Acionamento_Motor cc

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Acionamentos para Controle e 
Automação 
Prof. Cecilio Martins 
Acionamentos com Máquinas CC 
1 
Acionamentos para Controle e 
Automação 
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Técnicas de Acionamento com Máquinas CC 
2 
• Princípio de funcionamento da máquina CC. 
• Modelo dinâmico da máquina CC. 
• Análise no tempo da máquina CC. 
• Simulação da máquina CC. 
• Conversores de potência. 
• Controle de conjugado 
• Controle de velocidade da máquina CC. 
Sumário 
 Máquinas elétricas funcionam com base no princípio físico 
que um campo magnético produz uma força sobre um condutor 
onde circula uma corrente elétrica. 
 A máquina CC é muito importante para o entendimento dos 
sistemas de acionamentos com as máquinas CA. 
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3 
Princípio de Funcionamento da Máquina CC 
 Os fluxos f e a só dependem das suas próprias correntes 
(desprezando-se a reação de armadura. 
 A máquina de corrente contínua 
é constituída por dois circuitos: 
Estator – Enrolamento de campo 
ou excitação, alimentado por um 
fonte CC. 
Rotor – Armadura alimentado por 
um fonte CC correspondente ao 
estágio de potência. 
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4 
Modelo dinâmico da máquina CC 
Circuito equivalente do motor CC. 
• Os fluxos de campo e armadura são: 
aaa il
fff il
 O valor do fluxo induzido pelo 
campo na armadura, em relação ao 
eixo de lf tem distribuição senoidal. 
• Assim, o fluxo induzido na 
armadura a um ângulo  da bobina 
de campo é dado por: 
)cos(''  fff ik
Onde kf é uma constante que depende dos aspectos construtivos da 
máquina. 
 Esta formulação também é válida para o fluxo gerado pela armadura. 
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Modelo dinâmico da máquina CC 
Circuito equivalente do motor CC. 
 Como as bobinas de campo e 
armadura estão defasadas de /2 rad, 
não existe fluxo mútuo. 
• A variação do fluxo produzido na 
armadura pelo campo produz uma 
fcem, dada por: 
2/
'
| 


dt
d
e
f
a
rffffa ik
dt
d
ike 

 '' )sin( 
ou seja, 
onde r = d/dt é a velocidade do rotor. 
O modelo elétrico da armadura é então dado por: 
a
a
aaaa e
dt
di
lirv 
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Modelo dinâmico da máquina CC 
Circuito equivalente do motor CC. 
Repetindo a Eq. Anterior, 
a
a
aaaa e
dt
di
lirv 
onde raia é a queda de tensão na 
resistência do enrolamento e ladia/dt é 
tensão induzida no enrolamento devido 
a variação de fluxo. 
O modelo do enrolamento de campo é: 
dt
di
lirv
f
ffff 
onde rfif é a queda de tensão na resistência do enrolamento e lfdif/dt é tensão 
induzida no enrolamento devido a variação de fluxo. 
 O sentido das correntes depende do modo de operação da máquina 
como motor ou gerador. 
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7 
Modelo dinâmico da máquina CC 
Circuito equivalente do motor CC. 
 O conjugado da máquina CC é 
gerado pela tendência do fluxo da 
armadura se alinhar com o fluxo do 
campo. 
Assim, o conjugado eletromagnético é 
proporcional ao módulo vetorial destes 
fluxos, ou seja: 
afce kc  
'
Na forma escalar, 
afcafce kkc 
'' )sin( 
onde  é o ângulo entre f e a. 
Substituindo-se a = laia e introduzindo uma nova constante kc = lak’c, tem-se 
que: 
afcaafcafce ikilkkc  
''
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Modelo dinâmico da máquina CC 
Circuito equivalente do motor CC. 
Esta expressão para o conjugado 
permite observar o seguinte: 
 O conjugado é sempre o máximo 
pois os fluxos f e a são ortogonais. 
 É necessário um comutador para 
garantir que os fluxos f e a sejam 
unidirecionais e ortogonais. 
 Por simplicidade, considerou-se a 
máquina com um par de pólos, caso 
contrário, 
afce iPkc 
As constantes kf e kc são aproximadamente iguais. Ou seja, desprezando-se 
as perdas, a potência recebida (ou fornecida) pela máquina é: 
aae iep 
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Modelo dinâmico da máquina CC 
Circuito equivalente do motor CC. 
rem cp 
Desprezando-se as perdas mecânicas, 
a potência no eixo da máquina pode 
ser dada por: 
Igualando-se as potências, 
tcfracarf kkkikik  
Substituindo-se as definições para ce 
e ea, obtém-se que: 
Uma vez deduzido o modelo elétrico da máquina, o modelo mecânico pode 
ser obtido como segue: 
reaa cie 
 Aplicando-se a segunda Lei de Newton a parte mecânica da máquina, 
obtém-se que: 
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Modelo dinâmico da máquina CC 
 Aplicando-se a segunda Lei de Newton a parte mecânica da máquina, 
obtém-se que: 
rm
r
mme f
dt
d
jcc 


Onde fmr é o conjugado de atrito ca, que se opõe ao movimento do rotor, 
aproximadamente proporcional e jm é a inércia da máquina. 
Assim, o comportamento da máquina pode ser descrito por: 
Modelo elétrico: 
a
a
aaaa e
dt
di
lirv 
dt
di
lirv
f
ffff 
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Modelo dinâmico da máquina CC 
Modelo mecânico: 
rm
r
mme f
dt
d
jcc 


onde: 
ate ikc 
rta ke 
As variáveis e parâmetros relacionados nas equações do modelo são: 
ia: corrente de armadura [A]; va: tensão de armadura [V]; 
ea: força contra-eletromotriz [V]; vf: tensão de campo [V]; 
a: fluxo de campo [Wb]; ce: conjugado eletromagnético [Nm]; 
r: velocidade angular do eixo [rad/s]; ra: resistência de armadura []; 
re: resistência do campo []; la: indutância da armadura [H]; 
lf: indutância do campo [H]; ke, kc : constantes da máquina [MKS]; 
fm: coeficiente de atrito [MKS] e jm: momento de inércia [MKS]. 
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Modelo dinâmico da máquina CC 
 rmmat
m
r jcik
jdt
d



1
Em espaço de estados, o modelo do motor CC pode ser dado por: 
 rtaaa
a
a kirv
ldt
di

1
No modelo acima, considera-se que o motor tem excitação em separado e 
sua alimentação é realizada com tensão vf = cte. 
Na forma matricial, 


















































m
a
m
a
r
a
m
m
m
t
a
t
a
a
t
a
c
v
j
li
j
f
j
k
l
k
l
r
dt
d
dt
di
1
0
0
1

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Modelo dinâmico da máquina CC 
Admitindo-se que a saída do modelo é a velocidade, pode-se escrever, 
  






r
a
r
i

 10
Resumidamente, pode-se escrever o seguinte: 
BuAxx 
Cxy 
onde: 















m
m
m
t
a
t
a
a
j
f
j
k
l
k
l
r
A






r
ai

x














m
a
j
l
1
0
0
1
B







m
a
c
v
u







r
ai

C
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Modelo dinâmico da máquina CC 
2
2
a
amag
i
lE 
 Observa-se que os estados escolhidos foram estados físicos da máquina: 
corrente de armadura ia e velocidade mecânica r. 
A corrente de armadura informa sobre a energia magnética armazenada no 
enrolamento la, dado por: 
Já a velocidade mecânica, informa a energia cinética armazenada no rotor da 
máquina expressa por: 
2
2
r
mmecjE


Aplicando-se a transformada de Laplace a equação de espaço de estados, 
)()()( ssss BUAXX 
Em que: 
)()()()()()( 1 sssssss BUAIXBUAXX 
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Modelo dinâmico da máquina CC 
Substiuindo-se os parâmetros do modelo da máquina, 
Em que: 















m
m
m
t
a
t
a
a
j
f
s
j
k
l
k
l
r
s
s )( AI
 
 



















 
01
2
2
01
2
01
2
01
2
1
1
/
/
)(


ss
zs
ss
jk
ss
lk
ss
zs
s
mt
at
AI
onde: 









m
m
a
a
j
f
l
r
1 





 

ma
tma
jl
kfr 2
0 







m
m
j
f
z1 








a
a
l
r
z2
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Modelo dinâmico da máquina CC 
Calculando-se o produto: 
 
  























 
)(
)(
)/1(/
/)/1(
)()()(
01
2
2
01
2
01
2
01
2
1
1
s
s
ss
zsl
ss
jlk
ss
jlk
ss
zsl
sss
m
a
amat
mata
C
V
BUAIX


Da expressão matricial acima, as seguintes funções de transferência 
podem ser obtidas: 
 
)(
/
)(
)/1(
)(
01
2
01
2
1 s
ss
jlk
s
ss
zsl
s m
mat
a
a
a CVI
 




 
)(
)/1(
)(
/
)(
01
2
2
01
2
s
ss
zsl
s
ss
jlk
s m
a
a
mat CVΩ
 




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Modelo dinâmico da máquina CC 
Da primeira expressão pode-se concluir que: 
 
)(
/
)(
)/1(
)(
01
2
01
2
1 s
ss
jlk
s
ss
zsl
s m
mat
a
a
a CVI
 




 
)(
)/1(
)(
/
)(
01
2
2
01
2
s
ss
zsl
s
ss
jlk
s m
a
a
mat CVΩ
 




 A tensão de armadura e o conjugado mecânico têm contribuições positivas 
na corrente de armadura. 
Da segunda, observa-se que: 
 A tensão de armadura e o conjugado mecânico têm contribuições positiva 
e negativa na velocidade da máquina. 
Os pólos das funções de transferência acima são dados por: 
m
m
a
a
a
a
m
m
m
m
a
a
j
f
l
r
l
r
j
f
j
f
l
r
s 4
2
1
2
1
2
2,1 
















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Modelo dinâmico da máquina CC 
De uma forma geral, as FT que descreve a velocidade da máquina pode ser 
reescrtita como: 
 
)(
)1)(1(
1)/(
)(
)1)(1(
)(
21
2
21
s
ss
slr
s
ss
k
s m
aaa
a
a CVΩ








onde: , , e aaa rl / 11 /1 s 22 /1 s
Modelo de regime permanente da máquina CC 
O modelo de regime permanente é obtido aplicando-se a condição de regime 
permanente ao modelo de estados (fazendo os termos d/dt = 0), obtém-se: 
aaaa eirv 
rmme fcC 
mata jlkk /
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Modelo dinâmico da máquina CC 
Reescrevendo as equações anteriores, temos que: 
rtaaa kirv 
rmmat fcik 
Explicitando-se a corrente ia na segunda, 
m
t
r
t
m
a c
kk
f
i
1
 
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Modelo de regime permanente da máquina CC 
Substituindo-se na eq, da tensão de armadura, 
m
tm
a
a
m
r c
kk
r
v
k

1

onde, 
t
ma
tm
k
fr
kk 
Reescrevendo a equação da corrente de armadura, temos que: 
mba
mt
m
a ckv
kk
f
i 
onde, 
tmt
am
b
kkk
rF
k
1
2

Resumidamente, temos que: 
m
tm
a
a
m
r c
kk
r
v
k

1
 mba
mt
m
a ckv
kk
f
i 
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Modelo de regime permanente da máquina CC 
Repetindo-se as últimas duas equações, 
mba
mt
m
a ckv
kk
F
i 
m
tm
a
a
m
r c
kk
r
v
k

1

 Na primeira equação observa-se que a corrente aumenta com o aumento 
de va e de cm. 
 Na segunda, observa-se que a velocidade aumenta com o aumento de va e 
reduz com o incremento do conjugado de carga cm 
Análise no tempo da máquina CC 
Nas figuras a seguir, apresenta-se o comportamento, da partida da máquina 
CC, quando a máquina é excitada inicialmente por um degrau de tensão, e 
posteriormente por um degrau na carga. 
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22 
Análise no tempo da máquina CC 
 No experimento a seguir aplica-se um degrau de tensão va = 12V em 
t = 0.01s e no instante t = 0.15s é aplicado um conjugado resistente de 
0.1Nm. 
 A corrente da máquina apresenta um incremento na partida e outro no 
momento em que é aplicado o conjugado resistente (conjugado de carga). 
 A velocidade evolui, segundo a resposta de um sistema de 1a ordem até o 
valor de regime permanente, ocorrendo um decréscimo na sua velocidade 
após a aplicação do conjugado resistente. 
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Simulação da máquina CC 
Os ensaios de simulação foram feitos com a seguinte máquina: 
Parâmetros do Motor CC 
 
Modelo: GM9236C - 12V 
kt = 0.023; constante de torque 
ra = 0.71; resistência da armadura 
la = 0.00066; indutância da armadura 
jm = 1.5e-5; momento de inércia do motor 
fm = 1.5e-5; coeficiente de atrito viscoso 
Velocidade do rotor: 514 rad/s 
Corrente sem carga: 0.33 A 
Pico de Corrente: 16.9 A 
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Simulação da máquina CC 
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
5
10
15
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
200
400
600
Conjugado cm 
Conjugado cm 
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Controle de velocidade em malha aberta 
A expressão da velocidade em regime permanente do motor CC é, 
m
t
m
r
t
tma
a c
k
f
k
kfr
v 














 
 
2
*
Resumidamente, a expressão acima pode ser re-escrita como: 
mdra ckkv  
*
onde: 
t
tma
k
kfr
k
2

t
m
d
k
f
k 
Assim, o controle de malha aberta, da máquina CC, é implementado por: 
25 
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Controle de velocidade em malha aberta 
 Nos sistemas reais, a saída de tensão é limitada para proteger o processo. 
 É necessário a medição do conjugado de carga e do perfeito conhecimento 
dos parâmetros da máquina (Erro de regime permanente). 
 Em geral, a utilização deste tipo de controle é não recomendada em 
virtude da imprecisão do processo. 
• Observações importantes: 
Controle de velocidade em malha fechada - PID 
 É necessário que o controlador possua um pólo em zero para garantir erro 
de regime permanente nulo. 
 Por essa característica, seria possível utilizar um controlador PI. Todavia, 
não seria possível dimensionar um controlador PI, de modo obter um sistema 
mais rápido do que o controlador em malha aberta. 
26 
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Controle de velocidade em malha fechada - PID 
 O controlador PID apresentado na figura abaixo é mais adequado no 
controle da velocidade da máquina CC. 
 A inclusão do termo d/dt faz com que o controle atue mais rápido durante o 
transitório. 
A função de transferência do controlador idealizado é dada por: 
d
i
p sk
s
k
ksD )(
27 
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Controle de velocidade em malha fechada - PID 
A função de transferênciado controlador idealizado é dada por: 
d
i
p sk
s
k
ksD )(
 As ações: proporcional, integral e derivativa, são dadas por: 
pp ksD )(
s
k
sD ii )( dd sksD )(
O termo derivativo d/dt (kds) não pode ser implementado fisicamente na sua 
forma exata. Caso isso fosse realizado o referido termo deveria responder a 
um impulso (t), para uma entrada degrau. 
 Por considerações práticas, a ação derivativa é implementada como: 
1
)(


d
d
d
s
sk
sD

Sendo assim, a função de transferência do PID, é dado por: 
1
)(


d
di
p
s
sk
s
k
ksD

28 
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Controle de velocidade em malha fechada - PID 
ou ainda, 
    
 1
1//
)(
2



ss
kkkskkksk
sD
d
ipididpdi


A expressão acima, possui dois pólos, sendo um na origem (s = 0) e outro 
posicionado em s = -1/d. Também possui dois zeros, cuja localização 
dependem das constantes kp, ki e kd. 
Definindo-se a FT de malha aberta da máquina como: 
)()()()()( ssGssGs mmaa CVΩ 
Em que: 
)1)(1(
)(
21 

ss
k
sG aa

 
)1)(1(
1)/(
)(
21
2



ss
slr
sG aaam


29 
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Controle de velocidade em malha fechada - PID 
O diagrama de blocos de malha fechada com o PID é portanto, 
No diagrama de blocos acima, FT de malha aberta pode ser dada por: 
    
 1
1//
1)(
)(
)(
)(
2
21
2
21 




ss
kkkskkksk
ss
k
sG
sE
s
d
ipididpdia
o
r



Utilizando-se da técnica de cancelamento de pólos e zeros. 
21/)(   idpd kkk )(/)( 21   ipid kkk
30 
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Controle de velocidade em malha fechada - PID 
Repetindo-se a FT de malha aberta pode ser dada por: 
    
 1
1//
1)(
)(
)(
)(
2
21
2
21 




ss
kkkskkksk
ss
k
sG
sE
s
d
ipididpdia
o
r



Efetuando-se o cancelamento de pólos e zeros, obtém-se que: 
 1
)(
)(
)(



ss
kk
sG
sE
s
d
ia
o
r

Função de transferência de malha fechada do motor CC com o controlador 
PID pode ser obtida utilizando-se o método da superposição, ou seja: 
aid
ai
o
o
f
r
r
kkss
kk
sG
sG
sG
s
s






)1()(1
)(
)(
)(
)(
* 
 
)1)(1]()1([
)1(1)/(
)(1
)(
)(
)(
)(
21
2






sskkss
sslrs
sG
sG
sG
sC
s
aid
daaa
o
m
fm
m
r


31 
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As duas equações abaixo determinam a contribuição das entradas 
velocidade de refrência e conjugado mecânico na velocidade controlada. 
É imprescindível que o erro de regime permanente seja nulo, assim 
considerando-se entradas Ωr
s(s) e Cm(s), como sendo degraus, cujos valores 
são: 
aid
ai
o
o
f
r
r
kkss
kk
sG
sG
sG
s
s






)1()(1
)(
)(
)(
)(
* 
 
)1)(1]()1([
)1(1)/(
)(1
)(
)(
)(
)(
21
2






sskkss
sslrs
sG
sG
sG
sC
s
aid
daaa
o
m
fm
m
r


s
s
s rtester
)(
)(
*
*
)(


s
sC
sC mtestem
)(
)()( 
Para determinar o erro de regime permante, parte-se do cálculo de: 
)()()( * sssE rrw 
32 
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Controle de velocidade em malha fechada - PID 
Com base no diagrama de blocos abaixo, 
)()()()()()( sGsCsGsDsEs mmawr 
Pode-se calcular o valor da velocidade da máquina como: 
como: 
)()()()()()( ** sEsssssE wrrrrw 
Substituindo-se na expressão acima, obtém-se que: 
)()()())()(1)(( * sGsCssDsGsE mmraw 
33 
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Controle de velocidade em malha fechada - PID 
Re-escrevendo a expressão anterior, 
Em termos das FTs, pode escrever que: 
O erro de regime permante pode ser obtido utilizando-se o princípio da 
superposição, ou seja: 
))()(1(
)()(
))()(1(
)(
)(
*
sDsG
sGsC
sDsG
s
sE
a
mm
a
r
w





 
)(
)1(
1
)1)(1(
1)/(
)(
)1(
1
1
)( 21
2
* sC
ss
kk
ss
slr
s
ss
kk
sE m
d
ia
aaa
r
d
ia
w












0
)1(
1
lim)(
*
0





 s
ss
kk
s
e r
d
ia
s
ww

34 
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Controle de velocidade em malha fechada - PID 
E em relação a carga mecânica, 
A soma dos dois erros, decorrentes das entradas velocidade e carga 
mecânica é dado por: 
 
0
)1(
1
)1)(1(
1)/(
lim)( 21
2
0






 s
C
ss
kk
ss
slr
s
se m
d
ia
aaa
s
wcm



0)()()(  wcmwww eee
Cálculo dos parâmetros do controlador PID 
Para se obter pólos de malha fechada reais e iguais, sf = -1/2d, tem-se que: 
d
aid
aid
kk
skkss



2
411
2,1
2


35 
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Controle de velocidade em malha fechada - PID 
Cálculo dos parâmetros do controlador PID 
Levando-se em consideração o cancelamento de pólos, obtém-se, 
d
fs
2
1

 Pólos de malha fechada 
da
i
k
k
4
1
  Condição de pólos reais e idênticos 
Em relação ao cancelamento de pólos, obtém-se, 
dadp kk  4/)( 21 
daddd kk  4/])([ 2121 
 Condição de cancelamento 
36 
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Controle de velocidade em malha fechada - Cascata 
 O conjugado da máquina é proporcional a corrente de armadura. 
 O controle de corrente possibilita a proteção de sobrecorrente da máquina. 
 Em geral, a malha de corrente é mais rápida que a de velocidade. 
 Além da proteção de sobrecorrente, o controle em cascata reduz a 
complexidade do cálculo dos controladores. 
Levando-se em consideração os valores das constantes de tempo elétrica e 
mecânica, é possível tratar as malhas de controle de corrente e de 
velocidade, como se fossem desacopladas. 
Diagrama de bloco da malha de corrente. 
37 
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Controle de velocidade em malha fechada - Cascata 
Considere o modelo de corrente, dado por: 
Diagrama de bloco da malha de corrente. 
a
a
aaaa e
dt
di
lirv 
Fazendo, 
Obtém-se o seguinte modelo tensão x corrente, 
aaa evv 
'
dt
di
lirv aaaaa 
'
38 
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Controle de velocidade em malha fechada - Cascata 
Aplicando-se a transformada de Laplace, 
1
/1
)(
)(
)(
' 

s
r
sV
sI
sG
a
a
a
a
i

 Na seção anterior, o cálculo do controlador foi efetuado considerando que 
a fonte de tensão era ideal. 
No caso do conversor de potência, existe um pequeno atraso entre a tensão 
de referência e a tensão sintetizada, ou seja: 
1
1
)(
)(
)(
* 

ssV
sV
sG
va
a
v

39 
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Controle de velocidade em malha fechada - Cascata 
Com a inclusão do conversor de potência, o diagrama de blocos se torna, 
De acordo com a figura acima, 
)()()()( *' sEsGsVsV avaa 
A tensão de referência ideal é dada por: 
)()()()( *'** sGsEsVsV eaaa 
Substituindo-se na equação da tensão resultante Va
’(s), 
)()()()()()()( *'*' sEsGsGsEsGsVsV aveavaa 
40 
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Controle de velocidade em malha fechada - Cascata 
Diagrama de blocosda malha de corrente da máquina CC 
Para que a compensação de Ea(s) seja ideal, é necessário que: 
)()()()()()()( *'*' sEsGsGsEsGsVsV aveavaa 
)(
1
)(
sG
sG
v
e  )()(
* sEsE aa 
em 
)()()( '*' sGsVsV vaa 
O que resulta em: 
41 
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Controle de velocidade em malha fechada - Cascata 
• Controle de corrente da armadura da máquina 
42 
A FT de tensão/corrente da armadura, pode ser dada por: 
A constante v é muito pequena e não necessário ser compensada. Assim, a 
compensação é feita sobre a constante a por um controlador PI, cuja FT é: 
)()()(
)1)(1(
/1
)( '*'* sVsGsV
ss
r
sI aia
va
a
a 



s
kskk
s
k
ksG
iipiiii
pipii
)1/(
)(


A FTMA do controlador + armadura da máquina é então dada por: 
)1)(1(
)1/)(/(
)()()(



sss
kskrk
sGsGsG
va
iipiaii
ipiioi

Utilizando-se o critério do cancelamento de pólos e zeros, 
ii
pi
a
k
k

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Controle de velocidade em malha fechada - Cascata 
• Controle de corrente da armadura da máquina 
43 
Cancelando-se o pólo da FT, Gi(s) com o zero do controlador Gpii(s), obtém-se 
que: 
)1(
)/(
)(


ss
rk
sG
v
aii
oi

Assim, a função de transferência de malha fechada FTMF é dada por: 
)/(
)/(
)(
2
aiiv
aii
fi
rkss
rk
sG



Definindo-se: 
aiiia rkk /
Obtém-se que: 
iav
ia
fi
kss
k
sG


2
)(

Cujas raízes do denominador são: 
v
iavk
s


2
411
2,1


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Controle de velocidade em malha fechada - Cascata 
• Controle de corrente da armadura da máquina 
44 
Fazendo com que os pólos de MF sejam reais iguais. 
)4/( vaii rk 
Aplicando-se esse critério, FTMF resultante é portanto, 
)(
)12(
1
)()()( *
2
* sI
s
sIsGsI a
v
afia



Para simplificar o projeto do controlador, o sistema anterior pode ser 
aproximado por um equivalente de 1ª ordem, como segue: 
onde: 
)(
1
1
)()()( *
'
* sI
s
sIsGsI a
v
afia



vv  4
' 
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Diagrama de bloco da malha de velocidade. 
45 
O modelo mecânico da máquina pode ser dado por: 
rm
r
mme f
dt
d
jcc 


Admitindo-se que o conjugado mecânico pode ser considerado como uma 
perturbação: 
rm
r
mmee f
dt
d
jccc 

'
Aplicando a transformada de Laplace 
)()(
1
)/1(
)( '' sCGsC
s
f
s ee
m
m
m 




m
m
m
f
j

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Controle de velocidade em malha fechada - Cascata 
46 
Admitindo-se que o controlador é capaz de compensar a perturbação, 
Utilizando-se um controlador PI 
)()(
)1)(1(
)/(
)( **
'
sIGsI
ss
fk
s aa
vm
mt
m 




s
kskk
s
k
ksG
ipii
ppi
)1/(
)(




Assim, a FTMA resultante pode ser dada por: 
)1)(1(
)1/)(/(
)()()(
' 


sss
kskfkk
sGsGsG
vm
ipmti
pio



Fazendo o cancelamento pólo/zero, 
)1(
)/(
)()()(
' 

ss
fkk
sGsGsG
k
k
v
mti
piom
i
p

 


• Controle de velocidade da armadura da máquina 
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Controle de velocidade em malha fechada - Cascata 
47 
• Controle de velocidade da armadura da máquina 
A FTMF resultante é dada por: 
imv
im
mtiv
mti
f
kss
k
fkkss
fkk
sG




2'' )/()1(
)/(
)(
 


Cujas as raízes do polinômio característico são: 
Onde: 
m
ti
im
f
kk
k 
'
'
2,1
2
411
v
imvk
s



Para a condição de cancelamentos de pólos: 
vt
m
v
im
k
f
k
 164
1
'
