Livro - Sistemas de Acionamento Estático de Máquina Elétrica

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Sistemas de Acionamento Estático de Máquina
Elétrica
Cursino Brandão Jacobina
Campina Grande, PB, Brasil
c©Cursino Brandão Jacobina, Junho de 2005
Sistemas de Acionamento Estático de Máquina
Elétrica
Cursino Brandão Jacobina
Junho de 2005
Campina Grande, PB, Brasil, Junho de 2005
Conteúdo
1 Introdução geral 4
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 6
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Prinćıpio de funcionamento da máquina CC . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Modelo da máquina CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Representação no tempo do modelo dinâmico . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Modelo de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3 Função de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.4 Modelo de regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Análise no tempo e na frequência da máquina CC . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.1 Partida do motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.2 Resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Controle de velocidade do motor CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.1 Controlador de velocidade com ação direta na tensão . . . . . . . . 15
2.5.2 Controle em cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Fonte de tensão de alimentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Modelo da máquina de corrente alternada 27
3.1 Introdução geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Equações gerais das máquinas trifásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 Convenções, hipóteses e notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 Expressões dos fluxos, tensões, conjugado e potência . . . . . . . . . 28
3.3 Representação odq da máquina trifásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1 Definição da transformação odq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.2 Expressões dos fluxos, tensões e conjugado em odq . . . . . . . . . . 32
3.3.3 Interpretação f́ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.4 Representação bifásica dq da máquina ativa . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.5 Escolha da posição ou referencial para os eixos dq . . . . . . . . . . 37
3.4 Representação complexa ou vetorial dq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 Aplicação às máquinas asśıncrona e śıncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.1 Máquina asśıncrona (indução) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.2 Máquina Śıncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1
CONTEÚDO 2
4 Introdução ao acionamento com máquina asśıncrona 44
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Caracteŕısticas de funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Modelos dinâmicos da máquina asśıncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.1 Modelos dinâmicos cont́ınuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.2 Modelos dinâmicos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.3 Modelo mecânica de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Fonte de alimentação estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5 Sistema de aquisição e controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 54
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Estratégias de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Controle por escorregamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.1 Controle por escorregamento com o fluxo rotórico . . . . . . . . . . 56
5.3.2 Controle por escorregamento com fluxo estatórico . . . . . . . . . . 58
5.4 Controle em quadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4.1 Controle em quadratura com o fluxo rotórico . . . . . . . . . . . . . 61
5.4.2 Controle em quadratura com o fluxo estatórico . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Controle de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.6 Projeto dos controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.7 Estimação do fluxo magnético da máquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.8 Complexidade de implementação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.9 Resultados de simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.10 Resultados experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Controle de corrente da máquina asśıncrona 73
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 Modelo dinâmico para o controle de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3 Controle de corrente com histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4 Controle de corrente com histerese independente . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.5 Controle com histerese vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.6 Controladores de corrente linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.7 Controladores para sistemas monofásicas ou trifásicos desbalanceados . . . 79
6.8 Estudo dos controladores de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7 Controle do inversor de tensão com modulação por largura de pulso 86
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2 Prinćıpios do comando PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.3 Modulação vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.4 Modulação escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.5 Relação entre as modulações vetorial e escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 94
CONTEÚDO 3
8 Tópicos especiais 97
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2 Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.3 Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.4 Detecção e compensação de falhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.5 Sistemas de acionamento com número reduzido de componentes . . . . . . 99
Caṕıtulo 1
Introdução geral
1.1 Introdução
A máquina de corrente cont́ınua (CC) apresenta caracteŕısticas dinâmicas e de operação
bastante favoráveis para a realização de acionamentos elétricos à velocidade variável. En-
tretando, devido algumas limitações construtivas, principalmente o comutador de corrente
mecânico, ela vem sendo substitúıda pelas máquinas de corrente alternada (CA), que dis-
pensam esse tipo de comutador por terem sistemas de alimentação estáticos. De qualquer
forma, existe um grande número destas máquinas já em operação e portanto é necessário
estudá-las. Também, em função de ser um processo f́ısico de fácil compreensão, modelo
bastante simples e de forte apelo intuitivo, a máquina CC é muito importante para o en-
tendimento dos sistemas de acionamentos com as máquinas CA, cujos modelos são muito
mais complexos.
A máquina asśıncrona é uma máquina de corrente alternada que apresenta carac-
teŕısticas bastante apreciadas para a realização de acionamentos estáticos a velocidade
variável: robustez, simplicidade de construção e baixo preço comparativo com as de-
mais máquinas. Entretanto, sua análise é complexa pois requer o estudo de um sis-
tema multivariável e não linear. Os primeiros esquemas deacionamentos com máquina
asśıncrona eram do tipo escalar e baseados em modelos de regime permanente, tal como
o Volts/Hertz, apresentando fraco desempenho dinâmico. No intuito de desenvolver sis-
temas de acionamento de alto desempenho, têm sido investigadas estratégias de controle
que assegurem o desacoplamento entre o controle do fluxo e do conjugado. Explorando
convenientemente o modelo da máquina, é posśıvel obter este desacoplamento utilizando
abordagens ditas vetoriais. Por exemplo, controlando o fluxo rotórico da máquina, pela
componente da corrente estatórica em fase com o fluxo, e o conjugado eletromagnético
por meio da componente da corrente estatórica ortogonal ou em quadratura com o fluxo,
denominado controle por orientação pelo campo. Neste texto os sistemas de acionamento
com máquina asśıncrona são apresentados baseando-se numa classifição genérica para as
estratégias de controle. Na classificação apresentada aqui, as estratégias de controle são
agrupadas em duas categorias denominadas: controle por escorregamento e controle em
quadratura. A formulação e a classificação adotadas são suficientemente genéricas e in-
cluem tanto as estratégias clássicas quanto as estratégias modernas do tipo vetorial. As
estratégias de controle apresentadas nesta classificação são estudadas e comparadas com
4
Caṕıtulo 1. Introdução geral 5
o controle por orientação pelo campo.
Nas estratégias de controle vetorial, particularmente aquelas em que o fluxo rotórico é
controlado, o controle das correntes estatóricas é de importância fundamental. Em geral,
os controladores de corrente são baseados num modelo dinâmico invariante de primeira
ordem (siso) relacionando a corrente estatórica com a tensão estatórica e uma variável
de perturbação.
A alimentação da máquina em tensão é normalmente realizada comandando o inver-
sor por modulação de largura de pulso (PWM). A alimentação da máquina por tensão
PWM introduz harmônicos na corrente e no conjugado e perdas no conversor estático
e na máquina. Estas distorções harmônicas e as perdas dependem do método de mod-
ulação empregado. Neste texto são apresentadas as técnicas de PWM digitais mais usuais,
classificadas em modulação escalar e vetorial, e feita a relação entre elas.
Este texto é dividido em sete caṕıtulos, denominados com se segue:
Caṕıtulo 1: Introdução geral
Caṕıtulo 2: Acionamento com máquina de corrente cont́ınua
Caṕıtulo 3: Modelo da máquina de corrente alternada
Caṕıtulo 4: Introdução ao acionamento com máquina asśıncrona
Caṕıtulo 5: Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona
Caṕıtulo 6: Controle de corrente da máquina asśıncrona
Caṕıtulo 7: Controle do inversor de tensão com modulação por largura de pulso
Caṕıtulo 8: Tópicos especiais
Os sistemas de acionamento com máquina de corrente cont́ınua são tratados no Caṕıtulo
2, enquanto os sistemas de acionamento com máquina asśıncrona são tratados nos Caṕıtulos
3 a 7. No Caṕıtulo 8 são apresentadas tópicos adicionais relativos a sistemas de aciona-
mento de alto desempenho.
Caṕıtulo 2
Acionamento com máquina de
corrente cont́ınua
2.1 Introdução
A máquina de corrente cont́ınua (CC) apresenta caracteŕısticas dinâmicas e de operação
bastante favoráveis para a realização de acionamentos elétricos à velocidade variável. En-
tretando, devido algumas limitações construtivas, principalmente o comutador mecânico
de corrente, ela vem sendo substitúıda pelas máquinas de corrente alternada (CA), que dis-
pensam esse tipo de comutador por terem sistemas de alimentação estático. De qualquer
forma, existe um grande número destas máquinas em operação e portanto é necessário
estudá-las. Também, em função de ser um processo f́ısico de fácil compreensão, modelo
bastante simples e de forte apelo intuitivo, a máquina CC é muito importante para o en-
tendimento dos sistemas de acionamentos com as máquinas CA, cujos modelos são muito
mais complexos.
O acionamento estático com máquina de corrente cont́ınua é constitúıdo por uma
máquina CC, uma fonte de tensão estática de alimentação controlada, sistema de controle
e medição. Neste caṕıtulo, serão apresentados o prinćıpio de funcionamento e o modelo
dinâmico do motor CC, o sistema de controle e a fonte de alimentação.
2.2 Prinćıpio de funcionamento da máquina CC
A máquina de corrente cont́ınua é constitúıda por dois circuitos magnéticos principais (cf.
Fig. 2.1):
i ) Um circuito magnético estacionário (estator) de excitação magnética, dito de campo
ou excitação, alimentado por uma fonte de tensão cont́ınua de potência despreśıvel.
ii) Um circuito magnético rotativo (rotor), dito de armadura, alimentado por uma
fonte de tensão cont́ınua, correspondente ao estágio de potência principal.
A bobina de campo, percorrida por uma corrente ie, cria um fluxo λe = leie, no sentido
indicado na Fig. 2.1. A bobina de armadura também cria um fluxo unidirecional λa = laia,
mesmo com a rotação do rotor. Isto é decorrente da ação do comutador mecânico que
comuta as correntes entre as espiras da bobina mantendo o eixo mágnético sempre na
mesma direção. Esta operação pode ser imaginada como se o rotor fosse composto de
6
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 7
λ
a
e
λ
ieve
va
ia ce
c m
ωr
carga
ca
+
_
+
_
θ
estator
rotor
Figura 2.1: Motor de corrente cont́ınua.
várias bobinas girantes e, a cada instante, apenas a bobina que se encontra na posição
vertical fosse percorrida pela corrente ia criando o fluxo λa.
Observe que os fluxos λe e λa só dependem das suas próprias correntes. Isto se deve a
uma caracteŕıstica das máquinas elétricas onde o valor do fluxo, a partir do eixo magnético
da bobina, segue uma distribuição senoidal. Assim, por exemplo, o fluxo a um ângulo
θ da bobina de campo é dado por λ′e(θ) = k
′
eie cos(θ), onde k
′
e é uma constante. Esta
formulação também é válida para a bobina de armadura. Como as bobinas de campo e
de armadura estão a π/2 rads (i.e., θ = π/2) elas não possuem fluxo mútuo.
Apesar do fluxo da bobina de campo que chega na bobina de armadura na sua posição
vertical ser nulo, suas espiras estão girando no campo λe e portanto elas vêem um campo
variável λ′e(t) = keλe cos(θ) (onde ke é uma constante de acoplamento), portanto uma
tensão ea é induzida nestas bobinas devido a rotação (força contra-eletromotriz de rotação,
fcem) que pode ser calculada pela lei de Faraday ou Lenz. A fcem ea é dada por
ea =
dλ′e(t)
dt
∣∣
θ=−π/2 = −keλesen(θ)dθ
dt
∣∣
θ=−π/2 = keλeωr (2.1)
onde ωr = dθ/dt é a velocidade do rotor.
O modelo elétrico para a bobina de armadura é então dado por
va = raia +
dλa
dt
+ ea = raia + la
dia
dt
+ ea (2.2)
onde raia é a queda de tensão ôhmica na resistência da bobina, λa = laia é o fluxo na
bobina e ladia/dt é a tensão induzida própria da bobina devido a variação de sua corrente.
Na bobina de campo não é induzida nenhuma tensão, porque a bobina de campo é fixa
e o campo criado pela armadura também é fixo na direção ortogonal. O modelo elétrico
para bobina de campo é dado por
ve = reie +
dλe
dt
= reie + le
die
dt
(2.3)
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 8
v a
ia
ra la
ea v e
ie
re le
Figura 2.2: Circuito equivalente.
onde reie é a queda de tensão ôhmica na resistência da bobina, λe = leie é o fluxo na bobina
e ledie/dt é a tensão induzida própria da bobina devido a variação de sua corrente.
Baseado nas equações (2.2) e (2.3), pode-se deduzir diretamente os circuitos elétricos
equivalentes para a armadura e o campo da máquina CC, conforme ilustrado na Fig. 2.2.
A depender de sua aplicação uma máquina elétrica girante pode funcionar como ger-
ador ou como motor. A função de uma máquinaelétrica operando como motor é transfor-
mar energia elétrica em mecânica, a qual é fornecida à carga. Para que esta transformação
ocorra é necessário que um conjugado eletromagnético, ce, seja criado e aplicado no rotor,
onde uma carga mecância, ou uma fonte de energia mecânica, é acoplada, desenvolvendo
um conjugado mecânico resistente cm.
O conjugado eletromagnético é uma grandeza muito importante, pois a boa operação
da máquina depende, dentre outros fatores, diretamente dele. O conjugado eletromagnético,
nas máquinas elétricas, é criado pela tendência do fluxo rotórico se alinhar com o fluxo
estatórico. Genericamente, o conjugado eletromagnético é proporcional ao módulo do
produto vetorial entre o fluxo estatórico e o rotórico:
ce = k
′
c |λa × λe| = k′cλaλesen(θae) = k′cλaλe (2.4)
onde θae = π/2 é o ângulo entre λa e λe e k
′
c é uma constante. Substituindo λa = laia e
introduzindo uma nova constante kc = lak
′
c tem-se outra expressão para o conjugado:
ce = kcλeia (2.5)
Estas expressões para o conjugado permitem observar três aspectos importantes:
i) O máximo conjugado por fluxo é obtido na máquina CC, pois os fluxos são ortogonais
(sen(θae) = 1).
ii) Fica claro a necessidade do comutador mecânico, já que ele permite que o fluxo
criado no rotor seja unidirecional, apesar do rotor girar continuamente. Se não houvesse
comutador, a bobina rotórica se alinharia com a estatórica e o conjugado se anularia
(θae = 0).
iii) Por simplicidade considerou-se que o número de par de pólos da máquina (P ) é
uńıtário, caso contrário o conjugado passaria a ser expresso por ce = Pkcλeia
Observando os circuitos de excitação da Fig. 2.2 observa-se que toda a potência
fornecida pela fonte de alimentação de excitação, tensão ve, é dissipada na resistência re.
Já a potência fornecida (ou recebida) pela fonte de tensão va é parte dissipada em ra e
parte recebida (ou fornecida) pela fonte ea. A potência elétrica fornecida (ou recebida)
Nady
Pencil
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 9
pela armadura da máquina é dada por pe = eaia. Desprezando-se ainda as perdas eletro-
magnéticas internas da máquina, a potência elétrica é igual a potência mecânica no eixo
da máquina, i.e., pm = ceωr. As constantes ke e kc são aproximadamente iguais. De fato,
substituindo-se as expresões de ea e ce na igualdade pe = pm, obtém-se que ke = kc.
Uma vêz o modelo elétrico deduzido, resta a obtenção do modelo mecânico de movi-
mento. Este modelo é obtido aplicando-se a segunda lei de Newton no eixo da máquina,
i.e., a força resultante aplicada a um corpo é igual a sua massa vezes sua aceleração.
Observando a Fig. 2.1, pode-se escrever
ce − cm − Fmωr = Jm dωr
dt
(2.6)
onde Fmωr é o conjugado de atrito, ca, que se opõe ao movimento, nos mancais do
rotor (aproximadamente proporcional a velocidade) e no ar e Jm é o momento de inércia
da máquina. Como se trata de um movimento circular, aparecem na lei de Newton a
velocidade angular ωr e o momento de inércia Jm.
2.3 Modelo da máquina CC
Baseado na análise da seção anterior são apresentados em seguida os modelos da máquina
CC em suas várias apresentações.
2.3.1 Representação no tempo do modelo dinâmico
Baseado nas equações anteriores o modelo dinâmico da máquina pode ser apresentado
como se segue:
Equações elétricas:
va = raia + la
dia
dt
+ ea (2.7)
ve = reie + le
die
dt
(2.8)
Equação mecânica de movimento:
ce − cm − Fmωr = Jm dωr
dt
(2.9)
onde:
ce = keλeia
ea = keλeωr
λe = leie
As variáveis e parâmetros relacionados nas equações acima são:
ia: corrente de armadura [A], va: tensão de armadura [V ],
ea: força contra-eletromotriz [V ], ve: tensão de excitação [V ], λe: fluxo de excitação
[Wb]
ce: conjugado eletromagnético [Nm], cm: conjugado de carga [Nm]
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 10
ωr: velocidade angular do eixo [rad/s]
ra: resistência da armadura [Ω], re: resistência de excitação [Ω]
la: indutância de armadura [H ], le: indutância de excitação [H ]
ke: constante de máquina [MKS], Fm: coeficiente de atrito [MKS]
Jm: momento de inércia da máquina [MKS]
2.3.2 Modelo de estado
Quando se considera a tensão ve constante, a corrente ie e o fluxo λe se estabelecem e
permanecem constantes. O modelo dinâmico da máquina se simplifica, sendo representado
apenas pelas equações (2.7) e (2.9). Neste caso, a representação do modelo dinâmico da
máquina de corrente cont́ınua na forma de equações de estado (dx/dt=Ax+Bu) é dado
por:
dx
dt
=
[ −ra/la −keλe/la
keλe/Jm −Fm/Jm
]
x +
[
1/la 0
0 −1/Jm
]
u (2.10)
onde
x =
[
ia
ωr
]
e u =
[
va
cm
]
Quando a velocidade é a variável de sáıda a equação de sáıda (y =Cx+Du) se escreve:
ωr =
[
0 1
]
x (2.11)
Observe que os estados escolhidos neste modelo foram estados f́ısicos da máquina: a
corrente de armadura e a velocidade. A corrente de armadura e a velocidade informam
sobre a energia magnética armazenada na bobina de armadura (lai
2
a/2) e a energia cinética
armazenada no rotor (Jmω
2
r/2), respectivamente.
2.3.3 Função de transferência
Aplicando-se a transformada de Laplace no modelo de estado, obtém-se
sX (s) −
[ −ra/la −keλe/la
keλe/Jm −Fm/Jm
]
X (s) =
[
1/la 0
0 −1/Jm
]
U (s)
X (s) =
[
s + ra/la keλe/la
−keλe/Jm s + Fm/Jm
]−1 [
1/la 0
0 −1/Jm
]
U (s)
[
Ia(s)
Ωr(s)
]
=
[
Gia(s) Gim(s)
Ga(s) Gm(s)
] [
Va(s)
Cm(s)
]
onde
Ga(s) =
Ka
(T1s + 1) (T2s + 1)
(2.12)
Gm(s) = − Km (Tas + 1)
(T1s + 1) (T2s + 1)
(2.13)
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 11
e T1 = −1/s1 e T2 = −1/s2 são as constantes de tempo do motor e os pólos são dados por
s1,2 =
(sa + sm) ±
√
(sa − sm)2 + 4k1k2
2
(2.14)
com
sa = −ra/la
sm = −Fm/Jm
k1 = keλe/la
k2 = −keλe/Jm
Ka =
keλe
k2eλ
2
e + raFm
Km =
ra
k2eλ
2
e + raFm
2.3.4 Modelo de regime permanente
Aplicando a condição de regime permanente no modelo de estado (termos em d/dt = 0),
obtém-se.
ia =
FmKm
ra
va + Kacm (2.15)
ωr = Kava − Kmcm (2.16)
Observa-se que a corrente ia aumenta com va e cm e ωr aumenta com va e diminui com
cm.
2.4 Análise no tempo e na frequência da máquina CC
A caracterização do motor CC é apresentada aqui no domı́nio do tempo, por meio da
resposta ao degrau, e no domı́nio da frequência, por meio do diagrama de Bode. Inicial-
mente, é determinada a evolução no tempo da corrente de armadura ia e da velocidade ωr
para degraus unitários de tensão e de conjugado mecânico. Em seguida, é determinada a
resposta em frequência do motor, visualizada por meio do diagrama de Bode.
2.4.1 Partida do motor
Nas figuras 2.3 e 2.4 são apresentadas as respostas da corrente e velocidade do motor
(expressos em pu), com pólos reais e complexos, para o seguinte padrão de entrada:
[0 < t < tmax/2 −→ va = 1; cm = 0 tmax/2 < t < tmax −→ va = 1; cm = 1]
Nady
Pencil
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
2
4
6
8
10
12
14
Corrente de armadura Ia
t [s]
ia
 [A
]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Velocidade angular Wm
t [s]
w
m
 [r
ad
/s
]
Figura 2.3: Resposta no tempo. Corrente e velocidade na partida do motor - Pólos reais
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
−4
−2
0
2
4
6
8
Corrente de armadura Ia
t [s]
ia
 [A
]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.5
1
1.5
2
Velocidade angular Wm
t [s]
w
m
 [r
ad
/s
]
Figura 2.4: Resposta no tempo. Corrente e velocidade na partida do motor - Pólos
complexos
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 13
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
Corrente Ia / Tensao Va − Modulo
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
Velocidade Wm / Tensao Va − ModuloFigura 2.5: Resposta em frequência. Amplitude da corrente e velocidade do motor - Pólos
reais
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
Corrente Ia / Tensao Va − Modulo
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
Velocidade Wm / Tensao Va − Modulo
Figura 2.6: Resposta em frequência. Amplitude da corrente e velocidade do motor - Pólos
complexos
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 14
Controlador
 Processo
 Dinâmico
(variável de entrada)
 sinal de
 referência
variável 
de saída
Controlador
 Processo
 Dinâmico
(variável de entrada)
variável 
de saída
 +
_
(a) Malha aberta
(b) Malha fechada
 sinal de
 referência
Σ
Figura 2.7: Controlador e processo a ser controlado: (a) controlador sem realimentação e
(b) controlador com realimentação.
2.4.2 Resposta em frequência
Nas figuras 2.5 e 2.6 são apresentadas os diagramas de Bode da amplitude da corrente
e da velocidade do motor, com pólos reais e complexos, para entrada senoidal de tensão
(cm = 0).
2.5 Controle de velocidade do motor CC
Um sistema de controle, ou simplesmente controlador, pode ser definido como um dis-
positivo que permite obter a resposta desejada da variável do processo a ser controlado
(variável de sáıda do processo). Em geral, pode-se considerar dois tipos de controladores:
com ou sem realimentação da variável de sáıda. O controlador sem realimentação, ou de
malha aberta (”feedforward controller”), controla a variável de sáıda do processo sem sua
medição (Fig. 2.7a). O controlador com realimentação, ou de malha fechada (”feedback
controller”), utiliza a medição da variável de sáıda que se deseja controlar (Fig. 2.7b).
A função do motor CC em acionamentos a velocidade variável é impor à uma carga
mecânica qualquer no eixo do motor, representada pelo conjugado mecânico cm, uma ve-
locidade desejada ω∗r , dita velocidade de referência. A tensão de alimentação va é a variável
de entrada de comando que permite alterar a velocidade, considerada na sáıda do pro-
cesso. Na figura 2.8 é apresentado um diagrama de blocos do sistema motor e controlador
com realimentação. A tensão de alimentação va também afeta a corrente de armadura ia.
Outras variáveis f́ısicas importantes do processo são o conjugado eletromagnético ce, pro-
porcional à corrente ia, e o conjugado mecânico cm, que pode ser considerado como uma
pertubação no controle de ωr. Tensão, corrente, velocidade e conjugados são grandezas
f́ısicas do motor que devem ser mantidas dentro de certos limites máximos em função da
capacidade da máquina.
Nesta seção são estudados controladores de velocidade para o motor CC: controlador
em malha aberta, controlador PID (sem malha interna de corrente/conjugado) e contro-
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 15
dx /dt = A x + B u
 y = C x
u = [va cm ]
x = [ia ω r ]
T
T
y = ω r
ω
Motor CC
r
va
cm
ωr*
Controlador
Carga
Mecânica
Fonte de
Tensão
cm = perturbação= comandova
ωr = saídaωr = saída de referência
*
Figura 2.8: Controle em malha fechada da máquina de corrente cont́ınua.
lador em cascata (com malha interna de corrente/conjugado).
O controle de velocidade discutido aqui assume que o fluxo de excitação da máquina é
imposto constante por meio da alimentação da bobina estatórica com tensão de excitação
ve constante.
A alimentação em tensão do motor CC é realizada por meio de fontes de tensão CC
controladas (cf. a seção 2.6). Uma fonte de tensão de armadura de potência define a tensão
va e uma fonte de excitação, de baixa potência, define a tensão ve. Em alguns casos, para
efeito do cálculo dos controladores, será considerado que as fontes de alimentação são
ideais, isto é, a fonte segue a referência desejada instantaneamente e com ganho unitário.
2.5.1 Controlador de velocidade com ação direta na tensão
Controlador de velocidade em malha aberta
O controlador em malha aberta é uma alternativa conceitualmente bastante simples, prin-
cipalmente se é utilizado apenas o modelo do processo na sua forma estática, i.e., de regime
permanente.
Assim, da expressão da velocidade em regime permanente do motor CC, termos d/dt
no modelo de estado iguais a zero, obtém-se:
v∗a =
1
Ka
ω∗r +
Km
Ka
cm (2.17)
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 16
�
�r*
K
+
+
v
Motor
Fonte
+
cm
m
*a
Ka
1
Ka
�r*
Figura 2.9: Diagrama de blocos do motor CC com controle sem realimentação.
onde v∗a e ω
∗
r são a tensão e a velocidade de referência e
Ka =
keλe
k2eλ
2
e + raFm
Km =
ra
k2eλ
2
e + raFm
Utilizando-se esta expressão pode-se definir o controlador em malha aberta. Na figura
2.9 é apresentado o diagrama de blocos do sistema completo com o controlador, fonte e
motor CC. Note que nos controladores em geral a sua sáıda, aqui a tensão referência de
alimentação do motor v∗a, é limitada para proteger o processo que está sendo controlado.
O controlador em malha aberta necessita a medição do conjugado mecânico cm (per-
turbação) e supõe que o modelo do motor CC e seus parâmetros sejam exatamente aqueles
do motor CC real. Se estas condições não são sastisfeitas, existirá um erro de regime per-
manente eω = ω
∗
r - ωr. Em geral, devido a estas importantes limitações, a utilização
prática isolada deste tipo de controlador não é recomendada. No restante deste caṕıtulo
só serão discutidos os controladores com realimentação.
Controlador de velocidade PID
Para assegurar que o erro estacionário do sistema em malha fechada, com uma entrada do
tipo degrau, seja zero, é necessário que ao menos uma das partes da função de transferência
do controlador do diagrama da figura 2.10 possua um pólo em s = 0 (integrador).
O controlador do tipo PI com função de transferência D(s) = kp + ki/s tem um pólo
em s = 0, que assegura um erro estacionário nulo, e um zero em s = −ki/kp.
Para o dimensionamento das constantes kp e ki do controlador PI pode-se utilizar
uma técnica de projeto baseada no cancelamento do pólo dominante (mais lento) do
sistema e alocação dos pólos do sistema em malha fechada segundo o comportamento
dinâmico especificado. Este procedimento simplifica a dedução dos valores dos ganhos do
controlador.
Todavia, com o controlador PI não é posśıvel alocar os pólos de malha fechada de
modo a obter um sistema mais rápido do que o sistema em malha aberta ou independente
dos pólos do motor.
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 17
Kp
_
+ Motor
c
ω rωv* a
m
Fonte
*
+Σ
r
Ki
Σ
++
d/dtKd
+
Figura 2.10: Sistema de controle com o controlador PID.
O controlador PID, apresentado na figura 2.10, é mais adequado para o controle de
velocidade do motor de corrente cont́ınua que o controlador PI. A motivação inicial da
introdução do termo derivativo deω/dt é fazer com que o controlador aja já na variação
do erro, permitindo assim a obtenção de um sistema em malha fechada mais rápido que
o PI. A função de transferência do controlador PID idealizado é dada por:
D(s) = kp +
ki
s
+ kds (2.18)
onde
Dp(s) = kp (2.19)
Di(s) =
ki
s
(2.20)
Dd(s) = kds (2.21)
O termo derivativo kds do diagrama de blocos da figura 2.10, por razões práticas, não
pode ser realizado de forma exata. Observe que um dispositivo f́ısico que implementasse
exatamente esse termo deveria responder com um impulso δ(t) quando a entrada fosse um
degrau unitário. Deste modo, considerações práticas determinam que a implementação
do termo derivativo seja feita, p. ex., pela seguinte função de transferência:
Da(s) = − kdpds
s − pd =
kds
sTd + 1
(2.22)
A expressão (2.22) representa uma aproximação para o derivador exato da expressão
(2.21). Isso pode ser verificado tomando o limite da expressão (2.22)quando pd tende
para menos infinito ou Td (Td = −1/pd) tende para zero:
lim
pd → −∞
Da(s) = Dd(s) (2.23)
O valor de pd é um parâmetro de projeto que determina a qualidade do derivador
implementado com a equação (2.22). O projetista deve arbitrar um valor de pd levando em
consideração as limitações f́ısicas do sistema controlado, e.g., tensão, corrente e aceleração
máximas do motor.
O diagrama de blocos deste controlador é apresentado na figura 2.11.
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 18
Gm(s)
+
++
Ga(s)
ωr* ωr
cm
va
Σ Σ
_
Kp + Ki + sKd
sTd + 1s
Figura 2.11: Diagrama de blocos do controlador PID.
Função de transferência do controlador PID aproximado é dada por
D(s) = Kp +
Ki
s
+
Kds
sTd + 1
(2.24)
D(s) =
Ki{s2(TdKp + Kd)/Ki + s(TdKi + Kp)/Ki + 1}
s(Tds + 1)
(2.25)
A expressão (2.25) tem dois pólos, um em s = 0 e outro em s = pd = −1/Td, e dois
zeros. A localização dos zeros depende dos valores dos ganhos Kp, Ki, Kd.
Com a introdução do termo derivador real, o controlador PID tem ampliada sua con-
ceituação inicial (possibilitar uma resposta de controle rápida devido ao termo derivativo).
De fato, com esta formulação este controlador permite alocar os pólos de malha fechada
de modo a obter um sistema resultante em malha fechada com pólos independentes dos
pólos do motor.
Na técnica de projeto utilizada cancela-se os dois pólos do sistema e ajusta-se o valor
de Td para se alocar os pólos de malha fechada no valor desejado (independente dos pólos
do motor).
Função de transferência de malha aberta com PID Função de transferência de
malha aberta (3a ordem) é dada por
Ωr(s)
Eω(s)
= Go(s) =
Ka
T1T2s2 + (T1 + T2)s + 1
Ki{s2(TdKp + Kd)/Ki + s(TdKi + Kp)/Ki + 1}
s(Tds + 1)
Introduzindo as condições de cancelamento:
(TdKp + Kd)/Ki = T1T2 (2.26)
(TdKi + Kp)/Ki = (T1 + T2) (2.27)
A função de transferência de malha aberta com cancelamento (2a ordem) é dada por:
Ωr(s)
Eω(s)
= Go(s) = D(s)Ga(s) =
KiKa
s (Tds + 1)
(2.28)
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 19
Gfm(s)
+
+
Gfa(s)
ωr* ωr
cm
Σ
Figura 2.12: Diagrama de blocos em malha fechada do motor com controlador PID.
Função de transferência de malha fechada com PID A função de transferência
de malha fechada (Fig. 2.12) é dada por:
Ωr(s)
Ω∗r(s)
= Gf(s) =
Go(s)
1 + Go(s)
=
KiKa
s (Tds + 1) + KiKa
(2.29)
Ωr(s)
Cm(s)
= Gfm(s) =
Gm(s)
1 + Go(s)
= − Kms (Tds + 1) (Tas + 1)
[s (Tds + 1) + KiKa] (T1s + 1) (T2s + 1)
(2.30)
O erro de regime permanente para degraus de entrada (Ω∗r(s) = Ω
∗
r/s e Cm(s) = Cm/s)
é nulo, calculado por:
Ωr = [lim
s→0
Gf (s)]Ω
∗
r + [lim
s→0
Gfm(s)]Cm = Ω
∗
r −→ erro nulo (2.31)
Cálculo final dos parâmetros do controlador PID Para obter pólos de malha
fechada reais idênticos (sf = −1/2Td), tem-se que
Tds
2 + s + KiKa = Td(s − sf )2 −→ Ki = 1
4KaTd
Considerando também as relações de cancelamento dos pólos do motor (2.26) e (2.27),
tem-se os parâmetros finais do controlador:
Td = −1/2sf (pólo de malha fechada sf)
Ki =
1
4KaTd
(condição pólos reais idênticos)
Kp = (T1 + T2 − Td)/4KaTd
Kd = [T1T2 − (T1 + T2 − Td)Td]/4KaTd
(condição de cancelamento)
Lugar das ráızes dos pólos de malha fechada com PID A figura 2.13 apresenta
o lugar das ráızes dos pólos de malha fechada do motor com o controlador PID.
A evolução dos pólos com Ki crescente tem a seguinte sequência: ’pólos de malha
aberta - pólos reais idênticos - pólos complexos’. Observe que é posśıvel alocar os pólos
de malha fechada independente dos pólos do motor.
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 20
Im
Re
s1
Ki
0
Ki
s2 2Td-1/Td-1/
Figura 2.13: Lugar das ráızes de malha fechada do sistema controlador PID e motor CC.
Resposta no tempo - controlador PID A resposta do motor CC mais controlador
para variações da referência de velocidade (degrau, rampa, senoidal) e do conjugado
mecânico (degrau) é utilizada para caracterizar o funcionamento dinâmico do sistema
em malha fechada.
Nas figuras seguintes são apresentados os resultados de simulação do motor com con-
trolador PID em dois valores para Td: Td = T2/10 e Td = T2/50. O seguinte padrão de
entrada foi utilizado:
0 < t < tmax/2 −→ ω∗r = 1, cm = 0
tmax/2 < t < tmax −→ ω∗r = 1, cm = 1
2.5.2 Controle em cascata
Na seção anterior o controle da velocidade do motor CC foi realizado comandando-se di-
retamente a tensão va de armadura. Entretanto, é posśıvel controlar o conjugado eletro-
magnético ce e a partir deste controlar a velocidade. No caso desta máquina o conjugado
eletromagnético é proporcional à corrente de armadura ia. Portanto, controlando-se a cor-
rente controla-se o conjugado da máquina. O controle da corrente apresenta a vantagem
de permitir uma proteção de sobre-corrente mais efetiva da máquina.
Este método em que se controla uma variável interna e a partir desta a variável de
sáıda, objetivo final do controle, é denominado de controle em cascata. Para que isto
possa ser feito é necessário que a malha interna de controle seja mais rápida que a malha
externa. Isto é posśıvel porque em geral a constante de tempo mecânica (Tm = Jm/Fm)
é bem superior a constante de tempo elétrica (Ta = la/ra). Por exemplo, para a máquina
CC utilizada Tm ∼= 150s e Ta ∼= 30ms.
Além da proteção mais efetiva da máquina o controle em cascata permite o cálculo
dos controladores baseado em funções de transferência mais simples, já que o sistema é
subdividido.
Nesta seção será estudado o controle em cascata como apresentado no diagrama da
Figura 2.16. Este esquema possui um controlador de velocidade e um controlador interno
de corrente. Os controladores são do tipo PI (Controlador Proporcional Integral), cujas
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 21
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
20
40
60
80
Corrente de armadura Ia
t [s]
A
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Velocidade angular Wm
t [s]
ra
d/
s
Figura 2.14: Resposta no tempo com o Controlador PID (Td = T2/10).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
100
200
300
400
Corrente de armadura Ia
t [s]
A
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Velocidade angular Wm
t [s]
ra
d/
s
Figura 2.15: Resposta no tempo com o Controlador PID (Td = T2/50).
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 22
+
_
+
_
_
MOTOR CC
++_
mc
+
vG 1G 2G
+
ek e�piiG�piG
ar
i�
eG
* *
aê ae
r�
ai
� �� �
Figura 2.16: Diagrama de blocos do controle de velocidade do motor CC com controle
interno de corrente.
_
_ ++
vG 1GpiiG +
eG
+
ae
ai *
� � �
av*av‘* av
‘ ai
aê
Figura 2.17: Diagrama de blocos do controle de corrente do motor CC.
entradas são: o erro entre a velocidade de referência (ω∗m) e a velocidade atual (ωm),
para o controlador de velocidade externo, e o erro entre a corrente de referência (i∗a) e
a corrente atual (ia), para o controlador de corrente interno. Observa-se que a sáıda
do controlador de velocidade é quem define a corrente de referência para o controle de
corrente. A limitação do valor máximo desta corrente de referência permite limitar a
corrente máxima na máquina, portanto protegendo-a.
Cálculo do controlador de corrente
A figura 2.17. apresenta o diagrama referente ao controle da corrente de armadura.
A equação elétrica do motor CC é dada por
va = raia + la
dia
dt
+ ea (2.32)
O termo de fcem ea = keλeωm depende da velocidade e será considerado como uma
perturbação para permitir um cálculo simples do controlador, ou seja, utilizando um
modelo de primeira ordem para o máquina. Isto é posśıvel porque a velocidade, e portanto
ea, evolui mais lentamente que a corrente. Definindo-se a tensão v
′
a = va − ea, pode-se
escrever a equação (2.32) como
v′a = raia + la
dia
dt
(2.33)
Aplicandoa Transformada de Laplace a equação (2.33), obtém-se a função de trans-
ferência de primeira ordem para o controle da corrente.
Ia(s) =
1/ra
Tas + 1
V ′a(s) = G1(s)V
′
a(s) (2.34)
No cálculo dos controladores da seção anterior se considerou que a fonte de tensão
que alimenta o motor era ideal. Entretanto na prática ela possui pelo menos um pequeno
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 23
atraso, traduzido por uma contante de tempo Tv. Um modelo simples para esta fonte é
dado por
Va(s) =
1
Tvs + 1
V ∗a (s) = Gv(s)V
∗
a (s) (2.35)
Como v′a = va − ea e de acordo com a figura 2.17, tem-se
V ′a(s) = V
∗
a (s)Gv(s) − Ea(s) (2.36)
Substituindo-se V ∗a (s) = V
′∗
a (s) + E
∗
a(s)Ge(s) (cf. figura 2.17) em (2.36) obtém–se:
V ′a(s) = V
′∗
a (s)Gv(s) + E
∗
a(s)Ge(s)Gv(s) − Ea(s) (2.37)
Para que a compensação de ea seja perfeita Ge(s) = 1/Gv(s) e E
∗
a(s) = Ea(s), neste
caso a equação (2.37) torna-se:
V ′a(s) = V
′∗
a (s)Gv(s) (2.38)
Substituindo-se V ′a(s), dado em (2.38), na equação (2.34), obtém-se a função de trans-
ferência corrente-tensão de referência:
Ia(s) =
1/ra
(Tas + 1)(Tvs + 1)
V ′∗a (s) = Gi(s)V
′∗
a (s) (2.39)
A constante de tempo Tv é muito pequena e não deve ser compensada. Assim, pode-se
utilizar preferencialmente um controlador PI.
A função de transferência que representa o controlador PI de corrente é dada por:
Gpii(s) = kpi +
kii
s
=
kii(skpi/kii + 1)
s
(2.40)
A função de transferência de malha aberta com o controlador PI é então:
Goi = Gpii(s)Gi(s) =
(kii/ra)(skpi/kii + 1)
s(Tas + 1)(Tvs + 1)
(2.41)
Cancelando-se o pólo do sistema elétrico do motor com o zero do PI (Ta = kpi/kii), a
função de transferência de malha aberta (FTMA) Goi se escreve:
Goi(s) =
kia
s(Tvs + 1)
(2.42)
onde kia = kii/ra.
Logo, a função de transferência de malha fechada (FTMF) Gfi é dada por:
Gfi(s) =
kia
s(Tvs + 1) + kia
=
kia
Tvs2 + s + kia
(2.43)
A exemplo do caso anterior, o ganho kii é escolhido de forma que a FTMF tenha pólos
reais idênticos em malha fechada, neste caso kii = ra/(4Tv). A função de malha fechada
da corrente resultante é dada então por:
Ia(s) = Gfi(s)I
∗
a(s) =
1
(2Tvs + 1)2
I∗a(s) (2.44)
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 24
+ +
_
_ 2
G�piG fiG
mc
r�
*
ai *
� �
ai r�
ek e�
Figura 2.18: Diagrama de blocos do controle de velocidade do motor CC.
Para simplificar o cálculo do controlador de velocidade (cf. a seção seguinte), aproxima-
se a função de transferência (2.44), sistema de segunda ordem, por um sistema de primeira
ordem, e assim obtém-se:
Ia(s) = Gfi(s)I
∗
a(s)
∼= 1
T ′vs + 1
I∗a(s) (2.45)
onde T ′v = 4Tv
Observa-se que para que o sistema de controle seja totalmente consistente com o
procedimento de cálculo é necessário que a fcem ea seja compensada na sáıda do con-
trolador, por meio da sua medição (êa). Para a fonte de tensão modelada como um
atraso de primeira ordem não é posśıvel fazer Ge(s) = 1/Gv(s), teria-se que utilizar uma
aproximação. É comum na prática o sistema funcionar sem compensação, pois ea varia
lentamente. Neste caso é o próprio controlador que compensa ea. Quando a compensação
é feita diretamente pelo controlador, ele é calculado fazendo-se ea = 0 no modelo do pro-
cesso. Este procedimento, entretanto, não modifica os ganhos calculados anteriormente
para o controlador. Na próxima seção é apresentado o cálculo do controlador de veloci-
dade, onde a perturbação (conjugado mecânico) é anulada no cálculo do controlador.
Cálculo do controlador de velocidade
A figura 2.18 apresenta o diagrama referente ao controle de velocidade.
A equação mecânica de movimento do motor é dada por:
ce − cm = Jmdω
dt
+ Fmωm (2.46)
Para simplificar o cálculo do controlador, o conjugado mecânico é considerado uma
perturbação, assim tem-se:
c′e = ce − cm = Jm
dω
dt
+ Fmωm (2.47)
Aplicando-se a Transformada de Laplace
Ωm(s) =
(1/Fm)
Tms + 1
C ′e(s) = G2C
′
e(s) (2.48)
Assumindo que a compensação de cm seja realizada pelo próprio controlador, faz-se
Cm = 0 e C
′
e(s) = Ce(s) = keλeIa(s). Introduzindo-se em (2.48) a função de transferência
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 25
do controle de corrente, equação (2.45), obtém-se:
Ωm(s) =
keλe/Fm
(1 + sTm)(T ′vs + 1)
I∗a(s) = GωI
∗
a(s) (2.49)
A constante de tempo T ′v ainda é muito pequena e não deve ser compensada. Assim,
utiliza-se também um controlador PI na malha externa. A função de transferência do
controlador PI externo é dada por:
Gpiω(s) = kpω +
kiω
s
=
kiω(skpω/kiω + 1)
s
(2.50)
De acordo com o diagrama da figura 2.18, tem-se que a função de transferência de
malha aberta Goω(s) é dada por:
Goω(s) = Gpiω(s)Gω(s) =
kim(skpω/kiω + 1)
s(1 + sTm)(T ′vs + 1)
(2.51)
onde kim = kiωkeλe/Fm.
Cancelando o pólo do sub-sistema mecânico do motor com o zero do controlador de
velocidade (Tm = kpω/kiω), tem-se:
Goω(s) =
kim
s(T ′vs + 1)
(2.52)
Portanto a função de transferência de malha fechada Gfω é dada por:
Gfω(s) =
kim
s(T ′vs + 1) + kim
=
kim
T ′vs2 + s + kim
(2.53)
Fazendo kiω = Fm/(16keλeTv), a FTMF terá pólos reais idênticos em malha fechada,
dada por:
Ωm(s) = Gfω(s)Ω
∗
m(s) =
1
(2T ′vs + 1)2
Ω∗m(s) (2.54)
2.6 Fonte de tensão de alimentação
A alimentação em tensão do motor CC é realizada por meio de uma fonte de tensão CC
controlada. Nas figuras 2.19 e 2.20 são apresentados dois exemplos de fontes de tensão
para acionamento com motor CC: retificador trifásico e conversor fonte de tensão bifásico.
No caso do retificador, a tensão CC gerada, va(cc), e a sua parte CA, va(ac), possuem
as seguintes caracteŕısticas:
va(cc) = V cos(α); va(cc) ∈ [−V, V ]
va(ac) −→ 180Hz
onde α é o ângulo de gatilho do conversor. A corrente ia é sempre positiva.
No caso do conversor fonte de tensão a tensão CC gerada, va(cc), e a sua parte CA,
va(ac), possuem as seguintes caracteŕısticas:
va(cc) = (
τ
T
− 1
2
)E; va(cc) ∈ [−E/2, E/2]
va(ac) −→ 10kHz − 50kHz
onde τ é a largura de pulso do conversor. A corrente ia pode ser positiva ou negativa.
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 26
Retificador a Tiristor
v
eg1 eg2 eg3
lg lg lg
+
_ _ _
+ +
vg1 vg2 vg3
ig1 ig2 ig3
Mt.CC
T1 T2 T3
T4 T5 T6
a
+
_
ia
Retificador
v eie
_
+
Sistema trifásico (3φ)
Figura 2.19: Retificador trifásico e máquina de corrente cont́ınua.
q
5
q
6
q
8
q
7
C
E
_
Conversor Chaveado
v Mt.CCa
+
_
ia
Retificador
v eie
_
+
Re
tif
ic
ad
or
3φ
C
+
Figura 2.20: Conversor bifásico fonte de tensão e máquina de corrente cont́ınua.
Caṕıtulo 3
Modelo da máquina de corrente
alternada
3.1 Introdução geral
A resolução anaĺıtica dos sistemas de equações referentes aos circuitos elétricos acoplados
magneticamente é penosa, mesmo se estas equações são a coeficientes constantes. Este
tipo de resolução torna-se impraticável se os coeficientes variam em função do tempo, o
que é o caso das máquinas girantes. Assim, são necessárias transformações de variáveis
que permitam obter relações entre as novas variáveis mais simples que aquelas existentes
entre as variáveis reais.
O objetivo deste caṕıtulo é apresentar representações dinâmicas que facilitem o estudo
de sistemas com máquinas de corrente alternada śıncrona e asśıncronas.
3.2 Equações gerais das máquinas trifásicas
3.2.1 Convenções, hipóteses e notações
A máquina trifásica estudada ao longo deste caṕıtulo (Fig. 3.1a) obedece as seguintes
considerações:
Convenções e hipóteses:
• Máquina simétrica trifásica composta por: três fases no estator idênticas de ı́ndices
s1, s2, e s3; três fases no rotor idênticas de ı́ndices r1, r2 e r3.
• Ângulos elétricos entre bobinas de estator ou rotor igual a 2π/3 radianos elétricos.
• Correntes ”positivas” criam fluxos positivos no sentidodo eixo (Fig.3.1b).
• Convenção receptor.
• Máquina bipolar: número de par de pólos P = 1, no caso multipolar θr = Pθm.
• Distribuição senoidal do fluxo magnético.
27
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 28
• Entreferro constante: comprimento do circuito magnético servindo para o cálculo
da indutância é independente do ângulo θm, ou seja, máquina a pólos lisos.
• Máquina não saturada (coenergia (W’) igual a energia (W)), podendo-se escrever
para o fluxo total e conjugado:
λt =
∑
λi (fluxo total igual a soma dos fluxos parciais) e
ce = dW/dθm.
v
s1
s2
s3
r1r2
r3
s2
s
vs1
s
vs3
s
i s2
s
i s1
s
i s3
s
vr
r
i r2
r
vr1
r
vr3
r
i r3
r
i r1
r
sn
sn
sn
rn
rn
rn
θr
δg
d
i k
g n
k
gv
+ -
λk
g
k
gv i g= krk
λgkd
dt
+
função das correntes 
e indutância 
λgk
(a)
(b)
ωr
c
ce
m
Figura 3.1: Máquina simétrica trifásica (a) e convenções utilizadas para as grandezas da
máquina em uma bobina (b).
Notações:
vss , v
r
r ; i
s
s, i
r
r e λ
s
s, λ
r
r: tensões, corrente e fluxos nas bobinas do estator e rotor, re-
spectivamente. O expoente s e r indica o referencial utilizado: s → estator e rotor r →
rotor.
Ls, Lr: indutância própria de uma bobina do estator e do rotor, respectivamente
(Ls1 = Ls2 = Ls3 = Ls e Lr1 = Lr2 = Lr3 = Lr).
Ms, Mr: indutância mútua entre duas bobinas do estator e entre duas bobinas do
rotor, respectivamente (Ms12 = Ms23 = Ms31 = Ms e Mr12 = Mr23 = Mr31 = Mr).
Msrcos(θi): indutância mútua entre uma bobina do estator e uma do rotor separadas
por um ângulo θi (repartição senoidal da indução electromagnética no entreferro).
Rs, Rr: resistências de uma bobina do estator e do rotor respectivamente. (Rs1 =
Rs2 = Rs3 = Rs e Rr1 = Rr2 = Rr3 = Rr).
3.2.2 Expressões dos fluxos, tensões, conjugado e potência
Expressões dos fluxos
Nady
Manuscrito
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 29
Não havendo saturação, pode-se somar os fluxos parciais para obter o fluxo total em
uma bobina. Assim, tem-se para a armadura trifásica do estator:
λss1 = Lsi
s
s1 +Msi
s
s2 +Msi
s
s3 +Msrcos(θr)i
r
r1 +Msrcos(θr +2π/3)i
r
r2 +Msrcos(θr +4π/3)i
r
r3
(3.1)
λss2 = Msi
s
s1 +Lsi
s
s2 +Msi
s
s3 +Msrcos(θr +4π/3)i
r
r1 +Msrcos(θr)i
r
r2 +Msrcos(θr +2π/3)i
r
r3
(3.2)
λss3 = Msi
s
s1 +Msi
s
s2 +Lsi
s
s3 +Msrcos(θr +2π/3)i
r
r1 +Msrcos(θr +4π/3)i
r
r2 +Msrcos(θr)i
r
r3
(3.3)
Os fluxos do rotor λr1, λr2 e λr3 podem ser escritos de forma análoga.
Os fluxos por armadura podem ser escritos em forma matricial, obtendo-se a seguinte
representação:
λss123 = Lssi
s
s123 + Lsri
r
r123 (3.4)
λrr123 = Lrsi
s
s123 + Lrri
r
r123 (3.5)
onde:
iss123 =
⎡⎣ iss1iss2
iss3
⎤⎦ irr123 =
⎡⎣ irr1irr2
irr3
⎤⎦ λss123 =
⎡⎣ λss1λss2
λss3
⎤⎦ λrr123 =
⎡⎣ λrr1λrr2
λrr3
⎤⎦
Lss =
⎡⎣ Ls Ms MsMs Ls Ms
Ms Ms Ls
⎤⎦ Lrr =
⎡⎣ Lr Mr MrMr Lr Mr
Mr Mr Lr
⎤⎦
Lsr = Msr
⎡⎣ cos(θr) cos(θr + 2π/3) cos(θr + 4π/3)cos(θr + 4π/3) cos(θr) cos(θr + 2π/3)
cos(θr + 2π/3) cos(θr + 4π/3) cos(θr)
⎤⎦
Lrs = Msr
⎡⎣ cos(θr) cos(θr + 4π/3) cos(θr + 2π/3)cos(θr + 2π/3) cos(θr) cos(θr + 4π/3)
cos(θr + 4π/3) cos(θr + 2π/3) cos(θr)
⎤⎦
As matrizes indutâncias possuem as seguintes propriedades:
• Lss e Lrr são matrizes simétricas,
• Lsr e Lrs não são matrizes simétricas, mas circulantes, isto é, xi,j = xi+1,j+1,
• Lsr = L Trs , uma matriz é a transposta da outra.
O sistema (3.4)-(3.5) pode ser ainda escrito de forma mais compacta.
λ = L i (3.6)
onde
i =
[
is123 ir123
]T
λ =
[
λs123 λr123
]T
L =
[
Lss Lsr
Lrs Lrr
]
Expressões das tensões
Nady
Manuscrito
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 30
As orientações das bobinas, por convenção, são de tal forma que uma corrente positiva
cria um fluxo positivo (sentido do eixo) (Fig.3.1b). Assim, pode-se escrever:
vi =
dλ
dt
onde vi é a tensão induzida nos terminais da bobina, antes da queda de tensão resistiva, (
vi = −efcem , onde efcem a f.c.e.m ) e λ é o fluxo na bobina. Visto a escolha da convenção
receptor:
v = Ri + vi = Ri +
dλ
dt
Assim, para a máquina trifásica pode-se escrever em termos das matrizes:
vss123 = Rsi
s
s123 +
dλss123
dt
(3.7)
vrr123 = Rri
r
r123 +
dλrr123
dt
(3.8)
onde:
vss123 =
[
vss1 v
s
s2 v
s
s3
]T
vrr123 =
[
vrr1 v
r
r2 v
r
r3
]T
A partir da equação matricial dos fluxos pode-se escrever as equações das tensões:
vss123 = Rsi
s
s123 + Lss
diss123
dt
+ Lsr
dirr123
dt
+ ωr
[
dLsr
dθr
]
irr123 (3.9)
vrr123 = Rri
r
r123 + Lrr
dirr123
dt
+ Lrs
diss123
dt
+ ωr
[
dLrs
dθr
]
iss123 (3.10)
onde: ωr = dθr/dt é a velocidade do rotor em rad.elétricos/s.
Ou ainda de forma mais geral
v = R i + L
di
dt
+ ωr
[
dL
dθr
]
i (3.11)
onde:
v =
[
vs
vr
]
Rs = RsI3 Rr = RrI3 R =
[
Rs 03
03 Rr
]
onde I3 e 03 são as matrizes identidade e zeros de ordem 3x3, respectivamente.
A soma dos termos diferenciais da corrente em (3.11) é a tensão induzida de trans-
formação e o termo em ωr é a tensão induzida de rotação.
Expressão do conjugado eletromagnético
A expressão geral para energia é dada por:
W =
1
2
i
T
L i (3.12)
O conjugado é obtido diferenciando-se esta expressão em relação ao ângulo mecânico
θm:
ce =
dW
dθm
(3.13)
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 31
Substituindo em (3.13) a expressão da energia (3.12), tem-se:
ce =
1
2
i
T
[
dL
dθm
]
i =
P
2
i
T
[
dL
dθr
]
i (3.14)
Como as sub-matrizes Lss e Lrr de L são independentes do ângulo elétrico θr, escreve-se
então:
ce =
P
2
[
iss123
irr123
]T [
03 dLsr/dθr
dLrs/dθr 03
] [
iss123
irr123
]
(3.15)
ou
ce =
P
2
isTs123
[
dLsr
dθr
]
irr123 +
P
2
irTr123
[
dLrs
dθr
]
iss123 (3.16)
Como ce é um número c
T
e = ce e como para duas matrizes A e B quaisquer (ABC)
T =
CT BT AT , então:
P
2
isTs123
[
dLsr
dθr
]
irr123 =
P
2
irTr123
[
dLrs
dθr
]
iss123 (3.17)
Como Lsr = L
T
rs , obtém-se:
ce = Pi
sT
s123
[
dLsr
dθr
]
irr123 (3.18)
ce = Pi
rT
r123
[
dLrs
dθr
]
iss123 (3.19)
Expressão da potência instantânea
A expressão da potência total instantânea é dada por:
p = i
T
v (3.20)
Substituindo-se o valor de v dado em (3.11), obtém-se:
p = i
T
R i + i
T
L
di
dt
+ ωri
T
[
dL
dθr
]
i (3.21)
O termo diferencial da corrente corresponde a potência de transformação e o termo
em ωr corresponde a potência de rotação.
3.3 Representação odq da máquina trifásica
3.3.1 Definição da transformação odq
Dado o modelo da máquina trifásica representado pelas equações de fluxo (3.4)-(3.5),
de tensão (3.7)-(3.8) e de conjugado (3.18), pode-se definir uma transformação para as
variáveis da máquina (fluxo, corrente ou tensão) de tal forma a representá-la por um
modelo mais simples que o trifásico primitivo.
Uma transformação de variáveis é definida pela operação:
x123 = Pxodq (3.22)
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 32
onde x123 é a variável antiga a ser transformada e xodq é a variável nova. A matriz P é
denominada matriz de transformação e deve ser regular (P
−1
, sua inversa, existe).
Considerando-se uma matriz P s para o estator e outra P r para o rotor, pode-se escrever
para uma variável x qualquer (ou seja, os fluxos, as correntes ou as tensões do estator ou
do rotor):
xss123 = P sx
g
sodq (3.23)
xrr123 = P rx
g
rodq (3.24)
onde:
xgsodq =
[
xso x
g
sd x
g
sq
]T
xrodq =
[
xro x
g
rd x
g
rq
]T
O expoente g, introduzido agora, serve para indicar o referencial genérico dos eixos dq.
Este expoente mudará em função do referencial dq utilizado, exemplos: estator g → s,
rotor g → r, campo girante g → e.
Um conjunto de matrizes P s e P r adequadas para a obtenção de uma nova repre-
sentação mais simples que a representação trifásica primitiva pode ser obtida fazendo-se:
P s =
√
2
3
⎡⎣ 1/
√
2 cos(δg) −sen(δg)
1/
√
2 cos(δg − 2π/3) −sen(δg − 2π/3)
1/
√
2 cos(δg − 4π/3) −sen(δg − 4π/3)
⎤⎦ (3.25)
P r =
√
23
⎡⎣ 1/
√
2 cos(δg − θr) −sen(δg − θr)
1/
√
2 cos(δg − θr − 2π/3) −sen(δg − θr − 2π/3)
1/
√
2 cos(δg − θr − 4π/3) −sen(δg − θr − 4π/3)
⎤⎦ (3.26)
Nota-se que P
−1
s = P
T
s e P
−1
r = P
T
r , ou seja as matrizes de transformação são
ortogonais.
3.3.2 Expressões dos fluxos, tensões e conjugado em odq
Expressões dos fluxos em odq
Dada a expressão dos fluxos estatóricos (3.4) e as equações de transformação (3.23)-(3.24)
pode-se escrever:
P sλ
g
sodq = LssP si
g
sodq + LsrP ri
g
rodq (3.27)
multiplicando ambos os lados da igualdade por P
−1
s , tem-se:
λgsodq = P
−1
s LssP si
g
sodq + P
−1
s LsrP ri
g
rodq (3.28)
ou ainda
λgsodq = Lssodqi
g
sodq + Lsrodqi
g
rodq (3.29)
onde
Lssodq =
⎡⎣ lso 0 00 ls 0
0 0 ls
⎤⎦ Lsrodq =
⎡⎣ 0 0 00 lm 0
0 0 lm
⎤⎦
com lso = Ls + 2Ms, ls = Ls − Ms e lm = (3/2)Msr.
Nady
Manuscrito
Nady
Manuscrito
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 33
De forma análoga obtém-se das relações (3.5) e (3.23)-(3.24) a nova expressão para os
fluxos rotóricos
λgrodq = Lrrodqi
g
rodq + Lrsodqi
g
sodq (3.30)
onde
Lrrodq =
⎡⎣ lro 0 00 lr 0
0 0 lr
⎤⎦ Lrsodq = Lsrodq =
⎡⎣ 0 0 00 lm 0
0 0 lm
⎤⎦
com lro = Lr + 2Mr, lr = Lr − Mr.
Observa-se que todas as novas matrizes indutâncias são diagonais constantes indepen-
dentes dos ângulos θr e δg. As indutâncias ls, lso, lr, lro e lm são denominadas indutâncias
ćıclicas.
Expressões das tensões em odq
Segundo a expressão das tensões estatóricas em (3.7) e as equações de transformação
(3.23)-(3.24), pode-se escrever:
vgsodq = P
−1
s rsP si
g
sodq + P
−1
s
d
dt
[
P sλ
g
sodq
]
(3.31)
vgsodq = rsi
g
sodq +
dλgsodq
dt
+ ωgP
−1
s
[
dP s
dδ
]
λgsodq (3.32)
vgsodq = rsi
g
sodq +
dλgsodq
dt
+ ωg
⎡⎣ 0 0 00 0 −1
0 1 0
⎤⎦λgsodq (3.33)
onde rs = Rs e ωg = dδg/dt.
De forma análoga, obtém-se das relações (3.8) e (3.23)-(3.24) a nova expressão da
tensão rotórica
vgrodq = rri
g
rodq +
dλgrodq
dt
+ (ωg − ωr)
⎡⎣ 0 0 00 0 −1
0 1 0
⎤⎦λgrodq (3.34)
onde rr = Rr.
Evidentemente, as equações (3.33)-(3.34) podem ser escritas em função unicamente
das correntes substituindo-se as matrizes fluxos pelos seus valores em (3.29)-(3.30).
Expressões do conjugado em odq
Utilizando-se a expressões do conjugado eletromagnético (3.18) e as equações de trans-
formação (3.23)-(3.24) pode-se escrever:
ce = Pi
gT
sodqP
T
s
[
dLsr
dθr
]
P ri
g
rodq (3.35)
Desenvolvendo-se esta expressão, obtém-se a seguinte expressão para o conjugado:
ce = P lm(i
g
sqi
g
rd − igsdigrq) (3.36)
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 34
Expressões da potência em odq
Pode-se observar que a potência instantânea é invariante no caso da transformação ortog-
onal. De fato, pela definição da potência instantânea escreve-se:
p = iT v = ps123 + pr123 = i
sT
s123v
s
s123 + i
rT
r123v
r
r123 (3.37)
Por exemplo, para o estator, como iss123 = Pi
g
sodq e v
s
s123 = Pv
g
sodq escreve-se de (3.37)
para a potência estatórica ps123:
ps123 = i
gT
sodqP
T
Pvgsodq (3.38)
Desde que psodq = i
gT
sodqv
g
sodq, psodq será igual a ps123 se P
T
P = I3, o que é assegurado se a
matriz de transformação P é ortogonal (P
−1
= P
T
).
Observa-se que as variáveis xo (́ındice o), denominadas de homopolares, são propor-
cionais a soma das grandezas trifásicas originais (xo = (1/
√
3)(x1 +x2 +x3), portanto se a
máquina estiver operando de forma equilibrada (carga ou fontes de alimentação trifásica
equilibrada) estes componentes são nulos. Neste caso, o estudo da máquina se reduz ao es-
tudo dos componentes xgd e x
g
q , reduzindo-se a máquina trifásica a uma máquina bifásica
dq (cf. ı́tem seguinte). Também, se uma das armaduras estiver ligada em ”estrela”
(”triângulo”) não interconectado, a soma das correntes (tensões) trifásicas na armadura
é zero e portanto as variáveis homopolares correspondentes nesta armadura são nulas.
Finalmente, nota-se que o conjugado não depende dos componentes homopolares.
3.3.3 Interpretação f́ısica
A transformação odq corresponde a representar cada armadura trifásica original do estator
e do rotor por uma armadura bifásica dq, mais uma bobina isolada de ı́ndice o (Figura
3.2).
Para que a armadura bifásica seja equivalente a armadura trifásica, uma condição se
impõe: a indução no entreferro (p. ex. no ponto m) criada por cada armadura devem ser
iguais (Figura 3.2). Assim, tem-se, por exemplo, para a armadura estatórica:
• a indução resultante criada pela armadura trifásica no ponto m é dada por:
B3m = K3n3[i
s
s1 cos(γ) + i
s
s2 cos(γ − 2π/3) + iss3 cos(γ − 4π/3)] (3.39)
ou ainda
B3m = K3n3[(i
s
s1 −
1
2
iss2 −
1
2
iss3) cos(γ) + (
√
3
2
iss2 −
√
3
2
iss3)sen(γ)] (3.40)
• a indução resultante criada em m pela armadura bifásica é dada por:
B2m = K2n2[i
g
sd cos(γ − δg) + igsqsen(γ − δg)] (3.41)
ou ainda
B2m = K2n2[(i
g
sd cos(δg) − igsqsen(δg)) cos(γ) + (igsdsen(δg) − igsq cos(δgg))sen(γ)]
(3.42)
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 35
Onde n3 e n2 são o número de espiras das bobinas da armadura trifásica e bifásica,
respectivamente, e K3 e K2 são constantes que dependem da estrutura geométrica da
máquina e do meio magnético. Estas constantes podem ser feitas idênticas, isto é, K3 =
K2.
v
s1
s2
s3
s2
s
vs1
s
vs3
s
i s2
s
i s1
s
i s3
s
γ
m
(a)
o sq
vsd
g
m
(a)
o
i sd
g
vsq
g
sd
i sq
g
s1
δg
ωg
sP
-1
sP
γ
iso
sov
+ -
λsoso
Figura 3.2: Armaduras trifásica e bifásica equivalentes.
Igualando-se a indução no ponto m devido a cada armadura, isto é B2m = B3m para
um γ qualquer, tem-se:
n2(i
g
sd cos(δg) − igsqsen(δg)) = n3(iss1 −
1
2
iss2 −
1
2
iss3)
n2(i
g
sdsen(δg) − igsq cos(δg)) = n3(
√
3
2
iss2 −
√
3
2
iss3)
ou ainda
igsd =
n3
n2
[iss1 cos(δg) + i
s
s2 cos(δg − 2π/3) + iss3 cos(δg − 4π/3)] (3.43)
igsq = −
n3
n2
[iss1sen(δg) + i
s
s2sen(δg − 2π/3) + iss3sen(δg − 4π/3)] (3.44)
Para que a transformação seja biuńıvoca é necessário introduzir uma terceira corrente,
a corrente homopolar io que é proporcional a soma das correntes trifásicas. A corrente
homopolar, deve ser proporcional a soma das correntes trifásicas de forma a não criar
indução no entreferro da máquina, condição para não ter aparecido na equivalência de
indução acima.
Introduzindo-se o componente homopolar e usando a equação (3.43)-(3.44), obtém-se
em forma matricial:⎡⎣ isoigsd
igsq
⎤⎦ = n3
n2
⎡⎣ k k kcos(δg) cos(δg − 2π/3) cos(δg − 4π/3)
−sen(δg) −sen(δg − 2π/3) −sen(δg − 4π/3)
⎤⎦ ⎡⎣ iss1iss2
iss3
⎤⎦ (3.45)
As constantes k e a relação n3/n2 podem ser escolhidas arbitrariamente. Aqui elas
são escolhidas de tal forma que a matriz de transformação seja ortogonal. Nesse caso
k = 1/
√
2 e n3/n2 =
√
2/3 obtendo-se a matriz P s anterior dada em (3.25).
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 36
De forma semelhante, pode-se deduzir a matriz P r, equação (3.26), substituindo-se
simplesmente δg por δg−θr. Portanto, a representação odq da máquina trifásica completa
pode ser vista, do ponto de vista dos fluxos, como a substituição da máquina trifásica
(Fig.3.3a) por um par de bobinas de eixo d (sd e rd), um par de bobinas de eixo q (sq e
rq) e mais duas bobinas isoladas, ditas homopolares, ı́ndice o (so e ro) (Fig.3.3b).
v
s1
s2
s3
r1r2
r3
s2
s
vs1
s
vs3
s
i s2
s
i s1
s
i s3
s
vr
r
i r2
r vr1
r
vr3
r
i r3
r
i r1
r
sn
sn
sn
rn
rn
rn
θr
(a)
sq
vsd
g
(b)
i sd
g
vrq
g
d
s1
ωg
vrd
g
i rd
g
vsq
gi rq
g
sP
-1
sP
i sq
g
rP
-1 P
r
iso
sov
+ -
λso
iro
rov
+ -
λ ro
so
ro
δg
Figura 3.3: Representação esquemática da transformação trif ásica-odq.
3.3.4 Representação bifásica dq da máquina ativa
Como foi visto, as correntes homopolares não criam indução no entreferro da máquina e
assim não dão origem ao conjugado eletromagnético. Os componentes dq caracterizam
a máquina ativae os componentes homopolares traduzem os desequiĺıbrios de sequência
zero da máquina trifásica, criados pela alimentação desequilibrada.
Considerando-se apenas os componentes dq na representação odq, pode-se escrever, a
partir das equações (3.33)-(3.34) e (3.29)-(3.30) a representação da máquina bifásica dq:
vgsdq = rsi
g
sdq +
dλgsdq
dt
+ ωg
[
0 −1
1 0
]
λgsdq (3.46)
vgrdq = rri
g
rdq +
dλgrdq
dt
+ (ωg − ωr)
[
0 −1
1 0
]
λgrdq (3.47)
λgsdq = lsi
g
sdq + lmi
g
rdq (3.48)
λgrdq = lri
g
rdq + lmi
g
sdq (3.49)
ce = P lm(i
g
sqi
g
rd − igsdigrq) (3.50)
Onde as variáveis estatóricas são dadas por:
vgsdq =
[
vgsd
vgsq
]
igsdq =
[
isd
isq
]
λgsdq =
[
λgsd
λgsq
]
e as variáveis rotóricas são semelhantes, obtidas destas trocando-se o ı́ndice s por r.
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 37
3.3.5 Escolha da posição ou referencial para os eixos dq
Algumas possibilidades de interesse para localização do par de eixos dq são:
• No estator, com o eixo d ligado ao estator segundo a fase s1, fazendo-se δg = 0
(ωg = 0). Levando, em regime permanente, a variáveis dq senoidais de frequência
igual a das correntes estatóricas.
• No rotor, com o eixo d ligado ao rotor segundo a fase r1, fazendo-se δg = θr
(ωg = ωr). Implicando, em regime permanente, em variáveis dq senoidais com a
mesma frequência das correntes rotóricas (p. ex., ωrs = ωr − ωs, frequência de es-
corregamento, se for uma máquina asśıncrona e zero se for uma máquina śıncrona).
• No campo girante fazendo-se ωg = ωs, que implica, em regime permanente, em
variáveis dq cont́ınuas.
3.4 Representação complexa ou vetorial dq
As variáveis dq podem ser representadas como vetores no plano dq, onde as partes real
e imaginária corresponde a suas coordenadas cartesianas ”x = d” e ”y = q”, respectiva-
mente.
Neste caso, pode-se introduzir uma variável complexa xg para representar os vetores
fluxo, tensão, ou corrente do estator ou rotor no plano dq definida como
xg =
1√
2
(xgd + jx
g
q) (3.51)
A partir das equações (3.46) a (3.50) e utilizando a definição (3.51) obtém-se o modelo
complexo equivalente ao modelo bifásico dq:
vgs = rsi
g
s +
dλgs
dt
+ jωgλ
g
s (3.52)
vgr = rri
g
r +
dλgr
dt
+ j(ωg − ωr)λgr (3.53)
λgs = lsi
g
s + lmi
g
r (3.54)
λgr = lri
g
r + lmi
g
s (3.55)
ce = 2lm Im(i
g
si
g∗
r ) = −2lm Im(ig∗s igr) (3.56)
= Pisφssen(δi − δa) = P
lm
lr
isφrsen(δi − δb) (3.57)
As variáveis e parâmetros relacionados a este modelo são definidas como se segue:
j =
√−1
vgs = v
g
sd + jv
g
sq: vetor tensão estatórica num referencial arbitrário ”g”
vss = v
s
sd + jv
s
sq: vetor tensão estatórica no referencial estatórico ”s”
vas = v
a
sd + jv
a
sq: vetor tensão estatórica no referencial fluxo estatórico ”a”
igs = i
g
sd + ji
g
sq: vetor corrente estatórica num referencial arbitrário ”g”
Nady
Manuscrito
Nady
Manuscrito
Nady
Manuscrito
Nady
Manuscrito
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 38
iis = is + j0: corrente estatórica no referencial corrente estatórica ”i”
iss = i
s
sd + ji
s
sq: vetor corrente estatórica no referencial estatórico ”s”
irs = i
r
sd + ji
r
sq: vetor corrente estatórica no referencial rotórico ”r”
ias = i
a
sd + ji
a
sq: vetor corrente estatórica no referencial fluxo estatórico ”a”
ibs = i
b
sd + ji
b
sq: vetor corrente estatórica no referencial fluxo rotórico ”b”
λgs = λ
g
sd + jλ
g
sq: vetor fluxo estatórico num referencial arbitrário ”g”
λas = φs + j0: fluxo estatórico no referencial fluxo estatórico ”a”
λss = λ
s
sd + jλ
s
sq: vetor fluxo estatórico no referencial estatórico ”s”
λgr = λ
g
rd + jλ
g
rq: vetor fluxo rotórico num referencial arbitrário ”g”
λbr = λr + j0: fluxo rotórico no referencial fluxo rotórico ”b”
λsr = λ
s
rd + jλ
s
rq: vetor fluxo rotórico no referencial estatórico ”s”
λrr = λ
r
rd + jλ
r
rq: vetor fluxo rotórico no referencial rotórico ”r”
λar = λ
a
rd + jλ
a
rq: vetor fluxo rotórico no referencial fluxo estatórico ”a”
ωg: frequência de rotação do referencial arbitrário
ωr: frequência de rotação do rotor
ωv: frequência de rotação do vetor tensão estatórica
ωi: frequência de rotação do vetor corrente estatórica
ωa: frequência de rotação do vetor fluxo estatórico
ωb: frequência de rotação do vetor fluxo rotórico
ωar = ωa − ωr: frequência de escorregamento do vetor fluxo estatórico
ωbr = ωb − ωr: frequência de escorregamento do vetor fluxo rotórico
δg: posição angular do referencial arbitrário
δr: posição angular do eixo magnético do rotor
δv: posição angular do vetor tensão estatórica
δi: posição angular do vetor corrente estatórica
δa: posição angular do vetor fluxo estatórico
δb: posição angular do vetor fluxo rotórico
ce: conjugado eletromagnético
cm: conjugado mecânico
ls: indutância ćıclica estatórica
lr: indutância ćıclica rotórica
lm: indutância ćıclica mútua
rs: resistência ohmica estatórica
rr: resistência ohmica rotórica
J : momento de inércia
F : coeficiente de atrito
P : número de pares de pólos
No caso particular da máquina trifásica primitiva alimentada por um sistema trifásico
de tensão equilibrado, tem-se para as tensões:
vss1 = Vm cos(ωst); v
s
s2 = Vm cos(ωst − 2π/3); vss3 = Vm cos(ωst − 4π/3)
Se o eixo d coincide com o eixo da fase 1 (δg = 0 e ωg = 0) e utilizando-se a matriz de
transformação P s obtém-se:
vssd =
√
3
2
Vm cos(ωst); v
s
sq =
√
3
2
Vmsen(ωst)
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 39
ωg
ωa
ωb
ωr
ωiωv
δv
δi
δg δa
δb
δr
v s
s i s
s
λrs
v i
r r1
s1
s
b
a
d
λss
Figura 3.4: Diagrama vetorial instantâneo da máquina.
Utilizando-se a matriz de transformação (3.51), obtém-se o vetor girante dado por:
vss =
√
3
2
Vme
jωst
A representação complexa corresponde a representar a máquina trifásica ativa pelos
vetores girantes resultantes associados a cada variável da máquina (tensão, fluxo e cor-
rente). Assim, trata-se da representação mais sumária posśıvel para a máquina. Ela
facilita sobremaneira o estudo das máquinas trifásicas simétricas. Ela será tratada na
seção seguinte.
Na figura 3.4 é apresentado o diagrama vetorial instantâneo dos vetores tensão es-
tatórica (vss), corrente estatórica (i
s
s), fluxo estatórico (λ
s
s) e fluxo rotórico (λ
s
r) da máquina,
vistos do referencial estatórico (fase s1). Também, neste diagrama são indicados o eixo
magnético rotórico (fase r1) e o eixo d.
3.5 Aplicação às máquinas asśıncrona e śıncrona
3.5.1 Máquina asśıncrona (indução)
Na Fig. 3.5 é apresentada a máquina de indução. Note que a máquina de indução é obtida
a partir de uma configuração da alimentação particular da máquina CA cujo modelo foi
deduzido nas seções anteriores.
As bobinas estatóricas são alimentadas por um sistema trifásico equilibrado. As
tensões na fases da máquina podem ser expressas por:
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 40
v
s2
s3
s2
s
vs1
s
vs3
s
i s2
s
is1s
i s3
s
sn
sn
sn
v2m
r
= 0 v3m
r
= 0v1m = 0
r
(a) Estator da máquina de Indução
(b) Rotor da Máquina de Indução
λs
s
λs1s
λs2
s
λs3s
ωs
v10
s
= Vcos(wst) v20
s
v30
= Vcos(wst-120)
= Vcos(wst+120)
s
n
0
s1 s1
r1
r2
r3
i r3r
i r1r
rn
rn
θr
ωr
c
ce
m
ir2
r
rn
λr3r
λr1rλr2
r
λrr
v r1rvr2r
vr3
r
ωs ωr
m
132λs
s λrx
sce = K
Conjugado
l
Figura 3.5: Representação da máquina de indução (asśıncrona) ligada em Y-Y.
vs1 = (2/
√
3)Vs cos(ωst + φv) + v0n (3.58)
vs2 = (2/
√
3)Vs cos(ωst + φv − 2π/3) + v0n (3.59)
vs3 = (2/
√
3)Vs cos(ωst + φv + 2π/3) + v0n (3.60)
onde φv é um ângulo inicial constante e v0n é a tensão entre o neutro da fonte e da
máquina.
Aplicando-se a matriz de transformação P s (3.25) obtém-se:
vgso = 0 (3.61)
vgsd =
√
2Vs cos(ωst − δg + φv) (3.62)
vgsq =
√
2Vssen(ωst − δg + φv) (3.63)
Seescolhermos o referencial dq que gira com frequência ωs (indicado pelo expoente e),
então δg = ωst + δo, onde δo é um condição inicial constante, e tem-se:
veso = 0
vesd =
√
2Vs cos(φv − δo) =
√
2Vs cos(φso)
vesq =
√
2Vssen(φv − δo) =
√
2Vssen(φso)
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 41
A máquina de indução (Y no rotor) possui tensões rotóricas iguais vrr1 = v
r
r2 = v
r
r3.
Aplicando-se a matriz de transformação e considerando-se o modelo homopolar do rotor,
obtém-se que vero = 0 e então v
r
r1 = v
r
r2 = v
r
r3 = 0 e v
e
rd = v
e
rd = 0.
Introduzindo-se ves =
1√
2
(vesd + jv
e
sq) e v
e
r = 0, obtém-se o seguinte modelo vetorial:
ves = Vse
jφso
s = rsi
e
s +
dλes
dt
+ jωsλ
e
s (3.64)
0 = rri
e
r +
dλer
dt
+ j(ωs − ωr)λer (3.65)
λes = lsi
e
s + lmi
e
r (3.66)
λer = lri
e
r + lmi
e
s (3.67)
ce = 2lm Im(i
e
si
e∗
r ) (3.68)
Regime permanente
No caso particular de regime permanente, como a entrada do sistema é contante
dλes/dt = 0 e dλ
e
r/dt = 0 e assim o sistema se simplifica para
ves = Vse
jφso
s = rsi
e
s + jωs(lsi
e
s + lmi
e
r) (3.69)
0 =
rr
s
ier +
j(ωs − ωr)
s
(lri
e
r + lmi
e
s) (3.70)
Estas equações corresponde ao circuito equivalente da Fig. 3.6, onde s = (ωs −ωr)/ωs
é o escorregamento da máquina.
is
jωslm
rr/s
jωs(ls
e
v s
e
lm) (l lm )jωs rr s
Figura 3.6: Circuito equivalente da Máquina de Indução.
3.5.2 Máquina Śıncrona
Na Fig. 3.7 é apresentada a máquina śıncrona. O modelo da máquina śıncrona é obtido
utilizando-se (3.58)-(3.60) e com vrr1 = V
′
f + vml, v
r
r2 = v
r
r3 = −V ′f/2 + vml. Aplicando-se
as matrizes de transformação P s e P r obtém-se:
vso = 0
vgsd =
√
2Vs cos(ωst − δg + φv) (3.71)
vgsq =
√
2Vssen(ωst − δg + φv)
vro = 0
vgrd =
√
2Vf cos(θr − δ)
vgrq =
√
2Vfsen(θr − δ)
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 42
v
s1
s2
s3
s2
s
vs1s
vs3
s
is2
s
i s1s
is3
s
sn
sn
sn
λss
λs1
s
λs2
s
λs3
s
ωs
λs
s λrx
sce = K
Conjugado
s1
r1
r2
r3
i r3r
i r1r
rn
rn
θr
ωr
c
ce
m
ir2
r
rn
v2m
r v
3m
rv1m = V f
 V f
2
= 
-
 V f
2
= -
f
2
 V
 V f
2
(c) Rotor da Máquina Síncrona
 V f
λr3r
λr1rλr2
r
λrr
v r1rvr2r
vr3
r
ωs ωr
(a) Estator da Máquina Síncrona
v10
s
= Vcos(wst) v20
s
v30
= Vcos(wst-120)
= Vcos(wst+120)
s
0
n
m
12 3
-
-
l
Figura 3.7: Representação da máquina śıncrona ligada em Y-Y.
onde Vf =
√
3
2
V ′f . Note que as tensões, estatóricas são semelhantes aquelas da máquina
de indução.
Escolhendo-se o mesmo referencial dq que gira com frequência ωs, δg = ωst+δo, tem-se:
vesd =
√
2Vs cos(φv − δo) =
√
2Vs cos(φvo)
vesq =
√
2Vssen(φv − δo) =
√
2Vssen(φvo)
vgrd =
√
2Vf cos((ωr − ωs)t + θo − δo)
vgrq =
√
2Vfsen((ωr − ωs)t + θo − δo)
Introduzindo ves = Vse
jφso
s e ver = Vfe
j((ωr−ωs)t+θo−δo)
s obtém-se o seguinte modelo vetorial
ves = Vse
jφso
s = rsi
e
s +
dλes
dt
+ jωsλ
e
s (3.72)
ver = Vfe
j((ωr−ωs)t+θo−δo)
s = rri
e
r +
dλer
dt
+ j(ωs − ωr)λer (3.73)
λes = lsi
e
s + lmi
e
r (3.74)
λer = lri
e
r + lmi
e
s (3.75)
ce = 2lm Im(i
e
si
e∗
r ) (3.76)
Regime permanente
Em regime permanente ωs = ωr, as tensões dq são constantes e dλ
e
s/dt = 0 e dλ
e
r/dt =
0. Assim, obtém-se o seguinte modelo vetorial para o regime permanente
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 43
ves = Vse
jφso
s = rsi
e
s + jωr(lsi
e
s + lmi
e
r) (3.77)
ver = Vfe
jθro
s = rri
e
r (3.78)
Para o caso particular do referencial rotórico δ = θ (portanto δo = θo) e v
e
r = Vfe
j((ωr−ωs)t+θo−δo)
s =
Vf . Assim, de (3.78) determina-se diretamente a corrente rotórica if = i
r
r = Vf/r e a
relação (3.77) torna-se:
vrs = Vse
jφso
s = rsi
r
s + jωr(lsi
r
s + lmif ) (3.79)
Esta equação corresponde ao circuito equivalente da Fig. 3.8, onde Ef = jωrlmif é a
f.e.m da máquina.
is
jωsls
r
v s
r
r s
E f
+
-
Figura 3.8: Circuito equivalente da Máquina Śıncrona.
Caṕıtulo 4
Introdução ao acionamento com
máquina asśıncrona
4.1 Introdução
Este caṕıtulo introduz os sistemas de acionamento estático com a máquina asśıncrona
através da discussão dos seus prinćıpios de funcionamento e caracteŕısticas. Também,
são definidos os modelos da máquina e o sistema de acionamento utilizados nos caṕıtulos
subsequentes.
Inicialmente, são tratados os prinćıpios e as caracteŕısticas de funcionamento da máquina
asśıncrona. Em seguida, são apresentados modelos dinâmicos da máquina asśıncrona, na
sua versão cont́ınua e discreta. Finalmente, são discutidos os subsistemas de alimentação
estática e de medição e controle, usualmente empregados nos acionamentos.
4.2 Caracteŕısticas de funcionamento
A máquina asśıncrona é uma máquina de corrente alternada que apresenta caracteŕısticas
bastante apreciadas para a realização de acionamentos estáticos a velocidade variável:
robustez, simplicidade de construção e baixo preço comparativo com as demais máquinas.
Existem dois tipos de máquinas asśıncronas: de rotor em gaiola e de rotor bobinado. A
versão a rotor bobinado, devido ao sistema de alimentação mecânico, é menos popular
que a de rotor em gaiola. Uma caracteŕıstica da máquina asśıncrona a rotor bobinado é
que ela permite simular uma máquina universal, com alimentação trifásica em ambas as
armaduras rotórica e estatórica.
A velocidade mecânica da máquina ωr pode ser expressa por:
ωr =
ωr
P
= ωs − ωsr (4.1)
onde ωr e ωsr são a velocidade elétrica e a frequência das correntes rotóricas, respectiva-
mente, e P é o número de pares de pólos da máquina.
Segundo (4.1) é posśıvel variar a velocidade mecânica alterando-se o número de pares
de pólos. Entretanto, esta não é a forma usual de se variar continuamente a velocidade
mecânica da máquina. Ainda segundo (4.1), a velocidade pode ser modificada variando-se
a frequência das correntes estatóricas ωs ou a frequência das correntes rotóricas ωsr.
44
Caṕıtulo 4. Introdução ao acionamento com máquina asśıncrona 45
R
S
T
Cf
M O T O R C A M O T O R C C
C A R G A
R0
t im er
vs1
is 1
A/D
PPI
microcomputado r
rδ
1q 2q 3q
s is1
s
vs3
is3
s
s
s
is2s
is3
s
4q 5q 6q
7q
Figura 4.1: Sistema de acionamento com máquina asśıncrona.
Com ωs constante, é posśıvel variar ωsr diretamente, alimentando o rotor bobinado
com uma fonte de tensão, ou indiretamente, por meio da variação da amplitude das tensões
estatóricas ou modificando-se a resistência rotórica, no caso da máquina a rotor bobinado.
Atualmente, a variação da velocidade da máquina, operando com ωs constante, através
da variação da frequência rotórica só é utilizada em acionamentos com baixo desempenho
ou em aplicações de alta potência. Os sistemas Kramer e Scherbius são exemplos deste
último caso. A grande maioria dos acionamentos modernos com máquina asśıncrona se
servem da variação da frequência estatórica para o controle da velocidade da máquina.
A relação (4.1) indica que a variação do valor de ωs produz uma variação de ωr.
Entretanto, esta expressão é insuficiente para caracterizar o processo dinâmico de evolução
de ωr. Para se definir um sistema de controle de velocidade da máquina asśıncrona é
necessário considerar o modelo dinâmico completo da máquina (4.4)-(4.9). Este modelo
é bastante complexo e não-linear. Até poucos anos atrás, as estratégias de controle da
máquina asśıncrona eram do tipo escalar e baseadas no modelo da máquina em regime
permanente. Entretanto, atualmente é posśıvel controlar a velocidade da máquina com
desempenho dinâmico excelente, comparável a dinâmica da máquina de corrente cont́ınua,
utilizando estratégias de controle denominadas vetoriais (cf. Caṕıtulo 5).
A implementação das estratégicas de controle vetorial, mesmo o controle vetorial in-
direto de implementação simples, é realizada empregando-se microcomputadores. Os
acionamentos