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Muros de Contenção por Gravidade 
O exercício a seguir é um guia teórico-prático que visa ilustrar dois conceitos: 
 Aplicação da Teoria de Empuxos de Coulomb; 
 Rotinas de cálculo, dimensionamento e Verificações de Muros de arrimo 
por gravidade. 
 
Exercício 01 
Para a situação ilustrada na figura abaixo, projetar o muro de arrimo por 
gravidade de seção retangular, em concreto ciclópico. Utilizar a Teoria de 
Coulomb para o cálculo dos Empuxos. 
 
Dados: 
σ adm = 250 kPa # Tensão admissível no solo de fundação (obtida pelo SPT) 
γc = 24 kN/m³ # Peso específico do Concreto ciclópico 
 
 
 
 
1) Cálculo do Empuxo ativo, pela Teoria de Coulomb 
Na Teoria de Coulomb são consideradas as seguintes hipóteses: 
 Solo homogêneo e isotrópico; 
 A ruptura ocorre sob o estado plano de deformação, ou seja, a ruptura é 
tratada como um problema bidimensional; 
 Ao longo da superfície de deslizamento o material se encontra em 
estado de equilíbrio limite (critério de Mohr-Coulomb), ou seja, o estado 
de equilíbrio plástico é proveniente do peso de uma cunha de terra; 
 Forças de atrito são uniformemente distribuídas ao longo da superfície 
de ruptura junto ao paramento do muro (atrito solo-muro); 
 Considera-se o atrito entre o solo e o muro (δ) 
 Utilizada para Solos não-coesivos. 
 
 
 
 
Para o problema proposto 
temos os seguintes valores: 
 
φ = 25º 
β = 0º 
α = 90º 
1.1) Cálculo do ângulo de atrito solo-muro 
Primeiramente calcula-se o ângulo de atrito solo-muro (δ), através da seguinte 
expressão proposta por Muller Breslau. 
 
 
1.2) Cálculo do coeficiente de Empuxo ativo (Ka) 
O empuxo ativo é então calculado através da seguinte expressão: 
 
 
1.3) Cálculo das tensões horizontais (σh) 
Primeiramente calculam-se as tensões verticais efetivas (σ′𝑣), dadas pelo peso 
do solo, nos Pontos de interesse, através da seguinte expressão: 
σ′𝑣 =σ𝑣𝑇−𝑢 
 
Onde, σ𝑣𝑇 é a tensão vertical total e 𝑢 é a poropressão. 
 
Em seguida calculam-se as tensões horizontais, dadas pelo peso do solo 
(σℎγ), coesão (σℎ𝑐), sobrecarga (σℎ𝑞) e poropressão (σℎ𝑤), nos pontos de 
interesse, através das seguintes expressões: 
 
Onde, γw = 10kn/m³, e H = Altura da coluna de água, Kw = 1. 
 
Então, calculam-se as tensões horizontais totais, através da seguinte 
expressão: 
σh Total = σℎγ + σℎ𝑐 + σℎ𝑞 + σℎ𝑤 
 
 
Para o ponto A: 
 
Para o ponto B: 
 
 
Com os valores obtidos, montamos a tabela e o gráfico: 
Ponto Ka σv' σhγ σhq σhc σhw σh Total 
A 0,558 0,00 0,00 16,74 0,00 0,00 16,74 
B 0,558 80,00 44,64 16,74 0,00 0,00 61,38 
 
*kPa 
 
1.4) Cálculo do Empuxo ativo (Ea) e Ponto de aplicação (y) 
 
Primeiramente dividimos o gráfico em figuras geometricamente fáceis de 
calcular. A soma das áreas das figuras representa o valor do Empuxo ativo 
Total (Ea). 
Em seguida, calculamos as distâncias dos baricentros das figuras em relação à 
Base (Ponto B). Conforme figura abaixo: 
 
 
Figura Área (kN) d (m) 
A1 66,96 2,00 
A2 89,28 1,33 
 
Ea = A1+A2 = 66,96+89,28 = 156,24 kN 
 
Para o cálculo do ponto de aplicação, aplica-se a igualdade entre a soma do 
produto entre as áreas das figuras e seus baricentros e o Empuxo ativo (Ea) 
multiplicado pelo ponto de aplicação da Resultante (y). Dessa forma: 
 
 
 
 
 
2) Dimensionamento Inicial do Muro de Gravidade 
 
2.1) Modelagem inicial 
A primeira rotina para o dimensionamento/modelagem de um muro é estimar 
algumas dimensões iniciais. Na figura abaixo seguem recomendações de duas 
bibliografias diferentes: 
 
 
Como nosso muro deve ser Retangular (imposição do exercício), iremos 
estimar apenas a base: 
 
B = 0,5 H = 0,5 x 4 = 2 metros. 
 
Sendo assim, teremos um muro com 4 metros de altura e 2 metros de base, 
constituído de concreto ciclópico. 
 
2.2) Cálculo do Peso do Muro (Wm) e do Ponto de aplicação (dm) 
 
Uma vez que o Empuxo ativo é a Ação Prejudicial ao nosso Muro, o Peso do 
muro é a ação favorável, calculado através da seguinte expressão: 
 
 
 
O Ponto de aplicação, para um muro retangular, simétrico é dado por: 
 
 
 
 
2.3) Verificações 
 
Definidas as forças do Sistema, teremos a configuração apresentada na figura 
abaixo, que necessita ser verificada quanto ao Tombamento, Deslizamento e 
Tensões excessivas na Base. 
 
 
As verificações são feitas comparando-se os FS’s obtidos com aqueles 
preconizados pela NBR 11682, conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
2.3.1) Estabilidade ao Tombamento 
 
O fator de segurança ao tombamento (FST), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 2, e é calculado através do somatório dos Momentos no 
Fulcro do Muro (ponto C), pela seguinte expressão: 
 
 
 
Ao realizar a verificação ao Tombamento, o fator de segurança ficou 
extremamente abaixo do mínimo, ou seja, a estrutura Tombaria. Neste caso, 
aumenta-se a largura da Base, aumentando o Peso do Muro, e faz-se nova 
verificação. 
 
Repare que, caso nosso muro estivesse enterrado (D>0), teríamos empuxo 
passivo (EP) auxiliando o sistema de equilíbrio. Entretanto, embora tenhamos 
EP, o mesmo não deve ser considerado nas verificações de muros de 
gravidade, pois admite-se que um dia aquele solo que estaria produzindo o EP 
poderá ser escavado. Como citado na Apostila do professor Adriano V.D. Bica., 
da UFRGS: 
 
 
Vamos verificar o muro para as demais situações a titulo teórico e em seguida 
faremos o dimensionamento correto. 
2.3.2) Estabilidade ao Deslizamento 
 
O fator de segurança ao deslizamento (FSD), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 1,5. Primeiramente devemos calcular o ângulo de atrito 
entre a Base do Muro e o Solo de fundação (φf). Como citado na Apostila do 
professor Adriano V.D. Bica., da UFRGS: 
 
Então, o ângulo de atrito entre a Base e o solo de fundação é função do ângulo 
de atrito interno do solo de fundação, com um redutor dado entre 0,67 e 1. 
Para nosso exercício consideraremos φf = 1. φ’ = 1.25 = 25º 
 
O Fator de segurança ao deslizamento (FSD) é então calculado pela seguinte 
expressão: 
 
 
Ao realizar a verificação ao deslizamento, o fator de segurança ficou 
extremamente abaixo do mínimo, ou seja, a estrutura Deslizaria. Neste caso, 
aumenta-se a largura da Base, aumentando o Peso do Muro, e faz-se nova 
verificação. 
Vamos verificar o muro para as demais situações a titulo teórico e em seguida 
faremos o dimensionamento correto. 
2.3.3) Tensões excessivas na Base 
 
A tensão admissível em fundações diretas é a tensão aplicada pelo elemento 
de fundação ao solo que oferece a segurança adequada contra a ruptura. 
Para a avaliação da segurança contra tensões excessivas na fundação de um 
muro de arrimo, admite-se que o solo seja submetido a uma distribuição de 
tensões verticais não-uniforme. Esta distribuição é causada pela resultante das 
forças verticais Rv que está situada a uma distância dm do fulcro do muro 
(Ponto C), e também pelo momento em relação à base causado pela resultante 
das forças horizontais M = Rh y . Pode-se calcular a excentricidade gerada por 
esse sistema de equilíbrio (e), e a partir desta, a distribuição de tensões, 
deslocando Rv de uma distância d1. Através das seguintes Equações: 
 
 
 
 
Para que as equações das tensões sejam válidas, Rv deverá estar localizada 
no terço médio da fundação, isto é, deve ser atendida a condição e < Base/6. 
 
 
Sendo assim, não faz sentido prosseguir com as demais verificações uma vez 
que as equações perderam sua validade. 
Dito isto, iremos começar do início o dimensionamento do Muro, aumentando 
sua base e refazendo as verificações. 
3) Dimensionamento Final do Muro de Gravidade 
 
3.1) Modelagem Final 
 
Utilizando Base = 2 verificamos que a estrutura ficou Instável, dessa forma, 
iremos aumentar sua Base. 
 
Através de simulações, previamente verificou-se os resultados, e para 
entendimento do problema aumentaremos a base para B = 5,3 metros.Sendo assim, teremos um muro com 4 metros de altura e 5,3 metros de base, 
constituído de concreto ciclópico. 
 
3.2) Cálculo do Peso do Muro (Wm) e do Ponto de aplicação (dm) 
 
Uma vez que o Empuxo ativo é a Ação Prejudicial ao nosso Muro, o Peso do 
muro é a ação favorável, calculado através da seguinte expressão: 
 
 
 
O Ponto de aplicação, para um muro retangular, simétrico é dado por: 
 
 
 
 
3.3) Verificações 
 
Definidas as forças do Sistema, teremos a configuração apresentada na figura 
abaixo, que necessita ser verificada quanto ao Tombamento, Deslizamento e 
Tensões excessivas na Base. 
 
 
As verificações são feitas comparando-se os FS’s obtidos com aqueles 
preconizados pela NBR 11682, conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
3.3.1) Estabilidade ao Tombamento 
 
O fator de segurança ao tombamento (FST), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 2, e é calculado através do somatório dos Momentos no 
Fulcro do Muro (ponto C), pela seguinte expressão: 
 
 
 
 
Ao realizar a verificação ao Tombamento, o fator de segurança ficou bastante 
superior ao mínimo, ou seja, a estrutura está estável, embora não econômica. 
 
3.3.2) Estabilidade ao Deslizamento 
 
O fator de segurança ao deslizamento (FSD), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 1,5. Primeiramente devemos calcular o ângulo de atrito 
entre a Base do Muro e o Solo de fundação (φf). Como citado na Apostila do 
professor Adriano V.D. Bica., da UFRGS: 
 
Então, o ângulo de atrito entre a Base e o solo de fundação é função do ângulo 
de atrito interno do solo de fundação, com um redutor dado entre 0,67 e 1. 
Para nosso exercício consideraremos φf = 1. φ’ = 1.25 = 25º 
 
O Fator de segurança ao deslizamento (FSD) é então calculado pela seguinte 
expressão: 
 
 
Ao realizar a verificação ao deslizamento, o fator de segurança ficou um pouco 
superior ao mínimo, ou seja, a estrutura está estável. É importante reparar que 
este foi o FS limitante para esta estrutura. Em outras palavras, se o muro 
tivesse largura um pouco inferior aos 5,3 metros adotados, todos os outros 
FS’s estariam “Ok”, exceto FSD. Isso se deve ao fato de que o atrito “solo-
muro” é baixo em relação à magnitude das cargas horizontais. 
Se o solo da Base tivesse um ângulo de atrito (φ’) maior, esta situação seria 
menos inconveniente. 
 
3.3.3) Tensões excessivas na Base 
A tensão admissível em fundações diretas é a tensão aplicada pelo elemento 
de fundação ao solo que oferece a segurança adequada contra a ruptura. 
Para a avaliação da segurança contra tensões excessivas na fundação de um 
muro de arrimo, admite-se que o solo seja submetido a uma distribuição de 
tensões verticais não-uniforme. Esta distribuição é causada pela resultante das 
forças verticais Rv que está situada a uma distância dm do fulcro do muro 
(Ponto C), e também pelo momento em relação à base causado pela resultante 
das forças horizontais M = Rh y . Pode-se calcular a excentricidade gerada por 
esse sistema de equilíbrio (e), e a partir desta, a distribuição de tensões, 
deslocando Rv de uma distância d1. Através das seguintes Equações: 
 
 
 
 
Para que as equações das tensões sejam válidas, Rv deverá estar localizada 
no terço médio da fundação, isto é, deve ser atendida a condição e < Base/6. 
 
 
Em seguida, calculam-se as tensões na Base, considerando à excentricidade, 
através das seguintes expressões: 
 
 
Teremos então a seguinte distribuição de tensões: 
 
 
De posse dessas informações, as verificações finais devem ser feitas: 
 
 
 
A tensão Máxima ficou 
menor que a tensão 
admissível, não haverá 
ruptura! 
 
A tensão Máxima não 
ultrapassou o coeficiente de 
segurança (1,3) para 
fundações, é segura! 
 
A média das tensões não 
ultrapassou a tensão 
admissível, não haverá 
ruptura! 
 
A tensão mínima ficou maior 
que zero, não haverá tração! 
4) Comentários Finais 
 
Através desse guia teórico-prático, verificou-se todas as etapas de 
dimensionamento de um muro de arrimo por gravidade. 
Primeiramente foi demonstrado um dimensionamento que levou ao 
tombamento e ao deslizamento. Em seguida, alargando-se a Base, foi 
demonstrado um dimensionamento seguro, com critério limitante em FSD 
(deslizamento), e antieconômico. 
 
Por que isso ocorreu? Qual a solução na prática? 
 
Para o caso apontado algumas alternativas poderiam ser avaliadas: 
1) Substituir o Muro de Gravidade por uma cortina, de forma que o Empuxo 
Passivo estaria então atuando; 
2) Trocar o material do muro (concreto ciclópico) por outro com maior peso 
específico; 
3) Aprofundar o muro a fim de encontrar um solo com ângulo de atrito 
maior na base da fundação; 
 
Diversas são as possibilidades e cada caso é um caso.