝒚 =
𝒎(𝟑𝒓𝟐+𝒉𝟐)
𝟏𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
4º) Esfera oca (casca esférica): 
 
 𝑰 =
𝟐𝒎𝒓𝟐
𝟑
 
 
 
 
 
 
5º) Esfera maciça: 
 𝑰 =
𝟐𝒎𝒓𝟐
𝟓
 
 
 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 
 
 Assim, para um corpo rígido, energia cinética de rotação em torno de um 
eixo será: 𝑬𝒄 =
𝟏
𝟐
𝑰𝝎𝟐 
 
2.9- Momento angular de um ponto material 
 
 Momento angular ou momento da quantidade de movimento mv de um 
ponto material P, em relação a um ponto O, é a grandeza vetorial �⃗� que possui 
as seguintes características: 
 • Módulo: 𝐿 = 𝑚𝑣𝑑, sendo d a distância do ponto O à reta s, suporte da 
velocidade 𝑣 . 
 
 
 • Direcção: da reta perpendicular ao plano 𝛼 definido pela reta s e pelo 
ponto O. 
 • Sentido: dado pela regra da mão direita. 
 
 No SI, a unidade do módulo do momento angular é 𝑘𝑔.
𝑚2
𝑠
. 
 
Momento angular de um ponto material em movimento circular uniforme 
 Considere um ponto material P que realiza um movimento circular uniforme 
de centro O, com velocidade de módulo v e velocidade angular 𝜔. Vamos 
calcular o módulo do momento angular L, em relação ao centro O. Temos: 𝐿 =
𝑚𝑣𝑑 ; 𝑑 = 𝑅 ; 𝑣 = 𝜔. 𝑅. Assim: 
𝐿 = 𝑚𝜔𝑅. 𝑅 → 𝑳 = 𝒎𝑹𝟐𝝎 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 
 Vectorialmente, sendo �⃗⃗⃗� a velocidade 
de rotação cujo sentido é o mesmo de �⃗� e 
cujo módulo é igual à velocidade angular 𝝎 
temos: �⃗⃗� = 𝒎𝑹𝟐�⃗⃗⃗� . 
 A grandeza escalar 𝒎𝑹𝟐, que aparece 
na conclusão anterior, é indicada pela letra 
𝐼 e recebe o nome de momento de inércia 
do ponto material P em relação ao ponto O: 
𝐼 = 𝑚𝑅2. Assim teremos: 
�⃗⃗� = 𝑰�⃗⃗⃗� 
 
 
Momento angular de um sistema de ponto materiais 
O momento angular �⃗⃗� de um sistema de pontos materiais, em relação a um 
ponto O, é a soma vectorial dos momentos angulares dos pontos que 
constituem o sistema: 
�⃗⃗� = �⃗⃗� 𝟏 + �⃗⃗� 𝟐 + ⋯+ �⃗⃗� 𝒏 = ∑�⃗⃗� 𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
 Isto significa que para cada ponto Pi, de massa mi e a uma distância ri do 
eixo de rotação, podemos escrever: �⃗⃗� 𝒊 = 𝒎𝒊𝒓𝒊
𝟐�⃗⃗⃗� , sendo �⃗⃗⃗� o vector de rotação, 
suposto constante. Neste caso, o o momento de inércia I do corpo em relação 
ao eixo de rotação é dado por: 
 
𝐼 = ∑𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1
. 𝑟𝑖
2 
 
 Nestas condições, o momento angular do corpo é dado pela mesma 
equação aplicada ao ponto material: 
�⃗⃗� = 𝑰�⃗⃗⃗� 
 
 De fato, partindo da igualdade 𝑳 = 𝑰𝝎, concluímos: para o mesmo 𝑳, 
quanto maior for 𝑰, menor é 𝝎. Isto é: 
𝑰𝟏. 𝝎𝟏 = 𝑰𝟐. 𝝎𝟐 
 
 A expressão acima traduz a conservação do momento angular, que 
enuncia o seguinte: 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
“Se o momento (torque) das forças que actuam num corpo em rotação é 
nulo, então o momento angular permanece constante.” 
 
 
Lei da variação do momento angular e teorema do momento angular 
 
 Esta lei, também conhecida como lei de Newton do movimento de 
rotação, enuncia que: “o momento resultante das forças exteriores que 
actuam sobre um corpo rígido homogéneo, móvel em torno de um eixo de 
simetria, é directamente proporcional à sua aceleração angular 𝛼 . A 
constante de proporcionalidade é o momento de inércia do corpo.” 
Isto é: �⃗⃗� = 𝐼𝛼 
 
Sendo 𝛼 =
∆�⃗⃗⃗� 
∆𝑡
 teremos: �⃗⃗� = 𝐼
∆�⃗⃗⃗� 
∆𝑡
 → �⃗⃗� ∆𝑡 = 𝐼(�⃗⃗� − �⃗⃗� 𝑜) 
�⃗⃗� ∆𝑡 = �⃗� − �⃗� 𝑜 
Esta expressão traduz o teorema do momento angular, que diz: 
 “o impulso angular das forças aplicadas a um corpo rígido durante um 
certo intervalo de tempo, é igual à variação do momento angular do corpo 
no mesmo intervalo de tempo.” 
 
 
Exercicios: 
1- Um ponto material de massa m = 1,0 kg realiza um movimento circular 
uniforme de raio R = 2,0 m. Sendo 0 o centro da circunferência descrita, 
calcule: 
a) O momento de inércia do ponto material, em relação ao ponto O. 
b) O módulo da velocidade do ponto material, sabendo que o módulo de 
seu momento angular, em relação ao ponto O, é de 10 kg.m2/s. 
 
2- Calcule o módulo do momento angular de um 
sistema constituído de duas partículas, 1 e 2, em 
relação aos pontos B e O, no instante indicado 
na figura, sabendo que as massas e as 
velocidades das partículas 1 e 2 são, 
respectivamente: m1 = 2,0 kg; m2 = 3,0 kg; v1 = 
4,0 m/s e v2 = 6,0 m/s. 
 
3- Dois corpos A e B, de massas 2 kg e 3 kg, respectivamente, encontram-se 
ligados por um fio ideal que passa pela gola de uma roldana de raio R = 20 
cm e massa M = 1 kg, desprezando o atrito, determine: 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 
a) O momento resultante das forças que actuam no 
sistema em relação ao eixo da roldana. 
b) O valor da aceleração com que desce o corpo, 
aplicando a lei da variação do momento 
angular. 
c) O momento do sistema, em relação ao ponto O, 
no instante em que os corpos A e B tem uma 
velocidade de valor v = 2 m/s. 
d) As intensidades das tensões exercidas pelo fio 
sobre os corpos A e B. 
 
4- Uma plataforma horizontal e circular gira em torno de um eixo vertical, sem 
atrito. A massa da plataforma é M = 100 kg e o seu raio é R = 2 m. um rapaz 
de massa m = 60 kg, anda lentamente da periferia para o centro da 
plataforma. Quando o rapaz se encontra na periferia da plataforma, o valor 
da velocidade angular do sistema é 2 rad/s. determine: 
a) O valor da velocidade angular do sistema, quando o rapaz se encontra 
num ponto situado a 0,5 m do centro da plataforma. 
b) O valor das energias cinéticas iniciais e final do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
Subtema A.3 – Mecânica dos fluidos 
 
3.1- Hidrostática 
 Hidrostática é uma área da Física que explica o comportamento dos 
fluidos (gases e líquidos) em condições de equilíbrio estático. Essa área 
envolve a aplicação de conceitos como pressão e densidade por meio de 
leis matemáticas, tais como os teoremas de Pascal e Arquimedes. Os 
conhecimentos oriundos da hidrostática também nos permitem compreender 
melhor o funcionamento de instalações hidráulicas, corpos flutuantes, bem 
como tubulações, caixas d'água e até mesmo represas. 
 
• Conceito de pressão 
 A grandeza dada pela relação entre a intensidade da força que actua 
perpendicularmente a área em que ela se distribui é denominada pressão (𝒑). 
 Assim, sendo 𝐹 a intensidade da resultante das forças distribuídas 
perpendicularmente em uma superfície de área 𝐴, a pressão 𝑝 é dada pela 
relação: 
𝒑 =
𝑭
𝑨
 
 A unidade de pressão no S.I de unidades é o newton por metro quadrado 
(N/m2), também denominada Pascal (Pa). Mas, eventualmente são usadas as 
unidades dina por centímetro quadrado (dyn/cm2), bar, quilograma força por 
centímetro quadrado (kgf/cm2), centímetro de mercúrio (cmHg), 
libras/polegada quadrada (libra/polegada2) milímetro de mercúrio (mmHg) e 
atmosfera(atm). As relações entre essas unidades são: 
 
 
 Os aparelhos que medem pressão são denominados manômetros. 
 
 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/principio-pascal.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/arquimedes.htm
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
• Conceito de massa especifica e densidade. 
 Para uma amostra de certa substância cuja massa seja m e 
cujo volume seja V. Define-se a massa especifica da substância 
pela relação: 
𝜇 =
𝑚
𝑉
 
 Considere agora um corpo, homogéneo ou não, de 
massa m e volume V. A densidade d do corpo é dada pela 
relação: 
𝑑 =
𝑚
𝑉
 
 Se o corpo é maciço e homogéneo (composto unicamente por uma só 
substância), a sua densidade (d) coincide com a massa especifica ( 𝜇) do 
material que o constitui. 
 As unidades de densidade ou massa especifica correspondem sempre à 
relação entre unidade de massa e unidade de volume. A tabela abaixo 
fornece valores da densidade para alguns materiais. 
 
 Em resumo: 1 𝑔/𝑐𝑚3 = 1 𝑘𝑔/𝑙 = 1000 𝑘𝑔/𝑚3 
 
• Pressão em um líquido. teorema de Stevin 
 Considerando um líquido de densidade d, homogéneo e 
incompressível, em equilíbrio e imaginando uma porção 
desse líquido coma forma de um cilindro recto de altura h e 
cujas bases tenham área A, estando a base superior 
exactamente na superfície do livre do líquido. 
 Como há equilíbrio podemos escrever: 𝐹𝐵 = 𝐹𝐴 + 𝑃 
 Sabendo que 
𝐹𝐵
𝐴
= 𝑝𝐵, 
𝐹𝐴
𝐴
= 𝑝𝐴 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 e 𝑃 = 𝑑𝑉𝑔ℎ, obtemos a fórmula: 
𝒑𝑩 = 𝒑𝒂𝒕𝒎 + 𝒅𝒈𝒉 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 Essa fórmula exprime o teorema de Stevin, que diz o seguinte: 
 “A pressão em um ponto situado à profundidade h no interior de um líquido 
em equilíbrio é dada pela pressão na superfície, exercida pelo ar (𝑝𝑎𝑡𝑚), 
chamada pressão atmosférica, somada à pressão exercida pela coluna de 
líquido situada acima do ponto e expressa pelo produto 𝑑𝑔ℎ.” 
 
• Pressão de colunas líquidas. Unidades práticas de pressão. Pressão 
atmosférica 
 O teorema de Stevin permite concluir ainda que uma coluna líquida exerce 
na sua base uma pressão, devida ao seu peso, denominada pressão 
hidrostática e expressa por: 
𝒑𝑯 = 𝒅𝒈𝒉 
Em que d é a densidade do líquido, g a aceleração da gravidade e h a altura 
da coluna. 
 Também podemos representar graficamente a 
variação da pressão no interior de um líquido em 
equilíbrio com a profundidade h, medida a partir 
da superfície libre do líquido exposta ao ar, onde 
o coeficiente da recta corresponde a: 
𝒕𝒈 𝜽 = 𝒅𝒈 
 Já a pressão atmosférica, ela depende da 
altitude do local. Mas ao nível do mar a pressão atmosférica é igual a 1 
atmosfera, denominada pressão normal. Assim obtemos: 
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 1 𝑎𝑡𝑚 = 76 𝑐𝑚𝐻𝑔 = 760 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 1,013. 10
5𝑁/𝑚2 
 
 Observação: o manómetro utilizado para medir a pressão atmosférica é 
denominado barômetro. 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
• Equilíbrio de líquidos imiscíveis. Vasos comunicantes. 
• Quando dois líquidos que não se misturam 
(imiscíveis) são colocados num mesmo recipiente, eles se 
dispõem de modo que o líquido de maior densidade 
ocupa a parte de baixo, e o de menor densidade, a parte 
de cima e a superfície de separação entre eles é 
horizontal. 
 Caso os líquidos imiscíveis sejam colocados num 
sistema constituído por vasos comunicantes 
(recipientes, que não precisam ser do mesmo tamanho 
nem possuir a mesma forma, cujas bases estão ligadas 
por meio de um tubo), como um tubo em U, eles se 
dispõem de modo que as alturas das colunas líquidas, 
medidas a partir da superfície de separação, sejam 
inversamente proporcionais às respectivas densidades. 
 A pressão no ponto A é igual a pressão no ponto B (mesma horizontal e 
mesmo líquido): 𝑝𝐴 = 𝑝𝐵. Sendo: 𝑝𝐴 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝑑1𝑔ℎ1 e 𝑝𝐵 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝑑2𝑔ℎ2, 
obtemos: 
𝒅𝟏𝒉𝟏 = 𝒅𝟐𝒉𝟐 
 
• Princípio de Pascal. Prensa hidráulica 
 quando é exercida uma pressão num ponto de um líquido em equilíbrio, 
essa pressão se transmite a todos os pontos do líquido. É o que ocorre, por 
exemplo, no freio hidráulico de um automóvel, no qual a pressão exercida 
pelo motorista no pedal se transmite até as rodas através de um líquido (óleo). 
Este facto é conhecido como Princípio de Pascal: 
 “Os acréscimos de pressão sofridos por um ponto de um líquido em 
equilíbrio são transmitidos integralmente a todos os pontos do líquido e das 
paredes do recipiente que o contém.” 
 Outra importante aplicação do princípio de 
Pascal é a prensa hidráulica (dispositivo 
multiplicador de intensidade de força, que funciona 
a pressão constante), que consiste em dois 
recipientes cilíndricos de diâmetros diferentes, 
ligados pela base e preenchidos por um líquido 
homogéneo. Sobre o líquido são colocados dois êmbolos, cujas secções têm 
áreas 𝐴1 e 𝐴2 diferentes. 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 Se aplicarmos uma força (vertical com sentido para baixo) de intensidade 
𝐹1 sobre o êmbolo de área 𝐴1 a pressão exercida será propagada pelo líquido 
até o êmbolo de área 𝐴2 , transmitindo abaixo dele uma força vertical com 
sentido para cima de intensidade 𝐹2. 
 Portanto, sendo as pressões iguais em ambos os lados da prensa, temos a 
seguinte proporção: 
𝑭𝟏
𝑨𝟏
=
𝑭𝟐
𝑨𝟐
 
 Portanto, as intensidades das forças aplicadas são directamente 
proporcionais às áreas dos êmbolos. 
 Mas visto que em cada operação da prensa, o volume de líquido (V) 
deslocado do recipiente menor passa para o recipiente maior. Chamando de 
ℎ1 e ℎ2 os deslocamentos respectivos dos dois êmbolos, cujas áreas são 𝐴1 e 
𝐴2, podemos escrever: 
𝑨𝟏𝒉𝟏 = 𝑨𝟐𝒉𝟐 
 E deduzimos que, numa prensa hidráulica, os deslocamentos sofridos pelos 
êmbolos são inversamente proporcionais às suas áreas. Em outros termos, o 
que se ganha na intensidade da força, perde-se no deslocamento do 
êmbolo. 
 
 
• Princípio de Arquimedes. 
 Um corpo mergulhado num líquido em equilíbrio, recebe 
forças do líquido em toda sua superfície. As componentes 
horizontais das forças se equilibram e as componentes 
verticais fornecem uma resultante para cima. 
 Sejam 𝐹 1 a força que o líquido exerce em cima do 
cilindro da área A1 e 𝐹 2 a força que o líquido exerce em 
baixo do cilindro de área A2, a diferença das intensidades das forças 𝐹 1 e 𝐹 2 é 
a força do empuxo �⃗� . Esse fenómeno é descrito pelo princípio de Arquimedes: 
 “Todo corpo sólido mergulhado num fluido em equilíbrio recebe uma força 
de direcção vertical e sentido de baixo para cima cuja intensidade é igual ao 
peso do fluido deslocado.” 
𝐸 = 𝑑𝑓𝑉𝑓𝑔 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 O volume 𝑉𝑓 do fluido deslocado é o próprio volume do corpo se ele estiver 
totalmente imerso, é o volume imerso quando o corpo está flutuando. 
 
• Peso aparente 
 Se do peso real P subtrairmos o valor do empuxo E, obteremos o peso 
aparente 𝑃𝑎𝑝 = 𝑃 − 𝐸. 
 Decorre daí que um corpo estará em equilíbrio quando a intensidade do 
seu peso for equiparada à do empuxo: 𝑃 = 𝐸 → 𝑃𝑎𝑝 = 0. 
 Note que a intensidade do empuxo não depende da densidade do corpo 
de, embora essa grandeza seja importante para saber se um corpo afundará 
ou flutuará ao ser colocado em um fluido, tendo os seguintes casos: 
 1º) Se 𝒅𝒄 < 𝒅𝒇 quando o corpo é totalmente mergulhado no fluido: 𝑷𝒂𝒑 =
𝑷 − 𝑬 → 𝑷𝒂𝒑 < 𝟎, então a força resultante terá o sentido para cima, levando o 
corpo a flutuar na superfície do líquido. 
 2º) Se 𝒅𝒄 = 𝒅𝒇quando o corpo estiver inteiramente dentro do fluido: 𝑷𝒂𝒑 =
𝑷 − 𝑬 → 𝑷𝒂𝒑 = 𝟎, então o corpo fica em equilíbrio, totalmente submerso no 
fluido. 
 3º) Se 𝒅𝒄 > 𝒅𝒇 quandoo corpo é totalmente mergulhado no fluido: 𝑷𝒂𝒑 =
𝑷 − 𝑬 → 𝑷𝒂𝒑 > 𝟎, então o corpo afunda no fluido e outras forças poderão 
intervir, como a força de reacção normal do fundo do recipiente. 
 
 
Exercicios: 
1- Um objecto constituído de um único material tem volume externo de 200 
cm3 e massa de 2, 1 kg. Em seu interior, há um espaço oco equivalente a 
50 ml. Determine: 
a) A densidade do objecto; R: 10,5 g/cm3 
b) A massa específica do objecto. R: 14 g/cm3 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
2- Calcule a densidade volumétrica média da mistura de dois líquidos (1 e 2), 
de massas respectivas iguais a 800 g e 1 700 g. O volume total é de 3,125L. 
R: 0,8 g/cm3 
 
3- Dois líquidos miscíveis (1 e 2) têm massas específicas d1 = 0,8 g/ml e d2 = 0,6 
g/ml. Se elas forem misturadas em volumes iguais, qual será a densidade 
média dessa mistura líquida? R: 0,7 g/ml 
 
4- Qual é o valor da pressão exercida quando se aplica uma força de 
intensidade igual a 100 N, perpendicular a uma superfície circular A de 8 
m2? R: 12,5 Pa 
 
5- O que acontece com as intensidades das 
pressões exercidas pelo mesmo bloco 
rectangular em cada uma das três posições 
mostradas na ilustração? 
 
6- Qual é a pressão transmitida pela força 𝐹 de intensidade 5 N sobre a 
superfície de área A = 1 m2, conforme mostra a figura? 
 
7- Um tubo de ensaio posicionado na vertical contém óleo, cuja densidade 
é de 0,8 g/cm3 . Calcule: 
a) A pressão efetiva do óleo a 5 cm de profundidade; R: 400 N/m2 
b) A variação de pressão entre dois pontos situados a profundidades de 3 cm 
e 7 cm. R: 320 N/m2 
 
8- Um bombeiro está actuando em uma operação de salvamento. Ele está 
mergulhado a 8,0 m de profundidade em um lago. A pressão atmosférica 
no local é de 1,0 • 105 N/m2 . Calcule a pressão à qual ele está submetido. 
R: 1,8 . 105 Pa 
 
9- Na figura vemos dois líquidos (1 e 2) não miscíveis entre si, que estão em 
equilíbrio em um sistema de vasos comunicantes. Se a profundidade do 
ponto A é de hA = 1 m e a do ponto B é de hB = 0,6 m, qual é a densidade 
do líquido 2, se a densidade do líquido 1 é d, = 1,2 g/cm3. R: 2 g/cm3 
 
10- Quantas vezes a intensidade do peso P2 será 
maior do que a de P1 se o raio do êmbolo de 
área A2 for o triplo do de área A1, como se vê 
na situação de equilíbrio mostrada na figura? 
R: P2 = 9.P1 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 
11- Um objecto com massa de 400 g e volume de 25 ml está totalmente imerso 
em um líquido de densidade igual a 0,8 g/ml. Calcule: 
a) O empuxo ao qual fica submetido o objecto; R: 0,2 N 
b) O seu peso aparente dentro do líquido; R: 3,8 N 
c) A aceleração com que desce enquanto não atinge o fundo do recipiente, 
desprezando-se quaisquer outras forças de resistência ao movimento. R: 9,5 
m/s2 
12- Uma bola maciça de material homogêneo flutua na água, cuja densidade 
volumétrica é igual a 1 g/cm3. Se 10% do volume da bola estiver acima da 
superfície do líquido, qual será a densidade da bola? R: 0,9 g/cm3 
 
13- Um garrafão de água com capacidade de 20 L está 
colocado em sua cuba. A figura mostra o perfil do 
conjunto e os níveis da água. Com base nos pontos 
marcados, responda: 
a) Em qual ponto a pressão é menor? 
b) Há pontos em que as pressões absolutas são iguais? 
c) Se a torneira estivesse no mesmo nível do ponto 4, a 
vazão de água ocorreria com maior ou menor 
intensidade? 
14- Num local onde g =10 m/s2, verifica-se que o peso de uma esfera no ar é 
de 15 N e, totalmente mergulhado na água, seu peso aparente é de 10 N. 
se a massa especifica da água é de q g/cm3, calcule a massa especifica 
da esfera. R: 3 g/cm3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
3.2- Hidrodinâmica 
 A hidrodinâmica é o estudo dos fluidos (líquidos e gases) em movimento, 
como a água escoando ao longo de um tubo ou no leito de um rio, o sangue 
que corre nas veias de uma pessoa, a fumaça emitida pela chaminé de uma 
fábrica. 
 O escoamento de um fluido pode ocorrer de modo não estacionário ou 
turbulento (escoamento irregular caracterizado pela presença de regiões 
com pequenos vórtices e a velocidade em cada ponto muda de instante 
para instante), como nas cachoeiras, as vagas de maré, etc; ou em regime 
estacionário ou laminar (situação na qual a velocidade do fluido em cada 
ponto não varia com o decorrer do tempo, sendo função apenas da posição 
do ponto). 
 Em nosso estudo, iremos considerar sempre o escoamento em regime 
estacionário. As linhas de corrente (trajectória de uma partícula do fluido que 
passa num ponto) não se cruzam em nenhum ponto. 
 Também iremos considerar que o fluido será ideal, isto é, incompressível e 
não-viscoso. 
 
• Vazão (ou caudal) 
 A vazão do fluido através da secção S do tubo é, por definição, a 
grandeza: 
𝑰𝑽 =
∆𝑽
∆𝒕
 ou 𝑰𝑽 = 𝑺. 𝒗 
 A unidade de vazão ou caudal no SI é o metro cúbico por segundo (m3/s). 
outra unidade que também é muito utilizada é o litro por segundo (l/s), cuja 
relação entre elas é: 1 m3/s = 1000 l/s 
 
• Equação de continuidade 
 A equação de continuidade exprime a facto de que a velocidade de 
escoamento de um fluido ser inversamente proporcional à área da secção 
transversal do tubo. Por exemplo: diminuindo a área, a velocidade de 
escoamento aumenta na mesma proporção, e a vazão permanece a 
mesma. 
Da figura ao lado deduzimos que 
𝐼𝑉 = 𝑆. 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, logo teremos: 
𝑺𝟏𝒗𝟏 = 𝑺𝟐. 𝒗𝟐, está equação é 
chamada equação de continuidade. 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
• Equação de Bernoulli 
 Um fluido ideal, de densidade d, escoa por uma canalização em regime 
estacionário. Sejam 𝑝1 e 𝑝2 as pressões nos pontos 1 e 2, cujas alturas, em 
relação a um plano horizontal ∝ de referência. São ℎ1 e ℎ2, respectivamente. 
Sejam 𝑣1 e 𝑣2 as velocidades do fluido nos pontos 1 e 2. Aplicando o princípio 
da variação da energia mecânica (𝑊𝑡 = ∆𝐸𝑝 + ∆𝐸𝑐), obtemos a equação de 
Bernoulli estabelece que: 
 
𝑝1 + 𝑑𝑔ℎ1 +
𝑑𝑣1
2
2
= 𝑝2 + 𝑑𝑔ℎ2 +
𝑑𝑣2
2
2
 
 
 Portanto, para qualquer ponto do fluido, 𝑝 + 𝑑𝑔ℎ +
𝑑𝑣2
2
 é constante. E 
nesta equação, 𝑝 + 𝑑𝑔ℎ é a chamada pressão estática, e 
𝑑𝑣
2
, a pressão 
dinâmica. Por isso a equação de Bernoulli também é chamada equação 
fundamental da Hidrodinâmica. 
 
• Aplicações práticas da equação de Bernoulli 
 Efeito Venturi 
 
 Da figura cima notamos que, sendo 𝐴2 < 𝐴1, temos pela equação de 
continuidade 𝑣2 > 𝑣1. Pela equação de Bernoulli, resulta que 𝑝1 < 𝑝2 e 
concluímos que: sendo h1 = h2, temos: 
𝑝1 +
𝑑𝑣1
2
2
= 𝑝2 +
𝑑𝑣2
2
2
 
 “No trecho em que a velocidade é maior, a pressão é menor.” 
 Este é o chamado efeito Venturi. 
 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
 Tubo de Pitot 
 Considere a figura abaixo. 
 
 Na figura acima, aplicando a equação de Bernoulli às extremidades 1 e 2 
dos ramos do manómetro, temos: 
𝑝1 +
𝑑𝑣1
2
2
= 𝑝2 +
𝑑𝑣2
2
2
 
 Como 𝑣1 = 𝑣 (velocidade de escoamento do fluido) e 𝑣2 = 0 (o ponto 2, 
onde o líquido é barrado, é chamado ponto de estagnação), vem: 
𝑝1 +
𝑑𝑣1
2
2
= 𝑝2 → 
𝒗 = √
𝟐(𝒑𝟐 − 𝒑𝟏)
𝒅
 
 O tubo de Pitot permite medir a velocidade de escoamento de líquidos e 
gases. Nos aviões, por exemplo, a finalidade do tubo de Pitot é obter a 
velocidade 𝑣 através da diferença de pressão 𝒑𝟐 − 𝒑𝟏. Para isso, ele deve ser 
montado paralelamente ao eixo longitudinal do avião, num local onde não 
exista ar turbulento. Sua localização varia de acordo com o tipo de avião, 
dependendo do projecto. Pode ser localizado, por exemplo, no nariz do 
avião, na ponta da asa, tec. 
 
 Exercicios: 
1- Um líquido de densidade 𝑑 = 1,2. 103𝑘𝑔/𝑚3 flui pelotubo indicado na figura, 
passando pelo ponto 1 com velocidade 𝑣1 = 5 𝑚/𝑠 e pelo ponto 2 com 
velocidade 𝑣2 = 2𝑚/𝑠. A pressão no ponto 1 é 𝑝1 = 2,4. 10
4𝑃𝑎. determine: 
a) A razão entre as áreas das secções transversais 𝑆1 e 𝑆1; 
b) A pressão no ponto 2. 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021 
2- Pretende-se medir a velocidade 
𝑣1 de um líquido que escoa por 
uma canalização. Para isso, 
insere-se na canalização um 
tubo de Venturi, conforme a 
figura. Prove que: 
𝑣1 = √
2𝑔ℎ
(
𝐴1
𝐴2
)
2
− 1
 
 
3- Um tubo de Pitot é inserido numa 
canalização, por onde escoa um fluido 
líquido de densidade 𝑑 = 1,6. 103𝑘𝑔/𝑚3. o 
líquido manométrico é o mercúrio de 
densidade 𝑑 = 13,6. 103𝑘𝑔/𝑚3. O desnível h é 
20 cm. Determine: 
a) A diferença de pressão entre os pontos 2 e 1. 
b) A velocidade de escoamento do fluido. 
 
4- Um recipiente de grande área de secção 
transversal, contém água até uma altura H. um 
orifício é feito na parede lateral o tanque a uma 
distância h da superfície do líquido. A área do 
orifício é de 0,10 cm2. No instante em que h = 0,8 m 
e H = 1,24 m, determine: 
a) A velocidade com que o líquido escoa pelo orifício. 
b) A vazão de água pelo orifício. 
c) A alcance horizontal D. 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado por: Mauro Muzuto, em Cacuaco, aos 3 de janeiro de 2021