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Cortinas 
O exercício a seguir é um guia teórico-prático que visa ilustrar: 
 Rotinas de cálculo, dimensionamento e Verificações de Cortinas sem 
ancoragem (método de Blum); 
 
Exercício 04 
Como citado na Apostila do professor Adriano V.D. Bica., da UFRGS: 
 
 
 
Para a situação ilustrada na figura abaixo, verificar a cortina de contenção em 
balanço, uma vez que para pequenas alturas, podem ser empregadas cortinas 
sem ancoragem. Utilizar a Teoria de Rankine para o cálculo dos Empuxos. 
 
 
 
1) Considerações Iniciais 
Se considerarmos o solo não coesivo (c = 0) e de peso específico γ (sem 
estratificação de camadas) e sem sobrecarga (q=0), tomando-se os momentos 
das forças em relação ao ponto C, tem-se: 
 
 
 
Onde f é a ficha e h é o desnível inicial. 
 
Ou ainda, Se o solo é puramente coesivo (φ = 0°), a ficha pode ser obtida em 
função da coesão: 
 
 
 
O empuxo passivo equilibrará o empuxo ativo Se: 4c – γh > 0. 
 
Dessa forma, uma cortina em um solo homogêneo e em situações de projeto 
simples, pode ser facilmente calculada com estas expressões. 
 
No entanto, situações reais de projeto dificilmente enquadram-se nessas 
alternativas. E neste caso, o método recomendável é a “tentativa e erro”, ou 
seja, estimar uma profundidade e efetuar as verificações. 
Com o auxilio de um software ou de uma planilha eletrônica, essa rotina torna-
se rápida. 
2) Cálculo dos Empuxos ativo e passivo, pela Teoria de Rankine 
 
Conforme Caputo, admitindo-se o giro em um ponto “o” qualquer (figura a), o 
gráfico dos empuxos seria aquele dado na figura b, entretanto, considera-se 
uma simplificação no gráfico (giro ocorrendo na base), resultando na figura c. 
 
 
Teremos então em nosso problema duas zonas, a ativa e a passiva: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1) Cálculo do coeficientes de Empuxo ativo (Ka) 
 
Para o Silte: 
 
 
 
Para a Areia: 
 
 
1.2) Cálculo do coeficiente de Empuxo Passivo (Kp) 
 
Para a Areia: 
 
 
1.3) Cálculo das tensões horizontais (σh) ATIVAS. 
Primeiramente calculam-se as tensões verticais efetivas (σ′𝑣), dadas pelo peso 
do solo, nos Pontos de interesse, através da seguinte expressão: 
σ′𝑣 =σ𝑣𝑇−𝑢 
Onde, σ𝑣𝑇 é a tensão vertical total e 𝑢 é a poropressão. 
 
Em seguida calculam-se as tensões horizontais, dadas pelo peso do solo 
(σℎγ), coesão (σℎ𝑐), sobrecarga (σℎ𝑞) e poropressão (σℎ𝑤), nos pontos de 
interesse, através das seguintes expressões: 
 
 
 
Onde, γw = 10kn/m³, e H = Altura da coluna de água, Kw = 1. 
Então, calculam-se as tensões horizontais totais, através da seguinte 
expressão: 
σh Total = σℎγ + σℎ𝑐 + σℎ𝑞 + σℎ𝑤 
 
Para o ponto A: 
 
 
Para o ponto B1: 
 
 
Para o ponto B2: 
 
 
 
 
 
 
Para o ponto C: 
 
 
Com os valores obtidos, montamos a tabela do lado ativo: 
 
Ponto Ka σv' σhγ σhq σhc σhw σh Total 
A 0,406 0,00 0,00 2,03 -2,55 0,00 -0,52 
B1 0,406 51,00 20,71 2,03 -2,55 0,00 20,19 
B2 0,307 51,00 15,66 1,54 0,00 0,00 17,20 
C 0,307 117,00 35,92 1,54 0,00 0,00 37,46 
 *kPa 
 
1.4) Cálculo das tensões horizontais (σh) PASSIVAS. 
Primeiramente calculam-se as tensões verticais efetivas (σ′𝑣), dadas pelo peso 
do solo, nos Pontos de interesse, através da seguinte expressão: 
σ′𝑣 =σ𝑣𝑇−𝑢 
 
Onde, σ𝑣𝑇 é a tensão vertical total e 𝑢 é a poropressão. 
 
 
Em seguida calculam-se as tensões horizontais, dadas pelo peso do solo 
(σℎγ), coesão (σℎ𝑐), sobrecarga (σℎ𝑞) e poropressão (σℎ𝑤), nos pontos de 
interesse, através das seguintes expressões: 
 
Onde, γw = 10kn/m³, e H = Altura da coluna de água, Kw = 1. 
 
Então, calculam-se as tensões horizontais totais, através da seguinte 
expressão: 
σh Total = σℎγ + σℎ𝑐 + σℎ𝑞 + σℎ𝑤 
 
Obs.: Ponto A com tensão 
negativa dada pela coesão. 
Assume-se Zero para o 
gráfico, em função de um 
possível preenchimento das 
trincas por água. 
Para o ponto B: 
 
 
Para o ponto C: 
 
 
Com os valores obtidos, montamos a tabela do lado passivo, e então o 
diagrama de Empuxos, passivo e ativo: 
 
Ponto Kp σv' σhγ σhq σhc σhw σh Total 
B 3,256 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 
C 3,256 66,00 214,90 0,00 0,00 0,00 214,90 
*kPa 
 
 
 
 
1.5) Cálculo dos Empuxos ativo (Ea) e passivo (Ep) e Pontos de aplicação (y’ e y’’) 
Primeiramente dividimos o gráfico em figuras geometricamente fáceis de calcular. A soma das áreas das figuras representa os 
valores dos Empuxos ativo e Passivo. Em seguida, calculamos as distâncias dos baricentros das figuras em relação à Base (Ponto 
C). Conforme figura abaixo: 
 
 
Empuxo Ativo 
Figura Área (kN) d (m) 
A1 30,29 4,00 
A2 51,60 1,50 
A3 30,39 1,00 
 
Ea = A1+A2+A3 = 30,29+51,60+30,39 = 112,28 kN 
 
Para o cálculo do ponto de aplicação, aplica-se a igualdade entre a soma do 
produto entre as áreas das figuras e seus baricentros e o Empuxo ativo (Ea) 
multiplicado pelo ponto de aplicação da Resultante (y). Dessa forma: 
 
 
 
Empuxo Passivo 
Figura Área (kN) d (m) 
A4 322,35 1,00 
 
Ep = A4 = 322,35 kN 
 
O empuxo passivo será a área do triângulo da figura A4, e o ponto de aplicação 
será coincidente com seu baricentro. 
 
y'’ = 1,00m 
 
Obs.: Caso tivéssemos parcela de coesão ou sobrecarga, o valor de EP seria o 
somatório das diferentes áreas das figuras da zona passiva, e cálculo de y’’ 
também seria feito como demonstrado para o Empuxo ativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Verificações 
 
Definidas as forças do Sistema, teremos a configuração apresentada na figura 
abaixo, que necessita ser verificada quanto ao Tombamento. 
 
 
 
As verificações são feitas comparando-se o FS’s obtidos com aqueles 
preconizados pela NBR 11682, conforme figura abaixo: 
 
 
3.1) Estabilidade ao Tombamento 
 
Teremos então os Momentos Resistentes (MR), ou seja, o Empuxo Passivo 
aplicado a uma distância y’’, que é o momento atuante na ficha da cortina que 
tende a Estabilizar o sistema. 
E teremos os Momentos Instabilizantes (MI), ou seja, o Empuxo Ativo 
aplicado a uma distância y’, que é o momento atuante ao longo de todo 
comprimento da cortina e que tende a Instabilizar o sistema. 
O fator de segurança ao tombamento (FST), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 2, e é calculado através do somatório dos Momentos na 
base da cortina (ponto C), pela seguinte expressão: 
 
 
 
Ao realizar a verificação ao Tombamento, o fator de segurança ficou bastante 
inferior ao mínimo, ou seja, a estrutura está instável. 
 
Qual o procedimento a ser adotado? 
 
A) Aumentar a Ficha; 
B) Projetar Tirantes. 
 
 
4) Hipótese de aumento da ficha 
 
Com o auxilio de uma planilha eletrônica, constatou-se que o tamanho mínimo 
da ficha para FS >= 2 é aproximadamente 3,80 metros. 
 
A seguir serão demonstrados os resultados. 
 
4.1) Cálculo das tensões horizontais (σh) ATIVAS. 
 
Ponto Ka σv' σhγ σhq σhc σhw σh Total 
A 0,406 0,00 0,00 2,03 -2,55 0,00 -0,52 
B1 0,406 51,00 20,71 2,03 -2,55 0,00 20,19 
B2 0,307 51,00 15,66 1,54 0,00 0,00 17,20 
C 0,307 134,60 41,32 1,54 0,00 0,00 42,86 
 *kPa 
 
4.2) Cálculo das tensões horizontais (σh) PASSIVAS. 
 
Ponto Kp σv' σhγ σhq σhc σhw σh Total 
B 3,256 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 
C 3,256 83,6 272,20 0,00 0,00 0,00 272,20 
*kPa 
 
 
 
 
Obs.: Ponto A com tensão 
negativa dada pela coesão. 
Assume-se Zero para o 
gráfico, em função de um 
possível preenchimento das 
trincas por água. 
4.3) Cálculo dos Empuxos ativo (Ea) e passivo (Ep) e Pontos de aplicação (y’ e y’’) 
Primeiramente dividimos o gráfico em figuras geometricamente fáceis de calcular. A soma das áreas das figuras representa os 
valores dos Empuxos ativo e Passivo. Em seguida, calculamos as distâncias dos baricentros das figuras em relação à Base (Ponto 
C). Conforme figura abaixo: 
 
 
 
Empuxo Ativo 
Figura Área (kN) d (m) 
A1 30,29 4,80 
A2 65,36 1,90 
A3 48,75 1,27 
 
Ea = A1+A2+A3 = 30,29+65,36+48,75 = 144,40 kN 
 
Calcula-se y’ de forma análogaà primeira resolução, 
 
y' = 2,30m 
 
 
Empuxo Passivo 
Figura Área (kN) d (m) 
A4 517,18 1,27 
 
Ep = A4 = 517,18 kN 
 
O empuxo passivo será a área do triângulo da figura A4, e o ponto de aplicação 
será coincidente com seu baricentro. 
 
y'’ = 1,27m 
 
Obs.: Caso tivéssemos parcela de coesão ou sobrecarga, o valor de EP seria o 
somatório das diferentes áreas das figuras da zona passiva, e cálculo de y’’ 
também seria feito como demonstrado para o Empuxo ativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4) Verificações 
 
Definidas as forças do Sistema, teremos a configuração apresentada na figura 
abaixo, que necessita ser verificada quanto ao Tombamento. 
 
 
 
As verificações são feitas comparando-se o FS’s obtidos com aqueles 
preconizados pela NBR 11682, conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
4.5) Estabilidade ao Tombamento 
 
Teremos então os Momentos Resistentes (MR), ou seja, o Empuxo Passivo 
aplicado a uma distância y’’, que é o momento atuante na ficha da cortina que 
tende a Estabilizar o sistema. 
E teremos os Momentos Instabilizantes (MI), ou seja, o Empuxo Ativo 
aplicado a uma distância y’, que é o momento atuante ao longo de todo 
comprimento da cortina e que tende a Instabilizar o sistema. 
O fator de segurança ao tombamento (FST), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 2, e é calculado através do somatório dos Momentos na 
base da cortina (ponto C), pela seguinte expressão: 
 
 
 
Ao realizar a verificação ao Tombamento, o fator de segurança atingiu o valor 
mínimo, ou seja, a estrutura está Estável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.6) Ajuste Final 
 
Como citado na Apostila do professor Adriano V.D. Bica., da UFRGS: 
 
 
A ficha de cálculo é 3,80m , entretanto para compensar as simplificações do 
método, a bibliografia recomenda F projeto = F cálculo . 1,2 
 
Ou seja, um fator de acréscimo na profundidade para garantir a hipótese de 
engastamento da base. 
 
Dessa forma o valor final da ficha será: 
 
F projeto = 3,80m . 1,2 = 4,56m ~= 4,60m